GİRİİŞ

Yüzeylerin dünyası çeşitli ve sınırsızdır. Doğada şaşırtıcı şekil ve dayanıklılığa sahip yüzeyler bulunur. Kuşun kanadına ve gövdesine dikkat edelim; doğa tarafından geliştirilen ve tamamı mükemmel aerodinamik özelliklere sahip yüzey formlarına sahiptirler.

Uçak gövdeleri, deniz gemileri, otomobiller, havai mermiler ve yeraltı yapıları- bunların hepsi çeşitli çok karmaşık oluşum yasalarının yüzey kompleksleridir. Kurallı yüzeyler incelenerek teknolojide yaygın olarak kullanıldığı ortaya çıkarılabilir. mühendislikçoğu durumda binaların, endüstriyel ve kamu binalarının tasarımında kullanılır mimari yapılar, otoyollar.

İlgililik, çizgili vida yüzeylerine olan talepten kaynaklanmaktadır. modern mimari ve teknolojinin yanı sıra, güzellik, güvenilirlik ve üretilebilirlik gibi nitelikleri birleştiren, inşaat için geçerli sarmal çizgili yüzeylerin yeni formlarının araştırılması.

Çalışmanın amacı karmaşık kavisli yüzeylerin oluşumu ve tasarımıdır.

Çalışmanın konusu bina ve yapıların mimarisinde kompozit çizgili kabukların oluşumudur.

Bu çalışmanın amacı kurallı yüzeyleri incelemek ve bunların bina ve yapı mimarisinde kullanım olanaklarını araştırmaktır.

Araştırma sırasında aşağıdaki görevler belirlenir:

1. Analiz edin teorik temeller yönetilen yüzeyler.

2. Binaların ve yapıların mimarisinde uygulanabilecek kompozit çizgili yüzeyler oluşturabilecektir.

3. Geliştirilen yapının bir maketini yapın.

Araştırmanın yürütülmesinde kullanılan yöntemler:

Teorik:

Monografik - edebi ve diğer kaynaklardan gelen bilgilerin analitik sentezi ve sistemleştirilmesi;

Analiz - işin her aşamasında bilgilerin analizi;

Sentez - bilginin toplanması ve sentezi.

Praksolojik:

Grafik - geometrik modelleme ve grafik dokümantasyonun yürütülmesi;

Düzen yöntemi.

ASTARLI YÜZEYLER

Kurallı yüzey bazı kanunlara göre uzayda düz bir çizginin hareket ettirilmesiyle oluşan bir yüzeydir. Doğrusal generatrisin hareketinin doğası, regüle edilmiş yüzeyin tipini belirler. Tipik olarak, generatrix'in hareket yasası kılavuz çizgiler kullanılarak belirtilir. İÇİNDE genel durum Kurallı bir yüzeyi tanımlamak için üç kılavuz çizgisi gereklidir. Doğrusal generatrisin hareketinin doğası, regüle edilmiş yüzeyin tipini belirler.

Kurallı yüzeyler iki türe ayrılır:

1. yüzeylerin geliştirilmesi;

2. gelişmeyen veya eğik yüzeyler.

GENİŞLEMEYEN ÇİZGİLİ YÜZEYLER

Geliştirilemeyen kurallı yüzeyler genellikle doğrusal bir generatrisin, hareketinin yasasını benzersiz bir şekilde tanımlayan üç kılavuz çizgi boyunca hareketi ile oluşturulur. Eğik yüzeylerin çeşitleri, kılavuz düzlemli kurallı yüzeylerdir ve bunların özel türleri, paralellik düzlemli kurallı yüzeylerdir (Katalan yüzeyleri). Her iki kılavuz da eğri çizgilerse, kılavuz düzlemi olan yüzeylere eğik silindirik denir; eğik konoidler - kılavuzlardan biri düz bir çizgi ise; kılavuzlar düz çizgileri geçiyorsa çift eğik düzlem (bkz. Ek A, Şekil 1). Paralellik düzlemine sahip yüzeylere sırasıyla düz silindiroidler, düz konoidler ve eğik düzlemler denir.

Kurallı yüzey kavramı

Kurallı yüzey bazı kanunlara göre uzayda düz bir çizginin hareket ettirilmesiyle oluşan bir yüzeydir. Doğrusal generatrisin hareketinin doğası, regüle edilmiş yüzeyin tipini belirler. Tipik olarak, generatrix'in hareket yasası kılavuz çizgiler kullanılarak belirtilir. Genel olarak, kurallı bir yüzeyi tanımlamak için şunlara ihtiyacınız vardır: üç kılavuz çizgisi . Çizgili yüzeyde üç çizgi seçin A , B Ve C ve onları rehber edin. Doğrusal generatriksin hareketinin olduğunu gösterelim. ben benzersiz bir şekilde belirlenecektir (Şekil 11.1).

Hadi rehbere alalım A bir nokta k ve bunun üzerinden kılavuzla kesişen bir grup düz çizgi çizin İle . Bu düz çizgiler, tepe noktası noktada olan konik bir yüzey oluşturur. k . Rehber B bir noktada konik yüzeyle kesişecek N . İnşa edilmiş nokta N ve dönem k düz çizgiyi belirleyin ben , kılavuzun kesiştiği C bu noktada M . Böylece her nokta İLE rehber A tek jeneratör karşılık gelecektir. Bir noktayı taşıma İLE rehber boyunca A , düz çizginin generatrisinin diğer konumlarını elde etmek mümkündür, yani. çizgili bir yüzeyin çerçevesini oluşturun.

Kılavuz çizgilerinin şekline bağlı olarak, üç kılavuzlu çizgili yüzeyler aşağıdakilere ayrılır:

üç kılavuzlu eğik silindir– önde gelen üç eğri çizginin tümü;

koni- iki kılavuz eğri çizgi ve üçüncüsü düz;

tek yapraklı hiperboloit– tüm kılavuz çizgileri düzdür.

Çizgili bir yüzey üzerinde bir nokta oluşturmak için, düz bir genel çizgi veya keyfi bir eğri çizgi olabilen bir yardımcı çizgi kullanmanız gerekir.

Yukarıdakilere ek olarak genel yöntemÜç kılavuzun yardımıyla kurallı bir yüzey oluşturmanın yanı sıra, ek kısıtlamalar uygulayarak doğrusal generatrisin hareket yasasını belirleyen başka yöntemler de vardır.

Kurallı bir yüzey, doğrusal bir generatrisin bir veya daha fazla kılavuz boyunca hareket ettirilmesiyle oluşturulan bir yüzeydir. Uzayda üç eğri çizgiyi ele alalım ben.

Düz çizginin herhangi bir konumda üç eğrinin tümü ile kesişecek şekilde hareket etmesine izin verin l 1 l 2, l 3, daha sonra hareketleri sırasında çizgili bir yüzey tanımlarlar (Şekil 53).

Kılavuzda seçin ben 1 nokta A. Bunun aracılığıyla kılavuzla kesişen sayısız doğrusal türler çizebiliriz. ben 3. Bu, köşesi noktada olan konik bir yüzeyi tanımlar. A. Bir noktada jeneratörler çizgiyi geçecek ben 2 - asıl nokta bu İÇİNDE, konik yüzeyin çizgiyle kesiştiği nokta ben 2. Kılavuzların tipine bağlı olarak farklı yüzeyler elde edilir.

Tek kılavuzlu yüzeyler:

1. Konik - düz bir çizginin hareketiyle oluşur ben(üretiyor) bir eğri çizgi boyunca M ve sahip olmak sabit nokta S(Şekil 54).

2. Düz bir çizginin hareketiyle silindirik bir yüzey oluşur ben(jeneratör) bir eğri boyunca T kendine paralel veya sabit bir yöne sahip S∆(t,1|| S)(Şekil 55).

3. Gövde yüzeyi düz bir çizginin hareketiyle oluşur ben, tüm konumlarında bir uzaysal kılavuz eğrisine teğet T , dönüş kenarı denir ∆ (t, ben) (Şek. 56).

4. Çokyüzlü yüzeyler, kesişen düzlemlerin parçalarından (bölmelerinden) oluşan yüzeylerdir.

Eğer rehber T kırık çizgi ve hepsi şekilleniyor ben bir noktada kesişir, böyle bir yüzeye piramidal denir (Şekil 57); tüm jeneratörler paralel ise yüzeye prizmatik denir (Şekil 58).

Çokyüzlü, düz çokgenlerden oluşan çokyüzlü bir yüzeyle sınırlanan bir gövdedir. Düzlemlerin bölümlerine yüzler, bunların kesişim çizgilerine ise kenarlar denir. Kenarların kesişim noktalarına köşe adı verilir.

(M), oluşturan kenarların ve yüzlerin ortak kesişme noktasına piramit denir (Şekil 59).

Kapalı çokgen kılavuzlu yüzey (M)(taban) ve karşılıklı olarak paralel kaburgalar - bir prizma (Şek. 60).

Prizmanın kenarları tabana dik ise, faset çıkıntılı prizma olarak adlandırılır (Şekil 61).

Kendi kendine test soruları.

1. Eğri çizgiler nasıl sınıflandırılır?

2. Eğrinin hangi noktaları karakteristik olarak kabul edilir?

3. Yüzeyleri tanımlamanın ana yöntemlerini belirtin.

4. Yüzey çerçevesine ne denir?

5. Yüzey determinantına ne denir?

6. Yüzeyler nasıl sınıflandırılır?

7. Ne kadar konik ve silindirik yüzey?

8. Piramidal ve prizmatik yüzeyler nasıl oluşur?

Ders 8. Yüzeyler.

İki kılavuzlu çizgili yüzeyler (Katalan yüzeyleri)

Bu yüzeyler için tüm cinsler, sırasıyla paralellik düzlemi adı verilen sabit bir düzleme paraleldir.

1. Silindir ( l, m, n; P 2), (l// P2) - Düz bir çizginin hareketi ile oluşan yüzey ben iki kavisli kılavuz boyunca M Ve N; tüm jeneratörler paralellik düzlemine paraleldir P2(Şek. 62).

2. Konoid - biri düz, diğeri kavisli bir çizgi olan iki kılavuz boyunca doğrusal bir generatrisin hareketiyle oluşturulan bir yüzey (Şekil 63). Tüm jeneratörler belirli bir düzleme paraleldir P 1; )

4. Eğik düzlem ( hiperbolik paraboloit-hypar) - doğrusal bir generatrisin iki kılavuz boyunca hareketiyle oluşturulan bir yüzey - kesişen düz çizgiler; jeneratörler bir düzleme paraleldir ( P 1) (Şek. 64).

∆(m, n, П 1 , l) (m ● N; l // P 1)

Dönme yüzeyleri.

Dönme yüzeyi, bir generatrix'in sabit bir düz eksen etrafında döndürülmesiyle oluşturulan bir yüzeydir. Jeneratör herhangi bir tipte olabilir. Dönme sırasında, generatrisin her noktası, dönme eksenine (yüzey ekseni) dik bir düzlemde ve bu eksen üzerinde bir merkeze sahip olan bir daire boyunca hareket eder.

Generatrix'in tüm noktalarının hareket ettiği dairelere paraleller denir; en büyük paralele ekvator, en küçüğü ise boyun olarak adlandırılır (Şek. 65).

Yüzey ekseni dikey ise, tüm paralellikler bozulma olmadan yatay projeksiyona yansıtılır ve bunun tersi de geçerlidir. Dönme ekseninden geçen düzlemler, yüzeyi meridyen adı verilen çizgiler boyunca keser.

Bir düzlemde bulunan meridyen düzleme paralelçıkıntılara ana çıkıntı denir ve yüzeyin ana hatlarıyla bu çıkıntı düzlemine yansıtılır.

Düz bir çizginin dönmesiyle oluşan yüzeyler - Şekil 1. 66, a, b, c.

1. Dönme silindiri: generatrix ve eksen - paralel düz çizgiler ∆ ( ben, ben|| Ben).

2. Dönme konisi: generatrix ve eksen - bir noktada kesişir S düz çizgiler ∆ ( ben, l∩ i).

3. Tek sayfalık devrim hiperboloidi: generatrix ve eksen - düz çizgiler ∆ ( Ben, ben ● Ben).

Bir dairenin dönmesiyle oluşan yüzeyler (Şekil 67 a, b):

1. Bir dairenin çaplarından birinin etrafında döndürülmesiyle bir küre oluşturulur.

2. Bir dairenin bir eksen etrafında döndürülmesiyle bir simit oluşturulur Ben, bir daire düzleminde yatıyor, ancak merkezinden geçmiyor.

Dönme ekseni (üreten) daireyle kesişmiyorsa, açık bir simidin yüzeyi elde edilir; eğer öyleyse, kapalı veya kendi kendine kesişen bir simittir.

Dairesel bir yayın dönmesiyle oluşan yüzeyler (Şekil 68 a, b):

1. Dışbükey torus.

2. İçbükey torus.

İkinci dereceden eğrilerin döndürülmesiyle oluşturulan yüzeyler (Şekil 69, a, b, c, d):

1. Devrimin elipsoidi.

2. Dönme paraboloidi

3. Bir devrim hiperboloidi tek tabakalıdır - bir hiperbolün hayali ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşturulur:

4. İki tabakalı devrim hiperboloidi - hiperbolün gerçek eksen etrafında döndürülmesiyle oluşturulur.

Yönetilen düz bir çizginin (jeneratörün) uzayda bazı kanunlara göre hareket ettirilmesiyle oluşan yüzeydir. Kılavuz çizgilerin türüne ve generatrix hareketinin niteliğine bağlı olarak, aşağıdaki kurallı yüzey türleri elde edilir: konuşlandırılabilir ve konuşlandırılamaz.

A. Geliştirilebilir kurallı yüzeyler(gövde, silindirik, konik).

1. Gövde- geri dönüş kenarı m olan bir yüzey, doğrusal bir generatrix ℓ'nin hareketiyle oluşturulur ve tüm konumlarda belirli bir uzamsal eğri m - geri dönüş kenarına dokunur (Şekil 45). Belirleyici tarafından verilir Ø ( ben~ m).

2. Silindirik yüzey. Dönüş kenarı sonsuza kadar kaldırılır. Yüzey, bir n eğrisi boyunca yapılandırılmış bir S yönüne sahip olan düz bir çizginin ℓ hareketiyle oluşturulur (Şekil 46). Yüzey determinantı: ∑(S~n).

3. Konik yüzey. Tepe kenarı S noktasına kadar dejenere olmuştur. Yüzey, S noktasından geçen düz çizginin ℓ bir n eğrisi boyunca hareket ettirilmesiyle oluşturulur ve iki boşluğa sahip olabilir (Şekil 47). Yüzeyin determinantı Δ(S~n).

B. Geliştirilemeyen kurallı yüzeyler(silindiroid, konoid, eğik düzlem).

Bu tip yüzey, iki kılavuz boyunca hareket eden ve genellikle P 1 veya P 2 projeksiyon düzlemlerinden biri olarak kabul edilen belirli bir paralellik düzlemine paralel kalan düz bir çizginin ℓ hareket ettirilmesiyle oluşturulur.

1. Silindir düz bir çizginin (ℓ) iki kılavuz boyunca hareket ettirilmesi ve belirli bir paralellik düzlemine paralel kalmasıyla oluşturulur (Şekil 48a, b). Σ (~a, ~b) ve Δ yüzeyinin determinantı P 1'e diktir.

2. Konoid doğrusal generatrix ℓ'nin iki kılavuz boyunca hareket ettirilmesiyle oluşturulur: bir eğri ve bir düz çizgi, ℓ ise belirli bir paralellik düzlemine paralel kalır. Determinantı Ø(b~a,∑)'dir (Şekil 49).

Eğer doğrusal genatrix n paralellik düzlemine dik ise, o zaman konoid doğrudan denir ve eğer eğrisel kılavuz m silindirik bir sarmal ise, konoid sarmal helikoid denir.

3. Eğik düzlem(hiperbolik paraboloid), ℓ çizgisinin iki kesişen çizgi boyunca hareket ettirilmesi ve bir paralellik düzlemine paralel kalmasıyla elde edilir. Yüzey belirleyicisi

Р(a b, ∑), (Şekil 50).

Bir hiperbolik paraboloidin kesitinde hiperboller, paraboller ve düz çizgiler elde edilebilir (Şekil 51).

B. Kurallı sarmal yüzeyler - helikoidler.Çizgili sarmal yüzey, bir kılavuzun sarmal bir çizgi, diğerinin ise düz bir çizgi (sarmal çizginin ekseni) olduğu bir yüzeydir. Yüzeyin belirleyicileri sarmal ve onun eksenidir: Ø (ί, m, ℓ).

Helikoid düz olarak adlandırılır, eğer genetik çizgi sarmalın ί eksenine dik olan düz bir çizgi ℓ ise ve bu eksen ί düz bir kılavuz görevi görür (Şekil 52).

Düz çizgi t eksenine dik değilse, o zaman helikoid eğik veya eğimli olarak adlandırılır - Arşimed vidası(Şekil 53). Helikoidler kapalı veya açık olabilir. Helezonun ί eksenini geçerken düz çizgi ℓ oluşur kapalı helikoid, eğer ℓ ί eksenini kesmiyorsa, o zaman a açık helikoid. Eğimli bir helikoid yüzeyinin oluşumu sırasında, generatrisler, ί ekseni sarmalın ί ekseni ile çakışan belirli bir dönme konisi yüzeyinin generatrislerine paralel olarak yerleştirilir ve generatrisler aynı eğime sahiptir. helikoidin generatrisleri olarak sarmalın ί eksenine. Bu koni rehber denir. Dolayısıyla eğimli bir helikoidin determinantı kılavuzlardan oluşur: sarmal m(m 1, m 2, sarmalın ekseni ί (ί 1, ί 2) ve sarmalın eksenine α açısında bulunan generatrix ℓ(ℓ 1, ℓ 2). Bir genatris ℓ çerçevesi yerleştirerek ve generatris ℓ'nin ön projeksiyonları ailesinin zarfını çizerek, P 2'de eğimli bir helikoidin taslağını elde ederiz. Helikoidin, helikoidin eksenine dik olan Σ (Σ 2) düzlemiyle kesiti (normal kesit) bir Arşimet spiralidir ve özel bir yapı gerektirir (bkz. Şekil 53).

Yüzeylerin bir düzlem ve düz bir çizgi ile kesişmesi.

Bir düzlem herhangi bir yüzeyle kesiştiğinde kesit adı verilen düz bir şekil elde edilir. Kesme düzlemi bir projeksiyon düzlemi ise, o zaman bir kesit oluşturmak zor değildir. Kesme düzleminin izdüşümlerinden biri düz bir çizgiye dönüştüğü için, çıkıntı yapan düzlemlerin kolektif özelliğine bağlı olarak bu izdüşüm, kesit de dahil olmak üzere düzlemin tüm noktalarını içerir. Böylece görev, bölümün başka bir projeksiyonunu oluşturmaktır. Hem düzleme hem de kesişen yüzeye ait ortak noktalar belirlenir. Daha sonra bu noktaların şekle ait olmalarına göre eksik izdüşümleri oluşturulur.

Bir düzlem bir çokyüzlüyü kesit olarak kestiğinde, bir çokgen elde edilir (kapalı bir çoklu çizgiyle sınırlanır). Kenarlarının ve köşelerinin sayısı, çokyüzlünün kesme düzlemi tarafından kesişen yüzlerinin ve kenarlarının sayısına eşittir.

Bir çokyüzlünün bir bölümünü oluşturmak iki şekilde yapılabilir:

Bir kesit çokgeninin köşelerini bulma – kenar yöntemi. Bu durumda inşaat, düz bir çizginin (kenar) bir düzlemle (kesme düzlemi) kesişme noktasını birkaç kez bulma problemini çözmeye gelir. ilk konum problemi

Bir kesit çokgeninin kenarlarını bulma – kenar yöntemi. Bu durumda, problem birkaç kez çözülür - iki düzlemin (yüz ve kesme düzlemi) kesişme çizgisini bulmak - ikinci konum problemi.

Bir düzlem kavisli yüzeylerle kesiştiğinde kesit düz kavisli çizgilerle sonuçlanır. Daha önce de belirtildiği gibi, kesme düzlemi düz bir çizgiye yansıtılırsa, ikincisi bireysel noktalardan oluşturulabilir (Şekil 54).

Kesişme eğrisinin noktaları arasında, özellikle projeksiyon düzlemlerine göre konumlandırılmış veya eğri üzerinde özel yerler işgal edenler vardır. Bu tür noktalara referans noktaları adı verilir ve kesit oluşturulurken öncelikle bu noktalar belirlenir. Kontrol noktaları uç noktaları, anahat noktalarını ve görünürlük değişim noktalarını içerir.

Ekstrem noktalar- bu, bölümün en yüksek ve en alçak noktasıdır, P 2 projeksiyon düzlemine göre en yakın ve en uzak, P 3'e göre en sol ve en sağdaki noktadır.

Oçerkoviç izdüşümleri yüzeyin konturları üzerinde bulunan noktalara denir.

Görünürlük değişiklik noktaları kesişme çizgisinin izdüşümünü görünür ve görünmez kısımlara ayırın. Görünürlük değişim noktaları her zaman çizim noktalarından seçilir. Çoğu zaman aynı noktanın hem bir uç nokta, hem bir taslak noktası, hem de görünürlükteki bir değişim noktası olduğu görülür.

Eğri bir çizgi oluştururken referans noktaları belirlendikten sonra, doğasının daha doğru bir şekilde belirlenmesi için bir dizi rastgele nokta belirlenir.

Rastgele noktalar– bunlar keyfi olarak alınan noktalardır. Çoğunlukla bölümün türü önceden bilinir. En yaygın yüzeylerde hangi bölümlerin elde edildiğini düşünelim.

Koni– beş tip farklı bölümün elde edildiği bir yüzey:

Kesme düzlemi koninin tepe noktasından geçerse kesit bir üçgenle sonuçlanır (tüm çizgiler düzdür). Kesme düzlemi bir tepe noktasından geçmezse kesit eğri çizgiler üretecektir.

Kesme düzlemi tabana dolaylı bir açıyla yerleştirilmişse ve cinslerden herhangi birine paralel değilse kesitte bir elips (m) elde edilir.

Kesme düzlemi koninin herhangi bir generatrisine paralelse, bölüm bir parabol (n) üretir.

Kesme düzlemi iki cinse paralel ise kesit bir hiperbol (k) üretir.

Kesme düzlemi tabana paralel ise ve düz koni eksene dik olarak kesitte bir daire (e) elde edilir, dairenin yarıçapı eksenden ana hatta ölçülür (Şekil 55).

Silindir- kesitinde üç tip düz şeklin elde edildiği bir yüzey:

Kesme düzlemi tabana paralel ve eksene dik ise kesitte bir daire elde edilir; dairenin yarıçapı tabanın yarıçapına denk gelir.

Kesme düzlemi eksene paralelse kesit bir dikdörtgenle sonuçlanır.

Kesme düzlemi tabana açılı olarak yerleştirilmişse ve tüm şekillendirme çizgilerini kesiyorsa kesitte bir elips elde edilir (Şekil 56).

Küre- kesme düzlemi nasıl konumlandırılırsa konumlandırılsın, kesitinde her zaman bir daire elde edilen bir yüzey. Dairenin yarıçapı şu şekilde belirlenir: kürenin merkezinden kesme düzlemine bir dik indirilir ve dairenin yarıçapı, dikin düzlemle kesişme noktasından kürenin dış çizgisine kadar ölçülür. (Şekil 57) (2) için, (2) için yarıçap, eksen kürelerinden denemeye alınır.

Kesme düzlemi genel ise, böyle bir sorunu çözmek için dönüştürmek uygundur karmaşık çizim böylece kesme düzlemi çıkıntı yapar ve ardından yukarıda açıklanan şemaya göre çözüme devam edilir (Şekil 58).

Bir yüzey düz bir çizgiyi kestiğinde çizginin giriş ve çıkış noktaları olarak adlandırılan iki kesişim noktasının belirlenmesi gerekir.

Sorun aşağıdaki şemaya göre çözüldü:

Düz çizginin çıkıntılarından biri çıkıntılı düzleme yerleştirilir, daha sonra çıkıntılı düzlem tarafından yüzeyin bir bölümünün oluşturulması sorunu çözülür. Kesit oluşturulduktan sonra kesitin düz çizgi izdüşümü ile ortak noktaları bulunur.

Kesişme noktalarının eksik izdüşümleri, iletişim hatları kullanılarak düz bir çizgiye ait olmaları esas alınarak oluşturulur.

Görünürlük belirlenir (görünürlük belirlenmeden sorun çözülmemiş olarak kabul edilir) (Şekil 59).

Düz bir çizginin bir yüzeyle kesişme problemini çözerken, karmaşık bir çizimi dönüştürme yöntemleri, özellikle de düzlemleri değiştirme yöntemi yaygın olarak kullanılabilir (Şekil 60).

İki yüzeyin karşılıklı kesişimi.

İki yüzey birbiriyle kesiştiğinde, kesişen yüzeylerin her birine aynı anda ait olan bir veya iki kapalı uzaysal çizgi (geçiş çizgileri) oluşur. Bu çizgiler bireysel noktalar kullanılarak oluşturulur. Ekleme durumunda bir satır elde edilir, yani. her iki yüzey de kısmen kesişme noktasına dahil olduğunda. Penetrasyon durumunda iki çizgi elde edilir; yüzeylerden en az biri tamamen kesişme noktasına dahil olduğunda.

Kavşakta iki çokyüzlü varsa, kesişim çizgisi bir dizi düz bölümden oluşan kesikli bir çizgiye dönüşür. Bir çokyüzlü ve kavisli bir yüzey kesişirse, o zaman kesişme çizgisi kırık bir eğridir. İki eğri yüzey kesişirse sonuç düzgün bir eğri çizgi olur. Kesişme çizgisinin noktalarının belirlenmesi için bir sıra vardır. Öncelikle referans noktaları belirlenir. Bunlar arasında aşırı uç, taslak (her yüzeyin her bir taslağında belirlenir), görünürlük değişikliği noktaları (anahat arasından seçilir) yer alır. Kesişimde bir çokyüzlü varsa, kenarlarının başka bir yüzeyle kesişme noktaları da referans noktalarına aittir.

Referans noktaları bulunduktan sonra rastgele noktalar. Kavşakta kavisli bir yüzey varsa bu tür noktalara ihtiyaç vardır, çünkü yüzeylerden en az biri kavisliyse sonuç kavisli bir çizgi olur. Ne kadar çok rastgele nokta alınırsa eğri çizgi o kadar doğru oluşturulur.

İki yüzeyin karşılıklı kesişimini içeren problemler üç zorluk grubuna ayrılır:

Birinci zorluk grubu– her iki yüzey de çıkıntı yapıyor. Bu durumda, orijinal karmaşık çizimde ortak elemanın iki çıkıntısı (yani kesişim çizgileri) belirtilir - bunlar çıkıntı yüzeylerinin ana (dejenere) çıkıntılarıyla çakışır. Bunları belirtmeniz yeterli. Bazen üçüncü bir eksik projeksiyonun inşa edilmesi gerekli hale gelir. Bu durumda, kesişim çizgilerinin verilen çıkıntılarından biri noktalara bölünür, verilen çizginin ikinci izdüşümü üzerinde belirlenen noktaların izdüşümleri bulunur ve ardından iletişim kullanılarak noktaların iki izdüşümünden üçüncü bir izdüşümü oluşturulur. çizgiler (Şek. 61).

İkinci zorluk grubu– bir yüzey çıkıntılı, diğeri genel konumda. Orijinal çizimde ortak elemanın bir çıkıntısı belirtilmiştir - çıkıntı yapan yüzeyin ana (dejenere) çıkıntısıyla çakışmaktadır. Belirlenmesi gerekiyor. Genel bir öğenin ikinci izdüşümü, genel bir yüzeye ait olma koşulundan belirlenir. Bunun için kesişim çizgisinin mevcut izdüşümünü noktalara (referans ve rastgele) bölmek ve daha sonra bu noktaların eksik izdüşümlerini genel bir yüzeye ait olmak koşuluyla oluşturmak gerekir. Koni genel konumda bir yüzey ise (Şekil 62a) ve prizma çıkıntılı bir yüzeyse, o zaman kesişme çizgisinin önden izdüşümü ile çakışır. ön projeksiyon Prizma noktalara bölünür ve bunların üzerinden paralellikler çizilir. Daha sonra paralelin yarıçapı ölçülür (eksenden ana hatta) ve bu yarıçapın bir dairesi başka bir çıkıntıya çizilir, ardından iletişim hatları kullanılarak kesişme çizgisinin noktalarının eksik çıkıntıları bulunur. Tüm noktalar bulunduğunda düzgün bir eğri ile bağlanırlar.

Genel şekil küre ise sorun aynı şekilde çözülür (Şekil 62b).

Üçüncü karmaşıklık grubu– genel konumda her iki kesişen yüzey. Bu durumda orijinal karmaşık çizimde yüzey kesişim çizgisinin izdüşümü belirtilmez. Bu tür problemler, her problemin çözümünü, aracının belirli yüzeylerle kesişmesinden elde edilen iki çizginin kesişimine indirgeyen aracıların tanıtılmasıyla çözülür.

Bu tür bir sorunu çözmenin iki yolu vardır: yardımcı kesme düzlemleri yöntemi ve küreler yöntemi.

Yardımcı kesme düzlemleri yöntemi Her iki yüzeyin kesiti basit sonuç veriyorsa kullanılır. grafik inşaatıçizgiler (daireler veya düz çizgiler). Kesme düzlemleri gereklidir özel durumçoğu durumda seviye düzlemi aracıları olarak seçilir. Bir örnek kullanarak sorunu çözmenin bu yöntemine bakalım.

Örnek:

Yarımküre P ile piramit Q'nun kesişme çizgisini oluşturun (Şekil 63).

a) Çizimin analizi, bunun üçüncü grup karmaşıklığa ait bir sorun olduğunu göstermektedir (piramit ve yarım küre genel konum figürleridir). Sorun aracıların yardımıyla çözülür. Seviyenin yatay düzlemlerini aracı olarak seçiyoruz. P'yi paraleller boyunca ve Q'yu üçgenler (grafiksel olarak basit çizgiler) boyunca keserler.

b) m kesişim çizgisi üzerindeki referans noktalarını belirleyin. Piramidin kenarlarının yarım küre ile kesişme noktalarını buluyoruz: M 1, F 1 ve E 1. М=SBP noktası, P yarımküresinin ana meridyeninin düzlemi olan ( 1) düzlemi kullanılarak bulunur. AS ve SC kenarları ile P yarımküresinin kesişmesi sonucu E ve F noktaları elde edilir. , noktalar yarıkürenin ekvator düzlemi olan ( 2) düzlemi kullanılarak bulunur. M, E, F noktaları uç noktalardır ve aynı zamanda P2 üzerindeki çizim noktalarıdır, E ve F noktaları P1 üzerindeki çizim noktalarıdır ve aynı zamanda P1 üzerindeki görünürlük değişim noktalarıdır.

c) Rastgele noktalar ( 2) ve Г(Г 2) seviye düzlemleri kullanılarak belirlenir; P=n(n 2 ,n 1) - yarımkürenin paraleli Q= ben(ben 2 ,ben 1) – DTS üçgeni; nL=1 ve 2. noktalar. Benzer şekilde Г(Г 2) düzlemi kullanılarak 3 ve 4. noktalar bulunur.

d) m hattının bulunan noktalarını görünürlüğü dikkate alarak birleştirin.

e) P ve Q'nun karşılıklı görünürlüğünü belirleyin.

Yardımcı küreler yöntemi devrim yüzeyinin bir özelliğine dayanmaktadır: eğer merkez küresel yüzey dönüş yüzeyinin ekseni üzerinde bulunur (bu durumda küre ve dönüş yüzeyine koaksiyel denir), daha sonra kesiştiklerinde bir daire oluşur. Ayrıca bu dairelerin düzlemleri dönme yüzeyinin eksenine dik olarak yerleştirilmiştir (Şekil 64a, b).

Bu özelliği sayesinde eksenleri kesişen iki döner cismin yüzeyleri arasındaki kesişme noktalarının belirlenmesinde küresel yüzeyler yardımcı yüzey olarak kullanılır. Kürenin aracı olarak alındığı yönteme denir yardımcı eşmerkezli küreler yöntemi. Yalnızca üç koşulun karşılanması durumunda geçerlidir:

Her iki yüzey de devrim yüzeyleri olmalıdır.

Her iki yüzey de ortak bir simetri eksenine sahip olmalıdır (yani eş eksenli olmalıdır).

Kesişen yüzeylerin simetri eksenleri düz çizgiler olmalı ve bu eksenler kesişmelidir.

Pratik bir örnek kullanarak bu yöntemin uygulanmasını düşünün.

Örnek:

Eksenleri belli bir açıyla kesişen silindir ve koni yüzeyleri arasında bir kesişme çizgisi oluşturun (Şekil 65). Her iki cismin ortak simetri düzlemi P(P 1), P 2 düzlemine paraleldir.

Bu nedenle en yüksek ve en alçak nokta kesişim çizgileri M(M 1, M 2) ve N(N 1, N 2), anahat oluşturucuların kesişiminde elde edilir. Kesişme çizgisinin diğer tüm noktaları, koni ve silindir eksenlerinin kesişme noktasından çizilen yardımcı küreler kullanılarak bulunur O(O 1, O 2). Küre en küçük yarıçap kesişen cisimlerden birinin yüzeyine yazılı bir küredir. Böyle bir kürenin başka bir cismin yüzeyiyle kesişmesi gerekir. Kesişen şekillerden hangisinin en küçük küreye ve O(O 2) eksenlerinin kesişme noktalarına uyduğunu belirlemek için, şekillerin anahat genatrislerine dik açıları indiriyoruz; hangisi daha büyükse, en küçük kürenin yarıçapı olacaktır (R min =O 2 K 2). Koninin yüzeyine yazılan O(O 2) merkezinden çizilen Ф(Ф 2) küresi, m(m 2,m 1) dairesi boyunca koninin yüzeyine dokunur ve silindirin yüzeyi boyunca silindirin yüzeyi ile kesişir. daire n(n2). Bu dairelerin her ikisi de P 2 üzerine K 2 K` 2 ve A 2 A` 2 düz bölümleri şeklinde yansıtılmaktadır. Oluşturulan daireler aynı Ф küresine ait olduğundan, koni ve silindirin yüzeyleri için ortak olan iki E(E 1, E 2) ve F(F 1, F 2) noktasında kesişirler ve bu nedenle, kesişme çizgisinde bulunurlar.

Rastgele noktalar 1, 2, 3, 4, yarıçapı yazılı kürenin yarıçapından keyfi olarak biraz daha büyük olan eş merkezli bir küre ( 2) kullanılarak tanımlanır. Tüm noktalar iki projeksiyonda bulunduktan sonra, görünürlük dikkate alınarak P 2 ve P 1'e düz bir çizgi ile bağlanırlar.

Kesişen iki yüzey dönme şekilleriyse ve ortak bir simetri düzlemine sahipse, ancak bu düzlemlerin eksenleri kesişmiyorsa, bu durumda uygulanır eksantrik küre yöntemi. Bu yöntemde iki yüzey arasındaki kesişme çizgisinin noktaları farklı merkezlerden çizilen küreler kullanılarak belirlenir.

Bir örnek kullanarak bu yöntemin uygulanmasına bakalım.

Örnek:

Koninin ve torusun yüzeyleri arasında bir kesişme çizgisi oluşturun (Şekil 66).

Öncelikle referans noktalarını belirliyoruz. Her iki cismin ortak simetri düzlemi P2 düzlemine paraleldir. Bu yüzden en yüksek nokta kesişim çizgisi M(M 1, M 2), anahat oluşturucuların kesişme noktasında elde edilir. Her iki şeklin taban düzlemi de P 1 ile örtüşür ve paraleldir. P 1'de, her iki taban da ( 2) düzleminin daire şeklinde çizilmesinden yansıtılır ve bunların kesişimi, kesişim çizgisinin E(E 1, E 2) ve F(F 1, F 2) iki alt noktasını verir. ). Belirlemek için keyfi noktalarŞekil 1, 2, torusun ekseni boyunca, simidi merkezi A(A 2) olan bir daire içinde kesecek yardımcı bir önden çıkıntı yapan düzlem çizer; bu daire, bir B 2 B` parçası şeklinde P 2'ye yansıtılır; 2. bu dairenin merkezinden (A 2) B 2 B` 2 segmentine bir dik çizilir. Koninin ekseniyle kesişerek O(O 2) küresinin merkezini belirler. O(O 2) merkezinden, ВВ`(В 2 В` 2) dairesi boyunca torusla kesişecek yarıçapa sahip bir yardımcı küre Ф(Ф 2) çizilir. Bu küre koniyi CC`(C 2 C` 2) çemberi boyunca kesiyor. Bulunan dairelerin her ikisi de, koni ve torus yüzeylerinin kesişme çizgisinde yer alan 1(1 2 ,1 1) ve 2(2 2 ,2 1) noktalarında kesişecektir.

3 ve 4 noktaları, yardımcı düzlem Q(Q 2) kullanılarak benzer bir yapıyla bulunan O`(O` 2) merkezinden yardımcı küre ( 2) kullanılarak belirlenir. Tüm noktalar bulunduktan sonra, iki projeksiyonda P 2 ve P 1 üzerinde düzgün bir eğri çizgi ile bağlanırlar. Son olarak koni ve torusun karşılıklı görünürlüğü belirlenir.

İÇİNDE Bazı durumlarda dönme yüzeylerinin kesişmesiyle elde edilen eğri iki düz eğriye bölünür., yani ikinci dereceden eğrilere. Kesişme çizgisinin iki düzlem eğriye bölündüğü koşullar üç teoremde belirtilmiştir:

Teorem 1.İki dönme yüzeyi (ikinci dereceden) bir düzlem eğrisi boyunca kesişirse, başka bir düzlem eğrisi boyunca kesişirler (Şekil 67a, b).

Teorem 2. Dönen iki yüzey iki noktada temas ederse (Şekil 68 N ve M), o zaman bunların kesişme çizgisi iki düz eğriye bölünür. Bu eğrilerin düzlemleri, yüzeylerin temas noktalarını birleştiren düz bir çizgi (Şekil 68 MN) boyunca kesişir.

Teorem 3.(G. Monge teoremi) İkinci dereceden dönme yüzeyleri, ikinci dereceden dönmenin üçüncü yüzeyinin (küre) etrafına yazılırsa veya tanımlanırsa, bunların kesişmesinin bir sonucu olarak, ikinci dereceden iki düzlem eğrisi oluşur (Şek. 69).

Yüzeylerin geliştirilmesi.

Gelişme denir düz şekil geliştirilebilir yüzeyin düzlemle birleştirilmesiyle elde edilir.

Kırılma veya kıvrım olmaksızın bir düzlemle aynı hizaya getirilebilen yüzeylere geliştirilebilir yüzeyler denir.

Farklı tarama türlerine bakalım:

a) Hassas gelişmeler (yönlü yüzeyler, koni ve silindir) (Şekil 70).

b) Yaklaşık (kavisli geliştirilebilir yüzeyler). Kavisli yüzey, yönlü bir yüzeyle değiştirilir. Taramanın doğruluğu, yönlü yüzeyin bölümlerinin boyutuna ve dolayısıyla sayılarına bağlıdır (Şekil 71). Yaklaşık bir geliştirmeden istenilen yüzeyi elde etmek için, geliştirmenin çizildiği ince levhayı bükmek yeterlidir.

c) Yaklaşık - koşullu gelişmeler (geliştirilemeyen kavisli yüzeyler).

Teorik olarak geliştirilemeyen yüzeyler geliştirilemez. Bu yüzeyin yerini silindir ve koni gibi basit geliştirilebilir yüzeyler alırsa, şartlı olarak bir gelişme elde edilir. İkincisi, sırayla, konuşlandırılan çok yönlü yüzeylerle değiştirilir.

Yüzey gelişmelerini oluşturmanın birkaç yolu vardır:

Üçgen yöntemi (üçgenleme). Bu yöntem, yönlü yüzeylerin ve tüm çizgili yüzeylerin gelişimini oluşturmak için kullanılır. Kavisli çizgili yüzeyin yerini yazılı yönlü bir yüzey almıştır (Şekil 70, 71).

Normal bölüm yöntemi(Şek. 72).

Yuvarlanma yöntemi.

Yardımcı silindir ve koni yöntemi(şartlı olarak yaklaşık taramalar oluşturmak için).

Yüzey geliştirmelerinin inşasına ilişkin birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1. Piramidin yüzeyinin gelişimini oluşturun (Şekil 70). Piramidin yan yüzleri üçgen olduğundan gelişiminin inşası bu üçgenlerin doğal değerlerinin ve tabanın doğal değerlerinin inşasına bağlıdır. Kaburgaların doğal boyutları düzlemsel paralel hareket yöntemiyle belirlenir. Bir piramidin gelişimi bir dizi yüz ve birbirine bağlı bir tabandır.

Örnek 2. Kesik koninin yan yüzeyinin gelişimini oluşturun (Şekil 71). Koninin yüzeyini, koninin içine yazılan sekizgen bir piramit ile değiştiriyoruz. Generatriklerin doğal boyutu, düzlemsel paralel hareket yöntemiyle belirlenir.

Bu yapı, orijinal çizim üzerinde, üzerlerindeki tüm cins ve segmentlerin P2'ye paralel olan en dıştaki cins pozisyonuna taşınmasıyla gerçekleştirilebilir. Koninin tabanının yaylarını bir dizi kirişle değiştiriyoruz ve gelişimi bir piramidin (bir dizi üçgen) gelişimine benzer şekilde inşa ediyoruz. Daha sonra ortaya çıkan noktaları düzgün bir eğri çizgiyle birleştiriyoruz.

Örnek 3. Bir tarama oluşturun eğik prizma(Şek. 72). Prizmanın kaburgaları arasındaki mesafeyi belirlemek için, normal kesitin doğal değerini, yan kaburgalara dik olan P(P 2) düzlemi ile oluşturmak gerekir. Normal bir bölümün gerçek boyutu, projeksiyon düzlemlerinin değiştirilmesi veya paralel düzlem hareketi ile belirlenir. Bir gelişmede, normal bölümün şekli, uzunluğu normal bölümün kenarlarının toplamına eşit olan düz bir çizgidir. AA`, BB`, CC`, DD` nervürlerinin gerçek boyutları P 2'den çıkarılmıştır, çünkü bu prizmanın kenarları P 2'ye paraleldir, bu durumda gerçek boyutları P 2'de okunur. Prizmanın kenarları genel konumun düz çizgileriyse, önce doğal boyutlarını, ardından normal bölümün doğasını belirlemek ve yukarıda açıklanan öneriye göre bir gelişme oluşturmak gerekir.

Kurallı yüzeyler

Çizgili yüzey, uzayda düz bir çizginin hareketi ile oluşturulabilen bir yüzeydir. Generatrix'in hareketinin doğasına bağlı olarak şunu elde ederiz: çeşitli türler yönetilen yüzeyler.

Şekil 1.3.37 – Çizgili yüzeyler

Çokyüzlüler(piramitler, prizmalar) belirli sayıda yüzün oluşturduğu kapalı yüzeylerdir. İÇİNDE bu durumda hem yüzey hem de bu yüzeyin sınırladığı gövde aynı adı taşır. Bir çokyüzlünün elemanları köşeler, kenarlar ve yüzlerdir; bir çokyüzlünün tüm kenarlarının oluşturduğu kümeye denir örgü. Bir çokyüzlünün projeksiyonlarını oluşturmak, onun ağının projeksiyonlarını oluşturmak anlamına gelir.

Birçok polihedra arasında şunlar vardır: doğruçokyüzlü. Bu tür çokyüzlülerde tüm kenarlar, yüzler ve açılar birbirine eşittir. Örneğin Şekil 1.3.38'de gösterilmektedir düzenli çokyüzlü, isminde oktahedron.

Şekil 1.3.39 – Konik ve silindirik yüzeyler

Konik yüzey düz bir çizgiden oluşur ben M(rehber) ve sabit bir noktaya sahip olmak S(üstte) Şekil 1.3.39'a göre, A. Yüzey belirleyicisi Q(ben,m,S).

Silindirik yüzey düz bir çizgiden oluşur ben(jeneratör) eğri bir çizgi boyunca hareket ediyor M(rehber) ve sabit bir yöne sahip SŞekil 1.3.39'a göre, B. Yüzey belirleyicisi S(ben,m,s).

Tüm düz çizgiler aynı yöne sahip olduğundan, yani. birbirine paralel olan yüzeyler sonsuz uzaklıkta (uygun olmayan) bir noktada kesiştiğinde silindirik yüzey şu şekilde düşünülebilir: özel durum konik yüzey.

Karmaşık bir çizimde konik ve silindirik yüzeyleri belirlerken genellikle kılavuz olarak bir çizgi seçilir M yüzeyin projeksiyon düzlemlerinden biriyle kesişimi.