Matematiksel modelleme. Baskın sınıflandırma özelliklerinin belirlenmesi ve yüz ifadesi görüntülerinin matematiksel modelinin geliştirilmesi

Matematiksel model- modelleme nesnesinin matematiksel semboller kullanılarak ifade edilen yaklaşık bir açıklaması.

Matematiksel modeller yüzyıllar önce matematikle birlikte ortaya çıktı. Bilgisayarların ortaya çıkışı matematiksel modellemenin gelişimine büyük bir ivme kazandırdı. Bilgisayarların kullanımı, daha önce analitik araştırmaya uygun olmayan birçok matematiksel modelin analiz edilmesini ve pratikte uygulanmasını mümkün kılmıştır. Bilgisayar uygulamalı matematiksel model isminde bilgisayar matematiksel modeli, A kullanarak hedefe yönelik hesaplamalar yapmak bilgisayar modeli isminde hesaplamalı deney.

Bilgisayarda matematiksel modellemenin aşamaları şekilde gösterilmiştir. İlk aşama- modelleme hedeflerinin belirlenmesi. Bu hedefler farklı olabilir:

1) belirli bir nesnenin nasıl yapılandırıldığını, yapısının ne olduğunu, temel özelliklerini, gelişim yasalarını ve dış dünyayla etkileşimi (anlayış) anlamak için bir modele ihtiyaç vardır;

2) Bir nesnenin (veya sürecin) nasıl kontrol edileceğini ve nasıl belirleneceğini öğrenmek için bir modele ihtiyaç vardır. en iyi yollar belirli hedefler ve kriterlerle yönetim (yönetim);

3) verilen yöntemlerin ve nesne üzerindeki etki biçimlerinin (tahmin) uygulanmasının doğrudan ve dolaylı sonuçlarını tahmin etmek için modele ihtiyaç vardır.

Örneklerle açıklayalım. Çalışmanın amacı, bir sıvı veya gaz akışının, bu akışa engel olan bir cisimle etkileşimi olsun. Deneyimler, vücut kısmındaki akışa karşı direnç kuvvetinin akış hızının artmasıyla arttığını, ancak yeterince yüksek bir hızda bu kuvvetin aniden azaldığını ve hızdaki daha fazla artışla birlikte yeniden arttığını göstermektedir. Direnç kuvvetinin azalmasına ne sebep oldu? Matematiksel modelleme net bir cevap elde etmemizi sağlar: dirençte ani bir azalma anında, aerodinamik gövdenin arkasındaki sıvı veya gaz akışında oluşan girdaplar ondan kopmaya başlar ve akış tarafından uzaklaştırılır.

Tamamen farklı bir alandan bir örnek: sabit sayılarla barış içinde bir arada yaşayan, ortak bir besin kaynağına sahip olan iki tür bireyden oluşan popülasyonlar, sayıları "birdenbire" keskin bir şekilde değişmeye başlar. Ve burada matematiksel modelleme (belirli bir güvenilirlik derecesiyle) nedeni belirlemeye (veya en azından belirli bir hipotezi çürütmeye) olanak tanır.

Bir nesneyi yönetmek için bir konsept geliştirmek, modellemenin bir başka olası hedefidir. Uçuşun güvenli ve ekonomik açıdan en karlı olmasını sağlamak için hangi uçak uçuş modunu seçmeliyim? Büyük bir tesisin inşaatı ile ilgili yüzlerce iş türünün mümkün olan en kısa sürede tamamlanması için nasıl programlanacağı kısa vadeli? Bu tür sorunların çoğu sistematik olarak iktisatçıların, tasarımcıların ve bilim adamlarının karşısına çıkıyor.

Son olarak, bir nesne üzerindeki belirli etkilerin sonuçlarını tahmin etmek, basit bir yaklaşımla nispeten basit bir konu olabilir. fiziksel sistemler ve biyolojik, ekonomik ve sosyal sistemlerde son derece karmaşık - fizibilitenin eşiğinde -. İnce bir çubuğu oluşturan alaşımdaki değişiklikler nedeniyle ısı dağılımı modundaki değişikliklerle ilgili soruyu yanıtlamak nispeten kolay olsa da, büyük bir çubuğun inşasının çevresel ve iklimsel sonuçlarını izlemek (tahmin etmek) kıyaslanamaz derecede daha zordur. hidroelektrik santrali veya vergi mevzuatındaki değişikliklerin sosyal sonuçları. Belki burada da matematiksel modelleme yöntemleri gelecekte daha önemli katkılar sağlayacaktır.

İkinci aşama: modelin giriş ve çıkış parametrelerinin belirlenmesi; giriş parametrelerinin, değişikliklerinin çıktı üzerindeki etkisinin önem derecesine göre bölünmesi. Bu işleme sıralama veya sıralamaya göre ayırma denir (bkz. . “Biçimlendirme ve modelleme”).

Üçüncü aşama: matematiksel bir modelin oluşturulması. Bu aşamada modelin soyut bir formülasyonundan belirli bir matematiksel gösterimi olan bir formülasyona geçiş söz konusudur.

Matematiksel model- bunlar denklemler, denklem sistemleri, eşitsizlik sistemleri, diferansiyel denklemler veya bu tür denklem sistemleri vb.

Dördüncü aşama: Matematiksel bir modeli incelemek için bir yöntem seçmek. Çoğu zaman burada programlamaya iyi uyum sağlayan sayısal yöntemler kullanılır. Kural olarak, aynı sorunu çözmek için doğruluk, kararlılık vb. açısından farklılık gösteren birkaç yöntem uygundur. İtibaren doğru seçim yöntemi genellikle tüm modelleme sürecinin başarısına bağlıdır.

Beşinci aşama: Bir algoritmanın geliştirilmesi, bir bilgisayar programının derlenmesi ve hata ayıklaması, resmileştirilmesi zor bir süreçtir. Programlama dilleri arasında birçok profesyonel, matematiksel modelleme için FORTRAN'ı tercih ediyor: hem geleneklerden hem de derleyicilerin eşsiz verimliliğinden (hesaplama çalışmaları için) ve içinde yazılan matematiksel yöntemler için büyük, dikkatlice hata ayıklanmış ve optimize edilmiş standart program kitaplıklarının mevcudiyetinden dolayı. . İşin niteliğine ve programcının eğilimlerine göre PASCAL, BASIC, C gibi diller de kullanılmaktadır.

Altıncı aşama: program testi. Programın işleyişi, cevabı önceden bilinen bir test problemi üzerinde test edilir. Bu, resmi olarak kapsamlı bir şekilde tanımlanması zor olan bir test prosedürünün sadece başlangıcıdır. Tipik olarak test, kullanıcı mesleki özelliklerine göre programın doğru olduğunu düşündüğünde sona erer.

Yedinci aşama: Modelin gerçek bir nesneye (sürece) karşılık gelip gelmediğinin belirlendiği gerçek hesaplamalı deney. Bir bilgisayarda elde edilen sürecin bazı özellikleri, belirli bir doğruluk derecesiyle deneysel olarak elde edilen özelliklerle örtüşüyorsa, model gerçek süreç için yeterince uygundur. Model gerçek sürece uymuyorsa önceki aşamalardan birine geri döneriz.

sınıflandırma matematiksel modeller

Matematiksel modellerin sınıflandırılması çeşitli ilkelere dayandırılabilir. Modelleri bilim dallarına göre (fizik, biyoloji, sosyoloji vb. alanlardaki matematiksel modeller) sınıflandırabilirsiniz. Kullanılan matematiksel aygıtlara göre sınıflandırılabilir (sıradan matematiksel yöntemlere dayanan modeller). diferansiyel denklemler, kısmi diferansiyel denklemler, stokastik yöntemler, ayrık cebirsel dönüşümler vesaire.). Son olarak, dayalı ortak görevler Matematiksel aygıtlara bakılmaksızın farklı bilimlerdeki modellemelerde en doğal sınıflandırma şu şekildedir:

· tanımlayıcı (açıklayıcı) modeller;

· optimizasyon modelleri;

· çok kriterli modeller;

· oyun modelleri.

Bunu örneklerle açıklayalım.

Tanımlayıcı (açıklayıcı) modeller. Örneğin, güneş sistemini istila eden bir kuyruklu yıldızın hareketinin modellenmesi, onun uçuş yolunu, Dünya'dan geçeceği mesafeyi vb. tahmin etmek için yapılır. Bu durumda, kuyruklu yıldızın hareketini etkilemenin veya içindeki herhangi bir şeyi değiştirmenin bir yolu olmadığından, modelleme hedefleri doğası gereği tanımlayıcıdır.

Optimizasyon modelleri Belirli bir hedefe ulaşma çabasında etkilenebilecek süreçleri tanımlamak için kullanılır. Bu durumda model, etkilenebilecek bir veya daha fazla parametreyi içerir. Örneğin, bir tahıl ambarındaki termal rejimi değiştirirken, maksimum tahıl güvenliğini sağlayacak bir rejim seçme hedefini belirleyebilirsiniz; depolama sürecini optimize edin.

Çok kriterli modeller. Çoğu zaman bir süreci birden fazla parametreye göre aynı anda optimize etmek gerekir ve hedefler oldukça çelişkili olabilir. Örneğin gıda fiyatlarını ve kişinin gıda ihtiyacını bilerek yemek düzenlemeniz gerekiyor. büyük gruplar insanlar (orduda, çocuk yaz kampında vb.) fizyolojik olarak doğru ve aynı zamanda mümkün olduğunca ucuz. Bu hedeflerin hiçbir şekilde örtüşmediği açıktır, yani. Modelleme yaparken, aralarında bir denge aranması gereken çeşitli kriterler kullanılacaktır.

Oyun modelleri sadece bununla ilgili olmayabilir bilgisayar oyunları, ama aynı zamanda çok ciddi şeylere de. Örneğin, bir savaştan önce, eğer rakip ordu hakkında eksik bilgi varsa, bir komutan bir plan geliştirmelidir: düşmanın olası tepkisini dikkate alarak belirli birimlerin savaşa hangi sırayla dahil edileceği vb. Modern matematiğin, eksik bilgi koşullarında karar verme yöntemlerini inceleyen özel bir dalı vardır - oyun teorisi.

Okulun bilgisayar bilimi dersinde, öğrenciler temel dersin bir parçası olarak bilgisayar matematiksel modellemesine ilişkin ilk bilgileri edinirler. Lisede matematiksel modelleme derinlemesine çalışılabilir. genel eğitim kursu fizik ve matematik dersleri için ve ayrıca özel bir seçmeli ders çerçevesinde.

Lisede bilgisayarlı matematiksel modellemeyi öğretmenin ana biçimleri dersler, laboratuvar ve test sınıflarıdır. Tipik olarak, her yeni modeli oluşturma ve incelemeye hazırlanma işi 3-4 ders alır. Materyalin sunumu sırasında öğrencilerin gelecekte bağımsız olarak çözmesi gereken problemler belirlenir ve bunları çözmenin yolları genel hatlarıyla belirtilir. Görevleri tamamlarken cevaplarının alınması gereken sorular formüle edilmiştir. Belirtilen ileri okuma Görevlerin daha başarılı bir şekilde tamamlanması için yardımcı bilgiler almanızı sağlayan.

Yeni materyalleri incelerken derslerin organizasyon şekli genellikle bir derstir. Bir sonraki modelin tartışmasını tamamladıktan sonra, öğrenciler gerekli teorik bilgilere ve bir dizi göreve sahip olurlar. daha fazla çalışma. Görevi tamamlamaya hazırlanırken öğrenciler seçerler. uygun yöntem geliştirilen programı test etmek için iyi bilinen bazı özel çözümleri kullanan çözümler. Görevleri tamamlarken oldukça olası zorluklar olması durumunda, istişarede bulunulur ve bu bölümlerin edebi kaynaklarda daha ayrıntılı olarak incelenmesi teklif edilir.

Eğitimin pratik kısmıyla en alakalı bilgisayar modelleme proje yöntemidir. Görev, öğrenci için bir eğitim projesi şeklinde formüle edilmiştir ve birkaç ders boyunca gerçekleştirilir ve ana organizasyon şekli bilgisayardır. laboratuvar çalışması. Yöntemi kullanarak modelleme eğitimi eğitim projeleri farklı düzeylerde uygulanabilir.
Birinci- Öğretmenin önderliğinde proje uygulama sürecinin sorunlu bir sunumu.
Saniye- Öğretmenin rehberliğinde öğrenciler tarafından projenin uygulanması.
Üçüncü- Bir eğitim araştırma projesinin öğrenciler tarafından bağımsız olarak uygulanması.

Çalışmanın sonuçları sayısal biçimde, grafik ve diyagram şeklinde sunulmalıdır. Mümkünse süreç bilgisayar ekranında dinamik olarak sunulur. Hesaplamalar tamamlandıktan ve sonuçlar alındıktan sonra analiz edilir ve karşılaştırılır. bilinen gerçekler Teorinin güvenilirliği doğrulanır ve anlamlı bir yorum yapılır ve bu daha sonra yazılı bir rapora yansıtılır.

Sonuçlar öğrenciyi ve öğretmeni tatmin ederse çalışma tamamlanmış sayılır ve son aşaması bir raporun hazırlanmasıdır. Rapor, incelenen konuyla ilgili kısa teorik bilgileri, problemin matematiksel formülasyonunu, çözüm algoritmasını ve gerekçesini, bir bilgisayar programını, programın sonuçlarını, sonuçların ve sonuçların analizini ve bir referans listesini içerir.

Tüm raporlar derlendiğinde öğrenciler kendi raporlarını sunarlar. kısa mesajlar Yapılan çalışmalarla ilgili projelerini savunuyorlar. Bu etkili biçim Projeyi yürüten grubun problemin belirlenmesi, resmi bir model oluşturulması, modelle çalışma yöntemlerinin seçilmesi, modelin bilgisayarda uygulanması, bitmiş modelle çalışılması, sonuçların yorumlanması, tahminde bulunulması dahil olmak üzere sınıfa rapor edilmesi. Sonuç olarak, öğrenciler iki not alabilirler: birincisi - projenin detaylandırılması ve savunmasının başarısı için, ikincisi - program, algoritmasının, arayüzünün vb. optimalliği için. Öğrenciler ayrıca teorik sınavlar sırasında da not alırlar.

Temel bir soru, okuldaki bilgisayar bilimleri dersinde matematiksel modelleme için hangi araçların kullanılacağıdır? Modellerin bilgisayar uygulaması gerçekleştirilebilir:

· bir elektronik tablo işlemcisi kullanma (genellikle MS Excel);

· geleneksel programlama dillerinde (Pascal, BASIC, vb.) ve bunların modern versiyonlarında (Delphi, Visual Basic for Application vb.) programlar oluşturarak;

· Matematik problemlerinin çözümü için özel uygulama paketlerinin kullanılması (MathCAD vb.).

Temel okul düzeyinde ilk yöntem daha çok tercih edilebilir gibi görünmektedir. Ancak, lise Programlama, modelleme ile birlikte bilgisayar bilimlerinde önemli bir konu olduğunda, bunun bir modelleme aracı olarak kullanılması arzu edilir. Programlama süreci sırasında matematiksel prosedürlerin ayrıntıları öğrencilere sunulur; Üstelik bu konularda uzmanlaşmaya zorlanıyorlar ve bu da matematik eğitimine katkıda bulunuyor. Özel yazılım paketlerinin kullanımına gelince, bu, diğer araçlara ek olarak özel bir bilgisayar bilimi dersinde uygundur.

GİRİİŞ

Nesneler maddi dünya karmaşık ve çeşitli. Oluşturulan, üzerinde çalışılan ve kullanılan görsellere bunların tüm özelliklerini yansıtmak çok zor ve gerekli değildir. Nesnenin görüntüsünün, kullanımı açısından en önemli özellikleri içermesi önemlidir. Modelleme yöntemi, orijinal nesnenin, orijinaline belirli bir benzerliği olan bir ikame nesneyle değiştirilmesidir. yeni bilgi orijinal hakkında. Model, orijinal nesne hakkında bilgi edinmek için tasarlanmış, orijinal nesnenin yerine geçen bir nesnedir.

Matematiksel modeller sembolik modellere atıfta bulunur ve formdaki nesnelerin tanımını temsil eder. matematiksel semboller, formüller, ifadeler. Yeterince doğru bir matematiksel modeliniz varsa, bir nesnenin çeşitli koşullar altında işleyişinin sonuçlarını tahmin etmek için matematiksel hesaplamaları kullanabilir ve çeşitli olası seçenekler arasından en iyi sonuçları vereni seçebilirsiniz.

Bu makale matematiksel modelleme yöntemlerinin sınıflandırılma türlerini sağlamakta ve bazı yöntemleri açıklamaktadır:

Doğrusal programlama, sınırlı kaynakların rakip işler arasında en uygun dağılımını bulmak için kullanılan bir matematiksel modelleme yöntemidir.

Simülasyon modelleme. Simülasyon modellemenin amacı, elemanları arasındaki en anlamlı ilişkilerin analizinin sonuçlarına dayanarak, incelenen sistemin davranışını yeniden oluşturmak veya başka bir deyişle, incelenen sistemin bir simülatörünü geliştirmektir. konu alanıçeşitli deneyler yapmak için.

Matematiksel modelleme yöntemlerinin sınıflandırılması

Kullanılan matematiksel modellerin çeşitliliği nedeniyle genel sınıflandırma zor. Literatürde sınıflandırmalar genellikle temel olarak verilmektedir. farklı yaklaşımlar ve ilkeler.

Hiyerarşik seviyeye göre matematiksel modeller mikro düzey, makro düzey ve meta düzey modellere ayrılır. Sürecin mikro düzeyindeki matematiksel modeller, örneğin metallerin kesilmesi sırasında meydana gelen fiziksel süreçleri yansıtır. Geçiş (geçiş) düzeyindeki süreçleri tanımlarlar.

Sürecin makro düzeyindeki matematiksel modeller teknolojik süreçleri tanımlar.

Sürecin meta düzeyindeki matematiksel modeller teknolojik sistemleri (bölümler, atölyeler, bir bütün olarak işletme) tanımlar.

Görüntülenen nesne özelliklerinin doğası gereği modeller yapısal ve işlevsel olarak sınıflandırılabilir

Yapısal model, bir veri yapısı veya veri yapıları ve bunların arasındaki ilişkilerle temsil edilebiliyorsa, yapısal bir model hiyerarşik veya ağ olabilir.

Model hiyerarşiktir (ağaç benzeri), - eğer bazı hiyerarşik yapılarla (ağaç) temsil edilebiliyorsa; örneğin arama ağacında rota bulma problemini çözmek için Şekil 1'de gösterilen bir ağaç modeli oluşturabilirsiniz.

Şekil 1 - Hiyerarşik yapının modeli.

Model ağdır - eğer bir ağ yapısıyla temsil ediliyorsa. Örneğin, yeni bir evin inşaatı, Şekil 2'de gösterilen bir ağ modeli biçiminde gösterilebilecek çeşitli işlemleri içerir.

Şekil 2 - Ağ yapısı modeli.

Bir model, işlevsel ilişkiler sistemi biçiminde temsil edilebiliyorsa işlevseldir. Örneğin Newton kanunu ve malların üretim modeli işlevseldir.

Nesne özelliklerini temsil etme yoluyla modeller analitik, sayısal, algoritmik ve simülasyon olarak ayrılmıştır.

Analitik matematiksel modeller, girdi parametrelerinin ve iç parametrelerin fonksiyonları olarak çıktı parametrelerinin açık matematiksel ifadeleridir ve herhangi bir durum için benzersiz çözümlere sahiptir. başlangıç ​​koşulları. Örneğin, etki eden kuvvetler açısından kesme (tornalama) işlemi analitik bir modeldir. Ayrıca bir veya daha fazla çözümü olan ikinci dereceden bir denklem analitik bir model olacaktır. Model, belirli başlangıç ​​koşulları altında (diferansiyel, integral denklemler) çözümlere sahipse sayısal olacaktır.

Bir model, işleyişini ve gelişimini belirleyen bir algoritma veya algoritmalar dizisi tarafından tanımlanıyorsa algoritmiktir. giriiş bu türden modeller (aslında herhangi bir modelin çalışması için bir algoritma ile temsil edilebileceği görülüyor) oldukça haklı çünkü tüm modeller algoritmik olarak incelenemiyor veya uygulanamıyor. Örneğin, sonsuz azalan sayı serisinin toplamını hesaplamaya yönelik bir model, bir hesaplama algoritması olabilir. nihai miktar belirli bir doğruluk derecesine kadar seriler. Bir X sayısının karekökü için algoritmik bir model, bilinen bir yinelenen formülü kullanarak yaklaşık, keyfi olarak doğru değerini hesaplamak için bir algoritma olabilir.

Bir simülasyon modeli, modelin bazı veya tüm parametrelerini değiştirerek bir nesnenin olası gelişim ve davranış yollarını test etmek veya incelemek amaçlanıyorsa, örneğin bir modeldir. ekonomik sistem iki tür malın üretimi. Böyle bir model, üretilen malların hacimlerinin belirli değerlerine bağlı olarak toplam maliyeti belirlemek ve değiştirmek amacıyla bir simülasyon modeli olarak kullanılabilir.

Makbuz yöntemine göre modeller teorik ve ampirik olarak ikiye ayrılır. Teorik matematiksel modeller, nesnelerin (süreçlerin) teorik düzeyde incelenmesi sonucunda oluşturulur. Örneğin kesme kuvvetleri için genellemeye dayalı olarak elde edilen ifadeler vardır. fiziksel yasalar. Ama bunlar kabul edilemez pratik kullanım, çünkü çok hantaldırlar ve gerçek süreçlere tam olarak uyarlanmamışlardır. Ampirik matematiksel modeller, deneylerin yapılması (bir nesnenin özelliklerinin dışsal belirtilerinin, giriş ve çıkıştaki parametrelerini ölçerek incelenmesi) ve sonuçlarının yöntemler kullanılarak işlenmesi sonucunda oluşturulur. matematiksel istatistik.

Nesne özelliklerinin temsil biçimine göre modeller mantıksal, küme-teorik ve grafik olarak ayrılmıştır. Bir model, yüklemler ve mantıksal işlevlerle temsil edilebiliyorsa mantıksaldır; örneğin, iki mantıksal işlev kümesi, bir bitlik toplayıcının matematiksel modeli olarak hizmet edebilir. Bir model, belirli kümeler ve onlara ve aralarındaki üyelik ilişkileri kullanılarak temsil edilebiliyorsa küme teoriktir. Bir grafik modeli, bir grafik veya grafikler ve bunlar arasındaki ilişkilerle temsil edilebiliyorsa.

Kararlılık derecesine göre. Modelleri kararlı ve kararsız olarak ikiye ayırabiliriz. Kararlı bir sistem, başlangıç ​​durumundan çıkarıldıktan sonra ona yönelen sistemdir. Harekete geçirilen sıradan bir sarkaç gibi bir süre başlangıç ​​noktası etrafında salınabilir, ancak başlangıçta hareketsiz olan kararsız bir sistemde, içindeki bozukluklar zamanla zayıflar ve kaybolur. karşılık gelen değişkenlerin değerleri veya artan genliğe sahip salınımları

Dış faktörlerle ilgili olarak modeller açık ve kapalı olarak ayrılabilir. Kapalı model, dış (dışsal) değişkenlerle bağlantısız olarak çalışan bir modeldir. Kapalı bir modelde, değişkenlerin değerlerinde zaman içinde meydana gelen değişiklikler, değişkenlerin kendi iç etkileşimleri tarafından belirlenir. Kapalı döngü modeli, bir sistemin davranışını harici bir değişken eklemeden ortaya çıkarabilir. Örnek: bilgi sistemleri geri bildirim kapalı sistemlerdir. Bunlar kendi kendini ayarlayan sistemlerdir ve özellikleri iç yapıdan ve girdiyi yansıtan etkileşimlerden türetilir. dış bilgi. Dış (dışsal) değişkenlerle ilişkili bir modele açık denir.

Zaman faktörüne bağlı olarak Modeller dinamik ve statik olmak üzere ikiye ayrılır. Tanımında yer alan parametreler arasında zaman parametresi yoksa model statik olarak adlandırılır. Bir model, parametreleri arasında bir zaman parametresi varsa, yani sistemi (sistemdeki süreçleri) zaman içinde gösteriyorsa dinamik model olarak adlandırılır. aynı anda.

Doğrusal programlama

Görevler arasında matematiksel programlama en basitleri (ve en iyi çalışılanları) sözde problemlerdir doğrusal programlama. Bunların özelliği şudur:

a) verimlilik göstergesi (amaç fonksiyonu) W doğrusal olarak x 1, x 2, ....., x n çözüm elemanlarına bağlıdır ve

b) çözümün elemanlarına uygulanan kısıtlamalar x 1, x 2, ..., x n'ye göre doğrusal eşitlikler veya eşitsizlikler şeklini alır

Bu tür problemlerle pratikte oldukça sık karşılaşılır, örneğin kaynakların dağıtımı, üretim planlaması, ulaşımın organizasyonu vb. ile ilgili problemlerin çözümünde. Bu doğaldır, çünkü birçok pratik problemde “giderler” ve “gelir” doğrusal olarak aşağıdakilere bağlıdır: satın alınan veya elden çıkarılan malların sayısı (örneğin, bir mal sevkiyatının toplam maliyeti, satın alınan birimlerin sayısına doğrusal olarak bağlıdır; nakliye ödemesi, taşınan malların ağırlığıyla orantılı olarak yapılır, vb.).

Herhangi bir doğrusal programlama problemi, şu şekilde formüle edilen “temel doğrusal programlama problemi” (OBLP) olarak adlandırılan standart bir forma indirgenebilir: x 1, x 2, .. değişkenlerinin negatif olmayan değerlerini bulun. ., x n eşitlik koşullarını (1) karşılayacaktır.

F'nin maksimuma değil c'ye çevrilmesi gerektiği durum. f'nin işaretini basitçe tersine değiştirirsek (f'yi değil, f" = - f'yi maksimuma çıkarırsak) minimum, kolayca bir öncekine indirgenebilir. Ayrıca, herhangi bir eşitsizlik koşulundan, maliyet pahasına eşitlik koşullarına geçilebilir. yeni ek değişkenlerin tanıtılması.

Amaç fonksiyonunun türüne ve kısıtlamalara bağlı olarak, çeşitli türde doğrusal programlama problemleri veya doğrusal modeller ayırt edilebilir: genel doğrusal problem, taşıma problemi, atama problemi.

Taşıma görevi(Monge-Kantorovich problemi), hareket maliyetini en aza indirirken homojen nesnelerin akümülatörden alıcılara en uygun dağılımını bulmaya yönelik özel tipte bir matematiksel doğrusal programlama problemidir. Anlaşılma kolaylığı açısından, malların çıkış noktalarından tüketim noktalarına minimum taşıma maliyetleriyle taşınması için en uygun planla ilgili bir problem olarak kabul edilmektedir.

Atama problemi şu şekilde formüle edilmiştir:

Belli sayıda eser ve belli sayıda icracı var. Herhangi bir icracı herhangi bir (ancak yalnızca bir) işi gerçekleştirmek üzere atanabilir, ancak bu, eşit olmayan maliyetlerle olur. İşin minimum maliyetle tamamlanması için işin dağıtılması gerekir. Eğer iş ve icracı sayısı çakışıyorsa probleme doğrusal atama problemi denir.

Doğrusal programlama problemini çözmenin çeşitli yolları vardır; özellikle grafiksel yöntem ve simpleks yöntemi. Grafiksel yöntem, doğrusal programlama probleminin geometrik yorumuna dayanır ve iki boyutlu uzaydaki problemleri çözmek için kullanılır. Üç boyutlu uzay sorunları çok nadiren çözülür çünkü çözümlerini oluşturmak zahmetlidir ve netlikten yoksundur. İki boyutlu bir problem örneğini kullanarak yöntemi ele alalım.

Eşitsizlikler sistemini (3) karşılayan bir X = (x 1,x 2) çözümü bulun

F = 2x 1 x 2 amaç fonksiyonunun değerinin maksimuma ulaştığı nokta.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi x 1 Ox 2'ye göre düzlemde bir bölge oluşturalım. kabul edilebilir çözümler görevler.

Oluşturulan düz çizgilerin her biri, düzlemi iki yarım düzleme böler. Bir yarım düzlemin noktalarının koordinatları orijinal eşitsizliği karşılar, ancak diğeri sağlamaz. İstenilen yarım düzlemi belirlemek için yarım düzlemlerden birine ait bir noktayı alıp koordinatlarının bu eşitsizliği karşılayıp karşılamadığını kontrol etmeniz gerekir. Alınan bir noktanın koordinatları bu eşitsizliği sağlıyorsa, istenilen yarım düzlem bu noktanın ait olduğu yarım düzlemdir. Aksi takdirde başka bir yarım düzlem.

x 1 -x 2 ≥-3 eşitsizliğiyle tanımlanan yarım düzlemi bulalım. Bunu yapmak için, bir (I) x 1 -x 2 =-3 düz çizgisi çizdikten sonra, elde edilen iki yarım düzlemden birine ait bir noktayı, örneğin O(0,0) noktasını alırız. Bu noktanın koordinatları x 1 -x 2 ≥-3 eşitsizliğini sağlar. Bu, O(0,0) noktasının ait olduğu yarım düzlemin x 1 -x 2 ≥-3 eşitsizliği tarafından belirlendiği anlamına gelir.

Şimdi 6x1+7x 2 ≤42 eşitsizliğiyle tanımlanan yarım düzlemi bulalım.

II. çizgiyi 6x 1 +7x 2 =42 olarak oluşturuyoruz. O(0,0) noktasının koordinatları 6x 1 + 7x 2 ≤42 eşitsizliğini sağlar, bu da gerekli yarım düzlemin ikinci olacağı anlamına gelir.

Şimdi 2 x 1 -3 x 2 ≤6 eşitsizliği için bir yarım düzlem arıyoruz. O(0,0) noktasının koordinatları 2 x 1 -3 x 2 ≤6 eşitsizliklerini karşılar. Sonuç olarak O(0,0) noktasının ait olduğu yarım düzlem 2 x 1 -3 x 2 ≤6 eşitsizliği ile belirlenir (Doğru III).

Ve x 1 + x 2 ≥4 eşitsizliğinin yarım düzlemi. O(0,0) noktasının koordinatları x 1 + x 2 ≥4 (Düz IV) eşitsizliğini sağlar. Dolayısıyla x 1 + x 2 =4 düz çizgisi birinci yarı düzlem tarafından belirlenir.

x 1 ≥0 ve x 2 ≥0 eşitsizlikleri, çözüm bölgesinin ordinat ekseninin sağında ve apsis ekseninin üzerinde yer alacağı anlamına gelir. Dolayısıyla Şekil 3'teki ABCD gölgeli bölgesi, problemin kısıtları tarafından belirlenen uygun çözümlerin bölgesi olacaktır. Amaç fonksiyonu, maksimum değer ABCD şeklinin köşelerinden birinde. Bu tepe noktasını belirlemek için, bir C (2; -1) vektörü ve bir 2x 1 -x 2 =p düz çizgisi oluştururuz; burada p, 2x 1 -x 2 =p düz çizgisinin aşağıdaki noktalarla ortak noktaları olacak şekilde bir sabittir. çözüm çokgeni. Örneğin p=1/2 koyalım ve 2 x 1 -x 2 =1/2 düz bir çizgi çizelim. Daha sonra oluşturulan çizgiyi çözüm poligonuyla son ortak noktasından geçene kadar vektör yönünde hareket ettireceğiz. Belirtilen noktanın koordinatları bu görev için en uygun planı belirler.

Şekil 3'te 2x 1 -x 2 =p doğrusunun çözüm çokgeniyle son ortak noktası A noktasıdır. Bu nokta II ve III düz çizgilerinin kesişimi olduğundan koordinatları sisteme çözüm olarak bulunur. Bu düz çizgileri tanımlayan denklemlerin listesi:

Bu durumda amaç fonksiyonunun değeri F = 2 x 1 -x 2 = 2* 5,25 – 1 *1,5 = 9.

B noktası X opt = (x 1 opt, x 2 opt) probleminin en uygun çözümü olacak ve koordinatları x 1 opt = 5.25, x 2 opt = 1.5'e eşit olacaktır.

Şekil 3 - Soruna uygun çözümlerin bölgesi

Simpleks - yöntem

Bu yöntem, bir doğrusal programlama problemine yönelik referans çözümlerin amaçlı olarak numaralandırılmasına yönelik bir yöntemdir. O izin verir son sayı ya en iyi çözümü bulma ya da en iyi çözümün olmadığını belirleme adımları.

1) En uygun referans çözümü bulmak için bir yöntem belirtin.

2) Amaç fonksiyonunun değerinin optimal değere daha yakın olacağı bir referans çözümden diğerine geçiş yöntemini belirtin; Referans çözümünü iyileştirmenin bir yolunu belirtin.

3) En uygun çözüme yönelik destek çözümleri aramayı derhal bırakmanıza veya en uygun çözümün olmadığı sonucuna varmanıza olanak tanıyan kriterleri belirleyin.

Simpleks yöntemini kullanarak bir sorunu çözmek için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1) Problemi kanonik forma getirin.

2) “Birim bazında” başlangıç ​​destek çözümünü bulun (destek çözümü yoksa kısıtlar sisteminin uyumsuzluğundan dolayı sorunun çözümü yoktur).

3) Referans çözüme dayalı olarak vektör ayrıştırmalarının tahminlerini hesaplayın ve simpleks yönteminin tablosunu doldurun.

4) Eğer optimal çözümün tekliği kriteri sağlanırsa problemin çözümü sona erer. Bir dizi optimal çözümün varlığı koşulu karşılanırsa, tüm optimal çözümler basit numaralandırmayla bulunur.

Matematiksel yöntemlerin hesaplama verimliliği genellikle iki parametre kullanılarak değerlendirilir:

1) Bir çözüm elde etmek için gereken yineleme sayısı;

2) Bilgisayar zaman tüketimi.

Sayısal deneyler sonucunda simpleks yöntemi için aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir:

1) Kısıtlı ve değişkenli standart formdaki doğrusal programlama problemlerini çözerken yineleme sayısı ile arasındadır. Ortalama yineleme sayısı. Yineleme sayısının üst sınırı şudur.

2) Gerekli makine süresi ile orantılıdır.

Kısıtlamaların sayısı, hesaplama verimliliği üzerinde değişkenlerin sayısından daha büyük bir etkiye sahiptir, bu nedenle doğrusal programlama problemlerini formüle ederken, değişkenlerin sayısı artırılsa bile kısıtlamaların sayısı azaltılmaya çalışılmalıdır.

Simülasyon yönteminin temel kavramları.

"Simülasyon modelleme" ("simülasyon modeli") terimi genellikle, zaman içinde gelişen bir sürecin bazı özelliklerinin değerlerinin, bu sürecin akışının matematiksel modelini kullanarak bilgisayarda yeniden üreterek hesaplanması anlamına gelir ve bu ya imkansızdır ya da son derece zordur. Diğer yöntemlerle istenen sonuçların elde edilmesi zordur. Bir sürecin akışının matematiksel bir model kullanılarak bilgisayarda yeniden üretilmesine genellikle simülasyon deneyi denir.

Simülasyon modelleri, tanımlanan sürecin özellikleri arasındaki ilişkiler sistemi olan modeller sınıfına aittir. Bu özellikler dahili (“endojen”, “faz değişkenleri”) ve harici (“eksojen”, “parametreler”) olarak ikiye ayrılır. Yaklaşık olarak iç özellikler- değerleri matematiksel modelleme araçları kullanılarak belirlenmesi amaçlananlar; dış - iç özelliklerin önemli ölçüde bağlı olduğu, ancak ters bağımlılığın (pratik olarak kabul edilebilir doğrulukla) oluşmadığı durumlar.

İç özelliklerin değerlerini tahmin edebilen bir model, ilişkilerinin bilinen dış özellikler göz önüne alındığında iç özellikleri hesaplamasına izin vermesi anlamında kapalı olmalıdır ("kapalı model"). Bir modelin dış özelliklerini belirleme prosedürüne tanımlama veya kalibrasyon denir. Tanımlanan sınıfın matematiksel modelleri (bunlar simülasyon modellerini içerir), birinin aşağıdakileri elde etmesine olanak sağlayan bir eşlemeyi tanımlar: bilinen değerler dış özellikler ve iç değerler. Aşağıda bu eşlemeye modelle ilişkili eşleme adı verilecektir.

Söz konusu sınıfın modelleri, dış özelliklerin iç özelliklerden bağımsız olduğu varsayımına dayanmaktadır ve modelin ilişkileri, onunla ilişkili haritalamayı kaydetmenin bir biçimidir. Şekil 4'te gösterildiği gibi simülasyon sürecinde araştırmacı dört ana unsurla ilgilenir:

Gerçek sistem;

Simüle edilen nesnenin mantıksal-matematiksel modeli;

Simülasyon (makine) modeli;

Simülasyonun gerçekleştirildiği bilgisayar, yönlendirilmiş bir hesaplamalı deneydir.

Araştırmacı gerçek bir sistemi inceler, gerçek bir sistemin mantıksal-matematiksel bir modelini geliştirir. Çalışmanın simülasyon doğası, incelenen süreci tanımlayan mantıksal veya mantıksal-matematiksel modellerin varlığını varsayar. Yukarıda, gerçek bir sistem, zaman içinde çalışan, etkileşimli öğeler kümesi olarak tanımlandı. Bileşik karakter karmaşık sistem modelinin temsilini üç küme biçiminde açıklar: A, S, T, burada
A, bir öğeler kümesidir (dahil) dış çevre);
S – elemanlar arasında kabul edilebilir bağlantıların seti (model yapısı);
T, dikkate alınan zaman noktalarının kümesidir.

Şekil 4 Simülasyon süreci

Simülasyon modellemenin bir özelliği, simülasyon modelinin simüle edilen nesneleri yeniden üretmenize izin vermesidir:

Mantıksal yapılarını korurken;

Davranışsal özelliklerin korunmasıyla (sistemde meydana gelen olayların zaman içindeki değişim sırası), yani. etkileşim dinamikleri.

Simülasyon modellemede, simüle edilen sistemin yapısı modelde yeterince gösterilir ve işleyiş süreçleri oluşturulan model üzerinde canlandırılır (simüle edilir). Bu nedenle bir simülasyon modelinin oluşturulması, modellenen nesnenin veya sistemin yapısının ve işleyiş süreçlerinin tanımlanmasından oluşur.

Simülasyon modelleri var:

Sürekli;

Ayrık;

Sürekli-ayrık.

Sürekli simülasyon modellerinde değişkenler sürekli olarak değişir, simüle edilen sistemin durumu zamanın sürekli bir fonksiyonu olarak değişir ve kural olarak bu değişiklik diferansiyel denklem sistemleriyle tanımlanır. Buna göre model zamanının ilerlemesi diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan sayısal yöntemlere bağlıdır. Ayrık simülasyon modellerinde, değişkenler simülasyon zamanının belirli anlarında (olayların meydana gelmesi) ayrı ayrı değişir.

Dinamik ayrık modeller Bir sonraki olayın meydana geldiği andan bir sonraki olayın meydana geldiği ana kadar olan geçiş sürecini temsil eder. Gerçek sistemlerde sürekli ve ayrık süreçler çoğu zaman birbirinden ayrılamadığından, bu iki sürecin karakteristik zaman ilerleme mekanizmalarını birleştiren sürekli-ayrık modeller geliştirilmiştir.

Simülasyon yöntemi sorunları çözmenizi sağlar yüksek karmaşıklık, karmaşık ve çeşitli süreçlerin çok sayıda elemanla simülasyonunu sağlar. Bu tür modellerdeki bireysel işlevsel bağımlılıklar, hantal matematiksel ilişkilerle açıklanabilir. Bu nedenle simülasyon modelleme, sistemlerin incelenmesi problemlerinde etkin bir şekilde kullanılmaktadır. karmaşık yapı Belirli sorunları çözmek için. Simülasyon modeli sürekli ve ayrık eylem öğeleri içerir, bu nedenle analiz gerektiğinde dinamik sistemleri incelemek için kullanılır darboğazlar Belirli bir süre boyunca bir simülasyon modelinde bir sürecin ilerleyişinin gözlemlenmesi istendiğinde, işleyiş dinamiklerinin incelenmesi.

Simülasyon modelleme, incelenen sistemin karmaşık nitelikteki çok sayıda rastgele faktörden etkilenebildiği stokastik sistemlerin incelenmesi için etkili bir araçtır. Belirsizlik koşullarında, eksik ve hatalı verilerle araştırma yapmak mümkündür. Simülasyon modelleme karar destek sistemlerinde önemli bir faktördür çünkü... keşfetmenizi sağlar büyük sayı alternatifler (çözüm seçenekleri), herhangi bir giriş verisi için çeşitli senaryoları oynatır.

Simülasyon modellemenin temel avantajı araştırmacının yeni stratejileri test edebilmesi ve çalışırken kararlar alabilmesidir. olası durumlar, “Ne olur?” sorusuna her zaman cevap alabiliyor. Simülasyon modeli, tasarlanmakta olan sistem söz konusu olduğunda veya geliştirme süreçleri üzerinde çalışılırken (yani gerçek sistemin henüz mevcut olmadığı durumlarda) tahmin yapılmasını mümkün kılar. Simülasyon modeli çeşitli bilgiler sağlayabilir yüksek seviye simüle edilen süreçlerin ayrıntıları. Bu durumda model, evrimsel olarak adım adım oluşturulur.

REFERANSLAR

1. Blinov, Yu.F. Matematiksel modelleme yöntemleri [Metin]: Elektronik eğitim kılavuzu/ Yu.F. Blinov, V.V. Ivantsov, P.V. Sırpça – Taganrog: TTI SFU, 2012. – 42 s.

2. Ventzel, E.S. Yöneylem Araştırması. Amaçlar, ilkeler, metodoloji. [Metin]: Ders Kitabı / E.S. Ventzel - M.: KNORUS, 2010. - 192 s.

3. Getmanchuk, A.V. Ekonomi matematiksel yöntemler ve modeller [Metin]: Lisans öğrencileri için ders kitabı. / A.V. Getmanchuk - M.: Yayıncılık ve ticaret şirketi "Dashkov and Co", 2013. -188 s.

4.Zamyatina, O.M. Sistem modelleme. [Metin]: Eğitim kılavuzu. / Ö.M. Zamyatin - Tomsk: TPU Yayınevi, 2009. - 204 s.

5. Pavlovsky, Yu.N. Simülasyon modelleme. [Metin]: üniversite öğrencileri için ders kitabı / Yu.N. Pavlovsky, N.V. Belotelov, Yu.I. Brodsky - M .: Yayın Merkezi "Akademi", 2008. - 236 s.

Yalta eğitim kompleksi “Okul-Lise No. 9”

İK Direktör YardımcısıRomanova A.N.

“Matematik derslerinde modelleme ilkokul»

Uygulamalı seminer

Matematik okulda öğretilmeli

Ayrıca hedefinizi öyle belirleyin ki bilgi

buraya kim gelecek

sıradan için yeterli

hayattaki ihtiyaçlar.

M. Lobaçevski

Rapor planı

Matematik eğitiminde yeni yönergeler.

Modellemenin metodolojik temelleri. Matematiksel model.

İlköğretim matematik derslerinde modelleme yönteminin kullanılması.

Öğrencilere matematiksel modelleme tekniklerini tanıtmak.

Denklem çözümünde modellemenin uygulanması.

Sözlü problemleri çözerken modelleme.

Numaralandırma, sayıları toplama ve çıkarma ve uzunluk birimleri üzerinde çalışmak için modellemeyi kullanma.

Matematik eğitiminde yeni yönergeler. (5 dakika)

Modellerin matematiğin dili, modellemenin ise konuşması olduğu iyi bilinmektedir. Matematikte ustalaşmanın başarısı, her şeyden önce çocuğun kendi dilini ne kadar iyi "konuşmayı" öğrendiğiyle belirlenir. Bu yalnızca öğrencinin bilimsel ve bilişsel görevleri çözmedeki akademik başarısıyla değil, aynı zamanda büyük ölçüde belirlenir. hayatta başarı kişilikler - teşekkürleruygulama yeteneği pratik çözüm için matematiksel yöntemler, gerçek görevler buna ihtiyaç duyanlar. Katılıyorum, bu aynı zamanda okulda matematik öğrenmenin de iyi bir sonucudur.

Öğrencilerimize matematik dilini öğretiyor muyuz? Ya da belki biz öyle düşünüyoruz zor görev ilkokul için mi? Yoksa günlük örnek ve problem çözme sürecinde çocukların yavaş yavaş bunu kullanmayı öğreneceklerini mi umuyoruz?

Kiev'deki okullardaki izleme verilerine ve tüm Ukrayna'daki izleme verilerine göre, öğrencilerin çoğunluğunun (sırasıyla %60 ve %53) hazır grafik modellerle nasıl çalışılacağını, yaratıcı görevleri nasıl gerçekleştireceklerini, veya edinilen bilgiyi yeni durumlarda sorunları çözmek için uygulayın.

Matematik eğitiminin bu durumu önemli bir revizyon ihtiyacını doğurmuştur. eyalet gereksinimleri okul çocuklarına matematik öğretirken. Bu yıl yürürlüğe giren “Egemenlik Standardı…”nın yeni baskısı. Kişilik odaklı ve yeterliliğe dayalı bir yaklaşım açısından bakıldığında, aslında öğretmenin faaliyetlerini yeniden yönlendirir.Yeterlilik – belirli bir konu alanında etkin faaliyet için gerekli bilgi ve deneyimin varlığı . Hadi karşılaştıralım . henüzakım Devlet standardı şöyle diyor: “İlkokulda matematik okumak, öğrencilerin matematik ve diğer konularda daha ileri çalışmalar için gerekli bilgi, beceri ve yetenekleri kazanmalarını sağlar... Matematik çalışmak gelişime katkıda bulunur bilişsel yetenekler genç okul çocukları - hafıza, mantıksal ve yaratıcı düşünme, hayal gücü, matematiksel konuşma."Devlet standardının yeni baskısında “Matematik” eğitim alanındaki amaç zaten “matematik konusunun oluşturulması ve temel yeterlilikler Hızla değişen dünyada öğrencilerin kendilerini gerçekleştirmeleri için gerekli.” Konu matematiksel yeterliliği “ kişisel eğitimöğrencinin çevredeki dünyadaki süreçlerin matematiksel modellerini oluşturma, eğitimsel, bilişsel ve uygulamaya yönelik problemleri çözerken matematiksel aktivite deneyimini uygulama yeteneğini karakterize eden.

Bu nedenle, matematiksel konuşmada ustalaşmak - matematiksel modeller oluşturma yeteneği - öğrencilerde "matematiksel terminoloji, sembolik ve grafiksel bilgileri kullanma yeteneği" oluşumuyla gerçekleştirilen matematik öğretmenin temel hedefi haline gelir.

D.B.'nin gelişimsel eğitim sistemi tarafından biriktirilen öğrencilere modellemeyi öğretme konusundaki olumlu deneyim (ve sadece matematik derslerinde değil). Elkonina - V.V. Davydov, öğrencilerin tam teşekküllü eğitim faaliyetlerini geliştirmeyi amaçladı; bunlardan biri modellemedir.

Öğrencilerde modelleme yeteneğinin oluşturulması, gelişimsel eğitimin hedeflerinden biridir ve çocukların oluşturup kullandığı modeller, her şeyden önce öğrenme becerilerini geliştirmenin yollarından biridir (sadece bir netlik yöntemi değil).

Bugünkü seminerimizin amacı modelleme konularını anlamak, ilkokul çocuklarına denklem ve problem çözmeyi öğretmek için modellerin nasıl kullanılabileceğini göstermek, matematiksel özellikler sayıları toplama ve çıkarma teknikleri.

2. Modellemenin metodolojik temelleri. (8 dakika)

Modelleme gerçeği anlamanın araçlarından biridir. Model, herhangi bir nesneyi (olguları, süreçleri) incelemek, çeşitli sorunları çözmek ve yeni bilgiler elde etmek için kullanılır. Sonuç olarak, bir model, kullanımı başka bir nesne (orijinal) hakkında bilgi elde etmeye yarayan belirli bir nesnedir (sistem).

Modellemenin kullanımı iki açıdan ele alınır:

Öncelikle modelleme, sonuç olarak çocukların öğrenmesi gereken içerik olarak hizmet vermektedir. pedagojik süreç;

ikincisi, modelleme, tam teşekküllü öğrenmenin imkansız olduğu eğitimsel eylem ve araçtır.

Modellerin görünürlüğü aşağıdaki önemli kalıba dayanmaktadır: bir modelin oluşturulması, zihinsel bir modelin ön oluşturulması temelinde gerçekleştirilir - modellenen nesnelerin görsel görüntüleri, yani konu, zihinsel bir imaj yaratır. bu nesneyi alır ve ardından (çocuklarla birlikte) maddi veya figüratif bir model (görsel) oluşturur. Zihinsel modeller yetişkinler tarafından oluşturulur ve bazı pratik eylemler (çocukların da katılabileceği) yardımıyla görsel modellere dönüştürülebilir; çocuklar da önceden oluşturulmuş görsel modellerle çalışabilirler.

Çocuklarla çalışırken nesnelerin yerine kullanabilirsiniz: semboller ve işaretler, düzlemsel modeller (planlar, haritalar, çizimler, çizelgeler, grafikler), üç boyutlu modeller, düzenler.

Modelleme yöntemini kullanmak karmaşıklığın çözülmesine çok yardımcı olur önemli görevler:

çocukların üretken yaratıcılığının geliştirilmesi;

daha yüksek formların geliştirilmesi yaratıcı düşünme;

önceden edinilen bilgilerin pratik problemlerin çözümünde uygulanması;

çocukların daha önce edindiği matematiksel bilgilerin pekiştirilmesi;

ticari işbirliği için koşullar yaratmak;

çocukların matematik kelime dağarcığının etkinleştirilmesi;

gelişim ince motor becerileri eller;

çalışma sürecinde yeni fikir ve beceriler edinmek;

Çocukların maketler yardımıyla orijinallerin çalışma prensiplerini ve yapısını en derin şekilde anlamaları.

Bir model bize sadece modellenen nesnenin görsel bir görüntüsünü yaratma fırsatını vermekle kalmaz, aynı zamanda onun modele yansıyan en temel özelliklerinin bir görüntüsünü oluşturmamıza da olanak tanır. Model geliştirilirken diğer tüm önemsiz özellikler atılır. Böylece modellenen nesnenin genelleştirilmiş bir görsel imajını yaratıyoruz.

Modellemenin bilimsel temeli, ana kavramın analoji kavramı olduğu, nesnelerin niteliksel ve niceliksel özelliklerine göre benzerliği olduğu analoji teorisidir. Tüm bu türler genelleştirilmiş bir benzetme - soyutlama kavramıyla birleştirilir. Analoji, karşılaştırılan nesneler arasında, model ile orijinal arasındaki özel bir tür uyumu ifade eder.

Modelleme çok işlevlidir, yani araştırma veya dönüşümün farklı düzeylerinde (aşamalarında) farklı amaçlar için çeşitli şekillerde kullanılır. Bu bağlamda, asırlardır süren model kullanma pratiği, çok sayıda form ve model türünün ortaya çıkmasına neden olmuştur.

L.M. Friedman'ın önerdiği sınıflandırmayı ele alalım. Açıklık derecesi açısından tüm modelleri iki sınıfa ayırır:

adım 1. 1-2

· malzeme (gerçek, gerçek);

· mükemmel.

Malzemeye Modeller, herhangi bir maddi nesneden yapılmış olanları içerir.

2. Adım

Malzeme modelleri ise şu şekilde ayrılabilir:statik (sabit) vedinamik (akım).

3. Adım

Bir sonraki dinamik model türü:analog ve simülasyon Bunu veya bu fenomeni bir başkasının yardımıyla yeniden üreten, bir anlamda daha uygun. Örneğin, böyle bir model - yapay bir böbrek - doğal (canlı) bir böbrekle aynı şekilde çalışır, toksinleri ve diğer metabolik ürünleri vücuttan uzaklaştırır, ancak elbette canlı bir böbrekten tamamen farklı bir şekilde tasarlanmıştır.

İdeal Modeller genellikle üç türe ayrılır:

4. Adım

· mecazi (ikonik);

· ikonik (işaret-sembolik);

· zihinsel (zihinsel).

Modeller aşağıdakilere göre sınıflandırılabilir: çeşitli işaretler:

1) modellerin doğası gereği (yani modelleme araçları tarafından);

2) modellenen nesnelerin doğası gereği;

3) modellemenin uygulama alanına göre (teknolojide modelleme, fizik bilimleri, kimya, yaşam süreçlerinin modellenmesi, ruhun modellenmesi vb.)

4) modellemenin seviyelerine (“derinliğine”) göre.

En ünlüsümodellerin niteliğine göre sınıflandırma .

Adım 5.

Buna göre aşağıdakiler ayırt edilir:modelleme türleri :

Adım 6.

1. Konu modelleme Modelin bir nesnenin geometrik, fiziksel, dinamik veya işlevsel özelliklerini yeniden ürettiği. Örneğin bir köprü modeli, bir baraj modeli, bir uçak kanadı modeli vb.

Adım 7

2. Analog Modelleme Modelin ve orijinalin tek bir matematiksel ilişkiyle tanımlandığı. Bir örnek, mekanik, hidrodinamik ve akustik olayları incelemek için kullanılan elektrik modelleridir.

Adım 8

3. İkonik modelleme modellerin bulunduğu ikonik oluşumlar her türlü: diyagramlar, grafikler, çizimler, formüller, grafikler, kelimeler ve cümleler.

9. Adım

4. İkonik olanla yakından ilişkilizihinsel simülasyon Modellerin zihinsel olarak görsel bir karakter kazandığı.

Adım 10

5. Simüle edilmiş deney – nesnenin kendisinin değil modelinin kullanıldığı özel bir modelleme türü.

Modellemenin temel amacı, bir konudaki çalışma için en yaygın ilişkileri vurgulamak ve kaydetmektir.

Modelleme yöntemi karmaşık ve bütünleştirici bir eğitimdir. N.G.'nin didaktik yöntemlerin sınıflandırmasına göre. Kazansky ve T.S. Nazarova, modelleme yöntemi üç bileşenli bir yapıya sahiptir

Adım 11(şemaya bakın). Böylece modelleme yönteminin yapısındadış taraf - Bu, öğretmen ve öğrenciler arasındaki özel bir etkileşim şeklidir.İç taraf – bu bir dizi genel eğitim tekniğidir (analiz, sentez, genelleme vb.) ve eğitim çalışması yöntemleridir.Teknolojik yön – bu, bu yöntemin bir dizi spesifik tekniğidir (ön analiz, bir model oluşturmak, onunla çalışmak, modelden bilgiyi istenen nesneye - orijinale aktarmak).

Dış taraf

İç taraf

Teknolojik yön

Şekiller:

sunum

konuşma

bağımsız çalışma

Psikolojik öz:

eğitimsel çalışmanın dogmatik yolu;

eğitimsel çalışmanın sezgisel yolu

eğitim çalışmalarının araştırma yöntemi

Mantıksal varlık:

analitik;

sentetik;

endüktif;

tümdengelimli;

analitik-sentetik

Model oluşturma teknikleri;

model dönüştürme teknikleri;

modeli belirleme yöntemleri

Matematiksel model. Matematiksel modelleme.

Matematiksel model, bir fenomen sınıfının yaklaşık bir açıklamasıdır. dış dünya matematiksel sembolizmin kullanılması. Örneğin A, B, C elemanları arasındaki ilişki A+B=C formülüyle ifade edilir - bir matematiksel model.

Matematiksel modelleme süreci, yani. Matematiksel modelleri kullanarak olayları incelemek dört aşamaya ayrılabilir.

Adım 12

İlk aşama – izolasyon temel özellikler nesne.

13.

İkinci aşama – bir model oluşturmak.

14 .

Üçüncü aşama – modelin incelenmesi.

15 .

Dördüncü aşama - modellerden elde edilen bilgilerin incelenen nesneye aktarılması.

Modellemenin özelliği, görünürlüğün doğal nesnelerin basit bir gösterimi olmaması, bağımsızlığı teşvik etmesidir. pratik aktivitelerçocuklar. Öğrencilerin modelle çalışma yeteneği, modelin çalışma için dönüştürülmesi genel özellikler Kavramların öğretilmesi tüm konu alanlarında öğrenmenin temel hedeflerinden birini oluşturur.

Modelleme için çeşitli modeller kullanılırmatematiksel nesneler: sayısal formüller, sayısal tablolar, harf formülleri, fonksiyonlar, cebirsel denklemler, seriler, geometrik şekiller, çeşitli grafik diyagramları, Euler-Venn diyagramları, grafikler.

3. İlköğretim matematik derslerinde modelleme yönteminin kullanılması. (1,5 dakika)

Küçük okul çocuklarının, öğrenme sürecinde bir biliş yöntemi olarak modelleme yöntemine hakim olma ihtiyacı, farklı konumlardan haklı gösterilebilir.

Adım 16

İlk önce Bu, diyalektik-materyalist bir dünya görüşünün oluşumuna katkıda bulunur.

17.

ikinci olarak Deneylerin gösterdiği gibi, model ve simülasyon kavramlarının öğrenme içeriğine dahil edilmesi, öğrencilerin eğitim konusuna karşı tutumlarını önemli ölçüde değiştirir, eğitim faaliyetlerini daha anlamlı ve daha verimli hale getirir.

18.

Üçüncüsü Modelleme yönteminde hedeflenen ve sistematik eğitim, genç okul çocuklarını yöntemlere yaklaştırır bilimsel bilgi, entelektüel gelişimlerini sağlar. Öğrencileri bir biliş yolu olarak modellemeyle "donatmak" için, bir öğretmenin onlara sadece farklı bilimsel modeller göstermesi ve bireysel fenomenleri modelleme sürecini göstermesi yeterli değildir. Okul çocuklarının modelleri kendilerinin oluşturması, herhangi bir nesneyi veya fenomeni modellemeyi kullanarak kendilerinin incelemesi gerekir. Pratik bir matematik (konu) problemini çözen öğrenciler, bunun bazılarının sembolik bir modeli olduğunu anladıklarında gerçek durum, çeşitli modellerin bir dizisini oluşturun, ardından bu modelleri inceleyin (çözün) ve son olarak ortaya çıkan çözümü orijinal problemin diline çevirin, ardından okul çocukları böylece modelleme yönteminde ustalaşır.

Öğrencilere matematiksel modelleme tekniklerini tanıtmak. (10 dakika)

Ünlü psikolog P. Halperin ve meslektaşları, zihinsel eylemlerin adım adım oluşumuna ilişkin bir teori geliştirdiler. Bu teoriye göre öğrenme süreci, çocuğun dış pratik aktiviteye yanıt olarak içselleştirme (içe geçiş) sürecinde ortaya çıkan zihinsel eylemler sistemine hakim olması olarak kabul edilir.

Çocuk nesnelerle (önce gerçek olanlarla, sonra hayali olanlarla) - nesnel eylemlerle pratik eylemler gerçekleştirir. Onlardan, önce kopya çizimine, sonra da konu modelleri, grafik modellere geçiyoruz. Miktarları belirtmek için matematiksel sembolleri ve harfleri tanıttıktan sonra öğrenci, eylemleri tanımlamak için formüller kullanır; sembol-harf modelleri ve ardından sözel modeller (tanımlar, kurallar).

Örneğin çocuklara aynı hacimde (şekilleri farklı) iki kap bulmalarını gerektiren özel bir pratik görev verilir.Fotoğraf adımı 19

Bundan sonra çocuklar (öğretmen değil) pratik eylemler gerçekleştirir: bir kavanoza su dökün, diğerine dökün. Birinci kavanozdaki suyun tamamı başka bir kavanoza girerse bu kavanozların hacimleri eşittir. Çocukları hacimler ve şekiller arasındaki ilişkileri (aynı veya farklı olsun) aktarabilecekleri bu iki şeridi almaya davet etmeniz önerilir. Kutuların hacimleri aynıysa, çocuklar aynı uzunlukta, farklıysa uzunlukları farklı iki şeridi kaldırmalıdır.Fotoğraf

adım 20

Çocukları grafik modeli kullanmaya yönlendirmek için yine belirli bir pratik görev belirlemeniz gerekir: bir çizim kullanarak bir kutunun hacminin diğerinden daha büyük olduğunu gösterin. Deneyimler, çocukların teneke kutuların şeklini çizmeye başladığını göstermektedir; kutuların hacimlerinin oranını gösterecekleri bir kopya çizimi yapın veya çizgiler çizin.

Çizimleri tartıştıktan sonra şu sonuca varıyoruz: teneke kutu çizmek başarısız bir yoldur (yanlış çizimler, teneke kutu hacimlerinin oranı gösterilmemiştir, iş çok zaman alır). Ancak çocukların şeritleri de genişlik ve uzunluk bakımından farklıdır ve bu da çok zaman alır.

Sonuç olarak, şeridin genişliğini hiç çizmemenin, yalnızca şeridin uzunluğunu (yani bölümleri) çizmenin daha uygun olduğu sonucuna vardık. Büyüklükler (uzunluk, alan, kütle, hacim vb.) aynıysa, parçaları aynı uzunluktadır, eşit değilse uzunlukları farklı olmalıdır.Not defterindeki fotoğraf. adım 21.

Bu şekilde miktarların görüntüsü segmentler kullanılarak tanıtılır. Çocuklar, nicelikleri şematik olarak belirlemeyi ve ardından grafiksel (doğrusal) modeller oluşturmayı öğrenirler.

Ayrıca 1. sınıfta “bütün” ve “parça” kavramlarının tanıtılması ve öğrencilerin bu kavramlar arasında ilişki kurma becerilerinin geliştirilmesi de önerilebilir. Örneğin bir elmanın ayrı parçalardan oluştuğunu matematik dilinde nasıl yazabiliriz? Elma bütün ise onu bir daire ile, elma yığınlarını ise üçgenlerle gösteririz ve aşağıdaki grafik modeli elde ederiz.

Adım 22Slayt 7

+ + + =

Basitleştirelim ve elde edelim temel model:

adım 23. + =

Bütün ve parçalar göreceli kavramlar. Bu ilişkinin ana özellikleri (kümede) doğal sayılar): Bütün parçadan küçük olamaz ve parça bütünden büyük olamaz; Bütün, parçaların toplamına, parça ise bütün ile diğer parça arasındaki farka eşittir.

Adım 24 = -

Sayıların kompozisyonunu tasvir etmek için geleneksel olarak kullanılan ışınları herkes iyi bilir.Adım 25Slayt 8

Böylece parçalar ve bütün arasındaki ilişki bir işaret grafiği gösterimi kullanılarak gösterilebilir:

İLEadım 26

bir |____________|______________|

B A B

Toplama eylemini açıklayan şema aynı zamanda ters eylem olan çıkarma işlemini de açıklamaktadır:

Adım 27slayt 9

Parça ve bütün kavramları, toplama miktarlarının değişmeli ve ilişkisel özelliklerinin tanıtılmasını mümkün kılar.Slayt 10, 11 (2 adım), 12

Adım 28, 29, 30

Toplama ve çıkarma işlemlerini öğrenmede olduğu gibi simülasyonlar da çarpma ve bölme işlemlerini öğrenmek için kullanılabilir.

Geleneksel olarak çarpma, aynı terimlerin eklenmesi olarak görülür. A değeri B kere eklensin:slayt 13.

adım 31.A+A+A+A+A = AxB

A x B formülü şu şekilde okunur: “A'dan B çarpı alın” veya “A'dan B çarpı alın”,

Adım 32burada A, bir üçgenle gösterilen kısımdır (ölçümdür).

B – eşit parçaların sayısı (ölçüm sayısı), bir kareyle gösterebiliriz.

Bütünü belirtmek için aynı simgeyi kullanıyoruz - bir daire.

Bütün, sonuç olarak karakterize edilir aritmetik işlem A ve B sayılarını çarpmak.

X = A x B = C Bu eylemi açıklayan şema:

|____|_A___|______________|

Bölmeyi, içeriğe göre veya eşit parçalara bölmeyi amaçlayan nesnel bir eylem olarak ele aldığımızda, çarpma ile bölme arasında bir bağlantı kurmanın mümkün olacağı açıktır. Şimdi çarpma formülüne ek olarakAdım 33Ax B = C, bölmenin iki tersini elde ederizadım 34.C: A = B veadım 35. C: B = A (geometrik şekillerle). Bu, çarpma devresinin bir bölme devresi olduğu anlamına gelir.

Denklem çözümünde modellemenin uygulanması. (10 dakika)

Denklem çözme yöntemini doğru seçebilmek için bütün ile parça arasındaki ilişkiyi bulabilmek gerekir. Bu kavram oluştuğunda çocuklar bütünü parçayla, parçayı da bütünle ifade etme becerisini kazanırlar. Parça ve bütün kavramına dayalı olarak niceliklerin toplama ve çıkarma işlemleri arasında bağlantı kurmak, bütünü toplam ve eksiyle, parçaları da eklenen veya çıkarılanla ve farkla karşılaştırmayı ve şunu görmeyi mümkün kılar: farklı eylemler: A+B=C, C-A=B veya C-B=A – miktarlar arasındaki aynı ilişkileri karakterize eder.

Denklemleri çözerken bilinmeyeni bulmak, yalnızca kurallara değil, aynı zamanda parçalar ve bütün arasındaki ilişkilerin grafiksel bir model biçiminde sunulmasına da yardımcı olur.Slayt 14 adım 36.

Denklemlerin nasıl çözüleceğini öğretme algoritması aşağıdaki gibidir:

Denklemin bir diyagramını çizelim. X +5 = 12adım 37.

Bütünü ve parçaları önce şemada sonra denklemde buluyoruz (altını çiziyoruz)

Bilinmeyen bileşeni adlandırıyoruz. Ne olduğunu bulalım: bir bütün veya bir parça.

Bilinmeyen miktarı nasıl bulacağımızı analiz ediyoruz.

BuluyoruzX. adım 38, 39

Oluşturulan devre çıkarma denklemlerini çözmek için kullanılabilir. 12 – x = 5, çünkü toplama işlemini açıklayan devre aynı zamanda bir çıkarma devresidir. Defterdeki fotoğraf örnekleri

Slaytlar 15,16 (+1 adım ), 17, 18.

Adım, 40, 41, 41-a, 42,43

Görev, bu denklemleri diyagramlara bölerek bir ifade oluşturmaktır.

slayt 19 adım 44, 45. 44-a, 45-b

Bulmak için denklemleri çözerken modelleme benzer şekilde kullanılır. bilinmeyen çarpan, bölen ve temettü.

Slayt 20( 8 adım ) adım 46.

Çarpma ve bölme arasındaki bağlantıyı kurarken, alan kavramını, dikdörtgenin alanını bulma formülünü ve bilinmeyen tarafı bulma formülünü tanıtmanız önerilir.Slayt 21 (1 adım)

Örnek denklem. Slayt 22 ( 4 adım)

Denklemi çözmek için algoritmaSlayt 23 .

Çarpma şeması bir bölme şeması olduğundan, bir denklemden iki bölme denklemi oluşturulabilir. Alan bir bütün olup, kenarların uzunluğu ve genişliği parçalardan oluşmaktadır.

Ayrıca modelleme, çeşitlendirmeyi mümkün kılar yaratıcı çalışma denklemler üzerinde. Dolayısıyla öğretmen aşağıdaki görev türlerini sunabilir:

Slayt 24

Diyagramı kullanarak bir denklem oluşturun ve çözün.Adım 48

Slayt 25 ( misafirlerle birlikte karar verin )

(birkaç denklem ve bir diyagram verilmiştir) Bu diyagram hangi denkleme uyacak? Bul ve karar ver.Adım 49

Slayt 26, 27. 28, 29.

Denklemleri zihinsel olarak sayarak çözün. Adım 50, 51, 52,53

Slayt 30 (10 adım), 31

Denklem diyagramına göre problemin koşullarının çizilmesi.

Yeni sunum. (Seminer 2)

Sözlü problemleri çözerken modelleme (18 dakika)

Slayt 1

Modern eğitimin öğrencinin gerçeğe bakma yeteneği olduğu görüşüne katılmamak mümkün değildir, yaşam durumu fizikçi, kimyager, tarihçi, coğrafyacı konumundan, bu alanda araştırmacı olmak için değil, daha sonra belirli yaşam durumlarına bir çözüm bulmak için.

Küçük bir öğrenci, küçük okul çocuklarına matematik öğretirken sözlü problemleri çözerek gerçek bir araştırmacı olabilir.

Bir Bu yaklaşımlardan biri, öğrencilerde belirli türdeki problemleri çözme yeteneğini geliştirmektir (örneğin, pratik yaparken fark karşılaştırma problemlerini çözme vb.). belirli tip görevler).Bir diğer problem veriden hedefe (sentetik yöntem) ve hedeften veriye (analitik) doğru analiz edildiğinde metin problemlerinin semantik ve matematiksel analizinin kullanılmasına dayanır.Üçüncü yaklaşım çözüm yöntemine dayalı eğitim görevleri. Modelleme eyleminin oluşumu, sözlü problemleri çözme yeteneğinin niteliksel olarak farklı bir oluşumunu gerektirir.

Aritmetik ve cebirsel problemler literatürde bunlara olay örgüsü de denir, çünkü her zaman bir olayın, olgunun, eylemin, sürecin sözlü bir tanımını içerirler. Herhangi bir olay örgüsü probleminin metni farklı bir şekilde (konu bazında, grafiksel olarak, tablolar, formüller vb. kullanılarak) yeniden oluşturulabilir ve bu, sözel modellemeden diğer modelleme biçimlerine geçiştir. Bu nedenle problemler üzerinde çalışırken şematik ve sembolik modellerin oluşturulmasının yanı sıra bölümlerle çalışma, bir metin problemini onların yardımıyla grafiksel olarak modelleme, soru sorma, çözme ve bulma için bir algoritma belirleme becerisine büyük önem veriyoruz. bir cevap. Bilindiği gibi genç okul çocuğu yeterli seviyeye sahip değil soyut düşünme. Ve bizim görevimiz tam olarak ona belirli nesneleri sembolik bir model biçiminde temsil etmeyi aşamalı olarak öğretmek, bir metin problemini matematik diline çevirmeyi öğrenmesine yardımcı olmaktır. En önemlisi, bir metin probleminin grafiksel modellemesi olduğuna inanıyoruz. gerçek fırsatçözmek için algoritmayı açıkça görün ve belirleyin ve tamamlanan görev üzerinde bağımsız yansıma gerçekleştirin.

Ancak her kayıt bir görev modeli olmayacaktır. Bir model oluşturmak ve onu daha da dönüştürmek için problemde seçim yapmak gerekir.amaç, verilen miktarlar, tüm ilişkiler, böylece bu modele dayanarak analize devam etmek mümkün olur, bu da çözümde ilerlememize ve en uygun çözümleri aramamıza olanak tanır. Aritmetik yöntemi kullanarak herhangi bir problemi çözmek, aritmetik işlemin seçimiyle ilişkilidir ve bunun sonucunda sorulan soruya cevap verilebilir. Matematiksel model arayışını kolaylaştırmak için yardımcı bir modelin kullanılması gerekmektedir.Slayt 2 (1.sınıfta bileşenlere aşinalık).

Görev koşullarında durumu yeniden oluşturmak için, problemin metninden belirli bir aritmetik işlemin sayılar üzerindeki korelasyonuna geçişi sağlayacak, bilinçli ve güçlü bir asimilasyonun oluşmasına katkıda bulunacak şematik bir çizim kullanabilirsiniz. görev üzerinde çalışmanın genel yöntemi. Bu model öğrencinin problemin sorusunun cevabını nasıl aldığını açıklama yeteneğini geliştirmesini sağlar. Ancak şematik bir model ancak her öğrenci için anlaşılırsa ve sözel bir modeli diyagram diline çevirme yeteneği geliştirilmişse etkilidir. Basit toplama ve çıkarma problemlerini çözmeyi öğrenirken şu kavramlar tanıtılır: bütün, parça ve bunların ilişkileri.Slayt 3. (2 adım)

Bir parçayı bulmak için bütünden başka bir parçayı çıkarmanız gerekir.

Bütünü bulmak için parçaları eklemeniz gerekir.

Basit çarpma ve bölme problemlerini çözmeyi öğrenirken bir diyagram ve buna karşılık gelen kurallar önerilmektedir:

Bütünü bulmak için ölçüyü ölçü sayısıyla çarpmanız gerekir.

Bir ölçü bulmak için tam sayıyı ölçü sayısına bölmeniz gerekir.

Ölçü sayısını bulmak için bütünü ölçüye bölmeniz gerekir.

Slayt 4. (3 adım)

Öğretime yönelik bu yaklaşım, basit görevlerin eski sınıflandırmasından uzaklaşmamızı sağlar. Verilerin ve neyin arandığını, nicelikler arasındaki ilişkilerin yeterince açık olacak şekilde tasvir edilmesi önemlidir. Problemde ve bunların ilişkilerinde ele alınır.

Örnek olarak birkaç metin problemini ve bunların grafik modeller kullanılarak nasıl çözüleceğini vereceğim.

Sorun 1Slayt 5. (5 adım)

Akvaryumda 4 büyük ve 5 küçük balık bulunmaktadır. Akvaryumda toplam kaç balık var?

Resimlerden problem ve ifade oluşturma alıştırmaları (ters problemler)6. slayt. ( 8 adım)Slayt 7.

Sorun 2Slayt 8

Lena'nın 5 armudu var. Ve Misha'nın Lena'dan 4 fazlası var. Misha'nın kaç armudu var?

Resme dayalı olarak problem oluşturma ve çözümü yazma görevine bir örnek.9. slayt.

Sorun 310. slayt. (5 adım)

Lena'nın 10 armudu var. Bu şeftaliden 3 fazla. Lena'nın kaç tane şeftalisi var?

Görev 4.Slayt 11 (4 adım).

Sasha, 8 UAH karşılığında 5 defter ve 33 UAH karşılığında bir eskiz defteri satın aldı. Sasha satın alma için ne kadar para ödedi?

Bir dizüstü bilgisayarın fiyatı 8 UAH – bu birim segmenti(ölçüm). Birim segmentlerinin sayısı (5) dizüstü bilgisayarların sayısını gösterir. Segmentin ikinci kısmı albümlerin fiyatını (33 UAH) ve miktarını (1) yansıtıyor.

Görev 5.Slayt 12 (7 adım).Diyagram oluşturmanın iki yolu. İki çözüm

Fabrikanın 90 işçiye ihtiyacı var: 50'si tornacı, 10'u tamirci, geri kalanı yükleyici. Kaç nakliyeciye ihtiyaç var?

Slayt 13 (3 adım)derleme ters problem. DURMAK

Görevler üzerinde çalışma teknikleri.

Alışma aşamasında aşağıdaki teknikleri kullanıyorum:

Modelin her bir bileşen parçasının açıklaması.

Bir model oluşturmaya yönelik talimatlar.

Yol gösterici sorular kullanarak modelleme ve planın adım adım uygulanması.

Şematik çizimi anlama aşamasında aşağıdaki teknikleri kullanıyorum:

Önerilen olay örgüsüne ve bölüm diyagramına göre problemin metninin formüle edilmesi.

Bir diyagram ile sayısal bir ifade arasındaki ilişki.

Şablonun görev verileriyle doldurulması.

Diyagramı doldururken hataları bulma.

Sorun için bir şema seçme.

Diyagram için bir görev seçme.

Görev koşullarının eklenmesi.

Şemayı değiştirmek.

Sorunun koşullarını değiştirmek.

Görev metnini değiştirme.

Şematik bir çizim oluşturmayı ve kavramayı öğrenmenin sonucu, öğrencilerin problemleri bağımsız olarak modellemesidir.

Sözlü problemleri çözerken modelleme eylemini geliştirmeye çalışıyoruz ve bunun tersi de geçerlidir, çocuk modelleme eylemine ne kadar iyi hakim olursa, problemleri çözmesi o kadar kolay olur.

Öğrencilere sözlü problemleri çözmenin çeşitli yöntemleri tanıtılmalıdır: aritmetik, cebirsel, geometrik, mantıksal ve pratik; İle çeşitli türler her yöntemin altında yatan matematiksel modeller; ve seçilen yöntem dahilinde çeşitli çözümlerle. Sözlü problemleri çözmek, öğrencilerin gelişimi ve eğitimi için zengin materyal sağlar. Kısa notlar Sözlü problemlerin koşulları - kullanılan model örnekleri başlangıç ​​kursu matematik. Matematiksel modelleme yöntemi okul çocuklarına şunları öğretmenizi sağlar:

a) analiz (sorunun algılanması ve çözümün uygulanmasına yönelik yolun seçilmesi aşamasında);

b) problemin nesneleri arasında ilişkiler kurmak, en uygun çözüm şemasını oluşturmak;

c) orijinal problem için elde edilen çözümün yorumlanması;

d) hazır modeller vb. kullanarak görevlerin hazırlanması.

Görevler üzerinde çalışan sunumSlaytlar15-22 .

1. sınıftan itibaren modellerde kombinatorik

2. sınıf

4, 6, 8 sayılarını farklı şekillerde düzenleyin:

3-4. Sınıflarda

"Ağaç" (36 öğle yemeği)

Not defterinden fotoğraf

Numaralandırmayı, sayıları toplama ve çıkarmayı ve uzunluk birimleri üzerinde çalışmayı öğretmek için simülasyonları kullanma (5 dk)

Sayıları hesap birimlerine ve ölçü birimlerine dönüştürme yeteneği çoğu zaman bazı zorluklara neden olur. Ve burada yardımcı olması için modelleme yönteminin kullanılması tavsiye edilir. Çocuklar “Onlar” konsantrasyonunu inceleyerek birimleri noktalar kullanarak şematik olarak temsil etmeyi öğrenirler.Slayt 25. Modelleri kullanarak toplama ve çıkarma yapmayı öğrenin.Slayt 26. (7 adım)Slayt 27.

Çocuklar “Yüz”ü öğrenirken onlarcayı küçük üçgenler kullanarak tasvir ederler. Sayıları sayma birimlerine (ondalık ve birimler) dönüştürmeyi öğrenirler ve aynı zamanda çocuklar santimetre ve desimetreye aşina olurlar. Bu, uzunluk birimlerinin dönüştürülmesinde bir benzetme yapmamızı sağlar. Ayrıca toplama tekniklerini de öğretiyorlar. çift ​​haneli sayılar sayısal diyagramlarda.Slayt 28

Çocuklar “Bin”i çalışırken geleneksel olarak 10 üçgeni (onlarca) bir büyük üçgenle (yüz) temsil edeceğimizi öğrenecekler. Aynı zamanda çocuklar yeni bir uzunluk birimi olan metreyi öğreniyorlar. Sayıları sayma birimlerine dönüştürürken uzunluk birimleriyle de benzer bir çalışma yaparız.Slayt 29 342 numaraya örnekSlayt 30 (5 adım)

320 sayısına örnekSlayt 31 (6 adım)

302 sayısına örnekSlayt 32 (8 adım)

Algoritmalar.Slayt 33 ve 34(7 adım)

Matematik derslerinde modelleme yönteminin kullanımına yönelik öneriler (3 dk)

Öğretimde modellemenin arzu edilmediğini, ancak gerekli olduğunu anlamak gerekir, çünkü öğrencilerin biliş yöntemlerine ve eğitimsel faaliyet yöntemlerine tam ve sıkı bir şekilde hakim olmaları için koşullar yaratır.

Derste modellemenin temel amaçları şunlardır:

yeni bir eylem biçimi inşa etmenin bir yolu olarak bir model oluşturmak.

Yapım ilke ve yöntemlerinin analizine dayalı bir model oluşturma eğitimi.

İlk derslerin modelleme ile ilgili olduğunu, aslında eğitici ve pratik bir görev oluşturma dersleri olduğunu unutmayın. Çocukların sorunu, genel tutumları sergilemek için yeterli yola sahip olmamalarıdır. Ne zaman yeni bir pratik durum ortaya çıksa, çocuklar yeni ilişkileri tanımlar ve bunun grafiksel olarak nasıl aktarılacağı sorusu yeniden ortaya çıkar.

Bir formül kullanarak diyagram çizmek, çeşitli formüllerin parçası olan nicelikler arasında ilişki kurmak vb. gibi "soyut görevler". İlişkilerin araştırılması, bilgilendirilmesi ve işaret ve diyagramlarda tekrar tekrar gösterilmesini sağlar. Modelin arkasında, her çocuğun artık hayal gücünde (zihinsel eylemler) gerçekleştirebildiği gerçek nesnelerle eylemleri olmalıdır.

Modelin çocuk için yeri göreve bağlı olarak belirlenir.

Eyleme bir model eşlik edebilir. Örneğin, bir metin problemi üzerinde çalışmanın bir aşaması olarak, bir model üzerinde yöntem oluşturmak daha kolaysa (okuma sırasında nicelikler arasındaki ilişkiler şematik olarak gösterilir).

Eylemler tamamlandıktan sonra model oluşturulur. Gerçekleştirilen eylemi anlamak için ayrı bir ilişkinin diyagramını oluşturmak gerekir. Bir diyagramın oluşturulması şu tür sorularla motive edilir: "Bunu nasıl yaptın?", "Başkalarına bu tür görevleri yerine getirmeyi nasıl öğretirsiniz?"

Ve birkaç ipucu daha.

Özel literatürü inceleyerek başlamalısınız. Örneğin, bu matematik öğretiminin bir yöntemidir. ilkokul ve E. Alexandrova, L. Peterson'un ders kitapları.

Açık veli toplantıları Ebeveynleri çocuklarına öğretme yöntemini tanıttığınızdan emin olun. Tavsiyeleriniz ve talimatlarınız onlar için faydalı olabilir.

Matematiksel modelleme üzerine ustalık sınıflarına katılmak için her fırsatı değerlendirin.

Seni davet ettiğim yer.

Görevler

Ders

Bu sorunu çözmek için, öncelikle bir video kamerayla yüz algılama görevini değiştirme özelliklerini sisteme ayarlamak ve ardından dudak hareketlerinin lokalizasyonunu gerçekleştirmek gerekir.

İlk göreve gelince, bunların iki türü ayırt edilmelidir:
Yüz lokalizasyonu;
Yüz izleme.
Yüz ifadesi tanıma algoritması geliştirme göreviyle karşı karşıya olduğumuz için şunu varsaymak mantıklıdır: bu sistem başını çok fazla hareket ettirmeyen bir kullanıcı tarafından kullanılacaktır. Bu nedenle, dudak hareketi tanıma teknolojisini uygulamak için, görüntüde tek bir yüzün olduğu tespit probleminin basitleştirilmiş bir versiyonunun temel alınması gerekmektedir.

Bu, yüz aramanın nispeten nadiren (yaklaşık 10 kare/saniye veya hatta daha az) gerçekleştirilebileceği anlamına gelir. Aynı zamanda konuşmacının dudaklarının konuşma sırasındaki hareketleri oldukça aktiftir ve bu nedenle dış hatlarının değerlendirilmesi daha yoğun yapılmalıdır.

Bir görüntüde yüz bulma görevi mevcut araçlar kullanılarak çözülebilir. Günümüzde bir görüntüdeki yüzü tespit etmek ve lokalize etmek için 2 kategoriye ayrılabilecek çeşitli yöntemler vardır:
1. Ampirik tanıma;
2. Yüz görüntü modellemesi. .

Birinci kategori, görüntüdeki çekim koşullarına göre değişmeyen yüzlerin varlığına dair bazı işaretlerin olduğu varsayımına dayanan, yüz görüntülerinin değişmez özelliklerine dayanan yukarıdan aşağıya tanıma yöntemlerini içerir. Bu yöntemler 2 alt kategoriye ayrılabilir:
1.1. Bir yüz görüntüsünün karakteristiği olan öğelerin ve özelliklerin algılanması (kenarlar, parlaklık, renk, karakteristik şekil yüz özellikleri vb.) .;
1.2. Tespit edilen özelliklerin analizi, kişi sayısı ve konumuna karar verilmesi (ampirik algoritma, istatistik) göreceli konum işaretler, süreç modelleme görsel görüntüler, sert ve deforme olabilen şablonların kullanımı vb.) , .

Algoritmanın doğru çalışması için, daha sonra test edilecek yüz özellikleri veri tabanının oluşturulması gerekiyor. Daha doğru bir uygulama için ampirik yöntemler Yüz dönüşümü olasılıklarını hesaba katan modeller kullanılabilir ve bu nedenle tanıma için genişletilmiş bir temel veri kümesine veya dönüşümün modellenmesine izin veren bir mekanizmaya sahiptir. temel unsurlar. Geniş bir kullanıcı yelpazesini hedefleyen bir sınıflandırıcı veritabanı oluşturmanın zorlukları bireysel özellikler, yüz özellikleri vb. bu yöntemin tanıma doğruluğunun azaltılmasına yardımcı olur.

İkinci kategori matematiksel istatistik ve makine öğrenimi yöntemlerini içerir. Bu kategorideki yöntemler, yüz algılama görevini tanıma görevinin özel bir durumu olarak ele alarak görüntü tanıma araçlarını temel almaktadır. Görüntüye, görüntüleri iki sınıfa ayırmak için kullanılan belirli bir özellik vektörü atanır: yüz/yüz olmayan. Bir özellik vektörü elde etmenin en yaygın yolu görüntünün kendisini kullanmaktır: her piksel vektörün bir bileşeni haline gelir ve n×m görüntüyü, n ve m'nin pozitif olduğu R^(n×m) uzayında bir vektöre dönüştürür. tamsayılar. . Bu gösterimin dezavantajı özellik uzayının son derece yüksek boyutudur. Bu yöntemin avantajı, insan katılımı sınıflandırıcısının oluşturulmasını tüm prosedürden hariç tutmasının yanı sıra, sistemin kendisini belirli bir kullanıcı için eğitme olasılığını da hariç tutmasıdır. Bu nedenle, yüz lokalizasyonunun matematiksel bir modelini oluşturmak için görüntü modelleme yöntemlerinin kullanılması problemimizin çözümü için en uygunudur.

Yüz profilinin bölümlere ayrılması ve bir dizi karede dudak noktalarının konumunun izlenmesi konusunda, bu sorunu çözmek için matematiksel modelleme yöntemlerinden de yararlanılmalıdır. Yüz ifadelerinin hareketini belirlemenin birkaç yolu vardır; bunlardan en ünlüsü, aktif kontur modellerine dayalı bir matematiksel modelin kullanılmasıdır:

Aktif kontur modellerinin matematiksel modeline dayalı olarak yüz ifadesi alanının lokalizasyonu

Aktif konturu yüz ifadelerinin görüntüsüne uyarlamak için, incelenen nesnenin uygun şekilde ikilileştirilmesinin, yani bir tür dijital raster görüntüye dönüştürülmesinin ve ardından parametrelerin uygun şekilde değerlendirilmesinin gerçekleştirilmesi gerekir. aktif kontur ve özellik vektörünün hesaplanması yapılmalıdır.

Aktif kontur modeli şu şekilde tanımlanır:
N noktaları kümesi;
İç elastik enerji terimi;
Dış kenar bazlı enerji terimi.

Tanıma kalitesini artırmak için iki renk sınıfı ayırt edilir: cilt ve dudaklar. Renk sınıfı üyelik fonksiyonu 0 ile 1 arasında değişen bir değere sahiptir.

Aktif kontur modelinin (yılan) denklemi v(s) formülüyle şu şekilde temsil edilir:

E yılanın enerjisidir (aktif kontur modeli). İlk iki terim aktif kontur modelinin (yılan) düzenlilik enerjisini tanımlar. Kutupsal koordinat sistemimizde v(s) = , s 0'dan 1'e kadardır. Üçüncü terim ile ilgili enerjidir. dış kuvvet, görüntüden elde edilen dördüncü - basınç kuvvetiyle.

Dış kuvvet yukarıda açıklanan özelliklere göre belirlenir. Kontrol noktalarını belirli bir yoğunluk değerine kaydırabilme özelliğine sahiptir. Şu şekilde hesaplanır:

Gradyan çarpanı (türev), karşılık gelen eğri boyunca yılanın noktalarında hesaplanır. radyal çizgi. Eğim negatifse kuvvet artar, aksi takdirde azalır. Degradeden önceki katsayı, görüntünün topolojisine bağlı bir ağırlıklandırma faktörüdür. Basınç kuvveti, minimum ağırlık faktörünün ½'sini kullanan basit bir sabittir. En iyi form yılanlar belirli sayıda yinelemeden sonra fonksiyonel enerjinin en aza indirilmesiyle elde edilir.

Temel görüntü işleme işlemlerine daha detaylı bakalım. Basit olması açısından, konuşmacının ağzının alanını bir şekilde seçtiğimizi varsayalım. Bu durumda, ortaya çıkan görüntünün işlenmesi için gerçekleştirmemiz gereken ana işlemler Şekil 2'de sunulmaktadır. 3.

Çözüm

Kullanılan kaynakların listesi

Devam edecek