Ayrık sinyaller ve ayrık Fourier dönüşümü. Ayrık Fourier dönüşümü

Sürekli sinyallerin örneklenmesiyle ilgili önceki bölümden, gerçek sinyallerin hem spektral hem de zaman alanındaki örneklerle tanımlanabileceği anlaşılmaktadır. Hem ayrık spektrum hem de ayrık sinyal, orijinal sürekli (sürekli) sinyali tamamen tanımlar. Bununla birlikte, belirli bir ayrık sinyalden ayrık bir spektrum bulmak için zaman alıcı hesaplamalar yapmak gerekir: önce ayrık bir sinyalden sürekli bir sinyal yeniden oluşturun, ardından sürekli bir spektrum bulmak için Fourier dönüşümünü kullanın, ardından onu ayrıklaştırın. . Ters dönüşüm için de benzer bir prosedür izlenmelidir. Ayrık bir Fourier dönüşümü kullanılarak ayrık bir sinyalden ayrık bir spektruma ve tam tersi doğrudan geçiş mümkündür.

Serbestlik derecesi sayısı eşit olan sonlu süreli sürekli bir sinyali ele alalım. Bu sinyal için genişlemeyi bir Kotelnikov serisinde yazabiliriz:

Kullanarak normal dönüşüm Bu sinyalin Fourier spektrumunu bulalım:

Bu formüldeki integralin doğrudan hesaplanması emek yoğun bir işlemdir. Ancak bunu başka bir şekilde yapmak zor değil.

İfadeyle belirlenen spektrumu düşünün

Ters Fourier dönüşümünü ona uyguladığımızda, bunun zaman fonksiyonuna karşılık geldiğini buluruz.

Açıkçası, ters ilişki de doğrudur

Gecikme teoremini kullanarak şunu yazabiliriz:

(3.2)'yi (3.1)'e değiştirerek spektrum için son ifadeyi elde ederiz.

Ayrık Fourier dönüşümüne gitmek için, ifade (3.3)'teki spektrum değerlerinin tüm frekans değerleri için değil, ayrık (örneklenmiş) olanlar için hesaplanması gerekir:

Sonuç olarak ayrık Fourier dönüşümü için son formülü elde ederiz.

Ayrık Fourier dönüşümünün özellikleri birçok yönden geleneksel Fourier dönüşümünün özelliklerine benzer. Yalnızca belirli bir özelliği not edelim;

ayrık Fourier dönüşümünün periyodikliği olarak adlandırılabilir.

Tam sayının nerede olduğu için formül (3.4) ile belirlenen değeri düşünün:

Dolayısıyla, ayrık Fourier dönüşümü, periyodu 1'e eşit olan periyodik bir frekans fonksiyonudur. Bu özellik, Bölüm'de tartışılan örneklenmiş sinyallerin spektrumunun periyodiklik özelliğine benzer. 2.

Şimdi spektrum örneklerinden sinyal örneklerini belirlememizi sağlayan ters ayrık Fourier dönüşümünün türetilmesine geçelim. Bunu yapmak için her zamanki ters Fourier dönüşümünü kullanıyoruz.

Sinyalin spektral yoğunluğunu Kotelnikov serisi şeklinde yazıyoruz

ve ters Fourier dönüşümünün integralinin yerine koyun

İfadedeki integral daha önce hesaplanan integrale (3.2) benzer. Bu benzetmeyi kullanarak şunu yazıyoruz:

(3.6)'yı (3.5)'e değiştirerek, zaman fonksiyonu için bir ifade elde ederiz.

İlişkiyi varsayarsak, ayrık bir sinyalin değerlerini belirlemek için bir formül elde ederiz, yani ters ayrık Fourier dönüşümüne ulaşırız

A'nın 0'dan 0'a kadar değerleri aldığı yer

Bazen, notasyon kolaylığı açısından, ayrık Fourier dönüşümünün periyodiklik özelliği kullanılarak, (3.8) ifadesindeki toplamanın sınırları değiştirilir ve ters ayrık Fourier dönüşümü şu şekilde yazılır:

Örneklemek için, ayrık Fourier dönüşümünü örneklenmiş bir üçgen darbeye uygulayın (Şekil 2'de beş örnek değerle tanımlanır).

Ayrık sinyal için bu ifadeyi ayrık Fourier dönüşümü formülünde (3.4) değiştirelim.

Karşılaştırma için bulalım spektral yoğunluk ilk üçgen darbe:

Ayrık spektrumun (3.11) üçgen darbenin (3.12) spektral yoğunluğunu doğru bir şekilde tanımlamadığını görmek kolaydır. Değerler, üçgen darbe spektrumunun karşılık gelen değerlerinden biraz farklıdır (Şekil 3.1, b).

Şimdi spektrumun ayrık değerlerini (3.11) ters ayrık Fourier dönüşümü (3.8) ifadesine koyalım:

Ayrık spektrumun değerleri ile sürekli spektrumun değerleri arasındaki farka rağmen elde edilen sonuç, orijinal ayrık sinyalin formülüyle (3.11) tamamen örtüşmektedir.

Ele alınan örnek, ayrık Fourier dönüşümünün, tıpkı orijinal sürekli sinyalin spektrumunu her zaman doğru bir şekilde tanımlamadığını göstermektedir.

Pirinç. 3.1. Ayrık dönüşümÖrneklenmiş bir üçgen darbenin Fourier'i

örneklenen sinyal her zaman orijinal sürekli sinyali doğru şekilde tanımlamaz. Bununla birlikte, ayrık bir sinyal ile onun ayrık Fourier dönüşümü arasındaki ilişki her zaman bire birdir ve doğrudan ve ters Fourier dönüşümlerinin formülü herhangi bir sayı için katıdır. ayrık değerler. Bu nedenle, ayrık Fourier dönüşümlerinin aparatı bağımsız bir öneme sahiptir ve herhangi bir sayısal diziye uygulanabilir.

Bu durumda ayrık Fourier dönüşümü formüllerinin biraz değiştirilmesi gerekir, çünkü soyut için sayı dizisiÖrnekleme aralığı ve sinyal süresi değerleri anlamsızdır. Bu nedenle formül (3.4)'te toplamın önündeki katsayı atlanır, yerine sinyal ve spektrumun referans değerleri gelir, ile gösterilir ve ayrık Fourier dönüşümü formülü şu şekilde yazılır:

Bu durumda ters ayrık Fourier dönüşümü şu şekildedir:

Formül (3.14) kullanılarak hesaplanan değerler, sürekli salınım spektrumunun örnek değerlerinden bir faktörle farklılık gösterir. Örnek değerleri belirlemek için, formül (3.14) kullanılarak hesaplanan değerleri zaman örnekleme aralığının değeriyle çarpmanız gerekir:

(3.14), (3.15) dönüşümlerinin karşılıklı olarak ters olduğunu gösterelim. Bunu yapmak için, ayrık Fourier dönüşümünü (3.14) kullanarak rastgele bir sayısal dizi alın, diziyi bulun ve ona ters ayrık dönüşümü uygulayın.

Fourier (3.15). Ortaya çıkan diziyi belirtiyoruz

Toplamanın sırasını değiştirelim ve bu ifadeyi biraz dönüştürelim:

(3.16) ifadesinin iç toplamı sıfır if'e, if'e eşittir. Dolayısıyla sayı dizileri birbiriyle çakıştığında. Böylece herhangi bir sayısal diziye doğrudan ve ters ayrık Fourier dönüşümü art arda uygulandığında sonuç aynı dizi olur.

Bu konuyu en basit örneklerle açıklayalım.

1. a'ya eşit bir örnek değerden oluşan en basit ayrık sinyali düşünün. Bu en basit diziyi ayrık Fourier dönüşümü formülüne (3.14) koyarak, şunu elde ederiz: Bir bireyin ayrık Fourier dönüşümü sayısal değer aynı değere eşittir.

Ayrık Fourier dönüşümünün bir diğer önemli uygulaması, bir filtrenin çıkışındaki sinyalin belirli bir frekans yanıtıyla hesaplanmasıdır. Bir giriş sinyali verilirse, bunun için ayrık bir Fourier dönüşümü hesaplanabilir. Şimdi filtrenin frekans tepkisiyle çarparsak, çıkış sinyalinin ayrık Fourier dönüşümünü elde ederiz: Bundan sonra ters ayrık Fourier dönüşümünü kullanarak. filtre çıkışında sinyali bulabiliriz.

Giriş sinyalinin süresi uzunsa, parçalar halinde ayrık Fourier dönüşümü kullanılarak işlenebilir. Bunu yapmak için, giriş sinyalinin ilk N örneğini alın, bunların ayrık Fourier dönüşümünü hesaplayın ve filtrenin frekans yanıtıyla çarptıktan sonra, çıkış sinyalinin ilk N örneğini hesaplamak için ters ayrık Fourier dönüşümünü kullanın. Bundan sonra, giriş sinyalinin sonraki N örneği benzer şekilde işlenir, vb. Sinyal işlemenin doğruluğunu arttırmak için, işlenen örnek serileri kısmen üst üste gelebilir.

Bu sinyal işleme yönteminin avantajı, filtrenin frekans tepkisi tipinde herhangi bir kısıtlamanın bulunmamasıdır. Örneğin frekans tepkisi, geleneksel filtreler kullanılarak elde edilemeyen mükemmel bir dikdörtgen şekil olabilir.

Ayrık Fourier dönüşümü kullanan sinyal işleme, dijital filtreleme olarak adlandırılamaz. her anlamda kelimeler. Gerçek zamanlı olarak çalışan geleneksel dijital filtreler, sinyali geldiği anda sürekli olarak işler ve ayrık bir Fourier dönüşümü kullanılarak çıkış sinyalinin hesaplanması, yalnızca giriş sinyalinin tamamı veya en azından N numunenin ilk serisi bilindikten sonra yapılabilir. Bu nedenle, ayrık Fourier dönüşümü kullanıldığında çıkış sinyali yalnızca belirli bir değerle elde edilebilir.

giriş sinyaline göre gecikme. Ancak bir sayıda pratik uygulamalarçıkış sinyalindeki bu tür bir gecikme önemli bir rol oynamaz ve daha sonra ayrık Fourier dönüşümü kullanılarak sinyal işlemenin uygun olduğu ortaya çıkar.

Modern iletişim teknolojisi olmadan hayal edilemez spektral analiz. Sinyallerin temsili frekans alanı hem özelliklerinin analizi hem de radyo iletişim sistemlerinin alıcı-verici bloklarının ve birimlerinin analizi için gereklidir. Sinyalleri frekans alanına dönüştürmek için doğrudan Fourier dönüşümü kullanılır. Doğrudan Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş formülü şu şekilde yazılır:

Frekans analizi için bu formülden de anlaşılacağı üzere hesaplama yapılmaktadır. korelasyon bağımlılığı zaman alanında temsil edilen bir sinyal ile belirli bir frekanstaki karmaşık bir üstel arasında. Bu durumda Euler formülüne göre karmaşık üstel, gerçek ve sanal kısımlara ayrıştırılır:

Frekans alanında temsil edilen bir sinyal, ters Fourier dönüşümü kullanılarak tekrar zaman alanına dönüştürülebilir. Ters Fourier dönüşümünün genelleştirilmiş formülü şu şekilde yazılır:

Doğrudan Fourier dönüşümü formülü, eksi sonsuzdan sonsuza kadar zaman entegrasyonunu kullanır. Doğal olarak bu matematiksel bir soyutlamadır. İÇİNDE gerçek koşullarşuradan entegre edebiliriz: şu anda 0 olarak gösterebileceğimiz zaman, T zamanından öncedir. Direkt Fourier dönüşümünün formülü aşağıdaki forma dönüştürülecektir:

Sonuç olarak Fourier dönüşümünün özellikleri önemli ölçüde değişir. Bunun yerine sinyal spektrumu sürekli fonksiyon ayrı bir değerler dizisi haline gelir. Şimdi minimum frekans ve aynı zamanda sinyal spektrumunun frekans değerlerinin adımı şöyle olur:

Sadece işlevler günah ve çünkü frekanslarla k/t karşılıklı dik olacak ve bu Fourier dönüşümü için vazgeçilmez bir koşuldur. Fourier serisi açılımının ilk fonksiyonlarının seti Şekil 1'de gösterilmektedir. Bu durumda fonksiyonların süresi analizin süresine denk gelir. T.

Şimdi sinyal spektrumu Şekil 2'de gösterildiği gibi görünecektir.

İÇİNDE bu durumda doğrudan Fourier dönüşümünü (4) hesaplama formülü aşağıdaki forma dönüştürülür:

Spektrumun sınırlı bir süre boyunca belirlenmesi durumunda ters Fourier dönüşümünün formülü şöyle görünecektir:

Benzer şekilde dijital sinyal örnekleri için doğrudan Fourier dönüşümünün formülünü belirleyebilirsiniz. Sürekli bir sinyal yerine dijital örneklerinin kullanıldığı göz önüne alındığında, ifade (6)'da integralin yerini bir toplam alır. Bu durumda analiz edilen sinyalin süresi dijital örneklerin sayısına göre belirlenir. N. Dijital sinyal örnekleri için Fourier dönüşümüne ayrık Fourier dönüşümü denir. ve şu şekilde yazılır:

Şimdi ayrık Fourier dönüşümünün (DFT) özelliklerinin sınırlı bir zaman aralığı boyunca doğrudan Fourier dönüşümüne kıyasla nasıl değiştiğine bakalım. Analog sinyal örneklemeye baktığımızda giriş sinyali spektrumunun frekans sınırlı olması gerektiğini öğrendik. Bu gereklilik, sinyal spektrumunun ayrık bileşenlerinin sayısını sınırlar. Başlangıçta sinyalin spektrumunu frekansla sınırlayabiliyormuşuz gibi görünebilir. F d/2, frekans bileşenlerinin sayısına karşılık gelir K=N/2. Ancak bu doğru değil. Pozitif frekanslar ve negatif frekanslar için gerçek sinyal örneklerinin sinyal spektrumu 0 civarında simetrik olmasına rağmen, bazı spektrum algoritmaları için negatif frekanslar gerekebilir. Giriş sinyalinin karmaşık örnekleri üzerinde ayrık bir Fourier dönüşümü gerçekleştirilirken fark daha da büyüktür. Sonuç olarak tam açıklama spektrum dijital sinyal gerekli N frekans örnekleri ( k = 0, ..., N/2).

Fourier dönüşümleri

Birçok sinyali sinüzoidlere (harmoniklere) ayrıştırarak analiz etmek uygundur. Bunun birkaç nedeni var. Örneğin insan kulağı da benzer şekilde çalışır. Sesi farklı frekanslardaki bireysel titreşimlere ayrıştırır. Ek olarak sinüzoidlerin " kendi fonksiyonları» lineer sistemler (içinden geçtikleri için) doğrusal sistemler, şekli değiştirmeden, ancak yalnızca fazı ve genliği değiştirebilir). Diğer bir neden ise Kotelnikov teoreminin sinyal spektrumu cinsinden formüle edilmiş olmasıdır.

Fourier dönüşümü ) fonksiyonların sinüzoidlere ayrıştırılmasıdır (bundan sonra kosinüs fonksiyonları sinüzoidleri olarak da adlandıracağız, çünkü bunlar “gerçek” sinüzoidlerden yalnızca faz bakımından farklılık gösterir). Fourier dönüşümünün birkaç türü vardır.

1. Periyodik olmayan sürekli bir sinyal, Fourier integraline genişletilebilir.

2. Periyodik sürekli bir sinyal sonsuz bir Fourier serisine genişletilebilir.

3. Periyodik olmayan ayrı bir sinyal, Fourier integraline genişletilebilir.

4. Periyodik bir ayrık sinyal, sonlu bir Fourier serisine genişletilebilir.

Bir bilgisayar yalnızca sınırlı miktarda veriyle çalışabilir, bu nedenle gerçekte yalnızca son Fourier dönüşüm türünü hesaplayabilir. Şimdi ona daha yakından bakalım.

Gerçek sinyal DFT

Ayrık bir sinyal x'in N noktalı bir periyodu olsun. Bu durumda, ayrı sinüzoidlerin sonlu bir serisi (yani doğrusal bir kombinasyon) olarak temsil edilebilir:

Eşdeğer gösterim (her kosinüsü sinüs ve kosinüse ayrıştırıyoruz, ancak artık faz yok):

Pirinç. 6. 8 noktalı ayrık sinyal için Fourier serisi temel işlevleri. Solda kosinüsler, sağda sinüsler var. Frekanslar yukarıdan aşağıya doğru artar.

Temel sinüzoidlerin birden fazla frekansı vardır. Serinin ilk terimi (k =0), adı verilen bir sabittir. sabit bileşen(DC ofset) sinyali. İlk sinüzoid (k = 1), periyodu orijinal sinyalin periyoduyla çakışacak şekilde bir frekansa sahiptir. En yüksek frekans bileşeni (k =N /2), periyodu iki sayıma eşit olacak şekilde bir frekansa sahiptir. KatsayılarA k ve

Bk'ye sinyal spektrumu (spektrum) denir. Si-nin genliklerini gösterirler.

sinyali oluşturan nusoidler. Fourier açılımından iki bitişik sinüzoid arasındaki frekans adımına denir. frekans çözünürlüğü spektrum

Şek. Şekil 6, 8 noktadan ayrı bir sinyali ayrıştırmak için kullanılan sinüzoidleri göstermektedir. Sinüzoidlerin her biri 8 noktadan oluşur, yani sıradan bir ayrık sinyaldir. Açıklık sağlamak amacıyla sürekli sinüzoidler şekilde gösterilmiştir.

Her noktadaki Fourier serisinin toplamını hesaplayarak orijinal sinyali dönüştürün. Bir sinyali sinüzoidlere ayırmaya (yani katsayıları elde etmeye) denir. doğrudan Fourier dönüşümü. Bunun tersi olan süreç ise sinüzoidleri kullanarak sinyal sentezi olarak adlandırılır. ters Fourier dönüşümü(ters Fourier dönüşümü).

Ters Fourier dönüşümünün algoritması açıktır (Fourier serisinin formülünde bulunur; sentezi gerçekleştirmek için katsayıları yerine koymanız yeterlidir). Doğrudan Fourier dönüşümü algoritmasını ele alalım, yani. A k ve B k katsayılarını bulma.

N periyoduna sahip periyodik ayrık sinyaller uzayında togonal temel. Bu, herhangi bir uzay öğesini (sinyali) ona ayrıştırmak için hesaplamanız gerektiği anlamına gelir. nokta ürünleri bu eleman sistemin tüm fonksiyonlarıyla birlikte ve ortaya çıkan katsayılar normalize edilir. O zaman A k ve B k katsayılı temel genişleme formülü orijinal sinyal için geçerli olacaktır.

Böylece, A k ve B k katsayıları skaler çarpımlar olarak hesaplanır (olmayanlarda)

süreksiz durumda - fonksiyonların çarpımının integralleri, ayrık durumda

– ayrık sinyallerin çarpımından elde edilen toplamlar):

Bir segment üzerinde kendi okumalarıyla belirtilen ayrı bir sinyalin spektral temsilinin özelliklerini araştırıyoruz.
, sırasıyla zaman zaman alınır
; toplam örnek sayısı
(- örnekleme aralığı).

Bu tür ayrık sinyalleri inceleme tekniği, ortaya çıkan referans değerleri örneğinin zihinsel olarak sonsuz sayıda tekrarlanmasıdır. Sonuç olarak sinyal periyodik hale gelir.

Belirli bir matematiksel modeli böyle bir sinyalle ilişkilendirerek Fourier serisi açılımını kullanabilir ve karşılık gelen genlik katsayılarını bulabilirsiniz. Bu katsayıların birleşimi ayrı bir periyodik sinyalin spektrumunu oluşturur.

Modeli bir dizi delta darbesi biçiminde kullanalım. Daha sonra ilk titreşim aşağıdaki formülle ifade edilecektir:

(5.1)

Nerede
– analog sinyalin örnek değerleri.

- ayrık Fourier dönüşümü (DFT) (5.4)

DFT'nin temel özellikleri

1. DFT - doğrusal dönüşüm yani. sinyallerin toplamı DFT'lerinin toplamına karşılık gelir

2. Farklı katsayıların sayısı
formül (5.4) kullanılarak hesaplanan, periyot başına N sayısına eşittir; katsayıda

3. Katsayı (sabit bileşen) tüm okumaların ortalama değeridir:

5. Referans değerlerine izin verin – gerçek sayılar. Daha sonra sayıları /2'ye göre simetrik olarak yerleştirilen DFT katsayıları eşlenik çiftler oluşturur:

Ayrık spektral analiz sorunu başka bir şekilde formüle edilebilir. Katsayıların olduğunu varsayalım. DFT'yi oluşturan , verilmiştir. (5.2) formülünü koyalım
ve orijinal sinyalin spektrumunda yer alan harmoniklere karşılık gelen serinin yalnızca sonlu sayıda teriminin toplandığını dikkate alın.

Böylece referans değerlerini hesaplamak için bir formül elde ederiz

(5.5)

Açıkçası, (5.5) ters ayrık Fourier dönüşümü (IDFT) formülüdür.

11 Hızlı Fourier dönüşümü algoritması. Hesaplamalı işlemlerin sayısı. Ayrık ve hızlı Fourier dönüşümlerinin karşılaştırılması.

=0, 1, 2,…,( /2)-1 (5.7)

Giriş dizisinin çift ve tek bölümleriyle ilgili katsayı dizilerinin N/2 periyoduyla periyodik olduğunu dikkate alalım:

Ayrıca formül (5.7)'de yer alan faktör
şu şekilde dönüştürülebilir:

Buradan DFT katsayıları kümesinin ikinci yarısına ilişkin ifadeyi buluyoruz

(5.8)

Formüller (5.7) ve (5.8) FFT algoritmasının temelini oluşturur. Daha ileri hesaplamalar yinelemeli prensibe göre gerçekleştirilir: çift ve tek sayılı numune dizileri yine iki kısma ayrılır. Tek bir elemandan oluşan bir dizi elde edilene kadar işleme devam edilir. Bu elemanın DFT'si kendisiyle çakışmaktadır.

FFT'yi hesaplamak için gereken işlem sayısı şu şekilde tahmin edilir:
.

Giriş dizilerinin yeterli uzunlukta olması durumunda, geleneksel DFT ile karşılaştırıldığında hesaplama hızındaki artış yüzlerce, hatta binlerce kişiye ulaşır.

12.. Z - dönüşüm ve özellikleri. Başvuru Z - dönüşümler.

Ayrık ve dijital cihazların analizinde ve sentezinde Z dönüşümü, sürekli sinyallere göre Fourier integral dönüşümleriyle aynı rolü oynar.

İzin vermek
– belirli bir sinyalin referans değerlerini içeren, sonlu veya sonsuz bir sayısal dizi. Bunu serinin toplamı ile benzersiz bir şekilde eşleştirelim. negatif güçler karmaşık değişken Z:

(5.9)

Bu toplam dizinin Z dönüşümü olarak adlandırılır.
. Ayrık sayı dizilerinin özellikleri, geleneksel matematiksel analiz yöntemleri kullanılarak Z-dönüşümleri incelenerek incelenebilir.

Bu ifade |Z|> olduğunda anlamlıdır. .

Ters Z dönüşümü

x(z), Z karmaşık değişkeninin bir fonksiyonu olsun. Z-dönüşümünün dikkate değer bir özelliği, x(z) fonksiyonunun sonsuz örnek kümesinin tamamını tanımlamasıdır (
).

Aslında serinin her iki tarafını da (5.9) faktörüyle çarpalım.
:

m numaralı terim hariç, sağ taraftaki tüm terimlerin integralleri sıfır olacaktır, dolayısıyla:

(5.11)

Bu ifadeye ters Z dönüşümü denir.

En önemli özellikler Z -dönüşümler:

1. Doğrusallık. Eğer
Ve
- bazı ayrık sinyaller ve bunlara karşılık gelen x(z) ve y(z) Z dönüşümleri biliniyorsa, sinyal
herhangi bir sabitin dönüşümüne karşılık gelecektir Ve . İspat, toplamın formül (5.9)'da yerine konulmasıyla gerçekleştirilir.

2. Z-kaydırılmış sinyalin dönüştürülmesi. Ayrık bir sinyal düşünün
ayrı bir sinyalden kaynaklanan
gecikmeye doğru bir konum kaydırarak, yani. Ne zaman
. Doğrudan Z-dönüşümünü hesaplayarak aşağıdaki sonucu elde ederiz:

Yani sembol
Z alanında bir birim gecikme operatörü (örnekleme aralığı başına) görevi görür.

3. Z-evrişim dönüşümü. x(z) ve y(z) olsun sürekli sinyaller, bunun için evrişim tanımlanır:

(5.13)

ile ilgili olarak ayrık sinyaller(5.13)'e benzetilerek şunu tanıtmak gelenekseldir: ayrık evrişim
– ortak terimi şu şekilde olan bir sayı dizisi:

Böyle ayrık bir evrişime doğrusal denir

Ayrık evrişimin Z dönüşümünü hesaplayalım:

(5.15)

Dolayısıyla, iki ayrık sinyalin evrişimi Z-dönüşümlerinin çarpımına karşılık gelir.

giriiş

Açık laboratuvar dersi ayrık olasılıklar trigonometrik dönüşüm(trafik kazası) aşağıdaki bakış açılarından:

1. Verilen kazanın geri döndürülebilirlik özelliğini kontrol ettik.

2. Önerilen kazanın doğrusallığı araştırıldı.

3. Test edilen kazanın tekrar spektrumunun özelliklerini inceledik.

4. Bir kazada spektrumun simetrik yansımasının varlığını belirledik, yani

4.1. kullanılabilirlik merkezi simetri,

4.2. eksenel (dikey) simetrinin varlığı.

5. Sinyalin faz kaymalarının ortaya çıkan kaza üzerindeki etkisini değerlendirdik.

6. Verilen dönüşüm için benzerlik özelliğinin varlığı kontrol edildi.

7. Belirli bir kazayı kullanarak sinyalleri filtreleme olasılığını araştırdık.

8. Çalışmaya konu olan trafik kazasında enerjinin korunumunu deneysel olarak test ettik.

9. Bu kaza ile ayrık Fourier dönüşümü arasında bir bağlantı keşfettik.

Daha temsili bir analiz için çeşitli giriş sinyalleri de dikkate alındı.

Ayrıklar arasında en ünlüsü fonksiyonel dönüşümler ayrık Fourier dönüşümüdür (DFT)

Ayrık Fourier dönüşümü

Ayrık Fourier dönüşümü şunları belirler: çizgi spektrumu Zamanın ayrıklaştırılmış periyodik fonksiyonu. Ters ayrık Fourier dönüşümü, zaman fonksiyonunu spektrumundan yeniden yapılandırmanıza olanak tanır. Bu dönüşümler genellikle sırasıyla DFT ve ODFT olarak kısaltılır.

DFT periyodik fonksiyonları analiz etmek için kullanılır ve Fourier serisi teorisinden elde edilebilir. x0(t) bir sürekli olsun periyodik fonksiyon P periyodu ve f0 = 1/P frekansı ile

x0(t) fonksiyonu bir Fourier serisine genişletilebilir:

burada genleşme katsayıları X0(n) formülle verilir

Genellikle x0(t) gerçek fonksiyon ve X0(n) karmaşıktır (ancak bu kısıtlama gerekli değildir). x0'ı zamanın bir fonksiyonu olarak ele aldığımız için, X0(n), x0(t)'nin karmaşık spektrumu olarak adlandırılabilir. X0(n)'nin gerçek ve sanal kısımlarını kullanarak, x0(t) salınımını oluşturan bileşenlerin genliği ve fazı bulunabilir.

Periyodik fonksiyon x0(t)'nin ayrıklaştırılmasını ele alalım. Bu fonksiyonun benzersiz bir şekilde ayrıklaştırılabilmesi için spektrumunun belirli bir f1 frekansından daha yüksek frekansa sahip bileşenler içermemesi gerekir;

burada n1, f1 frekansını belirten n'nin tamsayı değeridir.

Şek. Şekil 1, bu kadar sınırlı bir spektrumu ve buna karşılık gelen titreşimi göstermektedir.

örnekleme aralığı T eşittir

yani dönem başına örnek sayısı

İncir. 1. Sınırlı frekans bandı ve spektrumu X0(n) ile periyodik fonksiyon x0(t).

1 Ayrıklaştırmanın bir sonucu olarak, formun T'sine göre normalleştirilmiş bir periyodik salınım elde ederiz.

Bu salınım, periyoduna eşit bir aralıkta tanımlanır;

x(t/T) periyodik bir fonksiyon olduğundan Fourier serisinin katsayılarını hesaplamak için ilişki (2) kullanılır.

(Bölende P'nin /V ile değiştirilmesi ve integralin sınırları normalize edilmiş bir değişkene geçişe karşılık gelir.) İfadeyi (3) değiştirerek şunu elde ederiz:

biliniyor ki

Son olarak, tanım gereği şu gerçeği dikkate alarak

x(k)'yi X(n)'ye bağlayan ilişki, eğer t=kT yerine koyarsak ve x0(t) fonksiyonunun spektrumunun sınırlı genişliği ile toplamın sınırlı sayıda terim içerir. Bu yüzden,

x(k)'nin periyodik bir fonksiyon olduğu unutulmamalıdır.

ve benzer şekilde

Spektrumun periyodik olması, herhangi bir ayrıklaştırılmış fonksiyonun spektrumunun periyodikliği ile açıklanır ve ayrık doğası, ayrıklaştırılmış fonksiyonun kendisinin de periyodik olması gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Dolayısıyla, bir x0(t) periyodik fonksiyonunu ayrıklaştırırken, ilişki (4), x0(t) örneklerinin kullanılmasına izin vererek 0 ≤ n ≤ N - 1 aralığında X0 spektrumuna tam olarak eşit olan X(n) spektrumunu bulmayı sağlar. (n) orijinal periyodik fonksiyonun. X(k) fonksiyonu ve spektrumu Şekil 2'de grafiksel olarak sunulmaktadır. 2. İlişki (5.4) örnekleme teoremi temel alınarak elde edildiğinden, orijinal integral ilişkinin (2) doğru ve ekonomik (hesaplamalarda) eşdeğeridir ve bilgisayarda genleşme katsayılarını hesaplamak için kullanılabilir. (4) ve (5) bağıntılarına sırasıyla ayrık Fourier dönüşümü (DFT) ve ters ayrık Fourier dönüşümü (IDFT) adını vereceğiz. Burada n değişkeninin sıfırdan N-1'e kadar değiştiğini unutmayın. Ortaya çıkan spektrum aşağıdaki gibi yorumlanabilir. İlk (N/2-1) noktaları X(n) - (N/2 - 1)'e karşılık gelir spektral çizgiler X0(n) pozitif frekanslarda, Şekil 2'de gösterildiği gibi. 5.3 ve son (N/2-1) noktalar X(n), negatif frekanslardaki (N/2-1) spektral çizgilere karşılık gelir.

Birkaç dönüşüm ilişkilerin verdiği(4) ve (5), başka bir biçimde de ortaya çıkar. Örneğin 1/N çarpanı ve üssün eksi işareti hem direkt hem de yazılabilir. ters dönüşüm, genel anlam değişmez.

Doğal olarak, bu durumda spektrum, formül (2) ile tanımlanan spektrumla doğrudan tanımlanamaz. Bazen her iki dönüşüm de aynı (1 / N)1/2 çarpanlarıyla verilir.

İncir. 2. Ayrıklaştırılmış periyodik fonksiyon x(k) ve periyodik spektrumu X(n).

İncir. 3. Fourier serisinin katsayıları ile DFT arasındaki ilişki.

DFT'nin Özellikleri

DFT'nin bazı özellikleri pratik konular Sinyal işleme önemli bir rol oynar.

Doğrusallık

Eğer xp(n) ve ur(n) periyodik dizilerse (her biri N örnek periyoduna sahip) ve Xp(k) ve Yp(k) bunların DFT'leriyse, o zaman xp(n) + dizisinin ayrık Fourier dönüşümü + ur(n) eşittir Хр(k) + Yp(k). Bu aynı zamanda sonlu uzunluktaki diziler için de geçerlidir.

Vardiya

Eğer xp(n) dizisi N örnek periyoduyla periyodikse ve DFT'si Xp(k)'ye eşitse, xp(n-n0) formundaki bir periyodik dizinin DFT'si eşit olacaktır.

İncir. 4. Kaydırılmış bir dizinin DFT'sinin tanımına doğru.

Sonlu uzunluktaki dizileri analiz ederken dizinin zaman kaymasının özel doğasını hesaba katmak gerekir. Yani ŞEKİL 2'de. Şekil 4'te a, N numune uzunluğuna sahip sonlu bir x(n) dizisini göstermektedir. Aynı yerde, çarpılar x(n) ile aynı DFT'ye sahip olan eşdeğer periyodik dizi xp(n)'nin örneklerini göstermektedir. Kaydırılan x(n - n0) ve n0 dizisinin DFT'sini bulmak için< N, следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность Хр(n - n0) и в качестве эквивалентной сдвинутой sonlu dizi(bir DFT j'ye sahip olarak, xp(n - n0) dizisinin 0 ≤ n ≤ N - 1 aralığındaki bir bölümünü kabul edin. Böylece, DFT açısından x(n - n0) dizisi elde edilir x(n) dizisinin elemanlarını n0 örnekle dairesel olarak kaydırarak

Simetrinin özellikleri

Eğer v/V örnekleri periyoduna sahip bir periyodik dizi xp(n) gerçekse, bu durumda DFT xp(k) şu koşulları karşılar: aşağıdaki koşullar simetri:

Benzer eşitlikler, N-noktalı DFT X(k)'ye sahip sonlu bir gerçek dizi x(n) için geçerlidir. Eğer girersen ek koşul xp(n) dizisinin simetrisi, yani şunu varsayalım:

o zaman Xp(k)'nin yalnızca gerçek olabileceği ortaya çıkıyor.

Çoğu zaman gerçek dizilerle uğraşmak zorunda olduğumuz için, bir DFT'yi hesaplayarak simetri özelliklerini (6) kullanarak iki dizinin DFT'sini elde edebiliriz. Sırasıyla N örnek periyotları ve N noktalı DFT'ler Хр(k) ve Yp(k) ile gerçek periyodik xp(n) ve yp(n) dizilerini ele alalım. Formdaki zp(n) karmaşık dizisini tanıtalım

DFT'si şuna eşittir:

Eşitliğin gerçek ve sanal kısımlarını (10) ayırarak şunu elde ederiz:

Gerçek kısımlar Xp(k) ve Yp(k) simetriktir ve sanal kısımlar antisimetriktir, dolayısıyla toplama ve çıkarma işlemleri kullanılarak kolayca ayrılabilirler:

Yani, bir N-noktalı DFT'yi hesaplayarak, N uzunluğundaki numunelerin iki gerçek dizisini aynı anda dönüştürmek mümkündür. Bu diziler aynı zamanda simetrikse, DFT'yi elde etmek için gereken işlem sayısı daha da azaltılabilir.

İlgili bilgiler.