Matematiksel beklenti 0'a eşit olabilir mi? Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve varyansı

– 10 yeni doğan bebekteki erkek çocukların sayısı.

Bu sayının önceden bilinmediği kesinlikle açıktır ve doğacak sonraki on çocuk şunları içerebilir:

Veya çocuklar - bir ve tek listelenen seçeneklerden.

Ve formda kalmak için biraz beden eğitimi:

– uzun atlama mesafesi (bazı birimlerde).

Bunu bir spor ustası bile tahmin edemez :)

Ancak hipotezleriniz?

2) Sürekli rastgele değişken – kabul eder Tüm sayısal değerler sonlu veya sonsuz bir aralıktan.

Not : V eğitim literatürü popüler kısaltmalar DSV ve NSV

İlk önce ayrık rastgele değişkeni analiz edelim, sonra - sürekli.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası

- Bu yazışma bu miktarın olası değerleri ile olasılıkları arasında. Çoğu zaman yasa bir tabloda yazılır:

Terim oldukça sık karşımıza çıkıyor sıra dağıtım, ancak bazı durumlarda kulağa belirsiz geliyor ve bu yüzden "yasaya" bağlı kalacağım.

Ve şimdi Çok önemli nokta : rastgele değişkenden beri mutlaka kabul edecek değerlerden biri, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grup ve bunların meydana gelme olasılıklarının toplamı bire eşittir:

veya kısaltılmış olarak yazılırsa:

Örneğin, bir zarın üzerine atılan noktaların olasılık dağılımı yasası aşağıdaki biçimdedir:

Yorum yok.

Ayrık bir rastgele değişkenin yalnızca "iyi" tam sayı değerleri alabileceği izlenimine kapılmış olabilirsiniz. Bu yanılsamayı ortadan kaldıralım; her şey olabilirler:

Örnek 1

Bazı oyunlar var sonraki yasa kazanan dağıtım:

...muhtemelen uzun zamandır bu tür görevlerin hayalini kuruyordunuz :) Size bir sır vereceğim; ben de. Özellikle çalışmayı bitirdikten sonra alan teorisi.

Çözüm: Bir rastgele değişken aşağıdakilerden yalnızca birini alabileceğinden üç anlam, ardından karşılık gelen olaylar formu tam grup Bu, olasılıklarının toplamının bire eşit olduğu anlamına gelir:

“Partizanı” ifşa etmek:

– dolayısıyla konvansiyonel birimleri kazanma olasılığı 0,4'tür.

Kontrol: Emin olmamız gereken şey buydu.

Cevap:

Kendi başınıza bir dağıtım kanunu hazırlamanız gerekmesi alışılmadık bir durum değildir. Bunun için kullanıyorlar olasılığın klasik tanımı, olay olasılıkları için çarpma/toplama teoremleri ve diğer cipsler tervera:

Örnek 2

Kutuda 12'si kazanan, 2'si her biri 1000 ruble ve geri kalanı - her biri 100 ruble olmak üzere 50 piyango bileti bulunuyor. Rastgele bir değişkenin dağıtımı için bir yasa hazırlayın - eğer kutudan rastgele bir bilet çekilirse kazancın büyüklüğü.

Çözüm: fark ettiğiniz gibi, rastgele bir değişkenin değerleri genellikle artan sırada. Bu nedenle en küçük kazançlarla yani ruble ile başlıyoruz.

Toplamda bu tür 50 bilet var - 12 = 38 ve buna göre klasik çözünürlüklü:
– rastgele çekilen bir biletin kaybetme olasılığı.

Diğer durumlarda her şey basittir. Ruble kazanma olasılığı:

Kontrol edin: – ve bu özel güzel an bu tür görevler!

Cevap: Kazançların dağıtımında arzu edilen yasa:

Sonraki görev bağımsız karar:

Örnek 3

Atıcının hedefi vurma olasılığı . Rastgele bir değişken için bir dağıtım yasası hazırlayın - 2 atıştan sonraki isabet sayısı.

...onu özlediğini biliyordum :) Hatırlayalım çarpma ve toplama teoremleri. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Dağıtım kanunu tamamen bir rastgele değişkeni tanımlar, ancak pratikte bunun yalnızca bir kısmını bilmek faydalı olabilir (ve bazen daha faydalı olabilir) sayısal özellikler .

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Konuşuyorum basit bir dille, Bu ortalama beklenen değer Test birçok kez tekrarlandığında. Rastgele değişkenin olasılıklı değerler almasına izin verin sırasıyla. O zaman bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi şuna eşittir: ürünlerin toplamı tüm değerleri karşılık gelen olasılıklara göre:

veya çöktü:

Örneğin, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, yani bir zarın üzerine atılan puan sayısını hesaplayalım:

Şimdi varsayımsal oyunumuzu hatırlayalım:

Şu soru ortaya çıkıyor: Bu oyunu oynamak hiç karlı mı? ...kimlerin izlenimi var? Yani bunu “hazırlıksız” söyleyemezsiniz! Ancak bu soru matematiksel beklentinin hesaplanmasıyla kolaylıkla cevaplanabilir: ağırlıklı ortalama kazanma olasılığına göre:

Dolayısıyla bu oyunun matematiksel beklentisi kaybetmek.

Gösterimlerinize güvenmeyin; sayılara güvenin!

Evet burada 10 hatta 20-30 kez üst üste kazanabilirsiniz ama uzun vadede kaçınılmaz bir yıkım bizi bekliyor. Ve sana bu tür oyunlar oynamanı tavsiye etmem :) Peki, belki sadece eğlence için.

Yukarıdakilerin hepsinden, matematiksel beklentinin artık RASTGELE bir değer olmadığı sonucu çıkmaktadır.

Yaratıcı görevİçin bağımsız araştırma:

Örnek 4

Bay X Avrupa ruleti oynuyor sonraki sistem: sürekli olarak “kırmızı”ya 100 ruble bahis oynuyor. Rastgele bir değişkenin kazançlarının dağılım yasasını çizin. Kazançların matematiksel beklentisini hesaplayın ve bunu en yakın kopeğe yuvarlayın. Kaç tane ortalama olarak Oyuncu bahis oynadığı her yüz için kaybeder mi?

Referans : Avrupa ruletinde 18 kırmızı, 18 siyah ve 1 yeşil sektör (“sıfır”) bulunur. Eğer “kırmızı” görünürse, oyuncuya bahsin iki katı ödeme yapılır, aksi halde bahis kumarhanenin gelirine gider.

Kendi olasılık tablolarınızı oluşturabileceğiniz başka birçok rulet sistemi de vardır. Ancak herhangi bir dağıtım kanununa veya tablosuna ihtiyacımız olmadığında durum böyledir çünkü oyuncunun matematiksel beklentisinin tamamen aynı olacağı kesin olarak tespit edilmiştir. Sistemden sisteme değişen tek şey

Rastgele değişkenler dağıtım kanunlarına ek olarak ayrıca tanımlanabilir. sayısal özellikler .

Matematiksel beklenti Bir rastgele değişkenin M(x)'ine onun ortalama değeri denir.

Beklenti ayrık rastgele değişken aşağıdaki formülle hesaplanır

Nerede – rastgele değişken değerleri, p Ben- onların olasılıkları.

Matematiksel beklentinin özelliklerini ele alalım:

1. Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir

2. Bir rastgele değişken belirli bir k sayısı ile çarpılırsa, matematiksel beklenti de aynı sayı ile çarpılacaktır.

M(kx) = kM(x)

3. Tutarın matematiksel beklentisi rastgele değişkenler matematiksel beklentilerinin toplamına eşit

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Bağımsız rastgele değişkenler x 1, x 2, … x n için çarpımın matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Örnek 11'den rastgele değişken için matematiksel beklentiyi hesaplayalım.

M(x) = = .

Örnek 12. Rastgele değişkenler x 1, x 2'nin dağıtım yasalarına göre belirtilmesine izin verin:

x 1 Tablo 2

x 2 Tablo 3

M (x 1) ve M (x 2)'yi hesaplayalım

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Her iki rastgele değişkenin matematiksel beklentileri aynıdır; sıfıra eşittirler. Ancak dağılımlarının doğası farklıdır. X 1 değerleri matematiksel beklentilerinden çok az farklıysa, o zaman x 2 değerleri büyük ölçüde matematiksel beklentilerinden farklıdır ve bu tür sapmaların olasılıkları küçük değildir. Bu örnekler, ortalama değerden, hem daha küçük hem de daha büyük sapmaların meydana geldiğini belirlemenin imkansız olduğunu göstermektedir. büyük taraf. Yani aynı şeyle ortalama Her iki bölgedeki yıllık yağış dikkate alındığında bu alanların tarımsal çalışmaya aynı derecede elverişli olduğu söylenemez. Ortalamaya benzer ücretler yargılamak mümkün değil özgül ağırlık yüksek ve düşük ücretli işçiler. Bu nedenle sayısal bir özellik tanıtılmıştır - dağılım D(x) , rastgele bir değişkenin ortalama değerinden sapma derecesini karakterize eden:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dağılım, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentiden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir. Ayrık bir rastgele değişken için varyans aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

D(x)= = (3)

Dağılımın tanımından D(x)0 sonucu çıkar.

Dispersiyon özellikleri:

1. Sabitin varyansı sıfırdır

2. Bir rastgele değişken belirli bir k sayısıyla çarpılırsa varyans bu sayının karesiyle çarpılır.

D (kx) = k 2 D (x)

3. D(x) = M(x2) – M2(x)

4. İkili bağımsız rastgele değişkenler x 1 , x 2 , … x n için toplamın varyansı, varyansların toplamına eşittir.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Örnek 11'den rastgele değişkenin varyansını hesaplayalım.

Matematiksel beklenti M (x) = 1. Dolayısıyla formül (3)'e göre elimizde:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Özellik 3'ü kullanırsanız varyansı hesaplamanın daha kolay olduğunu unutmayın:

D(x) = M(x2) – M2(x).

Bu formülü kullanarak Örnek 12'deki x 1 , x 2 rastgele değişkenlerinin varyanslarını hesaplayalım. Her iki rastgele değişkenin matematiksel beklentileri sıfırdır.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Nasıl daha yakın değer dağılım sıfıra yaklaştıkça, rastgele değişkenin ortalama değere göre yayılması o kadar küçük olur.

Miktar denir standart sapma. Rastgele değişken modu X ayrık tip Md Olasılığı en yüksek olan rastgele değişkenin değerine denir.

Rastgele değişken modu X sürekli tip Md, isminde gerçek sayı maksimum olasılık yoğunluk dağılımı f(x) noktası olarak tanımlanır.

Rastgele bir değişkenin medyanı X sürekli tip Mn denklemi karşılayan gerçek bir sayıdır

X-4 6 10
р 0,2 0,3 0,5

Çözüm: Matematiksel beklenti, X'in tüm olası değerlerinin ve bunların olasılıklarının çarpımlarının toplamına eşittir:

M(X) = 4*0,2 + 6*0,3 +10*0,5 = 6.

Kendiniz çözmek için bir örnek (bir hesap makinesi kullanabilirsiniz).
Dağıtım yasasıyla belirtilen ayrık bir rastgele X değişkeninin matematiksel beklentisini bulun:

X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4

Matematiksel beklenti aşağıdaki özelliklere sahiptir.

Özellik 1. Matematiksel beklenti sabit değer en sabite eşit: M(C)=C.

Mülk 2. Sabit çarpan matematiksel beklentinin işareti olarak alınabilir: M(СХ)=СМ(Х).

Özellik 3. Karşılıklı bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisi, faktörlerin matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Özellik 4. Rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Problem 189. X ve Y'nin matematiksel beklentileri biliniyorsa, Z rastgele değişkeninin matematiksel beklentisini bulun: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Çözüm: Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak (toplamın matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir; sabit faktör, matematiksel beklentinin işaretinden çıkarılabilir), M(Z) elde ederiz. )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak şunu kanıtlayın: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) X-M(X) sapmasının matematiksel beklentisi sıfıra eşittir.

191. Ayrık bir rastgele değişken X üç olası değeri alır: x1= 4 Olasılıkla p1 = 0,5; xЗ = 6 P2 olasılığıyla = 0,3 ve x3, p3 olasılığıyla. M(X)=8 olduğunu bilerek x3 ve p3'ü bulun.

192. Ayrık bir rasgele değişken X'in olası değerlerinin bir listesi verilmiştir: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1; bu değerin ve karesinin matematiksel beklentileri de bilinmektedir: M(X) = 0.1 , M(X^2) = 0 ,9. Xi'nin olası değerlerine karşılık gelen p1, p2, p3 olasılıklarını bulun

194. 10 parçadan oluşan bir parti, standart olmayan üç parça içermektedir. İki parça rastgele seçildi. Ayrık bir rastgele değişken X'in matematiksel beklentisini bulun - seçilen iki parça arasındaki standart olmayan parçaların sayısı.

196. Bu tür beş atışın ayrık rastgele değişkeni X-sayısının matematiksel beklentisini bulun zar, her birinde iki zarın üzerinde bir nokta görünecektir, eğer toplam sayı atışlar yirmiye eşittir.

Matematiksel beklenti. Matematiksel beklenti ayrık rastgele değişken X, ev sahibi son sayı değerler XBen olasılıklarla RBen, miktar şu şekilde adlandırılır:

Matematiksel beklenti sürekli rastgele değişken X değerlerinin çarpımının integrali denir X olasılık dağılım yoğunluğu hakkında F(X):

(6B)

Yanlış integral (6 B) kesinlikle yakınsak olduğu varsayılır (aksi takdirde matematiksel beklentinin olduğunu söylerler) M(X) mevcut değil). Matematiksel beklenti karakterize eder ortalama değer rastgele değişken X. Boyutu rastgele değişkenin boyutuyla örtüşür.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

Dağılım. Varyans rastgele değişken X numara denir:

Varyans saçılma özelliği rastgele değişken değerleri X ortalama değerine göre M(X). Varyansın boyutu rastgele değişkenin boyutunun karesine eşittir. Ayrık bir rastgele değişken için varyans (8) ve matematiksel beklenti (5) ve sürekli bir rastgele değişken için (6) tanımlarına dayanarak, varyans için benzer ifadeler elde ederiz:

(9)

Burada M = M(X).

Dispersiyon özellikleri:

Standart sapma:

(11)

Ortalamanın boyutundan beri kare sapma Rastgele değişkenle aynı olduğundan, varyanstan çok dağılım ölçüsü olarak kullanılır.

Dağıtım anları. Matematiksel beklenti ve dağılım kavramları daha fazlasının özel durumlarıdır. genel konsept rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri için – dağıtım anları. Bir rastgele değişkenin dağılım momentleri, bir rastgele değişkenin bazı basit fonksiyonlarının matematiksel beklentileri olarak tanıtılmaktadır. Yani, sipariş anı k noktaya göre X 0'a matematiksel beklenti denir M(X–X 0 )k. Kökeni hakkında anlar X= 0 denir ilk anlar ve belirlenmişlerdir:

(12)

Birinci dereceden başlangıç ​​momenti, söz konusu rastgele değişkenin dağılımının merkezidir:

(13)

Dağıtım merkezi ile ilgili anlar X= M denir merkezi noktalar ve belirlenmişlerdir:

(14)

(7)'den birinci dereceden merkezi momentin her zaman olduğu sonucu çıkar. sıfıra eşit:

Merkezi momentler, kaydırıldığından beri rastgele değişkenin değerlerinin kökenine bağlı değildir. sabit değer İLE dağıtım merkezi aynı değerde değişiyor İLE ve merkezden sapma değişmez: X – M = (X – İLE) – (M – İLE).
Şimdi açıkça görülüyor ki dağılım- Bu ikinci dereceden merkezi moment:

Asimetri. Üçüncü dereceden merkezi moment:

(17)

değerlendirmeye hizmet eder dağıtım asimetrileri. Dağılım noktaya göre simetrik ise X= M o zaman üçüncü dereceden merkezi moment sıfıra eşit olacaktır (tek dereceli tüm merkezi momentler gibi). Bu nedenle üçüncü dereceden merkezi moment sıfırdan farklıysa dağılım simetrik olamaz. Asimetrinin büyüklüğü boyutsuz bir ölçüm kullanılarak değerlendirilir. asimetri katsayısı:

(18)

Asimetri katsayısının (18) işareti sağ veya sol taraftaki asimetriyi gösterir (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dağılım asimetrisi türleri.

Aşırı. Dördüncü dereceden merkezi moment:

(19)

sözde değerlendirmeye hizmet eder aşırı, eğriye göre dağılımın merkezine yakın dağılım eğrisinin diklik (sivrilik) derecesini belirler normal dağılım. Normal bir dağılım için basıklık olarak alınan değer:

(20)

Şek. Şekil 3'te dağılım eğrilerinin örnekleri gösterilmektedir farklı anlamlar aşırı. Normal dağılım için e= 0. Normalden daha sivri olan eğrilerin pozitif basıklığı vardır, daha düz tepeli olanların ise negatif basıklığı vardır.

Pirinç. 3. Değişken derecelerde dikliğe (basıklık) sahip dağılım eğrileri.

Mühendislik uygulamalarında yüksek dereceli momentler matematiksel istatistik genellikle kullanılmaz.

Moda ayrık Rastgele bir değişken onun en olası değeridir. Moda sürekli rastgele bir değişken, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir (Şekil 2). Dağılım eğrisinin bir maksimumu varsa dağılım denir. tek modlu. Bir dağılım eğrisinin birden fazla maksimumu varsa bu dağılıma dağılım denir. çok modlu. Bazen eğrileri maksimumdan ziyade minimuma sahip olan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara denir anti-modal. İÇİNDE genel durum rastgele bir değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, modal yani bir modu olan, simetrik bir dağılıma sahip olan ve matematiksel bir beklentinin olması koşuluyla, dağılımın modu ve simetri merkezi ile örtüşen bir dağılımdır.

Medyan rastgele değişken X- anlamı bu Meh, eşitliğin geçerli olduğu: yani rastgele değişkenin eşit derecede muhtemel olması X daha az veya daha fazla olacak Meh. geometrik olarak medyan dağılım eğrisinin altındaki alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 2). Simetrik modal dağılım durumunda medyan, mod ve matematiksel beklenti aynıdır.

Kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri: matematiksel beklenti, dağılım ve standart sapma. Özellikleri ve örnekleri.

Dağılım yasası (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu) tamamen rastgele bir değişkenin davranışını tanımlar. Ancak bir takım problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için, incelenen değerin bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Ayrık rastgele değişkenlerin temel sayısal özelliklerini ele alalım.

Tanım 7.1.Matematiksel beklenti Ayrık bir rastgele değişken, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x pp s.(7.1)

Bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzsa, o zaman ortaya çıkan seri kesinlikle yakınsayacaktır.

Not 1. Matematiksel beklenti bazen denir ağırlıklı ortalama rasgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşit olduğundan büyük sayı deneyler.

Not 2. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin bir rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar.

Not 3. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan(devamlı. Daha sonra aynı şeyin sürekli rastgele değişkenler için de geçerli olduğunu göreceğiz.

Örnek 1. Matematiksel bulalım rastgele bir değişken bekliyorum X- 2'si arızalı olmak üzere 10 parçadan oluşan bir partiden seçilen üç standart parçanın sayısı. Şunun için bir dağıtım serisi oluşturalım: X. Sorun koşullarından şu sonuç çıkıyor: X 1, 2, 3 değerlerini alabilir. Daha sonra

Örnek 2. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini belirleyin X- armanın ilk ortaya çıkmasından önce atılan yazı-tura sayısı. Bu değer alabilir sonsuz sayı değerler (olası değerler kümesi kümedir doğal sayılar). Dağıtım serisi şu şekildedir:

+ (hesaplarken, sonsuz azalanların toplamı formülü geometrik ilerleme: , Neresi ).

Matematiksel beklentinin özellikleri.

1) Bir sabitin matematiksel beklentisi sabitin kendisine eşittir:

M(İLE) = İLE.(7.2)

Kanıt. Eğer dikkate alırsak İLE yalnızca bir değer alan ayrık bir rastgele değişken olarak İLE olasılıkla R= 1 ise M(İLE) = İLE?1 = İLE.

2) Matematiksel beklentinin işaretinden sabit faktör çıkarılabilir:

M(Müşteri Deneyimi) = SANTİMETRE(X). (7.3)

Kanıt. Rastgele değişken ise X dağıtım serisiyle verilir

Daha sonra M(Müşteri Deneyimi) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = İLE(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = SANTİMETRE(X).

Tanım 7.2.İki rastgele değişken denir bağımsız Birinin dağıtım yasası diğerinin hangi değerleri aldığına bağlı değilse. Aksi takdirde rastgele değişkenler bağımlı.

Tanım 7.3. hadi arayalım bağımsız rastgele değişkenlerin çarpımı X Ve e rastgele değişken XY olası değerleri tüm olası değerlerin çarpımına eşit olan X tüm olası değerler için e ve karşılık gelen olasılıklar, faktörlerin olasılıklarının çarpımına eşittir.

3) İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir:

M(XY) = M(X)M(e). (7.4)

Kanıt. Hesaplamaları basitleştirmek için kendimizi şu durumla sınırlandırıyoruz: X Ve e yalnızca iki olası değeri alın:

Buradan, M(XY) = X 1 sen 1 ?P 1 G 1 + X 2 sen 1 ?P 2 G 1 + X 1 sen 2 ?P 1 G 2 + X 2 sen 2 ?P 2 G 2 = sen 1 G 1 (X 1 P 1 + X 2 P 2) + + sen 2 G 2 (X 1 P 1 + X 2 P 2) = (sen 1 G 1 + sen 2 G 2) (X 1 P 1 + X 2 P 2) = M(X)?M(e).

Not 1. Benzer şekilde bu özelliği şunun için kanıtlayabiliriz: Daha Faktörlerin olası değerleri.

Not 2.Özellik 3, matematiksel tümevarım yöntemiyle kanıtlanmış herhangi bir sayıda bağımsız rastgele değişkenin çarpımı için doğrudur.

Tanım 7.4. Hadi tanımlayalım rastgele değişkenlerin toplamı X Ve e rastgele değişken olarak X+Y olası değerleri her olası değerin toplamına eşit olan X herkesle olası anlam e; bu tür toplamların olasılıkları terimlerin olasılıklarının çarpımına eşittir (bağımlı rastgele değişkenler için - bir terimin olasılığının çarpımı) koşullu olasılık ikinci).

4) İki rastgele değişkenin (bağımlı veya bağımsız) toplamının matematiksel beklentisi, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M (X+Y) = M (X) + M (e). (7.5)

Kanıt.

Tekrar rastgele değişkenleri ele alalım, satırlarla verilen mülkiyet kanıtında verilen dağılımlar 3. Daha sonra olası değerler X+Yöyle X 1 + en 1 , X 1 + en 2 , X 2 + en 1 , X 2 + en 2. Olasılıklarını sırasıyla şu şekilde gösterelim: R 11 , R 12 , R 21 ve R 22. bulacağız M(X+e) = (X 1 + sen 1)P 11 + (X 1 + sen 2)P 12 + (X 2 + sen 1)P 21 + (X 2 + sen 2)P 22 =

= X 1 (P 11 + P 12) + X 2 (P 21 + P 22) + sen 1 (P 11 + P 21) + sen 2 (P 12 + P 22).

Hadi bunu kanıtlayalım R 11 + R 22 = R 1. Gerçekten de olay X+Y değerleri alacak X 1 + en 1 veya X 1 + en 2 ve olasılığı R 11 + R 22 olayla örtüşüyor X = X 1 (olasılığı R 1). Benzer şekilde kanıtlanmıştır P 21 + P 22 = R 2 , P 11 + P 21 = G 1 , P 12 + P 22 = G 2. Araç,

M(X+Y) = X 1 P 1 + X 2 P 2 + sen 1 G 1 + sen 2 G 2 = M (X) + M (e).

Yorum. Özellik 4'ten, herhangi bir sayıda rastgele değişkenin toplamının, terimlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşit olduğu sonucu çıkar.

Örnek. Beş zar atıldığında elde edilen puanların toplamının matematiksel beklentisini bulun.

Bir zar atıldığında atılan puan sayısının matematiksel beklentisini bulalım:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Aynı sayı, herhangi bir zarda atılan puan sayısının matematiksel beklentisine eşittir. Bu nedenle, özellik 4'e göre M(X)=

Dağılım.

Bir rastgele değişkenin davranışı hakkında fikir sahibi olmak için sadece matematiksel beklentisini bilmek yeterli değildir. İki rastgele değişkeni düşünün: X Ve e, formun dağıtım serisiyle belirtilir

bulacağız M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(e) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. Gördüğünüz gibi her iki niceliğin matematiksel beklentileri eşittir, ancak eğer HM(X) rastgele bir değişkenin davranışını iyi tanımlar, mümkün olan en olası değeridir (ve geri kalan değerler 50'den pek farklı değildir), o zaman değerler eönemli ölçüde kaldırıldı M(e). Bu nedenle matematiksel beklentinin yanı sıra rastgele değişkenin değerlerinin ondan ne kadar saptığının da bilinmesi istenir. Bu göstergeyi karakterize etmek için varyans kullanılır.

Tanım 7.5.Dispersiyon (saçılma) Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Rastgele değişkenin varyansını bulalım X(seçilenler arasındaki standart parçaların sayısı) bu dersin 1. örneğinde. Her olası değerin matematiksel beklentiden sapmasının karesini hesaplayalım:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Buradan,

Not 1. Dağılımın belirlenmesinde, ortalamanın kendisinden sapma değil, karesi değerlendirilir. Bu, farklı işaretlerdeki sapmaların birbirini iptal etmemesi için yapılır.

Not 2. Dağılımın tanımından bu miktarın yalnızca negatif olmayan değerler aldığı sonucu çıkar.

Not 3. Varyansı hesaplamak için hesaplamalara daha uygun olan ve geçerliliği aşağıdaki teoremle kanıtlanmış bir formül vardır:

Teorem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Kanıt.

Neyi kullanarak M(X) sabit bir değerdir ve matematiksel beklentinin özelliklerini, formül (7.6)'yı şu forma dönüştürürüz:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), kanıtlanması gereken şey buydu.

Örnek. Rastgele değişkenlerin varyanslarını hesaplayalım X Ve e bu bölümün başında tartışılmıştır. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(e) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Yani ikinci rastgele değişkenin varyansı, birincinin varyansından birkaç bin kat daha büyüktür. Böylece bu miktarların dağılım yasalarını bilmeden bile bilinen değerler varyans bunu söyleyebiliriz X matematiksel beklentisinden çok az sapma gösterirken, e bu sapma oldukça önemlidir.

Dispersiyonun özellikleri.

1) Sabit bir değerin varyansı İLE sıfıra eşit:

D (C) = 0. (7.8)

Kanıt. D(C) = M((SANTİMETRE(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Sabit faktör, karesi alınarak dağılım işaretinden çıkarılabilir:

D(Müşteri Deneyimi) = C² D(X). (7.9)

Kanıt. D(Müşteri Deneyimi) = M((CX-M(Müşteri Deneyimi))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) İki bağımsız rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir:

D(X+Y) = D(X) + D(e). (7.10)

Kanıt. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + e²) - ( M(X) + M(e))² = M(X²) + 2 M(X)M(e) +

+ M(e²) - M²( X) - 2M(X)M(e) - M²( e) = (M(X²) - M²( X)) + (M(e²) - M²( e)) = D(X) + D(e).

Sonuç 1. Birbirinden bağımsız birkaç rastgele değişkenin toplamının varyansı, varyanslarının toplamına eşittir.

Sonuç 2. Bir sabit ile bir rastgele değişkenin toplamının varyansı, rastgele değişkenin varyansına eşittir.

4) İki bağımsız rastgele değişken arasındaki farkın varyansı, varyanslarının toplamına eşittir:

D(X-Y) = D(X) + D(e). (7.11)

Kanıt. D(X-Y) = D(X) + D(-e) = D(X) + (-1)² D(e) = D(X) + D(X).

Varyans, bir rastgele değişkenin ortalamadan sapmasının karesinin ortalama değerini verir; Sapmanın kendisini değerlendirmek için standart sapma adı verilen bir değer kullanılır.

Tanım 7.6.Standart sapmaσ rastgele değişken X isminde karekök dağılımdan:

Örnek. Önceki örnekte ortalamalar standart sapmalar X Ve e sırasıyla eşittir