Kare kavisli yamuk sayısal olarak belirli bir integrale eşit

Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştim. Şimdi bir şeyi daha belirtmenin zamanı geldi faydalı gerçek. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral düzlemde belirli bir eğriyi tanımlar (istenirse her zaman çizilebilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak alana eşit karşılık gelen kavisli yamuk.

Örnek 1

Bu tipik bir atama ifadesidir. İlk ve en önemli ançözümler - çizim. Ayrıca çizimin yapılması gerekir SAĞ.

Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Kavisli bir yamuktan çıkmayacağım, alanın ne olduğu burada belli hakkında konuşuyoruz. Çözüm şu şekilde devam ediyor:

Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Belirli integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. İÇİNDE bu durumdaÇizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki cevabı alırsak, tamamen açıktır: 20 birim kareler, o zaman bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücre açıkça söz konusu rakama uymuyor, en fazla bir düzine. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 2

Şeklin alanını hesaplayın, çizgilerle sınırlı, , ve eksen

Bu bir örnektir bağımsız karar. Eksiksiz çözüm ve dersin sonunda cevap.

Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında mı?

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli bir yamuk ise tamamen eksenin altında yer alır ise alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden belirli bir integrali herhangi bir değer olmadan çözmeniz istenirse geometrik anlamı, o zaman negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basitinden okul sorunları Daha anlamlı örneklere geçelim.

Örnek 4

Alanı bul düz şekil, çizgilerle sınırlanmıştır .

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının olduğu anlamına gelir üst sınır entegrasyon
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir.

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli grafikler için noktadan noktaya oluşturma tekniği yardımda ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Grafikler ve Özellikler temel işlevler . Yine de, analitik yöntemÖrneğin, grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyonun sınırlarını ortaya koymuyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik olarak" belirlendiğini tekrar ediyorum.

Ve şimdi çalışma formülü: Bir segmentte sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyon, daha sonra karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
Buna göre segmentte karşılık gelen formül:

Cevap:

Aslında okul formülü alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için (bakınız basit örnek No. 3) – özel durum formüller . Eksen denklemle belirtildiğinden ve fonksiyonun grafiği eksenin altında bulunduğundan, o zaman

Şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.

Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten... yanlış şeklin alanı bulundu, bu, mütevazi hizmetkarınızın birkaç kez işleri batırmasının aynısıydı. Burada gerçek durum hayattan:

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

İlk önce bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte dikkatsizlikten dolayı gölgeli bir şeklin alanını bulmanız gerektiği sıklıkla ortaya çıkar. yeşil!

Bu örnek aynı zamanda iki noktayı kullanarak bir şeklin alanını hesaplaması açısından da kullanışlıdır. belirli integraller. Gerçekten mi:

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Örnek 8

Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri “okul” formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım:

Çizimden üst limitimizin “iyi” olduğu açıkça görülüyor: .
Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, pekala ortaya çıkabilir... Veya kök. Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?

Bu gibi durumlarda harcamanız gerekir ekstra zaman ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirin.

Düz bir çizgi ile bir parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

Buradan, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele, ikamelerde ve işaretlerde kafanızın karışmamasıdır; buradaki hesaplamalar en basit değildir.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Şekillendirelim bu rakamçizim üzerinde.

Nokta nokta çizim çizmek için bilmeniz gerekenler dış görünüş sinüzoidler (ve genellikle bilmek faydalıdır) tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, bunlar da bulunabilir. trigonometrik tablo . Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.

Burada integralin sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan "x"in sıfırdan "pi"ye değişmesi koşulundan kaynaklanıyor. Bir karar daha verelim:

Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

(1) Derste sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlere nasıl entegre edildiğini görebilirsiniz. İntegraller trigonometrik fonksiyonlar . Bu tipik bir tekniktir, bir sinüsü sıkıştırırız.

(2) Temeli kullanın trigonometrik özdeşlik formda

(3) Değişkeni değiştirelim, sonra:

Yeni entegrasyon alanları:

Oyuncu değişikliği konusunda gerçekten kötü olan herkes lütfen ders alsın. Değiştirme yöntemi belirsiz integral . Belirli bir integralin yerine koyma algoritmasını tam olarak anlamayanlar için sayfayı ziyaret edin Belirli integral. Çözüm örnekleri.

Fonksiyonun negatif olmamasına ve aralıkta sürekli olmasına izin verin. Daha sonra, belirli bir integralin geometrik anlamına göre, yukarıda bu fonksiyonun grafiğiyle, aşağıda eksenle, solda ve sağda düz çizgilerle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı ve (bkz. Şekil 2) formülle hesaplanır

Örnek 9.Şeklin çizgi ve eksenle sınırlanan alanını bulun.

Çözüm. Fonksiyon grafiği dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Haydi inşa edelim (Şekil 3). İntegral sınırlarını belirlemek için çizginin (parabol) eksenle (düz çizgi) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklem sistemini çözüyoruz

Şunu elde ederiz: , Neresi , ; buradan, , .

Pirinç. 3

Şeklin alanını formül (5) kullanarak buluyoruz:

Fonksiyon pozitif değilse ve segment üzerinde sürekli ise, o zaman aşağıda bu fonksiyonun grafiğiyle, yukarıda eksenle, solda ve sağda düz çizgilerle sınırlanan eğrisel yamuğun alanı ve ile hesaplanır. formül

. (6)

İşlev segmentte sürekliyse ve değişiklik yapıyorsa oturum açın sonlu sayı noktalar, o zaman gölgeli şeklin alanı (Şekil 4) eşittir cebirsel toplam karşılık gelen belirli integraller:

Pirinç. 4

Örnek 10. Eksenin sınırladığı şeklin alanını ve fonksiyonun grafiğini hesaplayın.

Pirinç. 5

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 5). Gerekli alan, alanların toplamıdır ve . Bu alanların her birini bulalım. Öncelikle sistemi çözerek entegrasyonun sınırlarını belirliyoruz. , alıyoruz. Buradan:

;

Böylece gölgeli şeklin alanı

(birim kare).

Pirinç. 6

Son olarak, eğrisel yamuk, doğru parçası üzerinde sürekli olan fonksiyonların grafikleri ile yukarıdan ve aşağıdan sınırlansın ve ,
ve solda ve sağda – düz çizgiler ve (Şek. 6). Daha sonra alanı formülle hesaplanır.

. (8)

Örnek 11.Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.

Çözüm. Bu şekil Şekil 2'de gösterilmektedir. 7. Formül (8)'i kullanarak alanını hesaplayalım. Bulduğumuz denklem sisteminin çözümü; buradan, , . Sahip olduğumuz segmentte: . Bu, formül (8)'de şu şekilde aldığımız anlamına gelir: X ve kalite olarak – . Şunu elde ederiz:

(birim kare).

Daha karmaşık görevler Alanların hesaplanması, şeklin kesişmeyen parçalara bölünmesi ve tüm şeklin alanının bu parçaların alanlarının toplamı olarak hesaplanmasıyla çözülür.

Pirinç. 7

Örnek 12.Şeklin , , çizgileriyle sınırlanan alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 8). Bu şekil, aşağıdan eksenle, sola ve sağa - düz çizgilerle ve yukarıdan - fonksiyon grafikleriyle sınırlanan eğrisel bir yamuk olarak düşünülebilir. Şekil yukarıdan iki fonksiyonun grafikleriyle sınırlı olduğundan, alanını hesaplamak için bu düz çizgi şeklini iki parçaya bölüyoruz (1, ve çizgilerinin kesişme noktasının apsisidir). Bu parçaların her birinin alanı formül (4) kullanılarak bulunur:

(birim kare); (birim kare). Buradan:

(birim kare).

Pirinç. 8

X= j ( en)

Pirinç. 9

Sonuç olarak, eğrisel bir yamuğun düz çizgilerle sınırlı olması ve , eksen ve eğri üzerinde sürekli olması durumunda (Şekil 9), alanının formülle bulunduğunu not ediyoruz.

Dönen bir cismin hacmi

Bir parça üzerinde sürekli bir fonksiyonun grafiğiyle, bir eksenle, düz çizgilerle ve 1 ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun eksen etrafında dönmesine izin verin (Şekil 10). Daha sonra ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmi formülle hesaplanır.

. (9)

Örnek 13. Bir hiperbol, düz çizgiler ve eksenle sınırlanan eğrisel bir yamuğun ekseni etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 11).

Sorunun koşullarından şu sonuç çıkıyor: . Formül (9)'dan şunu elde ederiz:

Pirinç. 10

Pirinç. 11

Bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmi Ah düz çizgilerle sınırlanmış eğrisel yamuk y = c Ve y = d, eksen Ah ve bir segment üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiği (Şekil 12), formülle belirlenir

. (10)

X= j ( en)

Pirinç. 12

Örnek 14. Bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın Ahçizgilerle sınırlanmış eğrisel yamuk X 2 = 4en, y = 4, x = 0 (Şek. 13).

Çözüm. Problemin koşullarına uygun olarak integralin sınırlarını buluyoruz: , . Formül (10)'u kullanarak şunu elde ederiz:

Pirinç. 13

Bir düzlem eğrinin yay uzunluğu

Eğri olsun denklem tarafından verilen, burada , düzlemde yer alır (Şekil 14).

Pirinç. 14

Tanım. Bir yayın uzunluğu, kesikli çizginin bağlantılarının sayısı sonsuza doğru gittiğinde ve en büyük bağlantının uzunluğu sıfıra doğru yöneldiğinde, bu yayın içine yazılan bir kesikli çizginin uzunluğunun yöneldiği sınır olarak anlaşılmaktadır.

Bir fonksiyon ve onun türevi parça üzerinde sürekli ise, eğrinin yay uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:

. (11)

Örnek 15. noktaları arasında kalan eğrinin yay uzunluğunu hesaplayın. .

Çözüm. Sahip olduğumuz sorun koşullarından . Formül (11)'i kullanarak şunu elde ederiz:

4. Uygun olmayan integraller
İle sonsuz sınırlar entegrasyon

Belirli bir integral kavramı tanıtılırken aşağıdaki iki koşulun karşılandığı varsayılmıştır:

a) entegrasyon sınırları A ve sonludur;

b) integral aralıkta sınırlıdır.

Bu koşullardan en az biri sağlanmıyorsa integrale denir. senin değil.

İlk önce sonsuz integral limitli uygunsuz integralleri ele alalım.

Tanım. Fonksiyonun aralıkta tanımlı ve sürekli olmasına izin verin, o zaman sağda ise sınırsızdır (Şek. 15).

Eğer uygunsuz integral yakınsarsa bu alan sonludur; uygunsuz integral ıraksarsa bu alan sonsuzdur.

Pirinç. 15

Sonsuz alt limitli uygunsuz bir integral benzer şekilde tanımlanır:

. (13)

Bu integral, eşitliğin (13) sağ tarafındaki limitin mevcut olması ve sonlu olması durumunda yakınsar; aksi halde integralin ıraksak olduğu söylenir.

İki sonsuz integral sınırına sahip uygun olmayan bir integral şu şekilde tanımlanır:

, (14)

burada с aralığın herhangi bir noktasıdır. İntegral ancak eşitliğin (14) sağ tarafındaki her iki integralin yakınsaması durumunda yakınsar.

;

G) = [payda seçin mükemmel kare: ] = [yenisiyle değiştirme:

] =

Bu, uygunsuz integralin yakınsak olduğu ve değerinin eşit olduğu anlamına gelir.

Geri İleri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.

Anahtar kelimeler: integral, eğrisel yamuk, zambaklarla sınırlanan figürlerin alanı

Teçhizat: işaretleme panosu, bilgisayar, multimedya projektörü

Ders türü: ders-ders

Ders Hedefleri:

eğitici: bir zihinsel çalışma kültürü yaratmak, her öğrenci için bir başarı durumu yaratmak, öğrenme için olumlu motivasyon yaratmak; Başkalarını konuşma ve dinleme yeteneğini geliştirmek.
gelişmekte: Bilginin uygulanmasında öğrencinin bağımsız düşüncesinin oluşması farklı durumlar Analiz etme ve sonuç çıkarma yeteneği, mantığın gelişimi, doğru soru sorma ve onlara cevap bulma yeteneğinin geliştirilmesi. Hesaplamalı ve hesaplamalı becerilerin oluşumunu iyileştirmek, önerilen görevleri tamamlama sürecinde öğrencilerin düşünmesini geliştirmek, algoritmik bir kültür geliştirmek.
eğitici: Eğrisel yamuk ve integral hakkında kavramlar oluşturmak, düzlemsel şekillerin alanlarını hesaplama becerisinde uzmanlaşmak

Öğretim yöntemi: açıklayıcı ve açıklayıcı.

Ders ilerlemesi

Önceki derslerde sınırları çokgen çizgiler olan şekillerin alanlarını hesaplamayı öğrendik. Matematikte eğrilerle sınırlanan şekillerin alanlarını hesaplamanızı sağlayan yöntemler vardır. Bu tür şekillere eğrisel yamuklar denir ve alanları antiderivatifler kullanılarak hesaplanır.

Eğrisel yamuk ( slayt 1)

Eğri bir yamuk, bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şekildir ( sh.m.), dümdüz x = bir Ve x = b ve x ekseni

Çeşitli kavisli yamuk türleri ( slayt 2)

Düşünüyoruz çeşitli türler eğrisel yamuklar ve dikkat: düz çizgilerden biri bir noktaya kadar dejeneredir, sınırlayıcı fonksiyonun rolü düz çizgi tarafından oynanır

Kavisli bir yamuğun alanı (slayt 3)

Aralığın sol ucunu düzeltelim A, ve doğru olan X değişeceğiz, yani eğrisel yamuğun sağ duvarını hareket ettirip değişen bir şekil elde edeceğiz. Fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan değişken bir eğrisel yamuğun alanı bir antiderivatiftir F fonksiyon için F

Ve segmentte [ A; B] kavisli bir yamuğun alanı, fonksiyon tarafından oluşturulan F, bu fonksiyonun terstürevinin artışına eşittir:

Görev 1:

Fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını bulun: f(x) = x 2 ve düz y = 0, x = 1, x = 2.

Çözüm: ( algoritma slayt 3'e göre)

Fonksiyonun ve doğruların grafiğini çizelim

Hadi birini bulalım antiderivatif fonksiyonlar f(x) = x 2 :

Slayt kendi kendine testi

İntegral

Fonksiyon tarafından tanımlanan eğrisel bir yamuğu düşünün F segmentte [ A; B] Bu segmenti birkaç parçaya ayıralım. Tüm yamuğun alanı, daha küçük kavisli yamuğun alanlarının toplamına bölünecektir. ( slayt 5). Bu tür yamukların her biri yaklaşık olarak bir dikdörtgen olarak düşünülebilir. Bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı, kavisli yamuğun tüm alanı hakkında yaklaşık bir fikir verir. Segmenti ne kadar küçük bölersek [ A; B], alanı daha doğru hesaplarız.

Bu argümanları formüller halinde yazalım.

Segmenti böl [ A; B] noktalara göre n parçaya bölünür x 0 = a, x1,…, xn = b. Uzunluk k- bu ile belirtmek xk = xk – xk-1. Hadi bir toplam yapalım

Geometrik olarak bu toplam, şekilde gölgelenen şeklin alanını temsil eder ( shm.)

Formun toplamlarına fonksiyonun integral toplamları denir F. (sh.m.)

İntegral toplamları alanın yaklaşık değerini verir. Tam değer limite geçilerek elde edilir. Segmentin bölümünü iyileştirdiğimizi hayal edelim [ A; B] böylece tüm küçük bölümlerin uzunlukları sıfıra yönelir. Daha sonra oluşan şeklin alanı kavisli yamuğun alanına yaklaşacaktır. Kavisli bir yamuğun alanının integral toplamların sınırına eşit olduğunu söyleyebiliriz, Sc.t. (sh.m.) veya integral, yani,

Tanım:

Bir fonksiyonun integrali f(x) itibaren A ile B integral toplamların limiti denir

= (sh.m.)

Newton-Leibniz formülü.

İntegral toplamlarının limitinin eğrisel bir yamuğun alanına eşit olduğunu hatırlıyoruz, bu da şunu yazabileceğimiz anlamına geliyor:

Sc.t. = (sh.m.)

Öte yandan kavisli bir yamuğun alanı formülle hesaplanır.

S k.t. (sh.m.)

Bu formülleri karşılaştırarak şunu elde ederiz:

= (sh.m.)

Bu eşitliğe Newton-Leibniz formülü denir.

Hesaplama kolaylığı için formül şu şekilde yazılmıştır:

= = (sh.m.)

Görevler: (sh.m.)

1. Newton-Leibniz formülünü kullanarak integrali hesaplayın: ( 5. slaytı kontrol edin)

2. İntegralleri çizime göre oluşturun ( 6. slaytı kontrol edin)

3. Şeklin çizgileriyle sınırlanan alanını bulun: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slayt 7)

Düzlem şekillerin alanlarının bulunması ( slayt 8)

Kavisli yamuk olmayan şekillerin alanı nasıl bulunur?

Slaytta grafiklerini gördüğünüz iki fonksiyon verilsin . (sh.m.) Gölgeli şeklin alanını bulun . (sh.m.). Söz konusu figür kavisli bir yamuk mu? Alanın toplamlanabilirliği özelliğini kullanarak alanını nasıl bulabilirsiniz? İki kavisli yamuk düşünün ve diğerinin alanını bunlardan birinin alanından çıkarın ( sh.m.)

Bir slayttaki animasyonu kullanarak alanı bulmak için bir algoritma oluşturalım:

Grafik fonksiyonları
Grafiklerin kesişme noktalarını x eksenine yansıtın
Grafikler kesiştiğinde elde edilen şekli gölgeleyin
Kesişimi veya birleşimi verilen şekil olan eğrisel yamukları bulun.
Her birinin alanını hesaplayın
Alanların farkını veya toplamını bulun

Sözlü görev: Gölgeli bir şeklin alanının nasıl elde edileceği (animasyon kullanarak anlatın, slayt 8 ve 9)

Ev ödevi: No. 353 (a), No. 364 (a) notlarını inceleyin.

Referanslar

Cebir ve analizin başlangıcı: akşam (vardiya) okulunun 9-11. sınıfları için bir ders kitabı / ed. G.D. Glaser. - M: Aydınlanma, 1983.
Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ortaokulun 10-11. sınıfları için bir ders kitabı / Bashmakov M.I. - M: Aydınlanma, 1991.
Bashmakov M.I. Matematik: kurumlar için ders kitabı başlangıcı. ve Çarşamba prof. eğitim / M.I. Bashmakov. - M: Akademi, 2010.
Kolmogorov A.N. Cebir ve analizin başlangıcı: 10-11. Sınıflar için ders kitabı. eğitim kurumları / A.N. - M: Eğitim, 2010.
Ostrovsky S.L. Ders sunumu nasıl yapılır?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 Eylül 2010.

Belirli integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır

Uygulamalara geçelim integral hesabı. Bu derste tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. – bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integralin nasıl kullanılacağı. Sonunda anlam arıyorum yüksek matematik- onu bulabilirler mi? Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonları kullanarak bir yazlık arsaya yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecektir.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Belirsiz integrali en azından orta düzeyde anlayın. Bu nedenle aptallar önce dersi okumalı Olumsuz.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sayfadaki belirli integrallerle sıcak, dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Belirli integral. Çözüm örnekleri.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir, çok daha fazlası güncel sorunçizim konusundaki bilginiz ve becerileriniz olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemeniz ve en azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmeniz faydalıdır. Bu, kullanılarak yapılabilir (çoğu için gereklidir) metodolojik materyal ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine makaleler.

Aslında herkes belirli bir integral kullanarak alan bulma işine okuldan beri aşinadır ve biz de bundan daha ileri gitmeyeceğiz. okul müfredatı. Bu makale hiç mevcut olmayabilir, ancak gerçek şu ki sorun, bir öğrencinin nefret ettiği bir okuldan muzdarip olduğu ve yüksek matematik dersinde şevkle ustalaştığı 100 vakadan 99'unda ortaya çıkıyor.

Malzemeler bu çalıştayın basit, ayrıntılı ve minimum teoriyle sunulmuştur.

Kavisli bir yamukla başlayalım.

Eğrisel yamuk bir eksenle sınırlanmış düz bir şekil, düz çizgiler ve bu aralıkta işaret değiştirmeyen bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun grafiğidir. Bu rakamın bulunmasına izin verin daha düşük değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. sınıfta Belirli integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştim. Şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

Örnek 1

Bu tipik bir atama ifadesidir. Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir SAĞ.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra– paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktadan noktaya inşaat tekniği referans malzemesinde bulunabilir Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada ayrıca dersimiz için çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Kavisli yamuğu gölgelemeyeceğim; burada hangi alandan bahsettiğimiz belli oluyor. Çözüm şu şekilde devam ediyor:

Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Belirli integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak ki bu doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 2

Çizgiler ve eksenlerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında mı?

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli bir yamuk bulunuyorsa aksın altında(veya en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan basit bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli grafikler için noktadan noktaya oluşturma tekniği yardımda ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Ve şimdi çalışma formülü: Segment üzerinde sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar, ardından şeklin alanı, programlarla sınırlı Verilen fonksiyonlar ve düz çizgiler , aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3), formülün özel bir halidir . Eksen denklemle belirtildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, o zaman

Şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

...Eh, çizim berbat çıktı ama her şey okunaklı görünüyor.

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle sıklıkla bir şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanızı gerektiren bir "aksaklık" meydana gelir!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır. Gerçekten mi:

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Başka bir anlamlı göreve geçelim.

Örnek 8

Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.

Düz bir çizgi ile bir parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

,

Gerçekten mi, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele, ikamelerde ve işaretlerde kafanızın karışmamasıdır; buradaki hesaplamalar en basit değildir.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap:

Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Bu figürü çizimde tasvir edelim.

Lanet olsun, programı imzalamayı unuttum ve üzgünüm, resmi yeniden yapmak istemedim. Çizim günü değil kısacası bugün o gün =)

Nokta nokta inşaat için sinüzoidin görünümünü bilmek gerekir (ve genel olarak bilmek faydalıdır) tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, bunlar da bulunabilir. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.

Burada integralin sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan "x"in sıfırdan "pi"ye değişmesi koşulundan kaynaklanıyor. Bir karar daha verelim:

Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Kavisli bir yamuk ve şeklin alanı. Kavisli bir yamuğun alanını bulma

Kare kavisli yamuk sayısal olarak belirli bir integrale eşit

Belirli integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır