Göreli mekanikte hızların toplamı kanunu

Örnek. Örneğe (1.13) geri dönelim:

x = 1 + 12t 3t2

(koordinat metre cinsinden, süre ise saniye cinsinden ölçülür). Tutarlı bir şekilde iki kez farklılaştığımızda şunu elde ederiz:

vx = x = 12 6t;

balta = vx = 6:

Görüldüğü gibi ivme mutlak değerde sabit ve 6 m/s2'ye eşittir. Hızlanma X ekseninin tersi yönde yönlendirilir. Verilen örnek, ivmenin büyüklüğünün ve yönünün değişmediği, düzgün ivmeli hareket durumudur. Düzgün ivmeli hareket, mekanikte en önemli ve sık görülen hareket türlerinden biridir.İtibaren bu örnek düzgün hızlandırılmış harekette hızın izdüşümünün şu şekilde olduğunu anlamak zor değildir: doğrusal fonksiyon zaman ve koordinat

ikinci dereceden fonksiyon

. Düzgün ivmeli hareketle ilgili ilgili bölümde bunun hakkında daha ayrıntılı olarak konuşacağız.

Örnek. Daha egzotik bir durumu ele alalım:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 :

Ayırt edelim:

vx = x = 3 8t + 15t2 ;

balta = vx = 8 + 30t:

Bu hareket eşit şekilde hızlanmamaktadır; hızlanma zamana bağlıdır. Örnek. Cismin aşağıdaki yasaya göre X ekseni boyunca hareket etmesine izin verin: Vücut koordinatlarının periyodik olarak 5'ten 5'e kadar değiştiğini görüyoruz. Bu hareket bir örnektir.

harmonik titreşimler

, sinüs kanununa göre koordinat zamanla değiştiğinde.

İki kere ayırt edelim:

vx = x = 5 çünkü 2t 2 = 10 çünkü 2t;

1.2.8 ax = vx = 20 sin 2t:

Hız projeksiyonu kosinüs kanununa göre değişir, ivme projeksiyonu ise yine sinüs kanununa göre değişir. Ax miktarı, x koordinatıyla orantılı ve işaretinin tersidir (yani, ax = 4x); genel olarak ax = !2 x biçimindeki bir ilişki harmonik salınımların karakteristiğidir. Hızların eklenmesi kanunuİki referans sistemi olsun. Bunlardan biri konuyla ilgili

hareketsiz vücut

referans O. Bu referans sistemini K olarak gösterelim ve ona durağan diyelim. K0 ile gösterilen ikinci referans sistemi, O cismine göre ~u hızıyla hareket eden referans cismi O0 ile ilişkilidir. Bu referans sistemine hareketli diyoruz. Ek olarak varsayıyoruz

Sabit referans çerçevesi K genellikle zeminle ilişkilidir. Eğer bir tren raylar boyunca ~u hızıyla düzgün bir şekilde hareket ederse, o zaman tren vagonuyla ilişkili referans çerçevesi hareketli bir referans çerçevesi K0 olacaktır.

Araba3'teki herhangi bir noktanın hızının ~u olduğuna dikkat edin. Eğer bir sinek arabanın bir noktasında hareketsiz durursa, sinek yere göre ~u hızıyla hareket eder. Sinek, araba tarafından taşınır ve bu nedenle hareketli sistemin sabit olana göre hızına taşınabilir hız denir.

Şimdi arabanın üzerinde bir sineğin süründüğünü varsayalım. O zaman dikkate alınması gereken iki hız daha var.

Sineğin arabaya göre hızı (yani hareketli sistem K0'da) ~v0 ile gösterilir ve

bağıl hız denir.

Sineğin yere göre hızı (yani sabit bir K çerçevesinde) ~v ile gösterilir ve

mutlak hız denir.

Bu üç hızın (mutlak, göreceli ve taşınabilir) birbiriyle nasıl ilişkili olduğunu bulalım.

Şek. 1.11'de sinek M noktasıyla gösterilir. Sonraki:

Sabit bir K sistemindeki M noktasının yarıçap vektörü; K0 hareketli sisteminde M noktasının ~r0 yarıçap vektörü;

~ sabit bir sistemdeki referans cismi 0'ın yarıçap vektörü.


~r 0

Pirinç. 1.11. Hızların toplamı kanununun sonucuna

Şekilden de görülebileceği gibi,

~ 0 ~r = R + ~r:

Bu eşitliğin farklılığını alırsak şunu elde ederiz:

					gün 0

d~r=dt türevi K sistemindeki M noktasının hızıdır, yani mutlak hızdır:

d~r dt = ~v:

Benzer şekilde d~r 0 =dt türevi K0 sistemindeki M noktasının hızıdır, yani bağıl hızdır.

hız:

d~r dt 0 = ~v0 :

3 Dönen tekerleklere ek olarak, ancak bunları dikkate almıyoruz.

~ nedir? Bu sabit bir sistemdeki point0'ın hızıdır, yani taşınabilir dR=dt O

Hareketli bir sistemin sabit bir sisteme göre hızı ~u:

dR dt = ~u:

Sonuç olarak (1.28)'den şunu elde ederiz:

~v = ~u + ~v 0 :

Hızların toplamı kanunu. Bir noktanın sabit bir referans çerçevesine göre hızı, hareketli sistemin hızı ile noktanın hareketli sisteme göre hızının vektör toplamına eşittir. Başka bir deyişle mutlak hız, taşınabilir ve bağıl hızların toplamıdır.

Dolayısıyla, eğer bir sinek hareketli bir araba boyunca sürünürse, o zaman sineğin yere göre hızı, arabanın hızı ile sineğin arabaya göre hızının vektör toplamına eşittir. Sezgisel olarak açık sonuç!

1.2.9 Mekanik hareket türleri

En basit türler mekanik hareket Maddi bir noktanın hareketleri düzgün ve doğrusal harekettir.

Hız vektörünün büyüklüğü sabit kalıyorsa (hızın yönü değişebilir) harekete düzgün denir.

Hareket belirli bir düz çizgi boyunca meydana gelirse doğrusal denir (hızın büyüklüğü değişebilir). Başka bir deyişle doğrusal hareketin yörüngesi düz bir çizgidir.

Örneğin, seyahat eden bir araba sabit hız dolambaçlı bir yol boyunca düzgün (ancak doğrusal olmayan) bir hareket yapar. Otoyolun düz bir kesiminde hızlanan bir araba düz bir çizgide (fakat eşit biçimde değil) hareket eder.

Ancak bir cismi hareket ettirirken hızın büyüklüğü ve yönü sabit kalırsa, o zaman harekete düzgün doğrusal hareket denir. Bu yüzden:

düzgün hareket, j~vj = sabit;

üniforma düz hareket, ~v = sabit.

En önemli özel durum düzensiz hareketöyle düzgün hızlandırılmış hareket, kaldıkları yer sabit modül ve ivme vektörünün yönü:

düzgün ivmeli hareket, ~a = sabit.

Maddi noktanın yanı sıra, mekanikte başka bir idealleştirme de dikkate alınır - katı bir cisim.

Katı bir cisim, aralarındaki mesafelerin zamanla değişmediği bir malzeme noktaları sistemidir. Modeli sağlam vücudun büyüklüğünü ihmal edemeyeceğimiz ancak hareket sırasında vücudun büyüklüğü ve şeklindeki değişikliği dikkate alamadığımız durumlarda kullanılır.

Katı bir cismin en basit mekanik hareketi öteleme ve dönme hareketidir.

Bir cismin herhangi iki noktasını birleştiren herhangi bir düz çizgi, orijinal yönüne paralel hareket ediyorsa, cismin hareketine öteleme denir. Öteleme hareketi sırasında vücudun tüm noktalarının yörüngeleri aynıdır: paralel bir kayma ile birbirlerinden elde edilirler.

Yani, Şekil 2'de. 1.12 gösteriliyor ileri hareket gri kare. Bu karenin keyfi olarak seçilen yeşil kısmı kendisine paralel hareket ediyor. Segmentin uçlarının yörüngeleri mavi noktalı çizgilerle gösterilmiştir.

Pirinç. 1.12. İleri hareket

Bir cismin hareketine, eğer cismin tüm noktaları daire çiziyorsa dönme hareketi denir. paralel düzlemler. Bu durumda bu dairelerin merkezleri, tüm bu düzlemlere dik olan ve dönme ekseni adı verilen tek bir düz çizgi üzerinde yer alır.

Şek. 1.13 kendi etrafında dönen bir topu göstermektedir dikey eksen. Genelde böyle çiziyorlar küre ilgili dinamik problemlerde.

Pirinç. 1.13. Dönme hareketi

Hızların toplamı kanunu göreceli mekanik

Sisteme göre olsun İLE' maddi nokta hızla hareket eder sen (Şekil 2.3.2). Hızı bulalım sen sisteme göre maddi nokta İLE. Hız projeksiyonları sen Ve sen ′ sistemlerde koordinat ekseninde İLE Ve İLE' buna göre aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

, , , , , . (2.3.10)

Lorentz dönüşümlerine göre (4 – 7),

, , , . (2.3.11)

(2.3.11) ifadelerini (2.3.10)'a değiştirerek, dönüşümlerden sonra hızların göreceli toplamı yasasını elde ederiz:

, (2.3.12)

, (2.3.13)

. (2.3.14)

Hız ise v Ve sen ışık hızına göre küçükse (2.3.12) – (2.3.14) ifadeleri hızların toplamı kanununa dönüşür. klasik mekanik:

, , . (2.3.15)

Malzeme noktasının eksene paralel hareket etmesine izin verin X.

Daha sonra hızların toplamına ilişkin göreceli yasa (2.3.12) şu şekli alır:

. (2.3.16)

Sistemde ise İLE', daha sonra sistemde İLE ,

onlar. iki hız eklenirken ortaya çıkan hız şu şekilde ortaya çıktı: eşit hız Einstein'ın ikinci önermesini doğrulayan boşluktaki ışık.

Aralık

Referans sistemine izin verin İLE iki olay meydana gelir: ilki - koordinatları olan bir noktada x 1 , y 1 , z 1 zamanın bir noktasında t1,

ikincisi – koordinatları olan bir noktada x 2, y 2, z2 zamanın bir noktasında t 2. Dört boyutlu uzay-zamandaki her olay bir noktaya ( X,sen,z,T), buna dünya noktası denir. Boyut

bu olaylar arasındaki aralık veya iki nokta arasındaki aralık ( x 1,y 1,z1,t 1) Ve ( x 2,y 2,z2,t 2) dört boyutlu uzay-zamanda. Lorentz dönüşümleri kullanılarak bu miktarın tüm referans sistemlerinde aynı değere sahip olduğu gösterilebilir. Lorentz dönüşümlerinin değişmezidir.

Olaylar arasındaki zaman aralığını gösterelim t 2 – t 1= =12 ve olayların meydana geldiği noktalar arasındaki uzaysal mesafe.

Daha sonra aralık şu şekli alacaktır: .

İlk olay şu anda olsun t 1 noktasından ( x 1,y 1,z1) bir ışık sinyali yayılır ve ikincisi o anda t 2 bu sinyal şu noktada alınır ( x 2,y 2,z2). Sinyal ışık hızında hareket eder, bu nedenle ben 12= ct 12. Bu durum için aralık 12 numara= 0. Bu aralığa sıfır denir. Işık hızında hareket eden bir sinyalin birbirine bağlanabileceği olaylar arasında sıfır aralık vardır. Sıfır aralıkla olaylar herhangi bir referans çerçevesinde neden-sonuç ilişkisiyle birbirleriyle ilişkilendirilebilir.

Eğer ben 12 > ct 12 o zaman söz konusu olaylar birbirini etkileyemez, yani. Aralarında neden-sonuç ilişkisi olamaz, çünkü hiçbir sinyal, hiçbir etki boşlukta ışığın hızından daha hızlı yayılamaz. Bu durumda aralık sanal olacaktır. Sanal aralıklara denir uzay benzeri. Hayali bir aralıkla ayrılan olaylar herhangi bir referans çerçevesindeki bir noktada meydana gelemez, çünkü bu durumda aralık bu referans çerçevesinde gerçek hale gelecektir ( ben 12= 0). Değişmezlik nedeniyle tüm referans sistemlerindeki aralık sanal kalmalıdır. Uzay benzeri bir aralıkla ayrılan olaylar için, bunların aynı anda meydana geldiği bir referans çerçevesi bulmak mümkündür ( 12=0).

Eğer ben 12 < ct 12, o zaman aralığın gerçek olduğu ortaya çıkar. Bu tür aralıklara denir zamanlı. Zamana benzer bir aralıkla ayrılan olaylar birbirleriyle nedensel olarak ilişkili olabilir. Bu tür olaylar herhangi bir referans çerçevesinde aynı anda meydana gelemez ( 12= 0), çünkü bu durumda aralık sanal hale gelecektir. Ancak bu olaylar için, bunların bir noktada meydana geldiği bir referans çerçevesi vardır ( ben 12 = 0).

Lorentz dönüşümleri bize bir referans sisteminden diğerine geçerken olayın koordinatlarındaki değişimi hesaplama fırsatı verir. Şimdi referans sistemi değiştiğinde aynı cismin hızının nasıl değişeceği sorusunu soralım.

Klasik mekanikte bilindiği gibi bir cismin hızı basitçe referans sisteminin hızına eklenir. Şimdi görelilik teorisinde hızın daha karmaşık bir yasaya göre dönüştüğünü göreceğiz.

Biz yine kendimizi tek boyutlu durumu ele almakla sınırlayacağız. İki referans sistemi S ve S'nin, eksenlere paralel ve düzgün biçimde paralel hareket eden bir cismin hareketini "gözlemlemesine" izin verin. X Ve x' her iki referans sistemi. Referans sistemi tarafından ölçülen vücudun hızına izin verin S, Orada Ve; Aynı cismin S sistemi tarafından ölçülen hızı şu şekilde gösterilecektir: ve' . Mektup v Sistemin hızını belirtmeye devam edeceğiz S' ile ilgili S.

Vücudumuzda koordinatları sistemde belirtilen iki olayın meydana geldiğini varsayalım. S öz x 1, t 1, VeX 2 , T 2 . Sistemdeki aynı olayların koordinatları S` bırak onlar olsun x'1, T` 1 ; x' 2 , t' 2 . Ancak bir cismin hızı, cismin kat ettiği mesafenin buna karşılık gelen zaman dilimine oranıdır; bu nedenle, bir referans sisteminin birinde ve diğerinde bir cismin hızını bulmak için, her iki olayın uzaysal koordinatlarındaki farkı zaman koordinatlarındaki farka bölmeniz gerekir.

eğer ışığın hızı sonsuz kabul edilirse, her zaman olduğu gibi göreceli olandan elde edilebilir. Aynı formül şu şekilde de yazılabilir:

Küçük, "sıradan" hızlar için, hem göreceli hem de klasik formüller neredeyse aynı sonuçları verir ve okuyucu isterse bunu kolayca doğrulayabilir. Ancak ışık hızına yakın hızlarda fark çok belirgin hale geliyor. Yani eğer v=150.000 km/sn, u`=200 000 kilometre/İleek, km/sn göreceli formül şunu verir sen = 262 500 kilometre/İleek.

S v hızıyla = 150.000 km/sn. S` sonucu verir =200 000 km/sn. kilometre/İleek.

km/sn, ve ikincisi - 200.000 km/sn, kilometre.

İle. Bu ifadeyi oldukça kesin bir şekilde kanıtlamak zor değil. Kontrol etmek gerçekten çok kolay.

Küçük, "sıradan" hızlar için, hem göreceli hem de klasik formüller neredeyse aynı sonuçları verir ve okuyucu isterse bunu kolayca doğrulayabilir. Ancak ışık hızına yakın hızlarda fark çok belirgin hale geliyor. Yani eğer v=150.000 km/sn, u`=200 000 kilometre/İleek, o zaman klasik sonuç yerine u = 350.000 km/sn göreceli formül şunu verir sen = 262 500 kilometre/İleek. Hız ekleme formülünün anlamına göre bu sonuç şu anlama gelir.

Referans sistemi S'nin referans sistemine göre hareket etmesine izin verin S v hızıyla = 150.000 km/sn. Bir cismin aynı yönde hareket etmesine izin verin ve hızı referans sistemi tarafından ölçülür. S` sonuç verir sen =200 000 km/sn.Şimdi aynı cismin hızını S referans çerçevesini kullanarak ölçersek, u=262,500 elde ederiz. kilometre/İleek.

Elde ettiğimiz formülün özellikle aynı cismin bir referans sisteminden diğerine hızını yeniden hesaplamak için tasarlandığını ve hiçbir şekilde iki cismin "yaklaşma hızını" veya "uzaklaşma hızını" hesaplamak için tasarlanmadığını vurgulamak gerekir. Aynı referans çerçevesinden birbirine doğru hareket eden iki cismi gözlemlersek ve bir cismin hızı 150.000 ise km/sn, ve ikincisi - 200.000 km/sn, o zaman bu cisimler arasındaki mesafe her saniye 350.000 azalacak kilometre. Görelilik teorisi aritmetik yasalarını ortadan kaldırmaz.

Okuyucu zaten anlamıştır ki, bu formülü ışık hızını aşmayan hızlara uygulayarak yine aşmayan bir hız elde edeceğiz. İle. Bu ifadeyi oldukça kesin bir şekilde kanıtlamak zor değil. Aslında eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek kolaydır

Çünkü sen ≤ с Ve v < C, eşitliğin sağ tarafında pay ve payda ve onlarla birlikte kesrin tamamı negatif değildir. Bu yüzden köşeli parantez birden az ve bu nedenle ve ≤ c .
Eğer Ve` = İle, sonra ve ve=İle. Bu, ışık hızının sabitliği kanunundan başka bir şey değildir. Elbette bu sonucu, ışık hızının sabitliği varsayımının "kanıtı" ya da en azından "doğrulanması" olarak değerlendirmemek gerekir. Sonuçta biz en başından beri bu postüladan yola çıktık ve onunla çelişmeyen bir sonuca ulaşmamız şaşırtıcı değil, aksi takdirde bu postüla çelişkili ispatla çürütülmüş olurdu. Aynı zamanda hızların toplamı yasasının ışık hızının sabitliği varsayımına eşdeğer olduğunu görüyoruz; bu iki ifadenin her biri mantıksal olarak diğerinden (ve görelilik teorisinin geri kalan varsayımlarından) çıkar.

Hızların toplamı yasasını türetirken cismin hızının paralel olduğunu varsaydık. bağıl hız referans sistemleri. Bu varsayım yapılamaz, ancak o zaman formülümüz yalnızca x ekseni boyunca yönlendirilen hız bileşeniyle ilgili olacaktır ve formül şu şekilde yazılmalıdır:

Bu formülleri kullanarak olguyu analiz edeceğiz sapmalar(bkz. § 3). Kendimizi en basit durumla sınırlayalım. Referans sisteminde bir miktar armatür olsun S hareketsiz, daha da ileri olsun, referans sistemi S` sisteme göre hareket eder S hızla v ve S' ile hareket eden gözlemcinin, yıldız tam başının üzerinde olduğu anda yıldızdan gelen ışık ışınlarını almasına izin verin (Şekil 21). Bu ışının sistemdeki hız bileşenleri S irade
sen x = 0, sen y = 0, sen x = -c.

Referans çerçevesi S` için formüllerimiz şunu verir:
sen X = -v, u` sen = 0,
sen z = -c√ (1 - v 2 /C 2 )
Eğer bölersek kirişin eğim açısının z eksenine olan tanjantını elde ederiz. ve'X Açık sen:
ten rengi α = ve'X / ve'z = (v/c) / √(1 - v 2 /c 2)

Hız ise v çok büyük değilse, o zaman bizim bildiğimiz yaklaşık formülü uygulayabiliriz.
tg α = v/c + 1/2*v 2 /c 2 .
İlk terim iyi bilinen klasik bir sonuçtur; ikinci terim göreceli düzeltmedir.

Dünyanın yörünge hızı yaklaşık 30 km/sn, Bu yüzden (v/ C) = 1 0 -4 . Küçük açılar için teğet, radyan cinsinden ölçülen açının kendisine eşittir; Bir radyan yaklaşık 200.000 yay saniyesi içerdiğinden sapma açısını elde ederiz:
a = 20°
Göreceli düzeltme 20.000.000 kat daha küçüktür ve doğruluk sınırlarının çok ötesindedir. astronomik ölçümler. Sapma nedeniyle, yıldızlar her yıl gökyüzünde yarı ana eksenleri 20 inç olan elipsler çizerler.

Hareket eden bir cisme baktığımızda onu olduğu yerde görmeyiz şu anda ama biraz daha erken olduğu yerde, çünkü ışığın vücuttan gözlerimize ulaşması biraz zaman alıyor. Görelilik teorisi açısından bu fenomen, sapmaya eşdeğerdir ve söz konusu cismin hareketsiz olduğu referans çerçevesine hareket edildiğinde ona indirgenir. Bu basit değerlendirmeye dayanarak, sapma formülünü aşağıdaki yöntemlere başvurmadan, tamamen basit bir yolla elde edebiliriz. göreceli yasa hızların eklenmesi.

Armatürümüzün paralel hareket etmesine izin verin dünyanın yüzeyi sağdan sola (Şek. 22). O noktaya varıldığında A, tam altında C noktasında bulunan bir gözlemci onu hala bu noktada görüyor İÇİNDE. Yıldızın hızı eşitse v, ve segmenti geçtiği süre AİÇİNDE, eşittir Δt, O

AB =Δt ,
M.Ö. = CΔt ,

günahα = AB/BC = v/c.

Ama sonra göre trigonometri formülü,

Q.E.D. Klasik kinematikte bu iki bakış açısının eşdeğer olmadığına dikkat edin.

Ayrıca ilginç sonraki soru. Bilindiği gibi klasik kinematikte hızlar paralelkenar kuralına göre toplanır. Bu yasayı daha karmaşık bir yasayla değiştirdik. Bu, görelilik teorisinde hızın artık bir vektör olmadığı anlamına mı geliyor?

Öncelikle şu gerçek sen≠ sen`+ v (vektörleri kalın harflerle gösteriyoruz) tek başına hızın vektör doğasını inkar etmek için bir zemin sağlamaz. Verilen iki vektörden üçüncü bir vektör yalnızca bunların eklenmesiyle değil, örneğin vektör çarpımı yoluyla ve genel olarak sayısız yolla elde edilebilir. Referans sistemi değiştiğinde vektörlerin değişeceği hiçbir yerden anlaşılamaz. ve' Ve v tam olarak eklenmelidir. Aslında bunu ifade eden bir formül var. Ve başından sonuna kadar ve' Ve v vektör hesabı işlemlerini kullanma:

Bu bakımdan “hızların toplamı kanunu” isminin pek de yerinde olmadığını kabul etmek gerekir; bazı yazarların yaptığı gibi toplamadan değil, referans sistemini değiştirirken hızın dönüşümünden bahsetmek daha doğrudur.

İkinci olarak, görelilik kuramında hızların hâlâ vektörel olarak toplandığı durumları belirtmek mümkündür. Örneğin vücudun belirli bir süre hareket etmesine izin verin Δt hızla sen 1, ve sonra - aynı hızda aynı süre boyunca sen 2. Bu karmaşık hareket sabit hızlı hareketle değiştirilebilir u = sen 1+ sen 2. İşte hız sen 1 ve sen 2 paralelkenar kuralına göre benzer vektörleri toplayın; görelilik teorisi burada hiçbir değişiklik yapmıyor.
Genel olarak, görelilik teorisinin "paradokslarının" çoğunun şu ya da bu şekilde referans çerçevesindeki bir değişiklikle bağlantılı olduğuna dikkat edilmelidir. Olayları aynı referans çerçevesinde ele alırsak, görelilik teorisinin onların modellerinde ortaya çıkardığı değişiklikler, sıklıkla düşünüldüğü kadar dramatik olmaktan uzaktır.

Görelilik teorisindeki sıradan üç boyutlu vektörlerin doğal bir genellemesinin dört boyutlu vektörler olduğunu da belirtelim; referans sistemi değiştiğinde Lorentz formüllerine göre dönüştürülür. Üç mekansal bileşene ek olarak, zamansal bir bileşene de sahiptirler. Özellikle, dikkate alınabilir dört boyutlu vektör hız. Bununla birlikte, bu vektörün uzamsal "kısmı" olağan üç boyutlu hız ile örtüşmemektedir ve genel olarak dört boyutlu hız, özellikleri açısından üç boyutludan belirgin şekilde farklıdır. Özellikle, iki dört boyutlu hızın toplamı genel anlamda bir hız olmayacaktır.

K" referans çerçevesindeki cismin x" (ve x) ekseni boyunca yönlendirilmiş bir v" hızına sahip olduğunu varsayalım: K referans çerçevesinde, bu cismin hızı şöyle olacaktır:
. v" ve v hızları arasındaki ilişkinin ne olduğunu bulalım. Türevi düşünün Lorentz dönüşümlerini kullanarak bulduğumuz dx ve dt diferansiyellerinin oranı olarak:

Sağ tarafın payını ve paydasını dt"ye bölün ve elde edin

onlar. Galileo'nun dönüşümlerinden farklı olarak toplam hız, hızların toplamına eşit değildir, ancak
kat daha düşük. Cismin rokette ışık hızı v" x = c ile hareket etmesine izin verin ve roket sabit koordinat sistemi v 0 = c'ye göre ışık hızıyla hareket etsin. Cisim sabit koordinat sistemine göre hangi v x hızıyla hareket eder? koordinat sistemi?

Galileo dönüşümüne göre bu hız v = v" x + v 0 = 2c'dir. Lorentz dönüşümüne göre

Göreli dinamik kavramı. Kütle ve enerji arasındaki ilişki yasaları. Toplam ve kinetik enerji. Bir parçacığın toplam enerjisi ile momentumu arasındaki ilişki.

Çok küçük olmayan cisimlerin çok yüksek hızlara sahip olmayan hareketi klasik mekaniğin kanunlarına uyar. İÇİNDE XIX sonu yüzyılda, bir cismin m kütlesinin sabit bir değer olmadığı, hareketinin hızına v bağlı olduğu deneysel olarak tespit edildi. Bu bağımlılık şu şekildedir:

burada m 0 geri kalan kütledir.

Eğer v = 300 km/s ise, o zaman v 2 /c 2 = 1∙ 10 -6 ve m > m 0 5 ∙ 10 -7 m 0 miktarında olur.

Klasik mekaniğin temel hükümlerinden birinin (m = const) reddedilmesi, diğer bazı temellerinin eleştirel bir analizinin yapılması ihtiyacını doğurmuştur. Göreli dinamiklerde momentumun ifadesi şu şekildedir:

Mekaniğin yasaları, göreceli dinamiklerdeki biçimini korur. Momentum değişimi d(mv) ) kuvvet darbesine eşit Fdt

dp = d(mv) = F dt.

Dolayısıyla dp/dt = F- temel yasanın ifadesidir göreli dinamikler maddi bir nokta için.

Her iki durumda da bu ifadelerin içerdiği kütle değişken bir büyüklüktür (m ≠ const) ve zamana göre de türevinin alınması gerekir.

Kütle ile enerji arasındaki bağlantıyı kuralım. Enerjideki artış, klasik mekanikte olduğu gibi F kuvvetinin çalışmasından kaynaklanmaktadır. Sonuç olarak dE = Fds olur. Sol ve sağ tarafları dt'ye bölerek şunu elde ederiz:

Burayı değiştir

Ortaya çıkan eşitliğin sol ve sağ taraflarını dt ile çarparak şunu elde ederiz:

Kütle ifadesinden
hadi tanımlayalım

v 2 ifadesinin türevini alalım.

dE ifadesinde v 2 ve d(v 2)'yi yerine koyalım

Bu ifadenin integralini alarak E = mc 2 elde ederiz.

E sisteminin toplam enerjisi, kütlenin boşluktaki hızının karesiyle çarpımına eşittir. Göreli dinamikte durgun kütlesi olmayan parçacıklar için enerji ve momentum arasındaki ilişki şu ilişkiyle verilir:

matematiksel olarak elde edilmesi kolay olan: E=mc 2 ,p=mv . Her iki eşitliğin karesini alalım ve saniyenin her iki tarafını da c 2 ile çarpalım

E 2 = m 2 c 4, p 2 c 2 = m 2 v 2 c 2.

Birinci eşitlikten ikinciden terim terim çıkarın

E 2 – p 2 c 2 = m 2 c 4 -m 2 v 2 c 2 = m 2 c 4 (1-v 2 / c 2).

Bunu göz önünde bulundurarak
aldık

Geri kalan kütle m 0 ve ışık hızı c, Lorentz dönüşümlerine göre değişmez nicelikler olduğundan, (E 2 - p 2 c 2) ilişkisi de Lorentz dönüşümlerine göre değişmezdir. Bu ilişkiden toplam enerji için bir ifade elde ederiz.

Dolayısıyla bu denklemden şu sonuca varabiliriz:

Durgun kütlesi olmayan maddi parçacıkların (fotonlar, nötrinolar) da enerjisi vardır. Bu parçacıklar için enerji ve momentum arasındaki ilişkinin formülü E = pc'dir.

Yukarıdaki dönüşümlerden dE=c 2 dm elde ettik. Sol tarafın E 0'dan E'ye ve sağ tarafın m 0'dan m'ye entegrasyonu şunu verir: