Mekanik.
Soru No.1
Referans sistemi. Eylemsiz referans sistemleri. Galileo-Einstein'ın görelilik ilkesi.
Referans çerçevesi- bu, belirli bir cismin hareketinin ve onunla ilişkili koordinat sisteminin tanımlandığı bir dizi cisimdir.
Atalet referans sistemi (IRS) serbestçe hareket eden bir cismin dinlenme veya düzgün doğrusal hareket halinde olduğu bir sistemdir.
Galileo-Einstein görelilik ilkesi- Herhangi bir zamanda tüm doğal olaylar eylemsizlik sistemi sayımlar aynı şekilde gerçekleşir ve aynı matematiksel form. Başka bir deyişle, tüm ISO'lar eşittir.
Soru 2
Hareket denklemi. Katı bir cismin hareket türleri. Kinematiğin ana görevi.
Hareket denklemleri maddi nokta:
- kinematik hareket denklemi
Katı cisim hareketi türleri:
1) Öteleme hareketi - vücutta çizilen herhangi bir düz çizgi kendisine paralel hareket eder.
2) Dönme hareketi - vücudun herhangi bir noktası bir daire içinde hareket eder.
φ = φ(t)
Kinematiğin ana görevi- bu, maddi bir noktanın V = V(t) hızının ve koordinatlarının (veya yarıçap vektörü) r = r(t)'nin zamana bağımlılığının, a = a(t) ivmesinin zamana bilinen bağımlılığından elde edilmesidir. ve bilinen başlangıç koşulları V 0 ve r 0.
7. Soru
Nabız (Hareket miktarı) - vektör fiziksel miktar, ölçüyü karakterize eden mekanik hareket bedenler. İÇİNDE Klasik mekanik vücut dürtüsü ürüne eşit kitleler M hızına göre bu nokta v impulsun yönü hız vektörünün yönüyle çakışır:
İÇİNDE teorik mekanik genelleştirilmiş dürtü sistemin Lagrange'ının kısmi türevidir. genelleştirilmiş hız
Eğer sistemin Lagrangianı bazı faktörlere bağlı değilse genelleştirilmiş koordinatlar, o zaman nedeniyle Lagrange denklemleri .
İçin serbest parçacık Lagrange fonksiyonu şu şekildedir: , dolayısıyla:
Lagrangian'ın bağımsızlığı kapalı sistem uzaydaki konumundan mülkiyeti takip eder uzayın homojenliği: temelli olarak yalıtılmış sistem davranışı onu uzayda nereye yerleştirdiğimize bağlı değildir. İle Noether'in teoremi Bu homojenlik, bazı fiziksel niceliklerin korunmasını takip eder. Bu miktara dürtü denir (sıradan, genelleştirilmiş değil).
Klasik mekanikte tam dürtü maddi noktalar sistemine denir vektör miktarı, maddi noktaların kütlelerinin ve hızlarının çarpımlarının toplamına eşittir:
buna göre miktar, bir maddi noktanın momentumu olarak adlandırılır. Bu, parçacık hızıyla aynı yönde yönlendirilmiş bir vektör miktarıdır. İmpuls birimi Uluslararası sistem birimler (SI) kilogram-metre bölü saniye(kg m/sn)
Eğer sonlu büyüklükte bir cisimle ilgileniyorsak, onun momentumunu belirlemek için, cismi maddi noktalar olarak kabul edilebilecek ve bunların üzerinden toplanacak küçük parçalara ayırmak gerekir; sonuç olarak şunu elde ederiz:
Herhangi bir dış kuvvetten etkilenmeyen (veya telafi edilen) bir sistemin darbesi kaydedildi zamanında:
Bu durumda momentumun korunumu Newton'un ikinci ve üçüncü yasalarından kaynaklanır: Sistemi oluşturan maddi noktaların her biri için Newton'un ikinci yasasını yazarak ve sistemi oluşturan tüm maddi noktaları toplayarak, Newton'un üçüncü yasası sayesinde eşitlik elde ederiz (* ).
İÇİNDE göreceli mekanik etkileşmeyen maddi noktalardan oluşan bir sistemin üç boyutlu momentumu niceliktir
,
Nerede ben ben- ağırlık Ben maddi nokta.
Etkileşmeyen malzeme noktalarından oluşan kapalı bir sistem için bu değer korunur. Ancak üç boyutlu momentum, referans çerçevesine bağlı olduğundan göreceli olarak değişmez bir nicelik değildir. Daha anlamlı bir nicelik, bir maddi nokta için şu şekilde tanımlanan dört boyutlu momentum olacaktır:
Uygulamada, bir parçacığın kütlesi, momentumu ve enerjisi arasında aşağıdaki ilişkiler sıklıkla kullanılır:
Prensip olarak, birbiriyle etkileşime girmeyen maddi noktalardan oluşan bir sistem için bunların 4-momentleri toplanır. Ancak göreceli mekanikte etkileşen parçacıklar için sadece sistemi oluşturan parçacıkların momentumunu değil, aynı zamanda aralarındaki etkileşim alanının momentumunu da hesaba katmak gerekir. Bu nedenle, göreli mekanikte çok daha anlamlı bir nicelik, korunum yasalarını tam olarak karşılayan enerji-momentum tensörüdür.
Soru #8
Atalet momenti- Skaler fiziksel nicelik, bir cismin hareket halindeki ataletinin ölçüsüdür. dönme hareketi Tıpkı bir cismin kütlesinin öteleme hareketindeki ataletinin bir ölçüsü olması gibi. Kütlelerin vücuttaki dağılımıyla karakterize edilir: eylemsizlik momenti toplamına eşit temel kütlelerin çarpımlarının uzaklıklarının karesine oranı baz seti
Eksenel atalet momenti
Bazı cisimlerin eksenel atalet momentleri.
Atalet momenti mekanik sistem nispeten sabit eksen(“eksenel atalet momenti”) miktardır Ja tüm kütlelerin çarpımlarının toplamına eşit N sistemin maddi noktalarının eksene olan uzaklıklarının kareleri:
,
- ben ben- ağırlık Ben nokta,
- ri- mesafe Ben eksene işaret eder.
eksenel eylemsizlik momenti vücut Ja bir cismin kütlesinin öteleme hareketindeki ataletinin bir ölçüsü olması gibi, bir eksen etrafında dönme hareketi yapan bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür.
,
- DM = ρ dV- vücut hacminin küçük bir elemanının kütlesi dV,
- ρ - yoğunluk,
- R- elemandan uzaklık dV a eksenine.
Eğer cisim homojen ise yani yoğunluğu her yerde aynı ise o zaman
Formülün türetilmesi
DM ve eylemsizlik momentleri DJ ben. Daha sonra
İnce duvarlı silindir (halka, kasnak)
Formülün türetilmesi
Bir cismin eylemsizlik momenti, onu oluşturan parçaların eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. İnce duvarlı bir silindiri kütlesi olan elemanlara bölün DM ve eylemsizlik momentleri DJ ben. Daha sonra
İnce duvarlı bir silindirin tüm elemanları dönme ekseninden aynı uzaklıkta olduğundan formül (1) şu şekle dönüştürülür:
Steiner teoremi
Atalet momenti Katı bir cismin herhangi bir eksene göre konumu yalnızca cismin kütlesine, şekline ve boyutuna değil, aynı zamanda cismin bu eksene göre konumuna da bağlıdır. Steiner teoremine göre (Huygens-Steiner teoremi), eylemsizlik momenti vücut J keyfi bir eksene göre toplam eşittir eylemsizlik momenti bu vücut Jc söz konusu eksene paralel olarak cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre ve vücut kütlesinin çarpımı M mesafenin karesi başına D eksenler arasında:
Eğer bir cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre atalet momenti ise, o zaman ondan belli bir mesafede bulunan paralel bir eksene göre atalet momenti eşittir
,
Nerede - tam kütle bedenler.
Örneğin, bir çubuğun ucundan geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti şuna eşittir:
Dönme enerjisi
Dönme hareketinin kinetik enerjisi- bir cismin dönüşüyle ilişkili enerjisi.
Temel kinematik özellikler bir cismin dönme hareketi - açısal hızı (ω) ve açısal ivme. Dönme hareketinin ana dinamik özellikleri - z dönme eksenine göre açısal momentum:
k z = Izω
ve kinetik enerji
burada ben z dönme eksenine göre vücudun atalet momentidir.
Benzer bir örnek, ana eylemsizlik eksenlerine sahip dönen bir molekül göz önüne alındığında bulunabilir. ben 1, ben 2 Ve ben 3. Böyle bir molekülün dönme enerjisi şu ifadeyle verilir:
Nerede ω 1, ω 2, Ve ω 3- açısal hızın ana bileşenleri.
İÇİNDE Genel dava, dönme sırasındaki enerji açısal hız aşağıdaki formülle bulunur:
, Nerede BEN- eylemsizlik tensörü.
9. Soru
Dürtü anı (açısal momentum, açısal momentum, yörünge momentumu, açısal momentum) dönme hareketinin miktarını karakterize eder. Ne kadar kütlenin döndüğüne, dönme eksenine göre nasıl dağıldığına ve dönmenin hangi hızda gerçekleştiğine bağlı bir miktar.
Burada rotasyonun şu şekilde anlaşıldığına dikkat edilmelidir: geniş anlamda, yalnızca bir eksen etrafında düzenli dönüş olarak değil. Örneğin, hatta düz hareket Hareket çizgisi üzerinde olmayan hayali bir noktadan geçen cisim aynı zamanda açısal momentuma da sahiptir. Gerçek dönme hareketinin tanımlanmasında belki de en büyük rol açısal momentum tarafından oynanır. Bununla birlikte, çok daha geniş bir sorun sınıfı için son derece önemlidir (özellikle sorunun merkezi veya merkezi bir sorunu varsa). eksenel simetri ancak yalnızca bu durumlarda değil).
Açısal momentumun korunumu kanunu(açısal momentumun korunumu yasası) - Kapalı bir sistem için herhangi bir eksene göre tüm açısal momentumun vektör toplamı, sistemin denge durumunda sabit kalır. Buna göre, kapalı bir sistemin açısal momentumunun zamana göre türevi olmayan herhangi bir şeye göre açısal momentumu kuvvet momentidir:
Dolayısıyla sistemin kapalı olması şartı, dış kuvvetlerin ana (toplam) momentinin sıfıra eşit olması şartına göre zayıflatılabilir:
parçacık sistemine uygulanan kuvvetlerden birinin momenti nerede? (Fakat elbette dış güçler yoksa bu gereksinim de karşılanır).
Matematiksel olarak açısal momentumun korunumu yasası, uzayın izotropisinden, yani uzayın dönmeye göre değişmezliğinden kaynaklanır. keyfi açı. Rastgele sonsuz küçük bir açıyla döndürüldüğünde, parçacığın sayı içeren yarıçap vektörü ve hızı - kadar değişecektir. Sistemin Lagrange fonksiyonu, uzayın izotropisinden dolayı böyle bir dönme ile değişmeyecektir. Bu yüzden
Sabit bir eksen etrafında dönen tamamen katı bir cisim düşünelim. Bu bedeni zihinsel olarak sonsuz küçük boyut ve kütlelere sahip sonsuz küçük parçalara ayıralım. m v t., t 3,... mesafelerde bulunur R v R 0 , R 3,... eksenden. Dönen bir cismin kinetik enerjisi bunu küçük parçalarının kinetik enerjilerinin toplamı olarak buluruz:
- eylemsizlik momenti sağlam bu eksene göre 00,. Öteleme ve dönme hareketlerinin kinetik enerjisi formüllerinin karşılaştırılmasından açıkça görülmektedir ki Dönme hareketindeki eylemsizlik momenti, öteleme hareketindeki kütleye benzer. Formül (4.14), bireysel malzeme noktalarından oluşan sistemlerin eylemsizlik momentini hesaplamak için uygundur. Katı cisimlerin eylemsizlik momentini hesaplamak için integralin tanımını kullanarak onu şu forma dönüştürebilirsiniz:
Atalet momentinin eksen seçimine bağlı olduğunu ve eksen seçimine göre değiştiğini fark etmek kolaydır. paralel aktarım ve dön. Bazı homojen cisimler için eylemsizlik momentlerinin değerlerini bulalım.
Formül (4.14)'ten açıkça görülmektedir ki maddi bir noktanın eylemsizlik momenti eşittir
Nerede T - nokta kütlesi; R- dönme eksenine olan mesafe.
Eylemsizlik momentini hesaplamak kolaydır içi boş ince duvarlı silindir(veya düşük yüksekliğe sahip bir silindirin özel durumu - ince halka) yarıçap R simetri eksenine göre. Böyle bir gövde için tüm noktaların dönme eksenine olan mesafesi aynıdır, yarıçapa eşittir ve toplam işaretinin (4.14) altından çıkarılabilir:
Pirinç. 4.5
Katı silindir(veya özel durum alçak yüksekliğe sahip silindir - disk) yarıçap R simetri eksenine göre eylemsizlik momentini hesaplamak için integralin (4.15) hesaplanması gerekir. Bu durumda kütlenin ortalama olarak içi boş bir silindire göre eksene biraz daha yakın yoğunlaştığını ve formülün (4.17)'ye benzer olacağını, ancak katsayıdan daha az olacağını önceden anlayabilirsiniz. birlik. Bu katsayıyı bulalım. Katı bir silindirin yoğunluğu p ve yüksekliği A olsun. Onu içi boş silindirlere (ince) bölelim. silindirik yüzeyler) kalınlık doktor(Şekil 4.5 simetri eksenine dik bir projeksiyonu göstermektedir). Yarıçapı r olan böyle içi boş bir silindirin hacmi alana eşit yüzeyin kalınlıkla çarpımı: dV = 2nrhdr, ağırlık: dm = 2nphrdr, ve formül (4.17)'ye göre eylemsizlik momenti: DJ =
= r 2 dm = 2lr/?g Wr. Katı bir silindirin toplam atalet momenti, içi boş silindirlerin atalet momentlerinin entegrasyonu (toplanması) ile elde edilir:
Aynı şekilde arayın ince bir çubuğun eylemsizlik momenti uzunluk L ve kitleler T, dönme ekseni çubuğa dik ise ve ortasından geçiyorsa. Hadi bunu parçalayalım
Katı bir silindirin kütlesinin formülle yoğunlukla ilişkili olduğu dikkate alındığında t = nR 2 hp, sonunda elimizde Katı bir silindirin eylemsizlik momenti:
Pirinç. 4.6
şek. 4,6 adet kalınlık DL. Böyle bir parçanın kütlesi eşittir dm = mdl/L, ve formül (4.6)'ya göre eylemsizlik momenti: dj = l 2 dm = l 2 mdl/L.İnce bir çubuğun toplam atalet momenti, parçaların atalet momentlerinin integrali (toplanması) ile elde edilir:
Almak temel integral uzunluğundaki ince bir çubuğun eylemsizlik momentini verir L ve kitleler T
Pirinç. 4.7
Arama yaparken integrali almak biraz daha zordur eylemsizlik momenti homojen top yarıçap R ve simetri eksenine göre kütle /77. Katı bir topun yoğunluğu p olsun. Şekil 2'ye göre parçalayalım. Kalın içi boş ince silindirler için 4.7 doktor, simetri ekseni topun dönme ekseniyle çakışmaktadır. Yarıçapı böyle içi boş bir silindirin hacmi G yüzey alanının kalınlıkla çarpımına eşittir:
silindirin yüksekliği nerede H Pisagor teoremini kullanarak bulundu:
O zaman içi boş silindirin kütlesini bulmak kolaydır:
ve ayrıca formül (4.15)'e göre eylemsizlik momenti:
Katı bir topun toplam atalet momenti, içi boş silindirlerin atalet momentlerinin entegrasyonu (toplanması) ile elde edilir:
Katı bir topun kütlesinin form-4'ün yoğunluğuyla ilişkili olduğu dikkate alındığında.
Loy T = -npR Ay sonunda eksene göre eylemsizlik momentine sahip olduk
homojen yarıçaplı bir topun simetrisi R kitleler T:
Dönme hareketinin ana dinamik özellikleri - z dönme eksenine göre açısal momentum:
ve kinetik enerji
Genel olarak açısal hızla dönme sırasındaki enerji aşağıdaki formülle bulunur:
, eylemsizlik tensörü nerede.Termodinamikte
Aynen olaydakiyle aynı mantıkla ileri hareket Eşit dağılım şu anlama gelir: Termal denge ortalama dönme enerjisi tek atomlu bir gazın her parçacığı: (3/2)k B T. Benzer şekilde, eşbölüm teoremi moleküllerin açısal hızlarının ortalama karekökünü hesaplamamıza izin verir.
Ayrıca bakınız
Wikimedia Vakfı. 2010.
Diğer sözlüklerde “Dönme hareketinin enerjisi”nin ne olduğunu görün:
Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Enerji (anlamlar). Enerji, Boyut... Vikipedi
HAREKETLER- HAREKETLER. İçindekiler: Geometri D.................452 Kinematik D.................456 Dinamik D. . ..................461 Motor mekanizmaları..................465 İnsan hareketini inceleme yöntemleri......471 İnsan D.. patolojisi 474… … Büyük Tıp Ansiklopedisi
Kinetik enerji, noktalarının hareket hızına bağlı olarak mekanik bir sistemin enerjisidir. Öteleme ve dönme hareketinin kinetik enerjisi sıklıkla açığa çıkar. Daha doğrusu, kinetik enerji toplam arasındaki farktır... ... Vikipedi
α peptidin termal hareketi. Peptidi oluşturan atomların karmaşık, titreşen hareketi rastgeledir ve enerji bireysel atom geniş bir aralıkta dalgalanır, ancak eşbölüm yasası kullanılarak her birinin ortalama kinetik enerjisi olarak hesaplanır... ... Vikipedi
α peptidin termal hareketi. Peptidi oluşturan atomların karmaşık titreme hareketi rastgeledir ve tek bir atomun enerjisi büyük ölçüde dalgalanır, ancak eşbölüm yasasını kullanarak her birinin ortalama kinetik enerjisi olarak hesaplanır ... ... Vikipedi
- (Fransız kısrakları, Almanca Gezeiten, İngiliz gelgitleri) periyodik salınımlar Ay ve Güneş'in çekim kuvvetinden dolayı su seviyesi. Genel bilgi. P. en çok okyanus kıyılarında fark edilir. Gelgitin hemen ardından okyanus seviyesi başlar... ... ansiklopedik sözlük F. Brockhaus ve I.A. Efron
Soğutmalı gemi Fildişi Tirupati'nin ilk stabilitesi negatiftir Stabilite yeteneği ... Wikipedia
Soğutmalı gemi Fildişi Tirupati'nin ilk stabilitesi negatiftir Stabilite, yüzen bir geminin dayanma yeteneğidir dış kuvvetler, yuvarlanmasına veya kesilmesine ve rahatsızlığın sonunda denge durumuna dönmesine neden oluyor... ... Vikipedi
Dönen bir cismin kinetik enerjisi, vücudun tüm parçacıklarının kinetik enerjilerinin toplamına eşittir:
Bir parçacığın kütlesi, doğrusal (çevresel) hızı, bu parçacığın dönme ekseninden uzaklığıyla orantılıdır. Bu ifadeyi yerine koyarak ve tüm parçacıklar için ortak açısal hızı toplam işaretinden alarak şunu buluruz:
Dönen bir cismin kinetik enerjisi için bu formül, cismin eylemsizlik momenti olarak adlandırılan değeri eklersek, öteleme hareketinin kinetik enerjisi ifadesine benzer bir forma getirilebilir. Maddi bir noktanın eylemsizlik momenti, noktanın kütlesi ile dönme eksenine olan uzaklığının karesinin çarpımıdır. Bir cismin eylemsizlik momenti, cismin tüm maddi noktalarının eylemsizlik momentlerinin toplamıdır:
Dolayısıyla dönen bir cismin kinetik enerjisi aşağıdaki formülle belirlenir:
Formül (2), öteleme hareketi yapan bir cismin kinetik enerjisini belirleyen formülden farklıdır; çünkü cismin kütlesi yerine eylemsizlik momenti I'i ve hız yerine grup hızını içerir.
Dönen volanın büyük kinetik enerjisi, teknolojide makinenin ani değişen yükler altında düzgün çalışmasını sağlamak için kullanılır. Başlangıçta büyük atalet momentine sahip bir volanın dönüşe getirilmesi için makineden önemli miktarda iş yapılması gerekir, ancak büyük bir yük aniden açıldığında makine durmaz ve rezervi kullanarak işi yapar. volanın kinetik enerjisi.
Özellikle elektrik motoruyla tahrik edilen haddehanelerde masif volanlar kullanılır. Bu tekerleklerden birinin açıklaması şu şekildedir: “Tekerlek 3,5 m çapındadır ve ağırlığı normal hız 600 rpm'de çarkın kinetik enerji rezervi öyledir ki, dönme anında çark değirmene 20.000 hp güç verir. İle. Yataklardaki sürtünme, basınç altındaki masal sayesinde minimumda tutulur ve zararlı etkiler merkezkaç kuvvetleri Atalet nedeniyle tekerlek, tekerleğin çevresine uygulanan bir yük onu hareketsiz hale getirecek şekilde dengelenir.
Bazı cisimlerin eylemsizlik momentlerinin değerlerini (hesaplama yapmadan) sunalım (bu cisimlerin her birinin tüm alanlarında aynı yoğunluğa sahip olduğu varsayılmaktadır).
İnce bir halkanın merkezinden geçen ve düzlemine dik bir eksene göre atalet momenti (Şekil 55):
Atalet momenti yuvarlak disk(veya silindir) merkezinden geçen ve düzlemine dik olan bir eksene göre (diskin kutupsal atalet momenti; Şekil 56):
İnce yuvarlak bir diskin çapıyla çakışan bir eksene göre atalet momenti (diskin ekvatoral atalet momenti; Şekil 57):
Topun merkezinden geçen eksene göre topun eylemsizlik momenti:
Merkezden geçen bir eksene göre ince küresel yarıçap katmanının atalet momenti:
Kalın bir küresel tabakanın (yarıçapı olan içi boş bir top) eylemsizlik momenti dış yüzey ve boşluğun yarıçapı ) merkezden geçen eksene göre:
Cisimlerin atalet momentlerinin hesaplanması kullanılarak gerçekleştirilir. Integral hesabı. Bu tür hesaplamaların ilerleyişi hakkında bir fikir vermek için çubuğun kendisine dik eksene göre eylemsizlik momentini bulalım (Şekil 58). Çubuğun bir kesiti, yoğunluk olsun. Uzunluğu olan ve dönme ekseninden x kadar uzaklıkta bulunan çubuğun temel küçük bir kısmını seçelim. O halde kütlesi, dönme ekseninden x kadar uzakta olduğundan, eylemsizlik momenti sıfırdan I aralığına entegre edilir:
Atalet momenti dikdörtgen paralel yüzlü simetri eksenine göre (Şekil 59)
Halka torusunun atalet momenti (Şekil 60)
Bir düzlem boyunca yuvarlanan (kaymadan) bir cismin dönme enerjisinin, bu cismin öteleme hareketinin enerjisiyle nasıl ilişkili olduğunu düşünelim,
Yuvarlanan bir cismin öteleme hareketinin enerjisi, cismin kütlesi ve öteleme hareketinin hızına eşittir. Yuvarlanan bir cismin açısal dönme hızını ve cismin yarıçapını gösterelim. Kaymadan yuvarlanan bir cismin öteleme hareketinin hızının, cismin düzlemle temas noktalarındaki (vücudun bir devrim yaptığı sırada, merkez) çevresel hızına eşit olduğunu anlamak kolaydır. Vücudun yerçekimi bir mesafe hareket eder, bu nedenle,
Böylece,
Dönme enerjisi
buradan,
Atalet momentlerinin yukarıdaki değerlerini burada değiştirerek şunu buluruz:
a) yuvarlanan kasnağın dönme hareketinin enerjisi, öteleme hareketinin enerjisine eşittir;
b) yuvarlanan homojen bir diskin dönme enerjisi, öteleme hareketinin enerjisinin yarısına eşittir;
c) Yuvarlanan homojen bir topun dönme enerjisi öteleme hareketinin enerjisidir.
Atalet momentinin dönme ekseninin konumuna bağımlılığı. Ağırlık merkezi C noktasında olan çubuğun (Şekil 61) açısal hızla (o ekseni etrafında, çizim düzlemine dik) dönmesine izin verin. Belirli bir süre boyunca konumundan hareket ettiğini varsayalım. A B'ye ve ağırlık merkezi bir yay tanımlamıştır. Çubuğun bu hareketi, sanki çubuğun önce öteleme yaparak (yani kendine paralel kalarak) konumuna hareket ettiği ve daha sonra C etrafında döndürülerek konumuna (mesafe) olarak kabul edilebilir. Çubuk A konumundan B konumuna hareket ettiğinde, parçacıklarının her birinin hareketi ağırlık merkezinin hareketi ile aynıdır; yani, Çubuğun gerçek hareketini elde etmek için, belirtilen her iki hareketin aynı anda gerçekleştiğini varsayabiliriz. Buna göre O'dan geçen bir eksen etrafında açısal hızla dönen çubuğun kinetik enerjisi ikiye ayrıştırılabilir. parçalar.
Katı bir cisim, maddi noktalar sisteminin özel bir durumu olduğundan, sabit bir Z ekseni etrafında dönerken cismin kinetik enerjisi, tüm maddi noktalarının kinetik enerjilerinin toplamına eşit olacaktır;
Bu durumda katı bir cismin tüm maddi noktaları yarıçaplı dairelerde ve aynı açısal hızlarda döner. Doğrusal hız Katı bir cismin her maddi noktası eşittir. Katı bir cismin kinetik enerjisi şu şekli alacaktır:
Bu ifadenin sağ tarafındaki toplam, (4.4)'e göre, bu cismin belirli bir dönme eksenine göre eylemsizlik momentini temsil eder. Bu nedenle, sabit bir eksene göre dönen katı bir cismin kinetik enerjisini hesaplama formülü son şeklini alacaktır:
. (4.21)
Burada dikkate alınan
Keyfi hareket durumunda katı bir cismin kinetik enerjisinin hesaplanması çok daha karmaşık hale gelir. Cismin tüm maddi noktalarının yörüngeleri aynı doğrultuda olduğunda düzlem hareketini ele alalım. paralel düzlemler. (1.44)'e göre katı bir cismin her maddi noktasının hızı şu şekilde gösterilebilir:
,
burada anlık dönme ekseni olarak, cismin herhangi bir noktasının yörünge düzlemine dik olarak cismin eylemsizlik merkezinden geçen ekseni seçiyoruz. Bu durumda, son ifadede, cismin eylemsizlik merkezinin hızını, cismin atalet merkezinden geçen bir eksen etrafında açısal hızla döndüğü dairelerin yarıçaplarını temsil eder. Böyle bir hareketle ^, eşit vektör noktanın yörüngesinin düzleminde yer alır.
Yukarıdakilere dayanarak, bir cismin düzlemsel hareketi sırasındaki kinetik enerjisi şuna eşittir:
.
Ayakta duran ifadeyi yükseltmek parantez, karesi ve vücudun tüm noktaları için sabit değerleri toplam işaretinden çıkararak elde ederiz
Burada şu dikkate alınır: ^.
Son ifadenin sağ tarafındaki her terimi ayrı ayrı ele alalım. Açık eşitlik nedeniyle ilk terim şuna eşittir:
İkinci terim sıfıra eşittir çünkü toplam, eylemsizlik merkezinin (3.5) yarıçap vektörünü belirler. bu durumda dönme ekseni üzerinde yer alır. (4.4) dikkate alındığında son terim şekli alınacaktır. Şimdi, son olarak, katı bir cismin keyfi fakat düzlemsel hareketi sırasındaki kinetik enerji, iki terimin toplamı olarak temsil edilebilir:
, (4.23)
burada ilk terim kütleli bir maddi noktanın kinetik enerjisini temsil eder, eşit kütle vücut ve cismin kütle merkezinin sahip olduğu hızla hareket eden;
ikinci terim eylemsizlik merkezinden geçen bir eksen etrafında dönen (hızla hareket eden) bir cismin kinetik enerjisini temsil eder.
Sonuçlar: Dolayısıyla, katı bir cismin sabit bir eksen etrafında dönmesi sırasındaki kinetik enerjisi, ilişkilerden biri (4.21) kullanılarak ve düzlemsel hareket durumunda (4.23) kullanılarak hesaplanabilir.
Kontrol soruları.
4.4. (4.23) hangi durumlarda (4.21)'e dönüşür?
4.5. Eğer anlık dönme ekseni eylemsizlik merkezinden geçmiyorsa, bir düzlemde hareket eden bir cismin kinetik enerjisinin formülü nasıl görünecektir? Formülde yer alan miktarların anlamı nedir?
4.6. Bu işi göster Iç kuvvetler katı bir cisim döndüğünde sıfırdır.
