30. Nedir sabit süreç?

Durağanlık, bir sürecin özelliklerini zaman içinde değiştirmeme özelliğidir. Bilimin çeşitli alanlarında anlamlıdır. Rastgele bir sürecin durağanlığı, olasılıksal modellerinin zaman içinde değişmezliği anlamına gelir

Zaman serisi, stokastik bir sürecin son uygulamasıdır: bir dizi rastgele değişken Y(t) oluşturmak.

Stokastik bir süreç durağan ve durağan olmayabilir. Süreç durağan ise

1. Değişken değerlerinin matematiksel beklentisi değişmez.

2. Değişkenlerin varyanslarının matematiksel beklentisi değişmez.

3. Dönemsel dalgalanmalar yoktur.

Durağanlık tanıma:

1. Grafik: Sistematik büyüme veya düşüş, uzun bir serideki yüksek volatiliteye (dağılım) sahip dalgalar ve bölgeler hemen görülebilir.

2. Otokorelasyon (gecikme arttıkça azalır)

3. Trend testleri: t'deki katsayının sıfıra eşit olduğu hipotezinin test edilmesi.

4. Stata yazılım paketlerinde yer alan özel testler,

31.Zaman serisinin özellikleri.

Üç tür girdi verisi kullanılarak bir ekonometrik model oluşturulabilir:

Belirli bir zaman noktasında (döneminde) çeşitli nesnelerin bir koleksiyonunu karakterize eden veriler: geçmek kesitsel veri , “uzaysal”;

Bir nesneyi birkaç ardışık an için karakterize eden veriler

(dönemler) zaman: zaman serisi, zaman seri ;

zaman içinde birbirini takip eden birkaç an için bir dizi farklı nesneyi karakterize eden veriler: paneli veri , “panel”.

Zaman serisi birbirini takip eden birkaç an (dönem) için herhangi bir göstergenin değerlerinin kümesidir. Etki altında oluşur büyük sayı faktörleri üç gruba ayırabiliriz:

trendi şekillendiren faktörler ( eğilim ) sıra;

şekillendiren faktörler döngüsel seri dalgalanmalar, örneğin mevsimsel, haftalık; Borsadaki fiyat serisi şu şekilde karakterize edilir: periyodik olmayan salınımlar;

rastgele faktörler.

Bir nesneyi birbirini izleyen birkaç dönem boyunca karakterize eden veriler kullanılarak oluşturulan modellere zaman serisi modelleri denir.

Bir zaman serisinin her seviyesi, trend (T), döngüsel veya mevsimsel bileşenler (S) ve rastgele (E) bileşenlerden oluşturulabilir.

Zaman serisinin listelenen bileşenlerin toplamı olarak sunulduğu modellere toplamsal model, çarpım şeklinde ise çarpımsal model adı verilir.

Toplama modeli şu forma sahiptir:: Y=T+S+E

Çarpımsal model şu forma sahiptir:: Y=T*S*E

Zaman serisi modeli oluşturma:

zaman serisi hizalaması gerçekleştirin (örneğin, hareketli ortalama yöntemini kullanarak); 2. Mevsimsel bileşenin değerlerini hesaplayın; 3. Mevsimsel bileşen ortadan kaldırılarak hizalı bir satır elde edilir; 4. Seviyelerin (T ve E) analitik hizalanması ve E değerlerinin hesaplanması, ortaya çıkan trend denklemi kullanılarak gerçekleştirilir; 5. T ve E değerlerini hesaplayın; 6. Mutlak ve bağıl hataları hesaplayın.

Zaman serisi üzerindeki herhangi bir ekonometri probleminde bir trendi modellerken analitik bir fonksiyonun oluşturulmasına, zaman serisinin analitik hizalanması denir ve temel olarak aşağıdaki fonksiyonlar kullanılır: doğrusal, güç, hiperbolik, parabolik, vb.

Trend parametreleri, zamanın bağımsız değişken olduğu ve zaman serisi seviyelerinin bağımlı değişken olduğu OLS yöntemi kullanılarak doğrusal regresyon durumunda olduğu gibi belirlenir. Seçim kriterleri en iyi şekil bir trend görevi görüyor en yüksek değer Belirleme katsayısı, Fisher ve Öğrenci testleri.

Artıklardaki otokorelasyon, zamandaki mevcut ve önceki noktalara ait artıkların değerleri arasındaki bir korelasyondur. Artıkların otokorelasyonunu belirlemek için Durbin-Watson kriteri kullanılır:

Zaman serisi, t zamanındaki tamsayı noktalara tarihlenen ekonomik bir değişkendir. Bu değişken, belirli bir ekonomik nesnenin niceliksel bir özelliği olarak hizmet eder, dolayısıyla bu değişkenin zaman içindeki değişimi, bu nesneyi zaman içinde etkileyen faktörler tarafından belirlenir.

Tüm faktörler 3 sınıfa ayrılmıştır. Sınıf 1: belirli bir nesne üzerinde ortaya çıkan etkisi uzun bir süre boyunca yönünü değiştirmeyen faktörler (“seküler” etkiler). Monoton bir bileşen (eğilim veya eğilim) üretirler. Sınıf 2: sabit bir T süresi boyunca nesne üzerinde etkisi tam bir daire oluşturan faktörler (döngüsel etkiler). Sınıf 3: nesne üzerinde ortaya çıkan etkisi yön ve yoğunluk değiştiren faktörler (rastgele etkiler) yüksek hızda. 3 Faktör sınıfı, her zaman dilimindeki değeri rastgele bir değişken olarak yorumlamanıza olanak tanır

Durağan rastgele süreç

Olasılık teorisinin doğa bilimleri ve teknolojinin çeşitli dallarına uygulanmasında sıklıkla bulunan, rastgele süreçlerin önemli bir özel sınıfı. Rastgele süreç X (t) eğer tüm değerleri varsa durağan olarak adlandırılır. olasılıksal özellikler t süresi içinde değişmez (bu nedenle örneğin X (t) miktarının olasılık dağılımı her t için aynıdır ve ortak dağıtım X değerlerinin olasılıkları (t

yalnızca t2≈t1 zaman aralığının süresine bağlıdır, yani (X (t1), X (t2)) ve (X (t1 + s), X (t2 + s)) büyüklük çiftlerinin dağılımları aynıdır. herhangi bir t1, t2 ve s, vb.).

S. s şeması. s. pek çoğunu iyi bir yaklaşımla açıklar. gerçek fenomen düzensiz dalgalanmalar eşlik eder. Örneğin dalgalanma akımı veya voltajı elektrik devresi(elektriksel “gürültü”) S. s olarak düşünülebilir. vb., eğer bu devre sabit modda ise, yani tüm makroskopik özellikleri ve üzerinden akım geçmesine neden olan tüm koşullar zamanla değişmiyorsa; Türbülanslı bir akışta bir noktadaki hız titreşimleri s.s'yi temsil eder. s., eğer değişmezlerse genel koşullar, söz konusu akışın oluşturulması (yani akış sabittir), vb. Bunlar ve diğer S. s. Fizikte (özellikle jeo- ve astrofizikte), mekanikte ve teknolojide bulunan öğeler, güneş sistemleri alanındaki araştırmaların gelişimini teşvik etti. P.; Aynı zamanda sosyal sistem kavramına ilişkin bazı genellemelerin de önemli olduğu ortaya çıktı. (örneğin, sabit artışlara sahip rastgele süreç kavramı verilen emir, genelleştirilmiş S. s. ve homojen bir rastgele alan).

İÇİNDE matematiksel teori S.s. Ana rol, en basit olan X (t) sürecinin değerlerinin olasılık dağılımının anları tarafından oynanır. sayısal özellikler bu dağılımlar. İlk iki derecenin anları özellikle önemlidir: S. s'nin ortalama değeri. EX (t) = m ≈ matematiksel beklenti rastgele değişken X (t) ve korelasyon fonksiyonu S. s. p. EX (t1) X (t2)= B (t2≈t1) ≈ X (t1) X (t2) ürününün matematiksel beklentisi (basitçe X (t) değerlerinin varyansı cinsinden ifade edilir ve X (t1) ve X ( t2) arasındaki korelasyon katsayısı; bkz. Korelasyon). Birçoğunda matematiksel araştırma, S. s'ye adanmıştır. vb., genel olarak, yalnızca m ve B (t) özellikleriyle tamamen belirlenen (sözde) özellikleri incelenir. korelasyon teorisi S.s. P.). Bu bağlamda, sabit ortalama değeri EX (t) = m ve korelasyon fonksiyonu B (t2, t1) = EX (t1) X (t2) olan ve yalnızca t2 ≈ t1'e bağlı olan rastgele süreçler X (t) şöyledir: genellikle C olarak adlandırılır. İle. pc geniş anlamda(ve tüm özellikleri zamanla değişmeyen daha özel rastgele süreçlere, bu durumda dar anlamda rastgele süreçler denir).

Sosyal bilimlerin matematiksel teorisinde önemli bir yer. alanlar X (t) rastgele sürecinin genişletilmesine dayanan çalışmalar ve onun korelasyon fonksiyonu Fourier integralinde B (t2 ≈t1) = B (t) veya Fourier ≈ Stieltjes (bkz. Fourier integrali). Buradaki ana rol, sistemin korelasyon fonksiyonuna göre Khinchin teoremi tarafından oynanır. madde X (t) her zaman formda temsil edilebilir

burada F(l) ≈ monoton olarak azalmayan bir fonksiyon l (ve sağdaki ≈ integrali Stieltjes integralidir); eğer B(t), |t|╝¥ kadar hızlı azalırsa (bu, uygulamalarda sıklıkla meydana gelir, ancak X (t) ile aslında X (t) ≈ m farkını kastettiğimiz anlamına gelir), o zaman sağ taraftaki integral (1) olağan Fourier integraline dönüşür:

burada f (l) = F▓(l) ≈ negatif olmayan fonksiyon. F(l) fonksiyonuna s.s'nin spektral fonksiyonu denir. madde X (t) ve F (l) fonksiyonu [eşitliğin (2) geçerli olduğu durumlarda] ≈ spektral yoğunluğu. Ayrıca Khinchin'in teoreminden, X(t) sürecinin kendisinin formun spektral bir ayrışmasını kabul ettiği sonucu çıkar.

burada Z(l) ≈ ilişkisiz artışlara sahip rastgele bir fonksiyon ve sağdaki integral, karşılık gelen integral toplamları dizisinin ortalama kare limiti olarak anlaşılır. Ayrıştırma (3), herhangi bir sistem sistemini dikkate almak için zemin sağlar. ilişkisizlerin süperpozisyonu olarak madde X (t) harmonik titreşimler rastgele genlik ve faza sahip farklı frekanslar; aynı zamanda spektral fonksiyon F(l) ve spektral yoğunluk f (l) dağılımı belirleyin ortalama enerji l frekans spektrumu boyunca X (t)'ye dahil edilen harmonik salınımlar (ve dolayısıyla uygulamalı araştırma f(l) fonksiyonuna sıklıkla sistemin enerji spektrumu veya güç spektrumu da denir. madde X (t)).

S. s. kavramının tanımlanması. s. ve bununla ilgili ilk matematiksel sonuçların elde edilmesi E. E. Slutsky'nin eseridir ve tarihi 20'li yılların sonlarına ve 30'lu yılların başlarına kadar uzanır. 20. yüzyıl Gelecekte önemli iş S. s.'nin teorisine göre. öğeler A. Ya. Khinchin, A. N. Kolmogorov, G. Kramer, N. Wiener ve diğerleri tarafından gerçekleştirildi.

Kaynak: Slutsky E. E., Izbr. tr., M., 1960; Khinchin A. Ya., Durağan stokastik süreçlerin korelasyon teorisi, “İlerlemeler matematik bilimleri", 1938, c. 5, s.42≈51; Rozanov Yu.A., Durağan rastgele süreçler, M., 1963; Prokhorov Yu.V., Rozanov Yu., Olasılık Teorisi. (Temel kavramlar. Limit teoremleri. Rastgele süreçler), 2. baskı, M., 1973; Gikhman I.I., Skorokhod A.V., Rastgele süreçler teorisi, cilt 1, M., 1971; Hennan E., Çok Değişkenli Zaman Serisi, çev. İngilizceden, M., 1974.

Rastgele süreçlerin önemli bir sınıfı sabit Rastgele süreçler, yani zamanla özelliklerini değiştirmeyen rastgele süreçler. Ortalama bir değer etrafında sürekli rastgele salınımlar şeklindedirler. Bunlar: gaz boru hattındaki gaz basıncı, “otomatik uçuş” sırasındaki uçak titreşimleri, gaz boru hattındaki voltaj dalgalanmaları. elektrik ağı vesaire.

Rastgele süreç denirsabit geniş anlamda ,eğer matematiksel beklentisi
Orada sabit sayı ve korelasyon fonksiyonu
yalnızca argümanlar arasındaki farka bağlıdır, yani.

Bu tanımdan, durağan bir sürecin korelasyon fonksiyonunun bir argümanın fonksiyonu olduğu sonucu çıkar: Bu durum sıklıkla durağan rastgele süreçler üzerindeki işlemleri basitleştirir.

Rastgele süreç denirsabit dar anlamda özellikleri argümanların değerlerine değil, yalnızca göreceli konumlarına bağlıysa. Yani süreç kesitlerinin dağılım fonksiyonu aşağıdaki eşitliği sağlamalıdır:

herhangi biri için

SP'nin dar anlamda durağanlığından geniş anlamda durağan olduğu sonucunun çıktığını unutmayın; bunun tersi ifade doğru değildir.

Aşağıda geniş anlamda yalnızca durağan rastgele süreçleri ele alacağız. Daha sonra, rastgele bir durağan sürecin (r.s.p.) korelasyon fonksiyonunun ana özelliklerini sunuyoruz.

1. Dispersiyon s.s.p. sabittir ve korelasyon fonksiyonunun sıfırdaki değerine eşittir, yani.

Yani koordinatların başlangıç ​​noktasında.

2. Korelasyon fonksiyonu s.s.p. eşit bir fonksiyondur, yani


3. Mutlak değer korelasyon fonksiyonu s.s.p. değerini aşamaz
yani


Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu r.s.p. rastgele olmayan bir argüman işlevidir yani



Ayrıca, Özellik 3'e göre eşitsizlik geçerlidir


Örnek 6. Rastgele bir fonksiyon verilir,

aralıkta düzgün dağılmış rastgele değişken


Bunu kanıtla


Çözüm. Matematiksel beklentiyi bulalım

M.o.'nun tanımına dayanarak. elde ederiz (r.v.'nin düzgün dağılımını dikkate alarak). kontrol koşuluna göre
)

Ve


Buradan,


Korelasyon fonksiyonunu bulalım. Merkezi ve rastgele fonksiyonun eşit olduğu düşünülürse (çünkü
), yani korelasyon fonksiyonunun tanımına göre (bkz. paragraf 16.5) elimizdeki

,

Çünkü).

Egzersiz yapmak.Örneğimizin koşullarında bunun gerçekleştiğini gösterin

Yani r.v.'nin matematiksel beklentisi.
argümanın tüm değerleri için sabit bir sayıdır ve korelasyon fonksiyonu yalnızca argümanlar arasındaki farka bağlıdır. Buradan,
rastgele durağan fonksiyon.

Şunu unutmayın, koyarak
korelasyon fonksiyonunda varyansı buluyoruz



Böylece varyans, rastgele bir durağan fonksiyonda olması gerektiği gibi, argümanın tüm değerleri için sabit kalır.

Rastgele durağan süreçlerin çoğu, pratik için önemli olan sözde özelliklere sahiptir, « ergodik özellik" Bunun özü, belirli bir sürecin tek, yeterince uzun, ayrı bir uygulamasından, sürecin tüm özelliklerinin yanı sıra herhangi bir sayıda uygulamadan da yargılanabilmesidir.

Başka bir deyişle, s.s.p.'nin bireysel özellikleri.
yeterince uzun bir sürenin tek bir gerçekleşmesi için karşılık gelen zaman ortalamaları olarak tanımlanabilir.

Sabit ve rastgele ergodik süreç sınıfları arasındaki ilişki, örneğin Şekil 61'deki gibi karakterize edilebilir.

Pirinç. 61 (Mektup).

Ergodik bir sp. için yeterli bir koşul.
matematiksel beklenti ve korelasyon fonksiyonuna göre korelasyon fonksiyonunun sıfıra yönelmesidir.
.

Ergodik s.s.p.'nin özelliklerinin tahminleri olarak. zaman ortalamasını alın:



Eşitliğin sağ tarafındaki integraller pratikte yaklaşık olarak hesaplanır.

Rastgele süreçler
Ve
denir sabit ilgili, eğer karşılıklı korelasyon fonksiyonu
sadece farka bağlı
. Durağan bir sürece örnek olarak harmonik bir salınımı alabiliriz. Bu gösterilebilir
A

Tanım [ | ]

X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T (\displaystyle X_(t)(\cdot)\iki nokta üst üste \Omega \to \mathbb (R),\quad t\T'de),

Nerede T (\displaystyle T) keyfi bir küme denir rastgele fonksiyon .

Terminoloji [ | ]

Bu sınıflandırma katı değildir. Özellikle, "rastgele süreç" terimi sıklıkla "rastgele fonksiyon" teriminin mutlak eşanlamlısı olarak kullanılır.

sınıflandırma [ | ]

• Rastgele süreç X (t) (\displaystyle X(t)) süreç denir zaman içinde ayrık, eğer olayın meydana geldiği sistem durumlarını yalnızca zaman anlarında değiştiriyorsa t 1 , t 2 , … (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ) sayısı sonlu veya sayılabilir. Rastgele süreç denir ile işlem yapmak sürekli zaman , eğer durumdan duruma geçiş herhangi bir zamanda meydana gelebilirse.
• Rastgele süreç denir ile işlem yapmak sürekli durumlar rasgele sürecin değeri sürekli ise rastgele değişken. Rastgele süreç denir ayrık durumlarla rastgele süreç, eğer rastgele sürecin değeri ayrık bir rastgele değişken ise:
• Rastgele süreç denir sabit, eğer tüm çok boyutlu dağıtım yasaları yalnızca göreceli konum zamanın içindeki anlar t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle \;t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), ancak bu miktarların değerlerine göre değil. Başka bir deyişle, olasılıksal kalıpları zaman içinde sabitse, rastgele bir süreç durağan olarak adlandırılır. Aksi halde denir sabit olmayan.
• Rastgele fonksiyon denir geniş anlamda sabit, eğer matematiksel beklentisi ve varyansı sabitse ve ACF yalnızca koordinatların alındığı zaman anları arasındaki farka bağlıysa rastgele fonksiyon. Konsept A. Ya Khinchin tarafından tanıtıldı.
• Rastgele bir sürece, sabit artışlara sahip bir süreç denir. belli bir düzen Böyle bir artışın olasılık kalıpları zaman içinde sabitse. Bu tür süreçler Yaglom tarafından değerlendirildi.
• Rastgele bir fonksiyonun koordinatları normal dağılım yasasına uyuyorsa, o zaman fonksiyonun kendisi çağrılır. normal.
• Gelecekteki bir zamanda tamamen sürecin koordinatının değeri ile belirlenen koordinatların dağılım yasası olan rastgele işlevler şimdiki an zamana ve prosesin önceki zamanlardaki ordinat değerlerine bağlı değildir denir Markoviyen.
• Rastgele süreç denir bağımsız artışlarla süreç herhangi bir set için ise t 1 , t 2 , … , t n (\displaystyle t_(1),t_(2),\ldots ,t_(n)), Nerede n > 2 (\displaystyle n>2), A t 1< t 2 < … < t n {\displaystyle t_{1} , rastgele değişkenler (X t 2 - X t 1) (\displaystyle (X_(t_(2))-X_(t_(1)))), (X t 3 - X t 2) (\displaystyle (X_(t_(3))-X_(t_(2)))), … (\displaystyle \ldots), (X t n - X t n - 1) (\displaystyle (X_(t_(n))-X_(t_(n-1)))) kolektif olarak bağımsızdır.
• Durağan bir rastgele sürecin moment fonksiyonlarını belirlerken, istatistiksel bir topluluk üzerinden ortalama alma işlemi, zaman içinde ortalama alma ile değiştirilebiliyorsa, o zaman böyle bir durağan rastgele süreç denir. ergonomik .
• Rastgele süreçler arasında dürtüsel rastgele süreçler ayırt edilir.

Rastgele bir sürecin yörüngesi[ | ]

Rastgele bir süreç verilsin ( X t ) t ∈ T (\ displaystyle \(X_(t)\)_(t\ T'de)). Daha sonra her sabit için t ∈ T (\displaystyle t\T'de) X t (\displaystyle X_(t))- rastgele bir değişken adı verilir enine kesit. Temel sonuç sabitse ω ∈ Ω (\displaystyle \omega \in \Omega ), O X t: T → R (\displaystyle X_(t)\iki nokta üst üste\to \mathbb (R))- deterministik parametre fonksiyonu t (\displaystyle t). Bu fonksiyon denir yörünge veya uygulama rastgele fonksiyon ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)) | ]

Dar anlamda durağan bir rastgele süreç, rastgele bir süreçtir. N Tüm zaman örnekleri aynı miktarda kaydırılırsa boyutlu olasılık yoğunluğu değişmeyecektir:

Eğer seçersen, o zaman N-boyutsal olasılık yoğunluğu zamanın kökenine bağlı olmayacaktır

Dolayısıyla, durağan bir süreç için tek boyutlu olasılık yoğunluğu zamana hiçbir şekilde bağlı değildir ve iki boyutlu yoğunluk da ayrı ayrı zamana bağlı değildir. T 1 ve T 2 ve aralarındaki farktan

Buna karşılık, (2.9) ve (2.10) ifadelerinden, durağan bir sürecin matematiksel beklentisinin ve dağılımının zamana bağlı olmadığı ve korelasyon fonksiyonunun zamana bağlı olduğu sonucu çıkar. T:

(2.11)

(2.12)

(2.11), (2.12) ve (2.13)'ten matematiksel beklentinin sabit olduğu ve dolayısıyla durağan bir süreç için sürecin sabit bileşenini karakterize ettiği sonucu çıkar; istikrar, zamanın her noktasında T dalgalanmaların ortalama özgül gücü (yani değişken bileşenin gücü) aynıdır; bağımlılık, durağan bir süreç için hangi noktalarda olduğunun önemli olmadığı anlamına gelir. T 1 ve T 2 bölüm alınır aralarındaki fark önemlidir .

Eğer koşul (2.7) sağlanmıyorsa rastgele süreç çağrılır. sabit olmayan. Bazen durağanlık yalnızca (2.9), (2.10) ve buna bağlı olarak (2.11) - (2.13) eşitliklerinin yerine getirilmesiyle değerlendirilir. (2.9) ve (2.10) eşitlikleri sağlanırsa, (2.7) koşulunun sağlanıp sağlanmadığıyla ilgilenmeksizin sürecin durağan olduğunu söylüyorlar. Bu yaklaşım durağanlığın daha geniş bir yorumunu verir.

Geniş anlamda durağan bir sürecin tanımı, pratik problemlerin çözümü için daha kabul edilebilirdir çünkü tek boyutlu ve iki boyutlu olasılık yoğunluklarına ilişkin verileri elde etmek, çok boyutlu olanlara göre daha kolaydır.

Kesin anlamda, herhangi bir sürecin geçmişte belirli bir noktada başlaması ve muhtemelen gelecekte bir noktada bitmesi gerektiğinden, fiziksel olarak durağan rastgele süreçler yoktur. Ancak sürecin istatistiksel özelliklerinin gözlem zaman aralığı boyunca değişmediği birçok fiziksel durum vardır. Bu durumlarda durağanlık varsayımı, gerçek duruma oldukça doğru bir yaklaşım sağlayan uygun bir matematiksel modele yol açar.

Durağan rastgele süreçlerin ergodik özelliği

Tüm durağan süreçler arasında ergodik özelliğe sahip bir kısım vardır. Bu özelliği açıklayalım. Uzun bir uygulama olsun X(T) rastgele süreç ( T). Bu uygulama aralıkta tanımlanır Yeterince geniş bir aralıkta zaman içindeki ortalamasını alarak bu gerçekleşmenin ortalama değerini bulalım:

(2.14)

üst çizginin zaman içindeki ortalama anlamına geldiği durumda, ortalama değer bağımsız olarak sabit bir değerdir T.

Benzer şekilde, dalgalanmaların karesinin ortalama değerini ve aralığa göre birbirine göre kaydırılan dalgalanmaların ürününün ortalama değerini bulabilirsiniz:

(2.15)

Fiziksel anlamda (2.14) - (2.16) nicelikleri, (t) sürecinin ortalama değeri, dağılım ve korelasyon fonksiyonuna karşılık gelen sayısal özelliklerdir. Ancak uzun bir uygulamanın zaman içindeki ortalamasının alınması sonucu elde edilirler. x(t) veya ondan işlevler.

Durağan bir sürecin olduğu söyleniyor ergodik özellik Birliğe yakın bir olasılıkla, zaman içinde uzun bir gerçekleşmenin ortalamasının alınması sonucunda elde edilen sayısal özellikler, topluluk üzerinden ortalamanın alınması sonucunda elde edilen aynı özelliklere eşittir. Bu durumda, bir topluluk üzerinden ortalama alma, olasılık yoğunluğunu kullanan, yani (2.11) - (2.13) formüllerini kullanan sayısal özelliklerin tanımıdır, çünkü olasılık yoğunluğu tüm popülasyonu veya gerçekleşmeler topluluğunu karakterize eder.

Dolayısıyla, ergodik bir durağan süreç için eşitlikler geçerlidir:

, (2.17)

“Ergodik” kelimesinin kendisi, “iş” anlamına gelen Yunanca “ergon” kelimesinden gelir. Ergodik özellik, uzun bir uygulaması mevcut olduğunda durağan bir sürecin sayısal özelliklerini hesaplamak için uygun bir çalışma hipotezidir. Fiziksel olarak bu, uzun bir uygulamanın bu rastgele sürecin tüm uygulamaları hakkında bilgi içerebileceği gerçeğiyle doğrulanır.

Sürecin durağanlığının ergodiklik için gerekli ancak yetersiz bir koşul olduğunu unutmayın. Bu, tüm durağan süreçlerin ergodik olmadığı anlamına gelir. Genel olarak, ergodikliğin herhangi bir fiziksel süreç için geçerli bir varsayım olduğunu kanıtlamak imkansız olmasa da zordur, çünkü bu sürecin yalnızca bir uygulaması gözlemlenebilir. Bununla birlikte, buna karşı zorlayıcı fiziksel argümanlar olmadığı sürece sürecin ergodik olduğunu varsaymak genellikle mantıklıdır.