Yani öyle olma ihtimali yüksek. Olasılığın tanımı

Şu tarihte: Herhangi bir olayın meydana gelme olasılığının değerlendirilmesi rastgele olayİlgilendiğimiz olayın gerçekleşme olasılığının () diğer olayların nasıl gelişeceğine bağlı olup olmadığı konusunda önceden iyi bir fikre sahip olmak çok önemlidir.

Ne zaman klasik şema, tüm sonuçlar eşit derecede olası olduğunda, ilgilendiğimiz bireysel olayın olasılık değerlerini zaten bağımsız olarak tahmin edebiliriz. Etkinlik birkaç olaydan oluşan karmaşık bir koleksiyon olsa bile bunu yapabiliriz. temel sonuçlar. Peki ya birkaç rastgele olay aynı anda ya da ardışık olarak meydana gelirse? Bu, ilgilendiğimiz olayın gerçekleşme olasılığını nasıl etkiler?

Birkaç kez atarsam zar ve "altı"nın gelmesini istiyorum ama her zaman şanssızım, bu bahsi artırmam gerektiği anlamına mı geliyor, çünkü olasılık teorisine göre şanslı olmak üzereyim? Ne yazık ki olasılık teorisi böyle bir şeyi ifade etmiyor. Zar yok, kart yok, madeni para yok hatırlayamıyorum bize ne gösterdiler son kez. Bugün şansımı ilk kez mi yoksa onuncu kez mi test ettiğim onlar için hiç önemli değil. Zarı her tekrarladığımda tek bir şey biliyorum: ve bu sefer altı alma olasılığı yine altıda bir. Elbette bu, ihtiyacım olan sayının hiçbir zaman gelmeyeceği anlamına gelmiyor. Bu sadece ilk atıştan ve diğer atışlardan sonraki kaybımın bağımsız olaylar olduğu anlamına gelir.

A ve B olaylarına denir bağımsız bunlardan birinin uygulanması başka bir olayın olasılığını hiçbir şekilde etkilemiyorsa. Örneğin, iki silahtan ilkiyle hedefi vurma olasılıkları, hedefin diğer silahla vurulup vurulmadığına bağlı olmadığından “ilk silah hedefi vurdu” ve “ikinci silah hedefi vurdu” olayları bağımsız.

Eğer iki A ve B olayı bağımsızsa ve her birinin olasılığı biliniyorsa, hem A olayının hem de B olayının (AB ile gösterilir) aynı anda meydana gelme olasılığı aşağıdaki teorem kullanılarak hesaplanabilir.

Bağımsız olaylar için olasılık çarpım teoremi

Örnek.Birinci ve ikinci silah ateşlendiğinde hedefi vurma olasılıkları sırasıyla eşittir: p 1 =0,7; p2 =0,8. Her iki silahın aynı anda tek salvoyla vurulma olasılığını bulun.

Çözüm: Daha önce de gördüğümüz gibi, A (ilk silahla vuruldu) ve B (ikinci silahla vuruldu) olayları bağımsızdır, yani. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.

Başlangıçtaki olaylar bağımsız değilse tahminlerimize ne olur? Önceki örneği biraz değiştirelim.

Örnek.Bir yarışmada iki atıcı hedefe ateş eder ve içlerinden biri isabetli atış yaparsa rakip sinirlenmeye başlar ve sonuçları kötüleşir. Bu günlük durumu nasıl dönüştürebiliriz? Matematik problemi ve bunu çözmenin yollarını özetliyor musunuz? İki seçeneği bir şekilde ayırmamız gerektiği sezgisel olarak açıktır. gelişmeler, esas olarak iki senaryo oluşturun, iki farklı görevler. İlk durumda, eğer rakip ıskalarsa senaryo gergin sporcu için daha uygun olacak ve doğruluğu daha yüksek olacaktır. İkinci durumda rakip şansını iyi değerlendirirse ikinci sporcunun hedefi vurma olasılığı azalır.

Ayırma için olası senaryolar(bunlara genellikle hipotez denir) olayların gelişimi için sıklıkla “olasılık ağacı” diyagramını kullanacağız. Bu diyagram anlam bakımından muhtemelen daha önce ele aldığınız karar ağacına benzer. Her dal olayların gelişimi için ayrı bir senaryoyu temsil ediyor, ancak şimdi özdeğer Lafta koşullu olasılıklar (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Bu şema ardışık rastgele olayları analiz etmek için çok uygundur.

Bir önemli soruyu daha açıklığa kavuşturmak kalıyor: olasılıkların başlangıç ​​​​değerleri nerede? gerçek durumlar ? Sonuçta olasılık teorisi sadece madeni para ve zarlarla çalışmıyor mu? Genellikle bu tahminler istatistiklerden alınır ve istatistiksel bilgi mevcut olmadığında kendi araştırmamızı yaparız. Ve çoğu zaman veri toplamakla değil, gerçekte hangi bilgiye ihtiyacımız olduğu sorusuyla başlamamız gerekir.

Örnek.Diyelim ki yüz bin nüfuslu bir şehirde, önemli bir ürün olmayan yeni bir ürünün, örneğin renkli saç bakımı için bir balsamın pazar hacmini tahmin etmemiz gerekiyor. "Olasılık ağacı" diyagramını ele alalım. Bu durumda her bir “dal” üzerindeki olasılık değerini yaklaşık olarak tahmin etmemiz gerekir. Yani, pazar kapasitesi tahminlerimiz:

1) Tüm şehir sakinlerinin %50'si kadındır,

2) tüm kadınların yalnızca %30'u saçlarını sıklıkla boyatıyor,

3) sadece %10'u boyalı saçlar için balsam kullanıyor,

4) Bunlardan sadece %10'u yeni bir ürünü deneme cesaretini toplayabiliyor,

5) Bunların %70'i genellikle her şeyi bizden değil rakiplerimizden satın alıyor.

Çözüm: Olasılıkların çarpımı kanununa göre ilgilendiğimiz olayın olasılığını A = (bir şehir sakini bu yeni merhemi bizden alır) = 0,00045 olarak belirleriz.

Bu olasılık değerini şehir sakinlerinin sayısıyla çarpalım. Sonuç olarak sadece 45 potansiyel müşterimiz var ve bu ürünün bir şişesinin birkaç ay dayandığını düşünürsek ticaret pek canlı değil.

Yine de değerlendirmelerimizin bazı faydaları var.

Öncelikle farklı iş fikirlerinin tahminlerini karşılaştırabiliriz; diyagramlarda farklı “çatallara” sahip olacaklar ve elbette olasılık değerleri de farklı olacaktır.

İkincisi, daha önce de söylediğimiz gibi, rastgele bir değişkene rastgele denmez çünkü hiçbir şeye bağlı değildir. Sadece o bire bir aynı anlamı önceden bilinmemektedir. Ortalama alıcı sayısının artırılabileceğini biliyoruz (örneğin yeni bir ürünün reklamını yaparak). Bu nedenle, çabalarımızı olasılık dağılımının bize özellikle uymadığı "çatallara", etkileyebileceğimiz faktörlere odaklamak mantıklıdır.

Bir tanesine daha bakalım niceliksel örnek satın alma davranışı üzerine araştırmalar.

Örnek. Gıda pazarını günde ortalama 10.000 kişi ziyaret ediyor. Bir pazar ziyaretçisinin pavyona girme olasılığı Süt Ürünleri, 1/2'ye eşittir. Bu pavyonun günde ortalama 500 kg çeşitli ürünün satıldığı biliniyor.

Pavyondaki ortalama alışverişin sadece 100 gr olduğunu söyleyebilir miyiz?

Tartışma. Tabii ki değil. Pavyona giren herkesin oradan bir şey satın almadığı açık.

Diyagramda gösterildiği gibi, bir satın alma işleminin ortalama ağırlığı ile ilgili soruyu cevaplamak için şu sorunun cevabını bulmalıyız: olasılığı köşke giren kişinin oradan bir şeyler alacağına dair. Elimizde bu tür veriler yoksa ancak buna ihtiyacımız varsa, pavyona gelen ziyaretçileri bir süre gözlemleyerek bu verileri kendimiz elde etmek zorunda kalacağız. Diyelim ki gözlemlerimiz pavyon ziyaretçilerinin yalnızca beşte birinin bir şey satın aldığını gösterdi.

Bu tahminleri elde ettiğimizde işimiz basitleşiyor. Pazara gelen 10.000 kişiden 5.000'i süt ürünleri pavyonuna gidecek; yalnızca 1.000'i satın alacak. Ortalama ağırlık satın alma 500 grama eşittir. inşa edildiğini belirtmek ilginçtir. Tam resim Koşullu “dallanma” mantığı, sanki olasılıklarla değil de “somut” bir durumla çalışıyormuşçasına, akıl yürütmemizin her aşamasında açıkça tanımlanmalıdır.

Kendi kendine test görevleri

1. Bırak öyle olsun elektrik devresi Her biri diğerlerinden bağımsız olarak çalışan, n adet seri bağlantılı elemandan oluşan.

Her elemanın başarısızlık olasılığı p bilinmektedir. Devrenin tüm bölümünün düzgün çalışma olasılığını belirleyin (olay A).

2. Öğrenci 25'ten 20'sini biliyor sınav soruları. Öğrencinin sınav görevlisi tarafından kendisine verilen üç soruyu bilme olasılığını bulun.

3. Üretim, her birinde ekipmanın çalıştığı ve bir sonraki aydaki arıza olasılıklarının sırasıyla p 1, p 2, p 3 ve p 4'e eşit olduğu dört ardışık aşamadan oluşur. Bir ay içinde ekipman arızası nedeniyle üretimin durmaması olasılığını bulun.

ontolojik bir kategori olarak herhangi bir varlığın her koşulda ortaya çıkma ihtimalinin boyutunu yansıtır. Ontolojik matematik, bu kavramın matematiksel ve mantıksal yorumunun aksine niceliksel ifade zorunluluğuyla kendisini ilişkilendirmez. V.'nin anlamı, determinizmin ve genel olarak gelişimin doğasının anlaşılması bağlamında ortaya çıkar.

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

OLASILIK

Miktarları karakterize eden kavram. belirli bir olayın belirli bir zamanda meydana gelme olasılığının ölçüsü koşullar. Bilimsel olarak bilişte V'nin üç yorumu vardır. Klasik konsept Matematikten doğan V.. analiz kumar ve en kapsamlısı B. Pascal, J. Bernoulli ve P. Laplace tarafından geliştirilmiş olup, V.'yi olumlu vakaların sayısının olumlu vakalara oranı olarak kabul eder. toplam sayısı hepsi eşit derecede mümkün. Örneğin 6 tarafı olan bir zar atıldığında, hiçbir tarafın diğerine üstünlüğü olmadığından her birinin değerinin 1/6 olması beklenebilir. Deneysel sonuçların bu simetrisi, oyunları düzenlerken özellikle dikkate alınır, ancak bilim ve pratikteki nesnel olayların incelenmesinde nispeten nadirdir. Klasik V.'nin yorumu yerini istatistiklere bıraktı. V.'nin gerçeklere dayanan kavramları Belirli bir olayın uzun bir süre boyunca meydana geldiğini gözlemlemek. Kesin olarak sabit koşullar altında deneyim. Uygulama, bir olayın ne kadar sık ​​meydana geldiğini doğruluyor. daha fazla derece nesnel olasılık görünüşü veya B. Bu nedenle istatistiksel. V.'nin yorumu ilişkilendirme kavramına dayanmaktadır. Deneysel olarak belirlenebilen frekans. V. teorik olarak Ancak kavram hiçbir zaman ampirik olarak belirlenen sıklık ile çoğul olarak örtüşmez. Bazı durumlarda, göreceli olandan pratik olarak çok az farklılık gösterir. sürenin bir sonucu olarak bulunan frekans. gözlemler. Birçok istatistikçi V.'yi "çift" bir ifade olarak görüyor. frekanslar, kenarlar istatistiksel olarak belirlenir. gözlem sonuçlarının incelenmesi

veya deneyler. Limitle ilgili olarak V.'nin tanımı daha az gerçekçiydi. frekanslar kitlesel olaylar veya R. Mises tarafından önerilen kolektifler. Gibi Daha fazla gelişme V.'ye frekans yaklaşımı, V.'nin eğilimsel veya eğilimsel bir yorumunu ortaya koyar (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Bu yoruma göre V., örneğin koşulların yaratılması özelliğini karakterize eder. deney. Bir dizi büyük rastgele olay elde etmek için kurulumlar. Fiziksel öfkeye yol açan tam olarak bu tutumdur. eğilimler veya yatkınlıklar, V. akrabalar kullanılarak kontrol edilebilir. sıklık

İstatistiksel V.'nin yorumu bilimsel araştırmalara hakimdir. biliş, çünkü belirli bir şeyi yansıtır. Rastgele nitelikteki kitle fenomenlerinin doğasında bulunan kalıpların doğası. Pek çok fiziksel, biyolojik, ekonomik, demografik. ve benzeri. sosyal süreçler Sabit bir frekansla karakterize edilen birçok rastgele faktörün etkisini hesaba katmak gerekir. Bu kararlı frekansları ve miktarları belirlemek. V.'nin yardımıyla yapılan değerlendirme, birçok kazanın kümülatif eylemiyle ortaya çıkan zorunluluğun ortaya çıkarılmasını mümkün kılıyor. Şansı zorunluluğa dönüştürme diyalektiğinin tezahürünü bulduğu yer burasıdır (bkz. F. Engels, kitapta: K. Marx ve F. Engels, Works, cilt 20, s. 535-36).

Mantıksal veya tümevarımsal akıl yürütme, öncüller ile kanıtlayıcı olmayan ve özellikle tümevarımsal akıl yürütmenin sonucu arasındaki ilişkiyi karakterize eder. Tümdengelimden farklı olarak, tümevarım öncülleri sonucun doğruluğunu garanti etmez, yalnızca onu az ya da çok makul kılar. Kesin olarak formüle edilmiş öncüllerle bu olasılık bazen V kullanılarak değerlendirilebilir. Bu V.'nin değeri çoğunlukla karşılaştırma yoluyla belirlenir. kavramlar (büyük, küçük veya eşit) ve bazen sayısal bir şekilde. Mantıklı Yorumlama genellikle tümevarımsal akıl yürütmeyi analiz etmek ve yapılandırmak için kullanılır. çeşitli sistemler olasılıksal mantık (R. Carnap, R. Jeffrey). Anlambilimde mantıksal kavramlar V. genellikle bir ifadenin başkaları tarafından onaylanma derecesi olarak tanımlanır (örneğin, ampirik verileriyle bir hipotez).

Karar verme ve oyun teorilerinin gelişimiyle bağlantılı olarak, sözde V'nin kişisel yorumu. V. aynı zamanda konunun inanç derecesini ve belirli bir olayın ortaya çıkışını ifade etse de, V.'nin kendisi, V. hesabının aksiyomlarını karşılayacak şekilde seçilmelidir. Bu nedenle V. böyle bir yorumla öznel inancın derecesini değil, makul inancını ifade eder. Sonuç olarak, bu tür V.'ye dayanarak verilen kararlar, psikolojik faktörleri dikkate almadıkları için rasyonel olacaktır. konunun özellikleri ve eğilimleri.

Epistemolojik olarak t.zr. istatistiksel ve mantıksal arasındaki fark. ve V.'nin kişisel yorumları, eğer ilki rastgele nitelikteki kitle fenomenlerinin nesnel özelliklerini ve ilişkilerini karakterize ediyorsa, o zaman son ikisi öznel, bilinçli olanın özelliklerini analiz eder. Belirsizlik koşulları altında insan faaliyetleri.

OLASILIK

biri en önemli kavramlar dünyanın özel bir sistemik vizyonunu, yapısını, evrimini ve bilgisini karakterize eden bilim. Olasılığa dayalı dünya görüşünün özgüllüğü, sayıya dahil edilmesiyle ortaya çıkar. temel konseptler Rastgelelik, bağımsızlık ve hiyerarşi kavramlarının varlığı (sistemlerin yapısı ve belirlenmesindeki düzey fikirleri).

Olasılıkla ilgili fikirler eski zamanlarda ortaya çıktı ve bilgimizin özellikleriyle ilgiliydi; güvenilir bilgiden ve yanlış bilgiden farklı olan olasılıksal bilginin varlığı kabul edildi. Olasılık fikrinin etkisi bilimsel düşünme Bilişin gelişimi olasılık teorisinin bir matematik disiplini olarak gelişmesiyle doğrudan ilişkilidir. Matematiksel olasılık doktrininin kökeni, temel kavramların geliştirilmesine izin veren 17. yüzyıla kadar uzanır. niceliksel (sayısal) özellikler ve olasılıksal bir fikri ifade etme.

Olasılığın bilişin gelişimine yoğun uygulamaları 2. yarıda meydana gelir. 19- 1. kat. 20. yüzyıl Olasılık bu tür yapıların içine girmiştir temel bilimler klasik istatistiksel fizik, genetik gibi doğa hakkında, kuantum teorisi, sibernetik (bilgi teorisi). Buna göre olasılık, bilimin gelişimindeki şu anda şu şekilde tanımlanan aşamayı temsil eder: klasik olmayan bilim. Olasılıkçı düşünce tarzının yeniliklerini ve özelliklerini ortaya çıkarmak için olasılık teorisi konusunun ve onun sayısız uygulamasının temellerinin analizinden yola çıkmak gerekir. Olasılık teorisi genellikle kütle kalıplarını inceleyen bir matematik disiplini olarak tanımlanır. rastgele olaylar belirli koşullar altında. Rastgelelik, kütle karakteri çerçevesinde, her temel olgunun varlığının diğer olguların varlığına bağlı olmaması ve onlar tarafından belirlenmemesi anlamına gelir. Aynı zamanda fenomenlerin kitlesel doğası da istikrarlı bir yapıya sahiptir ve belirli düzenlilikler içerir. Bir kütle olgusu oldukça sıkı bir şekilde alt sistemlere ve alt sistemlerin her birindeki temel olayların göreceli sayısına bölünmüştür ( göreceli frekans) çok kararlıdır. Bu kararlılık olasılık ile karşılaştırılır. Bir bütün olarak kütle olgusu, bir olasılık dağılımıyla, yani alt sistemlerin ve bunlara karşılık gelen olasılıkların belirlenmesiyle karakterize edilir. Olasılık teorisinin dili olasılık dağılımları. Buna göre olasılık teorisi, dağılımlarla çalışmanın soyut bilimi olarak tanımlanmaktadır.

Olasılık, bilimde istatistiksel modeller ve istatistiksel sistemler hakkındaki fikirlerin ortaya çıkmasına neden oldu. Son öz Bağımsız veya yarı bağımsız varlıklardan oluşan sistemler, yapıları olasılık dağılımlarıyla karakterize edilir. Peki bağımsız varlıklardan sistemler oluşturmak nasıl mümkün olabilir? Genellikle bütünleyici özelliklere sahip sistemlerin oluşumu için, sistemleri güçlendiren elemanları arasında yeterince kararlı bağlantıların bulunmasının gerekli olduğu varsayılır. İstatistiksel sistemlerin kararlılığı dış koşulların varlığıyla sağlanır, dış ortam, harici, değil Iç kuvvetler. Olasılığın tanımı her zaman ilk kütle olgusunun oluşumu için koşulların belirlenmesine dayanır. Olasılıksal paradigmayı karakterize eden bir diğer önemli fikir ise hiyerarşi (tabiiyet) fikridir. Bu fikir özellikler arasındaki ilişkiyi ifade eder. bireysel unsurlar Ve bütünsel özellikler sistemler: ikincisi birincinin üzerine inşa edilmiş gibi görünüyor.

Olasılıksal yöntemlerin bilişteki önemi, hiyerarşik, "iki seviyeli" bir yapıya sahip nesnelerin ve sistemlerin yapı ve davranış kalıplarını incelemeyi ve teorik olarak ifade etmeyi mümkün kılmalarında yatmaktadır.

Olasılığın doğasının analizi, sıklığına ve istatistiksel yorumuna dayanır. Aynı zamanda çok uzun zaman Bilimde, mantıksal veya tümevarımsal olasılık olarak adlandırılan böyle bir olasılık anlayışı hakim oldu. Mantıksal olasılık, belirli koşullar altında ayrı, bireysel bir yargının geçerliliğine ilişkin sorularla ilgilenir. Tümevarımsal bir sonucun (varsayımsal sonuç) onay derecesini (güvenilirlik, doğruluk) değerlendirmek mümkün müdür? niceliksel form? Olasılık teorisinin gelişimi sırasında bu tür sorular defalarca tartışıldı ve varsayımsal sonuçların onaylanma dereceleri hakkında konuşmaya başlandı. Bu olasılık ölçüsü mevcut olanlarla belirlenir. bu kişi bilgileri, deneyimleri, dünyaya dair görüşleri ve psikolojik zihniyeti. Tümünde benzer vakalar Olasılığın büyüklüğü katı ölçümlere uygun değildir ve pratikte tutarlı bir matematik disiplini olarak olasılık teorisinin yetkinliğinin dışında kalır.

Olasılığın nesnel ve sık yorumlanması bilimde önemli zorluklarla birlikte yerleşmiştir. Başlangıçta, olasılığın doğasına ilişkin anlayış, klasik bilimin karakteristik özelliği olan felsefi ve metodolojik görüşlerden güçlü bir şekilde etkilenmişti. Tarihsel olarak fizikte olasılıksal yöntemlerin gelişimi, mekaniğin fikirlerinin belirleyici etkisi altında gerçekleşmiştir: istatistiksel sistemler basitçe mekanik olarak yorumlandı. İlgili sorunlar çözülmediği için katı yöntemler Mekanik, daha sonra olasılıksal yöntemlere ve istatistiksel yasalara yönelmenin bilgilerimizin eksikliğinden kaynaklandığı yönünde iddialar ortaya çıktı. Klasiklerin gelişim tarihinde istatistiksel fizik Bunu temel alarak kanıtlamak için çok sayıda girişimde bulunuldu. Klasik mekanik ancak hepsi başarısız oldu. Olasılığın temeli, mekanik sistemler dışındaki belirli bir sistem sınıfının yapısal özelliklerini ifade etmesidir: bu sistemlerin elemanlarının durumu, istikrarsızlık ve etkileşimlerin özel (mekaniğe indirgenemeyen) doğası ile karakterize edilir.

Olasılığın bilgiye girişi, katı determinizm kavramının reddedilmesine, klasik bilimin oluşum sürecinde geliştirilen temel varlık ve bilgi modelinin reddedilmesine yol açar. Temel modellerİstatistik teorileri tarafından temsil edilen , farklı, daha fazla genel karakter: Bunlar rastgelelik ve bağımsızlık fikirlerini içerir. Olasılık fikri, nesnelerin ve sistemlerin tam olarak belirlenemeyen iç dinamiklerinin açıklanmasıyla ilişkilidir. dış koşullar ve koşullar.

Bağımsızlık hakkındaki fikirlerin mutlaklaştırılmasına dayanan olasılıkçı bir dünya vizyonu kavramı (katı kararlılık paradigmasından önce olduğu gibi), artık geçiş sürecini en güçlü şekilde etkileyen sınırlamalarını ortaya çıkarmıştır. modern bilimİle Analitik Yöntemler karmaşık sistemler ve kendi kendini organize etme olgusunun fiziksel ve matematiksel temelleri üzerine araştırma.

Mükemmel tanım

Eksik tanım ↓

olasılık- rastgele bir olayın meydana gelme olasılığını yansıtan 0 ile 1 arasında bir sayı; burada 0, tam yokluk bir olayın gerçekleşme olasılığı, 1 ise söz konusu olayın mutlaka gerçekleşeceği anlamına gelmektedir.

E olayının olasılığı 1'e kadar bir sayıdır.
Birbirini dışlayan olayların olasılıklarının toplamı 1'e eşittir.

ampirik olasılık- Geçmişteki bir olayın göreceli sıklığı olarak hesaplanan ve geçmiş verilerin analizinden elde edilen olasılık.

Çok nadir olayların olasılığı ampirik olarak hesaplanamaz.

öznel olasılık- kişisel bazlı olasılık Öznel değerlendirme tarihsel verilere bakılmaksızın olaylar. Hisse satın alma ve satma kararı veren yatırımcılar genellikle subjektif olasılıkları göz önünde bulundurarak hareket ederler.

önceki olasılık -

Olasılık kavramına göre bir olayın meydana gelme ihtimali 1'dir. Bir olayın meydana gelme ihtimali olasılık ile şu şekilde ifade edilir: P/(1-P).

Örneğin bir olayın olasılığı 0,5 ise olayın gerçekleşme olasılığı 2 üzerinden 1'dir çünkü 0,5/(1-0,5).

Bir olayın meydana gelmeme ihtimali (1-P)/P formülü kullanılarak hesaplanır.

Tutarsız olasılık- örneğin A şirketinin hisselerinin fiyatı %85'i dikkate alır olası olay E ve B şirketinin hisse fiyatında sadece %50. Buna tutarsız olasılık denir. Hollanda Bahis Teoremine göre tutarsız olasılık kar fırsatları yaratır.

Koşulsuz olasılık“Olayın gerçekleşme olasılığı nedir?” sorusunun cevabıdır.

Şartlı olasılık - "B olayı gerçekleşirse A olayının olasılığı nedir?" sorusunun cevabı budur. Koşullu olasılık P(A|B) olarak gösterilir.

Bileşik olasılık- A ve B olaylarının aynı anda meydana gelme olasılığı. P(AB) olarak gösterilir.

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Olasılıkları özetleme kuralı:

A olayının veya B olayının olma olasılığı

P (A veya B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

A ve B olayları birbirini dışlıyorsa, o zaman

P (A veya B) = P(A) + P(B)

Bağımsız etkinlikler - A ve B olayları bağımsız ise

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Yani olasılık değerinin bir olaydan diğerine sabit olduğu bir sonuç dizisidir.
Yazı tura atılması böyle bir olaya örnektir; sonraki her atışın sonucu bir öncekinin sonucuna bağlı değildir.

Bağımlı Olaylar - Bunlar, birinin meydana gelme olasılığının diğerinin meydana gelme olasılığına bağlı olduğu olaylardır.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı:
A ve B olayları bağımsız ise, o zaman

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Toplam olasılık kuralı:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S ve S" birbirini dışlayan olaylardır

beklenen değer Rastgele değişken olası sonuçların ortalamasıdır rastgele değişken. X olayı için beklenti E(X) olarak gösterilir.

Diyelim ki, belli bir olasılıkla birbirini dışlayan olayların 5 değeri var (örneğin, bir şirketin geliri şu kadar ve şu kadardı). Beklenen değer, tüm sonuçların toplamının olasılıklarıyla çarpımıdır:

Bir rastgele değişkenin dağılımı, bir rastgele değişkenin beklentisinden sapmalarının karelerinin beklentisidir:

s 2 = E( 2 ) (6)

Koşullu beklenen değer, S olayının halihazırda meydana gelmiş olması koşuluyla, X rastgele değişkeninin beklenen değeridir.

Olasılık olaya olumlu temel sonuçların sayısının oranı denir bu olay, bu olayın ortaya çıkabileceği deneyimin tüm eşit derecede olası sonuçlarının sayısına. A olayının olasılığı P(A) ile gösterilir (burada P ilk harftir) Fransızca kelime olasılık - olasılık). Tanıma göre
(1.2.1)
A olayının lehine olan temel sonuçların sayısı nerede; - deneyin eşit derecede olası tüm temel sonuçlarının sayısı; tam grup olaylar.
Olasılığın bu tanımına klasik denir. tarihinde ortaya çıktı İlk aşama Olasılık teorisinin gelişimi.

Bir olayın olasılığı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. Olasılık güvenilir olay bire eşittir. Güvenilir bir olayı harfle belirtelim. Bu nedenle belirli bir olay için
(1.2.2)
2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır. İmkansız bir olayı harfle belirtelim. İmkansız bir olay için bu nedenle
(1.2.3)
3. Rastgele bir olayın olasılığı ifade edilir pozitif sayı, birden az. Rastgele bir olay için , veya , eşitsizlikleri sağlandığına göre, o zaman
(1.2.4)
4. Herhangi bir olayın olasılığı eşitsizlikleri karşılıyor
(1.2.5)
Bu, (1.2.2) - (1.2.4) ilişkilerinden kaynaklanmaktadır.

Örnek 1. Bir kavanozda 4'ü kırmızı, 6'sı mavi olmak üzere eşit boyut ve ağırlıkta 10 top bulunmaktadır. Torbadan bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi olma olasılığı nedir?

Çözüm. "Çeken topun maviye dönmesi" olayını A harfiyle belirtiyoruz. Bu testin eşit derecede olası 10 temel sonucu vardır ve bunlardan 6'sı A olayını tercih eder. Formül (1.2.1)'e uygun olarak şunu elde ederiz:

Örnek 2. 1'den 30'a kadar olan tüm doğal sayılar aynı kartlara yazılarak bir torbaya konur. Kartlar iyice karıştırıldıktan sonra torbadan bir kart çıkarılır. Alınan karttaki sayının 5'in katı olma olasılığı nedir?

Çözüm.“Alınan kartın üzerindeki sayının 5’in katı olması” olayını A ile gösterelim. Bu testte, A olayının 6 sonuç (5, 10, 15, 20, 25, 30 sayıları) tarafından tercih edildiği 30 eşit olası temel sonuç vardır. Buradan,

Örnek 3.İki zar atılır ve toplam puan hesaplanır. üst yüzler. Zarların üst yüzeylerinin toplamı 9 puan olacak şekilde B olayının olasılığını bulun.

Çözüm. Bu testte yalnızca 6 2 = 36 eşit olası temel sonuç vardır. B Olayı 4 sonuç tarafından tercih edilir: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), dolayısıyla

Örnek 4. Rastgele seçilmiş doğal sayı 10'u geçemez. Bu sayının asal olma olasılığı nedir?

Çözüm. Seçilen sayının asal olması olayını C harfi ile gösterelim. İÇİNDE bu durumda n = 10, m = 4 ( asal sayılar 2, 3, 5, 7). Bu nedenle gerekli olasılık

Örnek 5. Simetrik iki madeni para atılıyor. Her iki madeni paranın üst yüzlerinde de sayı olma olasılığı nedir?

Çözüm.“Her paranın üst tarafında bir sayı vardır” olayını D harfiyle belirtelim. Bu testte eşit derecede olası 4 temel sonuç vardır: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). ((G, C) işareti, ilk madeni paranın arması, ikincisinin ise numarası olduğu anlamına gelir). D olayı bir temel sonuç (C, C) tarafından tercih edilir. m = 1, n = 4 olduğundan, o zaman

Örnek 6. Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının rakamlarının aynı olma olasılığı nedir?

Çözüm. Çift haneli sayılar 10'dan 99'a kadar sayılardır; Toplamda 90 adet aynı rakam vardır (bunlar 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 sayılarıdır). Bu durumda m = 9, n = 90 olduğundan, o zaman
,
burada A “aynı basamaklara sahip sayı” olayıdır.

Örnek 7. Kelimenin harflerinden diferansiyel Bir harf rastgele seçilir. Bu harfin a) sesli harf, b) ünsüz, c) harf olma olasılığı nedir? H?

Çözüm. Diferansiyel sözcüğünde 5'i ünlü, 7'si ünsüz olmak üzere 12 harf vardır. Edebiyat H bu kelimede hayır yok. Olayları belirtelim: A - “sesli harf”, B - “ünsüz harf”, C - “harf” H". Olumlu temel sonuçların sayısı: - A olayı için, - B olayı için, - C olayı için. n = 12 olduğundan, o zaman
, Ve .

Örnek 8.İki zar atılıyor ve her zarın üst kısmındaki puanların sayısı not ediliyor. Her iki zarın da gelme olasılığını bulun aynı numara puan.

Çözüm. Bu olayı A harfiyle gösterelim. A olayı 6 temel sonuç tarafından tercih edilir: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Tam bir olay grubunu oluşturan eşit derecede olası temel sonuçların toplam sayısı, bu durumda n=6 2 =36. Bu, gerekli olasılığın

Örnek 9. Kitabın 300 sayfası var. Rastgele açılan bir sayfanın açılma olasılığı nedir? seri numarası, 5'in katı mı?

Çözüm. Sorunun koşullarından, tam bir olay grubunu oluşturan tüm eşit derecede olası temel sonuçların n = 300 olacağı sonucu çıkar. Bunlardan m = 60'ı belirtilen olayın meydana gelmesini destekler. Aslında, 5'in katı olan bir sayı 5k biçimindedir; burada k bir doğal sayıdır ve bu nedenle . Buradan,
, burada A - "sayfa" olayı 5"in katı olan bir sıra numarasına sahiptir.

Örnek 10. İki zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 7 mi yoksa 8 mi alma olasılığı daha yüksek?

Çözüm. Olayları belirtelim: A - “7 puan atılır”, B – “8 puan atılır”. A olayı 6 temel sonuç tarafından tercih edilir: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) ve B olayı tercih edilir 5 sonuca göre: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Eşit derecede olası tüm temel sonuçlar n = 6 · 2 = 36'dır. Dolayısıyla, Ve .

Yani P(A)>P(B), yani toplam 7 puan almak, toplam 8 puan almaktan daha olası bir olaydır.

Görevler

1. Rastgele 30'u geçmeyen bir doğal sayı seçiliyor. Bu sayının 3'ün katı olma olasılığı nedir?
2. Vazoda A kırmızı ve B Boyutları ve ağırlıkları aynı olan mavi toplar. Bu torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı nedir?
3. Rastgele 30'u geçmeyen bir sayı seçiliyor. Bu sayının 30'a bölen olma olasılığı nedir?
4. Vazoda A mavi ve B Boyutları ve ağırlıkları aynı olan kırmızı toplar. Bu torbadan bir top alınıp bir kenara konuluyor. Bu topun kırmızı olduğu ortaya çıktı. Daha sonra torbadan bir top daha çekiliyor. İkinci topun da kırmızı olma olasılığını bulun.
5. 50'yi aşmayan bir ulusal sayı rastgele seçiliyor. Bu sayının asal olma olasılığı nedir?
6. Üç zar atılıyor ve üst yüzlerindeki puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 9 veya 10 puan alma olasılığı daha yüksek olan şey nedir?
7. Üç zar atılıyor ve atılan puanların toplamı hesaplanıyor. Toplamda 11 puan mı (A olayı) yoksa 12 puan mı (B olayı) almak daha muhtemel?

Yanıtlar

1. 1/3. 2 . B/(A+B). 3 . 0,2. 4 . (B-1)/(A+B-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - toplamda 9 puan alma olasılığı; p 2 = 27/216 - toplamda 10 puan alma olasılığı; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Sorular

1. Adı verilen bir olayın olasılığı nedir?
2. Güvenilir bir olayın olasılığı nedir?
3. İmkansız bir olayın olasılığı nedir?
4. Rastgele bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
5. Herhangi bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?
6. Olasılığın hangi tanımına klasik denir?

Bir madeni para atıldığında tura düşeceğini söyleyebiliriz veya olasılık bu 1/2. Elbette bu, bir paranın 10 kez atılması durumunda mutlaka 5 kez tura geleceği anlamına gelmez. Eğer para "makul" ise ve birçok kez atılırsa, turalar yarı yarıya birbirine çok yakın düşecektir. Dolayısıyla iki tür olasılık vardır: deneysel Ve teorik .

Deneysel ve teorik olasılık

Eğer bir bozuk para atarsan çok sayıda kez - diyelim 1000 - ve kaç kez tura atıldığını sayarsak, tura atılma olasılığını belirleyebiliriz. Eğer tura 503 kez atılırsa yere düşme olasılığını hesaplayabiliriz:
503/1000 veya 0,503.

Bu deneysel olasılığın belirlenmesi. Olasılığın bu tanımı verilerin gözlemlenmesinden ve incelenmesinden gelir ve oldukça yaygın ve çok faydalıdır. Örneğin deneysel olarak belirlenen bazı olasılıklar şunlardır:

1. Bir kadının meme kanserine yakalanma olasılığı 1/11'dir.

2. Soğuk algınlığı olan birini öperseniz sizin de soğuk algınlığına yakalanma olasılığınız 0,07'dir.

3. Cezaevinden yeni çıkmış bir kişinin cezaevine dönme şansı %80'dir.

Bir parayı attığımızda yazı veya tura gelme olasılığının aynı olduğunu dikkate alırsak, tura gelme olasılığını hesaplayabiliriz: 1/2. teorik tanım olasılıklar. Matematik kullanılarak teorik olarak belirlenen diğer bazı olasılıklar şunlardır:

1. Bir odada 30 kişi varsa, bu kişilerden ikisinin doğum gününün (yıl hariç) aynı olma olasılığı 0,706'dır.

2. Bir yolculuk sırasında biriyle tanışırsınız ve sohbet sırasında ortak bir arkadaşınız olduğunu keşfedersiniz. Tipik tepki: "Bu olamaz!" Aslında bu ifade uygun değil çünkü böyle bir olayın olasılığı oldukça yüksek -% 22'nin biraz üzerinde.

Böylece deneysel olasılıklar gözlem ve veri toplama yoluyla belirlenir. Teorik olasılıklar matematiksel akıl yürütme yoluyla belirlenir. Yukarıda tartışılanlar gibi deneysel ve teorik olasılık örnekleri ve özellikle de beklemediğimiz örnekler bizi olasılığı çalışmanın önemine yönlendirir. "Gerçek olasılık nedir?" diye sorabilirsiniz. Aslında böyle bir şey yok. Olasılıkları deneysel olarak belirlemek mümkündür. belirli sınırlar dahilinde. Teorik olarak elde ettiğimiz olasılıklarla örtüşebilir veya örtüşmeyebilirler. Bir olasılık türünü belirlemenin diğerine göre çok daha kolay olduğu durumlar vardır. Örneğin teorik olasılığı kullanarak soğuk algınlığına yakalanma olasılığını bulmak yeterli olacaktır.

Deneysel olasılıkların hesaplanması

Önce düşünelim deneysel belirleme olasılıklar. Bu tür olasılıkları hesaplamak için kullandığımız temel prensip aşağıdaki gibidir.

Prensip P (deneysel)

N sayıda gözlemin yapıldığı bir deneyde, n gözlemde bir E durumu veya olayı m kez meydana geliyorsa, olayın deneysel olasılığına P(E) = m/n denir.

örnek 1 Sosyolojik araştırma. Tutuldu deneysel çalışma Sol elini kullananların, sağ elini kullananların ve her iki eli eşit derecede gelişmiş kişilerin sayısını belirlemek için sonuçlar grafikte gösterilmektedir.

a) Kişinin sağ elini kullanma olasılığını belirleyin.

b) Kişinin solak olma olasılığını belirleyin.

c) Bir kişinin her iki elinde de eşit derecede akıcı olma olasılığını belirleyin.

d) Çoğu Profesyonel Bowling Birliği turnuvası 120 oyuncuyla sınırlıdır. Bu deneyden elde edilen verilere göre kaç oyuncu solak olabilir?

Çözüm

a) Sağ elini kullananların sayısı 82, sol elini kullananların sayısı 17, her iki elini eşit derecede akıcı bilenlerin sayısı ise 1'dir. Toplam gözlemler - 100. Dolayısıyla, bir kişinin sağ elini kullanma olasılığı P'dir
P = 82/100 veya 0,82 veya %82.

b) Bir kişinin solak olma olasılığı P'dir, burada
P = 17/100 veya 0,17 veya %17.

c) Bir kişinin her iki elinde de eşit derecede akıcı olma olasılığı P'dir; burada
P = 1/100 veya 0,01 veya %1.

d) 120 bowling oyuncusu ve (b)'den %17'sinin solak olmasını bekleyebiliriz. Buradan
120'nin %17'si = 0,17,120 = 20,4,
yani yaklaşık 20 oyuncunun solak olmasını bekleyebiliriz.

Örnek 2 Kalite kontrol . Bir üretici için ürünlerinin kalitesini korumak çok önemlidir. yüksek seviye. Hatta şirketler bu sürecin sağlanması için kalite kontrol müfettişleri çalıştırıyor. Amaç minimum üretmek olası miktar hatalı ürünler. Ancak şirket her gün binlerce ürün ürettiği için her ürünün kusurlu olup olmadığını test etmeye gücü yetmez. Şirket, ürünlerin yüzde kaçının kusurlu olduğunu bulmak için çok daha az ürünü test ediyor.
Bakanlık Tarım ABD, yetiştiricilerin sattığı tohumların yüzde 80'inin çimlenmesini şart koşuyor. Bir tarım şirketinin ürettiği tohumların kalitesini belirlemek için üretilen tohumlardan 500 adet tohum ekilmektedir. Bunun ardından 417 tohumun filizlendiği hesaplandı.

a) Tohumun çimlenme olasılığı nedir?

b) Tohumlar hükümet standartlarını karşılıyor mu?

Çözüm a) Ekilen 500 tohumdan 417 tanesinin filizlendiğini biliyoruz. Tohum çimlenme olasılığı P ve
P = 417/500 = 0,834 veya %83,4.

b) Gerektiğinde çimlenen tohum yüzdesi %80'i aştığı için tohumlar devlet standartlarını karşılamaktadır.

Örnek 3 Televizyon derecelendirmeleri. İstatistiklere göre Amerika Birleşik Devletleri'nde 105.500.000 evde televizyon bulunmaktadır. Her hafta programların izlenmesine ilişkin bilgiler toplanır ve işlenir. Bir hafta içinde 7.815.000 hane CBS'deki hit komedi dizisi "Everybody Loves Raymond"u ve 8.302.000 hane NBC'deki hit dizi "Law & Order"ı izledi (Kaynak: Nielsen Media Research). Belirli bir hafta boyunca bir evin televizyonunun "Herkes Raymond'u Seviyor" programına ayarlanmış olması olasılığı nedir?

Çözüm Bir evdeki televizyonun "Herkes Raymond'u Seviyor" programına ayarlanmış olma olasılığı P'dir ve
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ %7,4.
Bir hanedeki televizyonun Law & Order'a ayarlanmış olma ihtimali P'dir ve
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ %7,9.
Bu yüzdelere derecelendirme denir.

Teorik olasılık

Para veya dart atmak, desteden kart çekmek veya montaj hattında ürünlerin kalitesini test etmek gibi bir deney yaptığımızı varsayalım. Böyle bir deneyin olası her sonucuna denir. Çıkış . Olası tüm sonuçların kümesine denir sonuç alanı . Etkinlik bir sonuçlar kümesidir, yani sonuçlar uzayının bir alt kümesidir.

Örnek 4 Dart atmak. Bir dart fırlatma deneyinde bir dartın hedefi vurduğunu varsayalım. Aşağıdakilerden her birini bulun:

b) Sonuç alanı

Çözüm
a) Sonuçlar şunlardır: siyaha vurmak (B), kırmızıya vurmak (R) ve beyaza vurmak (B).

b) Sonuçların uzayı (siyaha çarpmak, kırmızıya çarpmak, beyaza çarpmak) olup, basitçe (H, K, B) şeklinde yazılabilir.

Örnek 5 Zar atma. Zar, her birinin üzerinde bir ila altı nokta bulunan altı tarafı olan bir küptür.


Diyelim ki bir zar atıyoruz. Bulmak
a) Sonuçlar
b) Sonuç alanı

Çözüm
a) Sonuçlar: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Sonuç alanı (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Bir E olayının meydana gelme olasılığını P(E) olarak gösteriyoruz. Örneğin “paranın tura gelmesi” H ile gösterilebilir. Bu durumda P(H), paranın tura gelme olasılığını temsil eder. Bir deneyin tüm sonuçlarının gerçekleşme olasılığı aynıysa, bunların eşit olasılıklı olduğu söylenir. Eşit olasılıklı olaylar ile eşit olmayan olaylar arasındaki farkları görmek için aşağıda gösterilen hedefi göz önünde bulundurun.

A hedefi için siyah, kırmızı ve beyaz sektörler aynı olduğundan siyah, kırmızı ve beyaza çarpma olayları eşit derecede olasıdır. Ancak B hedefi için bu renklere sahip bölgeler aynı değildir, yani bunlara çarpma olasılığı eşit değildir.

P Prensibi (Teorik)

Eğer bir E olayı, S sonuç uzayından gelen eşit olasılığa sahip n sayıda sonuçtan m farklı şekilde meydana gelebiliyorsa, o zaman teorik olasılık olaylar, P(E)
P(E) = m/n.

Örnek 6 Bir zarın atılmasıyla 3 gelme olasılığı nedir?

Çözüm Bir zarda eşit olasılıklı 6 sonuç vardır ve 3 sayısını atmanın tek bir olasılığı vardır. O zaman P olasılığı P(3) = 1/6 olacaktır.

Örnek 7 Bir zarın üzerine çift sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm Olay çift sayının atılmasıdır. Bu 3 şekilde gerçekleşebilir (eğer 2, 4 veya 6 atarsanız). Eşit olasılığa sahip sonuçların sayısı 6'dır. O halde olasılık P(çift) = 3/6 veya 1/2'dir.

Standart 52 kartlı desteyi içeren birkaç örnek kullanacağız. Bu deste aşağıdaki şekilde gösterilen kartlardan oluşur.

Örnek 8İyi karıştırılmış bir kart destesinden As çekme olasılığı nedir?

Çözüm 52 sonuç vardır (destedeki kart sayısı), bunlar eşit olasılıklıdır (deste iyi karıştırılmışsa) ve As çekmenin 4 yolu vardır, yani P ilkesine göre olasılık
P(bir as çizin) = 4/52 veya 1/13.

Örnek 9İçinde 3 kırmızı ve 4 yeşil top bulunan bir torbadan bakmadan bir top seçtiğimizi varsayalım. Kırmızı topun seçilme olasılığı nedir?

Çözüm Herhangi bir top çekmenin 7 eşit olası sonucu vardır ve kırmızı top çekmenin yollarının sayısı 3 olduğundan, şunu elde ederiz:
P(kırmızı top seçimi) = 3/7.

Aşağıdaki ifadeler Prensip P'nin sonuçlarıdır.

Olasılığın Özellikleri

a) E olayı gerçekleşemiyorsa P(E) = 0 olur.
b) E olayının gerçekleşmesi kesinse P(E) = 1 olur.
c) E olayının meydana gelme olasılığı 0'dan 1'e kadar bir sayıdır: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Örneğin yazı tura atıldığında paranın kenara düşmesi ihtimali sıfırdır. Bir madalyonun tura veya tura gelme olasılığı 1'dir.

Örnek 10 52 kartlık bir desteden 2 kartın çekildiğini varsayalım. Her ikisinin de zirve olma olasılığı nedir?

Çözümİyi karıştırılmış 52 kartlık bir desteden 2 kart çekmenin yollarının sayısı n 52 C2'dir. 52 kartın 13'ü maça olduğundan, 2 maça çekmenin yol sayısı 13 C 2'dir. Daha sonra,
P(2 tepe noktası çekerek)= m/n = 13 C 2 / 52 C 2 = 78/1326 = 1/17.

Örnek 11 6 erkek ve 4 kadından oluşan bir gruptan rastgele 3 kişinin seçildiğini varsayalım. 1 erkek ve 2 kadının seçilme olasılığı nedir?

Çözüm 10 kişilik bir gruptan 3 kişiyi seçebilmenin yol sayısı 10 C 3'tür. Bir erkek 6 C 1 şekilde seçilebilir, 2 kadın ise 4 C 2 yolla seçilebilir. Saymanın temel prensibine göre 1 erkek ve 2 kadını seçmenin yol sayısı 6 C 1'dir. 4C 2 . Bu durumda 1 erkek ve 2 kadının seçilme olasılığı;
P = 6 C 1. 4 C 2 / 10 C 3 = 3/10.

Örnek 12 Zar atma. İki zarın toplamının 8 gelme olasılığı nedir?

Çözüm Her zarın 6 olası sonucu vardır. Sonuçlar ikiye katlanır, yani iki zardaki sayıların görünebileceği 6,6 veya 36 olası yol vardır. (Küplerin farklı olması daha iyidir; diyelim ki biri kırmızı, diğeri mavi; bu, sonucun görselleştirilmesine yardımcı olacaktır.)

Toplamları 8'e ulaşan sayı çiftleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. 5 tane var olası yollar 8'e eşit bir toplam alma olasılığı 5/36'dır.