Üsttekinin bir fonksiyonu olarak belirli integral. Parçalara göre entegrasyon

Eserin henüz HTML versiyonu bulunmamaktadır.

Benzer belgeler

Gerekli ve yeterli koşul Belirli bir integralin varlığı. İki fonksiyonun cebirsel toplamının (farkının) belirli bir integralinin eşitliği. Ortalama değer teoremi – sonuç ve kanıt. Geometrik anlam kesin integral.

sunum, 18.09.2013 eklendi


İntegral toplam kavramının incelenmesi. Entegrasyonun üst ve alt sınırları. Belirli bir integralin özelliklerinin analizi. Ortalama değer teoreminin kanıtı. Belirli bir integralde değişken değişimi. İntegralin değişken üst sınırına göre türevi.

sunum, 04/11/2013 eklendi


Belirli integral kavramına ve temel özelliklerine giriş. [a, b] segmentindeki y=f(x) fonksiyonunun integral toplamını hesaplamak için formülün sunumu. İntegralin alt ve üst limitleri eşit olmak şartıyla integral sıfıra eşittir.

sunum, 18.09.2013 eklendi


Belirli integral kavramına yol açan problemler. Kesin integral integral toplamının limiti olarak. Belirli ve belirsiz integraller arasındaki ilişki. Newton-Leibniz formülü. Geometrik ve mekanik anlamda kesin integral.

özet, 30.10.2010 eklendi


Antik çağlarda entegrasyon yöntemleri. Antiderivatif fonksiyon kavramı. Ana teorem Integral hesabı. Belirsiz ve belirli integrallerin özellikleri ve hesaplama yöntemleri, keyfi sabitler. Temel fonksiyonların integral tablosu.

sunum, 09/11/2011 eklendi


Ters türev fonksiyonu kavramı, ters türev teoremi. Belirsiz integral, özellikleri ve tablosu. Belirli integral kavramı, geometrik anlamı ve temel özellikleri. Belirli bir integralin türevi ve Newton-Leibniz formülü.

kurs çalışması, 21.10.2011 eklendi


Yansıtıcı fonksiyonun kavramı ve özellikleri. Bir diferansiyel sistemin ilk integrali ve varoluş koşulları. Rahatsızlık koşulları diferansiyel sistemler zaman simetrilerini değiştirmez. Birinci integral ve eşdeğer sistemler arasındaki bağlantının belirlenmesi.

kurs çalışması, eklendi 21.08.2009


Çift, tek ve simetrik bağıl eksen fonksiyonlarının kavramı ve incelenmesi. Sabit işaret aralıkları kavramı. Dışbükeylik ve içbükeylik, bükülme noktaları. Dikey ve eğik asimptotlar. En az ve en yüksek değer Fonksiyonlar ve integraller.

pratik çalışma, eklendi 03/25/2011


Bir bağımsız değişkenin fonksiyonu. Limitlerin özellikleri. Türev ve diferansiyel fonksiyonlar, bunların problem çözümüne uygulanması. Antiderivatif kavramı. Newton-Leibniz formülü. Belirli integralin hesaplanması için yaklaşık yöntemler. Ortalama değer teoremi.

ders notları, eklendi: 23.10.2013


Genel kavram sayı dizisi. Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti. Sonsuz büyük ve küçük fonksiyon. Bir fonksiyon, limiti ve sonsuzluğu arasındaki bağlantı küçük fonksiyon. Sınırların varlığının işaretleri. Limitlerle ilgili temel teoremler: kısa açıklama.

Fonksiyona izin ver F(T) noktayı içeren bir aralıkta tanımlanmış ve süreklidir A. Daha sonra her sayı X bu aralıktan sayıyı eşleştirebilirsiniz ,

böylece aralıkta fonksiyon tanımlanır BEN(X), genellikle değişken bir üst limite sahip belirli bir integral olarak adlandırılır. Bu noktada şunu unutmayın x = bir bu fonksiyon sıfıra eşittir. Bu fonksiyonun bu noktada türevini hesaplayalım. X. Bunu yapmak için öncelikle fonksiyonun o noktadaki artışını düşünün. X D argümanını arttırırken X:

D BEN(X) = BEN(x+ D X) – BEN(X) =

.

Şekil 2'de gösterildiği gibi. 4, D artış formülündeki son integralin değeri BEN(X) tarama ile işaretlenmiş eğrisel yamuk alanına eşittir. Küçük D değerlerinde X(burada, bu dersin başka yerlerinde olduğu gibi, bir argümanın veya fonksiyonun küçük artışlarından bahsederken şunu kastediyoruz: mutlak değerler artışlar, artışların kendileri hem pozitif hem de negatif olabileceğinden), bu alan, şekilde çift tarama ile işaretlenmiş dikdörtgenin alanına yaklaşık olarak eşit olduğu ortaya çıkar. Bir dikdörtgenin alanı formülle verilir F(X)D X. Buradan ilişkiyi anlıyoruz

.

Son yaklaşık eşitlikte, yaklaşımın doğruluğu ne kadar yüksek olursa, D'nin değeri o kadar küçük olur. X.

Yukarıdakilerden fonksiyonun türevinin formülü takip eder BEN(X):

.

Belirli integralin x noktasındaki üst limite göre türevi, integralin x noktasındaki değerine eşittir. Bundan şu sonuç çıkıyor: fonksiyon fonksiyonun ters türevidir F(X) ve bu noktada yer alan böyle bir antiderivatif x = bir Anlam, sıfıra eşit. Bu gerçek, belirli integralin formda temsil edilmesini mümkün kılar.

. (1)

İzin vermek F(X) aynı zamanda fonksiyonun ters türevidir F(X), sonra ilgili teoreme göre Genel görünüm fonksiyonların tüm antiderivatifleri BEN(X) = F(X) + C, Nerede C- bir sayı değil. burada sağ kısım formül (1) şu formu alır

BEN(X) – BEN(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (2)

Değiştirildikten sonra formül (1) ve (2)'den X Açık B fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için formülü takip eder F(T) aralık boyunca [ A;B]:

,

buna genellikle formül denir Newton-Leibniz. Burada F(X)- herhangi fonksiyonun antiderivatifi F(X).

Fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için F(X) aralık boyunca [ A;B], bazı ters türev bulmanız gerekiyor F(X) işlevler F(X) ve noktalardaki antiderivatif değerleri arasındaki farkı hesaplayın B Ve A. Bu antiderivatif değerler arasındaki fark genellikle ᴛ.ᴇ sembolüyle gösterilir. .

Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrallerin hesaplanmasına örnekler verelim.

örnek 1. .

Belirli integralleri hesaplarken şunları kullanabilirsiniz: değişken değiştirme formülü:

.

Burada A Ve B sırasıyla denklemlerden belirlenir J(A) = A; J(B) = B ve işlevler F,J, j¢ uygun aralıklarla sürekli olmalıdır.

Örnek 2..

Bir değişiklik yapalım: ln x = t veya x = e t, o zaman eğer x = 1, o zaman t = 0 ve eğer x = e, O t = 1. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

.

Bununla birlikte, değişkenlerin değişimini kullanarak belirli bir integrali hesaplarken, önceki entegrasyon değişkenine dönmek çok önemli değildir. Sadece entegrasyonun yeni sınırlarını getirmek yeterlidir.

Fonksiyona izin ver F(T) noktayı içeren bir aralıkta tanımlanmış ve süreklidir A. Daha sonra her sayı X bu aralıktan sayıyı eşleştirebilirsiniz

BEN(X) = BEN(x+X) – BEN(X) =

Şekil 23'te görüldüğü gibi artış formülündeki son integralin değeri  BEN(X) alana eşittir kavisli yamuk, gölgelemeyle işaretlenmiştir. Küçük değerlerde  X(burada, bu dersin başka bir yerinde olduğu gibi, bir argümanın veya fonksiyonun küçük artışlarından bahsederken, artışların mutlak büyüklüklerini kastediyoruz, çünkü artışların kendileri pozitif ve negatif olabilir) bu alan yaklaşık olarak alana eşit olur. Şekilde işaretlenen dikdörtgenin çift taramalı kısmı. Bir dikdörtgenin alanı formülle verilir F(X)X. Buradan ilişkiyi anlıyoruz

.

Son yaklaşık eşitlikte, yaklaşımın doğruluğu ne kadar yüksek olursa  değeri o kadar küçük olur. X.

Yukarıdakilerden fonksiyonun türevinin formülü takip eder BEN(X):

.

Belirli integralin o noktadaki üst limite göre türeviX noktadaki integralin değerine eşitX. Bundan şu sonuç çıkıyor: fonksiyon
fonksiyonun ters türevidir F(X) ve bu noktada yer alan böyle bir antiderivatif x = bir değer sıfıra eşittir. Bu gerçek, belirli bir integralin formda temsil edilmesini mümkün kılar.

. (9)

İzin vermek F(X) aynı zamanda fonksiyonun ters türevidir F(X), daha sonra fonksiyonun tüm anti türevlerinin genel formuna ilişkin teorem ile BEN(X) = F(X) + C, Nerede C- belirli bir sayı. Bu durumda formülün (9) sağ tarafı şu şekli alır:

BEN(X) – BEN(A) = F(X) + C– (F(A) +C) = F(X) – F(A). (10)

Değiştirildikten sonra formül (9) ve (10)'dan X Açık B fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için formülü takip eder F(T) aralık boyunca [ A;B]:

,

buna formül denir Newton-Leibniz. Burada F(X)- bir fonksiyonun herhangi bir antitürevi F(X).

Bir fonksiyonun belirli integralini hesaplamak için F(X) aralık boyunca [ A;B], bazı ters türev bulmanız gerekiyor F(X) işlevler F(X) ve noktalardaki antiderivatif değerlerindeki farkı hesaplayın B Ve A. Bu antiderivatif değerler arasındaki fark genellikle sembolle gösterilir. .

Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integrallerin hesaplanmasına örnekler verelim.

Örnekler. 1.
.

2.
.

Öncelikle fonksiyonun belirsiz integralini hesaplayalım. F(X) = xe X. Parçalara göre entegrasyon yöntemini kullanarak şunu elde ederiz:
. Bir antiderivatif fonksiyon olarak F(X) bir işlev seçin e X (X– 1) ve Newton-Leibniz formülünü uygulayın:

ben = e X (X – 1)= 1.

Belirli integralleri hesaplarken şunları kullanabilirsiniz: Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme formülü:

.

Burada  Ve  sırasıyla denklemlerden belirlenir  ( ) = A;  ( ) = B ve işlevler F,  ,  uygun aralıklarla sürekli olmalıdır.

Örnek:
.

Bir değişiklik yapalım: ln x = t veya x = e T, o zaman eğer x = 1, o zaman t = 0 ve eğer x = e, O t = 1. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

.

Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirirken orijinal integral değişkenine dönmenize gerek yoktur.

Değişken üst limitli integral. Belirli bir integralin değeri, entegrasyon değişkeninin hangi harfle gösterildiğine bağlı değildir: (bunu doğrulamak için integral toplamlarını yazmak yeterlidir; çakışırlar). Bu bölümde entegrasyon değişkeni harfle belirteceğiz T ve mektup X integralin üst sınırını gösterelim. İntegralin üst sınırının değişebileceğini varsayacağız, yani. Ne X - değişken, sonuç olarak integral bir fonksiyon olacaktır Ф( X ) onun üst sınır: . Eğer bunu kanıtlamak kolaydır F (T ) integrallenebilir ise Ф( X ) süreklidir ancak aşağıdaki temel teorem bizim için daha önemlidir:
Değişken üst limitli integral teoremi. Eğer fonksiyon F (T ) noktanın bir komşuluğunda süreklidir T = X , o zaman bu noktada Ф( fonksiyonu X ) diferansiyellenebilir ve .
Başka bir deyişle sürekli bir fonksiyonun belirli bir integralinin üst limite göre türevi, integralin bu limitteki değerine eşittir.
Belge. Üst limiti verelim X artış. Daha sonra , Nerede C - arada kalan bir nokta X ve (böyle bir noktanın varlığı ortalama değer teoremi ile belirtilir; eşittir işaretinin üzerindeki sayılar belirli integralin uygulanan özelliğinin sayısıdır). . Acele edelim. burada ( C - arasında bulunan bir nokta X Ve ). Çünkü F (T ) noktasında süreklidir T = X , O . Bu nedenle var , Ve . Teorem kanıtlandı.

İlkine dikkat edelim önemli sonuç bu teorem. Esasen, herhangi bir şeyi kanıtladık. sürekli fonksiyon F (X ) bir antiderivatife sahiptir ve bu antiderivatif aşağıdaki formülle belirlenir:

36. Newton-Leibniz formülü.

Eğer F (X ) aralıkta süreklidir [ A , B ], Ve F (X ) fonksiyonun bir terstürevi ise, o zaman .
Doktor. Fonksiyonun olduğunu tespit ettik. - süreklinin terstürevi F (X ). Çünkü F (X ) aynı zamanda ters türev ise Ф( X ) = F (X ) + C . Bu eşitliği yerine koyalım X = A . Çünkü , O . Eşitlik içinde değişkenleri yeniden tasarlayalım: entegrasyon değişkeni için T notasyona dönelim X , üst sınır X hadi belirtelim B . Nihayet, .
Newton-Leibniz formülünün sağ tarafındaki fark özel bir sembolle gösterilir: (burada "ikame" olarak okunur A önce B "), dolayısıyla Newton-Leibniz formülü genellikle şu şekilde yazılır: .

37. Parçalara göre integral ve belirli bir integralde değişkenin değişimi.

Eğer sen(X) Ve v(X) - [ aralığında tanımlanan iki fonksiyon A, B] ve orada sürekli türevler varsa, o zaman

Formül (24) Belirli integraller için parçalara göre entegrasyon formülü.

Kanıt çok basit. Kesinlikle,

Parçalara göre entegrasyon formülüne göre olacağından

o zaman burası (24)'ün takip ettiği yerdir.

İzin vermek F(zP, Q], A φ (X), aralıkta tanımlanan sürekli bir fonksiyondur [ A, B], burada sürekli bir türevi var φ "(X) ve eşitsizliğin sağlanması P ≤ φ (X) ≤ Q.

Bu durumda

Formül (22), belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme kuralını ifade eder. Bu, belirsiz bir integraldeki bir değişkeni değiştirme kuralına benzer, ancak formül (22) iki sabit sayının eşitliğini temsil ettiğinden eski değişkene dönmeye gerek olmaması bakımından ondan farklıdır. Ayrıca şunu da belirtelim ki, belirli integraller söz konusu olduğunda bu formül, belirsiz integrallerde her iki tür yerine koyma kuralının da yerine geçer; ancak pratikte uygularken bazen soldan sağa, bazen de sağdan sola okumak zorunda kalıyorsunuz.

Teoremin ispatına geçerek, formül (22)'nin sol ve sağ taraflarında yer alan integralleri sırasıyla şu şekilde belirtiriz: BEN aslan ve BEN Sağ

İzin vermek F(z) için bir antiderivatif fonksiyondur F(z). Daha sonra Newton-Leibniz formülüne göre/p>

BEN sağ = F[φ (B)] - F[φ (A)]. (23)

gelince BEN aslan o zaman

Ama teoreme göre öyle olacak

BEN aslan = F[φ (B)] - F[φ (A)].

Buradan ve (23)'ten şu sonuç çıkıyor BEN aslan = BEN Sağ

38. Çift, tek ve periyodik fonksiyonların integralleri.

Teori 1. f(x)'in [-a,a] aralığında integrallenebildiğini varsayalım. eşit işlev:

Bunu kanıtlamak için orijinal integrali iki integralin toplamı olarak sunalım:

İfade kanıtlandı.

Teori 2. f(x), [-a,a] aralığında integrallenebilen tek bir fonksiyon olsun:

Teorem benzer şekilde kanıtlanır:

λ'ya bağlı değildir. Özellikle,

Bu eşitliğin sağ tarafındaki ifadeden λ'ya göre türevi hesaplayalım:

Uygun olmayan integraller

Sonsuz entegrasyon sınırına sahip uygun olmayan integral

Bazen böyle uygunsuz bir integrale aynı zamanda denir. birinci türden uygunsuz integral. Genel olarak, sonsuz limitli uygunsuz bir integral çoğunlukla şuna benzer: . Belirli bir integralden farkı nedir? Üst sınırda. Sonsuzdur: .

Daha az yaygın olanı ise sonsuz alt limiti veya iki değeri olan integrallerdir. sonsuz sınırlar: .

En popüler durumu ele alacağız. Diğer çeşitlerle çalışma tekniği benzerdir ve paragrafın sonunda bu tür örneklere bir bağlantı verilecektir.

Uygun olmayan bir integral her zaman var mıdır? Hayır, her zaman değil. İntegral aralıkta sürekli olmalıdır.

Yardım: kesin olarak ifade etmek gerekirse, ifade yanlıştır: eğer fonksiyonda süreksizlikler varsa, bazı durumlarda yarım aralığı birkaç parçaya bölmek ve birkaç uygunsuz integral hesaplamak mümkündür. Basitlik açısından bundan sonra uygun olmayan bir integralin mevcut olmadığını söyleyeceğim.

İntegral fonksiyonunun grafiğini çizimde gösterelim. Tipik grafik ve kavisli yamuk bu durumöyle görünüyor:

Burada her şey yolundadır, integral yarım aralıkta süreklidir ve dolayısıyla uygunsuz integral mevcuttur. Kavisli yamuğumuzun olduğunu lütfen unutmayın. sonsuz(sağla sınırlı değildir) rakamı.
Sayısal olarak uygun olmayan integral alana eşit gölgeli şekil, iki durum mümkündür:

1) İlk olarak aklıma gelen düşünce: “Şekil sonsuz olduğuna göre o zaman "Yani alan da sonsuzdur. Öyle olabilir. Bu durumda uygunsuz integralin ıraksadığını söylüyorlar.

2) Ama. Kulağa ne kadar paradoksal gelse de, sonsuz bir şeklin alanı sonlu bir sayıya eşit olabilir! Örneğin: . Bu doğru olabilir mi? Kolayca. İkinci durumda uygunsuz integral yakınsar.

Uygun olmayan bir integral hangi durumlarda ıraksar ve hangi durumlarda yakınsar? Bu integrale bağlıdır ve spesifik örneklerçok yakında inceleyeceğiz.

Eksenin altına sonsuz kavisli bir yamuk yerleştirilirse ne olur? Bu durumda uygunsuz integral (ıraksar) veya sonlu bir negatif sayıya eşittir.

Uygun olmayan bir integral negatif olabilir.

Önemli! Çözüm için size HERHANGİ bir uygunsuz integral önerildiğinde, genel olarak konuşursak, herhangi bir alandan bahsedilmez ve çizim yapmaya gerek kalmaz. Göreviniz SAYIYI bulmak veya uygunsuz integralin ıraksadığını kanıtlamaktır. Uygunsuz integralin geometrik anlamını sadece konunun anlaşılmasını kolaylaştırmak için açıkladım.

Uygun olmayan integral belirli integrale çok benzediğinden formülü hatırlayın. Newton-Leibniz: . Aslında formül şu durumlar için de geçerlidir: uygunsuz integraller, sadece biraz değiştirilmesi gerekiyor. Fark ne? İntegralin sonsuz üst sınırında: . Muhtemelen birçok kişi bunun zaten limitler teorisinin uygulanmasına benzediğini ve formülün şu şekilde yazılacağını tahmin etti: .

Bugünkü dersimizde belirli integrali incelemeye ve onu hesaplamak için bir formül elde etmeye devam edeceğiz. Daha sonra göreceğimiz gibi, belirli integral antiderivatifin artışına eşittir ve şunu temsil eder: sabit sayı, alana eşit eğrisel yamuk. Bu nedenle belirsiz integrali hesaplamak için kullanılan tüm yöntemler belirli integral için de geçerlidir.

Soru 1. Belirli integralin temel özellikleri

İntegral

a vakası için tanıtıldı< b. Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего.

Mülk 1. .

Bu formül, tüm Δx i = 0 olması koşuluyla (1)'den elde edilir.

Mülk 2. .

Bu formül, parçanın ters yönde (b'den a'ya) ilerlemesi koşuluyla (1)'den elde edilir; hepsi Δx ben< 0.

Özellik 3. (toplanabilirlik özelliği)

Eğer f(x) fonksiyonu bir aralıkta integrallenebiliyorsa ve< c < b, то

. (2)

Eşitlik (2), a, b ve c noktalarının herhangi bir konumu için geçerlidir (f(x) fonksiyonunun, sonuçtaki daha büyük parçalara entegre edilebileceğini varsayıyoruz).

Mülk 4.

Sabit çarpan belirli bir integralin işareti olarak çıkarılabilir, yani

,

burada k = sabit.

Mülk 5.

İki fonksiyonun cebirsel toplamının belirli integrali şuna eşittir: cebirsel toplam bu fonksiyonların integralleri, yani

.

Yorum

1. Özellik 5 herhangi bir tutar için geçerlidir sonlu sayışartlar.
2. Özellikler 4 ve 5 birlikte şunu temsil eder: doğrusallık özelliği kesin integral.

Soru 2. İntegralin tahminleri. Ortalama değer teoremi

1. Eğer f(x) fonksiyonu aralığın her yerinde ≥ 0 ise, o zaman .

2. Eğer aralığın her yerinde f(x) ≥ g(x) ise, o zaman .

3. aralığında tanımlanan bir f(x) fonksiyonu için eşitsizlik geçerlidir .

Özellikle aralığın her yerindeyse o zaman Ve .

4. Eğer m ve M sırasıyla f(x) fonksiyonunun segment üzerindeki en küçük ve en büyük değerleri ise, o zaman .

T.2.1. (ortalama değer teoremi))

Eğer f(x) fonksiyonu doğru parçası üzerinde sürekli ise, o zaman bu parça üzerinde öyle bir c noktası vardır ki,

. (3)

Eşitlik (3) denir ortalama değer formülü ve f(c) değeri çağrılır fonksiyonun ortalama değeri f(x) doğru parçası üzerinde.

Soru 3. Üst limitin fonksiyonu olarak belirli integral

Eğer y = f(x) fonksiyonu aralıkta integrallenebilirse, o zaman daha küçük herhangi bir aralıkta da integrallenebilir, yani "xО için bir integral var

Limit ve entegrasyon değişkeninin tanımlarını karıştırmamak için entegrasyon değişkenini t ile gösteriyoruz. Daha sonra integral (4) şu şekilde yazılacaktır. Bu integralin değeri x üst sınırının bir fonksiyonudur ve Ф(x) ile gösterilir:

. (5)

Ф(х) fonksiyonu çağrılır değişken üst limitli integral.

F(х) fonksiyonunun bazı özelliklerini ele alalım.

T.3.1.(Ф(х) fonksiyonunun sürekliliği)

Eğer f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli ise, o zaman Ф(x) fonksiyonu da aralıkta sürekli olacaktır.

T.3.2 (Ф(х) fonksiyonunun farklılaşması)

Eğer f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli ise, o zaman Ф(x) fonksiyonu herhangi bir noktada türevlenebilirdir. iç nokta bu segmentin x'i ve eşitlik doğrudur

.

Sonuçlar

Eğer f(x) fonksiyonu aralıkta sürekli ise, o zaman bu fonksiyon için bir terstürev vardır. bu bölüm ve Ф(x) fonksiyonu - değişken üst limitli bir integral - f(x) fonksiyonunun ters türevidir.

f(x) fonksiyonunun diğer tüm antiderivatifleri Ф(x)'ten yalnızca sabit bir terim kadar farklı olduğundan, şunu söyleyebiliriz: