Matematiksel sarkaç isminde maddi nokta Süspansiyona bağlı ağırlıksız ve uzatılamaz bir iplik üzerinde asılı olan ve yerçekimi (veya başka bir kuvvet) alanında bulunan.
Matematiksel bir sarkacın salınımlarını araştırıyoruz eylemsizlik sistemi Süspansiyon noktasının hareketsiz olduğu veya düz bir çizgide düzgün bir şekilde hareket ettiği referans. Hava direncinin kuvvetini (ideal matematiksel sarkaç) ihmal edeceğiz. Başlangıçta sarkaç, C denge konumunda hareketsizdir. Bu durumda, ona etki eden yerçekimi kuvveti \(\vec F\) ile ipliğin elastik kuvveti \(\vec F_(ynp)\) karşılıklıdır. telafi edildi.
Sarkacı denge konumundan çıkaralım (örneğin A konumuna saptırarak) ve bırakmadan bırakalım. başlangıç hızı(Şekil 13.11). Bu durumda \(\vec F\) ve \(\vec F_(ynp)\) kuvvetleri birbirini dengelemez. Sarkaca etki eden yerçekiminin teğet bileşeni \(\vec F_\tau\) bunu söyler teğetsel ivme\(\vec a_\tau\) (bileşen tam hızlanma, matematiksel sarkacın yörüngesine teğet boyunca yönlendirilir) ve sarkaç, mutlak değerde artan bir hızla denge konumuna doğru hareket etmeye başlar. Yer çekiminin teğetsel bileşeni \(\vec F_\tau\) dolayısıyla bir geri çağırıcı kuvvettir. Yer çekimi kuvvetinin normal bileşeni \(\vec F_n\) iplik boyunca elastik kuvvete \(\vec F_(ynp)\) doğru yönlendirilir. \(\vec F_n\) ve \(\vec F_(ynp)\) kuvvetlerinin sonucu sarkaca \(~a_n\) normal ivmeyi verir, bu da hız vektörünün yönünü değiştirir ve sarkaç hareket eder bir yay boyunca ABCD.
Sarkaç C denge konumuna yaklaştıkça, \(~F_\tau = F \sin \alpha\) teğet bileşeninin değeri o kadar küçük olur. Denge konumunda sıfırdır ve hız ulaşır maksimum değer ve sarkaç ataletle daha da ileriye doğru hareket ederek bir yay çizerek yukarıya doğru yükselir. Bu durumda \(\vec F_\tau\) bileşeni hıza karşı yönlendirilir. Sapma açısı a arttıkça, kuvvet modülü \(\vec F_\tau\) artar ve hız modülü azalır ve D noktasında sarkacın hızı şu şekilde olur: sıfıra eşit. Sarkaç bir an durur ve daha sonra denge pozisyonunun tersi yönde hareket etmeye başlar. Ataletle tekrar geçtikten sonra, hareketini yavaşlatan sarkaç A noktasına ulaşacaktır (sürtünme yoktur), yani. tam bir salınımı tamamlayacak. Bundan sonra sarkacın hareketi daha önce açıklanan sırayla tekrarlanacaktır.
Matematiksel bir sarkacın serbest salınımlarını tanımlayan bir denklem elde edelim.
Sarkaçın içeri girmesine izin verin şu anda zaman B noktasındadır. Bu anda denge konumundan S yer değiştirmesi SV yayının uzunluğuna eşittir (yani S = |SV|). Askı ipliğinin uzunluğunu belirtelim ben ve sarkacın kütlesi M.
Şekil 13.11'den açıkça görülmektedir ki \(~F_\tau = F \sin \alpha\), burada \(\alpha =\frac(S)(l).\) Küçük açılarda \(~(\alpha)<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому
\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)
Bu formülde eksi işareti yerleştirilmiştir çünkü yerçekiminin teğetsel bileşeni denge konumuna doğru yönlendirilir ve yer değiştirme denge konumundan sayılır.
Newton'un ikinci yasasına göre \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Bu denklemin vektör niceliklerini matematiksel sarkacın yörüngesine teğet yönüne izdüşümleyelim.
\(~F_\tau = ma_\tau .\)
Bu denklemlerden elde ettiğimiz
\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - matematiksel bir sarkacın dinamik hareket denklemi. Matematiksel bir sarkacın teğetsel ivmesi yer değiştirmesiyle orantılıdır ve denge konumuna doğru yönlendirilir. Bu denklem \ şeklinde yazılabilir. Denklem ile karşılaştırılması. harmonik titreşimler\(~a_x + \omega^2x = 0\) (bkz. § 13.3), matematiksel sarkacın harmonik salınımlar gerçekleştirdiği sonucuna varabiliriz. Ve sarkacın dikkate alınan salınımları yalnızca etki altında gerçekleştiğinden iç kuvvetler, o zaman bunlar sarkacın serbest salınımlarıydı. Buradan, matematiksel bir sarkacın küçük sapmalara sahip serbest salınımları harmoniktir.
\(\frac(g)(l) = \omega^2.\)'yi gösterelim. Buradan \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) sarkacın döngüsel frekansıdır.
Sarkacın salınım periyodu \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\)'dır. Bu nedenle,
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)
Bu ifade denir Huygens'in formülü. Matematiksel bir sarkacın serbest salınım periyodunu belirler. Formülden, denge konumundan küçük sapma açılarında, matematiksel bir sarkacın salınım periyodunun: 1) kütlesine ve salınım genliğine bağlı olmadığı sonucu çıkar; 2) sarkacın uzunluğunun kareköküyle orantılı ve ivmenin kareköküyle ters orantılı serbest düşüş. Bu, G. Galileo tarafından keşfedilen matematiksel sarkacın küçük salınımlarının deneysel yasalarıyla tutarlıdır.
İki koşulun aynı anda karşılanması durumunda bu formülün periyodu hesaplamak için kullanılabileceğini vurguluyoruz: 1) sarkacın salınımları küçük olmalıdır; 2) Sarkacın askı noktası, içinde bulunduğu eylemsiz referans çerçevesine göre hareketsiz olmalı veya düz bir çizgide düzgün bir şekilde hareket etmelidir.
Matematiksel bir sarkacın askı noktası \(\vec a\) ivmesiyle hareket ederse, ipliğin gerilme kuvveti değişir, bu da geri getirme kuvvetinde ve dolayısıyla salınımların frekansında ve periyodunda bir değişikliğe yol açar. Hesaplamaların gösterdiği gibi, bu durumda sarkacın salınım periyodu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)
burada \(~g"\), eylemsiz olmayan bir referans çerçevesinde sarkacın "etkili" ivmesidir. Yerçekimi ivmesi \(\vec g\) ile bunun tersi vektörün geometrik toplamına eşittir. \(\vec a\) vektörü, yani aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir
\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)
Edebiyat
Aksenovich L. A. Ortaokulda fizik: Teori. Atamalar. Testler: Ders Kitabı. Genel eğitim veren kurumlar için ödenek. çevre, eğitim / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - S. 374-376.
Uzatılamaz, ağırlıksız bir ipliğe asılan belirli bir maddi noktadan (gövdeden) oluşan belirli bir mekanik sistem düşünün (ipliğin kütlesi, cismin kütlesiyle karşılaştırıldığında ihmal edilebilir). Bu mekanik sistem diğer adıyla sarkaç veya osilatördür. Ancak bu tür cihazların başka türleri de olabilir. Matematiksel bir sarkaç veya osilatör bizim için neden ilginç? Gerçek şu ki, onun yardımıyla fizikteki birçok ilginç doğa olayı hakkında fikir sahibi olabilirsiniz.
Matematiksel bir sarkacın salınımları
Matematiksel bir sarkacın salınım periyodunun formülü ilk olarak 17. yüzyılda Hollandalı bilim adamı Huygens tarafından keşfedildi. Isaac Newton'un çağdaşı olan Huygens, bu tür sarkaçlardan çok etkilenmişti, o kadar büyülenmişti ki, sarkaç mekanizmalarına sahip özel bir saat bile icat etmişti ve bu saatler, o zamanın en doğru saatlerinden biriydi.
Huygens sarkaçlı saat.
Böyle bir buluşun ortaya çıkışı, özellikle zamanın doğru ölçümünün çok önemli bir faktör olduğu fiziksel deneyler alanında fiziğe büyük fayda sağladı.
Ancak sarkaca geri dönelim, yani sarkacın çalışmasının temeli, bir formülle, daha kesin olarak aşağıdaki diferansiyel denklemle ifade edilebilen salınımlarıdır:
x + w2 günah x = 0
Burada x(t) bilinmeyen bir fonksiyondur (bu, t anında alt denge konumundan sapma açısıdır ve radyan cinsinden ifade edilir); w, sarkacın parametrelerinden belirlenen pozitif bir sabittir (w = √ g/L, burada g, serbest düşüşün ivmesidir ve L, matematiksel sarkacın (askı) uzunluğudur.
Salınımların yanı sıra sarkaç da denge konumunda olabilir, buna etki eden yerçekimi kuvveti ise ipliğin gerilme kuvveti ile dengelenecektir. Uzatılamaz bir iplik üzerinde duran sıradan bir düz sarkaç, iki serbestlik derecesine sahip bir sistemdir. Ancak örneğin ipliğin yerini bir çubuk alırsa, sarkacımız yalnızca tek serbestlik derecesine sahip bir sistem haline gelecektir, çünkü hareketleri üç boyutlu değil iki boyutlu olacaktır.
Ancak sarkacımız hala ipin üzerinde duruyorsa ve aynı zamanda yukarı aşağı yoğun salınımlar yapıyorsa, o zaman mekanik sistem “baş aşağı” denilen sabit bir pozisyon alır; buna Kapitsa sarkacı da denir.
Bir sarkacın özellikleri
Sarkacın, fizik yasalarıyla da doğrulanan bir dizi ilginç özelliği vardır. Dolayısıyla herhangi bir sarkacın salınım periyodu, sarkacın büyüklüğü, gövde şekli, ağırlık merkezi ile askı noktası arasındaki mesafe gibi faktörlere bağlıdır. Bu nedenle sarkacın periyodunun belirlenmesi kolay bir iş değildir. Ancak matematiksel bir sarkacın periyodu aşağıdaki formül kullanılarak tam olarak hesaplanabilir.
Sarkaçların gözlemleri sırasında aşağıdaki modeller elde edildi:
- Sarkaçtan farklı ağırlıklara sahip farklı yükler asılırsa, ancak aynı zamanda sarkacın aynı uzunluğu korunursa, yükün kütlesinden bağımsız olarak salınım periyodu aynı olacaktır.
- Salınımlara başlarken sarkaç çok büyük olmasa da yine de farklı açılarda saptırılırsa, aynı periyotta ancak farklı genliklerle salınmaya başlayacaktır. Sonuç olarak, böyle bir sarkacın salınım periyodu salınımın genliğine bağlı değildir; bu fenomene eski Yunancadan "chronos" - zaman, "iso" - eşit, yani "eşit" olarak çevrilebilen izokronizm adı verildi. zaman bakımından eşittir”.
Matematiksel sarkacın periyodu
Bir sarkacın periyodu, sarkacın gerçek salınımlarının periyodunu, bunların süresini temsil eden bir göstergedir. Matematiksel bir sarkacın periyodunun formülü aşağıdaki gibi yazılabilir.
Burada L matematiksel bir sarkacın ipliğinin uzunluğu, g yer çekiminin ivmesi ve π matematiksel bir sabit olan Pi sayısıdır.
Matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının periyodu hiçbir şekilde sarkacın kütlesine ve salınımın genliğine bağlı değildir; bu durumda belirli bir uzunlukta matematiksel bir sarkaç gibi hareket eder.
Matematiksel sarkacın pratik uygulaması
Şimdi en ilginç şeye, neden matematiksel bir sarkaca ihtiyacımız olduğuna ve bunun hayattaki pratikteki uygulamasının ne olduğuna geliyoruz. Her şeyden önce, matematiksel bir sarkacın ivmesi, mineral aramalarının yardımıyla jeolojik keşif için kullanılır. Bu nasıl oluyor? Gerçek şu ki, yerçekiminin ivmesi coğrafi enlemle birlikte değişiyor, çünkü gezegenimizdeki farklı yerlerdeki kabuğun yoğunluğu aynı olmaktan uzak ve daha yüksek yoğunluklu kayaların bulunduğu yerlerde ivme biraz daha büyük olacak. Bu, bir sarkacın salınım sayısını sayarak, diğer gevşek kayalardan daha yüksek yoğunluğa sahip oldukları için Dünya'nın bağırsaklarında cevher veya kömür bulabileceğiniz anlamına gelir.
Ayrıca matematiksel sarkaç, başta Arşimet, Aristoteles, Platon, Plutarch olmak üzere antik çağlardan başlayarak geçmişin birçok seçkin bilim adamı tarafından kullanılmıştır. Böylece Arşimet tüm hesaplamalarında matematiksel bir sarkacı bile kullanmış ve hatta bazı insanlar sarkacın insanların kaderini etkileyebileceğine inanarak onun yardımıyla geleceğe dair tahminlerde bulunmaya çalışmışlardır.
Matematiksel sarkaç, video
Ve son olarak yazımızın konusuyla ilgili bir eğitim videosu.
Salınım hareketi- Koordinatı, hızı ve ivmesi eşit zaman aralıklarında yaklaşık olarak aynı değerleri alan bir cismin periyodik veya neredeyse periyodik hareketi.
Mekanik titreşimler, bir cisim denge konumundan çıkarıldığında, cismi geri döndürme eğiliminde olan bir kuvvet ortaya çıktığında meydana gelir.
Yer değiştirme x, vücudun denge konumundan sapmasıdır.
Genlik A, cismin maksimum yer değiştirmesinin modülüdür.
Salınım periyodu T - bir salınımın süresi:
Salınım frekansı
Bir cismin birim zaman başına yaptığı salınım sayısı: Salınım sırasında hız ve ivme periyodik olarak değişir. Denge konumunda hız maksimumdur ve ivme sıfırdır. Maksimum yer değiştirme noktalarında ivme maksimuma ulaşır ve hız sıfır olur.
HARMONİK TİTREŞİM PROGRAMI
Harmonik sinüs veya kosinüs kanununa göre oluşan titreşimlere denir:
burada x(t), sistemin t zamanındaki yer değiştirmesidir, A genliktir, ω salınımların döngüsel frekansıdır.
Eğer cismin denge konumundan sapmasını dikey eksen boyunca ve zamanı da yatay eksen boyunca çizerseniz, x = x(t) salınımının - cismin yer değiştirmesinin zamana bağımlılığının - grafiğini elde edersiniz. Serbest harmonik salınımlar için sinüs dalgası veya kosinüs dalgasıdır. Şekilde x yer değiştirmesinin, Vx hızının ve a x ivmesinin zamana bağımlılığının grafikleri gösterilmektedir.
Grafiklerden görülebileceği gibi, maksimum x yer değiştirmesinde, salınan cismin hızı V sıfırdır, ivme a ve dolayısıyla cisme etki eden kuvvet maksimumdur ve yer değiştirmenin tersi yöndedir. Denge konumunda yer değiştirme ve ivme sıfır olur ve hız maksimum olur. İvme projeksiyonu her zaman yer değiştirmenin tersi işarete sahiptir.
TİTREŞİM HAREKETİNİN ENERJİSİ
Salınım yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi, kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamına eşittir ve sürtünme olmadığında sabit kalır:
Yer değiştirmenin maksimum x = A değerine ulaştığı anda hız ve onunla birlikte kinetik enerji de sıfıra gider.
Bu durumda toplam enerji potansiyel enerjiye eşittir:
Salınım yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi, salınımlarının genliğinin karesiyle orantılıdır.
Sistem denge konumunu geçtiğinde yer değiştirme ve potansiyel enerji sıfırdır: x = 0, E p = 0. Dolayısıyla toplam enerji kinetik enerjiye eşittir:
Salınım yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi, denge konumundaki hızının karesiyle orantılıdır. Buradan:
MATEMATİK SARKAÇ
1. Matematik sarkaç ağırlıksız, uzamayan bir iplik üzerinde asılı duran maddi bir noktadır.
Denge konumunda yerçekimi kuvveti ipliğin gerilimi ile telafi edilir. Sarkaç saptırılır ve serbest bırakılırsa, kuvvetler birbirini telafi etmeyi bırakacak ve bunun sonucunda denge konumuna doğru bir kuvvet ortaya çıkacaktır. Newton'un ikinci yasası:
Küçük salınımlar için, x yer değiştirmesi l'den çok daha az olduğunda, malzeme noktası neredeyse yatay x ekseni boyunca hareket edecektir. Daha sonra MAB üçgeninden şunu elde ederiz:
Çünkü günah a = x/l, bu durumda ortaya çıkan R kuvvetinin x eksenine izdüşümü şuna eşittir:
Eksi işareti, R kuvvetinin her zaman x yer değiştirmesinin tersi yönünde olduğunu gösterir.
2. Yani, matematiksel bir sarkacın salınımları sırasında ve ayrıca salınımlar sırasında bahar sarkaç geri çağırıcı kuvvet yer değiştirmeyle orantılıdır ve ters yönde yönlendirilir.
Matematiksel ve yaylı sarkaçların geri çağırma kuvvetine ilişkin ifadeleri karşılaştıralım:
Mg/l'nin k'nin bir analogu olduğu görülebilir. Yaylı sarkacın periyodu için formülde k'yi mg/l ile değiştirmek
matematiksel bir sarkacın periyodu için formülü elde ederiz:
Matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının periyodu genliğe bağlı değildir.
Zamanı ölçmek ve dünya yüzeyinde belirli bir konumdaki yerçekimi ivmesini belirlemek için matematiksel bir sarkaç kullanılır.
Matematiksel bir sarkacın küçük sapma açılarında serbest salınımları harmoniktir. sayesinde oluyorlar etkili kuvvet ipliğin yerçekimi ve gerginlik kuvvetinin yanı sıra yükün ataleti. Bu kuvvetlerin sonucu geri çağırıcı kuvvettir.
Örnek. 6,25 m uzunluğunda bir sarkacın 3,14 s'lik bir serbest salınım periyoduna sahip olduğu bir gezegende yerçekimine bağlı ivmeyi belirleyin.
Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu ipliğin uzunluğuna ve yerçekimi ivmesine bağlıdır:
Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak şunu elde ederiz:
Cevap: yer çekimi ivmesi 25 m/s2'dir.
"Konu 4. "Mekanik konusundaki problemler ve testler. Salınımlar ve dalgalar."
- Enine ve boyuna dalgalar. Dalgaboyu
Dersler: 3 Ödevler: 9 Testler: 1
- Ses dalgaları. Ses hızı - Mekanik titreşimler ve dalgalar. Ses 9. sınıf
Teknolojide ve çevremizdeki dünyada sıklıkla uğraşmak zorunda kalıyoruz periyodik(veya neredeyse periyodik) düzenli aralıklarla tekrarlanan işlemler. Bu tür işlemlere denir salınımlı.
Salınımlar doğadaki ve teknolojideki en yaygın süreçlerden biridir. Uçan böceklerin ve kuşların kanatları, rüzgârın etkisi altındaki yüksek binalar ve yüksek gerilim kabloları, seyir halindeyken kurmalı saatin ve yayların üzerinde bir arabanın sarkacı, nehrin yıl boyunca seviyesi ve sıcaklığı. hastalık sırasında insan vücudu, ses, hava yoğunluğu ve basıncındaki dalgalanmalardır, radyo dalgaları - elektrik ve manyetik alanların kuvvetlerinde periyodik değişiklikler, görünür ışık da sadece biraz farklı dalga boyları ve frekanslara sahip elektromanyetik titreşimlerdir, depremler toprak titreşimleridir, nabız insan kalp kasının vb. periyodik kasılmalarıdır.
Salınımlar mekanik, elektromanyetik, kimyasal, termodinamik ve diğerleri olabilir. Bu çeşitliliğe rağmen hepsinin pek çok ortak noktası var.
Çeşitli salınım fenomenleri fiziksel doğa genel yasalara uyun. Örneğin bir elektrik devresindeki akım salınımları ile matematiksel bir sarkacın salınımları aynı denklemlerle açıklanabilir. Titreşim kalıplarının genelliği şunları düşünmemize olanak tanır: salınımlı süreçler tek bir bakış açısından farklı doğalara sahip. Salınım hareketinin bir işareti periyodiklik.
Mekanik titreşimler –Butam olarak veya yaklaşık olarak düzenli aralıklarla tekrarlanan hareketler.
Basit örnekler salınım sistemleri bir yay üzerinde yük (yay sarkacı) veya bir ip üzerinde top (matematiksel sarkaç) görevi görebilir.
Mekanik titreşimler sırasında kinetik ve potansiyel enerjiler periyodik olarak değişir.
Şu tarihte: maksimum sapma denge konumundan, hızından ve dolayısıyla kinetik enerji sıfıra gidiyor. Bu pozisyonda potansiyel enerji salınan gövde maksimum değere ulaşır. Bir yay üzerindeki yük için potansiyel enerji, yayın elastik deformasyonunun enerjisidir. Matematiksel bir sarkaç için bu, Dünya'nın çekim alanındaki enerjidir.
Bir cisim hareketi sırasında içinden geçtiğinde denge konumu, hızı maksimumdur. Atalet kanununa göre cisim denge pozisyonunu aşar. Şu anda var maksimum kinetik ve minimum potansiyel enerji. Potansiyel enerjinin azalması nedeniyle kinetik enerjide bir artış meydana gelir.
Daha fazla hareketle, kinetik enerjinin azalması vb. nedeniyle potansiyel enerji artmaya başlar.
Böylece, harmonik salınımlar sırasında, kinetik enerjinin potansiyel enerjiye ve bunun tersi de periyodik olarak dönüşümü meydana gelir.
Salınım sisteminde sürtünme yoksa, mekanik titreşimler sırasında toplam mekanik enerji değişmeden kalır.
Yay yükü için:
Maksimum sapma konumunda sarkacın toplam enerjisi deforme olmuş yayın potansiyel enerjisine eşittir:
Denge konumundan geçerken toplam enerji yükün kinetik enerjisine eşittir:
Matematiksel bir sarkacın küçük salınımları için:
Maksimum sapma konumunda sarkacın toplam enerjisi, h yüksekliğine yükseltilmiş cismin potansiyel enerjisine eşittir:
Denge konumundan geçerken toplam enerji vücudun kinetik enerjisine eşittir:
Burada hm– Dünyanın yerçekimi alanındaki sarkacın maksimum yüksekliği, x m ve υ M = ω 0 x m– sarkacın denge konumundan ve hızından sapmasının maksimum değerleri.
Harmonik salınımlar ve özellikleri. Harmonik titreşim denklemi.
En basit salınım süreci türü basittir harmonik titreşimler, denklemle açıklananlar
X = x mçünkü(ω T + φ 0).
Burada X– Vücudun denge konumundan yer değiştirmesi,
x m– salınımların genliği, yani denge konumundan maksimum yer değiştirme,
ω – döngüsel veya dairesel frekans tereddüt,
T- zaman.
Salınım hareketinin özellikleri.
Ofset x – salınım noktasının denge konumundan sapması. Ölçü birimi 1 metredir.
Salınım genliği A – salınan bir noktanın denge konumundan maksimum sapması. Ölçü birimi 1 metredir.
Salınım periyoduT– bir tam salınımın meydana geldiği minimum zaman aralığına denir. Ölçü birimi 1 saniyedir.
T=t/N
burada t salınımların süresidir, N ise bu süre zarfında tamamlanan salınımların sayısıdır.
Harmonik salınımların grafiğinden salınımların periyodu ve genliği belirlenebilir:
Salınım frekansı ν – birim zamandaki salınım sayısına eşit fiziksel miktar.
ν=N/t
Frekans salınım periyodunun tersidir:
Sıklık salınımlar ν 1 saniyede kaç salınım meydana geldiğini gösterir. Frekans birimi hertz(Hz).
Döngüsel frekans ω– 2π saniyedeki salınım sayısı.
Salınım frekansı ν ile ilgilidir döngüsel frekans ω ve salınım periyodu T oranlar:
Faz harmonik süreç - harmonik salınım denkleminde sinüs veya kosinüs işaretinin altındaki bir miktar φ = ω T + φ 0 . Şu tarihte: T= 0 φ = φ 0 , dolayısıyla φ 0 isminde başlangıç aşaması.
Harmonik grafik sinüs veya kosinüs dalgasını temsil eder.
Her üç durumda da mavi eğriler için φ 0 = 0:
sadece daha büyük genlik(x" m > x m);
kırmızı eğri mavi olandan farklıdır sadece Anlam dönem(T" = T/2);
kırmızı eğri mavi olandan farklıdır sadece Anlam başlangıç aşaması(memnun).
Şu tarihte: salınım hareketi vücut düz bir çizgi boyunca (eksen ÖKÜZ) hız vektörü her zaman bu düz çizgi boyunca yönlendirilir. Vücudun hareket hızı ifadeyle belirlenir.
Matematikte, Δх/Δt oranının Δ'daki limitini bulma prosedürü T→ 0'a fonksiyonun türevinin hesaplanması denir X(T) zamana göre T ve olarak gösterilir X"(T).Hız, x( fonksiyonunun türevine eşittir. T) zamana göre T.
Harmonik hareket kanunu için X = x mçünkü(ω T+ φ 0) türevin hesaplanması aşağıdaki sonuca yol açar:
υ X =X"(T)= ω x m günah (ω T + φ 0)
Hızlanma benzer şekilde belirlenir bir x Harmonik titreşimler sırasında cisimler. Hızlanma Aυ( fonksiyonunun türevine eşittir T) zamana göre T veya fonksiyonun ikinci türevi X(T). Hesaplamalar şunları verir:
ve x =υ x "(t) =X""(T)= -ω 2 x mçünkü(ω T+ φ 0)=-ω 2 X
Bu ifadedeki eksi işareti ivmenin olduğu anlamına gelir. A(T) her zaman bir işareti vardır, karşıt işaret ofsetler X(T) ve dolayısıyla Newton'un ikinci yasasına göre, cismin harmonik salınımlar yapmasına neden olan kuvvet her zaman denge konumuna doğru yönlendirilir ( X = 0).
Şekilde harmonik salınımlar gerçekleştiren bir cismin koordinatlarının, hızının ve ivmesinin grafikleri gösterilmektedir.
Harmonik salınımlar gerçekleştiren bir cismin x(t), hız υ(t) ve ivme a(t) koordinatlarının grafikleri.
Yaylı sarkaç.
Yaylı sarkaçikinci ucu sabit olarak sabitlenmiş, k sertliğindeki bir yaya bağlı m kütleli bir yüktür.
Doğal frekans Yay üzerindeki yükün ω 0 serbest salınımı aşağıdaki formülle bulunur:
Dönem T Yay üzerindeki yükün harmonik titreşimleri eşittir
Bu, bir yay sarkacının salınım periyodunun yükün kütlesine ve yayın sertliğine bağlı olduğu anlamına gelir.
Salınım sisteminin fiziksel özellikleri yalnızca salınımların doğal frekansını ω 0 ve periyodu belirleyin T . Genlik gibi salınım sürecinin parametreleri x m Ve başlangıç aşamasıφ 0, zamanın ilk anında sistemin dengeden çıkma şekliyle belirlenir.
Matematiksel sarkaç.
Matematiksel sarkaçkütlesi, cismin kütlesine kıyasla ihmal edilebilecek kadar küçük olan, ince, uzamayan bir ip üzerine asılan küçük cisim denir.
Denge konumunda, sarkaç dikey olarak asılı kaldığında, yerçekimi kuvveti N ipliğinin gerilme kuvveti ile dengelenir. Sarkaç denge konumundan belirli bir φ açısı kadar saptığında, yerçekimi kuvvetinin teğetsel bir bileşeni ortaya çıkar F τ = – mg günah φ. Bu formüldeki eksi işareti, teğetsel bileşenin sarkacın sapmasına ters yönde yönlendirildiği anlamına gelir.
Matematiksel sarkaç.φ – sarkacın denge konumundan açısal sapması,
X= lφ – sarkacın yay boyunca yer değiştirmesi
Matematiksel bir sarkacın küçük salınımlarının doğal frekansı aşağıdaki formülle ifade edilir:
Matematiksel bir sarkacın salınım periyodu:
Bu, matematiksel bir sarkacın salınım periyodunun ipliğin uzunluğuna ve sarkacın kurulu olduğu alanın serbest düşüşünün ivmesine bağlı olduğu anlamına gelir.
Serbest ve zorlanmış titreşimler.
Diğer fiziksel nitelikteki salınımlı süreçler gibi mekanik titreşimler de özgür Ve zoraki.
Serbest titreşimler –Bunlar, iç kuvvetlerin etkisi altındaki bir sistemde, sistem kararlı denge konumundan çıkarıldıktan sonra meydana gelen salınımlardır.
Bir yayın üzerindeki ağırlığın salınımları veya bir sarkacın salınımları serbest salınımlardır.
Serbest titreşimlerin meydana gelebilmesi için harmonik kanunu Cismi denge konumuna döndürmeye çalışan kuvvetin, cismin denge konumundan yaptığı yer değiştirmeyle orantılı olması ve yer değiştirmenin tersi yönde yönlendirilmesi gerekir.
İÇİNDE gerçek koşullar herhangi bir salınım sistemi sürtünme kuvvetlerinin (direnç) etkisi altındadır. Üstelik bölüm mekanik enerji dönüşür iç enerji atomların ve moleküllerin termal hareketi ve titreşimler olur solma.
Solma genliği zamanla azalan salınımlara denir.
Salınımların azalmasını önlemek için sisteme ek enerji sağlamak gerekir; salınım sistemini periyodik bir kuvvetle etkiler (örneğin, bir salıncağı sallamak).
Periyodik olarak değişen bir dış kuvvetin etkisi altında meydana gelen salınımlara denir.zoraki.
Dış kuvvet pozitif iş yapar ve salınım sistemine enerji akışı sağlar. Sürtünme kuvvetlerinin etkisine rağmen titreşimlerin sönmesine izin vermez.
Periyodik bir dış kuvvet zamana göre değişebilir. çeşitli kanunlar. Özel İlgiω frekansı ile harmonik bir yasaya göre değişen bir dış kuvvetin, belirli bir ω 0 frekansında kendi salınımlarını gerçekleştirebilen bir salınım sistemine etki ettiği durumu temsil eder.
Sistem parametreleri tarafından belirlenen ω 0 frekansında serbest salınımlar meydana gelirse, o zaman sabit zorlanmış salınımlar her zaman meydana gelir frekans ω dış kuvvet .
fenomen keskin artış genlikler zorunlu salınımlar Doğal salınımların frekansı dış itici kuvvetin frekansı ile çakıştığında buna denir.rezonans.
Genlik bağımlılığı x m itici kuvvetin ω frekansından kaynaklanan zorlanmış salınımlara denir rezonans özelliği veya rezonans eğrisi.
Rezonans eğrileri çeşitli seviyeler zayıflama:
1 – sürtünmesiz salınım sistemi; rezonansta, zorlanmış salınımların genliği x m süresiz olarak artar;
2, 3, 4 – farklı sürtünmeye sahip salınım sistemleri için gerçek rezonans eğrileri.
Sürtünmenin yokluğunda, rezonans sırasındaki zorlanmış salınımların genliği sınırsız olarak artmalıdır. Gerçek koşullarda, sabit durumlu zorlanmış salınımların genliği şu koşula göre belirlenir: salınım süresi boyunca dış kuvvetin işi, aynı zamanda sürtünme nedeniyle mekanik enerji kaybına eşit olmalıdır. Sürtünme ne kadar az olursa, rezonans sırasındaki zorlanmış salınımların genliği de o kadar büyük olur.
Rezonans olgusu, salınımlarının doğal frekansları, örneğin dengesiz bir motorun dönmesi nedeniyle ortaya çıkan, periyodik olarak etki eden bir kuvvetin frekansı ile çakışırsa, köprülerin, binaların ve diğer yapıların tahrip olmasına neden olabilir.
(lat. genlik- büyüklük), salınan bir cismin denge konumundan en büyük sapmasıdır.
Bir sarkaç için bu, topun denge konumundan uzaklaştığı maksimum mesafedir (aşağıdaki şekil). Küçük genlikli salınımlar için, 01 veya 02 yayının uzunluğu ve bu bölümlerin uzunlukları gibi bir mesafe alınabilir.
Salınımların genliği uzunluk birimleri (metre, santimetre vb.) cinsinden ölçülür. Salınım grafiğinde genlik, sinüzoidal eğrinin maksimum (modülo) ordinatı olarak tanımlanır (aşağıdaki şekle bakın).
Salınım süresi.
Salınım periyodu- Bu en küçük boşluk salınım yapan sistemin keyfi olarak seçilen ilk anda bulunduğu duruma tekrar döndüğü süre.
Başka bir deyişle, salınım periyodu ( T) tam bir salınımın meydana geldiği zamandır. Örneğin aşağıdaki şekilde sarkaç topunun en sağ noktadan denge noktasına kadar hareket etmesi için geçen süredir. HAKKINDA en soldaki noktaya ve noktadan geriye doğru HAKKINDA yine en sağa.
İçin tam dönem salınımlar yapar, böylece vücut dört genliğe eşit bir yol kat eder. Salınım periyodu zaman birimleri (saniye, dakika vb.) cinsinden ölçülür. Salınım periyodu şu şekilde belirlenebilir: ünlü grafik sanatçısı titreşimler (aşağıdaki şekle bakınız).
Kesin olarak konuşursak, "salınım periyodu" kavramı, yalnızca salınım miktarının değerleri belirli bir süre sonra tam olarak tekrarlandığında, yani harmonik salınımlar için geçerlidir. Ancak bu kavram aynı zamanda yaklaşık olarak tekrarlanan büyüklükler için de geçerlidir; örneğin: sönümlü salınımlar.
Salınım frekansı.
Salınım frekansı- bu, örneğin 1 saniyede birim zaman başına gerçekleştirilen salınımların sayısıdır.
SI frekans biriminin adı hertz(Hz.) Alman fizikçi G. Hertz'in (1857-1894) onuruna. Salınım frekansı ( v) eşittir 1 Hz. Bu, her saniyede bir salınım olduğu anlamına gelir. Salınımların sıklığı ve periyodu ilişkilerle ilişkilidir:
Salınım teorisinde de bu kavramı kullanıyorlar döngüsel, veya dairesel frekans ω . Normal frekansla ilgilidir v ve salınım periyodu T oranlar:
.
Döngüsel frekans başına gerçekleştirilen salınım sayısıdır 2π saniye
