Karmaşık bir fonksiyon örneklerinin terstürevini bulma. Ters türev ve belirsiz integral - Bilgi Hipermarketi

Türevin çok sayıda kullanımının olduğunu gördük: Türev, hareketin hızıdır (veya daha genel olarak herhangi bir sürecin hızıdır); türev eğim bir fonksiyonun grafiğine teğet; türevi kullanarak bir fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyebilirsiniz; türev optimizasyon problemlerinin çözülmesine yardımcı olur.

Ama içinde gerçek hayat karar vermek zorundayım ve ters problemler: Örneğin bilinen bir hareket kanununa göre hız bulma probleminin yanı sıra, hareket kanununu bilinen bir hıza göre geri getirme problemi de vardır. Bu sorunlardan birini ele alalım.

Örnek 1. Düz bir çizgide hareket eder maddi nokta t zamanındaki hareketinin hızı u = tg formülüyle verilir. Hareket yasasını bulun.

Çözüm.İstenilen hareket yasası s = s(t) olsun. s"(t) = u"(t) olduğu bilinmektedir. Bu, sorunu çözmek için seçmeniz gereken anlamına gelir işlev s = s(t), türevi tg'ye eşittir. Bunu tahmin etmek zor değil

Örneğin doğru fakat eksik çözüldüğünü hemen belirtelim. Aslında problemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu bulduk: herhangi bir fonksiyon keyfi bir sabit hareket kanunu görevi görebilir, çünkü

Görevi daha spesifik hale getirmek için başlangıçtaki durumu düzeltmemiz gerekiyordu: hareket eden bir noktanın zamanın herhangi bir noktasındaki koordinatını belirtin, örneğin t=0'da. Diyelim ki s(0) = s 0 ise eşitlikten s(0) = 0 + C, yani S 0 = C elde ederiz. Şimdi hareket yasası benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır:
Matematikte karşılıklı ters işlemler atanır farklı isimler, özel gösterimler bulun: örneğin kare alma (x 2) ve çıkarma karekök sinüs(sinх) ve arksinüs(arcsin x), vb. Türevini bulma süreci Verilen fonksiyon farklılaşma denir ve ters işlem yani Belirli bir türevden bir fonksiyon bulma süreci - entegrasyon.
"Türev" teriminin kendisi "gündelik terimlerle" haklı gösterilebilir: y - f(x) fonksiyonu "varoluşa neden olur" yeni özellik y"= f"(x) y = f(x) fonksiyonu bir "ebeveyn" görevi görür, ancak matematikçiler doğal olarak ona "ebeveyn" veya "üretici" demezler, onunla ilişkili olarak öyle olduğunu söylerler. y"=f"(x) fonksiyonu, birincil görüntü veya kısaca antiderivatif.

Tanım 1. Eğer X'ten gelen tüm x'ler için F"(x)=f(x) eşitliği geçerliyse, y = F(x) fonksiyonuna belirli bir X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

Uygulamada, X aralığı genellikle belirtilmez, ancak ima edilir (fonksiyonun tanımının doğal alanı olarak).

İşte bazı örnekler:

1) y = x 2 fonksiyonu, y = 2x fonksiyonunun ters türevidir, çünkü tüm x'ler için (x 2)" = 2x eşitliği doğrudur.
2) y - x 3 fonksiyonu, y-3x 2 fonksiyonunun ters türevidir, çünkü tüm x'ler için (x 3)" = 3x 2 eşitliği doğrudur.
3) y-sinх fonksiyonu, y = cosx fonksiyonunun ters türevidir, çünkü tüm x'ler için (sinx)" = cosx eşitliği doğrudur.
4) Fonksiyon aralıktaki bir fonksiyonun ters türevidir çünkü tüm x > 0 için eşitlik doğrudur
Genel olarak türev bulma formüllerini bilerek, antitürev bulma formülleri tablosu derlemek zor değildir.

Bu tablonun nasıl derlendiğini anladığınızı umuyoruz: ikinci sütunda yazılan fonksiyonun türevi, ilk sütunun karşılık gelen satırında yazılan fonksiyona eşittir (kontrol edin, tembel olmayın, çok faydalıdır). Örneğin, y = x 5 fonksiyonunun antitürevi, sizin de belirleyeceğiniz gibi, fonksiyondur (tablonun dördüncü satırına bakınız).

Notlar: 1. Aşağıda, eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman y = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi olduğu ve hepsinin y = biçiminde olduğu teoremini kanıtlayacağız. F(x) + C. Bu nedenle, C'nin keyfi bir gerçek sayı olduğu tablonun ikinci sütunundaki her yere C terimini eklemek daha doğru olacaktır.
2. Kısaltmak adına, bazen "y = F(x) fonksiyonu y = f(x) fonksiyonunun ters türevidir" ifadesi yerine F(x)'in f(x)'in ters türevi olduğu söylenir. .”

2. Terstürev bulma kuralları

Antitürevleri bulurken ve türevleri bulurken sadece formüller değil (bunlar 196. sayfadaki tabloda listelenmiştir) aynı zamanda bazı kurallar da kullanılır. Türevlerin hesaplanmasına ilişkin ilgili kurallarla doğrudan ilgilidirler.

Bir toplamın türevinin, türevlerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 1. Bir toplamın terstürevi, antiderivatiflerin toplamına eşittir.

Bu formülasyonun biraz “hafifliğine” dikkatinizi çekiyoruz. Aslında teoremi formüle etmek gerekir: y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının X aralığında ters türevleri varsa, sırasıyla y-F(x) ve y-G(x), o zaman y fonksiyonlarının toplamı = f(x)+g(x)'in X aralığında bir ters türevi vardır ve bu ters türev y = F(x)+G(x) fonksiyonudur. Ancak genellikle kuralları (teoremleri değil) formüle ederken, yalnızca anahtar kelimeler- bu, kuralın pratikte uygulanmasını daha kolay hale getirir

Örnek 2. y = 2x + cos x fonksiyonunun terstürevini bulun.

Çözüm. 2x'in ters türevi x'tir; cox'un ters türevi sin x'tir. Bu, y = 2x + cos x fonksiyonunun ters türevinin y = x 2 + sin x (ve genel olarak formdaki herhangi bir fonksiyon) olacağı anlamına gelir. Y = x 1 + sinx + C) .
Sabit faktörün türevin işaretinden çıkarılabileceğini biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 2. Sabit faktör antiderivatifin işaretinden çıkarılabilir.

Örnek 3.

Çözüm. a) sin x'in ters türevi -soz x'tir; Bu, y = 5 sin x fonksiyonu için ters türev fonksiyonunun y = -5 cos x fonksiyonu olacağı anlamına gelir.

b) cos x'in ters türevi sin x'tir; Bu, bir fonksiyonun terstürevinin fonksiyon olduğu anlamına gelir
c) x 3'ün ters türevi x'in ters türevidir, y = 1 fonksiyonunun ters türevi ise y = x fonksiyonudur. Ters türevleri bulmanın birinci ve ikinci kurallarını kullanarak, y = 12x 3 + 8x-1 fonksiyonunun ters türevinin fonksiyon olduğunu buluruz.
Yorum. Bilindiği gibi bir çarpımın türevi, türevlerin çarpımına eşit değildir (bir çarpımın türevini alma kuralı daha karmaşıktır) ve bir bölümün türevi, türevlerin bölümüne eşit değildir. Bu nedenle çarpımın ters türevini veya iki fonksiyonun bölümünün ters türevini bulmanın bir kuralı yoktur. Dikkat olmak!
Ters türevleri bulmak için başka bir kural elde edelim. y = f(kx+m) fonksiyonunun türevinin şu formülle hesaplandığını biliyoruz:

Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.
Kural 3. Eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonunun ters türevi ise, o zaman y=f(kx+m) fonksiyonunun ters türevi, fonksiyondur.

Aslında,

Bu, y = f(kx+m) fonksiyonunun ters türevi olduğu anlamına gelir.
Üçüncü kuralın anlamı şu şekildedir. y = f(x) fonksiyonunun ters türevinin y = F(x) fonksiyonu olduğunu biliyorsanız ve y = f(kx+m) fonksiyonunun ters türevini bulmanız gerekiyorsa, o zaman şu şekilde ilerleyin: aynı F fonksiyonudur, ancak x argümanı yerine kx+m ifadesini kullanın; Ayrıca fonksiyon işaretinin önüne “düzeltme faktörü” yazmayı unutmayın.
Örnek 4. Verilen fonksiyonlar için antiderivatifleri bulun:

Çözüm, a) sin x'in terstürevi -soz x'tir; Bu, y = sin2x fonksiyonu için ters türevin fonksiyon olacağı anlamına gelir
b) cos x'in ters türevi sin x'tir; Bu, bir fonksiyonun terstürevinin fonksiyon olduğu anlamına gelir

c) x 7'nin ters türevi, y = (4-5x) 7 fonksiyonu için ters türevin şu fonksiyon olacağı anlamına gelir:

3. Belirsiz integral

Belirli bir y = f(x) fonksiyonu için ters türev bulma probleminin birden fazla çözümü olduğunu yukarıda belirtmiştik. Bu konuyu daha detaylı tartışalım.

Kanıt. 1. X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi y = F(x) olsun. Bu, X'ten gelen tüm x'ler için x"(x) = f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir. y = F(x)+C formundaki herhangi bir fonksiyonun türevini bulun:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Yani (F(x)+C) = f(x). Bu, y = F(x) + C'nin y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev olduğu anlamına gelir.
Böylece, eğer y = f(x) fonksiyonunun bir y=F(x) ters türevi varsa, o zaman (f = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi olduğunu, örneğin y = formundaki herhangi bir fonksiyonun olduğunu kanıtlamış olduk. F(x) +C bir ters türevdir.
2. Şimdi şunu kanıtlayalım belirtilen tür fonksiyonlarda antiderivatiflerin tamamı tükenmiştir.

y=F 1 (x) ve y=F(x), X aralığında Y = f(x) fonksiyonunun iki ters türevi olsun. Bu, X aralığındaki tüm x'ler için aşağıdaki ilişkilerin geçerli olduğu anlamına gelir: F^ ( x) = f(X); F"(x) = f(x).

y = F 1 (x) -.F(x) fonksiyonunu ele alalım ve türevini bulalım: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Bir fonksiyonun X aralığındaki türevi aynı şekilde sıfıra eşitse, o zaman fonksiyonun X aralığında sabit olduğu bilinmektedir (bkz. § 35'teki Teorem 3). Bu, F 1 (x) - F (x) = C olduğu anlamına gelir, yani. Fx) = F(x)+C.

Teorem kanıtlandı.

Örnek 5. Hızın zamanla değişimi yasası verilmiştir: v = -5sin2t. Eğer t=0 anında noktanın koordinatının 1,5 sayısına eşit olduğu biliniyorsa (yani s(t) = 1,5) s = s(t) hareket yasasını bulun.

Çözüm. Hız, zamanın bir fonksiyonu olarak koordinatın bir türevi olduğundan, önce hızın ters türevini bulmamız gerekir; v = -5sin2t fonksiyonu için antiderivatif. Bu tür antiderivatiflerden biri fonksiyondur ve tüm antiderivatiflerin kümesi şu şekildedir:

Bulmak için özel anlam C sabiti için s(0) = 1,5'e göre başlangıç ​​koşullarını kullanırız. T=0, S = 1,5 değerlerini formül (1)'e koyarsak şunu elde ederiz:

C'nin bulunan değerini formül (1)'e koyarak bizi ilgilendiren hareket yasasını elde ederiz:

Tanım 2. Bir y = f(x) fonksiyonunun X aralığında bir ters türevi y = F(x) varsa, o zaman tüm ters türevler kümesi, yani; y = F(x) + C formundaki fonksiyonlar kümesine y = f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve şu şekilde gösterilir:

(Okumak: " belirsiz integral ef'den x de x").
Bir sonraki paragrafta ne olduğunu öğreneceğiz gizli anlam belirtilen atama.
Bu bölümde bulunan antiderivatifler tablosuna dayanarak, ana belirsiz integrallerin bir tablosunu derleyeceğiz:

Antiderivatifleri bulmak için yukarıdaki üç kurala dayanarak, karşılık gelen entegrasyon kurallarını formüle edebiliriz.

Kural 1. Fonksiyonların toplamının integrali toplamına eşit bu fonksiyonların integralleri:

Kural 2. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:

Kural 3. Eğer

Örnek 6. Belirsiz integralleri bulun:

Çözüm, a) Birinci ve ikinci integral alma kurallarını kullanarak şunu elde ederiz:

Şimdi 3. ve 4. integral formüllerini kullanalım:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

b) Üçüncü integral kuralını ve formül 8'i kullanarak şunu elde ederiz:

c) Belirli bir integrali doğrudan bulmak için ikisine de sahip değiliz karşılık gelen formül, karşılık gelen kural yok. İÇİNDE benzer vakalar bazen önceden uygulananlar yardımcı olur kimlik dönüşümleri integral işaretinin altında yer alan ifade.

Haydi yararlanalım trigonometrik formül Derece azaltma:

Sonra sırayla buluyoruz:

A.G. Mordkovich Cebiri 10. sınıf

Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda matematik

Antiderivatif fonksiyonları bulmanın üç temel kuralı vardır. Karşılık gelen farklılaşma kurallarına çok benzerler.

Kural 1

Eğer F, bir f fonksiyonu için bir ters türev ise ve G, bir g fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman F + G, f + g için bir ters türev olacaktır.

Bir terstürevin tanımı gereği, F' = f. G' = g. Ve bu koşullar karşılandığı için, fonksiyonların toplamının türevini hesaplama kuralına göre sahip olacağız:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Kural 2

Eğer F, bir f fonksiyonu için ters türev ise ve k bir sabittir. O halde k*F, k*f fonksiyonunun ters türevidir. Bu kural, türevin hesaplanması kuralından kaynaklanmaktadır. karmaşık fonksiyon.

Elimizde: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Kural 3

Eğer F(x), f(x) fonksiyonunun bir terstürevi ise ve k ve b bazı sabitlerse ve k sıfıra eşit değilse, o zaman (1/k)*F*(k*x+b) şu şekilde olacaktır: f(k*x+b) fonksiyonu için bir terstürev.

Bu kural, karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplama kuralından kaynaklanır:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Bu kuralların nasıl uygulandığına dair birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1. Bulmak genel görünüm f(x) = x^3 +1/x^2 fonksiyonunun antiderivatifleri. x^3 fonksiyonu için antiderivatiflerden biri (x^4)/4 fonksiyonu olacaktır ve 1/x^2 fonksiyonu için antiderivatiflerden biri -1/x fonksiyonu olacaktır. İlk kuralı kullanarak şunu elde ederiz:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Örnek 2. f(x) = 5*cos(x) fonksiyonunun ters türevlerinin genel formunu bulalım. cos(x) fonksiyonu için antitürevlerden biri sin(x) fonksiyonu olacaktır. Şimdi ikinci kuralı kullanırsak:

F(x) = 5*sin(x).

Örnek 3. y = sin(3*x-2) fonksiyonunun ters türevlerinden birini bulun. sin(x) fonksiyonu için antitürevlerden biri -cos(x) fonksiyonu olacaktır. Şimdi üçüncü kuralı kullanırsak ters türev için bir ifade elde ederiz:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Örnek 4. f(x) = 1/(7-3*x)^5 fonksiyonunun terstürevini bulun

1/x^5 fonksiyonunun terstürevi (-1/(4*x^4)) fonksiyonu olacaktır. Şimdi üçüncü kuralı kullanarak şunu elde ederiz.

Bu sayfada şunları bulacaksınız:

1. Aslında antiderivatifler tablosu PDF formatında indirilebilir ve yazdırılabilir;

2. Bu tablonun nasıl kullanılacağına ilişkin video;

3. Çeşitli ders kitaplarından ve testlerden antiderivatifin hesaplanmasına ilişkin bir dizi örnek.

Videonun kendisinde, fonksiyonların ters türevlerini hesaplamanız gereken, genellikle oldukça karmaşık olan ancak en önemlisi bunların kuvvet fonksiyonları olmadığı birçok problemi analiz edeceğiz. Yukarıda önerilen tabloda özetlenen tüm fonksiyonlar, türevler gibi ezbere bilinmelidir. Onlar olmadan, integrallerin daha fazla incelenmesi ve bunların pratik problemlerin çözümünde uygulanması imkansızdır.

Bugün antiderivatifleri incelemeye devam ediyoruz ve biraz daha konuya geçiyoruz karmaşık konu. Eğer içindeyse son kez Yalnızca kuvvet fonksiyonlarından ve biraz daha karmaşık yapılardan gelen ters türevleri ele aldık, ancak bugün trigonometriyi ve çok daha fazlasını analiz edeceğiz.

Geçen derste söylediğim gibi, türevlerden farklı olarak antitürevler hiçbir zaman herhangi bir standart kural kullanılarak "doğrudan" çözülmez. Üstelik kötü haber şu ki, türevden farklı olarak antitürev hiç dikkate alınmayabilir. Kesinlikle yazarsak rastgele fonksiyon ve onun türevini bulmaya çalışın, o zaman bu çok yüksek olasılık Başarılı olacağız, ancak bu durumda ters türev neredeyse hiçbir zaman sayılmayacak. Ancak iyi haber de var: Temel fonksiyonlar adı verilen oldukça geniş bir fonksiyon sınıfı var ve bunların antitürevlerinin hesaplanması çok kolay. Ve her türlü testte, bağımsız testlerde ve sınavlarda verilen diğer tüm daha karmaşık yapılar aslında bunlardan oluşuyor temel işlevler toplama, çıkarma ve diğer basit işlemler yoluyla. Bu tür işlevlerin prototipleri uzun süredir hesaplanıyor ve özel tablolar halinde derleniyor. Bugün üzerinde çalışacağımız işlevler ve tablolar bunlardır.

Ancak her zaman olduğu gibi bir tekrarla başlayacağız: antitürevin ne olduğunu, neden sonsuz sayıda olduğunu ve genel görünümlerini nasıl belirleyeceğimizi hatırlayalım. Bunu yapmak için iki basit problem seçtim.

Kolay örnekleri çözme

Örnek #1

$\frac(\text() )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ve genel olarak $\text() )\!\!\pi\'nin varlığına hemen dikkat edelim. !\!\ text( )$ bize hemen fonksiyonun gerekli antiderivatifinin trigonometri ile ilgili olduğunu ima ediyor. Ve gerçekten de tabloya bakarsak $\frac(1)(1+((x)^(2))$ ifadesinin $\text(arctg)x$'dan başka bir şey olmadığını görürüz. O halde bunu yazalım:

Bulmak için aşağıdakileri yazmanız gerekir:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Örnek No.2

Burada da hakkında konuşuyoruz O trigonometrik fonksiyonlar. Tabloya baktığımızda aslında şöyle oluyor:

Tüm antiderivatifler kümesi arasında belirtilen noktadan geçeni bulmamız gerekiyor:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Son olarak şunu yazalım:

Bu kadar basit. Tek sorun ters türevleri saymaktır basit işlevler, antiderivatifler tablosunu öğrenmeniz gerekir. Ancak türev tablosunu sizler için inceledikten sonra bunun bir sorun olmayacağını düşünüyorum.

Üstel fonksiyon içeren problemleri çözme

Başlangıç ​​olarak aşağıdaki formülleri yazalım:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Tüm bunların pratikte nasıl çalıştığını görelim.

Örnek #1

Parantezlerin içeriğine bakarsak, antiderivatifler tablosunda $((e)^(x))$'nin kare içinde olması için böyle bir ifadenin olmadığını fark edeceğiz, dolayısıyla bu karenin genişletilmesi gerekiyor. Bunu yapmak için kısaltılmış çarpma formüllerini kullanıyoruz:

Her terimin terstürevini bulalım:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \right))^(x))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \sağ))^(x))))(\ln ((e)^(-2))))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Şimdi tüm terimleri tek bir ifadede toplayalım ve genel terstürevi elde edelim:

Örnek No.2

Bu sefer derece daha büyük olduğundan kısaltılmış çarpma formülü oldukça karmaşık olacaktır. O halde parantezleri açalım:

Şimdi formülümüzün terstürevini bu yapıdan almaya çalışalım:

Gördüğünüz gibi üstel fonksiyonun antitürevlerinde karmaşık veya doğaüstü hiçbir şey yoktur. Hepsi tablolar aracılığıyla hesaplanır, ancak dikkatli öğrenciler muhtemelen $((e)^(2x))$ ters türevinin $((e)^(x))$'ye $((a)'dan çok daha yakın olduğunu fark edeceklerdir. )^(x ))$. Yani belki biraz daha vardır özel kural, $((e)^(x))$ terstürevini bilerek $((e)^(2x))$'ı bulmanızı sağlar? Evet böyle bir kural var. Üstelik antiderivatifler tablosuyla çalışmanın ayrılmaz bir parçasıdır. Şimdi bunu, az önce örnek olarak çalıştığımız ifadelerin aynısını kullanarak analiz edeceğiz.

Antitürev tablosuyla çalışma kuralları

Fonksiyonumuzu tekrar yazalım:

Önceki durumda, çözmek için aşağıdaki formülü kullandık:

\[(((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatöradı(lna))\]

Ama şimdi bunu biraz farklı yapalım: $((e)^(x))\to ((e)^(x))$'ın hangi temelde olduğunu hatırlayalım. Daha önce de söylediğim gibi, $((e)^(x))$ türevi $((e)^(x))$'dan başka bir şey olmadığından, bunun antitürevi aynı $((e) ^'ye eşit olacaktır. (x))$. Ancak sorun şu ki elimizde $((e)^(2x))$ ve $((e)^(-2x))$ var. Şimdi $((e)^(2x))$ denkleminin türevini bulmaya çalışalım:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Yapımımızı tekrar yazalım:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

Bu, $((e)^(2x))$ terstürevini bulduğumuzda aşağıdakileri elde ettiğimiz anlamına gelir:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x))))(2)\]

Gördüğünüz gibi, öncekiyle aynı sonucu elde ettik ancak $((a)^(x))$'ı bulmak için formülü kullanmadık. Şimdi bu aptalca görünebilir: Standart bir formül varken neden hesaplamaları karmaşıklaştıralım ki? Ancak biraz daha karmaşık ifadeler bu tekniğin çok etkili olduğunu göreceksiniz. Ters türevleri bulmak için türevleri kullanma.

Isınma olarak $((e)^(2x))$ ifadesinin terstürevini benzer şekilde bulalım:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Hesaplarken yapımız şu şekilde yazılacaktır:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x))))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Tam olarak aynı sonucu aldık, ancak farklı bir yol izledik. Artık bize biraz daha karmaşık görünen bu yol, gelecekte daha karmaşık antitürevlerin hesaplanmasında ve tabloların kullanılmasında daha etkili olacak.

Dikkat etmek! Bu çok önemli nokta: türevler gibi antiderivatifler de bir küme olarak düşünülebilir çeşitli şekillerde. Ancak tüm hesaplamalar ve hesaplamalar eşitse cevap aynı olacaktır. Bunu az önce $((e)^(-2x))$ örneğinde gördük - bir yandan bu antiderivatifi "doğrudan" tanımı kullanarak ve dönüşümleri kullanarak hesapladık, diğer yandan, $ ((e)^(-2x))$ öğesinin $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ olarak temsil edilebileceğini hatırladık ve ancak o zaman kullandık $( (a)^(x))$ fonksiyonunun terstürevi. Ancak tüm dönüşümlerden sonra sonuç beklendiği gibi aynıydı.

Artık tüm bunları anladığımıza göre daha önemli bir şeye geçmenin zamanı geldi. Şimdi iki basit yapıyı analiz edeceğiz, ancak bunları çözerken kullanılacak teknik, tablodaki komşu antitürevler arasında basitçe "koşmaktan" daha güçlü ve kullanışlı bir araçtır.

Problem çözme: bir fonksiyonun ters türevini bulma

Örnek #1

Paylardaki miktarı üç ayrı kesre ayıralım:

Bu oldukça doğal ve anlaşılır bir geçiştir - çoğu öğrencinin bununla ilgili sorunları yoktur. İfademizi şu şekilde yeniden yazalım:

Şimdi bu formülü hatırlayalım:

Bizim durumumuzda aşağıdakileri elde edeceğiz:

Tüm bu üç katlı kesirlerden kurtulmak için aşağıdakileri yapmanızı öneririm:

Örnek No.2

Önceki kesirden farklı olarak payda bir çarpım değil toplamdır. Bu durumda kesirimizi artık birkaç sayının toplamına bölemeyiz. basit kesirler, ancak bir şekilde payın paydayla yaklaşık olarak aynı ifadeyi içerdiğinden emin olmanız gerekir. İÇİNDE bu durumda bunu yapmak oldukça basit:

Matematik dilinde “sıfır eklemek” olarak adlandırılan bu gösterim, kesri tekrar iki parçaya bölmemizi sağlayacaktır:

Şimdi aradığımız şeyi bulalım:

Bütün hesaplamalar bu kadar. Görünürde daha karmaşık olmasına rağmen önceki görev, hesaplama miktarının daha da küçük olduğu ortaya çıktı.

Çözümün nüansları

Tablosal antiderivatiflerle çalışmanın asıl zorluğu da burada yatıyor, bu özellikle ikinci görevde fark ediliyor. Gerçek şu ki, tablo aracılığıyla kolayca hesaplanabilen bazı unsurları seçmek için tam olarak ne aradığımızı bilmemiz gerekiyor ve antitürev hesaplamasının tamamı bu unsurların araştırılmasından oluşuyor.

Başka bir deyişle, sadece antitürev tablosunu ezberlemek yeterli değildir - henüz var olmayan bir şeyi görebilmeniz gerekir, aynı zamanda bu sorunun yazarının ve derleyicisinin ne anlama geldiğini de görebilmeniz gerekir. Bu nedenle birçok matematikçi, öğretmen ve profesör sürekli şunu tartışıyor: "Ters türev veya integral almak nedir - bu sadece bir araç mı yoksa gerçek bir sanat mı?" Aslında benim kişisel görüşüme göre entegrasyon bir sanat değildir; bunda yüce bir şey yoktur, sadece pratiktir ve daha fazla pratiktir. Ve pratik yapmak için üç ciddi örneği daha çözelim.

Uygulamalı entegrasyon konusunda eğitim veriyoruz

Görev No.1

Aşağıdaki formülleri yazalım:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1))))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Aşağıdakileri yazalım:

Sorun No. 2

Bunu şu şekilde yeniden yazalım:

Toplam antiderivatif şuna eşit olacaktır:

Sorun No. 3

Bu görevin zorluğu, yukarıdaki önceki işlevlerden farklı olarak hiçbir $x$ değişkeninin bulunmamasıdır; En azından aşağıdakine benzer bir şey elde etmek için ne ekleyeceğimiz veya çıkaracağımız bizim için açık değil. Ancak aslında bu ifadenin önceki yapılardan herhangi bir ifadeden daha basit olduğu düşünülmektedir çünkü bu fonksiyon aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Şimdi şunu sorabilirsiniz: Bu işlevler neden eşit? Kontrol edelim:

Tekrar yazalım:

İfademizi biraz değiştirelim:

Ve tüm bunları öğrencilerime anlattığımda hemen hemen her zaman aynı sorun ortaya çıkıyor: ilk fonksiyonda her şey az çok net, ikincisinde de şans ya da pratikle bunu çözebilirsiniz, ama ne tür bir alternatif bilinç kullanıyorsunuz? Üçüncü örneği çözmek için sahip olmamız gerekiyor mu? Aslında korkmayın. Son antiderivatifi hesaplarken kullandığımız tekniğe “bir fonksiyonun en basitine ayrıştırılması” denir ve bu çok ciddi bir tekniktir ve buna ayrı bir video dersi ayrılacaktır.

Bu arada, az önce incelediğimiz konuya, yani üstel fonksiyonlara dönmeyi ve sorunları içerikleriyle biraz karmaşıklaştırmayı öneriyorum.

Ters türevli üstel fonksiyonları çözmek için daha karmaşık problemler

Görev No.1

Şunu not edelim:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Bu ifadenin ters türevini bulmak için standart formülü kullanmanız yeterlidir - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Bizim durumumuzda ters türev şu şekilde olacaktır:

Tabii az önce çözdüğümüz tasarımla karşılaştırıldığında bu daha basit görünüyor.

Sorun No. 2

Yine, bu fonksiyonun iki ayrı terime, yani iki ayrı kesire kolayca bölünebileceğini görmek kolaydır. Tekrar yazalım:

Yukarıda açıklanan formülü kullanarak bu terimlerin her birinin ters türevini bulmaya devam ediyoruz:

Görünen büyük karmaşıklığa rağmen üstel fonksiyonlar Güçlü olanlarla karşılaştırıldığında, genel hesaplama ve hesaplama hacminin çok daha basit olduğu ortaya çıktı.

Tabii ki için bilgili öğrenciler Az önce tartıştığımız şeyler (özellikle şu ana kadar tartıştıklarımızın arka planında) temel ifadeler gibi görünebilir. Ancak bugünkü video dersi için bu iki problemi seçerken kendime başka bir karmaşık ve karmaşık teknik anlatma hedefi koymadım - size göstermek istediğim tek şey, orijinal fonksiyonları dönüştürmek için standart cebir tekniklerini kullanmaktan korkmamanız gerektiğidir. .

"Gizli" bir teknik kullanmak

Sonuç olarak, bir yandan bugün esas olarak tartıştığımızın ötesine geçen, diğer yandan ise öncelikle hiç de karmaşık olmayan başka bir ilginç tekniğe bakmak istiyorum. Yeni başlayan öğrenciler bile bu konuda ustalaşabilir ve ikincisi, her türlü test ve testte sıklıkla bulunur. bağımsız çalışma yani Antitürev tablosu bilgisine ek olarak bunun bilgisi de çok faydalı olacaktır.

Görev No.1

Açıkçası, güç fonksiyonuna çok benzer bir şeye sahibiz. Bu durumda ne yapmalıyız? Bir düşünelim: $x-5$, $x$'dan çok da farklı değil - sadece $-5$ eklediler. Bunu şu şekilde yazalım:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

$((\left(x-5 \right))^(5))$'ın türevini bulmaya çalışalım:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Bundan şu sonuç çıkıyor:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5))))(5) \ sağ))^(\prime ))\]

Tabloda böyle bir değer bulunmadığından bu formülü kendimiz türettik. standart formül için antiderivatif güç fonksiyonu. Cevabı şu şekilde yazalım:

Sorun No. 2

İlk çözüme bakan birçok öğrenci her şeyin çok basit olduğunu düşünebilir: kuvvet fonksiyonundaki $x$'ı doğrusal bir ifadeyle değiştirin, her şey yerli yerine oturacaktır. Ne yazık ki her şey o kadar basit değil ve şimdi bunu göreceğiz.

İlk ifadeye benzetilerek aşağıdakileri yazıyoruz:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Türevimize dönersek şunu yazabiliriz:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\sol(4-3x \sağ))^(9))=((\left(\frac(((\sol(4-3x \sağ))^(10))))(-30) \sağ))^(\prime ))\]

Bu hemen aşağıdaki gibidir:

Çözümün nüansları

Lütfen unutmayın: Geçen sefer esasen hiçbir şey değişmediyse, ikinci durumda $-10$ yerine $-30$ belirdi. $-10$ ile $-30$ arasındaki fark nedir? Açıkçası, $-3$ faktörüyle. Soru: Nereden geldi? Yakından bakarsanız, bunun karmaşık bir fonksiyonun türevinin hesaplanması sonucunda alındığını görebilirsiniz - $x$'da bulunan katsayı aşağıdaki antiderivatifte görünmektedir. Bu çok önemli kural Başlangıçta bugünkü video eğitiminde bunu hiç tartışmayı planlamamıştım, ancak o olmasaydı tablo halinde antitürevlerin sunumu eksik olurdu.

O halde tekrar yapalım. Ana güç fonksiyonumuz olsun:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1))))(n+1)\]

Şimdi $x$ yerine $kx+b$ ifadesini koyalım. O zaman ne olacak? Aşağıdakileri bulmamız gerekiyor:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))))(\left(n+ 1) \sağ)\cdot k)\]

Bunu neye dayanarak iddia ediyoruz? Çok basit. Yukarıda yazılan yapının türevini bulalım:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

Bu, başlangıçta var olan ifadenin aynısıdır. Dolayısıyla bu formül de doğrudur ve antiderivatifler tablosunu tamamlamak için kullanılabilir veya tablonun tamamını ezberlemek daha iyidir.

“Gizli: teknik”ten sonuçlar:

• Az önce incelediğimiz her iki fonksiyon da dereceleri genişleterek aslında tabloda belirtilen antiderivatiflere indirgenebilir, ancak dördüncü dereceyle az çok bir şekilde baş edebilirsek o zaman dokuzuncu dereceyi cesaret bile edemezdim. ortaya çıkarmak.
• Eğer güçleri genişletseydik öyle bir hesaplama hacmi elde ederdik ki basit görev bizden yetersiz miktarda borç alırdı büyük sayı zaman.
• Bu nedenle doğrusal ifadeler içeren bu tür problemlerin “baştan sona” çözülmesine gerek yoktur. Tablodakinden yalnızca içindeki $kx+b$ ifadesinin varlığıyla farklı olan bir antiderivatifle karşılaştığınızda, hemen yukarıda yazılan formülü hatırlayın, onu tablonuzun antiderivatifine koyun ve her şey çok daha iyi sonuçlanacaktır. daha hızlı ve daha kolay.

Doğal olarak, bu tekniğin karmaşıklığı ve ciddiyeti nedeniyle, gelecekteki video derslerimizde bu konuya birçok kez döneceğiz, ancak bugünlük bu kadar. Bu dersin antitürevleri ve integrali anlamak isteyen öğrencilere gerçekten yardımcı olacağını umuyorum.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Bir ters türev fonksiyonu. Bir fonksiyonun grafiği"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
"10 ve 11. sınıflar için uzayda inşa etmeye yönelik etkileşimli görevler"

Antiderivatif fonksiyon. giriiş

Şimdi şu probleme bakalım: “Düz bir çizgide hareket eden bir nesnenin hızı $V=gt$ formülüyle açıklanmaktadır. Hareket yasasını yeniden oluşturmamız gerekiyor.
Çözüm.
Formülü iyi biliyoruz: $S"=v(t)$, burada S hareket yasasıdır.
Görevimiz, türevi $gt$'a eşit olan $S=S(t)$ fonksiyonunu bulmaktır. Dikkatli baktığınızda $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$ olduğunu tahmin edebilirsiniz.
Bu problemin çözümünün doğruluğunu kontrol edelim: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Fonksiyonun türevini bilerek fonksiyonun kendisini bulduk yani ters işlemi gerçekleştirdik.
Ancak bu ana dikkat etmeye değer. Sorunumuzun çözümü açıklama gerektiriyor; bulunan fonksiyona herhangi bir sayı (sabit) eklersek türevin değeri değişmeyecektir: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=sabit$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Arkadaşlar lütfen şunu unutmayın: bizim görevimiz sonsuz kümeçözümler!
Eğer problem bir başlangıç ​​ya da başka bir koşul belirtmiyorsa, çözüme bir sabit eklemeyi unutmayın. Örneğin görevimiz hareketin en başında vücudumuzun konumunu belirleyebilir. O halde sabiti hesaplamak zor değildir; ortaya çıkan denklemde sıfırı yerine koyarak sabitin değerini elde ederiz.

Bu operasyona ne denir?
Farklılaşmanın ters işlemine entegrasyon denir.
Belirli bir türevden bir fonksiyon bulma - entegrasyon.
Fonksiyonun kendisine antiderivatif, yani fonksiyonun türevinin elde edildiği görüntü adı verilecektir.
Ters türevi yazmak gelenekseldir büyük harf$y=F"(x)=f(x)$.

Tanım. $y=F(x)$ fonksiyonu çağrılır antiderivatif fonksiyon Herhangi bir $хϵХ$ için $F’(x)=f(x)$ eşitliği sağlanıyorsa, X aralığında $у=f(x)$.

Antitürevlerden oluşan bir tablo oluşturalım çeşitli işlevler. Hatırlatma amaçlı olarak çıktısı alınmalı ve ezberlenmelidir.

Bizim masamızda hiçbiri yok başlangıç ​​koşulları sorulmadı. Bu, tablonun sağ tarafındaki her ifadeye bir sabitin eklenmesi gerektiği anlamına gelir. Bu kuralı daha sonra açıklayacağız.

Antiderivatif bulma kuralları

Kural 1. Bir toplamın terstürevi, antiderivatiflerin toplamına eşittir. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Örnek.
$y=4x^3+cos(x)$ fonksiyonunun terstürevini bulun.
Çözüm.
Toplamın ters türevi, ters türevlerin toplamına eşitse, sunulan fonksiyonların her biri için ters türevi bulmamız gerekir.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
O zaman orijinal fonksiyonun ters türevi şöyle olacaktır: $y=x^4+sin(x)$ veya $y=x^4+sin(x)+C$ biçimindeki herhangi bir fonksiyon.

Kural 2. Eğer $F(x)$, $f(x)$ için bir ters türev ise, o zaman $k*F(x)$, $k*f(x)$ fonksiyonu için bir ters türevdir.(Katsayıyı kolaylıkla fonksiyon olarak alabiliriz).

Örnek.
Fonksiyonların antiderivatiflerini bulun:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Çözüm.
a) $sin(x)$'ın terstürevi eksi $cos(x)$'dır. O zaman orijinal fonksiyonun terstürevi şu şekli alacaktır: $y=-8cos(x)$.

B) $cos(x)$'ın terstürevi $sin(x)$'dır. O zaman orijinal fonksiyonun terstürevi şu biçimi alacaktır: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) $x^2$'ın terstürevi $\frac(x^3)(3)$'dır. X'in terstürevi $\frac(x^2)(2)$'dır. 1'in terstürevi x'tir. O zaman orijinal fonksiyonun terstürevi şu formu alacaktır: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Kural 3. Eğer $у=F(x)$ $y=f(x)$ fonksiyonunun ters türevi ise, o zaman $y=f(kx+m)$ fonksiyonunun ters türevi $y=\frac(1 fonksiyonudur) )(k)* F(kx+m)$.

Örnek.
Aşağıdaki fonksiyonların ters türevlerini bulun:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Çözüm.
a) $cos(x)$'ın ters türevi $sin(x)$'dır. O zaman $y=cos(7x)$ fonksiyonunun terstürevi $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$ fonksiyonu olacaktır.

B) $sin(x)$'ın terstürevi eksi $cos(x)$'dır. O halde $y=sin(\frac(x)(2))$ fonksiyonunun terstürevi, $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) fonksiyonu olacaktır. )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) $x^3$'ın ters türevi $\frac(x^4)(4)$'dır, bu durumda orijinal fonksiyonun ters türevi $y=-\frac(1)(2)*\frac(((-) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) İfadeyi $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$ üssüne göre biraz basitleştirin.
Üstel bir fonksiyonun terstürevi üstel fonksiyonun kendisidir. Orijinal fonksiyonun ters türevi $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac olacaktır. (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Teorem. Eğer $y=F(x)$, X aralığındaki $y=f(x)$ fonksiyonunun bir ters türevi ise, o zaman $y=f(x)$ fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi vardır ve bunların hepsi $y=F( x)+С$ şeklindedir.

Yukarıda ele alınan tüm örneklerde tüm antiderivatiflerin kümesini bulmak gerekliyse, o zaman C sabiti her yere eklenmelidir.
$y=cos(7x)$ fonksiyonu için tüm antiderivatifler şu biçimdedir: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
$y=(-2x+3)^3$ fonksiyonu için tüm antiderivatifler şu biçimdedir: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Örnek.
İle verilen yasa Bir cismin hızının zaman içinde değişmesi $v=-3sin(4t)$ hareket yasasını bulun $S=S(t)$, eğer başlangıç ​​anı Vücudun koordinatı 1,75'e eşit olduğunda.
Çözüm.
$v=S’(t)$ olduğundan, belirli bir hızın terstürevini bulmamız gerekiyor.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Bu problemde verilen ek koşul- zamanın başlangıç ​​anı. Bu $t=0$ anlamına gelir.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Daha sonra hareket yasası şu formülle tanımlanır: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

Terstürev

Antiderivatif fonksiyonun tanımı

• İşlev y=F(x) fonksiyonun antiderivatifi denir y=f(x) belirli bir aralıkta X, eğer herkes için X ∈X eşitlik geçerlidir: F'(x) = f(x)

İki şekilde okunabilir:

1. F bir fonksiyonun türevi F
2. F bir fonksiyonun antiderivatifi F

Antiderivatiflerin özelliği

• Eğer F(x)- bir fonksiyonun antiderivatifi f(x) belirli bir aralıkta, f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda antiderivatifi vardır ve tüm bu antiderivatifler şu şekilde yazılabilir: F(x) + C burada C keyfi bir sabittir.

Geometrik yorumlama

• Belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin grafikleri f(x) herhangi bir antiderivatifin grafiğinden elde edilir paralel transferler O ekseni boyunca en.

Antiderivatifleri hesaplama kuralları

1. Toplamın ters türevi, ters türevlerin toplamına eşittir. Eğer F(x)- için antiderivatif f(x) ve G(x) bunun için bir terstürevdir. g(x), O F(x) + G(x)- için antiderivatif f(x) + g(x).
2. Sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir. Eğer F(x)- için antiderivatif f(x), Ve k- sabit o zaman k·F(x)- için antiderivatif k f(x).
3. Eğer F(x)- için antiderivatif f(x), Ve k, b- sabit ve k ≠ 0, O 1/k F(kx + b)- için antiderivatif f(kx + b).

Hatırlamak!

Herhangi bir işlev F(x) = x 2 + C burada C isteğe bağlı bir sabittir ve yalnızca böyle bir fonksiyon, fonksiyonun ters türevidir f(x) = 2x.

• Örneğin:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,Çünkü F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,Çünkü F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Bir fonksiyonun grafikleri ile terstürevi arasındaki ilişki:

1. Bir fonksiyonun grafiği ise f(x)>0 F(x) bu aralıkta artar.
2. Bir fonksiyonun grafiği ise f(x)<0 aralıkta, ardından antiderivatifinin grafiği F(x) bu aralıkta azalır.
3. Eğer f(x)=0, daha sonra antiderivatifinin grafiği F(x) bu noktada artıştan azalmaya (veya tam tersi) doğru değişir.

Ters türevi belirtmek için belirsiz integralin işareti, yani entegrasyonun sınırlarını belirtmeden integral kullanılır.

Belirsiz integral

Tanım:

• f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali F(x) + C ifadesidir, yani belirli bir f(x) fonksiyonunun tüm antiderivatiflerinin kümesidir. Belirsiz integral şu ​​şekilde gösterilir: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- integral işlevi denir;
• f(x)dx- integrand denir;
• X- entegrasyon değişkeni denir;
• F(x)- f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri;
• İLE- keyfi sabit.

Belirsiz integralin özellikleri

1. Belirsiz integralin türevi integrale eşittir: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. İntegralin sabit faktörü integral işaretinden çıkarılabilir: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Fonksiyonların toplamının (farkının) integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına (farkına) eşittir: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Eğer k, b sabitler ve k ≠ 0 ise, o zaman \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Antiderivatifler ve belirsiz integraller tablosu

Newton-Leibniz formülü

İzin vermek f(x) bu fonksiyon F onun keyfi antiderivatifi.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Nerede F(x)- için antiderivatif f(x)

Yani fonksiyonun integrali f(x) bir aralıktaki noktalardaki antiderivatiflerin farkına eşittir B Ve A.

Kavisli bir yamuğun alanı

Eğrisel yamuk negatif olmayan ve bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şekildir F, Öküz ekseni ve düz çizgiler x = bir Ve x = b.

Kavisli bir yamuğun alanı Newton-Leibniz formülü kullanılarak bulunur:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx