Titreşimler hangi durumlarda harmoniktir? Salınımlar

Harmonik titreşim denklemi

Harmonik salınım denklemi, vücut koordinatlarının zamana bağımlılığını belirler

Kosinüs grafiği başlangıç ​​anı sahip olmak maksimum değer ve sinüs grafiği ilk anda sıfır değerine sahiptir. Salınımı denge konumundan incelemeye başlarsak, o zaman salınım bir sinüzoidi tekrarlayacaktır. Salınımı maksimum sapma konumundan dikkate almaya başlarsak, o zaman salınım bir kosinüs ile tanımlanacaktır. Veya böyle bir salınım, başlangıç ​​fazlı sinüs formülüyle açıklanabilir.

Harmonik salınım sırasında hız ve ivmedeki değişim

Sinüs veya kosinüs kanununa göre zamanla yalnızca vücudun koordinatı değişmez. Ancak kuvvet, hız, ivme gibi büyüklükler de aynı şekilde değişir. Salınım yapan cisim hareket halindeyken kuvvet ve ivme maksimumdur. aşırı pozisyonlar yer değiştirmenin maksimum olduğu ve vücut denge konumundan geçtiğinde sıfıra eşit olduğu yer. Ekstrem konumlarda ise hız sıfırdır ve vücut denge konumundan geçtiğinde maksimum değerine ulaşır.

Salınım kosinüs kanunu ile tanımlanırsa

Salınım sinüs kanununa göre tanımlanırsa

Maksimum hız ve ivme değerleri

Bağımlılık denklemlerini v(t) ve a(t) analiz ettikten sonra, trigonometrik faktörün 1 veya -1'e eşit olması durumunda hız ve ivmenin maksimum değerleri aldığını tahmin edebiliriz. Formülle belirlenir

1.18. HARMONİK TİTREŞİMLER VE ÖZELLİKLERİ

Harmonik titreşimlerin tanımı. Harmonik salınımların özellikleri: denge konumundan yer değiştirme, salınımların genliği, salınım fazı, salınımların frekansı ve periyodu. Salınımlı bir noktanın hızı ve ivmesi. Harmonik bir osilatörün enerjisi. Harmonik osilatör örnekleri: matematiksel, yaylı, burulma ve fiziksel Çin sarkaçları.

Akustik, radyo mühendisliği, optik ve diğer bilim ve teknoloji dalları salınım ve dalgaların incelenmesine dayanmaktadır. Titreşim teorisi mekanikte, özellikle uçakların, köprülerin, bireysel türler makineler ve üniteler.

Salınımlar düzenli aralıklarla tekrarlanan süreçlerdir (ve yinelenen süreçlerin tümü salınım değildir!). Tekrarlanan sürecin fiziksel doğasına bağlı olarak titreşimler mekanik, elektromanyetik, elektromekanik vb. olarak ayrılır. Mekanik titreşimler sırasında cisimlerin konumları ve koordinatları periyodik olarak değişir.

geri yükleme kuvveti - salınım sürecinin meydana geldiği etkisi altındaki kuvvet. Bu kuvvet, dinlenme konumundan sapmış bir cismi veya maddi bir noktayı orijinal konumuna geri döndürme eğilimindedir.

Salınımlı cisim üzerindeki etkinin niteliğine bağlı olarak serbest (veya doğal) titreşimler ayırt edilir ve zorunlu salınımlar.

Salınımlı sistem üzerindeki etkinin niteliğine bağlı olarak, serbest salınımlar, zorunlu salınımlar, kendi kendine salınımlar ve parametrik salınımlar ayırt edilir.

Özgür (sahip olmak) Salınımlar, kendisine bir itme verildikten veya denge konumundan çıkarıldıktan sonra kendi başına bırakılan bir sistemde meydana gelen salınımlardır; salınan bir cisme yalnızca bir geri getirme kuvveti etki ettiğinde. Bir örnek, bir iplik üzerinde asılı duran bir topun salınımıdır. Titreşime neden olmak için ya topu itmeniz ya da yana doğru hareket ettirerek bırakmanız gerekir. Enerji kaybının olmaması durumunda serbest salınımlar sönümlenmez. Ancak gerçek salınımlı süreçler

· sönümlenmiştir, çünkü salınan gövde, hareket direnci kuvvetlerine (esas olarak sürtünme kuvvetlerine) maruz kalır. Zoraki

· salınım sisteminin periyodik olarak değişen harici bir kuvvete maruz kaldığı bu tür salınımlar denir (örneğin, insanlar üzerinde yürürken, adım adım yürürken meydana gelen bir köprünün salınımları). Çoğu durumda sistemler harmonik olarak kabul edilebilecek salınımlara maruz kalır. , Kendi kendine salınımlar

· Zorunlu salınımlar gibi bunlara da dış kuvvetlerin salınım sistemi üzerindeki etkisi eşlik eder, ancak bu etkilerin meydana geldiği zaman anları salınım sisteminin kendisi tarafından belirlenir. salınım sisteminin parametreleri periyodik olarak değiştiğinde salınımlar meydana gelir (salıncakta sallanan bir kişi periyodik olarak ağırlık merkezini yükseltir ve alçaltarak sistemin parametrelerini değiştirir). Belirli koşullar altında sistem kararsız hale gelir - denge konumundan rastgele bir sapma, salınımların ortaya çıkmasına ve artmasına neden olur.

Bu olaya salınımların parametrik uyarımı denir (yani salınımlar sistemin parametreleri değiştirilerek uyarılır) ve salınımların kendilerine parametrik denir. Farklı olmasına rağmen fiziksel doğa salınımlar, genel yöntemlerle incelenen aynı modellerle karakterize edilir. Önemli bir kinematik özellik titreşimlerin şeklidir. Salınımlar sırasında bir veya başka bir fiziksel nicelikteki değişikliği tanımlayan zaman fonksiyonunun türüne göre belirlenir. En önemli dalgalanmalar, dalgalanan miktarın zaman içinde değiştiği dalgalanmalardır. sinüs veya kosinüs kanununa göre . Onlar denir .

harmonik Harmonik titreşimler salınımın gerçekleştiği salınımlara denir fiziksel miktar

sinüs (veya kosinüs) yasasına göre değişir.

Bu tür salınım özellikle aşağıdaki nedenlerden dolayı önemlidir. Birincisi, doğadaki ve teknolojideki titreşimler çoğu zaman harmoniklere çok yakın bir karaktere sahiptir. İkinci olarak, farklı bir formdaki (farklı bir zamana bağımlılıkla) periyodik süreçler, harmonik salınımların üst üste binmesi veya üst üste binmesi olarak temsil edilebilir.

Harmonik Osilatör Denklemi

Harmonik salınım periyodik bir yasayla tanımlanır:

Pirinç. 18.1. Harmonik salınım

yani bir salınımın süresi. (Salınım periyodu T

en kısa süre olarak adlandırılır, bundan sonra salınım sisteminin durumları tekrarlanır (bir tam salınım tamamlanır) ve salınım aşaması 2p'lik bir artış alır). Ve
birim zaman başına salınım sayısını belirler. Frekans birimi, periyodu 1 saniye olan böyle bir salınımın frekansıdır. Bu birime denir hertz (Hz. ).

Salınım frekansıN miktar denir ters periyot salınımlar - birim zaman başına gerçekleştirilen tam salınımların sayısı.

Genlik- maksimum ofset veya değişiklik değeri değişken boyut salınımlı veya dalga hareketi ile.

Salınım aşaması- periyodik bir fonksiyonun argümanı veya harmonik bir salınım sürecini tanımlayan bir argüman (ω - açısal frekans, T- zaman, - salınımların başlangıç ​​aşaması, yani zamanın ilk anında salınımların aşaması T = 0).

Harmonik olarak salınan bir miktarın birinci ve ikinci zaman türevleri de aynı frekansta harmonik salınımlar gerçekleştirir:

İÇİNDE bu durumda Kosinüs kanununa göre yazılan harmonik salınım denklemi esas alınmıştır. Bu durumda denklemlerden ilki (18.2), salınan cismin hızının hangi yasaya göre olduğunu açıklar. maddi nokta(gövde), ikinci denklem salınan bir noktanın (gövdenin) ivmesinin değiştiği yasayı açıklar.

Genlikler
Ve
sırasıyla eşittir
Ve
. tereddüt
ilerde
aşamalı olarak; ve tereddüt
ilerde
Açık . Değerler salınımlar sırasında herhangi bir fiziksel miktar (sarkaç konumunun denge konumundan yer değiştirmesi; salınım devresindeki kapasitör üzerindeki voltaj vb.), Ve verilen başlangıç ​​koşullarından belirlenebilir
Ve
:

,
. (18.3)

Osilatör salınımlarının enerjisi

P

hızlanma:
Onlar. bu tür salınımların denklemi doğal frekanslı (18.1) formuna sahiptir . Yarı elastik kuvvet . tutucu Dolayısıyla bu tür harmonik salınımların toplam enerjisinin sabit kalması gerekir. Salınım işlemi sırasında bir dönüşüm meydana gelir kinetik enerji eİle kinetik enerji potansiyele N

ve bunun tersi de denge konumundan en büyük sapma anlarında toplam enerji potansiyel enerjinin maksimum değerine eşittir ve sistem denge konumundan geçtiğinde toplam enerji maksimum değere eşittir kinetik enerjiden. Kinetik ve potansiyel enerjinin zamanla nasıl değiştiğini bulalım:

Kinetik enerji:

(18.5)

Potansiyel enerji:

Böylece harmonik salınımın toplam enerjisinin sabit olduğu ortaya çıkar. (18.4) ve (18.5) ilişkilerinden, kinetik ve potansiyel enerjinin ortalama değerlerinin birbirine eşit ve yarıya eşit olduğu da anlaşılmaktadır. toplam enerji ortalama değerler olduğundan
Ve
periyot başına 0,5'e eşittir. Trigonometrik formüller kullanılarak kinetik ve potansiyel enerji frekansa göre değişim
yani harmonik titreşim frekansının iki katı frekansa sahip.

Harmonik bir osilatörün örnekleri arasında yaylı sarkaçlar, fiziksel sarkaçlar, matematiksel sarkaçlar ve burulma sarkaçları bulunur.

1. Yaylı sarkaç- bu, mutlak elastik bir yay üzerinde asılı olan ve k yayın sertliği olmak üzere F = –kx elastik kuvvetinin etkisi altında harmonik salınımlar gerçekleştiren m kütleli bir yüktür. Sarkacın hareket denklemi şu şekildedir: (18.8) Formül (18.8)'den, yay sarkacının x = Асos(ω 0 t+φ) yasasına göre döngüsel bir frekansla harmonik salınımlar gerçekleştirdiği sonucu çıkar.

(18.9) ve dönem

(18.10) Formül (18.10), Hooke yasasının karşılandığı sınırlar dahilindeki elastik titreşimler için, yani yayın kütlesi cismin kütlesiyle karşılaştırıldığında küçükse doğrudur. Potansiyel enerji bahar sarkaç(18.9) ve önceki bölümdeki potansiyel enerji formülü kullanılarak, şuna eşittir (bkz. 18.5)

2. Fiziksel sarkaç- Bu sağlam Vücudun C kütle merkezi ile çakışmayan O noktasından geçen sabit bir yatay eksen etrafında yerçekiminin etkisi altında salınan (Şekil 1).

Şekil 18.3 Fiziksel sarkaç

Sarkaç denge konumundan belirli bir α açısı kadar saptırılırsa, katı bir cismin dönme hareketinin dinamiği denklemini kullanarak, geri çağırıcı kuvvetin M momenti (18.11), burada J, cismin eylemsizlik momentidir. Sarkaç O askı noktasından geçen eksene göre, l sarkacın ekseni ile kütle merkezi arasındaki mesafedir, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα geri çağırıcı kuvvettir (eksi işareti F'nin yönlerini gösterir) τ ve α her zaman zıttır; sinα ≈ α çünkü sarkacın salınımları küçük kabul edilir, yani sarkaç denge konumundan küçük açılarla saptırılır). Denklemi (18.11) şu şekilde yazıyoruz:

Veya (18.12) denklemini alarak elde ederiz

Çözümü şu şekilde bulunacak ve yazılacak olan (18.8) ile aynı:

(18.13) Formül (18.13)'ten, fiziksel sarkacın küçük salınımlarla ω 0 döngüsel frekansı ve bir periyotla harmonik salınımlar gerçekleştirdiği sonucu çıkar.

(18.14) burada değer L=J/(m ben) - . Sarkaç süspansiyonunun O noktasından belirli bir L uzunluğu kadar uzaklıkta bulunan OS düz çizgisinin devamındaki O" noktasına denir. salıncak merkezi fiziksel sarkaç(Şekil 18.3). Eksenin eylemsizlik momenti için Steiner teoremini uygulayarak şunu buluruz:

Yani, OO" her zaman OS'den büyüktür. Sarkacın askı noktası O ve salınım merkezi O", değiştirilebilirlik özelliği: Süspansiyon noktası salınımın merkezine taşınırsa, önceki süspansiyon noktası O, salınımın yeni merkezi olacak ve fiziksel sarkacın salınım periyodu değişmeyecektir.

3. Matematik sarkaç uzayamayan, ağırlıksız bir iplik üzerinde asılı duran ve yerçekiminin etkisi altında salınan m kütleli bir maddi noktadan oluşan idealleştirilmiş bir sistemdir. İyi yaklaşım matematiksel sarkaç uzun ince bir ipe asılan küçük, ağır bir top var. Matematiksel bir sarkacın eylemsizlik momenti

(8) nerede ben- sarkacın uzunluğu.

Matematiksel bir sarkaç, fiziksel sarkacın özel bir durumu olduğundan, tüm kütlesinin tek bir noktada, yani kütle merkezinde yoğunlaştığını varsayarsak, (8)'i (7)'ye değiştirerek, periyot için bir ifade buluruz. Matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının hareketi (18.15) (18.13) ve (18.15) formüllerini karşılaştırdığımızda, fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğunun L uzunluğuna eşit olduğunu görüyoruz. ben Matematiksel bir sarkaç varsa bu sarkaçların salınım periyotları aynıdır. Araç, fiziksel sarkacın azaltılmış uzunluğu- bu, salınım periyodu belirli bir fiziksel sarkacın salınım periyoduna denk gelen matematiksel bir sarkacın uzunluğudur. Matematiksel bir sarkaç için (kütlesi olan maddi bir nokta) Harmonik salınımlara bir örnek olarak, bir kütle gövdesi tarafından gerçekleştirilen tek boyutlu salınımları düşünün. ağırlıksız, uzatılamaz uzunluktaki bir iplik üzerinde asılı ben ivmeli bir yerçekimi alanında serbest düşüş eşit G) denge konumundan küçük sapma açılarında (5-10 açısal dereceyi geçmeyen), salınımların doğal frekansı:
.

4. Elastik bir iplik veya başka bir elastik eleman üzerinde asılı duran, salınım yapan bir cisim yatay düzlem, temsil etmek burulma sarkaç.

Bu, elastik deformasyon kuvvetlerini kullanan mekanik bir salınım sistemidir. Şek. Şekil 18.4, burulma salınımları gerçekleştiren doğrusal harmonik osilatörün açısal analogunu göstermektedir. Yatay olarak yerleştirilmiş bir disk, kütle merkezine bağlı elastik bir ipe asılır. Disk θ açısı kadar döndürüldüğünde bir kuvvet momenti meydana gelir. M elastik burulma deformasyonunun kontrolü:

Nerede BEN = BENC– Diskin içinden geçen eksene göre eylemsizlik momenti kütle merkezi, ε – açısal ivme.

Bir yay üzerindeki yüke benzeterek elde edebilirsiniz.

Harmonik titreşimler

Fonksiyon grafikleri F(X) = günah( X) Ve G(X) = çünkü( X) Kartezyen düzlemde.

Harmonik salınım- sinüzoidal veya kosinüs kanununa göre fiziksel (veya başka herhangi bir) miktarın zaman içinde değiştiği salınımlar. Harmonik salınımların kinematik denklemi şu şekildedir:

Nerede X- t zamanında salınım noktasının denge konumundan yer değiştirmesi (sapması); A- salınımların genliği, belirleyen miktar budur maksimum sapma denge konumundan salınan nokta; ω - döngüsel frekans, 2π saniye içerisinde meydana gelen tam salınımların sayısını gösteren bir değer, - salınımların tam fazı, - salınımların başlangıç ​​fazı.

Genelleştirilmiş harmonik salınım diferansiyel form

(Herhangi önemsiz olmayan çözüm bu diferansiyel denklemin - döngüsel frekansta harmonik bir salınımı vardır)

Titreşim türleri

Harmonik harekette yer değiştirme, hız ve ivmenin zaman içindeki değişimi

• Serbest titreşimler etkisi altında işlenir iç kuvvetler Sistem denge konumundan çıkarıldıktan sonra sistem. Serbest salınımların harmonik olması için salınım sisteminin doğrusal olması gerekir (açıklanan doğrusal denklemler hareket) ve enerji kaybı olmadı (ikincisi zayıflamaya neden olur).
• Zorlanmış titreşimler harici bir periyodik kuvvetin etkisi altında gerçekleştirilir. Harmonik olmaları için salınım sisteminin doğrusal olması (doğrusal hareket denklemleriyle tanımlanır) yeterlidir ve dış kuvvet Kendisi zamanla harmonik bir salınım olarak değişti (yani, bu kuvvetin zamana bağımlılığı sinüzoidal olacak şekilde).

Başvuru

Harmonik titreşimler aşağıdaki nedenlerden dolayı diğer tüm titreşim türlerinden ayrılır:

Ayrıca bakınız

Notlar

Edebiyat

• Fizik. İlköğretim ders kitabı Fizik / Ed. G. S. Lansberg. - 3. baskı. - M., 1962. - T.3.
• Khaikin S.E. Fiziksel Temeller mekanik. - M., 1963.
• A. M. Afonin. Mekaniğin fiziksel temelleri. - Ed. MSTU im. Baumann, 2006.
• Görelik G.S. Salınımlar ve dalgalar. Akustik, radyofizik ve optiğe giriş. - M.: Fizmatlit, 1959. - 572 s.

Wikimedia Vakfı.

• 2010.
• Malbork Komünü

Afrika halkları

Diğer sözlüklerde “Harmonik salınımların” ne olduğuna bakın: HARMONİK TİTREŞİMLER

Modern ansiklopedi Harmonik titreşimler - HARMONİK TİTREŞİMLER, periyodik değişiklikler en basit biçim ile karakterize edilen periyodik hareketler... Resimli Ansiklopedik Sözlük

Modern ansiklopedi- Sinüs veya kosinüs kanununa göre fiziksel bir miktarın zamanla değiştiği salınımlar. Grafiksel olarak GK'ler kavisli sinüs dalgası veya kosinüs dalgasıyla temsil edilir (şekle bakın); şu şekilde yazılabilirler: x = Asin (ωt + φ) veya x... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Diğer sözlüklerde “Harmonik salınımların” ne olduğuna bakın: Harmonik titreşimler periyodik hareket bir SARKACIN hareketi gibi, atom titreşimleri veya dalgalanmalar elektrik devresi. Bir cisim bir çizgi boyunca salındığında sönümsüz harmonik salınımlar gerçekleştirir, aynı şekilde hareket eder... ... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

Diğer sözlüklerde “Harmonik salınımların” ne olduğuna bakın:- fiziksel olan titreşimler (veya herhangi bir başka) miktar sinüzoidal bir yasaya göre zaman içinde değişir: x=Asin(wt+j), burada x, belirli bir zamanda dalgalanan miktarın değeridir. t zaman anı (mekanik G.K. için, örneğin yer değiştirme veya hız, ... ... için) Fiziksel ansiklopedi

harmonik titreşimler - Mekanik titreşimler burada genelleştirilmiş koordinat ve/veya genelleştirilmiş hız, zamana doğrusal olarak bağlı bir argümanla sinüsle orantılı olarak değişir. [Önerilen terimlerin toplanması. Sayı 106. Mekanik titreşimler. Bilimler Akademisi… Teknik Çevirmen Kılavuzu

Diğer sözlüklerde “Harmonik salınımların” ne olduğuna bakın:- fiziksel olan titreşimler (veya başka herhangi bir) miktar sinüzoidal bir yasaya göre zaman içinde değişir; burada x, t zamanındaki salınım miktarının değeridir (mekanik hidrolik sistemler için, örneğin yer değiştirme ve hız, elektrik voltajı ve akım gücü için) ... Fiziksel ansiklopedi

Diğer sözlüklerde “Harmonik salınımların” ne olduğuna bakın:- (bkz.), hangi fiziksel. bir miktar sinüs veya kosinüs yasasına göre zamanla değişir (örneğin, salınım sırasındaki değişiklikler (bkz.) ve hız (bkz.) veya değişiklikler (bkz.) ve elektrik devreleri sırasındaki akım gücü) ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

Diğer sözlüklerde “Harmonik salınımların” ne olduğuna bakın:- x salınım değerindeki bir değişiklik ile karakterize edilir (örneğin sarkacın denge konumundan sapması, devredeki voltaj klima vb.) yasaya göre t zamanında: x = Asin (?t + ?), burada A harmonik salınımların genliğidir, ? köşe... ... Büyük Ansiklopedik Sözlük

Modern ansiklopedi- 19. Harmonik salınımlar Salınım miktarının değerlerinin zamanla yasaya göre değiştiği salınımlar Kaynak ... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

Diğer sözlüklerde “Harmonik salınımların” ne olduğuna bakın:- periyodik Zamanın fiziksel olarak değiştiği dalgalanmalar. miktarlar sinüs veya kosinüs kanununa göre oluşur (şekle bakın): s = Аsin(wt+ф0), burada s, dalgalanan miktarın ortalamasından sapmasıdır. (denge) değeri, A=sabit genlik, w=sabit dairesel... Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü

Birçoğuna fiziksel olarak tamamen baktık çeşitli sistemler ve hareket denklemlerinin aynı forma indirgendiğinden emin olundu

Arasındaki farklar fiziksel sistemler yalnızca şurada görünür farklı tanım miktarlar ve çeşitli fiziksel duyu değişken X: bu bir koordinat, açı, yük, akım vb. olabilir. Bu durumda, denklemin (1.18) yapısından da anlaşılacağı gibi, miktarın her zaman ters zaman boyutuna sahip olduğuna dikkat edin.

Denklem (1.18) sözde harmonik titreşimler.

Harmonik titreşim denklemi (1.18) doğrusaldır diferansiyel denklem ikinci dereceden (değişkenin ikinci türevini içerdiğinden X). Denklemin doğrusallığı şu anlama gelir:

eğer bir işlevi varsa x(t) bu denklemin bir çözümü ise fonksiyon Cx(t) aynı zamanda onun çözümü olacak ( C– keyfi sabit);

eğer işlevler x 1(t) en kısa süre olarak adlandırılır, bundan sonra salınım sisteminin durumları tekrarlanır (bir tam salınım tamamlanır) ve salınım aşaması 2p'lik bir artış alır). x 2(t) bu denklemin çözümleri, o zaman bunların toplamı x 1 (t) + x 2 (t) aynı denklemin çözümü de olacaktır.

Ayrıca kanıtlanmıştır matematik teoremi, buna göre ikinci dereceden denklemin iki değeri vardır bağımsız çözümler. Doğrusallık özelliklerine göre diğer tüm çözümler doğrusal kombinasyonları halinde elde edilebilir. Bağımsız fonksiyonların ve denklemi (1.18) karşıladığını doğrudan türev alarak doğrulamak kolaydır. Araç, genel çözüm bu denklem şuna benzer:

Nerede C1,C2- keyfi sabitler. Bu çözüm başka bir biçimde sunulabilir. Değeri girelim

ve açıyı ilişkilere göre belirleyin:

Daha sonra genel çözüm (1.19) şu şekilde yazılır:

Trigonometri formüllerine göre parantez içindeki ifade şuna eşittir:

Sonunda geldik Harmonik titreşim denkleminin genel çözümü formda:

Negatif olmayan değer salınımlar sırasında herhangi bir fiziksel miktar (sarkaç konumunun denge konumundan yer değiştirmesi; salınım devresindeki kapasitör üzerindeki voltaj vb.), isminde titreşim genliği, - salınımın başlangıç ​​aşaması. Kosinüs argümanının tamamı (kombinasyon) denir salınım aşaması.

(1.19) ve (1.23) ifadeleri tamamen eşdeğerdir, dolayısıyla basitlik açısından bunlardan herhangi birini kullanabiliriz. Her iki çözüm de periyodik fonksiyonlar zaman. Aslında sinüs ve kosinüs bir periyoda sahip periyodiktir . Bu yüzden çeşitli eyaletler Harmonik salınımlar gerçekleştiren sistem bir süre sonra tekrarlanır T* salınım fazının katları olan bir artış aldığı sırada :

Şunu takip ediyor

Bu zamanların en azı

isminde salınım periyodu (Şekil 1.8) ve - onun dairesel (döngüsel) sıklık.

Pirinç. 1.8.

Onlar da kullanıyor sıklık dalgalanmalar

Buna göre dairesel frekans, başına salınım sayısına eşittir. saniye

Yani eğer sistem zamanında T değişkenin değeri ile karakterize edilir x(t), bu durumda değişken bir süre sonra aynı değere sahip olacaktır (Şekil 1.9), yani

Aynı anlam doğal olarak zamanla tekrarlanacaktır. 2T, ZT vesaire.

Pirinç. 1.9. Salınım periyodu

Genel çözüm iki keyfi sabit içerir ( C 1, C 2 veya salınımlar sırasında herhangi bir fiziksel miktar (sarkaç konumunun denge konumundan yer değiştirmesi; salınım devresindeki kapasitör üzerindeki voltaj vb.),, A), değerleri iki ile belirlenmelidir başlangıç ​​koşulları . Genellikle (zorunlu olmasa da) rolleri şu kişiler tarafından oynanır: başlangıç ​​değerleri değişken x(0) ve onun türevi.

Bir örnek verelim. Harmonik salınımlar denkleminin çözümü (1.19) bir yay sarkacının hareketini tanımlasın. Keyfi sabitlerin değerleri sarkacı dengeden çıkarma şeklimize bağlıdır. Mesela yayı belli bir mesafeye çektik ve topu başlangıç ​​hızı olmadan serbest bıraktı. Bu durumda

Değiştirme t = 0(1.19)'da sabitin değerini buluyoruz C2

Çözüm böylece şöyle görünür:

Yükün hızını zamana göre türev alarak buluruz

Burada değiştirme T = 0, sabiti bulun C1:

Nihayet

(1.23) ile karşılaştırırsak şunu buluruz: salınımların genliğidir ve başlangıç ​​aşaması sıfırdır: .

Şimdi sarkacın dengesini başka bir şekilde bozalım. Hadi yükü vuralım ki olsun başlangıç ​​hızı, ancak darbe sırasında pratik olarak hareket etmiyor. Daha sonra başka başlangıç ​​koşullarımız var:

çözümümüz şuna benziyor

Yükün hızı yasaya göre değişecektir:

Burada yerine koyalım:

Harmonik salınımlar sinüs ve kosinüs kanunlarına göre gerçekleştirilen salınımlardır. Aşağıdaki şekil kosinüs kanununa göre bir noktanın koordinatlarındaki zaman içindeki değişimlerin grafiğini göstermektedir.

resim

Salınım genliği

Harmonik salınımın genliğine denir en yüksek değer Bir cismin denge konumundan yer değiştirmesi. Genlik alabilir farklı anlamlar. Bu, zamanın ilk anında vücudu denge konumundan ne kadar uzaklaştırdığımıza bağlı olacaktır.

Genlik, başlangıç ​​koşullarıyla, yani zamanın ilk anında vücuda verilen enerjiyle belirlenir. Sinüs ve kosinüs -1 ila 1 aralığında değerler alabildiğinden, denklemin salınımların genliğini ifade eden bir Xm faktörü içermesi gerekir. Harmonik titreşimler için hareket denklemi:

x = Xm*cos(ω0*t).

Salınım periyodu

Salınım periyodu, bir tam salınımı tamamlamak için gereken süredir. Salınım periyodu T harfi ile gösterilir. Periyodun ölçüm birimleri zaman birimlerine karşılık gelir. Yani SI'da bunlar saniyedir.

Salınım frekansı, birim zaman başına gerçekleştirilen salınımların sayısıdır. Salınım frekansı ν harfiyle gösterilir. Salınım frekansı salınım periyodu cinsinden ifade edilebilir.

v = 1/T.

Frekans birimleri SI 1/sn cinsindendir. Bu ölçü birimine Hertz denir. 2*pi saniyelik bir süredeki salınımların sayısı şuna eşit olacaktır:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Salınım frekansı

Bu miktara salınımların döngüsel frekansı denir. Bazı literatürde dairesel frekans adı görünür. Salınım sisteminin doğal frekansı - frekans serbest titreşimler.

Doğal salınımların frekansı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Doğal titreşimlerin frekansı malzemenin özelliklerine ve yükün kütlesine bağlıdır. Yayın sertliği ne kadar büyük olursa, kendi titreşimlerinin frekansı da o kadar büyük olur. Nasıl daha fazla kütle yük ne kadar düşük olursa doğal salınımların frekansı o kadar düşük olur.

Bu iki sonuç açıktır. Yay ne kadar sert olursa, daha fazla hızlanma sistem dengesizleştiğinde vücuda bilgi verecektir. Bir cismin kütlesi ne kadar büyükse, bu cismin hızı da o kadar yavaş değişecektir.

Serbest salınım süresi:

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Küçük sapma açılarında, gövdenin yay üzerindeki salınım periyodunun ve sarkacın salınım periyodunun salınımların genliğine bağlı olmayacağı dikkat çekicidir.

Matematiksel bir sarkacın serbest salınımlarının periyodu ve frekansına ilişkin formülleri yazalım.

o zaman periyot eşit olur

T = 2*pi*√(l/g).

Bu formül yalnızca küçük sapma açıları için geçerli olacaktır. Formülden, sarkaç ipliğinin uzunluğu arttıkça salınım periyodunun arttığını görüyoruz. Uzunluk ne kadar uzun olursa vücut o kadar yavaş titreşir.

Salınım süresi hiçbir şekilde yükün kütlesine bağlı değildir. Ancak bu serbest düşüşün hızlanmasına bağlıdır. G azaldıkça salınım periyodu artacaktır. Bu özellik pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin ölçmek için kesin değer serbest hızlanma.