Stokes teoremi. Düzgün yüklü sonsuz bir plakanın alanı

A vektörünün rotorunu bazı (düz olması gerekmeyen) S yüzeyinin her noktasında bilerek, bu vektörün S sınırlayıcı kontur boyunca dolaşımını hesaplayabiliriz (kontur düz olmayabilir). Bunu yapmak için yüzeyi çok küçük elemanlara bölüyoruz. Küçüklüklerinden dolayı bu elemanlar düz sayılabilir.

Bu nedenle, (11.23)'e uygun olarak, a vektörünün sınır çizgisi boyunca dolaşımı şu şekilde temsil edilebilir:

yüzey elemanının pozitif normali nerede

Formül (11.21)'e uygun olarak, (11.29) ifadesini toplayarak, a vektörünün Г konturu boyunca dolaşımını sınırlandırarak elde ederiz.

Tüm AS'lerin sıfıra yöneldiği (sayıları sınırsız olarak artar) limite geçişi gerçekleştirdikten sonra formüle ulaşırız

(11.30)

(11.30) bağıntısına Stokes teoremi denir. Bunun anlamı, a vektörünün keyfi bir Г konturu boyunca dolaşımının, belirli bir konturla sınırlanan rastgele bir S yüzeyi boyunca rota vektörünün akışına eşit olmasıdır.

Gözlemevi operatörü Bir sembolle gösterilen ve Nabla operatörü veya Hamilton operatörü olarak adlandırılan bir vektör diferansiyel operatörünü tanıttığınızda, vektör analizi için formül yazmak büyük ölçüde basitleştirilir ve kolaylaştırılır. Bu operatör bileşenleri olan bir vektör anlamına gelir. Dolayısıyla,

Bu vektörün tek başına bir anlamı yoktur. Sembolik olarak çarpıldığı skaler veya vektör fonksiyonuyla birleştirildiğinde anlam kazanır. Yani, y vektörünü bir skalerle çarparsanız, vektörü elde edersiniz

bu fonksiyonun gradyanıdır (bkz. (11.1)).

Eğer y vektörü a vektörü ile skaler olarak çarpılırsa sonuç skalerdir.

bu a vektörünün diverjansından başka bir şey değildir (bkz. (11.14)).

Son olarak, y'yi vektörel olarak çarparsanız, bileşenleri olan bir vektör elde edersiniz: vb., bunlar rota bileşenleriyle çakışır (bkz. (11.25) - (11.27)).

Bu nedenle notasyonu kullanarak vektör çarpımı Determinant kullanarak şunu yazabiliriz:

(11-34)

Dolayısıyla gradyan, ıraksaklık ve rotoru not etmenin iki yolu vardır:

Y'yi kullanan notasyonun birçok avantajı vardır. Bu nedenle aşağıda böyle bir gösterim kullanacağız. Sembolü “gradyan” kelimesiyle (yani, “nabla” değil “gradient phi” deyin), sembolü “diverjans a” kelimesiyle ve son olarak da sembolü “rotor a” kelimesiyle tanımlamaya alışmalısınız. ”.

Y vektörünü kullanırken şunu hatırlamanız gerekir: diferansiyel operatörü, sağındaki tüm işlevler üzerinde hareket eder. Bu nedenle, y içeren ifadeleri dönüştürürken hem kuralları hem de kuralları dikkate almanız gerekir. vektör cebiri kurallar da öyle diferansiyel hesap. Örneğin fonksiyonların çarpımının türevi şuna eşittir:

Buna uygun olarak

Aynı şekilde

Bazı fonksiyonların gradyanı bir vektör fonksiyonudur. Bu nedenle diverjans ve rotor işlemleri ona uygulanabilir.

Bir G bölgesinde sürekli bir vektör alanı a) k ve kapalı yönlü bir L konturu verilsin. Tanım 1. Bir a vektörünün kapalı bir L konturu boyunca dolaşımına denir çizgi integrali L konturu boyunca a vektöründen 2. tür Burada dr, uzunluğu L yayının diferansiyeline eşit olan ve yönü L'ye teğet yönü ile çakışan bir vektördür, op- Şekil 1. 31, konturun yönüne göre belirlenir (Şekil 31); f sembolü, integralin alternatif bir L konturu üzerinden alındığı anlamına gelir. Örnek 1. L elipsi boyunca bir vektör alanının dolaşımını hesaplayın: Dolaşımın tanımı gereği elimizdekiler Parametrik denklemler Bu elipsin şekli şu şekildedir: , ve dolayısıyla . Bu ifadeleri formül (2)'de yerine koyarsak, vektör alanının Dolaşımını buluruz. Bir vektörün rotoru Stokes teoremi Bir vektör alanının rotoru (girdap) Değişmez tanım rotor alanı Fiziksel anlam alan rotoru Rotor hesaplama kuralları 8.1. Bir vektör alanının rotoru (girdabı) Sürekli olan ve tüm argümanlarına göre birinci dereceden sürekli kısmi türevleri olan bir P, Q, R vektörünün alanını düşünün. Tanım 2. "(M) vektörünün rotoru, rot a sembolüyle gösterilen ve eşitlikle veya hatırlamaya uygun sembolik bir biçimde tanımlanan bir vektördür. Bu determinant ilk satırın elemanları tarafından genişletilirken, ikinci satırın elemanlarını üçüncü satırın elemanlarıyla çarpma işlemleri, türev alma işlemleri olarak anlaşılır, örneğin, Tanım 3. Eğer bir G bölgesinde rot a = 0 varsa, o zaman alandaki a vektörünün alanı G'ye irrotasyonel denir. Örnek 2. Vektör 4'ün rotorunu bulun Formül (3)'e göre, elimizdekiler rot a bir vektör olduğundan, bir vektör alanı - a vektörünün rotorunun alanı - olarak düşünebiliriz. a vektörünün koordinatlarının ikinci dereceden sürekli kısmi türevleri olduğunu varsayarak, rot a vektörünün diverjansını hesaplıyoruz. Böylece rota vektörünün alanının solenoidal olduğunu elde ederiz. Teorem 7 (Stokes). A vektörünün yönlendirilmiş kapalı bir L konturu boyunca dolaşımı, L konturunun kapsadığı herhangi bir E yüzeyi boyunca bu vektörün rotor akısına eşittir. a vektörünün koordinatlarının, G'nin bazı bölgelerinde sürekli kısmi türevleri olduğu varsayılır. E yüzeyini içeren uzay ve normal noktanın birim vektörünün EC G yüzeyine oryantasyonu L konturunun oryantasyonu ile koordine edilir, böylece normun sonundan itibaren kontur etrafındaki devre belirli bir yönde olur. saat yönünün tersine gerçekleştiği görülmektedir. Bunu göz önünde bulundurarak ve bir rotorun (3) tanımını kullanarak, formül (4)'ü aşağıdaki formda yeniden yazıyoruz: İlk önce pürüzsüz bir yüzey E ve onun L çevresinin xOy'nin D bölgesine benzersiz bir şekilde izdüştüğü durumu ele alalım. düzlem ve sınırı - sırasıyla A konturu (Şekil 32). L konturunun oryantasyonu, A konturunun belirli bir oryantasyonuna yol açar. Kesinlik sağlamak için, L konturunun, E yüzeyi solda kalacak şekilde yönlendirildiğini, böylece E yüzeyine normal n vektörünün şu şekilde olduğunu varsayacağız: Oz ekseni dar açı 7 (çünkü 7 >0). E yüzeyinin denklemi ve φ(x)y) fonksiyonu sürekli olsun ve gf ve ^ kısmi türevleri sürekli olsun. kapalı alan D. L integral çizgisinin E yüzeyinde bulunduğunu düşünün. Bu nedenle, bu yüzeyin denklemini kullanarak integral işaretinin altındaki r'yi ^(x, y) ile değiştirebiliriz. A eğrisinin değişken noktasının koordinatları, L eğrisi üzerinde karşılık gelen noktanın koordinatlarına eşittir ve bu nedenle L üzerinden integral, A üzerinden integral ile değiştirilebilir. Green formülünü sağdaki integrale uygulayalım. Şimdi D bölgesi üzerindeki integralden E yüzeyi üzerindeki integrale geçiyoruz. dS = cos 7 da olduğundan, formül (8)'den E yüzeyine normal vektör n°'nin k ifadesiyle belirlendiğini elde ederiz. Buradan şu anlaşılıyor. Bu nedenle eşitlik (9) şu şekilde yeniden yazılabilir: E'nin her üçüne de benzersiz şekilde çıkıntı yapan pürüzsüz bir yüzey olduğu düşünülürse koordinat düzlemleri Benzer şekilde bir vektör alanının dolaşımı formüllerinin geçerliliğine de inanıyoruz. Bir vektörün rotoru Stokes teoremi Bir vektör alanının rotoru (girdap) Bir alanın rotorunun değişmez tanımı Bir alanın rotorunun fiziksel anlamı Rotoru hesaplama kuralları Eşitlikleri terim terim toplayarak Stokes formülünü elde ederiz ( 5) veya kısaca Açıklama 1. Vektör dönüş alanının solenoidal olduğunu ve bu nedenle vektör rota akışının L konturunun kapsadığı E yüzeyinin tipine bağlı olmadığını gösterdik. Açıklama 2 Formül (4), £ yüzeyinin her üç koordinat düzlemine de benzersiz şekilde yansıtıldığı varsayımıyla türetilmiştir. Bu koşul karşılanmazsa £'u parçalara böleriz, böylece her bir parça belirtilen koşul tatmin oluyoruz ve sonra integrallerin toplamsallığını kullanıyoruz. Örnek 3. Tanımı kullanarak bir vektörün bir çizgi boyunca dolaşımını hesaplayın 1); 2) Stokes teoremine göre. 4 1) L doğrusunu parametrik olarak tanımlayalım: Sonra 2) Rotayı bul: Bir düzlem parçasını L konturunun üzerine uzatalım. Alan rotorunun değişmez tanımı Stokes teoreminden, alan rotorunun koordinat sisteminin seçimiyle ilgili olmayan değişmez bir tanımı elde edilebilir. Teorem 8. Rotor a'nın herhangi bir yöne izdüşümü koordinat sisteminin seçimine bağlı değildir ve şuna eşittir: yüzey yoğunluğu a vektörünün platformun konturu boyunca bu yöne dik dolaşımı. Burada (E) düz bir platformdur, vektöre dik ben; 5 - bu sitenin alanı; L - sitenin konturu, konturun bypass'ı vektörün ucundan n saat yönünün tersine görülebilecek şekilde yönlendirilmiştir; (E) M, (E) alanının, rota a vektörünün dikkate alındığı M noktasına kadar daralması ve bu alana normal vektör n'nin her zaman aynı kalması anlamına gelir (Şekil 33). 4 Önce Stokes teoremini a vektörünün (a,dr) dolaşımına, sonra da elde edilen sonuca uygulayalım. çift ​​katlı integral- ortalama değer teoremi: burada (skaler çarpım platformun (E) bazı orta noktasında Mf alınır). (E) alanı M noktasına çekerken, orta A/c noktası da M noktasına yönelme eğilimindedir ve a vektörünün koordinatlarının kısmi türevlerinin varsayılan sürekliliği nedeniyle (ve dolayısıyla dönüş a'nın sürekliliği), biz Rota a vektörünün keyfi bir yöne izdüşümünün koordinat sistemi seçimine bağlı olmaması nedeniyle rota vektörünün kendisi bu seçime göre değişmezdir. Buradan alan rotorunun aşağıdaki değişmez tanımını elde ederiz: alan rotoru, uzunluğu belirli bir noktadaki en büyük yüzey sirkülasyon yoğunluğuna eşit olan ve üzerinde bu rotorun bulunduğu alana dik olan bir vektördür. en yüksek yoğunluk dolaşım sağlanır; bu durumda rota vektörünün yönelimi, sağ vida kuralına göre dolaşımın pozitif olduğu konturun yönelimiyle tutarlıdır. 8.3. Alan rotorunun fiziksel anlamı Sert bir cismin kendi etrafında dönmesine izin verin sabit eksen I açısal hızla ve. Genelliği kaybetmeden I ekseninin Oz ekseniyle çakıştığını varsayabiliriz (Şekil 34). M(r) incelenen vücut noktası olsun; burada Vektör açısal hız bizim durumumuzda başlangıç ​​= wk'ye eşittir, v vektörünü hesaplayın doğrusal hız M noktaları, Dolayısıyla vektör alanının dolaşımı. Bir vektörün rotoru Stokes teoremi Bir vektör alanının rotoru (girdabı) Bir alanın rotorunun değişmez tanımı Bir alanın rotorunun fiziksel anlamı Rotoru hesaplama kuralları Yani, dönen bir hız alanının girdabı sağlam alanın tüm noktalarında aynıdır, dönme eksenine paraleldir ve açısal dönme hızının iki katına eşittir. 8.4. Rotoru hesaplama kuralları 1. Rotor sabit vektör c, sıfır vektörü 2'ye eşittir. Rotor, sabit sayıların doğrusallığı özelliğine sahiptir. 3. Ürün rotoru skaler fonksiyon u(M)'nin a(M) vektörüne dönüşümü aşağıdaki formülle hesaplanır:

Bu teorem, bu vektörün rotorunu kullanarak bir vektörün sonlu uzunluktaki bir kontur boyunca dolaşımını hesaplamanıza olanak tanır.

Dolaşım pozitif yönlü kapalı bir kontur boyunca vektör alanı L eşit rotor akışı bu alan herhangi bir pürüzsüz yüzeyden geçer S , bu kontura dayanarak:

. (2.12)

Teoremi kanıtlamak için kapsadığı alanla birlikte bir kontur düşünün (Şekil 2.6). Tüm kontur aynı yönelimdeki temel konturlara bölünmüştür (Şekil 2.10).

Temel devre boyunca dolaşım eşittir
.

Tüm bitişik konturlar ( 1 Ve 2 Şek. Şekil 2.10) aşağıdaki özelliğe sahiptir: aynı alan değerine sahip ortak bir sınırda, bitişik konturların her biri boyunca dolaşıma katkı, işaretteki bir değişiklikle meydana gelecektir (kontur için) 1 -A  B ve için 2 - B  A ). Sonuç olarak devrelerin tüm iç bölümlerinin dolaşımına katkısı karşılıklı olarak telafi edilir ve yalnızca devreye ait bölümler telafi edilmeden kalır. L sonuçta (2.12)'yi verir .

(2.12)'nin konturun bir düzlem üzerinde yer alması durumunda özel bir durumu D. Green (M. Ostrogradsky-D. Green) formülüdür:

. (2.13)

Formüller (2.12) ve (2.13), ikinci türden bir eğrisel integralin hesaplanmasını, bölge üzerinde bir çift katlı integralin hesaplanmasına indirgememize izin verir. S .

(2.12)'ye göre ters geçiş (2.8)'e benzer şekilde gerçekleştirilir.

2.4. Gözlemci operatörü ve Laplace operatörü

Vektör analizi formüllerinin yazılması, kullanıldığında basitleştirilmiştir radar operatörü (operatör W. Hamilton), ki bu bir vektördür
. Tek başına bu vektörün bir anlamı yoktur, ancak (2.3), (2.5) ve (2.9) formüllerini kompakt bir şekilde yazmamıza olanak tanır:

;
;
. (2.14)

Ayrıca nabla operatörü, yüksek mertebeden diferansiyel operatörlerin hesaplanmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.

Şunu belirtmek gerekir ki  dikkatli kullanılmalı ve kullanırken bu operatörün sadece vektör , ama aynı zamanda diferansiyel .

Örneğin, bulalım
.  kullanarak şunu elde ederiz
. Kurallara göre farklılaşma Ürün operatörü ilk önce harekete geçer Birinci çarpan ve ardından ikinci: . Sonuç olarak şunu alıyoruz. Vektör koordinatları aracılığıyla hesaplama prosedürü, daha fazla işlem gerektirecektir.

(2.15)'te yer almayan genişleme formülünü kendi başınıza elde etmeye çalışın.
. Doğru cevap sonunda verilmiştir uygulamalar 1 .

Bazı kimlikler ve ikinci dereceden işlemler.

;
;

;
;

Laplace operatörü ( , Laplace ) ikinci dereceden bir operatördür.

Beğenmek  ,  hem skaler hem de vektör için geçerlidir.

. (2.17)

Durumunda Kartezyen sistem koordinatlar (2.18) basitleştirilmiştir:

EMF teorisinde sıklıkla kullanılan eğrisel koordinat sistemleri hakkında bilgi ( silindirik Ve küresel ) ve bunlardaki vektör işlemleri verilmiştir. Ek 2 .

2.5. Vektör alanlarının sınıflandırılması

Vektör alanı rotoru ve sapması uzaysal koordinatların fonksiyonları olarak biliniyorsa benzersiz bir şekilde verilir.

Bu fonksiyonların değerlerine bağlı olarak potansiyel , girdap (solenoidal ) alanı ve genel alan .

Vektör alanı potansiyel olarak eğer bir skaler fonksiyon varsa sen ile ilişkili olan aşağıdaki gibi:
. İşlev sen isminde skaler alan potansiyeli .

Gerekli ve yeterli koşul potansiyel öyle rotor sıfıra eşit (
).

Solenoidal (girdap ) vektör alanı olarak adlandırılır , her noktasında
(gerekli ve yeterli koşul),
.

Solenoidal vektör alanı olarak temsil edilebilir
. Bu durumda vektör miktarı isminde vektör alanı potansiyeli (
).

Alan adı bu türden yılında keşfedilmiş olmasıyla açıklanabilir. solenoid , – uzunluğu çapı önemli ölçüde aşan bir indüktör (çekirdekli veya çekirdeksiz olabilir).

Vektör alanı ise
Ve
, o zaman bu - genel alan .

Genel tipte rastgele bir vektör alanı, potansiyel ve girdap parçalarının toplamı olarak temsil edilebilir:
, – nerede dahil alan kaynakları (
) ve içinde –alan girdapları (
).

Artık integral ve diferansiyel işlemleri ve vektör analizinin temel teoremlerini inceledikten sonra EMF teorisinin temellerini incelemeye başlayabiliriz - Maxwell'in denklem sistemi .

Her noktada bilmek S, dolaşımı şu şekilde bulabilirsiniz: G etrafında S. Hadi parçalayalım S Açık  S:

Ve

- yüzey elemanına normal  S.

Herşeye izin ver  S 0 , Daha sonra:

Stokes teoremi:

Dolaşım vektörü keyfi bir kontur boyunca G vektörün akısına eşit
keyfi bir yüzey aracılığıyla S, bu konturla sınırlıdır.

3.7 Elektrostatik alanın dolaşımı ve rotoru

Herhangi bir kapalı devre boyunca elektrostatik kuvvetlerin işi sıfırdır.

onlar. Elektrostatik alanın herhangi bir devre boyunca dolaşımı sıfırdır.

Herhangi bir yüzeyi alalım S, kontur bazında G.

Stokes teoremine göre:

;

çünkü bu herhangi bir yüzey için S, O

Bir kimlik var:

onlar. Elektrostatik alan çizgileri uzayda dolaşmaz.

3.8 Gauss teoremi

bulacağız
elektrostatik alan. Bir nokta yükü için çizgi yoğunluğu sayısal olarak eşittir

Akış herhangi bir kapalı yüzeyden geçen çizgilerin sayısına eşittir, yani. “+” yüküyle başlayıp “-“ yüküyle biten:

Akışın işareti işaretle eşleşiyor Q, boyutlar aynıdır.

Olsun N puan ücretleri Q Ben .

Elektrostatik alan kuvveti vektörünün kapalı bir yüzeyden akışı, bu yüzeyin içindeki yüklerin cebirsel toplamının  0'a bölünmesine eşittir.

4 Gauss teoremini kullanarak alanların hesaplanması

4.1 Düzgün yüklü sonsuz bir plakanın alanı.

4.2 Düzgün yüklü küresel yüzeyin alanı.

4.3 Karşıt yüklü iki sonsuz paralel düzlemin alanı

4.4 Hacimsel olarak yüklü bir topun alanı

4.1 Düzgün yüklü sonsuz bir plakanın alanı

İÇİNDE yüzey yoğunluğu kavramını tanıtmak

- birim yüzey başına ücret.

Sabit yüzey yoğunluğuyla yüklü sonsuz bir plaka +  . Gerilme çizgileri söz konusu düzleme diktir ve her iki yönde de yönlendirilir.

Kapalı bir yüzey olarak tabanları düzleme paralel ve ekseni ona dik olan bir silindir oluşturacağız çünkü silindirin generatrisleri paraleldir e, O çünkü =0 ve yan yüzeyden geçen akı 0'dır ve tam akış Bir silindirden geçen akış, tabanından geçen akışların toplamına eşittir.

E'=E''=E,

O F= 2E S;

q = S

Şunu takip ediyor e silindirin uzunluğuna bağlı değildir, yani. Herhangi bir mesafedeki alan yüzeyi mutlak değerde aynıdır; Düzgün yüklü bir plakanın alanı düzgündür.

4.2 Düzgün yüklü küresel bir yüzeyin alanı

İLE küresel yüzey yarıçapı R ortak ücretle Q.

Çünkü yük eşit olarak dağılmışsa, alan küresel simetriye sahiptir, yani. düzlem çizgileri radyal olarak yönlendirilir.

Haydi zihinsel olarak yarıçaplı bir küre inşa edelim R R. Çünkü R R, Gauss teoremine göre yükün tamamı yüzeyin içine düşer:

Şu tarihte: R R mesafe arttıkça alan azalır R nokta ücretiyle aynı yasaya göre.

Eğer R' R kapalı yüzeyin içinde yük bulunmuyorsa, düzgün yüklü küresel bir yüzeyin içinde elektrostatik alan bulunmadığı sonucu çıkar e=0.

4.3 Karşıt yüklü iki sonsuz paralel düzlemin alanı

Uçakların yüzey yoğunluklarına sahip eşit zıt yüklerle yüklenmesine izin verin +  Ve -  .

Alanı, her bir düzlemin ayrı ayrı oluşturduğu süperpozisyon olarak buluyoruz.

Plakanın dışında E = 0(çizgiler birbirine doğru yönlendirildiği için kenar boşlukları çıkarıldı).

Uçaklar arasındaki alanda

E = E + + E -

Daha sonra