Dalga denklemi ve çözme yöntemleri. Diferansiyel dalga denklemi ve çözümü

Homojen bir ortamda dalga yayılımı izotropik ortam V genel durum dalga denklemiyle tanımlanır - diferansiyel denklem kısmi türevlerde.

, (4) nerede (5) Laplace operatörüdür, v faz hızıdır.

Denklemin (4) çözümü herhangi bir dalganın (düzlem, küresel vb.) denklemidir. Özellikle burada analiz edilen ve y ve z koordinatlarına bağlı olmayan düzlem harmonik dalgası (1) için dalga denklemi şu şekli alır: . (6)

Uygun ikame ile denklem (6)'nın denklem (1) tarafından karşılandığını doğrulayabiliriz.

Frekans, periyot, dalga boyu.

Dalga boyu, bir dalganın bir salınım periyodu boyunca kat ettiği mesafedir. Çünkü ya .

Dalgaların özellikleri.

Dalgaların oluşumu.

Dalgalar çeşitli şekillerde üretilebilir.

Lokalize bir salınım kaynağı (yayıcı, anten) tarafından üretilmesi.

Hidrodinamik dengesizlikler meydana geldiğinde hacimde kendiliğinden dalga oluşumu. Örneğin su yüzeyinde esen rüzgarın hızı yeterince yüksek olduğunda su üzerindeki dalgalar bu yapıya sahip olabilir. Bir türden dalgaların başka türden dalgalara geçişi. Örneğin, elektromanyetik dalgalar kristal yapıda yayıldığında katı gövde

ses dalgaları oluşturulabilir.

Kural olarak dalgalar osilatörden istenildiği kadar uzağa hareket edebilir. Bu nedenle dalgalara bazen "yayıcıdan ayrılmış salınımlar" da denir. Bunun istisnası, genliği yayıcıdan uzaklaştıkça üstel olarak azalan sıcaklık dalgaları olarak adlandırılanlardır. Yayılıyor. Dalgaların çoğu, doğaları gereği gerçek yeni fiziksel varlıklar değil, yalnızca kod adı İçin belirli bir tür kolektif hareket. Dolayısıyla, bir gaz hacminde bir ses dalgası ortaya çıkıyorsa, bu, bu hacimde bazı yeni fiziksel nesnelerin ortaya çıktığı anlamına gelmez. Ses, yalnızca aynı moleküllerin özel bir koordineli hareketinin adıdır. Onlar. Çoğu dalga, bazı ortamların titreşimleridir. Bu dalga ortamının dışında

bu türden (örneğin boşluktaki ses) mevcut değildir.. Yani elektromanyetik dalgalar modern fizik- bu, bir ortamın (19. yüzyılda eter olarak adlandırılan) salınımı değil, boşlukta yayılabilen bağımsız, kendi kendini idame ettiren bir alandır. Maddi parçacıkların olasılık dalgalarında da durum benzerdir.

Dalga yayılımı kural olarak tekdüze bir süreçtir; dalgalar genellikle belirli bir hızda hareket eder (bu elbette birçok parametreye bağlı olabilir).

Belirli bir ortamda yayılırken, bir dalganın genliği zayıflayabilir ve bu, dalgaların içinden geçtiği ortam içindeki enerji tüketen süreçlerle ilişkilidir. Özel olarak hazırlanmış bazı yarı kararlı ortamlarda, dalganın genliği tam tersine artabilir (örnek: lazer ışınımının oluşması).

Gövdeler ve arayüzlerle etkileşim. Dalga, homojen, aynı tip bir ortamda en “sakin” şekilde yayılır. Dalganın yolunda ortamda, gövdede veya iki ortam arasındaki arayüzde herhangi bir kusur varsa, bu durum ihlale yol açar. normal dağılım dalgalar.

Bu bozukluğun sonucu sıklıkla aşağıdaki fenomen şeklinde kendini gösterir:

refleks

refraksiyon

saçılma

kırınım Elbette spesifik kanun türü

Bu süreçlerin tanımlanması dalganın türüne bağlıdır. Dalganın uzaysal boyutları. Onlar hakkında konuştuklarında uzaysal dalga boyutu , o zaman salınımın genliğinin (göz önünde bulundurulan problem çerçevesinde) ihmal edilebilir olarak kabul edilemeyeceği uzay bölgesinin boyutunu kastediyorlar. Çoğu dalga teorik olarak herhangi bir özelliğe sahip olabilir. büyük boy

, hem hareket yönünde hem de onun karşısında. Gerçekte tüm dalgaların sonlu boyutları vardır. Dalganın boyuna boyutu, kural olarak, dalga emisyon sürecinin süresine göre belirlenir. Enine boyut bir dizi parametreyle belirlenir: yayıcının boyutu, dalga yayılımının doğası (örneğin bir düzlem, küresel olarak ayrılan dalga vb.).

Bazı dalga türleri, özellikle solitonlar, yapıları gereği sınırlı dalgalardır. Dalga sınırlı boyut

Polarizasyon. Herhangi bir dalganın her noktasına bir vektör alanı tanıtabilirsiniz. Yani, eğer bir dalga belirli bir ortamın salınımı ise, o zaman bu vektör, bu ortamın bir parçacığının belirli bir noktadaki hız vektörü olacaktır; eğer bir elektromanyetik dalga ise, o zaman bu vektör elektrik alanı vb. olacaktır. Bu vektörün yönü dalganın polarizasyonunu belirler. Bu vektör dalganın hareket yönüne paralel ise (yani ortam hareket yönü boyunca salınıyorsa), o zaman dalga denir. boyuna. Vektör dalganın hareket yönüne dik ise (yani ortam hareket yönüne göre salınıyorsa), o zaman dalga denir enine.

Bir dalganın enine veya boyuna uzunluğu, doğasına göre belirlenir. Örneğin, düzlemsel elektromanyetik ve yerçekimi dalgaları eninedir, bir gazdaki ses dalgası boyunadır ve bir katıdaki elastik dalgalar hem boyuna hem de enine olabilir.

Faz tutarlılığı Dalga tutarlılığı, dalga salınımlarının farklı noktalarında eşzamanlı olarak meydana geldiği anlamına gelir; iki nokta arasındaki faz farkı zamandan bağımsızdır. Bu nedenle tutarlılık eksikliği, iki nokta arasındaki faz farkının sabit olmadığı, zamanla neredeyse rastgele "sıçraydığı" (faz arızaları) bir durumdur. Bu durum, dalganın tek bir yayıcı tarafından değil, aynı fakat bağımsız (yani ilişkisiz) yayıcılar kümesi tarafından üretilmesi durumunda ortaya çıkabilir.

Işık dalgalarının tutarlılığının incelenmesi, zamansal ve uzaysal tutarlılık kavramlarına yol açar. Elektromanyetik dalgalar dalga kılavuzlarında yayıldığında faz tekillikleri meydana gelebilir. Su dalgaları durumunda, dalganın tutarlılığı ikinci periyodiklik olarak adlandırılan şey tarafından belirlenir.

Şimdi dalga denkleminin gerçekten temel özellikleri tanımlayıp tanımlamadığını görelim. ses dalgaları ortamda. Öncelikle şunu söylemek istiyoruz. ses titreşimi veya rahatsızlık, birlikte hareket eder sabit hız. Ayrıca iki farklı titreşimin birbirinden serbestçe geçebileceğini yani süperpozisyon ilkesini kanıtlamamız gerekiyor. Ayrıca sesin hem sağa hem de sola gidebildiğini kanıtlamak istiyoruz. Tüm bu özellikler tek denklemimizde yer almalıdır.

Daha önce düzlem dalga formundaki ve sabit hızla hareket eden herhangi bir rahatsızlığın şu şekilde yazıldığını belirtmiştik: F(X—vt). Şimdi bakalım mı F(X— vT) dalga denkleminin çözümü. Hesaplanıyor dχ/dh, fonksiyonun türevini alıyoruz D χ / DX= F`(X—vt). Tekrar farklılaşarak buluyoruz

Aynı işlevin farklılaştırılması χ İle T, değeri elde ederiz - v, türev ile çarpılır veya D χ / DT = —vF`(X — vt); zamana göre ikinci türevi verir

Açıkça görülüyor ki f (X — vt) dalga denklemini karşılıyorsa v eşittir CS.
Böylece mekanik yasalarından herhangi bir ses bozukluğunun hızla yayıldığını elde ederiz. CS ve ayrıca,

böylece ses dalgalarının hızını özelliklerine bağladıkçevre.

Bir ses dalgasının negatif yönde de yayılabileceğini görmek kolaydır. X, yani formda ses bozukluğu χ(x, t)=g(x+vt) aynı zamanda dalga denklemini de karşılar. Bu dalga ile soldan sağa yayılan dalga arasındaki tek fark işarettir. v, ama d'yi işaretle 2 χ / Dt 2 seçimden bağımsız x+vt veya X—vT,çünkü bu türev yalnızca şunları içerir: v2. Buradan denklemin çözümünün herhangi bir yönde belirli bir hızla hareket eden dalgaları tanımladığı sonucu çıkar. CS.


Özel İlgiÇözümlerin süperpozisyonu sorusunu sunar. Diyelim ki bir çözüm bulduk χ 1 . Bu, ikinci türev anlamına gelir χ 1 . İle X ikinci türeve eşit χ 1 İle T, 1/s 2 s ile çarpılır. Ve ikinci bir çözüm olsun χ 2 aynı özelliğe sahip olmak. Bu iki çözümü toplayalım, sonra şunu elde ederiz:

Artık bundan emin olmak istiyoruz χ(x,T) aynı zamanda belirli bir dalgayı da temsil eder, yani. χ aynı zamanda dalga denklemini de karşılamaktadır. Bunu kanıtlamak çok kolaydır, çünkü

Şunu takip ediyor d 2 χ/Dx 2 = (1/c 2 sn)gün 2χ benDt2, böylece süperpozisyon ilkesinin geçerliliği doğrulanır. Süperpozisyon ilkesinin varlığı, dalga denkleminin doğrusalİle χ .


Şimdi bir dairenin olmasını beklemek doğal olacaktır. ışık dalgası, eksen boyunca yayılıyor X ve elektrik alanı eksen boyunca yönlendirilecek şekilde polarize edilmiştir en, aynı zamanda dalga denklemini de karşılar

Nerede İle- ışık hızı. Dalga denklemi bir ışık dalgası için Maxwell denklemlerinin sonuçlarından biri vardır. Mekaniğin denklemleri ses için dalga denklemini sağladığı gibi, elektrodinamik denklemleri de ışık için dalga denklemini sağlar.

Tanım 1

Dalga yayılırsa homojen ortam, o zaman hareketi genel olarak şu şekilde tanımlanır: dalga denklemi(kısmi diferansiyel denklemle):

\[\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)=v^2\left(\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial x ^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial y^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial z^2)\ sağ)\sol(1\sağ)\]

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)\left(2\right), \]

burada $v$ dalganın faz hızıdır $\triangle =\frac((\partial )^2)(\partial x^2)+\frac((\partial )^2)(\partial y^2) +\ frac((\partial )^2)(\partial z^2)$ -- Laplace operatörü. Denklemin (1.2) çözümü herhangi bir dalganın denklemidir; bu denklemler örneğin hem düzlem hem de küresel dalgalar tarafından karşılanır.

Eğer bir düzlem dalga $X$ ekseni boyunca yayılırsa, denklem (1) şu şekilde temsil edilir:

Not 1

Eğer fiziksel miktar dalga olarak yayılıyorsa, mutlaka dalga denklemini karşılar. Tam tersi ifade doğrudur: Eğer herhangi bir miktar dalga denklemine uyuyorsa, o zaman bir dalga gibi yayılır. Dalga yayılma hızı eşit olacaktır karekök uzaysal türevlerin toplamını temsil eden katsayıdan (bu tür gösterimde).

Dalga denklemi fizikte çok önemli bir rol oynar.

Düzlem dalga için dalga denkleminin çözümü

Haydi yazalım genel çözüm denklem (2), boşlukta yayılan bir ışık dalgası için, eğer s skaler fonksiyon Kartezyen değişkenlerden yalnızca birine bağlıdır, örneğin $z$, yani $s=s(z,t)$, bu da $s$ fonksiyonunun sahip olduğu anlamına gelir sabit değer düzlemin Z eksenine dik olan noktalarında. Bu durumda dalga denklemi (1) şu şekli alacaktır:

burada ışığın boşlukta yayılma hızı $c$'ya eşittir.

Denklemin (4) genel çözümü verilen koşullarşöyle bir ifade olacak:

burada $s_1\left(z+ct\right)$ dalgayı tanımlayan bir fonksiyondur serbest biçim$c$ hızıyla hareket eden negatif yön Z ekseninin yönüne göre, $s_2\left(z-ct\right)$, yöne göre pozitif yönde $c$ hızıyla hareket eden rastgele şekilli bir dalgayı tanımlayan bir fonksiyondur Z ekseninin. Hareket sırasında dalganın herhangi bir noktasındaki $s_1$ ve $s_2$ değerlerinin ve dalga formunun değişmediğine dikkat edilmelidir.

Tanımlanan dalganın iki dalganın üst üste binmesi olduğu ortaya çıktı (formül (5) uyarınca). Üstelik bu dalga bileşenleri içeri doğru hareket ediyor. zıt yönler. Bu durumda dalganın hızından veya yönünden bahsetmek artık mümkün değildir. tam olarak basit durumçıkıyor duran dalga. Genel olarak karmaşık bir elektromanyetik alanı dikkate almak gerekir.

Dalga denklemi ve Maxwell denklem sistemi

Elektrik alan kuvveti vektörlerinin ve manyetik indüksiyon vektörünün salınımları için dalga denklemleri manyetik alan Maxwell denklem sisteminden kolaylıkla elde edilebilir. diferansiyel form. İçinde madde bulunmayan bir madde için Maxwell denklem sistemini yazalım. ücretsiz masraflar ve iletim akımları:

$rot$ işlemini denklem (7)'ye uygulayalım:

İfade (10)'da, uzaysal koordinatlar ve zaman bağımsız değişkenler olduğundan, ifadenin sağ tarafındaki farklılaşma sırasını değiştirebilirsiniz, dolayısıyla elimizde:

Denklem (6)'yı dikkate alalım, ifade (11)'deki $rot\overrightarrow(B)$'ı şununla değiştirelim: sağ taraf formül (6), elimizde:

$rotrot\overrightarrow(E)=graddiv\overrightarrow(E)-(\nabla )^2\overrightarrow(E)$ olduğunu bilerek ve $div\overrightarrow(E)=0$ kullanarak şunu elde ederiz:

Benzer şekilde dalga denklemini de elde edebiliriz. manyetik indüksiyon vektörü. Şuna benziyor:

(13) ve (14) ifadelerinde, dalga yayılımının faz hızı $(v)$ şuna eşittir:

Örnek 1

Egzersiz yapmak:$\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial) dalga denkleminin genel bir çözümünü elde edin t^2 )=0(1.1)$ düzlemsel ışık dalgası.

Çözüm:

Bağımsızlığı tanıtalım formun değişkenleri$s$ fonksiyonu için:

\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\left(1,2\right).\]

Bu durumda, $\frac(\partial s)(\partial z)$ kısmi türevi şuna eşittir:

\[\frac(\kısmi s)(\kısmi z)=\frac(\kısmi s)(\kısmi \xi)\frac(\kısmi \xi)(\kısmi z)+\frac(\kısmi s)( \partial \eta )\frac(\partial \eta )(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta )\left(1.3 \Sağ).\]

$\frac(\partial s)(\partial t)$ kısmi türevi şuna eşittir:

\[\frac(\partial s)(\partial t)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial t)+\frac(\partial s)( \partial \eta)\frac(\partial \eta)(\partial t)=-c\frac(\partial s)(\partial \xi)+c\frac(\partial s)(\partial \eta)\ için \frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=-\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta) \left(1.4\right).\]

İfadeden (1.3) terimi terim ifadesinden (1.4) çıkarırsak, elimizde:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \xi) \sol(1,5\sağ).\]

(1.4) ve (1.3) ifadelerinin terim bazında eklenmesi şunu verir:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \eta ) \left(1.6\right).\]

(1.5) ve (1.6) ifadelerinin sol taraflarının çarpımını bulalım ve bu ifadelerin sağ taraflarına yazılan sonuçları dikkate alalım:

\[\left(\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)\left(\frac(\partial s) )(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)=\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\ frac(1)(с^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=4\frac(\partial )(\partial \xi )\frac(\partial s)(\partial \eta )=0\sol(1,7\sağ).\]

(1.7) ifadesini $\xi $ üzerinden entegre edersek, bu değişkene bağlı olmayan ve yalnızca $\eta $'a bağlı olabilen bir fonksiyon elde ederiz, bu da bunun keyfi bir fonksiyon olduğu anlamına gelir $\Psi(\eta)$ . Bu durumda denklem (1.7) şu şekli alacaktır:

\[\frac(\partial s)(\partial \eta )=\Psi \left(\eta \right)\left(1.8\right).\]

$\eta $ üzerinden entegrasyon (1.8) gerçekleştirelim ve şunu elde edelim:

burada $s_1\left(з\right)$ ters türevdir, $s_2\left(\xi \right)$ entegrasyon sabitidir. Üstelik $s_1$ ve $s_2$ işlevleri keyfidir. (1.2) ifadeleri dikkate alınarak, (1.1) denkleminin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

Cevap:$s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).$

Örnek 2

Egzersiz yapmak: Dalga denkleminden, düzlemsel bir ışık dalgasının yayılma faz hızının neye eşit olduğunu belirleyin.

Çözüm:

Örneğin, Maxwell denklemlerinden elde edilen yoğunluk vektörü için dalga denkleminin karşılaştırılması:

\[(\nabla )^2\overrightarrow(E)-\varepsilon (\varepsilon )_0\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2\overrightarrow(E))(\partial t^2) =0(2,1)\]

dalga denklemi ile:

\[\triangle \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)(2.2)\]

dalga yayılma hızının $(v)$ şuna eşit olduğu sonucuna varmamızı sağlar:

Ancak burada, bir elektromanyetik dalganın hızı kavramının yalnızca basit konfigürasyondaki dalgalarla belirli bir anlam taşıdığını belirtmek gerekir; örneğin, düzlem dalgalar kategorisi bu tür dalgalara uygundur. Dolayısıyla, örneğin duran dalgaları içeren dalga denkleminin türevsel çözümü durumunda, $v$ dalga yayılma hızı olmayacaktır.

Cevap:$v=\frac(c)(\sqrt(\mu \varepsilon )).$

Elastik bir ortamda mekanik dalgaların oluşma mekanizması.

MEKANİK DALGALAR

1. Elastik bir ortamda mekanik dalgaların oluşma mekanizması. Boyuna ve enine dalgalar. Dalga denklemi ve çözümü. Harmonik dalgalar ve özellikleri.

2. Faz hızı ve dalga dağılımı. Dalga paketi ve grup hızı.

3. Tutarlılık kavramı. Dalga girişimi. Duran dalgalar.

4. Ses dalgaları için Doppler etkisi.

Elastik bir ortamın (katı, sıvı veya gaz) herhangi bir yerinde parçacıklarının titreşimleri uyarılırsa, parçacıklar arasındaki etkileşim nedeniyle bu titreşim, ortamda belirli bir hızla parçacıktan parçacığa yayılacaktır. Titreşimlerin uzayda yayılma sürecine dalga denir. Geometrik konum Salınımların t zamanında ulaştığı noktalara dalga cephesi (dalga cephesi) adı verilir.Ön tarafın şekline bağlı olarak dalga küresel, düz vb. olabilir.

Dalgaya boyuna denir Ortam parçacıklarının yer değiştirme yönü dalganın yayılma yönü ile çakışıyorsa.

Boyuna dalgalar katı, sıvı ve gazlı ortamlarda yayılır.

Dalgaya enine denir Ortam parçacıklarının yer değiştirmesi dalganın yayılma yönüne dik ise. Enine mekanik dalga yalnızca şunlar için geçerlidir: katılar(kesilme direnci olan ortamlarda bu nedenle böyle bir dalga sıvılarda ve gazlarda yayılamaz).

Yer Değiştirmeyi Belirleyecek DenklemHerhangi bir t anında ortamdaki x koordinatlı herhangi bir noktanın (x,t) değerine dalga denklemi denir.

Örneğin, düzlem dalga denklemi, yani. Bir yönde, örneğin x ekseni yönünde yayılan dalga şu şekildedir:

Dalga numarası adı verilen bir miktarı tanıtalım.

Dalga sayısını çarparsanız birim vektör dalga yayılımının yönü, o zaman adı verilen bir vektör elde edersiniz dalga vektörü

Laplace operatörünü kullanma (Laplacian) bu denklem daha kısaca yazılabilir

(Bu denklemin çözümü dalga denklemi (28-1), (28-2)'dir.)

En yaygın olanlardan biri mühendislik uygulaması ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemler, açıklayan dalga denklemidir çeşitli türler tereddüt. Salınımlar durağan olmayan bir süreç olduğundan bağımsız değişkenlerden biri zamandır. T. Ayrıca denklemdeki bağımsız değişkenler de uzaysal koordinatlardır. x, y,z. Sayılarına bağlı olarak bir boyutlu, iki boyutlu ve üç boyutlu dalga denklemleri ayırt edilir.

Tek boyutlu dalga denklemi– kesitleri düzlemsel paralel salınım hareketleri gerçekleştiren bir çubuğun uzunlamasına titreşimlerini ve ayrıca ince bir çubuğun (ip) enine titreşimlerini ve diğer problemleri tanımlayan bir denklem. İki boyutlu dalga denklemiİnce bir plakanın (zar) titreşimlerini incelemek için kullanılır. 3 boyutlu dalga denklemi Dalgaların uzayda yayılmasını tanımlar (örneğin, sıvıdaki ses dalgaları, sıvıdaki elastik dalgalar). süreklilik vesaire.).

şeklinde yazılabilen tek boyutlu bir dalga denklemini ele alalım.

İçin enine titreşimler dizeler gerekli işlev sen(X, T) dizenin o andaki konumunu açıklar T. Bu durumda A 2 = T/ρ, Nerede T - tel gerginliği, ρ - doğrusal (doğrusal) yoğunluğu. Dalgalanmaların küçük olduğu varsayılmaktadır; genlik, dizinin uzunluğuna kıyasla küçüktür. Ayrıca bu durum için denklem (2.63) yazılmıştır. serbest titreşimler. Durumunda zorunlu salınımlar denklemin sağ tarafına bir fonksiyon ekleyin F(X, T), karakterize edici dış etkiler ortamın direnci ise salınım süreci dikkate alınmaz.

En basit görev(2.63) denklemi için Cauchy problemi: başlangıç ​​anı zaman, iki koşul belirtilir (koşulların sayısı türevin mertebesine eşittir) T):

Bu terimler açıklamaktadır başlangıç ​​formu dize ve noktalarının hızı.

Pratikte Cauchy problemini çözmek çoğu zaman gerekli değildir. sonsuz dize ve belli bir uzunlukta sınırlı bir dize için karışık bir problem ben. Bu durumda, ayarlayın sınır koşulları uçlarında. Özellikle uçlar sabit olduğunda yer değiştirmeleri sıfırdır ve sınır koşulları şu şekildedir:

(2.63)-(2.65) problemini çözmek için bazı fark şemalarını ele alalım. En basiti açık üç katmanlı çapraz tip şemadır (şablon Şekil 2.21'de gösterilmiştir). Denklemde (2.63) istenilen fonksiyonun ikinci türevlerini yerine koyalım. senİle T Ve Xızgara düğümlerindeki ızgara fonksiyonunun değerlerini kullanan sonlu fark ilişkileri:

Pirinç. 2.21. Açık Şema Şablonu

Buradan grid fonksiyonunun değeri için açık bir ifade bulabilirsiniz ( J + 1)inci katman:

Burada her zamanki gibi üç katmanlı devrelerde bilinmeyen değerleri belirlemek için ( J + 1) çözümleri bilmeniz gereken katman J-ohm ve ( J- 1)'inci katmanlar. Bu nedenle sadece ikinci katman için (2.66) formüllerini kullanarak saymaya başlamak mümkün olup, sıfır ve birinci katmandaki çözümlerin bilinmesi gerekmektedir. Başlangıç ​​koşulları (2.64) kullanılarak bulunurlar. Sıfır katmanda elimizde

Birinci katmanda bir çözüm elde etmek için ikinci başlangıç ​​koşulunu (2.64) kullanırız. Türevi sonlu fark yaklaşımıyla değiştiriyoruz. En basit durumda varsayıyoruz

(2.68)

Bu ilişkiden, ilk zaman katmanındaki ızgara fonksiyonunun değerlerini bulabiliriz:

Yaklaşımın başlangıç ​​koşulu(2.68) formundaki orijinalin yaklaşımını kötüleştirir diferansiyel problem: yaklaşıklık hatası mertebesinde olur, yani. ilk sipariş τ, şemanın kendisi (2.66) ikinci dereceden bir yaklaşıma sahip olmasına rağmen H Ve τ. (2.69) yerine daha doğru bir gösterim alırsak durum düzeltilebilir:

(2.70)

Bunun yerine almanız gerekir. Ve ikinci türevin ifadesi şu şekilde bulunabilir: orijinal denklem(2.63) ve ilk başlangıç ​​koşulu (2.64). Aldık

O zaman (2.70) şu formu alacaktır:

Fark şeması (2.66), (2.71)'i hesaba katarak, yaklaşıklık hatasına sahiptir.

(2.65) formunun sınır koşullarıyla karışık bir problemi çözerken, yani. fonksiyonun değerleri söz konusu bölümün uçlarında belirtildiğinde, ikinci yaklaşım sırası korunur. Bu durumda, kolaylık sağlamak için, ızgaranın en uç düğümleri sınır noktalarında bulunur ( x0=0, xI = ben). Ancak türev için sınır koşulları da belirtilebilir.

Örneğin ücretsiz olması durumunda boyuna titreşimlerçubuğun serbest ucundaki koşul verilmiştir

Bu koşul birinci yaklaşım derecesiyle fark formunda yazılırsa devrenin yaklaşım hatası mertebesinde olur. Bu nedenle bu şemanın ikinci sırasını korumak açısından H sınır koşulunu (2.72) ikinci dereceye yaklaştırmak gerekir.

(2.63) - (2.65) problemini çözmek için dikkate alınan fark şeması (2.66) koşullu olarak kararlıdır. Gerekli ve yeterli koşul kararlılık:

Sonuç olarak, eğer bu koşul karşılanırsa ve yaklaşım dikkate alındığında, şema (2.66) orijinal probleme oranla yakınsar. O(H2 + τ 2 ). Bu şema pratik hesaplamalarda sıklıkla kullanılır. Bir çözüm elde etmenin kabul edilebilir doğruluğunu sağlar sen(X, T), sürekli türevleri olan dördüncü sıra.

Pirinç. 2.22. Dalga denklemini çözmek için algoritma

Bu açık fark şemasını kullanarak (2.63)-(2.65) problemini çözmeye yönelik algoritma, Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.22. Burada sunuldu en basit seçenek iki boyutlu bir dizi oluşturan grid fonksiyonunun tüm değerleri hesaplandığı gibi bilgisayar belleğinde saklandığında ve problem çözüldükten sonra sonuçlar görüntülenir. Çözümün yalnızca üç katmanda saklanmasını sağlamak mümkün olacak, bu da hafızadan tasarruf sağlayacaktır. Bu durumda sonuçlar hesaplama işlemi sırasında görüntülenebilir (bkz. Şekil 2.13).

Dalga denklemini çözmek için başka fark şemaları da vardır. Özellikle, koşulun (2.73) dayattığı adım büyüklüğü kısıtlamalarından kurtulmak için örtülü şemaların kullanılması bazen daha uygundur. Bu şemalar genellikle kesinlikle kararlıdır, ancak sorunu çözmek için kullanılan algoritma ve bilgisayar programı daha karmaşık hale gelir.

En basit örtülü şemayı oluşturalım. Göre ikinci türev T denklemde (2.63), daha önce olduğu gibi, katmanlardaki ızgara fonksiyonunun değerlerini kullanarak üç noktalı bir şablonla yaklaşık olarak hesaplıyoruz J- 1, J, J + 1. Türev X yaklaşımının yarım toplamını ( ile değiştiririz) J + 1)'inci ve ( J- 1)inci katmanlar (Şekil 2.23):

Pirinç. 2.23. Örtülü Şema Kalıbı

Bu ilişkiden, ızgara fonksiyonunun bilinmeyen değerleri için bir denklem sistemi elde edebiliriz ( J+ 1)inci katman:

Ortaya çıkan örtülü şema kararlıdır ve oranında yakınsar. Doğrusal sistem cebirsel denklemler(2.74) özellikle tarama yöntemiyle çözülebilir. Bu sisteme fark başlangıç ​​ve sınır koşulları eklenmelidir. Böylece (2.67), (2.69) veya (2.71) ifadeleri kullanılarak grid fonksiyonunun sıfır ve birinci zaman katmanlarındaki değerleri hesaplanır.

İki veya üç bağımsız uzaysal değişkenle dalga denklemleri şu şekli alır:

Tek boyutlu dalga denklemine benzetilerek bunlar için fark şemaları da oluşturulabilir. Aradaki fark, türevlerin iki veya üç uzamsal değişkene göre yaklaşıklaştırılmasının gerekli olmasıdır, bu da doğal olarak algoritmayı karmaşıklaştırır ve önemli ölçüde gerektirir. büyük hacimler hafıza ve sayma süresi. Aşağıda ısı iletimi denklemi için iki boyutlu problemler daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır.