Şekillerin çevresi nedir? Çevre nedir? Tüm rakamlar için ortak olan teori

Bu derste yeni bir kavram tanıtacağız: dikdörtgenin çevresi. Bu kavramın tanımını formüle edeceğiz ve hesaplanması için bir formül türeteceğiz. Ayrıca birleşimsel toplama yasasını ve dağılımsal çarpma yasasını da tekrarlayacağız.

Açık bu ders Dikdörtgenin çevresi ve hesaplanmasıyla tanışacağız.

Aşağıdakileri göz önünde bulundurun geometrik şekil(Şekil 1):

Pirinç. 1. Dikdörtgen

Bu şekil bir dikdörtgendir. Neyi hatırlayalım ayırt edici özellikler dikdörtgeni biliyoruz.

Dikdörtgen, dört dik açısı ve eşit kenarları olan bir dörtgendir.

Hayatımızda ne dikdörtgen şekle sahip olabilir? Örneğin bir kitap, bir masa üstü veya bir arsa.

Aşağıdaki sorunu göz önünde bulundurun:

Görev 1 (Şekil 2)

Etrafında arsa inşaatçıların bir çit koyması gerekiyordu. Bu bölümün genişliği 5 metre, uzunluğu ise 10 metredir. İnşaatçılar ne kadar çit alacak?

Pirinç. 2. Problem 1 için örnek resim

Çit sitenin sınırları boyunca yerleştirilmiştir, bu nedenle çitin uzunluğunu bulmak için her iki tarafın uzunluğunu bilmeniz gerekir. Bu dikdörtgenin kenarları eşit: 5 metre, 10 metre, 5 metre, 10 metre. Çitin uzunluğunu hesaplamak için bir ifade oluşturalım: 5+10+5+10. Değişmeli toplama yasasını kullanalım: 5+10+5+10=5+5+10+10. İÇİNDE bu ifade aynı terimlerin toplamları vardır (5+5 ve 10+10). Aynı terimlerin toplamlarını çarpımlarla değiştirelim: 5+5+10+10=5·2+10·2. Şimdi toplamaya göre çarpmanın dağılım yasasını kullanalım: 5·2+10·2=(5+10)·2.

(5+10)·2 ifadesinin değerini bulalım. Öncelikle parantez içindeki işlemi gerçekleştiriyoruz: 5+10=15. Daha sonra 15 sayısını iki kez tekrarlıyoruz: 15·2=30.

Cevap: 30 metre.

Bir dikdörtgenin çevresi- tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı. Dikdörtgenin çevresini hesaplamak için formül: , burada a dikdörtgenin uzunluğu ve b dikdörtgenin genişliğidir. Uzunluk ve genişliğin toplamına denir yarı çevre. Çevreyi yarı çevreden elde etmek için onu 2 kat artırmanız yani 2 ile çarpmanız gerekir.

Dikdörtgenin çevre formülünü kullanıp kenarları 7 cm ve 3 cm olan dikdörtgenin çevresini bulalım: (7+3) 2 = 20 (cm).

Herhangi bir şeklin çevresi doğrusal birimlerle ölçülür.

Bu dersimizde dikdörtgenin çevresini ve hesaplama formülünü öğrendik.

Bir sayının çarpımı ile sayıların toplamı çarpımların toplamına eşittir verilen numara ve terimlerin her biri.

Çevre, şeklin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı ise, yarı çevre bir uzunluk ve bir genişliğin toplamıdır. Bir dikdörtgenin çevresini bulma formülüne göre çalıştığımızda yarı çevreyi buluruz (parantez içindeki ilk eylemi gerçekleştirdiğimizde - (a+b)).

Referanslar

1. Alexandrova E.I. Matematik. 2. sınıf. - M.: Bustard, 2004.
2. Bashmakov M.I., Nefedova M.G. Matematik. 2. sınıf. - M.: Astrel, 2006.
3. Dorofeev G.V., Mirakova T.I. Matematik. 2. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Nsportal.ru ().
3. Math-prosto.ru ().

Ev ödevi

1. Uzunluğu 13 metre, genişliği 7 metre olan dikdörtgenin çevresini bulunuz.
2. Uzunluğu 8 cm, genişliği 4 cm olan dikdörtgenin yarı çevresini bulunuz.
3. Yarı çevresi 21 dm olan dikdörtgenin çevresini bulunuz.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Dikdörtgenin çevresi ve alanı"

Ek malzemeler
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

3. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
3. sınıf eğitmeni "Matematikte kurallar ve alıştırmalar"
3. sınıf için elektronik ders kitabı "10 dakikada Matematik"

Dikdörtgen ve kare nedir

Dikdörtgen tüm açıları dik olan bir dörtgendir. Araç, zıt taraflar birbirine eşittir.

Kare kenarları ve açıları eşit olan bir dikdörtgendir. Buna düzgün dörtgen denir.

Örnek.

Şöyle okunur: ABCD dörtgeni; EFGH karesi.

Bir dikdörtgenin çevresi nedir? Çevre hesaplama formülü

Çevre belirtilir Latince harf P. Çevre dikdörtgenin tüm kenarlarının uzunluğu olduğundan çevre uzunluk birimleriyle yazılır: mm, cm, m, dm, km.

Örneğin ABCD dikdörtgeninin çevresi şu şekilde gösterilir: P ABCD, burada A, B, C, D dikdörtgenin köşeleridir.

ABCD dörtgeninin çevre formülünü yazalım:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Çözüm:
1. Orijinal verilerle bir ABCD dikdörtgeni çizelim.
2. Belirli bir dikdörtgenin çevresini hesaplamak için bir formül yazalım:

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD = 2 * (5 cm + 3 cm) = 2 * 8 cm = 16 cm

Bir karenin çevresini hesaplamak için formül

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD = 4 * AB

Çözüm.
1. Orijinal verilerle bir ABCD karesi çizelim.

2. Karenin çevresini hesaplama formülünü hatırlayalım:

P ABCD = 4 * AB

P ABCD = 4 * 6 cm = 24 cm

Cevap: P ABCD = 24 cm.

Dikdörtgenin çevresini bulma problemleri

1. Dikdörtgenlerin genişliğini ve uzunluğunu ölçün. Çevrelerini belirleyin.

2. Kenarları 4 cm ve 6 cm olan bir ABCD dikdörtgeni çizin. Dikdörtgenin çevresini belirleyin.

3. Bir kenarı 5 cm olan bir kare SEOM çizin. Karenin çevresini belirleyin.

Dikdörtgenin çevresinin hesaplanması nerede kullanılır?

Bu görevde, çit inşa etmek için fazla malzeme satın almamak için sitenin çevresini doğru bir şekilde hesaplamak gerekir.

2. Ebeveynler çocuk odasını yenilemeye karar verdi. Duvar kağıdı miktarını doğru hesaplamak için odanın çevresini ve alanını bilmeniz gerekir.
Yaşadığınız odanın uzunluğunu ve genişliğini belirleyin. Odanızın çevresini belirleyin.

Dikdörtgenin alanı nedir?

Bir dikdörtgenin alanını belirlemek için dikdörtgenin uzunluğunu genişliğiyle çarpın.
Dikdörtgenin alanı AC'nin uzunluğunu CM'nin genişliğiyle çarparak hesaplanır. Bunu formül olarak yazalım.

S AKMO = AK * KM

S AKMO = AK * KM = 7 cm * 2 cm = 14 cm2.

Cevap: 14 cm2.

Bir karenin alanını hesaplamak için formül

Örnek.
İÇİNDE bu örnekte Bir karenin alanı AB tarafının BC genişliği ile çarpılmasıyla hesaplanır, ancak eşit oldukları için sonuç AB tarafının AB ile çarpılmasıdır.

S ABCO = AB * BC = AB * AB

S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm2

Cevap: 64 cm2.

Dikdörtgenin ve karenin alanını bulma problemleri

2. 20 m x 30 m ölçülerinde bir yazlık arsa satın alındı. Yazlık arsanın alanını belirleyin ve cevabı santimetre kare olarak yazın.

Çevre nasıl hesaplanır?

Öğretmenlerden sık sık şunu duyduk: "Çok çalışın, bilgi hayatta size çok faydalı olacak" ve gerçekten de oluyor. Örneğin, tadilat yaptığımızda, gerekli inşaat malzemesi miktarını belirlemek için belirli bir şeklin çevresini nasıl hesaplayacağımızı mutlaka bilmemiz gerekir. Unutanlar için bu yazıda okul kursu, çeşitli şekillerin çevresinin nasıl hesaplanacağını konuşacağız.

Çevre nedir?

Çevre, geometrik bir şekli çevreleyen çizginin uzunluğudur; her tarafın uzunluğu düz şekil. Bu nedenle, bir şeklin çevresini bulmak için her iki tarafın uzunluğunu ölçmek ve tüm sonuçları toplamak yeterlidir. Ancak bazen hesaplamayı daha da yapmak mümkün olabiliyor. basit bir şekildeözel formüller kullanıyor. Daha sonra, her iki yöntemi kullanarak çeşitli şekillerin çevresini bulmanın yollarına bakacağız.

Bir üçgenin çevresi

Bir üçgenin çevresini hesaplamadan önce her bir kenarın uzunluğunu ölçmeniz gerekir. Bundan sonra onları katlayın - bu çevre olacaktır.

Ancak eğer ilgilenirsek ikizkenar üçgen, aşağıdakilerden birini ölçebilirsiniz eşit taraflar ve ortaya çıkan değeri ikiyle çarpın ve ardından buna tabanın uzunluğunu ekleyin.

Çevreyi hesaplamak için eşkenar üçgen, yalnızca bir tarafı ölçüp elde edilen değeri üçle çarpmanız yeterlidir.

Bir dörtgenin çevresi

Hadi bakalım bu bölüm, bir karenin, eşkenar dörtgenin, dikdörtgenin, paralel yüzlü ve yamuğun çevresi nasıl hesaplanır.

Kare ve eşkenar dörtgen

Bildiğiniz gibi karenin dört kenarı vardır ve hepsi eşittir, bu da karenin çevresini hesaplamak için kenarlarından birini ölçmeniz ve ardından elde edilen değeri 4 ile çarpmanız gerektiği anlamına gelir. Açıkça söylemek gerekirse, bir eşkenar dörtgenin çevresi tamamen aynı şekilde bulunur çünkü eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşittir.

Dikdörtgen ve paralelkenar

Bir dikdörtgenin kenarları çiftler halinde eşittir, bu nedenle çevreyi hesaplamak için daha büyük ve daha küçük kenarları ölçmeniz, elde edilen değerlerin her birini ikiyle çarpmanız ve elde edilen değerleri eklemeniz gerekir. Paralelkenarın çevresi de benzer şekilde bulunur.

Yamuk

Başka bir dörtgen türü yamuktur. Bu şeklin kural olarak tüm kenarları farklı uzunluklardadır ve bu nedenle çevreyi bulmak için her iki tarafı da ölçmeniz ve toplamanız gerekecektir. Ancak bir yamuk ikizkenar olabilir. Bu durumda çevreyi hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz: P = a+b+2c; burada c, eşit kenarlardan birinin uzunluğudur.

Bu arada, çevreyi belirlemenin başka bir yolu var ikizkenar yamuk- sözde "orta hat yöntemi". Öncelikle bunu çok iyi yapmalısınız orta hat(iki noktadan çizilir - eşit kenarların orta noktaları), sonra onu ölçmeniz, elde edilen değeri iki ile çarpmanız ve iki eşit kenar uzunluğu eklemeniz gerekir.

Poligon çevresi

Bir çokgenin çevresini bulmak için kural olarak şu kural geçerlidir: tüm kenarları ölçün ve toplayın. Ancak bazı özel durumlar sorunun çözümünü kolaylaştırmaktadır. Örneğin, önünüzde düzgün bir altıgen varsa, çevresi, bir kenarının uzunluğu 6 ile çarpılarak hesaplanabilir.

Bir dairenin çevresini veya daha sık söylendiği gibi çevreyi hesaplamak için özel bir formül vardır: P=2πr, burada π - sabit değer 3,14'e eşit; r dairenin yarıçapıdır. Formül şu şekilde de görünebilir: P=πd, burada d dairenin çapıdır.

Bu arada, aslında π bir dairenin çevresinin çapına oranıdır. Bu değerin tüm daireler için aynı olduğu ve 3,14'e eşit olduğu kanıtlanmıştır.

Öğrenciler mümkün olan en kısa sürede çevreyi nasıl bulacakları konusunda bilgi sahibi olurlar. ilkokul. Daha sonra bu bilgi matematik ve geometri dersinin tamamı boyunca sürekli olarak kullanılır.

Tüm rakamlar için ortak olan teori

Kenarlar genellikle Latin harfleriyle gösterilir. Ayrıca segmentler halinde de belirlenebilirler. O zaman her iki taraf için de büyük harflerle yazılmış iki harfe ihtiyacınız olacak. Veya atamayı kesinlikle küçük olacak bir harfle girin.
Harfler her zaman alfabetik olarak seçilir. Bir üçgen için bunlar ilk üç olacak. Bir altıgende a'dan f'ye kadar 6 tane bulunur. Bu, formül girmek için uygundur.

Şimdi çevrenin nasıl bulunacağı hakkında. Şeklin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır. Terimlerin sayısı türüne bağlıdır. Çevre, Latin harfi R ile gösterilir. Ölçü birimleri, kenarlar için verilenlerle aynıdır.

Farklı şekillerin çevreleri için formüller

Bir üçgen için: P=a+b+c. İkizkenar ise formül dönüştürülür: P = 2a + b. Eşkenar üçgen ise çevresi nasıl bulunur? Bu yardımcı olacaktır: P = 3a.

Rastgele bir dörtgen için: P=a+b+c+d. Özel durumu karedir, çevre formülü: P = 4a. Bir de dikdörtgen var, o zaman şu eşitlik gerekiyor: P = 2 (a + b).

Peki ya üçgenin bir veya daha fazla kenarının uzunluğu bilinmiyorsa?

Veriler iki tarafı ve aralarında A harfiyle gösterilen açıyı içeriyorsa kosinüs teoremini kullanın. Ardından, çevreyi bulmadan önce üçüncü tarafı hesaplamanız gerekecektir. Bunun için şu formül faydalıdır: c² = a² + b² - 2 av cos(A).

Bu teoremin özel bir durumu Pisagor'un dik üçgen için formüle ettiği teoremdir. Kosinüs değerini içerir dik açı olur sıfıra eşit, bu da son terimin ortadan kaybolduğu anlamına gelir.

Bir üçgenin çevresini bir tarafa bakarak nasıl bulacağınızı öğrenebileceğiniz durumlar vardır. Ancak aynı zamanda şeklin açıları da bilinmektedir. Burada, kenarların uzunluklarının karşılık gelen karşıt açıların sinüslerine oranları eşit olduğunda sinüs teoremi kurtarmaya gelir.

Bir şeklin çevresinin alanına göre belirlenmesi gerektiğinde diğer formüller kullanışlı olacaktır. Örneğin, yazılı dairenin yarıçapı biliniyorsa, o zaman bir üçgenin çevresinin nasıl bulunacağı sorusunda faydalı olacaktır. aşağıdaki formül: S=р*r, burada р yarı çevredir. Bu formülden türetilip ikiyle çarpılması gerekir.

Örnek problemler

İlkinin durumu. Kenarları 3, 4 ve 5 cm olan üçgenin çevresini bulunuz.
Çözüm. Yukarıda belirtilen eşitliği kullanmanız ve değer probleminde verileri onun yerine koymanız yeterlidir. Hesaplamalar kolaydır ve 12 cm'lik bir rakamla sonuçlanır.
Cevap.Üçgenin çevresi 12 cm'dir.

Durum iki.Üçgenin bir tarafı 10 cm olup, ikincisinin birincisinden 2 cm, üçüncüsünün ise birincisinden 1,5 kat daha büyük olduğu bilinmektedir. Çevresini hesaplamanız gerekiyor.
Çözüm. Bunu tanımak için iki tarafı da saymanız gerekir. İkincisi 10 ile 2'nin toplamı olarak tanımlanır, üçüncüsü ise 10 ile 1,5'in çarpımına eşittir. Daha sonra geriye kalan tek şey üç değerin toplamını saymaktır: 10, 12 ve 15. Sonuç 37 cm olacaktır.
Cevap.Çevresi 37 cm'dir.

Durum üç. Bir dikdörtgen ve bir kare var. Dikdörtgenin bir tarafı 4 cm, diğer tarafı ise 3 cm daha büyüktür. Çevresi dikdörtgeninkinden 6 cm daha az olan karenin kenarını hesaplamanız gerekir.
Çözüm. Dikdörtgenin ikinci kenarı 7'dir. Bunu bilerek çevresini hesaplamak kolaydır. Hesaplama 22 cm verir.
Bir karenin kenarını bulmak için önce dikdörtgenin çevresinden 6'yı çıkarmanız ve ardından elde edilen sayıyı 4'e bölmeniz gerekir. Sonuç 4 sayısıdır.
Cevap. Karenin bir kenarı 4 cm'dir.

Bugün nasıl hesaplanacağı hakkında konuşacağız. çokgen çevresi. Ama önce şekillerin çeşitliliğinden bahsedelim. Resme bakın. Burada hangi rakamları görüyoruz? Bunlar bir dikdörtgen ve bir karedir - dört tarafı olan çokgenlerin yanı sıra üç tarafı olan bir üçgen ve beş tarafı olan bir beşgen.

Peki bu rakamların çevresi nasıl bulunur?

Bir çokgenin çevresini bulmak için tüm kenarlarının uzunluklarını toplamak gerekir..

Çevre, büyük Latin harfi P ile gösterilir.

Birkaç örneğe bakalım.

O çokgeninin çevresini hesaplayalım. Daha önce de söylediğimiz gibi bir çokgenin çevresi tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır. Çokgenimizin tüm kenarlarını toplayalım:

P = 15 + 17 + 10 + 10 + 20 + 15 = 87

Ancak çevreyi çarpmayı kullanarak başka bir şekilde hesaplayabilirsiniz. Çokgenin bazı kenarlarının aynı olduğunu görüyoruz. 15 konvansiyonel birimin iki tarafı ve 10'un iki tarafı daha var. İfadeyi yazalım:

P = 15 × 2 + 10 × 2 + 17 + 20 = 87

Şimdi bazı çokgenlerin çevresini hesaplamanın özelliklerinden bahsedelim.

Dikdörtgen, karşılıklı kenarları eşit olan bir dörtgendir. Örneğin, a ve b kenarlarıyla A'yı hesaplamak için bu kenarları toplamanız ve sonucu 2 ile çarpmanız gerekir:

P(dikdörtgen) = (a + b) × 2

Yani, a dikdörtgeninin bir kenarı = 5 cm ve b = 3 cm dikdörtgenin bir kenarı varsa, dikdörtgenin çevresi şöyle olacaktır:

P = (5 + 3) × 2 = 16 cm

Çevresi ve kenarlarından yalnızca biri biliniyorsa dikdörtgenin bilinmeyen kenarları nasıl bulunur?

P(dikdörtgen) = 2 × a + 2 × b

a = (P – 2 × b) ÷ 2 veya b = (P – 2 × a) ÷ 2

Örnek: Bir dikdörtgenin çevresi 16 cm, a kenarı = 5 cm'dir. Dikdörtgenin kalan kenarları nedir?

Bir dikdörtgenin bir kenarını biliyorsak dört kenardan ikisinin uzunluğunu da biliyoruz demektir. Diğer iki tarafı bulalım. Yani birini bulacağız ve ikincisi ona eşit olacak.

b tarafı = (16 – 2 × 5) ÷ 2 = 3 cm

Cevap: Dikdörtgenin iki kenarı 5 cm, iki kenarı 3 cm'dir.

Kare, tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgendir. Bir tarafın uzunluğunu hesaplamak için 4 ile çarpın:

P(kare) = a × 4

Örneğin B karesinin kenarı a = 5 cm'dir. Çevresini bulmak için:

P(B) = 5 × 4 = 20 cm

Bir karenin çevresini biliyorsanız kenar uzunluklarını nasıl bulabilirsiniz? Çok basit, çevresini dörde bölmeniz gerekiyor:

a = P ÷ 4

Örnek: Karenin çevresi 24 cm'dir. Kenarları nedir?

bir = 24 ÷ 4 = 6

Cevap: Karenin kenarları 6 cm'dir.

Bir karenin çevresini hesaplamaya benzer şekilde, tüm karelerin çevresi eşkenar çokgenler. yani uzunluğa eşit kenarlarından biri kenar sayısıyla çarpılır.

Bir çokgenin bir kenarının uzunluğu a ve kenar sayısı n ise çevresi şuna eşit olacaktır:

P(eşkenar çokgen) = a × n

Örneğin bir beşgen D'nin kenarı a = 6 cm'dir. Çevresini bulalım:

R(D) = 6 × 5 = 30 cm

Eşkenar çokgenin çevresi biliniyorsa, kenarlarının uzunluğunu hesaplamak çok kolaydır; çevresini kenar sayısına bölmeniz gerekir.