Çıkarılamayan bir sayının kökü nasıl çıkarılır? Bir sayının karekökü manuel olarak nasıl bulunur?

Bibliyografik açıklama: Pryastanov S.M., Lysogorova L.V. Ekstraksiyon yöntemleri karekök// Genç bilim adamı. 2017. Sayı 2.2. S. 76-77..02.2019).



Anahtar Kelimeler : karekök, karekök çıkarma.

Matematik derslerinde karekök kavramıyla ve karekök çıkarma işlemiyle tanıştım. Karekök çıkarmanın yalnızca kareler tablosu veya hesap makinesi kullanılarak mümkün olup olmadığı veya bunu manuel olarak çıkarmanın bir yolu olup olmadığıyla ilgilenmeye başladım. Birkaç yol buldum: formül Antik Babil, denklemleri çözerek, atma yöntemini tam kare, Newton'un yöntemi, geometrik yöntem, grafik yöntemi(, ), tahmin yoluyla seçme yöntemi, tek sayıların çıkarılması yöntemi.

Aşağıdaki yöntemleri göz önünde bulundurun:

Haydi parçalara ayıralım asal faktörler 27225=5*5*3*3*11*11 bölünebilme kriterini kullanarak. Böylece

1. İLE Kanada yöntemi. Bu hızlı yöntem 20. yüzyılda Kanada'nın önde gelen üniversitelerinden birinde çalışan genç bilim adamları tarafından keşfedildi. Doğruluğu iki ila üç ondalık basamağı geçmez.

burada x kökün çıkarılması gereken sayıdır, c en yakın karenin sayısıdır), örneğin:

=5,92

1. Bir sütunda. Bu yöntem herhangi bir sayının kökünün yaklaşık değerini bulmanızı sağlar. gerçek sayıönceden belirlenmiş herhangi bir doğrulukla. Bu yöntemin dezavantajları arasında bulunan basamak sayısı arttıkça hesaplamanın karmaşıklığının artması yer alır. Kökü manuel olarak çıkarmak için uzun bölmeye benzer bir gösterim kullanılır

Karekök Algoritması

1. Kesirli kısmı ve tamsayı kısmını virgülden ayrı ayrı bölüyoruz iki hanenin eşiğinde her yüzünde ( öpücük kısım - sağdan sola; kesirli- soldan sağa). Tamsayı kısmının bir rakam içermesi ve kesirli kısmın sıfır içermesi mümkündür.

2. Çıkarma soldan sağa doğru başlar ve karesi ilk yüzdeki sayıyı aşmayan bir sayı seçeriz. Bu sayının karesini alıp ilk taraftaki sayının altına yazıyoruz.

3. İlk yüzdeki sayı ile seçilen ilk sayının karesi arasındaki farkı bulun.

4. Ortaya çıkan farka bir sonraki kenarı ekliyoruz, ortaya çıkan sayı şu olacak: bölünebilir. Haydi eğitelim bölücü. Cevabın ilk seçilen basamağını ikiye katlıyoruz (2 ile çarpıyoruz), bölenin onlarca sayısını alıyoruz ve birim sayısı, tüm bölenin çarpımı temettüyü aşmayacak şekilde olmalıdır. Seçilen sayıyı cevap olarak yazıyoruz.

5. Ortaya çıkan farkın bir sonraki kenarını alıp algoritmaya göre işlemleri gerçekleştiriyoruz. Bu yüzün kesirli bir kısmın yüzü olduğu ortaya çıkarsa cevaba virgül koyarız. (Şekil 1.)

Bu yöntemi kullanarak, örneğin binde bire kadar farklı hassasiyetlerdeki sayıları çıkarabilirsiniz. (Şekil 2)

Düşünülüyor çeşitli yollar karekökü çıkararak şu sonuca varabiliriz: her özel durumda, çözmeye daha az zaman harcamak için en etkili olanın seçimine karar vermeniz gerekir

Edebiyat:

1. Kiselev A. Cebir ve analizin unsurları. Birinci bölüm.-M.-1928

Anahtar kelimeler: karekök, karekök.

Dipnot: Makalede karekök çıkarma yöntemleri açıklanmakta ve kök çıkarma örnekleri verilmektedir.

Matematikte bir kökün nasıl çıkarılacağı sorusu nispeten basit kabul edilir. Doğal serideki sayıların karesini alırsak: 1, 2, 3, 4, 5...n, o zaman şu kareler serisini elde ederiz: 1, 4, 9, 16...n 2. Kareler dizisi sonsuzdur ve eğer ona yakından bakarsanız içinde çok fazla tam sayı olmadığını göreceksiniz. Bunun neden böyle olduğu biraz sonra açıklanacak.

Bir sayının kökü: hesaplama kuralları ve örnekler

Yani 2 sayısının karesini aldık yani kendisiyle çarptık ve 4 elde ettik. 4 sayısının kökü nasıl çıkarılır? Hemen köklerin kare, kübik ve herhangi bir dereceden sonsuza kadar olabileceğini söyleyelim.

Kök derecesi – her zaman doğal sayı yani böyle bir denklemi çözmek imkansızdır: n'nin 3,6 kuvvetine ait bir kök.

Karekök

4'ün karekökünü nasıl çıkaracağımız sorusuna dönelim. 2 sayısının karesini aldığımıza göre karekökünü de çıkaracağız. 4'ün kökünü doğru bir şekilde çıkarmak için, karesi alındığında 4 sayısını verecek doğru sayıyı seçmeniz yeterlidir. Ve bu elbette 2'dir. Örneğe bakın:

• 2 2 =4
• 4'ün kökü = 2

Bu örnek oldukça basittir. 64'ün karekökünü çıkarmaya çalışalım. Hangi sayı kendisiyle çarpıldığında 64 verir? Açıkçası 8'di.

• 8 2 =64
• 64=8'in kökü

Küp kökü

Yukarıda da söylediğimiz gibi kökler sadece kare değil, nasıl çıkarılacağını bir örnekle daha net anlatmaya çalışacağız; küp kökü veya üçüncü kök. Küp kök çıkarma ilkesi karekök çıkarma ilkesiyle aynıdır, tek fark gerekli sayının başlangıçta kendisiyle bir değil iki kez çarpılmasıdır. Yani aşağıdaki örneği aldığımızı varsayalım:

• 3x3x3=27
• Doğal olarak 27'nin küp kökü üçtür:
• 27'nin kök 3'ü = 3

Diyelim ki 64'ün küpkökünü bulmanız gerekiyor. Bu denklemi çözmek için üçüncü kuvvetine yükseltildiğinde 64 verecek bir sayı bulmanız yeterli.

• 4 3 =64
• 64'ün kök 3'ü = 4

Hesap makinesinde bir sayının kökünü çıkarma

Elbette en iyisi kare, küp ve diğer kökleri çıkarmayı pratik yaparak, birçok örnek çözerek ve küçük sayıların kare ve küp tablolarını ezberleyerek öğrenmektir. Gelecekte bu, denklemleri çözmek için gereken süreyi büyük ölçüde kolaylaştıracak ve azaltacaktır. Bununla birlikte, bazen bu kadar büyük bir sayının kökünün çıkarılmasının gerekli olduğunu ve bulunmasının imkansız olduğunu da belirtmek gerekir. doğru numara, karesi, çok pahalıya mal olacak harika iş eğer mümkünse. Karekökün çıkarılmasında sıradan bir hesap makinesi kurtarmaya gelecektir. Hesap makinesinde kök nasıl çıkarılır? Sonucu bulmak istediğiniz sayıyı girmeniz çok basit. Şimdi hesap makinesi düğmelerine yakından bakın. En basitinin bile kök simgesi olan bir anahtarı vardır. Üzerine tıkladığınızda, bitmiş sonucu hemen alacaksınız.

Her sayı çıkarılamaz bütün kök, aşağıdaki örneği göz önünde bulundurun:

1859'un kökü = 43.116122…

Bu örneği aynı anda bir hesap makinesinde çözmeyi deneyebilirsiniz. Gördüğünüz gibi ortaya çıkan sayı bir tam sayı değildir; üstelik virgülden sonraki rakamlar da sonlu değildir. Daha doğru bir sonuç özel olarak verilebilir. mühendislik hesap makineleri ancak tam sonuç normal bir ekrana sığmıyor. Ve daha önce başladığınız kareler serisine devam ederseniz, 1859 sayısını tam olarak bulamazsınız çünkü onu elde etmek için karesi alınan sayı bir tam sayı değildir.

Basit bir hesap makinesinde üçüncü kökü çıkarmanız gerekiyorsa, kök işaretli düğmeye çift tıklamanız gerekir. Örneğin, yukarıda kullanılan 1859 sayısını alın ve bunun küp kökünü alın:

1859'un kök 3'ü = 6,5662867…

Yani 6,5662867... sayısının üçüncü üssüne yükseltilirse yaklaşık 1859 elde ederiz. Dolayısıyla sayılardan kök çıkarmak zor değil, sadece yukarıdaki algoritmaları hatırlamanız gerekiyor.

Karar verirken çeşitli görevler Matematik ve fizik derslerinde öğrenciler ve öğrenciler sıklıkla ikinci, üçüncü veya n'inci derecenin köklerini çıkarma ihtiyacıyla karşı karşıya kalırlar. Tabii ki yüzyılda Bilişim teknolojisi Hesap makinesi kullanarak bu sorunu çözmek zor olmayacaktır. Ancak elektronik asistanı kullanmanın imkansız olduğu durumlar ortaya çıkar.

Örneğin birçok sınav elektronik eşya getirmenize izin vermiyor. Ayrıca elinizde bir hesap makinesi olmayabilir. Bu gibi durumlarda radikalleri manuel olarak hesaplamak için en azından bazı yöntemleri bilmek faydalıdır.

Kökleri hesaplamanın en basit yollarından biri özel bir masa kullanmak. Nedir ve nasıl doğru şekilde kullanılır?

Tabloyu kullanarak 10'dan 99'a kadar herhangi bir sayının karesini bulabilirsiniz. Tablonun satırları onlarca değerlerini, sütunları ise birimlerin değerlerini içerir. Bir satır ve bir sütunun kesişimindeki hücrede bir kare bulunur çift ​​haneli sayı. 63'ün karesini hesaplamak için 6 değerinde bir satır ve 3 değerinde bir sütun bulmanız gerekiyor. Kavşakta 3969 numaralı bir hücre bulacağız.

Kökün çıkarılması kare almanın ters işlemi olduğundan, bu işlemi gerçekleştirmek için tam tersini yapmanız gerekir: önce radikalini hesaplamak istediğiniz sayının bulunduğu hücreyi bulun, ardından cevabı belirlemek için sütun ve satır değerlerini kullanın. . Örnek olarak 169'un karekökünü hesaplamayı düşünün.

Tabloda bu sayının olduğu bir hücre buluyoruz, yatayda onlar - 1'i, dikeyde ise birimler - 3'ü buluyoruz. Cevap: √169 = 13.

Benzer şekilde uygun tabloları kullanarak küp ve n'inci kökleri hesaplayabilirsiniz.

Yöntemin avantajı basitliği ve ek hesaplamaların olmamasıdır. Dezavantajları açıktır: Yöntem yalnızca sınırlı bir sayı aralığı için kullanılabilir (kökünün bulunduğu sayı 100 ila 9801 aralığında olmalıdır). Üstelik eğer işe yaramazsa verilen numara masada değil.

Asal çarpanlara ayırma

Kareler tablosu elinizde değilse veya onun yardımıyla kökü bulmanın imkansız olduğu ortaya çıktıysa, deneyebilirsiniz Kökün altındaki sayıyı asal çarpanlara ayırın. Asal faktörler, yalnızca kendilerine veya bire tamamen (kalansız) bölünebilen faktörlerdir. Örnekler 2, 3, 5, 7, 11, 13 vb. olabilir.

Örnek olarak √576'yı kullanarak kökü hesaplamaya bakalım. Bunu asal faktörlere ayıralım. Şu sonucu elde ederiz: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Köklerin temel özelliği olan √a² = a'yı kullanarak köklerden ve karelerden kurtulacağız ve ardından cevabı hesaplayacağız: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

Çarpanlardan herhangi birinin kendi çifti yoksa ne yapmalı? Örneğin √54 hesaplamasını düşünün. Çarpanlara ayırma işleminden sonra sonucu şu şekilde elde ederiz: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Çıkarılamayan kısım kök altında bırakılabilir. Çoğu geometri ve cebir problemi için bu, nihai cevap olarak sayılacaktır. Ancak yaklaşık değerleri hesaplamaya ihtiyaç varsa aşağıda tartışılacak yöntemleri kullanabilirsiniz.

Heron'un yöntemi

Çıkarılan kökün neye eşit olduğunu en azından yaklaşık olarak bilmeniz gerektiğinde (bir tamsayı değeri elde etmek imkansızsa) ne yapmalısınız? Heron yöntemi kullanılarak hızlı ve oldukça doğru bir sonuç elde edilir.. Özü yaklaşık bir formül kullanmaktır:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

burada R, kökü hesaplanması gereken sayı, a ise kök değeri bilinen en yakın sayıdır.

Yöntemin pratikte nasıl çalıştığına bakalım ve ne kadar doğru olduğunu değerlendirelim. √111'in neye eşit olduğunu hesaplayalım. Kökü bilinen 111'e en yakın sayı 121'dir. Böylece R = 111, a = 121 olur. Değerleri formülde yerine koyun:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Şimdi yöntemin doğruluğunu kontrol edelim:

10,55² = 111,3025.

Yöntemin hatası yaklaşık 0,3'tür. Yöntemin doğruluğunun iyileştirilmesi gerekiyorsa daha önce açıklanan adımları tekrarlayabilirsiniz:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Hesaplamanın doğruluğunu kontrol edelim:

10,536² = 111,0073.

Formülü yeniden uyguladıktan sonra hata tamamen önemsiz hale geldi.

Kökün uzun bölmeyle hesaplanması

Karekök değerini bulmanın bu yöntemi öncekilere göre biraz daha karmaşıktır. Ancak hesap makinesi olmadan yapılan diğer hesaplama yöntemleri arasında en doğru olanıdır..

Diyelim ki karekökü 4 ondalık basamağa kadar doğru bulmanız gerekiyor. Bir örnek kullanarak hesaplama algoritmasına bakalım herhangi bir sayı 1308,1912.

1. Kağıdı dikey bir çizgiyle 2 parçaya bölün ve ardından sağdan üst kenarın biraz altına başka bir çizgi çizin. Sayıyı sol tarafa yazalım, 2 haneli gruplara ayırıp sağa doğru ilerleyelim ve sol taraf virgülden. Soldaki ilk rakam çiftsiz olabilir. Sayının sağ tarafındaki işaret eksikse 0 eklemelisiniz. Bizim durumumuzda sonuç 13 08.19 12 olacaktır.
2. En iyisini seçelim büyük sayı karesi ilk rakam grubundan küçük veya ona eşit olacaktır. Bizim durumumuzda 3'tür. Sağ üst köşeye yazalım; 3, sonucun ilk rakamıdır. Sağ altta 3×3 = 9'u belirtiyoruz; sonraki hesaplamalar için buna ihtiyaç duyulacaktır. Sütundaki 13'ten 9'u çıkarırsak kalan 4 olur.
3. Sonraki sayı çiftini kalan 4'e atayalım; 408 elde ederiz.
4. Sağ üstteki sayıyı 2 ile çarpın ve sağ alttaki sayıya _ x _ = ekleyerek yazın. 6_ x _ = elde ederiz.
5. Çizgi yerine 408'den küçük veya ona eşit olan aynı sayıyı yazmanız gerekiyor. 66 × 6 = 396 elde ederiz. Sonucun ikinci rakamı olduğu için sağ üstten 6 yazıyoruz. 408'den 396'yı çıkarırsak 12 elde ederiz.
6. 3-6. adımları tekrarlayalım. Aşağıya doğru kaydırılan rakamlar sayının kesirli kısmında olduğundan, koymak gerekir. ondalık nokta 6'dan sonra sağ üstte. Çifte sonucu tirelerle yazalım: 72_ x _ =. Uygun bir sayı 1: 721×1 = 721 olacaktır. Bunu cevap olarak yazalım. 1219 - 721 = 498'i çıkaralım.
7. Önceki paragrafta verilen eylem sırasını üç kez daha gerçekleştirelim. gerekli miktar ondalık basamaklar. Daha fazla hesaplama için yeterli karakter yoksa soldaki mevcut sayıya iki sıfır eklemeniz gerekir.

Sonuç olarak şu cevabı alıyoruz: √1308.1912 ≈ 36.1689. Eylemi bir hesap makinesi kullanarak kontrol ederseniz tüm işaretlerin doğru tanımlandığından emin olabilirsiniz.

Bitsel karekök hesaplama

Yöntem son derece doğrudur. Ayrıca oldukça anlaşılırdır ve formül veya formül ezberlemeyi gerektirmez. karmaşık algoritma eylemler, çünkü yöntemin özü doğru sonucu seçmektir.

781 sayısının kökünü çıkaralım. Eylem sırasına detaylı olarak bakalım.

1. Karekök değerinin hangi basamağının en anlamlı olacağını bulalım. Bunu yapmak için 0, 10, 100, 1000 vb. sayıların karesini alalım ve hangisinin arasında olduğunu bulalım. radikal sayı. 10²'yi alıyoruz< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Onlarca değerini seçelim. Bunu yapmak için, 781'den büyük bir sayı elde edene kadar sırasıyla 10, 20, ..., 90'ın kuvvetlerini artıracağız. Bizim durumumuz için 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 elde ederiz. sonucun değeri n 20 içinde olacaktır< n <30.
3. Bir önceki adıma benzer şekilde birler basamağının değeri seçilir. 21.22, ..., 29'un karesini tek tek alalım: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Bunu elde ederiz: 27< n < 28.
4. Sonraki her rakam (onda bir, yüzde bir vb.) yukarıda gösterildiği gibi hesaplanır. Hesaplamalar gerekli doğruluk elde edilene kadar gerçekleştirilir.

Çoğu zaman, problemleri çözerken, içinden çıkarmamız gereken büyük sayılarla karşı karşıya kalırız. karekök. Birçok öğrenci bunun bir hata olduğuna karar verir ve örneğin tamamını yeniden çözmeye başlar. Hiçbir durumda bunu yapmamalısınız! Bunun iki nedeni var:

1. Büyük sayıların kökleri problemlerde ortaya çıkar. Özellikle metin olanlarda;
2. Bu köklerin neredeyse sözlü olarak hesaplandığı bir algoritma var.

Bugün bu algoritmayı ele alacağız. Belki bazı şeyler size anlaşılmaz gelebilir. Ancak bu derse dikkat ederseniz karşı güçlü bir silaha sahip olacaksınız. karekökler.

Yani algoritma:

1. Üstte ve altta gerekli kök sayısını 10'un katı olan sayılarla sınırlayın. Böylece arama aralığını 10 sayıya indireceğiz;
2. Bu 10 sayıdan kesinlikle kök olamayacak olanları ayıklayın. Sonuç olarak 1-2 sayı kalacak;
3. Bu 1-2 sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıya eşit olan kök olacaktır.

Bu algoritmayı uygulamaya koymadan önce her adıma tek tek bakalım.

Kök sınırlaması

Öncelikle kökümüzün hangi sayılar arasında olduğunu bulmamız gerekiyor. Sayıların onun katları olması oldukça arzu edilir:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Bir dizi sayı alıyoruz:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Bu rakamlar bize ne anlatıyor? Çok basit: sınırlara sahibiz. Örneğin 1296 sayısını ele alalım. 900 ile 1600 arasında yer alır. Dolayısıyla kökü 30'dan küçük ve 40'tan büyük olamaz:

[Resmin başlığı]

Aynı şey, karekökünü bulabileceğiniz diğer sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 3364:

Böylece anlaşılmaz bir sayı yerine orijinal kökün bulunduğu çok spesifik bir aralık elde ederiz. Arama alanını daha da daraltmak için ikinci adıma geçin.

Açıkça gereksiz sayıların ortadan kaldırılması

Yani 10 sayımız var - kök için aday. Bunları çok hızlı bir şekilde, karmaşık düşünmeden ve bir sütunda çarpmadan elde ettik. Devam etme zamanı geldi.

İster inanın ister inanmayın, artık aday sayısını ikiye indireceğiz - yine karmaşık hesaplamalara gerek kalmadan! Özel kuralı bilmeniz yeterlidir. İşte:

Karenin son rakamı yalnızca son rakama bağlıdır orijinal numara.

Başka bir deyişle, karenin son rakamına bakın, orijinal sayının nerede bittiğini hemen anlayacağız.

Son sıraya gelebilecek sadece 10 rakam var. Kareleri alındığında neye dönüştüklerini bulmaya çalışalım. Tabloya bir göz atın:

Bu tablo kökün hesaplanmasına yönelik başka bir adımdır. Gördüğünüz gibi ikinci satırdaki sayıların beşe göre simetrik olduğu ortaya çıktı. Örneğin:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Gördüğünüz gibi her iki durumda da son rakam aynı. Bu, örneğin 3364'ün kökünün 2 veya 8 ile bitmesi gerektiği anlamına gelir. Öte yandan önceki paragraftaki kısıtlamayı hatırlıyoruz. Şunu elde ederiz:

Kırmızı kareler bu rakamı henüz bilmediğimizi gösteriyor. Ancak kök, 50 ile 60 arasında yer alır ve bu aralıkta yalnızca 2 ve 8 ile biten iki sayı bulunur:

İşte bu! Olası tüm köklerden yalnızca iki seçenek bıraktık! Ve bu en zor durumda çünkü son rakam 5 veya 0 olabilir. Ve o zaman kökler için tek bir aday olacaktır!

Son hesaplamalar

Yani elimizde 2 aday sayımız kaldı. Hangisinin kök olduğunu nasıl anlarsınız? Cevap açık: her iki sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıyı veren kök olacaktır.

Örneğin 3364 sayısı için iki aday sayı bulduk: 52 ve 58. Bunların karesini alalım:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

İşte bu! Kökün 58 olduğu ortaya çıktı! Aynı zamanda hesaplamaları basitleştirmek için toplamın ve farkın kareleri formülünü kullandım. Bu sayede sayıları bir sütunda çarpmama bile gerek kalmadı! Bu, hesaplamaların başka bir optimizasyon düzeyidir, ancak elbette tamamen isteğe bağlıdır :)

Kök hesaplama örnekleri

Teori elbette iyidir. Ama pratikte kontrol edelim.

[Resmin başlığı]

Öncelikle 576 sayısının hangi sayılar arasında olduğunu bulalım:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Şimdi son sayıya bakalım. 6'ya eşittir. Bu ne zaman olur? Yalnızca kök 4 veya 6 ile bitiyorsa iki sayı elde ederiz:

Geriye kalan tek şey her sayının karesini almak ve orijinaliyle karşılaştırmaktır:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Harika! İlk karenin orijinal sayıya eşit olduğu ortaya çıktı. Yani bu kök.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Resmin başlığı]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Son rakama bakalım:

1369 → 9;
33; 37.

Karesini alın:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

İşte cevap: 37.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Resmin başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Son rakama bakalım:

2704 → 4;
52; 58.

Karesini alın:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Cevabı aldık: 52. İkinci sayının artık karesine gerek kalmayacak.

Görev. Karekökü hesaplayın:

[Resmin başlığı]

Sayıyı sınırlandırıyoruz:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Son rakama bakalım:

4225 → 5;
65.

Gördüğünüz gibi ikinci adımdan sonra geriye tek bir seçenek kalıyor: 65. Bu istenilen kök. Ama yine de karesini alıp kontrol edelim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Her şey doğru. Cevabını yazıyoruz.

Çözüm

Ne yazık ki, daha iyi değil. Sebeplerine bakalım. Bunlardan iki tane var:

• Herhangi bir normal matematik sınavında, ister Devlet Sınavı ister Birleşik Devlet Sınavı olsun, hesap makinelerinin kullanılması yasaktır. Ve sınıfa hesap makinesi getirirseniz sınavdan kolaylıkla atılabilirsiniz.
• Aptal Amerikalılar gibi olmayın. Köklere benzemeyenler iki asal sayıyı toplayamazlar. Ve kesirleri gördüklerinde genellikle histeriye kapılırlar.

Kök nasıl çıkarılır numaradan. Bu yazımızda dört ve beş basamaklı sayıların karekökünü almayı öğreneceğiz.

Örnek olarak 1936'nın karekökünü ele alalım.

Buradan, .

1936 sayısının son rakamı 6 sayısıdır. 4 sayısının ve 6 sayısının karesi 6 ile biter. Dolayısıyla 1936, 44 sayısının karesi veya 46 sayısının karesi olabilir. Geriye çarpma kullanarak kontrol etmek kalır.

Araç,

15129 sayısının karekökünü alalım.

Buradan, .

15129 sayısının son rakamı 9 sayısıdır. 3 sayısının ve 7 sayısının karesi 9'da bitmektedir. Dolayısıyla 15129, 123 sayısının karesi ya da 127 sayısının karesi olabilir. Çarpma kullanarak kontrol edelim.

Araç,

Kök nasıl çıkarılır - video

Şimdi Anna Denisova'nın videosunu izlemenizi öneririm - "Kök nasıl çıkarılır ", sitenin yazarı" Basit fizik", hesap makinesi olmadan kare ve küp köklerin nasıl bulunacağını açıklıyor.

Videoda kökleri çıkarmanın birkaç yolu tartışılıyor:

1. Karekök çıkarmanın en kolay yolu.

2. Toplamın karesini kullanarak seçim yaparak.

3. Babil yöntemi.

4. Bir sütunun karekökünü çıkarma yöntemi.

5. Küp kökünü çıkarmanın hızlı bir yolu.

6. Bir sütunda küp kökü çıkarma yöntemi.