2. Bilinmeyen dağılım parametrelerinin belirlenmesi.
Histogram kullanarak dağılım yoğunluğunu yaklaşık olarak çizebiliriz rastgele değişken. Bu grafiğin görünümü çoğu zaman bir rastgele değişkenin olasılık yoğunluk dağılımı hakkında bir varsayımda bulunmamıza olanak tanır. Bu dağılım yoğunluğunun ifadesi genellikle deneysel verilerden belirlenmesi gereken bazı parametreleri içerir.
Dağıtım yoğunluğunun iki parametreye bağlı olduğu özel durum üzerinde duralım.
Öyleyse izin ver x 1 , x 2 , ..., x n- sürekli bir rastgele değişkenin gözlemlenen değerleri ve olasılık dağılım yoğunluğunun bilinmeyen iki parametreye bağlı olmasına izin verin A Ve B yani benziyor. Bilinmeyen parametreleri bulma yöntemlerinden biri A Ve B teorik dağılımın matematiksel beklentisi ve varyansının örnek ortalama ve varyansla örtüşeceği şekilde seçilmelerinden oluşur:
 |
(66) |
 |
(67) |
Elde edilen iki denklemden () bulun bilinmeyen parametreler A Ve B. Yani örneğin bir rastgele değişken itaat ederse normal hukuk olasılık dağılımı, ardından olasılık dağılım yoğunluğu
iki parametreye bağlıdır A Ve . Bu parametreler bildiğimiz gibi sırasıyla matematiksel beklenti ve ortalama kare sapma rastgele değişken; dolayısıyla eşitlikler () şu şekilde yazılacaktır:
 |
(68) |
Bu nedenle olasılık dağılım yoğunluğu şu şekildedir:
Not 1. Bu sorunu zaten 'de çözdük. Ölçüm sonucu, parametrelerle normal dağılım yasasına uyan rastgele bir değişkendir. A Ve . Yaklaşık değer için A değeri seçtik ve yaklaşık değer olarak değeri seçtik.
Not 2.Şu tarihte: büyük miktarlar deneyler yapmak, miktarları bulmak ve formülleri kullanmak () hantal hesaplamalarla ilişkilidir. Bu nedenle şunu yaparlar: miktarın gözlemlenen değerlerinin her biri, Ben inci aralık ] X i-1 , X i [ istatistiksel seri, yaklaşık olarak kabul edilir ortadakine eşit ben bu aralık, yani c ben =(X i-1 +X i)/2. İlk aralığı düşünün ] X 0 , X 1 [. Ona çarptı m 1 Her biri bir sayıyla değiştirdiğimiz rastgele değişkenin gözlemlenen değerleri 1'den itibaren. Dolayısıyla bu değerlerin toplamı yaklaşık olarak eşittir m 1 sn 1. Benzer şekilde ikinci aralığa düşen değerlerin toplamı da yaklaşık olarak şuna eşittir: m 2 ile 2 vesaire. Bu yüzden
Benzer şekilde yaklaşık eşitliği elde ederiz.
Öyleyse bunu gösterelim
 |
(71) |
Parametreli denklemler haklı olarak en çok kullanılan denklemlerden biri olarak kabul edilir. karmaşık görevler biliyorum okul matematik. Birleşik devlette her yıl B ve C tipi görevler listesinde yer alan bu görevlerdir. Birleşik Devlet Sınavı. Ancak aralarında büyük sayı parametreli denklemler kolayca çözülebilen denklemlerdir grafiksel olarak. Çeşitli problemleri çözme örneğini kullanarak bu yöntemi ele alalım.
|x 2 – 2x – 3| denkleminin geçerli olduğu a sayısının tamsayı değerlerinin toplamını bulun. = a'nın dört kökü vardır.
Çözüm.
Sorunun sorusunu yanıtlamak için bir tanesini temel alalım koordinat düzlemi fonksiyon grafikleri
y = |x 2 – 2x – 3| ve y = a.
İlk fonksiyonun grafiği y = |x 2 – 2x – 3| y = x 2 – 2x – 3 parabolünün grafiğinden, grafiğin Ox ekseninin altındaki kısmı x eksenine göre simetrik olarak görüntülenerek elde edilecektir. Grafiğin x ekseninin üzerinde bulunan kısmı değişmeden kalacaktır.
Bunu adım adım yapalım. y = x 2 – 2x – 3 fonksiyonunun grafiği, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Grafiğini oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını buluyoruz. Bu, x 0 = -b/2a formülü kullanılarak yapılabilir. Böylece, x 0 = 2/2 = 1. Parabolün tepe noktasının ordinat ekseni boyunca koordinatını bulmak için, x 0 için elde edilen değeri söz konusu fonksiyonun denkleminde yerine koyarız. y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 sonucunu elde ederiz. Bu, parabolün tepe noktasının (1; -4) koordinatlarına sahip olduğu anlamına gelir.
Daha sonra parabol dallarının koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmanız gerekir. Parabolün dallarının apsis ekseni ile kesiştiği noktalarda fonksiyonun değeri sıfırdır. Bu nedenle ikinci dereceden denklem x 2 – 2x – 3 = 0'ı çözüyoruz. Kökleri gerekli noktalar olacaktır. Vieta teoremine göre x 1 = -1, x 2 = 3 elde ederiz.
Parabol dallarının ordinat ekseni ile kesişme noktalarında argümanın değeri sıfırdır. Dolayısıyla y = -3 noktası parabolün dallarının y ekseniyle kesiştiği noktadır. Ortaya çıkan grafik Şekil 1'de gösterilmektedir.
y = |x 2 – 2x – 3| fonksiyonunun grafiğini elde etmek için grafiğin apsisin altında bulunan kısmını x eksenine göre simetrik olarak gösterelim. Ortaya çıkan grafik Şekil 2'de gösterilmektedir.
y = a fonksiyonunun grafiği apsis eksenine paralel bir doğrudur. Şekil 3'te gösterilmektedir. Şekli kullanarak, eğer a (0; 4) aralığına aitse grafiklerin dört ortak noktası olduğunu (ve denklemin dört kökü olduğunu) buluruz.
Ortaya çıkan aralıktan a sayısının tamsayı değerleri: 1; 2; 3. Sorunun sorusunu cevaplamak için şu sayıların toplamını bulalım: 1 + 2 + 3 = 6.
Cevap: 6.
|x 2 – 4|x| denkleminin verildiği a sayısının tamsayı değerlerinin aritmetik ortalamasını bulun. – 1| = a'nın altı kökü vardır.
y = |x 2 – 4|x| fonksiyonunun grafiğini çizerek başlayalım. – 1|. Bunu yapmak için a 2 = |a| eşitliğini kullanırız. 2 ve seçin mükemmel kare fonksiyonun sağ tarafında yazılı bir alt modüler ifadede:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.
O zaman orijinal fonksiyon y = |(|x| – 2) 2 – 5| biçimine sahip olacaktır.
Bu fonksiyonun grafiğini oluşturmak için fonksiyonların sıralı grafiklerini oluştururuz:
1) y = (x – 2) 2 – 5 – koordinatları (2; -5) olan noktada köşesi olan parabol; (Şekil 1).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1. adımda oluşturulan parabolün ordinat ekseninin sağında yer alan kısmı, Oy ekseninin solunda simetrik olarak görüntülenir; (Şekil 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – grafiğin x ekseninin altında yer alan 2. noktada oluşturulan kısmı, yukarı doğru x eksenine göre simetrik olarak görüntülenir. (Şekil 3).
Ortaya çıkan çizimlere bakalım:
y = a fonksiyonunun grafiği apsis eksenine paralel bir doğrudur.
Şekli kullanarak, eğer a (1; 5) aralığına aitse, fonksiyonların grafiklerinin altı ortak noktaya sahip olduğu (denklemin altı kökü vardır) sonucuna varırız.
Bu, aşağıdaki şekilde görülebilir:
a parametresinin tamsayı değerlerinin aritmetik ortalamasını bulalım:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Cevap: 3.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Parametreli denklemler haklı olarak okul matematiğindeki en zor problemlerden biri olarak kabul edilir. Her yıl tek bir listede B ve C tipi görevler listesinde yer alan tam da bu tür görevlerdir. devlet sınavı Birleşik Devlet Sınavı. Ancak parametreli çok sayıda denklem arasında grafiksel olarak kolayca çözülebilenler de vardır. Birkaç problemi çözme örneğini kullanarak bu yöntemi ele alalım.
|x 2 – 2x – 3| denkleminin geçerli olduğu a sayısının tamsayı değerlerinin toplamını bulun. = a'nın dört kökü vardır.
Çözüm.
Sorunun sorusunu cevaplamak için tek koordinat düzleminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım
y = |x 2 – 2x – 3| ve y = a.
İlk fonksiyonun grafiği y = |x 2 – 2x – 3| y = x 2 – 2x – 3 parabolünün grafiğinden, grafiğin Ox ekseninin altındaki kısmı x eksenine göre simetrik olarak görüntülenerek elde edilecektir. Grafiğin x ekseninin üzerinde bulunan kısmı değişmeden kalacaktır.
Bunu adım adım yapalım. y = x 2 – 2x – 3 fonksiyonunun grafiği, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Grafiğini oluşturmak için tepe noktasının koordinatlarını buluyoruz. Bu, x 0 = -b/2a formülü kullanılarak yapılabilir. Böylece, x 0 = 2/2 = 1. Parabolün tepe noktasının ordinat ekseni boyunca koordinatını bulmak için, x 0 için elde edilen değeri söz konusu fonksiyonun denkleminde yerine koyarız. y 0 = 1 – 2 – 3 = -4 sonucunu elde ederiz. Bu, parabolün tepe noktasının (1; -4) koordinatlarına sahip olduğu anlamına gelir.
Daha sonra parabol dallarının koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmanız gerekir. Parabolün dallarının apsis ekseni ile kesiştiği noktalarda fonksiyonun değeri sıfırdır. Bu nedenle ikinci dereceden denklem x 2 – 2x – 3 = 0'ı çözüyoruz. Kökleri gerekli noktalar olacaktır. Vieta teoremine göre x 1 = -1, x 2 = 3 elde ederiz.
Parabol dallarının ordinat ekseni ile kesişme noktalarında argümanın değeri sıfırdır. Dolayısıyla y = -3 noktası parabolün dallarının y ekseniyle kesiştiği noktadır. Ortaya çıkan grafik Şekil 1'de gösterilmektedir.
y = |x 2 – 2x – 3| fonksiyonunun grafiğini elde etmek için grafiğin apsisin altında bulunan kısmını x eksenine göre simetrik olarak gösterelim. Ortaya çıkan grafik Şekil 2'de gösterilmektedir.
y = a fonksiyonunun grafiği apsis eksenine paralel bir doğrudur. Şekil 3'te gösterilmektedir. Şekli kullanarak, eğer a (0; 4) aralığına aitse grafiklerin dört ortak noktası olduğunu (ve denklemin dört kökü olduğunu) buluruz.
Ortaya çıkan aralıktan a sayısının tamsayı değerleri: 1; 2; 3. Sorunun sorusunu cevaplamak için şu sayıların toplamını bulalım: 1 + 2 + 3 = 6.
Cevap: 6.
|x 2 – 4|x| denkleminin verildiği a sayısının tamsayı değerlerinin aritmetik ortalamasını bulun. – 1| = a'nın altı kökü vardır.
y = |x 2 – 4|x| fonksiyonunun grafiğini çizerek başlayalım. – 1|. Bunu yapmak için a 2 = |a| eşitliğini kullanırız. 2'ye gidin ve fonksiyonun sağ tarafında yazılı olan alt modüler ifadedeki tam kareyi seçin:
x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.
O zaman orijinal fonksiyon y = |(|x| – 2) 2 – 5| biçimine sahip olacaktır.
Bu fonksiyonun grafiğini oluşturmak için fonksiyonların sıralı grafiklerini oluştururuz:
1) y = (x – 2) 2 – 5 – koordinatları (2; -5) olan noktada köşesi olan parabol; (Şekil 1).
2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – 1. adımda oluşturulan parabolün ordinat ekseninin sağında yer alan kısmı, Oy ekseninin solunda simetrik olarak görüntülenir; (Şekil 2).
3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – grafiğin x ekseninin altında yer alan 2. noktada oluşturulan kısmı, yukarı doğru x eksenine göre simetrik olarak görüntülenir. (Şekil 3).
Ortaya çıkan çizimlere bakalım:
y = a fonksiyonunun grafiği apsis eksenine paralel bir doğrudur.
Şekli kullanarak, eğer a (1; 5) aralığına aitse, fonksiyonların grafiklerinin altı ortak noktaya sahip olduğu (denklemin altı kökü vardır) sonucuna varırız.
Bu, aşağıdaki şekilde görülebilir:
a parametresinin tamsayı değerlerinin aritmetik ortalamasını bulalım:
(2 + 3 + 4)/3 = 3.
Cevap: 3.
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.
İLE parametreli görevlerörneğin doğrusal ve çözüm arayışlarını içerebilir ikinci dereceden denklemler V genel görünüm, parametrenin değerine bağlı olarak mevcut kök sayısı için denklemin incelenmesi.
Getirmeden detaylı tanımlarÖrnek olarak aşağıdaki denklemleri göz önünde bulundurun:
y = kx, burada x, y değişkendir, k bir parametredir;
y = kx + b, burada x, y değişkenler, k ve b parametrelerdir;
ax 2 + bx + c = 0, burada x değişkendir, a, b ve c bir parametredir.
Bir denklemi (eşitsizlik, sistem) bir parametreyle çözmek, kural olarak, çözmek anlamına gelir sonsuz küme denklemler (eşitsizlikler, sistemler).
Parametreli görevler iki türe ayrılabilir:
A) koşul şöyle diyor: denklemi çözün (eşitsizlik, sistem) - bu, parametrenin tüm değerleri için tüm çözümleri bulmak anlamına gelir. En az bir vakanın araştırılmadan kalması durumunda böyle bir çözümün tatmin edici olduğu düşünülemez.
B) belirtmeniz gerekiyor olası değerler Denklemin (eşitsizlik, sistem) sahip olduğu parametreler belirli özellikler. Örneğin, tek çözümü var, çözümü yok, çözümleri var, aralığa ait vb. Bu tür görevlerde gerekli koşulun hangi parametre değerinde karşılandığını açıkça belirtmek gerekir.
Bilinmeyen sabit bir sayı olan parametrenin bir tür özel ikiliği vardır. Öncelikle varsayılan şöhretin, parametrenin bir sayı olarak algılanması gerektiğini gösterdiğini dikkate almak gerekir. İkinci olarak, parametreyi değiştirme özgürlüğü onun belirsizliğiyle sınırlıdır. Örneğin, parametre içeren bir ifadeye bölme veya çift derecenin kökünü çıkarma işlemleri benzer ifade gerekmek ön çalışmalar. Bu nedenle parametreyi işlerken dikkatli olunması gerekir.
Örneğin, -6a ve 3a sayılarını karşılaştırmak için üç durumu dikkate almanız gerekir:
1) a negatif bir sayı ise -6a, 3a'dan büyük olacaktır;
2) a = 0 olması durumunda -6a = 3a;
3) a pozitif bir sayı 0 ise -6a, 3a'dan küçük olacaktır.
Çözüm cevap olacaktır.
kx = b denklemi verilsin. Bu denklem kısa not Tek değişkenli sonsuz sayıda denklem.
Bu tür denklemleri çözerken durumlar olabilir:
1. k herhangi biri olsun gerçek sayı sıfıra eşit değildir ve b, R'den herhangi bir sayıdır, bu durumda x = b/k olur.
2. k = 0 ve b ≠ 0 olsun, orijinal denklem 0 x = b formunu alacaktır. Açıkçası böyle bir denklemin çözümü yoktur.
3. k ve b sayılar olsun, sıfıra eşit O zaman 0 x = 0 eşitliğine sahip oluruz. Bunun çözümü herhangi bir reel sayıdır.
Bu tür denklemleri çözmek için algoritma:
1. Parametrenin “kontrol” değerlerini belirleyin.
2. Birinci paragrafta belirlenen parametre değerleri için orijinal x denklemini çözün.
3. İlk paragrafta seçilenlerden farklı parametre değerleri için orijinal x denklemini çözün.
4. Cevabı aşağıdaki forma yazabilirsiniz:
1) ... için (parametre değerleri), denklemin kökleri vardır ...;
2) ... için (parametre değerleri), denklemde kök yoktur.
Örnek 1.
Denklemi |6 – x| parametresiyle çözün. = a.
Çözüm.
Burada a ≥ 0 olduğunu görmek kolaydır.
Modül 6 – x = ±a kuralına göre x'i şöyle ifade ederiz:
Cevap: x = 6 ± a, burada a ≥ 0.
Örnek 2.
a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 denklemini x değişkenine göre çözün.
Çözüm.
Parantezleri açalım: aх – а + 2х – 2 = 0
Denklemi yazalım standart form: x(a + 2) = a + 2.
a + 2 ifadesi sıfır değilse, yani a ≠ -2 ise, x = (a + 2) / (a + 2) çözümümüz vardır, yani. x = 1.
a + 2 sıfıra eşitse; a = -2 ise doğru eşitlik 0 x = 0 olur, yani x herhangi bir gerçek sayıdır.
Cevap: a ≠ -2 için x = 1 ve a = -2 için x € R.
Örnek 3.
x/a + 1 = a + x denklemini x değişkenine göre çözün.
Çözüm.
a = 0 ise denklemi a + x = a 2 + ax veya (a – 1)x = -a(a – 1) formuna dönüştürürüz. a = 1 için son denklem 0 x = 0 biçimindedir, dolayısıyla x herhangi bir sayıdır.
Eğer a ≠ 1 ise son denklem x = -a formunu alacaktır.
Bu çözüm koordinat doğrusu üzerinde gösterilebilir. (Şekil 1)
Yanıt: a = 0 için çözüm yoktur; x – a = 1 olan herhangi bir sayı; a ≠ 0 ve a ≠ 1 için x = -a.
Grafik yöntemi
Bir parametreyle denklemleri grafiksel olarak çözmenin başka bir yolunu düşünelim. Bu yöntem oldukça sık kullanılmaktadır.
Örnek 4.
a parametresine bağlı olarak ||x| denkleminin kaç kökü vardır? – 2| = bir?
Çözüm.
Grafik yöntemini kullanarak çözmek için y = ||x| fonksiyonlarının grafiklerini oluştururuz. – 2| ve y = a (Şekil 2).
Çizim açıkça gösteriyor olası durumlar y = a doğrusunun konumu ve her birindeki kök sayısı.
Cevap: Denklemin kökleri olmaz< 0; два корня будет в случае, если a >2 ve a = 0; a = 2 durumunda denklemin üç kökü olacaktır; dört kök – 0'da< a < 2.
Örnek 5.
2|x| denklemi ne durumda? + |x – 1| = a'nın tek bir kökü var mı?
Çözüm.
y = 2|x| fonksiyonlarının grafiklerini gösterelim. + |x – 1| ve y = a. y = 2|x| için + |x – 1|, aralık yöntemini kullanarak modülleri genişleterek şunu elde ederiz:
(-3x + 1, x'te< 0,
y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 için,
(3x – 1, x > 1 için.
Açık Şekil 3 Denklemin ancak a = 1 olduğunda tek köke sahip olacağı açıkça görülmektedir.
Cevap: a = 1.
Örnek 6.
|x + 1| denkleminin çözüm sayısını belirleyin. + |x + 2| = a, a parametresine bağlı olarak mı?
Çözüm.
y = |x + 1| fonksiyonunun grafiği + |x + 2| kırık bir çizgi olacak. Köşeleri (-2; 1) ve (-1; 1) noktalarında bulunacaktır. (Şekil 4).
Cevap: a parametresi birden küçükse denklemin kökleri olmayacaktır; a = 1 ise denklemin çözümü [-2; -1]; a parametresinin değerleri birden büyükse denklemin iki kökü olacaktır.
Hala sorularınız mı var? Parametreli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
