Dönme hareketi formülünün türetilmesinin kinetik enerjisi. Açısal momentumun korunumu kanunu

Kinetik enerjiyi tanımlayalım sağlam, sabit bir eksen etrafında dönüyor. Bu bedeni n tane maddi noktaya bölelim. Her nokta υ i =ωr i doğrusal hızıyla hareket eder, bu durumda noktanın kinetik enerjisi

veya

Dönen katı bir cismin toplam kinetik enerjisi, tüm maddi noktalarının kinetik enerjilerinin toplamına eşittir:

(3.22)

(J, vücudun dönme eksenine göre atalet momentidir)

Tüm noktaların yörüngeleri paralel düzlemlerde bulunuyorsa (bir silindirin bir düzlemde yuvarlanması gibi) eğik düzlem, her nokta kendi düzleminde hareket eder (Şekil), bu düz hareket.

Euler ilkesine göre düzlemsel hareket her zaman sayısız yolla öteleme ve dönme hareketine ayrıştırılabilir. Bir top eğik bir düzlem boyunca düşerse veya kayarsa yalnızca ötelemeyle hareket eder; top yuvarlandığında aynı zamanda döner.

(3.23)

Bir cisim aynı anda öteleme ve dönme hareketi yapıyorsa, toplam kinetik enerjisi şuna eşittir:

Öteleme ve dönme hareketleri için kinetik enerji formüllerinin karşılaştırılmasından, dönme hareketi sırasındaki atalet ölçüsünün cismin atalet momenti olduğu açıktır.

§ 3.6 Sert bir cismin dönüşü sırasında dış kuvvetlerin çalışması Katı bir cisim döndüğünde potansiyel enerjisi değişmez, dolayısıyla temel iş dış kuvvetler

Vücudun kinetik enerjisinin artışına eşit:

dA = dE veya

(3.25)

Jβ = M, ωdr = dφ olduğunu düşünürsek, sonlu bir açıda cismin α'sına sahibiz φ eşittir Katı bir cisim sabit bir eksen etrafında döndüğünde, dış kuvvetlerin işi, bu kuvvetlerin bu eksene göre momentinin hareketi ile belirlenir. Kuvvetlerin eksene göre momenti ise sıfıra eşit

ise bu kuvvetler iş üretmez.

Problem çözme örnekleri Örnek 2.1.Volan kütlesiM=5kg ve yarıçapRν 0 = 0,2 m frekansla yatay bir eksen etrafında döner -1 =720 dkve fren yaparken geride duruyorT

=20 sn. Durmadan önce frenleme torkunu ve devir sayısını bulun.

Frenleme torkunu belirlemek için dönme hareketi dinamiğinin temel denklemini uyguluyoruz burada I=mr 2 – diskin eylemsizlik momenti; Δω =ω - ω 0 ve ω =0 nihaidir açısal hız

Tüm miktarları bilerek frenleme torkunu belirleyebilirsiniz

Bay 2 2πν 0 = Mt (1)

(2)

Kinematikten dönme hareketi durmadan önce diskin dönüşü sırasındaki dönme açısı formülle belirlenebilir

(3)

nerede β– açısal ivme.

Problemin koşullarına göre: ω =ω 0 – βΔt, ω=0 olduğundan ω 0 = βΔt

O halde ifade (2) şu şekilde yazılabilir:

Örnek 2.2. Aynı yarıçaplara ve kütlelere sahip diskler şeklindeki iki volan, bir dönüş hızına kadar döndürüldüN= 480 rpm ve kendi cihazlarımıza bırakılmıştır. Şaftların yataklar üzerindeki sürtünme kuvvetlerinin etkisi altında, ilk durdurulanve fren yaparken geride duruyor=80 s ve ikincisi yaptıN= Durdurmak için 240 rpm. Hangi volanın miller ve yataklar arasında kaç kez daha fazla sürtünme momenti vardı?

Dönme hareketi dinamiğinin temel denklemini kullanarak ilk volanın M1 dikeninin kuvvetlerinin momentini bulacağız.

M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1

burada Δt sürtünme kuvvetlerinin momentinin etki zamanıdır, I=mr 2 volanın eylemsizlik momentidir, ω 1 = 2πν ve ω 2 = 0 – volanın başlangıç ​​ve son açısal hızları

Daha sonra

İkinci volanın sürtünme kuvvetlerinin M2 momenti, sürtünme kuvvetlerinin A işi ile kinetik enerjisindeki ΔE k değişimi arasındaki bağlantı yoluyla ifade edilecektir:

burada Δφ = 2πN dönme açısıdır, N ise volanın devir sayısıdır.

O zaman nereden

HAKKINDA oran eşit olacak

İkinci volanın sürtünme momenti 1,33 kat daha fazladır.

Örnek 2.3. Homojen bir katı diskin kütlesi m, yüklerin kütlesi m 1 ve m 2 (Şekil 15). Silindir ekseninde ipliğin kayması veya sürtünmesi yoktur. Yüklerin ivmesini ve iplik gerilimlerinin oranını bulunhareket sürecinde.

İpliğin kayması yoktur, dolayısıyla m 1 ve m 2 öteleme hareketi yaptığında silindir O noktasından geçen eksen etrafında dönecektir. Kesinlik için m 2 > m 1 olduğunu varsayalım.

Daha sonra m2 yükü indirilir ve silindir saat yönünde döner. Sisteme dahil olan cisimlerin hareket denklemlerini yazalım.

İlk iki denklem m 1 ve m 2 kütleli öteleme hareketi yapan cisimler için, üçüncü denklem ise dönen bir silindir için yazılmıştır. Soldaki üçüncü denklemde silindire etki eden kuvvetlerin toplam momenti bulunur (T1 kuvvetinin anı eksi işaretiyle alınır, çünkü T1 kuvveti silindiri saat yönünün tersine döndürme eğilimindedir). Sağda I, silindirin O eksenine göre atalet momentidir; bu şuna eşittir:

burada R, silindirin yarıçapıdır; β silindirin açısal ivmesidir.

İplik kayması olmadığından
. I ve β ifadelerini dikkate alarak şunu elde ederiz:

Sistemin denklemlerini topladığımızda denkleme ulaşıyoruz.

Buradan ivmeyi buluyoruz A kargo

Ortaya çıkan denklemden iplik gerginliklerinin aynı olacağı açıktır; =1 eğer silindirin kütlesi yüklerin kütlesinden çok daha küçükse.

Örnek 2.4. Kütlesi m = 0,5 kg olan içi boş bir topun dış yarıçapı R = 0,08 m ve iç yarıçapı r = 0,06 m'dir. Top, merkezinden geçen bir eksen etrafında dönmektedir. Belirli bir anda topa bir kuvvet etki etmeye başlar ve bunun sonucunda topun dönme açısı yasaya göre değişir.
. Uygulanan kuvvetin momentini belirleyiniz.

Dönme hareketi dinamiğinin temel denklemini kullanarak sorunu çözüyoruz
. Asıl zorluk içi boş bir topun eylemsizlik momentini belirlemektir ve açısal ivmeyi β olarak buluruz.
. İçi boş bir topun eylemsizlik momenti I, yarıçapı R olan bir top ile r yarıçaplı bir topun eylemsizlik momentleri arasındaki farka eşittir:

burada ρ bilya malzemesinin yoğunluğudur. İçi boş bir topun kütlesini bilerek yoğunluğu bulma

Buradan top malzemesinin yoğunluğunu belirliyoruz

M kuvveti momenti için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

Örnek 2.5. Kütlesi 300 g ve uzunluğu 50 cm olan ince bir çubuk 10 s açısal hızla dönüyor -1 V yatay düzlem etrafında dikey eksen, çubuğun ortasından geçiyor. Çubuk aynı düzlemde dönme sırasında dönme ekseni çubuğun ucundan geçecek şekilde hareket ederse açısal hızı bulun.

Açısal momentumun korunumu yasasını kullanıyoruz

(1)

(Ji, çubuğun dönme eksenine göre atalet momentidir).

İçin izole sistem cisimlerde açısal momentumun vektör toplamı sabit kalır. Çubuğun kütlesinin dönme eksenine göre dağılımı değiştiği için çubuğun eylemsizlik momenti de (1)'e göre değişir:

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 .

(2)

Çubuğun kütle merkezinden geçen ve çubuğa dik eksene göre atalet momentinin şuna eşit olduğu bilinmektedir:

J 0 = mℓ 2/12.

(3) Steiner teoremine göre 2

J =J 0 +m Steiner teoremine göre A

(J, çubuğun isteğe bağlı bir dönme eksenine göre eylemsizlik momentidir; J0, kütle merkezinden geçen paralel bir eksene göre eylemsizlik momentidir;

- kütle merkezinden seçilen dönme eksenine olan mesafe). Steiner teoremine göreÇubuğun ucundan geçen ve çubuğa dik olan eksene göre eylemsizlik momentini bulalım:

J2 =J0 +m

2, J2 = mℓ2/12 +m(ℓ/2)2 = mℓ2/3.

(4)

(3) ve (4) formüllerini (2) yerine koyalım: mℓ 2 ω 1/12 = mℓ 2 ω 2/3Volan kütlesiω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10s-1/4=2,5s -1 1 Örnek 2.6 -1 . Kitle adamı 2 =60kg, kütlesi M=120kg olan bir platformun kenarında duruyor, ν frekansıyla sabit bir dikey eksen etrafında ataletle dönüyor

=12 dk, merkezine doğru hareket eder. Platformun yuvarlak homojen bir disk olduğunu ve kişinin de nokta kütle olduğunu dikkate alarak, ν frekansının ne olduğunu belirleyin. .

platform daha sonra dönecektir. Verilen:

m=60kg, M=120kg, ν 1 =12dk -1 = 0,2s -1 Sorunun koşullarına göre kişinin bulunduğu platform ataletle döner, yani. dönen sisteme uygulanan tüm kuvvetlerin sonuç momenti sıfırdır. Bu nedenle, “platform-kişi” sistemi için açısal momentumun korunumu yasası karşılanmıştır

ben 1 ω 1 = ben 2 ω 2

Nerede
- Bir kişi platformun kenarında durduğunda sistemin atalet momenti (platformun atalet momentinin şuna eşit olduğunu dikkate alın: (R – yarıçap n
platform), platformun kenarındaki bir kişinin eylemsizlik momenti mR 2'dir).

- Bir kişi platformun ortasında durduğunda sistemin eylemsizlik momenti (platformun ortasında duran bir kişinin momentinin sıfır olduğunu dikkate alın). Açısal hız ω 1 = 2π ν 1 ve ω 1 = 2π ν 2.

Yazılı ifadeleri formül (1)'de değiştirerek şunu elde ederiz:

Gerekli dönüş hızı nereden geliyor?

Cevap: ν 2 =24 dk -1.

Mekanik.

Soru No.1

Referans sistemi. Eylemsiz referans sistemleri. Galileo-Einstein'ın görelilik ilkesi.

Referans çerçevesi- bu, belirli bir cismin hareketinin ve onunla ilişkili koordinat sisteminin tanımlandığı bir dizi cisimdir.

Atalet referans sistemi (IRS) serbestçe hareket eden bir cismin dinlenme veya düzgün doğrusal hareket halinde olduğu bir sistemdir.

Galileo-Einstein görelilik ilkesi- Herhangi bir zamanda tüm doğal olaylar eylemsizlik sistemi sayımlar aynı şekilde gerçekleşir ve aynı matematiksel form. Başka bir deyişle, tüm ISO'lar eşittir.

Soru No.2

Hareket denklemi. Katı bir cismin hareket türleri. Kinematiğin ana görevi.

Hareket denklemleri maddi nokta:

- kinematik hareket denklemi

Katı cisim hareketi türleri:

1) Öteleme hareketi - vücutta çizilen herhangi bir düz çizgi kendisine paralel hareket eder.

2) Dönme hareketi - vücudun herhangi bir noktası bir daire içinde hareket eder.

φ = φ(t)

Kinematiğin ana görevi- bu, maddi bir noktanın V= V(t) hızının ve koordinatlarının (veya yarıçap vektörü) r = r(t)'nin zamana bağımlılığının, a = a(t) ivmesinin zamana bilinen bağımlılığından elde edilmesidir. ve bilinen başlangıç ​​koşulları V 0 ve r 0.

7. Soru

Nabız (Hareket miktarı) - vektör fiziksel miktar, ölçüyü karakterize eden mekanik hareket bedenler. İÇİNDE klasik mekanik Bir cismin momentumu kütlenin çarpımına eşittir Volan kütlesi bu onun hızına işaret ediyor v impulsun yönü hız vektörünün yönüyle çakışır:

İÇİNDE teorik mekanik genelleştirilmiş dürtü sistemin Lagrange'ının kısmi türevidir. genelleştirilmiş hız

Eğer sistemin Lagrangianı bazı faktörlere bağlı değilse genelleştirilmiş koordinatlar, o zaman nedeniyle Lagrange denklemleri .

İçin serbest parçacık Lagrange fonksiyonu şu şekildedir: , dolayısıyla:

Lagrangian'ın bağımsızlığı kapalı sistem uzaydaki konumundan mülkiyeti takip eder uzayın homojenliği: İyi yalıtılmış bir sistem için davranışı, onu uzayda nereye yerleştirdiğimize bağlı değildir. İle Noether'in teoremi Bu homojenlik, bazı fiziksel niceliklerin korunmasını takip eder. Bu miktara dürtü denir (sıradan, genelleştirilmemiş).

Klasik mekanikte tam dürtü maddi noktalar sistemine denir vektör miktarı, maddi noktaların kütlelerinin ve hızlarının çarpımlarının toplamına eşittir:

buna göre miktar, bir maddi noktanın momentumu olarak adlandırılır. Bu, parçacık hızıyla aynı yönde yönlendirilmiş bir vektör miktarıdır. İmpuls birimi Uluslararası sistem birimler (SI) kilogram-metre bölü saniye(kg m/sn)

Sonlu büyüklükte bir cisimle ilgileniyorsak, momentumunu belirlemek için cismi maddi noktalar olarak kabul edilebilecek ve bunların üzerinden toplanabilen küçük parçalara bölmek gerekir, sonuç olarak şunu elde ederiz:

Herhangi bir dış kuvvetten etkilenmeyen (veya telafi edilen) bir sistemin darbesi kaydedildi zamanla:

Bu durumda momentumun korunumu Newton'un ikinci ve üçüncü yasalarından kaynaklanır: Sistemi oluşturan maddi noktaların her biri için Newton'un ikinci yasasını yazarak ve sistemi oluşturan tüm maddi noktaları toplayarak, Newton'un üçüncü yasası sayesinde eşitlik elde ederiz (* ).

İÇİNDE göreceli mekanik etkileşmeyen maddi noktalardan oluşan bir sistemin üç boyutlu momentumu niceliktir

,

Nerede ben ben- ağırlık Ben maddi nokta.

Etkileşmeyen malzeme noktalarından oluşan kapalı bir sistem için bu değer korunur. Ancak üç boyutlu momentum, referans çerçevesine bağlı olduğundan göreceli olarak değişmez bir nicelik değildir. Daha anlamlı bir nicelik, bir maddi nokta için şu şekilde tanımlanan dört boyutlu momentum olacaktır:

Uygulamada, bir parçacığın kütlesi, momentumu ve enerjisi arasında aşağıdaki ilişkiler sıklıkla kullanılır:

Prensip olarak, birbiriyle etkileşmeyen maddi noktalardan oluşan bir sistem için bunların 4-momentleri toplanır. Ancak göreceli mekanikte etkileşen parçacıklar için sadece sistemi oluşturan parçacıkların momentumunu değil, aynı zamanda aralarındaki etkileşim alanının momentumunu da hesaba katmak gerekir. Bu nedenle, göreli mekanikte çok daha anlamlı bir nicelik, korunum yasalarını tam olarak karşılayan enerji-momentum tensörüdür.

Soru #8

Atalet momenti- skaler bir fiziksel miktar, tıpkı bir cismin kütlesinin öteleme hareketindeki ataletinin bir ölçüsü olması gibi, bir eksen etrafında dönme hareketi yapan bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür. Kütlelerin vücuttaki dağılımıyla karakterize edilir: eylemsizlik momenti toplamına eşit temel kütlelerin çarpımlarının uzaklıklarının karesine oranı baz seti

Eksenel atalet momenti

Bazı cisimlerin eksenel atalet momentleri.

Atalet momenti mekanik sistem sabit bir eksene göre (“eksenel atalet momenti”) miktardır Ja tüm kütlelerin çarpımlarının toplamına eşit N sistemin maddi noktalarının eksene olan uzaklıklarının kareleri:

,

• ben ben- ağırlık Ben nokta,
• ben mi- mesafe Ben eksene işaret eder.

eksenel eylemsizlik momenti vücut Ja bir cismin kütlesinin öteleme hareketindeki ataletinin bir ölçüsü olması gibi, bir eksen etrafında dönme hareketi yapan bir cismin ataletinin bir ölçüsüdür.

,

• DM = ρ dV- vücut hacminin küçük bir elemanının kütlesi dV,
• ρ - yoğunluk,
• =5kg ve yarıçap- elemandan uzaklık dV a eksenine.

Eğer cisim homojen ise yani yoğunluğu her yerde aynı ise o zaman

Formülün türetilmesi

DM ve eylemsizlik momentleri DJ ben. Daha sonra

İnce duvarlı silindir (halka, kasnak)

Formülün türetilmesi

Bir cismin eylemsizlik momenti, onu oluşturan parçaların eylemsizlik momentlerinin toplamına eşittir. İnce duvarlı bir silindiri kütlesi olan elemanlara bölün DM ve eylemsizlik momentleri DJ ben. Daha sonra

İnce duvarlı bir silindirin tüm elemanları dönme ekseninden aynı uzaklıkta olduğundan formül (1) şu şekle dönüştürülür:

Steiner teoremi

Atalet momenti Katı bir cismin herhangi bir eksene göre konumu yalnızca cismin kütlesine, şekline ve boyutuna değil, aynı zamanda cismin bu eksene göre konumuna da bağlıdır. Steiner teoremine göre (Huygens-Steiner teoremi), eylemsizlik momenti vücut J keyfi bir eksene göre toplam eşittir eylemsizlik momenti bu vücut Jc söz konusu eksene paralel olarak cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre ve vücut kütlesinin çarpımı Volan kütlesi mesafenin karesi başına D eksenler arasında:

Bir cismin kütle merkezinden geçen bir eksene göre atalet momenti ise, o zaman ondan belirli bir mesafede bulunan paralel bir eksene göre atalet momenti eşittir:

,

Nerede - Brüt ağırlık bedenler.

Örneğin, bir çubuğun ucundan geçen bir eksene göre eylemsizlik momenti şuna eşittir:

Dönme enerjisi

Kinetik enerji dönme hareketi- bir cismin dönüşüyle ​​ilişkili enerjisi.

Temel kinematik özellikler bir cismin dönme hareketi - açısal hızı (ω) ve açısal ivmesi. Dönme hareketinin ana dinamik özellikleri - z dönme eksenine göre açısal momentum:

Kz = Izω

ve kinetik enerji

burada ben z dönme eksenine göre vücudun atalet momentidir.

Benzer bir örnek, ana eylemsizlik eksenlerine sahip dönen bir molekül göz önüne alındığında bulunabilir. ben 1, ben 2 Ve ben 3. Böyle bir molekülün dönme enerjisi şu ifadeyle verilir:

Nerede ω 1, ω 2, Ve ω 3- açısal hızın ana bileşenleri.

İÇİNDE genel durum açısal hızla dönme sırasındaki enerji aşağıdaki formülle bulunur:

, Nerede BEN- eylemsizlik tensörü.

9. Soru

Dürtü anı (açısal momentum, açısal momentum, yörünge momentumu, açısal momentum) dönme hareketinin miktarını karakterize eder. Ne kadar kütlenin döndüğüne, dönme eksenine göre nasıl dağıldığına ve dönmenin hangi hızda gerçekleştiğine bağlı bir miktar.

Burada rotasyonun şu şekilde anlaşıldığına dikkat edilmelidir: geniş anlamda, yalnızca bir eksen etrafında düzenli dönüş olarak değil. Örneğin, hatta düz hareket Hareket çizgisi üzerinde yer almayan rastgele bir hayali noktadan geçen cisim aynı zamanda açısal momentuma da sahiptir. Gerçek dönme hareketinin tanımlanmasında belki de en büyük rol açısal momentum tarafından oynanır. Bununla birlikte, çok daha geniş bir sorun sınıfı için son derece önemlidir (özellikle sorunun merkezi veya merkezi bir sorunu varsa). eksenel simetri ancak yalnızca bu durumlarda değil).

Açısal momentumun korunumu kanunu(açısal momentumun korunumu yasası) - Kapalı bir sistem için herhangi bir eksene göre tüm açısal momentumun vektör toplamı, sistemin denge durumunda sabit kalır. Buna göre, kapalı bir sistemin açısal momentumunun zamana göre türevi olmayan herhangi bir şeye göre açısal momentumu kuvvet momentidir:

Dolayısıyla sistemin kapalı olması şartı, dış kuvvetlerin ana (toplam) momentinin sıfıra eşit olması şartına göre zayıflatılabilir:

parçacık sistemine uygulanan kuvvetlerden birinin momenti nerede? (Fakat elbette dış güçler yoksa bu gereksinim de karşılanır).

Matematiksel olarak açısal momentumun korunumu yasası, uzayın izotropisinden, yani uzayın dönmeye göre değişmezliğinden kaynaklanır. keyfi açı. Rastgele sonsuz küçük bir açıyla dönerken, parçacığın sayı içeren yarıçap vektörü ve hızı - kadar değişecektir. Sistemin Lagrange fonksiyonu, uzayın izotropisinden dolayı böyle bir dönme ile değişmeyecektir. Bu yüzden

1. Bir cismin kendi etrafında dönüşünü düşünün hareketsiz Z ekseni. Tüm vücudu m temel kütlelerine bölelim. Ben. Doğrusal hız temel kütle m Ben– v ben = wR Ben, burada R Ben– kütle mesafesi m Ben dönme ekseninden. Bu nedenle kinetik enerji Ben temel kütle şuna eşit olacaktır: . Vücudun toplam kinetik enerjisi: , burada vücudun dönme eksenine göre atalet momenti var.

Böylece sabit bir eksen etrafında dönen bir cismin kinetik enerjisi şuna eşittir:

2. Şimdi vücudun döner bir eksene ve kendisine göre eksen hareketleri giderek kendine paralel kalarak.

ÖRNEK: Kaymadan yuvarlanan bir top dönme hareketi yapar ve içinden dönme ekseninin geçtiği ağırlık merkezi ("O" noktası) öteleme hareketi yapar (Şekil 4.17).

Hız Ben-temel vücut kütlesi eşittir , vücudun bir “O” noktasının hızı nerede; – temel kütlenin “O” noktasına göre konumunu belirleyen yarıçap vektörü.

Temel bir kütlenin kinetik enerjisi şuna eşittir:

YORUM: vektör çarpımı vektör yönünde çakışır ve modülüne eşittir (Şekil 4.18).

Bu açıklamayı dikkate alarak şunu yazabiliriz. , kütlenin dönme ekseninden uzaklığı nerede. İkinci dönemde faktörlerin döngüsel olarak yeniden düzenlenmesini yaparız ve ardından şunu elde ederiz:

Vücudun toplam kinetik enerjisini elde etmek için bu ifadeyi tüm temel kütleler üzerinden toplarız. sabit faktörler toplam işareti için. Aldık

Temel kütlelerin toplamı cismin kütlesi “m”dir. İfade, cismin kütlesinin, cismin eylemsizlik merkezinin yarıçap vektörü ile çarpımına eşittir (eylemsizlik merkezinin tanımı gereği). Son olarak cismin “O” noktasından geçen eksene göre eylemsizlik momenti. Bu nedenle yazabiliriz

.

“C” cisminin eylemsizlik merkezini “O” noktası olarak alırsak, yarıçap vektörü sıfıra eşit olacak ve ikinci terim ortadan kalkacaktır. Daha sonra, atalet merkezinin hızını ve “C” noktasından geçen eksene göre cismin atalet momentini belirterek şunu elde ederiz:

(4.6)

Böylece düzlemsel hareket halindeki bir cismin kinetik enerjisi enerjiden oluşur. ileri hareket bir hızda eşit hız atalet merkezi ve cismin atalet merkezinden geçen bir eksen etrafındaki dönme enerjisi.

Katı bir cismin dönme hareketi sırasında dış kuvvetlerin çalışması.

Cisim sabit Z ekseni etrafında döndüğünde kuvvetlerin yaptığı işi bulalım.

Kütleye bir iç kuvvet ve bir dış kuvvet etki etsin (ortaya çıkan kuvvet, dönme eksenine dik bir düzlemde yer alır) (Şekil 4.19). Bu kuvvetler zamanında gerçekleşir dt iş:

İçinde gerçekleştirilen karma işler faktörlerin döngüsel permütasyonunu vektörler olarak buluruz:

burada , sırasıyla iç ve dış kuvvetlerin “O” noktasına göre momentleridir.

Tüm temel kütleleri toplayarak, zamanla vücut üzerinde yapılan temel işi elde ederiz. dt:

İç kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfırdır. Daha sonra dış kuvvetlerin toplam momentini ifade ederek şu ifadeye ulaşırız:

.

biliniyor ki skaler çarpım iki vektöre skaler denir, ürüne eşitçarpılmış vektörlerden birinin, ikincinin birincinin yönüne izdüşümü üzerindeki modülünü, (Z ekseninin yönleri çakışır) dikkate alarak elde ederiz

,

ama w dt=D j, yani bir cismin zaman içinde döndüğü açı dt. Bu yüzden

.

İşin işareti Mz'nin işaretine bağlıdır, yani. vektörün izdüşümünün işaretinden vektörün yönüne.

Yani vücut döndüğünde iç kuvvetler hiçbir iş yapılmaz ve dış kuvvetlerin işi formülle belirlenir .

Sonlu bir zaman diliminde yapılan iş entegrasyonla bulunur

.

Ortaya çıkan dış kuvvetlerin momentinin yöne izdüşümünün sabit kalması durumunda, integral işaretinden çıkarılabilir:

yani .

Onlar. Bir cismin dönme hareketi sırasında bir dış kuvvetin yaptığı iş, dış kuvvetin momentinin dönme yönü ve açısı üzerindeki izdüşümünün çarpımına eşittir.

Öte yandan, bir cisme etki eden bir dış kuvvetin yaptığı iş, cismin kinetik enerjisini arttırır (veya dönen cismin kinetik enerjisindeki değişime eşittir). Bunu gösterelim:

;

Buradan,

. (4.7)

Kendi başına:

Elastik kuvvetler;

Hooke yasası.

Hidrodinamik

Mevcut hatlar ve tüpler.

Hidrodinamik sıvıların hareketini inceler ancak kanunları gazların hareketi için de geçerlidir. Sabit bir sıvı akışında, parçacıklarının uzaydaki her noktadaki hızı zamandan bağımsız bir niceliktir ve koordinatların bir fonksiyonudur. Sabit bir akışta, akışkan parçacıklarının yörüngeleri bir akım çizgisi oluşturur. Akım hatlarının birleşimi bir akım tüpü oluşturur (Şekil 5.1). Akışkanın sıkıştırılamaz olduğunu varsayalım, o zaman kesitlerden akan akışkanın hacmi S 1 ve S 2'si aynı olacak. Bir saniyede bu bölümlerden eşit hacimde sıvı geçecektir.

, (5.1)

Bölümlerdeki akışkan hızları nerede ve nelerdir? S 1 ve S 2 ve vektörler ve olarak tanımlanır ve bölümlerin normalleridir. S 1 ve S 2. Denklem (5.1) jet süreklilik denklemi olarak adlandırılır. Buradan sıvı hızının mevcut tüpün kesitiyle ters orantılı olduğu sonucu çıkar.

Bernoulli denklemi.

İç sürtünmenin (viskozite) olmadığı ideal sıkıştırılamaz bir sıvıyı ele alacağız. Durağan akan bir sıvı içinde kesitleri olan ince bir akım tüpü seçelim (Şekil 5.2). S1 Ve S2, geçerli çizgilere dik. Kesitte 1 kısa sürede ve fren yaparken geride duruyor parçacıklar bir mesafe hareket edecek ben 1 ve bölümde 2 - uzaktan ben 2. Zaman içinde her iki bölümden ve fren yaparken geride duruyor eşit küçük hacimde sıvı geçecektir V= V1 = V2 ve çok fazla sıvı aktarın m=rV, Nerede =5kg ve yarıçap- sıvı yoğunluğu. Genel değişiklik mekanik enerji bölümler arasındaki akış tüpündeki tüm sıvının S1 Ve S2, zamanında oldu ve fren yaparken geride duruyor, hacim enerjisi değiştirilerek değiştirilebilir V olay 1. bölümden 2. bölüme geçtiğinde meydana geldi. Böyle bir hareketle bu hacmin kinetik ve potansiyel enerjisi değişecek, enerjisindeki toplam değişim ise

, (5.2)

nerede 1 ve v 2 - kesitlerdeki akışkan parçacıklarının hızları S1 Ve S2 sırasıyla; G- hızlanma yer çekimi; saat 1 Ve saat 2- bölümlerin merkezinin yüksekliği.

İdeal bir akışkanda sürtünme kaybı olmadığından enerji artışı Almanya tahsis edilen hacim üzerinde basınç kuvvetlerinin yaptığı işe eşit olmalıdır. Sürtünme kuvvetlerinin yokluğunda bu iş:

Eşitliklerin (5.2) ve (5.3) sağ taraflarını eşitleyerek ve aynı indekslere sahip terimleri eşitliğin bir tarafına aktararak şunu elde ederiz:

. (5.4)

Tüp bölümleri S1 Ve S2 keyfi olarak alınmıştır, bu nedenle mevcut tüpün herhangi bir bölümünde ifadenin geçerli olduğu iddia edilebilir.

. (5.5)

Denklem (5.5) Bernoulli denklemi olarak adlandırılır. İçin yatay çizgi akım H = yapı ve eşitlik (5.4) şu şekli alır

=5kg ve yarıçap /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

onlar. Hızın daha büyük olduğu noktalarda basınç daha azdır.

İç sürtünme kuvvetleri.

Gerçek sıvı doğal viskozite, sıvı ve gazın herhangi bir hareketinin, buna neden olan sebeplerin yokluğunda kendiliğinden durmasıyla kendini gösterir. Durağan bir yüzeyin üzerine bir sıvı tabakasının yerleştirildiği ve bunun üzerinde yüzey hızıyla hareket eden bir plakanın üzerinde yüzdüğü bir deneyi ele alalım. S(Şekil 5.3). Deneyimler gösteriyor ki bir plakayı hareket ettirmek sabit hız buna kuvvetle müdahale etmek gerekir. Plaka ivme almadığından, bu kuvvetin hareketinin, eşit büyüklükte ve zıt yönlü bir başka kuvvet olan sürtünme kuvveti ile dengelendiği anlamına gelir. . Newton sürtünme kuvvetinin olduğunu gösterdi

, (5.7)

Nerede D- sıvı katmanının kalınlığı, h - sıvının viskozite katsayısı veya sürtünme katsayısı, eksi işareti dikkate alınır farklı yön vektörler F tr Ve v O. Katmanın farklı yerlerindeki sıvı parçacıkların hızlarını incelersek, buna göre değiştiği ortaya çıkar. doğrusal yasa(Şekil 5.3):

v(z) = = (v 0 /d)·z.

Bu eşitliğin farklılığını alırsak, dv/dz= v 0 /D. Bunu akılda tutarak

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

Nerede H- katsayı dinamik viskozite . Büyüklük dv/dz hız gradyanı denir. Hızın eksen yönünde ne kadar hızlı değiştiğini gösterir z. Şu tarihte: dv/dz= sabit hız gradyanı sayısal olarak hızdaki değişime eşittir v değiştirirken z birim başına. Formül (5.8)’e sayısal olarak koyalım dv/dz =-1 ve S= 1, şunu elde ederiz H = F. şöyle: fiziksel anlam H: sayısal olarak viskozite katsayısı kuvvete eşit hız gradyanı ile birim alanlı bir sıvı tabakasına etki eden, bire eşit. SI viskozite birimine pascal saniye adı verilir (Pa s ile gösterilir). Sistemde GHS ünitesi viskozite 1 poise (P), 1 Pa·s = 10P'dir.

Dönen bir cismin kinetik enerjisinin ifadesi, cismi oluşturan rastgele bir malzeme noktasının dönme eksenine göre doğrusal hızının eşit olduğu dikkate alınarak şu şekildedir:

cismin seçilen dönme eksenine göre atalet momenti, bu eksene göre açısal hızı ve cismin dönme eksenine göre açısal momentumu nerededir.

Eğer bir cisim ötelemeli dönme hareketine maruz kalıyorsa, kinetik enerjinin hesaplanması cismin hareketinin tanımlandığı kutbun seçimine bağlıdır. Nihai sonuç aynı olacak. Yani, yarıçapı R ve eylemsizlik katsayısı k olan, v hızıyla kaymadan yuvarlanan yuvarlak bir cisim için kutup, C noktasındaki CM noktasında alınırsa, eylemsizlik momenti ve eksen etrafındaki açısal dönme hızı olur. C'dir. O zaman cismin kinetik enerjisi.

Kutup, gövde ile gövdenin anlık dönme ekseninin geçtiği yüzey arasındaki O temas noktasında alınırsa, O eksenine göre atalet momenti eşit olacaktır. . O zaman cismin kinetik enerjisi, cismin açısal dönüş hızlarının paralel eksenlere göre aynı olduğu ve cismin O ekseni etrafında saf dönüş gerçekleştirdiği dikkate alındığında . Sonuç aynı.

Performans gösteren bir cismin kinetik enerjisi hakkında teorem karmaşık hareket, öteleme hareketi ile aynı forma sahip olacaktır: .

Örnek 1. Kütlesi m olan bir cisim, yarıçapı R ve kütlesi M olan silindirik bir bloğun etrafına sarılmış bir ipliğin ucuna bağlanmıştır. Gövde h yüksekliğine kaldırılır ve serbest bırakılır (Şek. 65). İpliğin esnek olmayan bir sarsılmasından sonra gövde ve blok hemen birlikte hareket etmeye başlar. Sarsıntı sırasında ne kadar ısı açığa çıkacak? Sarsıntıdan sonra vücudun ivmesi ve ipliğin gerginliği ne olacak? İpin çekilmesinden sonra t süresinden sonra cismin hızı ve kat ettiği mesafe ne olacaktır?

Verilen: M, R, m, h, g, t. Bulmak: S -?,a - ?, T - ?,v -?, s - ?

Çözüm: İplik sarsılmadan önceki vücut hızı. İpin bir sarsılmasından sonra, blok ve gövde, blok ekseni O'ya göre dönme hareketine girecek ve bu eksene göre atalet momentleri ve'ye eşit olan cisimler gibi davranacaktır. Onların genel an dönme eksenine göre eylemsizlik.

İpliğin sarsılması hızlı bir süreçtir ve bir sarsıntı sırasında, blok-gövde sisteminin açısal momentumunun korunumu yasası meydana gelir; bu, gövde ve bloğun sarsıntıdan hemen sonra birlikte hareket etmeye başlaması nedeniyle şu şekle sahiptir: : . Bloğun başlangıçtaki açısal dönme hızı nereden geliyor? ve cismin başlangıçtaki doğrusal hızı .

İpliğin sarsılmasından hemen sonra açısal momentumun korunmasından dolayı sistemin kinetik enerjisi eşittir. Enerjinin korunumu yasasına göre sarsıntı sırasında açığa çıkan ısı

İpliğin sarsılmasından sonra sistem gövdelerinin dinamik hareket denklemleri, başlangıç ​​hızlarına bağlı değildir. Bir blok için şu forma sahiptir: veya ve vücut için. Bu iki denklemi topladığımızda şunu elde ederiz: . Vücut hareketinin hızlanması nereden geliyor? İplik gerginliği

Bir sarsıntıdan sonra vücut hareketinin kinematik denklemleri şu şekilde olacaktır: tüm parametrelerin bilindiği yer.

Cevap: . .

Örnek 2. Eğim açısına sahip eğimli bir düzlemin tabanında yer alan atalet katsayılı (içi boş silindir) ve (top) iki yuvarlak gövde α aynısını rapor et başlangıç ​​hızları, eğimli bir düzlem boyunca yukarıya doğru yönlendirilmiştir. Cesetler hangi yüksekliğe ve ne kadar zamanda bu yüksekliğe çıkacak? Yükselen cisimlerin ivmeleri nelerdir? Cisimlerin yükseklikleri, zamanları ve ivmeleri kaç kez farklılık gösterir? Cisimler eğik bir düzlemde kaymadan hareket ederler.

Verilen: . Bulmak:

Çözüm: Vücuda şunlar etki eder: yerçekimi m G eğik düzlem reaksiyonu N ve kavrama sürtünme kuvveti (Şek. 67). Eserler normal reaksiyon ve yapışma sürtünme kuvvetleri (cismin ve düzlemin yapışma noktasında kayma yoktur ve ısı açığa çıkmaz.) sıfıra eşittir: bu nedenle cisimlerin hareketini tanımlamak için enerjinin korunumu yasasını kullanmak mümkündür: . Nerede .

Kinematik denklemlerden cisimlerin hareketinin zamanlarını ve ivmelerini bulacağız . Nerede , . Kaldırıcı cisimlerin yüksekliklerinin, zamanlarının ve ivmelerinin oranı:

Cevap: , , , .

Örnek 3. Hızla uçan kütleli bir mermi, kütlesi m ve uzunluğu l olan, ikinci ucuyla O noktasında asılı duran bir çubuğun ucuna tutturulmuş, kütlesi M ve yarıçapı R olan bir topun merkezine çarpar ve topun dışına uçar. hız ile (Şek. 68). Çarpmadan hemen sonra çubuk-top sisteminin açısal dönme hızını ve mermi çarpmasından sonra çubuğun sapma açısını bulun.

Verilen: . Bulmak:

m=60kg, M=120kg, ν 1 =12dk -1 = 0,2s -1 Steiner teoremine göre çubuğun ve topun, çubuğun O askı noktasına göre atalet momentleri: ve . Çubuk-top sisteminin toplam eylemsizlik momenti . Bir merminin çarpması hızlı bir süreçtir ve mermi-çubuk-top sisteminin açısal momentumunun korunumu yasası gerçekleşir (çarpışmadan sonra cisimler dönme hareketine girer): . Çubuk-top sisteminin çarpışmadan hemen sonraki açısal hareket hızı nereden geliyor?

Çubuk-top sisteminin CM'sinin O askı noktasına göre konumu: . Bir çarpışmadan sonra sistemin CM'si için enerjinin korunumu yasası, çarpma anında sistemin açısal momentumunun korunumu yasasını dikkate alarak şu şekle sahiptir: . Bir çarpışma sonrasında sistemin CM yüksekliği nereden yükselir? . Çarpmadan sonra çubuğun sapma açısı duruma göre belirlenir .

Cevap: , , .

Örnek 4. Bir blok, kütlesi m ve yarıçapı R olan, eylemsizlik katsayısı k olan ve açısal hızla dönen yuvarlak bir gövdeye N kuvvetiyle bastırılıyor. Silindirin durması ne kadar sürer ve bu süre zarfında ped silindire sürtündüğünde ne kadar ısı açığa çıkar? Blok ile silindir arasındaki sürtünme katsayısı .

Verilen: Bulmak:

Çözüm: Kinetik enerji teoremine göre sürtünme kuvvetinin cisim durmadan önce yaptığı iş şuna eşittir: . Dönme sırasında açığa çıkan ısı .

Bir cismin dönme hareketinin denklemi şu şekildedir: Yavaş dönüşünün açısal ivmesi nereden geliyor? . Bir cismin durana kadar dönmesi için geçen süre.

Cevap: , .

Örnek 5. Kütlesi m ve yarıçapı R olan, eylemsizlik katsayısı k olan yuvarlak bir cisim saat yönünün tersine açısal hıza döndürülür ve dikey bir duvara bitişik yatay bir yüzeye yerleştirilir (Şekil 70). Vücudun durması ne kadar sürer ve durmadan önce kaç devir yapar? Bu süre zarfında vücut yüzeye sürtündüğünde açığa çıkan ısı miktarı ne olacaktır? Cismin yüzeydeki sürtünme katsayısı eşittir.

Verilen: . Bulmak:

Çözüm: Bir cismin durana kadar dönmesi sırasında açığa çıkan ısı, cismin kinetik enerjisi teoremi kullanılarak bulunabilen sürtünme kuvvetlerinin işine eşittir. Sahibiz.

Yatay düzlem reaksiyonu. Yatay ve dikey yüzeylerden vücuda etki eden sürtünme kuvvetleri eşittir: ve .Bu iki denklem sisteminden ve elde ederiz.

Bu ilişkiler dikkate alındığında, bir cismin dönme hareketinin denklemi () şeklindedir. Buradan cismin dönme açısal ivmesi eşittir. Daha sonra cismin durmadan önceki dönme süresi ve yaptığı devir sayısı yapar.

Cevap: , , , .

Örnek 6. Atalet katsayısı k olan yuvarlak bir cisim, yatay bir yüzey üzerinde duran R yarıçaplı bir yarım kürenin tepesinden kaymadan yuvarlanmaktadır (Şekil 71). Yarımküreden hangi yükseklikte ve hangi hızda kopacak ve yatay bir yüzeye hangi hızda düşecek?

Verilen: k, g, R. Bulmak:

Çözüm: Kuvvetler cisme etki eder . İş ve 0 (yarımküre ile topun yapışma noktasında kayma yoktur ve ısı açığa çıkmaz), dolayısıyla bir cismin hareketini tanımlamak için enerjinin korunumu yasasını kullanmak mümkündür. Newton'un bir cismin yarım küreden ayrıldığı noktadaki CM'si için ikinci yasası, bu noktada forma sahip olduğu dikkate alınarak, nereden . Enerjinin korunumu kanunu başlangıç ​​noktası ve gövdenin ayrılma noktası formuna sahiptir. Vücudun yarıküreden ayrılma yüksekliği ve hızı eşit olduğundan, .

Vücut yarım küreden ayrıldıktan sonra sadece translasyon kinetik enerjisi değişir, bu nedenle vücudun ayrılma ve yere düşme noktaları için enerjinin korunumu yasası şu şekildedir: Nereden aldığımızı dikkate alarak . Yarımkürenin yüzeyi boyunca sürtünme olmadan kayan bir cisim için k=0 ve , , .

Cevap: , , .

Öncelikle sabit bir OZ ekseni etrafında açısal hızla dönen katı bir cismi ele alalım. ω (Şekil 5.6). Vücudu temel kütlelere ayıralım. Temel kütlenin doğrusal hızı, dönme eksenine olan mesafesine eşittir. Kinetik enerji Ben-bu temel kütle şuna eşit olacaktır:

.

Tüm vücudun kinetik enerjisi, parçalarının kinetik enerjilerinden oluşur, dolayısıyla

.

Bu ilişkinin sağ tarafındaki toplamın, cismin dönme eksenine göre eylemsizlik momentini temsil ettiğini hesaba katarsak, sonunda şunu elde ederiz:

. (5.30)

Dönen bir cismin kinetik enerjisinin formülleri (5.30) benzerdir karşılık gelen formüller Bir cismin öteleme hareketinin kinetik enerjisi için. İkincisinden resmi bir değiştirme ile elde edilirler .

Genel durumda, katı bir cismin hareketi, hareketlerin toplamı olarak temsil edilebilir - cismin kütle merkezinin hızına eşit bir hızda öteleme ve cismin merkezinden geçen anlık bir eksen etrafında açısal hızda dönme. yığın. Bu durumda cismin kinetik enerjisinin ifadesi şu şekilde olur:

.

Şimdi katı bir cismin dönmesi sırasında dış kuvvetlerin momentinin yaptığı işi bulalım. Dış kuvvetlerin zaman içindeki temel çalışması dt Vücudun kinetik enerjisindeki değişime eşit olacaktır

Dönme hareketinin kinetik enerjisinden diferansiyeli alarak artışını buluyoruz

.

Dönme hareketinin temel dinamiği denklemine uygun olarak

Bu ilişkileri dikkate alarak ifadeyi sunuyoruz. temel çalışma akla

ortaya çıkan dış kuvvetlerin momentinin OZ dönme ekseni yönüne izdüşümünün olduğu yer, vücudun dikkate alınan süre boyunca dönme açısıdır.

(5.31)'in integralini alarak, dönen bir cisme etki eden dış kuvvetlerin çalışması için bir formül elde ederiz.

Eğer öyleyse formül basitleşir

Böylece, katı bir cismin sabit bir eksene göre dönmesi sırasında dış kuvvetlerin işi, bu kuvvetlerin momentinin bu eksene izdüşümünün hareketi ile belirlenir.

Jiroskop

Jiroskop, dönme ekseni uzayda yönünü değiştirebilen, hızla dönen simetrik bir cisimdir. Jiroskopun ekseninin uzayda serbestçe dönebilmesi için jiroskop, gimbal süspansiyonu adı verilen süspansiyona yerleştirilir (Şekil 5.13). Jiroskop volanı, ağırlık merkezinden geçen C 1 C 2 ekseni etrafında iç halkada döner. İç halka, dış halkada B 1 B 2 ekseni etrafında, C 1 C 2'ye dik olarak dönebilir. Son olarak, dış yatak, C 1 C 2 ve B 1 B 2 eksenlerine dik olarak A 1 A 2 ekseni etrafında payandanın yataklarında serbestçe dönebilir. Her üç eksen de bir noktada kesişir sabit nokta O, gimbalın merkezi veya jiroskopun dayanak noktası olarak adlandırılır. Gimbaldeki jiroskopun üç serbestlik derecesi vardır ve bu nedenle gimbalin merkezi etrafında herhangi bir dönüş yapabilir. Jiroskopun süspansiyonunun merkezi ağırlık merkeziyle çakışıyorsa, jiroskopun tüm parçalarının süspansiyonun merkezine göre ortaya çıkan yerçekimi momenti sıfırdır. Böyle bir jiroskopa dengeli denir.

Şimdi en çok düşünelim önemli özelliklerÇeşitli alanlarda geniş uygulama alanı bulan jiroskop.

1) Kararlılık.

Dengelenmiş jiroskopun herhangi bir dönüşü için dönme ekseni, laboratuvar referans sistemine göre değişmeden kalır. Bunun nedeni, sürtünme kuvvetlerinin momentine eşit olan tüm dış kuvvetlerin momentinin çok küçük olması ve pratik olarak jiroskopun açısal momentumunda bir değişikliğe neden olmamasıdır, yani.

Açısal momentum jiroskopun dönme ekseni boyunca yönlendirildiği için yönü değişmeden kalmalıdır.

Dış kuvvet kısa bir süre için etki ederse açısal momentumdaki artışı belirleyen integral küçük olacaktır.

. (5.34)

Bu, kısa vadeli maruziyetlerde bile büyük güçler dengeli bir jiroskopun hareketi çok az değişir. Jiroskop, açısal momentumunun büyüklüğünü ve yönünü değiştirme girişimlerine direniyor gibi görünüyor. Bu, jiroskopun hareketinin, jiroskopun konumuna getirildikten sonra elde ettiği dikkate değer stabilite ile ilişkilidir. hızlı dönüş. Jiroskopun bu özelliği, uçakların, gemilerin, füzelerin ve diğer cihazların hareketini otomatik olarak kontrol etmek için yaygın olarak kullanılır.

Eğer jiroskopla hareket edersen uzun zaman Dış kuvvetlerin momenti yönde sabitse, jiroskopun ekseni sonuçta dış kuvvetlerin momenti yönünde ayarlanır. Bu fenomen jiroskop pusulasında kullanılır. Bu cihaz, ekseni yatay bir düzlemde serbestçe döndürülebilen bir jiroskoptur. Dolayı günlük rotasyon Dünya ve anın eylemleri merkezkaç kuvvetleri Jiroskop ekseni, ve arasındaki açı minimum olacak şekilde döndürülür (Şekil 5.14). Bu, jiroskop ekseninin meridyen düzlemindeki konumuna karşılık gelir.

2). Jiroskopik etki.

Dönen bir jiroskopa, onu dönme eksenine dik bir eksen etrafında döndürme eğiliminde olan bir çift kuvvet uygulanırsa, o zaman ilk ikisine dik olan üçüncü bir eksen etrafında dönmeye başlayacaktır (Şekil 5.15). Jiroskopun bu olağandışı davranışına denir jiroskopik etki. Kuvvet çiftinin momentinin O 1 O 1 ekseni boyunca yönlendirildiği ve vektördeki büyüklüğe göre zaman içindeki değişimin aynı yöne sahip olacağı gerçeğiyle açıklanmaktadır. Sonuç olarak, yeni vektör O 2 O 2 eksenine göre dönecektir. Böylece, jiroskopun ilk bakışta doğal olmayan davranışı, dönme hareketinin dinamiği yasalarına tamamen karşılık gelir.

3). Jiroskopun devinimi.

Bir jiroskopun devinimi, ekseninin koni şeklindeki hareketidir. Bu, büyüklük olarak sabit kalan dış kuvvetlerin momentinin jiroskopun ekseni ile aynı anda dönmesi ve onunla her zaman dik bir açı oluşturması durumunda ortaya çıkar. Devinilimi göstermek için, uzatılmış aksı hızlı dönüşe ayarlı bir bisiklet tekerleği kullanılabilir (Şekil 5.16).

Tekerleğin aksın uzatılmış ucu tarafından asılı kalması durumunda aks, kendi ağırlığının etkisi altında dikey eksen etrafında dönmeye başlayacaktır. Hızla dönen bir tepe aynı zamanda devinimin bir göstergesi olarak da hizmet edebilir.

Jiroskopun deviniminin nedenlerini öğrenelim. Ekseni belirli bir O noktası etrafında serbestçe dönebilen dengesiz bir jiroskopu düşünelim (Şekil 5.16). Jiroskopa uygulanan yerçekimi momentinin büyüklüğü eşittir

jiroskopun kütlesi nerede, O noktasından jiroskopun kütle merkezine olan mesafe, jiroskop ekseninin düşey ile oluşturduğu açıdır. Vektör, jiroskopun ekseninden geçen dikey düzleme dik olarak yönlendirilir.

Bu anın etkisi altında, jiroskopun açısal momentumu (kökeni O noktasına yerleştirilir) zamanla bir artış alacak ve jiroskopun ekseninden geçen dikey düzlem bir açıyla dönecektir. Vektör her zaman diktir, dolayısıyla büyüklüğü değişmeden vektörün yalnızca yönü değişir. Ancak bir süre sonra göreceli konum vektörler ve aşağıdakilerle aynı olacaktır başlangıç ​​anı. Sonuç olarak, jiroskop ekseni sürekli olarak dikey etrafında dönecek ve bir koni oluşturacaktır. Bu harekete devinim denir.

Devinimin açısal hızını belirleyelim. Şekil 5.16'ya göre, koninin ekseninden ve jiroskopun ekseninden geçen düzlemin dönme açısı eşittir:

jiroskopun açısal momentumu nerede ve zaman içindeki artışıdır.

Belirtilen ilişkileri ve dönüşümleri dikkate alarak, ile bölerek, devinim açısal hızını elde ederiz.

. (5.35)

Teknolojide kullanılan jiroskoplar için, devinim açısal hızı jiroskopun dönüş hızından milyonlarca kat daha azdır.

Sonuç olarak, devinim olgusunun atomlarda da gözlendiğini belirtiyoruz. yörünge hareketi elektronlar.

Dinamik yasalarının uygulama örnekleri

Dönme hareketi sırasında

1. Zhukovsky tezgahı kullanılarak uygulanabilecek açısal momentumun korunumu yasasına ilişkin bazı örnekleri ele alalım. En basit durumda, Zhukovsky tezgahı, bilyeli yataklar üzerinde dikey bir eksen etrafında serbestçe dönebilen disk şeklinde bir platformdur (sandalye). Gösterici bankta oturur veya ayakta durur, ardından bank rotasyona getirilir. Rulman kullanımından kaynaklanan sürtünme kuvvetleri çok küçük olduğundan, bir tezgah ve bir göstericiden oluşan sistemin dönme eksenine göre açısal momentumu, sistem kendi haline bırakılırsa zamanla değişemez. . Gösterici elinde ağır dambıl tutarsa ​​ve kollarını yanlara doğru açarsa, sistemin eylemsizlik momentini artıracaktır ve bu nedenle açısal momentumun değişmeden kalması için açısal dönme hızının azalması gerekir.

Açısal momentumun korunumu yasasına göre aşağıdaki denklemi oluştururuz: bu dava

burada kişinin ve sehpanın eylemsizlik momenti, birinci ve ikinci konumdaki dambılların eylemsizlik momenti ve sistemin açısal hızlarıdır.

Dambılları yana doğru kaldırırken sistemin açısal dönüş hızı şuna eşit olacaktır:

.

iş, adam tarafından işlendi dambılları hareket ettirirken sistemin kinetik enerjisindeki değişiklikle belirlenebilir

2. Zhukovsky tezgahıyla başka bir deney yapalım. Gösterici bir bankta oturur veya ayakta durur ve kendisine dikey olarak yönlendirilmiş bir eksene sahip hızla dönen bir tekerlek verilir (Şekil 5.18). Gösterici daha sonra tekerleği 180 0 çevirir. Bu durumda tekerleğin açısal momentumundaki değişiklik tamamen tezgaha ve göstericiye aktarılır. Sonuç olarak tezgah, göstericiyle birlikte açısal momentumun korunumu yasasına göre belirlenen bir açısal hızla dönmeye başlar.

Sistemin başlangıç ​​durumundaki açısal momentumu yalnızca tekerleğin açısal momentumu tarafından belirlenir ve şuna eşittir:

tekerleğin atalet momenti ve dönüşünün açısal hızı nerede.

Tekerleğin 180 0 açıyla döndürülmesinden sonra sistemin açısal momentumu, tezgahın kişiyle açısal momentumu ve tekerleğin açısal momentumunun toplamı ile belirlenecektir. Tekerleğin açısal momentum vektörünün yönünün tersine değiştiği ve dikey eksene izdüşümünün negatif olduğu dikkate alındığında, şunu elde ederiz:

,

“kişi-platform” sisteminin atalet momenti nerede ve bankın kişiyle açısal dönme hızıdır.

Açısal momentumun korunumu yasasına göre

Ve .

Sonuç olarak tezgahın dönme hızını buluyoruz

3. İnce kütle çubuğu Volan kütlesi ve uzunluk bençubuğun ortasından geçen dikey bir eksen etrafında yatay düzlemde ω=10 s -1 açısal hızıyla dönmektedir. Aynı düzlemde dönmeye devam eden çubuk, dönme ekseni artık çubuğun ucundan geçecek şekilde hareket eder. İkinci durumda açısal hızı bulun.

Bu problemde çubuğun kütlesinin dönme eksenine göre dağılımı değiştiği için çubuğun eylemsizlik momenti de değişmektedir. Yalıtılmış bir sistemin açısal momentumunun korunumu yasasına uygun olarak,

Burada çubuğun ortasından geçen eksene göre çubuğun eylemsizlik momenti; çubuğun ucundan geçen eksene göre eylemsizlik momentidir ve Steiner teoremi ile bulunur.

Bu ifadeleri açısal momentumun korunumu yasasına koyarsak, şunu elde ederiz:

,

.

4. Çubuk uzunluğu L=1,5 m ve kütle m 1=10 kg üst uçtan menteşeli olarak asılıdır. Kütlesi olan bir mermi m2=10 g, yatay olarak =500 m/s hızla uçuyor ve çubuğa sıkışıyor. Çarpmadan sonra çubuk hangi açıda sapacak?

Şekil 2'de hayal edelim. 5.19. Etkileşen cisimlerin sistemi “çubuk-kurşun”. Çarpma anında dış kuvvetlerin momentleri (yerçekimi, aks reaksiyonu) sıfıra eşittir, dolayısıyla açısal momentumun korunumu yasasını kullanabiliriz

Sistemin çarpmadan önceki açısal momentumu, merminin askı noktasına göre açısal momentumuna eşittir.

Bundan sonra sistemin açısal momentumu esnek olmayan etki formülle belirlenecek

,

çubuğun askı noktasına göre atalet momenti nerede, merminin atalet momenti, çubuğun çarpmadan hemen sonra mermiyle olan açısal hızıdır.

Ortaya çıkan denklemi ikameden sonra çözerek şunu buluruz:

.

Şimdi mekanik enerjinin korunumu yasasını kullanalım. Bir mermi ona çarptıktan sonra çubuğun kinetik enerjisini eşitleyelim. potansiyel enerji V en yüksek nokta kaldırmak:

,

bu sistemin kütle merkezinin yükseklik yüksekliği nerede?

Gerekli dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra elde ederiz.

Çubuğun sapma açısı oran ile ilgilidir

.

Hesaplamaları yaptıktan sonra =0.1p=18 0 elde ederiz.

5. Bunu varsayarak, gövdelerin ivmesini ve Atwood makinesindeki iplik gerginliğini belirleyin (Şekil 5.20). Bloğun dönme eksenine göre atalet momenti şuna eşittir: BEN, blok yarıçapı =5kg ve yarıçap. İpliğin kütlesini ihmal edin.

Yüklere ve bloğa etki eden tüm kuvvetleri sıralayalım ve bunlara dinamik denklemler yazalım.

İpliğin blok boyunca kayması yoksa, doğrusal ve açısal ivme birbiriyle şu ilişkiyle ilişkilidir:

Bu denklemleri çözersek şunu elde ederiz:

Sonra T 1 ve T 2'yi buluyoruz.

6. Oberbeck haçının makarasına (Şekil 5.21) bir yükün tartıldığı bir iplik takılmıştır. M= 0,5 kg. Bir yükün belirli bir yükseklikten düşmesinin ne kadar süreceğini belirleyin H=1 m alt konuma. Kasnak yarıçapı =5kg ve yarıçap=3 cm ağırlığında dört ağırlık. Volan kütlesi= her biri uzaktan 250 g R= Ekseninden 30 cm. Çaprazın ve makaranın atalet momenti, yüklerin atalet momentiyle karşılaştırıldığında ihmal edilir.