Yaylı sarkacın hareketi. Serbest titreşimler

Yaylı sarkaç m kütleli bir maddesel nokta ve bir yaydan oluşan salınımlı bir sistemdir. Yatay bir yay sarkacı düşünelim (Şekil 1, a). O büyük vücut ortası delinmiş ve sürtünme olmadan kayabileceği yatay bir çubuğun üzerine yerleştirilmiştir (ideal salınım sistemi). Çubuk iki dikey destek arasına sabitlenmiştir.

Vücudun bir ucuna ağırlıksız bir yay tutturulmuştur. Diğer ucu, en basit durumda göreli olarak hareketsiz olan bir desteğe sabitlenmiştir. eylemsizlik sistemi sarkacın salındığı referans noktası. Başlangıçta yay deforme değildir ve cisim C denge konumundadır. Eğer yay gerilerek veya sıkıştırılarak cisim denge konumundan çıkarılırsa, o zaman ona elastik bir kuvvet etki etmeye başlayacaktır. deforme olmuş yayın tarafı daima denge konumuna doğru yönlendirilir.

Yayı sıkıştırıp gövdeyi A konumuna getirip bırakalım. Elastik kuvvetin etkisi altında daha hızlı hareket edecektir. Bu durumda A pozisyonunda vücut etkilenir. maksimum güç esneklik, çünkü burada yayın mutlak uzaması x m en büyüktür. Dolayısıyla bu konumda ivme maksimumdur. Cisim denge konumuna doğru hareket ettikçe yayın mutlak uzaması azalır ve dolayısıyla elastik kuvvetin sağladığı ivme azalır. Ancak belirli bir hareket sırasında ivme hız ile birlikte yönlendirildiğinden sarkacın hızı artar ve denge konumunda maksimum olur.

C denge konumuna ulaştıktan sonra gövde durmayacaktır (bu konumda yay deforme olmamasına ve elastik kuvvet sıfır olmasına rağmen), ancak hıza sahip olarak, yayı gererek ataletle daha da hareket edecektir. Ortaya çıkan elastik kuvvet artık vücudun hareketine karşı yönlendirilir ve onu yavaşlatır. D noktasında vücudun hızı sıfıra eşit ve ivme maksimum olduğunda, vücut bir an duracak ve ardından elastik kuvvetin etkisi altında hareket etmeye başlayacaktır. ters taraf, denge konumuna. Ataletle tekrar geçtikten sonra, yayı sıkıştıran ve hareketi yavaşlatan vücut A noktasına ulaşacaktır (sürtünme olmadığı için), yani. tam bir salınımı tamamlayacak. Bundan sonra vücut hareketi anlatılan sırayla tekrarlanacaktır. Dolayısıyla, bir yay sarkacının serbest salınımlarının nedenleri, yay deforme olduğunda ortaya çıkan elastik kuvvetin etkisi ve vücudun ataletidir.

Hooke yasasına göre F x = -kx. Newton'un ikinci yasasına göre F x = ma x. Bu nedenle ma x = -kx. Buradan

Yaylı sarkacın dinamik hareket denklemi.

Hızlanmanın karışımla doğru orantılı olduğunu ve ona zıt yönde yönlendirildiğini görüyoruz. Ortaya çıkan denklemin harmonik titreşim denklemiyle karşılaştırılması , yay sarkacının yaptığını görüyoruz harmonik titreşimler döngüsel frekanslı

Elastik kuvvetin etkisi altındaki cisimler, potansiyel enerji bu, vücudun denge konumundan yer değiştirmesinin karesiyle orantılıdır:

Boş zamanında mekanik titreşimler Kinetik ve potansiyel enerjiler periyodik olarak değişir. Şu tarihte: maksimum sapma denge konumundan, hızından ve dolayısıyla kinetik enerji sıfıra git. Bu konumda salınım yapan cismin potansiyel enerjisi maksimum değerine ulaşır. Yatay bir yay üzerindeki yük için potansiyel enerji, yayın elastik deformasyonunun enerjisidir.

Hareket halindeki bir cisim denge konumundan geçtiğinde hızı maksimumdur. Şu anda maksimum kinetik ve minimum potansiyel enerjiye sahiptir. Potansiyel enerjinin azalması nedeniyle kinetik enerjide bir artış meydana gelir. Şu tarihte: daha fazla hareket kinetik enerjinin azalması vb. nedeniyle potansiyel enerji artmaya başlar.

Böylece, harmonik salınımlar sırasında, kinetik enerjinin potansiyel enerjiye ve bunun tersi de periyodik olarak dönüşümü meydana gelir.

Salınım sisteminde sürtünme yoksa, serbest salınımlar sırasında toplam mekanik enerji değişmeden kalır.

Yay ağırlığı için:

Öğle yemeği salınım hareketi vücut Başlat düğmesi kullanılarak gerçekleştirilir. Durdur düğmesi, işlemi istediğiniz zaman durdurmanıza olanak tanır.

Herhangi bir zamanda salınımlar sırasında potansiyel ve kinetik enerjiler arasındaki ilişkiyi grafiksel olarak gösterir. Zayıflamanın yokluğunda unutmayın toplam enerji salınım sistemi değişmeden kalır, vücudun denge konumundan maksimum sapması ile potansiyel enerji maksimuma ulaşır ve kinetik enerji alınır. maksimum değer Bir vücut denge konumundan geçtiğinde.

Yaylı sarkaç, m kütleli bir malzeme noktası ve bir yaydan oluşan salınımlı bir sistemdir. Yatay bir yaylı sarkaç düşünün (Şekil 13.12, a). Ortası delinmiş ve boyunca sürtünme olmadan kayabileceği yatay bir çubuğun üzerine yerleştirilmiş devasa bir gövdeden oluşur (ideal bir salınım sistemi). Çubuk iki dikey destek arasına sabitlenmiştir. Vücudun bir ucuna ağırlıksız bir yay tutturulmuştur. Diğer ucu, en basit durumda sarkacın salındığı eylemsiz referans çerçevesine göre hareketsiz olan bir desteğe sabitlenmiştir. Başlangıçta yay deforme değildir ve cisim C denge konumundadır. Yayı gererek veya sıkıştırarak cisim denge konumundan çıkarılırsa, o zaman ona elastik bir kuvvet etki etmeye başlayacaktır. deforme olmuş yayın tarafı daima denge konumuna doğru yönlendirilir. Yayı sıkıştırıp cismi A konumuna getirelim ve \((\upsilon_0=0).\) serbest bırakalım. Elastik kuvvetin etkisi altında, ivmeli hareket etmeye başlayacaktır. Bu durumda, A pozisyonunda maksimum elastik kuvvet cisme etki eder, çünkü burada yayın mutlak uzaması x m en büyüktür. Dolayısıyla bu konumda ivme maksimumdur. Cisim denge konumuna doğru hareket ettikçe yayın mutlak uzaması azalır ve bunun sonucunda elastik kuvvetin verdiği ivme azalır. Ancak belirli bir hareket sırasında ivme hız ile birlikte yönlendirildiğinden sarkacın hızı artar ve denge konumunda maksimum olur. C denge konumuna ulaştıktan sonra gövde durmayacaktır (bu konumda yay deforme olmamasına ve elastik kuvvet sıfır olmasına rağmen), ancak hıza sahip olarak, yayı gererek ataletle daha da hareket edecektir. Ortaya çıkan elastik kuvvet artık vücudun hareketine karşı yönlendirilir ve onu yavaşlatır. D noktasında vücudun hızı sıfıra eşit olacak ve ivme maksimum olacak, vücut bir an duracak ve ardından elastik kuvvetin etkisi altında ters yönde hareket etmeye başlayacaktır. , denge konumuna. Ataletle tekrar geçtikten sonra, yayı sıkıştıran ve hareketi yavaşlatan vücut A noktasına ulaşacaktır (sürtünme olmadığı için), yani. tam bir salınımı tamamlayacak. Bundan sonra vücut hareketi anlatılan sırayla tekrarlanacaktır. Dolayısıyla, bir yay sarkacının serbest salınımlarının nedenleri, yay deforme olduğunda ortaya çıkan elastik kuvvetin etkisi ve vücudun ataletidir.

Hooke yasasına göre \(~F_x=-kx.\) Newton'un ikinci yasasına göre \(~F_x = ma_x.\) Dolayısıyla \(~ma_x = -kx.\) Dolayısıyla

\(a_x = -\frac(k)(m)x\) veya \(a_x + -\frac(k)(m)x = 0 \) - yaylı sarkacın dinamik hareket denklemi.

Hızlanmanın karışımla doğru orantılı olduğunu ve ona zıt yönde yönlendirildiğini görüyoruz. Ortaya çıkan denklemi harmonik salınım denklemi \(~a_x + \omega^2 x = 0,\) ile karşılaştırdığımızda, yay sarkacının döngüsel bir frekansla harmonik salınımlar yaptığını görüyoruz \(\omega = \sqrt \frac(k) (m)\) \(T = \frac(2 \pi)(\omega),\) olduğundan o zaman

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(m)(k) )\) yay sarkacının salınım periyodudur.

Aynı formülü kullanarak dikey yaylı sarkacın salınım periyodunu hesaplayabilirsiniz (Şekil 13.12.b). Aslında, denge konumunda, yer çekimi etkisi nedeniyle yay, \(~mg=kx_0.\) ilişkisiyle belirlenen belirli bir x 0 miktarı kadar gerilir. Sarkaç denge konumundan çıkarıldığında Ö Açık X elastik kuvvetin izdüşümünü \(~F"_(ynpx) = -k(x_0 + x)\) ve Newton'un ikinci yasasına göre \(~ma_x=-k(x_0+ x) + mg.\) Buradaki değeri yerine koyarsak \(~kx_0 =mg,\) yatay sarkacın hareket denklemiyle çakışan \(a_x + \frac(k)(m)x = 0,\) sarkacın hareket denklemini elde ederiz.

Edebiyat

Aksenovich L. A. Fizik lise: Teori. Görevler. Testler: Ders Kitabı. genel eğitim veren kurumların yararları. çevre, eğitim / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - S. 377-378.

1. X cisminin denge konumundan yer değiştirmesiyle orantılı ve her zaman bu konuma doğru yönlendirilmiş elastik bir kuvvetin cisim üzerindeki etkisi.

2. Denge konumunda durmaması (elastik kuvvet sıfır olduğunda) nedeniyle salınan bir cismin ataleti, ancak aynı yönde hareket etmeye devam etmesi.

Döngüsel frekansın ifadesi şöyledir:

burada w döngüsel frekanstır, k yay sertliğidir, m ise kütledir.

Bu formül, serbest salınımların sıklığının şunlara bağlı olmadığını gösterir: başlangıç ​​koşulları ve tamamen kararlı kendi özellikleri salınım sisteminin kendisi - içinde bu durumda sertlik k ve kütle m.

Bu ifade tanımlar bir yay sarkacının serbest salınım periyodu.

İş bitimi -

Bu konu şu bölüme aittir:

Seyir hızı ortalama yer hızı anlık hız/hareket hızı

Kinematik çalışmasının Kinema onay noktaları bölümü matematiksel açıklama hareket maddi noktalar Kinematiğin asıl görevi mekaniğin temel görevi vücudun herhangi bir andaki konumunu belirlemektir. mekanik hareket Bu, bir cismin uzaydaki konumunun zaman içinde diğer cisimlere göre değişmesidir.

Eğer ihtiyacın varsa ek malzeme Bu konuyla ilgili veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:

Alınan materyalle ne yapacağız:

Bu materyal sizin için yararlı olduysa, onu sosyal ağlardaki sayfanıza kaydedebilirsiniz:

Bu bölümdeki tüm konular:

Elastik dalga enerjisi
enerji akışı vektörü fiziksel alan; sayısal olarak enerjiye eşit

Maxwell'in moleküllerin termal hareket hızına göre dağılım yasası
Maxwell yasası, moleküler hız dağılım fonksiyonu adı verilen belirli bir f(v) fonksiyonuyla tanımlanır. Moleküler hız aralığını dv'ye eşit küçük aralıklara bölersek, o zaman

Sıcaklık
Isı bilinen iki şeyden biridir modern doğa bilimi, enerji aktarım yöntemleri - düzensiz hareketin aktarımının bir ölçüsü. Aktarılan enerji miktarına ısı miktarı denir.

Isı motorları ve soğutma makineleri. Carnot döngüsü
Carnot çevrimi ideal bir termodinamik çevrimdir. Carnot ısı motoru çalışırken

Yaylı sarkaç, katılığı olan, kesinlikle elastik, ağırlıksız bir yaya bağlı bir kütleye sahip maddi bir noktadır. . En basit iki durum vardır: yatay (Şekil 15, A) ve dikey (Şek. 15, B) sarkaçlar.

A) Yatay sarkaç(Şekil 15, a). Yük hareket ettiğinde
denge konumundan miktara göre ona yatay yönde etki eder elastik kuvveti geri yükleme
(Hook kanunu).

Yükün kaydığı yatay desteğin olduğu varsayılmaktadır.
titreşimleri sırasında kesinlikle pürüzsüzdür (sürtünme yoktur).

B) Dikey sarkaç(Şekil 15, B). Bu durumda denge konumu şu durumla karakterize edilir:

Nerede - büyüklük elastik kuvvet, yüke etki eden
yay statik olarak gerildiğinde yükün yerçekiminin etkisi altında
.

Şekil 15. Yaylı sarkaç: A– yatay ve B- dikey

Yayı uzatıp yükü serbest bırakırsanız dikey olarak salınmaya başlayacaktır. Zamanın bir noktasındaki yer değiştirme ise
, o zaman elastik kuvvet şimdi şu şekilde yazılacaktır:
.

Her iki durumda da yay sarkacı belirli bir periyotta harmonik salınımlar gerçekleştirir.

(27)

ve döngüsel frekans

. (28)

Yaylı sarkaç örneğini kullanarak, harmonik salınımların yer değiştirmeyle orantılı olarak artan bir kuvvetin neden olduğu hareket olduğu sonucuna varabiliriz. . Böylece, geri çağırıcı kuvvet Hooke kanununa benziyorsa
(o ismi aldıyarı elastik kuvvet ), o zaman sistem harmonik salınımlar yapmalıdır. Denge pozisyonunun geçildiği anda cisme herhangi bir geri getirici kuvvet etki etmez, ancak cisim ataletle denge pozisyonunu geçer ve geri çağırıcı kuvvet ters yönde yön değiştirir.

Matematik sarkaç

Şekil 16. Matematik sarkaç

Böyle bir sarkacın küçük sapma açılarında salınımları
(5°'yi aşmayan) harmonik olarak kabul edilebilir ve matematiksel bir sarkacın döngüsel frekansı:

, (29)

ve dönem:

. (30)

2.3. Harmonik titreşimler sırasında vücut enerjisi

İlk itme sırasında salınım sistemine verilen enerji periyodik olarak dönüşecektir: deforme olmuş yayın potansiyel enerjisi, hareketli yükün kinetik enerjisine ve geri dönüşe dönüşecektir.

Yay sarkacının başlangıç ​​fazıyla harmonik salınımlar yapmasına izin verin
, yani
(Şekil 17).

Şekil 17. Mekanik enerjinin korunumu kanunu

bir yay sarkacı salındığında

Yükün denge konumundan maksimum sapması sırasında sarkacın toplam mekanik enerjisi (sertliği olan deforme olmuş bir yayın enerjisi) ) eşittir
. Denge pozisyonunu geçerken (
) yayın potansiyel enerjisi sıfıra eşit olacak ve salınım sisteminin toplam mekanik enerjisi şu şekilde belirlenecektir:
.

Şekil 18, harmonik titreşimlerin sinüs (kesikli çizgi) veya kosinüs (düz çizgi) trigonometrik fonksiyonlarıyla tanımlandığı durumlarda kinetik, potansiyel ve toplam enerji bağımlılıklarının grafiklerini gösterir.

Şekil 18. Kinetik zamana bağlılığın grafikleri

ve harmonik salınımlar sırasındaki potansiyel enerji

Grafiklerden (Şekil 18), kinetik ve potansiyel enerjideki değişim frekansının, harmonik salınımların doğal frekansından iki kat daha yüksek olduğu anlaşılmaktadır.