Gerekli ve yeterli koşul ergodiklik ξ (t) içinde

dağılımla ilişkisi formül (2.5)'tir ve yeterli koşul (2.6)'dır.

Tipik olarak durağan bir rastgele süreç, düzgün olmayan bir şekilde ilerlediğinde ergodik değildir. Örneğin, ergodisitesizlik

ξ (t) terimini içermesinden kaynaklanabilir rastgele değişken mx ve Dx özelliklerine sahip X. O halde, ξ 1 (t) = ξ (t) + X olduğundan, m ξ 1 = m ξ + m x,K ξ 1 (τ) = K ξ (τ) + D x

ve τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. Spektral ayrışma sabit rastgele süreç ve Fourier dönüşümü. Spektral Yoğunluk

Rastgele süreçlerin spektral temsilinin ana fikri, bunların belirli harmoniklerin toplamı olarak gösterilebilmesidir. Bu gösterim, rastgele süreçler üzerinde hem doğrusal hem de doğrusal olmayan çeşitli dönüşümlerin nispeten kolay bir şekilde gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Örneğin, rastgele bir sürecin dağılımının, onu oluşturan harmoniklerin frekansları üzerinde nasıl dağıldığı incelenebilir. Bu tür bilgilerin kullanımı esastır spektral teori durağan rastgele süreçler.

Spektral teori, hesaplamalarda rastgele bir sürecin Fourier görüntüsünün kullanılmasını mümkün kılar. Bazı durumlarda bu, hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirir ve özellikle teorik çalışmalarda yaygın olarak kullanılır.

Durağan bir rastgele süreç ξ (t) kendi yöntemiyle belirtilebilir

bunları kanonik veya spektral ayrıştırma yoluyla:

k = 0

burada ψ k, temel rastgele bir harmonik salınımın fazıdır

(0,2π),z k – am- aralığındaki bir aralıkta düzgün şekilde dağıtılan rastgele bir değişken olan süreç.

temel bir rastgele sürecin harmonik salınımının genliği ve z k aynı zamanda bazı özelliklere sahip bir rastgele değişkendir.

mz ve Dz.

Aslında, ξ k (t) = x k çünkü ω k t + y k sin ω k t olsun, o zaman m ξ k = 0 olsun,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 )(x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

Cos ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

D k cosω k (t 2 - t 1 ) = D k cosω k τ .

Dolayısıyla m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0 ,

K ξ k (t 1 ,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] ( M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 ) = D z k + 2 m z k cos(t 2 - t 1 ) .k k k 2 k k k 2

Dolayısıyla, (2.8) ve (2.10) formüllerinde, rastgele değişkenlerin bu formüllerinde yer alan özellikler hakkında yapılan varsayımlar altında, (2.8) ve (2.10) gösterimleri eşdeğerdir. Bu durumda,

z i ve ψ i ,i = 1,∞ çay miktarları bağımlıdır, çünkü ilişkiler açıkça şu şekildedir:

Durağan bir rastgele sürecin kovaryans fonksiyonu hesaplama fonksiyonu olduğundan (− T ,T ) aralığında hesaplanabilir.

kosinüs cinsinden bir Fourier serisi koyun, yani K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k çünkü k τ ,

ω k spesifikasyonun harmonikleri olarak yorumlanabildiğinden

durağan rastgele sürecin (2.8) tral genişlemesi, daha sonra toplam varyans Kanonik (spektral) ayrışmasıyla temsil edilen durağan rastgele bir sürecin, spektral ayrışmasının tüm harmoniklerinin dağılımlarının toplamına eşittir. Şek. 2.1

çeşitli ωi harmoniklerine karşılık gelen bir dizi Dk dağılımını gösterir. Formüle göre ayrışma aralığı ne kadar uzun olursa

(2.9) alınırsa bu formüle göre açılım o kadar doğru olacaktır. T ′ = 2T alırsak, spektral ayrışmanın dağılım spektrumu

S ξ (ω k ) ∆ω = D k miktarı toplamın bir parçasıdır

k'inci harmoniğe atfedilebilen durağan rastgele süreç ξ(t)'nin varyansı. T → ∞ (veya ∆ω→ 0) olarak, S ξ (ω k) fonksiyonu S ξ (ω) eğrisine süresiz olarak yaklaşacaktır;

cennete sabit durumun spektral yoğunluğu denir -

süreç ξ (t) (Şekil 2.2). (2.13)'ten K ξ (τ) ve S ξ (ω) fonksiyonlarının Fourier kosinüs dönüşümü ile birbirleriyle ilişkili olduğu sonucu çıkar. Böylece,

Pirinç. 2.2. S ξ fonksiyonlarının grafikleri (ω k) Ve Sξ (ω )

Spektral yoğunluk, olasılık yoğunluk fonksiyonuna benzer şekilde aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Sξ (ω ) ≥0.

2. ∞ ∫ Sξ (ω ) Dω = ∞ ∫ Sξ (ω ) çünkü(0 ω ) Dω = kξ (0 ) =Dξ .

Fonksiyona girerseniz Sξ (ω ) , aşağıdaki gibi tanımlanır:

Sξ (ω ) =Sξ 2 (ω ) , ω≥ 0,

isminde sabit bir rastgele sürecin spektral yoğunluğu karmaşık biçim, o zaman bu fonksiyonun yukarıdaki iki özelliğe ek olarak üçüncü bir özelliği vardır - eşlik özelliği (Şekil 2.3).

3. Sξ (ω ) =Sξ (− ω ) .

Pirinç. 2.3. Spektral yoğunluk fonksiyonu grafikleri

(2.8)’i aşağıdaki biçimde yeniden yazalım:

elde edilebilir integral kanonik gösterim yüz

ulusal rastgele süreç:

yıkandı" beyaz gürültü"(bkz. alt bölüm 2.4). İstatistiksel özellikler

karmaşık formdaki durağan rastgele bir sürecin spektral genişlemesi şu şekildedir:

Benzer işlemler (2.9) formunda sunulan kovaryans fonksiyonu ile de yapılabilir ve

k ξ (τ ) = ∑ ∞ D k e Benω kT.

k=−∞

Fonksiyonun tanıtımı dikkate alınarak formül (2.13) aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir:

Sξ (ω ) yeniden yapabilirsin

Formüller (2.18) ve (2.19), spektral yoğunluğun Fourier dönüşümünü temsil eder Sξ (ω ) ve kovaryans fonksiyonu kξ (τ ) karmaşık bir formda.

Spektral yoğunluktan bu yana Sξ (ω ) temsil etmek

Rastgele bir sürecin harmoniklerinin frekansları üzerindeki dağılımının dağılım yoğunluğu, ardından rastgele teorinin bazı uygulamalarında

son süreçler kξ ( 0) = Dξ (T) durağan rastgele bir sürecin enerjisi olarak yorumlanır ve Sξ (ω ) - bunun yoğunluğu nasıl

birim frekans başına enerji. Bu yorum, elektrik mühendisliğinde durağan rastgele süreçler teorisinin uygulanmasından sonra ortaya çıktı.

Örnek 5. Spektral Yoğunluğu Bul Sξ (ω ) temel rastgele süreç ξ k(T) = Xkçünkü ω kT+ senk günah ω kT.

= Dk∞ ∫ [ çünkü(ω− ω k) τ + çünkü(ω+ ω k) τ ] Dτ =

π 0

= Dk∞ ∫ [ eBen(ω−ω

Sξ k (ω ) =

−Ben(ω−ω k) τ D(− τ ) + ∫ eBen(ω−ω k) τ Dτ +

k(− 1 ) ∫ e

2π

+ (−1 ) ∫ e

−Ben(ω+ω k) τ D(− τ ) + ∫ eBen(ω+ω k) τ Dτ

k∫

eBen(ω−ω k)(−τ ) D(− τ ) + ∫ eBen(ω−ω k) τ Dτ + (− 1 ) ∫ eBen(ω+ω k)(−τ ) D(− τ ) +

2 π −∞

+ ∫ eBen(ω+ω k) τ Dτ

k∫ eBen(ω−ω k) τ Dτ +

∫eBen

(ω+ω k) τ Dτ

2 π −∞

= Dk[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] ,

Nerede δ (ω ) = 1 ∞ ∫ eBenωτ Dτ – ön formda integral temsil

2 π −∞

Fourier eğitimi δ -Dirac fonksiyonları. için ifade Sξ k(ω )

bu şekilde bırakılabilirdi ama olumlu yönde ω (Çünkü ω k> 0), özellikleri dikkate alarak δ -fonksiyonlar (bkz. Tablo 6

biz. 141), δ (ω+ ω k) ≡ 0. Böylece, Sξ (ω ) = Dkδ (ω− ω k) .

Daha sonraSξ k(ω ) =1 2 Sξ k(ω ) =D2 k[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] .

Şimdi verilen spektral yoğunluğu karmaşık biçimde bulalım. Fonksiyonlar Sξ (ω ) Ve Sξ k(ω ) – geçerli olmayan

Negatif fonksiyonlar. Sξ k(ω ) – aralıkta tanımlanmış bir çift fonksiyon (− ∞ ,∞ ) ,Sξ (ω ) – aralıkta tanımlanmış ( 0,∞ ) , Ve

bu aralıkta Sξ k(ω ) = 1 2 Sξ k(ω ) (bkz. Şekil 2.3). Formül (2.19)'a göre

Rastgele monokromatik olmayan bir dalga pertürbasyonunun, standart dalgaların üst üste binmesi olarak temsil edilebileceği veya dedikleri gibi, spektral ayrışma gerçekleştirerek bir spektruma ayrıştırılabileceği bilinmektedir.

Dalga ışınlarının ve darbelerin düzlem harmonik dalgalara ayrıştırılması özel anlam optik için, çünkü böyle bir ayrıştırma sadece uygun olmakla kalmıyor matematiksel işlem, ancak aslında gerçek bir optik deneyde gerçekleştirilir. Klasik deneylerden biri, Newton'un ışığı kullanarak spektruma ayrıştırma deneyidir. cam prizma- çevrilmesi kolay matematik dili spektral ayrışmalar. Bu, alanın düzlem monokromatik dalgaların üst üste binmesi olarak temsil edilebileceği anlamına gelir.

Spektral tanımlamanın ana fikri zamanın bazı fonksiyonlarını temsil etmektir. F(T), ışık bozulmasını Fourier integrali biçiminde tanımlar:

Yani, bir spektrumda harmonik salınımlara veya dedikleri gibi, frekans spektrumu

Karesel spektral bileşenlerin genlikleri A(w) ve B(w) veya spektral genlikler F Fonksiyonun frekans spektrumunu belirleyen (w) ve faz j (w) F(T), ters Fourier dönüşümü kullanılarak hesaplanır

(3)

Bozulmanın her harmonik bileşeni F(T) tek renkli bir ışık dalgasını uyarır:

Bu işlev aşağıdakileri karşılar: dalga denklemi. Dalgaların (4) süperpozisyonu olan toplam alan da dalga denklemini karşılar:

(5)

Genlik katsayılarını belirleyen formüllerden (3) A(w) ve B(w), açıktır ki A(w) frekansın eşit bir fonksiyonudur ve B(w) - tek: ve

Bu nedenle formül (1) w-simetrili biçimde yeniden yazılabilir:

(6)

(7)

Karmaşık spektral genliği tanıtalım

Euler formülünü kullanma

Ürünü ifade edelim Fk(w) Ei W T. Aldık

Bunun gerçek kısmı karmaşık ifade w frekansının eşit bir fonksiyonudur ve asgari kısım- garip. Bu nedenle son ifadenin sağ ve sol taraflarını frekansa göre entegre etmek sonsuz sınırlar, alıyoruz

Son ifadeyi formül (6) ile karşılaştırarak şunu elde ederiz:

(10)

Formüller (3), (8) ve (9) dikkate alınarak karmaşık spektral genliği bulmak zor değildir:

(11)

Fourier dönüşümünün karmaşık gösterimi:

Ve (12)

Gösterimi basitleştirmek için karmaşık spektral genliğin "k" indeksi atlanmıştır.

Genel olarak spektral genlik F formül (12) ile tanımlanan (w), karmaşık fonksiyon frekanslar:

Nerede F(w), fonksiyonun spektrumunda w frekansıyla harmoniğin gerçek genliğini temsil eder F(T). j(w) argümanı bu salınımın gerçek fazını karakterize eder, çünkü farklı harmonikler birlikte sinyali oluşturur F(T) farklı aşamalara sahip olabilir. Ancak optik süreçle ilgili bu tür eksiksiz spektral bilgilerin deneysel olarak elde edilmesi zordur. Deneysel olarak, sözde spektral yoğunluk genellikle ölçülür. S(w), ışık enerjisinin spektrum boyunca dağılımını karakterize eder. Tanım gereği spektral yoğunluk miktardır kareye eşit karmaşık spektral genlik modülü:

(13)

Bu ifadede harmonik salınımların fazlarını oluşturan tüm bilgiler F(T), kayıp.

Spektral ayrışma teorisi, şu şekle sahip olan “Parseval eşitliğini” kullanır:

Bu eşitliği kanıtlamak için Fourier integrallerini (12) kullanmak yeterlidir. W ve üzerindeki entegrasyon sırasını değiştirerek T, alıyoruz

Burada (*) karmaşık konjugasyonu belirtir.

Optiğe uygulandığında bu ilişki basittir fiziksel anlam. Eğer altındaysa F(T) gerilimi anlayın elektrik alanı uzayda sabit bir noktada ışık dalgası, o zaman miktar ortaya çıkıyor orantılı enerji Belirli bir noktanın yakınındaki birim alandan geçen ışık darbesi.

Gerçekten mi:

Nerede BEN- yoğunluk, P- güç, W- dürtü enerjisi.

Öte yandan Parseval eşitliğine göre aynı miktar (enerji), spektral alan yoğunluğunun tüm frekansları üzerindeki integrale eşittir. S(w). Bu, spektral yoğunluğun ışık darbesi enerjisinin frekans dağılımını tanımladığı anlamına gelir. Radyasyonun bu özelliğinin fiziksel anlamı budur.

Spektral ayrışmalar doğal olarak dalga ışınlarına, yani uzaysal olarak modüle edilmiş dalgalara genelleştirilir. Kaynağın sonlu kapsamı veya dedikleri gibi sonlu açıklığı, ışık titreşimlerinin genliğinin düzlemde değişmesine yol açar, yöne dikışığın yayılması - uzaysal olarak modüle edilmiş bir dalga belirir. Böyle bir ışık dalgasında genlik ve faz değerleri koordinatlara bağlıdır, yani düzlem dalganınkinden temel olarak farklı bir durum ortaya çıkar.

Böyle bir uzaysal olarak modüle edilmiş dalga, farklı yönlerde yayılan düzlem dalgaların bir üst üste binmesi olarak temsil edilebilir. Böyle bir ayrıştırmadaki çeşitli spektral bileşenler, dalga yayılma yönü ile dalga yayılma yönü arasındaki açılarla karakterize edilebilir. koordinat eksenleri. Bu yüzden konuşuyorlar Köşe uzaysal olarak modüle edilmiş bir dalganın spektrumu (veya uzaysal frekansların spektrumu). Açısal bir spektruma ayrışma fiziksel olarak çok kısa bir sürede gerçekleşir. basit deneyler. Örneğin, bir mercek, açısal spektruma göre, bir prizmanın frekans spektrumuna göre yaptığı aynı Fourier genişletme işlemini gerçekleştirir.

Fourier dönüşümleri analiz yaparken özellikle önemlidir modern sistemler Bilginin optik işlenmesi. Optik yöntemler Büyük miktarda bilgiyi işlemek için yüksek performanslı sistemler oluşturma sorununun çözümünde giderek daha önemli bir rol oynuyorlar.

Daha önce belirtildiği gibi, dalga (özellikle optik) fenomeni, hem zamana bağımlılık hem de uzaysal bağımlılık, yani koordinatlara bağımlılık ile karakterize edilir. Fourier optiğine büyük ilgi duyanlar mekansal yapı açıklanan dalga (durumda) harmonik dalgalar sabit frekans w) karmaşık dalga genliği F(X,sen,z), Helmholtz denkleminin bir çözümüdür:

Nerede k= w/c – dalga numarası.

Karmaşık dalga genliği F(X,sen) bir Fourier integrali [formül (10)'un iki boyutlu bir benzeri] olarak temsil edilebilir:

(15)

Ayrışmanın fiziksel anlamı aşağıdaki gibidir. İşlevin olup olmadığını kontrol edebilirsiniz

Helmholtz denkleminin çözümü düzlemde tatmin edici midir? Z= 0 sınır koşulu

Bu ifade u ve parametrelerinin herhangi bir değeri için geçerlidir. V. Fonksiyon (16), bir düzlem dalganın karmaşık genliğidir ve parametreler sen, V- dalga vektörünün bu dalgadan X, Y eksenlerine izdüşümleri, eğer . Eğer ise ifade (16) aynı zamanda denklem (14)'ün bir çözümüdür ve homojen olmayan dalga olarak adlandırılır. Bu durumda dalga genliği arttıkça azalır. Züstel çünkü sanal bir sayıdır.

Dolayısıyla ifade (15), belirli bir düzlemde tanımlanan rastgele bir dalganın temsilidir. Z=co N S T hem ilerleyen hem de homojen olmayan düzlem dalgaların üst üste binmesi şeklinde.

Düzlem dalga Et(Ux + Vy) uzaysal filtreleme problemlerinde harmonik salınımın bir analoğudur Ei W T. Bu nedenle birkaç sayı sen, V isminde Uzamsal frekanslar. Ek olarak şunu da yazabiliriz

(17)

İfadeler (15) ve (17) çift olarak bilinir iki boyutlu dönüşümler Fourier. Eşitlik (17) genellikle doğrudan Fourier dönüşümü olarak adlandırılır ve (15) ters dönüşüm Fourier.

Şunu belirtmek gerekir ki F(sen, V) genel anlamda karmaşık bir fonksiyondur

|F(sen, V)| ve j ( sen, V) genellikle genlik olarak adlandırılır ve faz spektrumu buna göre ve F(sen, V) Fourier spektrumu veya uzaysal frekans spektrumu.

Lens, herhangi bir optik cihazın ana unsurudur. İdeal bir sapmasız lens, formun faz modülasyonunu gerçekleştirir

Nerede F - odak uzaklığı lensler. Uzamsal ayrışma, merceğin paralel bir ışık ışınını odaklama özelliği ile yakından ilişkilidir: merceğin üzerine bir düzlem dalga olayı. BEN(Ux + Vy)] uzaysal frekansla ( sen, V) mercek tarafından odak düzlemindeki koordinatlara sahip bir noktaya odaklanır X = fu/k Ve e = Fv/k. Bir mercek üzerinde karmaşık genlik olayına sahip rastgele bir dalga F(sen, V), (15)'e göre, farklı yönlerdeki düzlem dalgaların üst üste binmesiyle, yani farklı uzaysal dalgaların üst üste binmesiyle temsil edilebilir. sen, V. Bu süperpozisyondaki düzlem dalgaların her biri, mercek tarafından odak düzlemindeki belirli bir noktaya odaklanır ve burada karşılık gelen dalganın genliğiyle orantılı bir genliğe sahip ve fazı dalganın fazı tarafından belirlenen bir ışık alanı oluşturur. karşılık gelen dalga, yani içinde bir salınım yaratmak, büyüklükle orantılı F(Kx/F, Ky/F), Nerede F(sen, V) – Fonksiyonun Fourier dönüşümü F(sen, V).

Böylece merceğin odak düzleminde ortaya çıkan ışık alanı, mercek üzerine gelen dalganın uzaysal spektral ayrışmasını temsil eder.

Karakter arasındaki bağlantıyı düşünün korelasyon fonksiyonu ve karşılık gelen rastgele sürecin yapısı.

Sadece rastgele fonksiyonlar teorisinde değil, fizik ve teknolojide de yaygın olarak kullanılan “spektrum” kavramını kullanacağız. Herhangi bir salınım süreci, çeşitli frekanslardaki harmonik salınımların toplamı olarak temsil edilirse (“harmonikler” olarak adlandırılır), o zaman spektrum salınım süreci genliklerin çeşitli frekanslardaki dağılımını tanımlayan bir fonksiyon olarak adlandırılır. Spektrum belirli bir süreçte ne tür salınımların baskın olduğunu, iç yapı. Durağan rastgele bir sürecin spektral tanımını benzer şekilde tanıtacağız.

İlk olarak, sonlu bir aralıkta (0, T). Korelasyon fonksiyonu verilsin rastgele fonksiyon X(T)

kx(T, T + τ ) = kx(τ ).

Bunu biliyoruz kx(τ ) çift fonksiyon olduğundan grafiği eksene göre simetriktir 0Y eğri.

Değiştirirken T 1 ve T 0'dan 2'ye T argüman τ arasında değişir – T ile T.

(-) aralığında eşit bir fonksiyonun olduğu bilinmektedir. T, T) yalnızca çift (kosinüs) harmonikler kullanılarak bir Fourier serisine genişletilebilir:

kx(τ ) = ,

ωk= kω 1 , ω 1 = ,

ve katsayılar dk formüllerle belirlenir

D 0 = ,

dk = en k ≠ 0.

Fonksiyonlar göz önüne alındığında kx(τ ) ve çünkü ωk(τ ) çift ise katsayılara ilişkin ifadeleri aşağıdaki gibi dönüştürebilirsiniz:

dk = en k ≠ 0.

Böyle bir gösterimde rastgele bir fonksiyonun kanonik genişleme olarak temsil edilebileceği gösterilebilir:

= , (2)

Nerede İngiltere, Vk– ilişkisiz rastgele değişkenler matematiksel beklentiler, sıfıra eşit ve aynı indekse sahip her rastgele değişken çifti için aynı olan varyanslar k: D(İngiltere) = D(Vk) =dk ve farklılıklar dk formül (1) ile belirlenir.

Genişleme (2) denir spektral ayrışma durağan rastgele fonksiyon.

Spektral ayrışma, çeşitli frekanslardaki harmonik salınımlara ayrıştırılan sabit bir rastgele fonksiyonu tasvir eder ω 1 , ω 2 , …, ω k , … ve bu salınımların genlikleri rastgele değişkenlerdir.

Spektral ayrıştırma (2) tarafından verilen rastgele fonksiyonun varyansı aşağıdaki formülle belirlenir:

Dx = = = , (3)

onlar. durağan bir rastgele fonksiyonun varyansı, spektral ayrışmasının tüm harmoniklerinin varyanslarının toplamına eşittir.

Formül (3), fonksiyonun varyansının farklı frekanslar üzerinde bilinen bir şekilde dağıtıldığını gösterir: bir frekans b'ye karşılık gelir O daha büyük farklılıklar, diğerleri – m e daha küçük olanlar. Frekans dağılım dağılımı grafiksel olarak şu şekilde gösterilebilir: dağılım spektrumu . Bunu yapmak için frekanslar apsis ekseni boyunca çizilir. ω 0 = 0, ω 1 , ω 2 , …, ω k , … ve ordinat ekseni boyunca karşılık gelen dağılımlar.

Açıkçası, bu şekilde oluşturulan spektrumun tüm koordinatlarının toplamı rastgele fonksiyonun varyansına eşittir.

Spektral ayrıştırmayı oluştururken dikkate aldığımız zaman periyodu ne kadar büyük olursa, rastgele fonksiyon hakkındaki bilgilerimizin de o kadar eksiksiz olacağı açıktır. Bu nedenle spektral ayrıştırmada limite gitmeye çalışmak doğaldır. T→ ∞ ve rastgele fonksiyonun spektrumunun neye dönüştüğünü görün. Şu tarihte: T → ∞ ω 1 = yani frekanslar arasındaki mesafeler ωk süresiz olarak azalacaktır. Bu durumda, ayrık spektrum, her keyfi olarak küçük frekans aralığının temel bir dağılıma karşılık geleceği sürekli bir spektruma yaklaşacaktır.

Sürekli spektrumu grafiksel olarak gösterelim. Bunu yapmak için dağılımın kendisini değil ordinat eksenini çizeceğiz dk, A ortalama dağılım yoğunluğu yani Belirli bir frekans aralığının birim uzunluğu başına dağılım. Bitişik frekanslar arasındaki mesafeyi gösterelim ∆ω ve her segmentte ∆ω tabanda olduğu gibi alanı olan bir dikdörtgen oluşturacağız dk. Prensipte istatistiksel dağılımın histogramına benzeyen bir adım grafiği elde ediyoruz.

Bu eğri, sürekli bir spektrumun frekansları üzerindeki dağılımların dağılım yoğunluğunu ve fonksiyonun kendisini gösterir. S x(ω ) spektral dağılım yoğunluğu olarak adlandırılır veya spektral yoğunluk durağan rastgele fonksiyon.

Açıkçası, eğrinin sınırladığı alan S x(ω ), hala varyansa eşit olmalıdır Dx rastgele fonksiyon:

Dx = . (4).

Formül (4) varyansın genişlemesidir Dx temel terimlerin toplamı için S x(ω )dω bunların her biri temel frekans aralığı başına dağılımı temsil eder dω, noktaya bitişik ω .

Böylece, durağan rastgele bir sürecin yeni bir ek özelliği daha tanıtılmıştır: frekans kompozisyonunu tanımlayan spektral yoğunluk sabit süreç. Ancak bağımsız değildir; tamamen korelasyon fonksiyonu tarafından belirlenir. bu süreç. İlgili formül korelasyon fonksiyonunun genişletilmesinden geliyor kx(τ ) sonlu bir aralıkta bir Fourier serisine dönüştürülürse şuna benzer:

S x(ω ) = . (5)

Bu durumda korelasyon fonksiyonunun kendisi spektral yoğunluk cinsinden de ifade edilebilir:

kx(τ ) = . (6)

İki fonksiyonu birbirine bağlayan (5) ve (6) gibi formüllere denir. Fourier dönüşümleri.

Şunu unutmayın: genel formül(6) saat τ = 0 ise önceden elde edilen varyans ayrıştırması (4) elde edilir.

Pratikte spektral yoğunluk yerine S x(ω ) genellikle normalleştirilmiş spektral yoğunluğu kullanır:

s x(ω ) = ,

Nerede Dx rastgele fonksiyonun varyansıdır.

Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonunun doğrulandığını doğrulamak kolaydır ρ X ( τ ) ve normalleştirilmiş spektral yoğunluk s x(ω ) Fourier dönüşümleriyle ilişkilidir:

ρ X ( τ ) = ,

s x(ω ) = .

Bu eşitliklerden ilkini varsayarsak τ = 0 ve buna göre ρ x (0) = 1, elimizde

onlar. toplam alan, programla sınırlı normalleştirilmiş spektral yoğunluk 1'e eşittir.

§ 7. Durağan rastgele fonksiyonların ergodik özelliği.

Bazı durağan rastgele fonksiyonları düşünün X(T) ve özelliklerini tahmin etmenin gerekli olduğunu varsayalım: matematiksel beklenti m x ve korelasyon fonksiyonu kx(τ ). Bu özellikler veya daha doğrusu tahminleri ve daha önce de belirtildiği gibi deneyimlerden elde edilebilir. bilinen numara rastgele fonksiyon uygulamaları X(T). Sınırlı sayıda gözlem nedeniyle, fonksiyon tam anlamıyla sabit olmayacaktır; ortalamasının alınması ve bir miktar sabitle değiştirilmesi gerekecektir; benzer şekilde, farklı değerler için ortalama değerler τ = T 2 – T 1'de korelasyon fonksiyonunu elde ederiz.

Bu işleme yöntemi açıkça oldukça karmaşık ve hantaldır ve ayrıca iki aşamadan oluşur: rastgele bir fonksiyonun özelliklerinin yaklaşık olarak belirlenmesi ve ayrıca bu özelliklerin yaklaşık ortalamasının alınması. Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Sabit bir rastgele fonksiyonun bu süreci, önceden matematiksel beklentinin zamana bağlı olmadığı ve korelasyon fonksiyonunun kökene bağlı olmadığı varsayımına dayanan daha basit bir süreçle değiştirmesi mümkün mü? .

Ek olarak şu soru ortaya çıkıyor: Durağan bir rastgele fonksiyonun gözlemlerini işlerken, birden fazla uygulamaya sahip olmak gerekli midir? Rastgele süreç durağan olduğundan ve zaman içinde düzgün bir şekilde ilerlediğinden, şunu varsaymak doğaldır: tek uygulama Yeterli süreye sahip olanlar, rastgele bir fonksiyonun özelliklerini elde etmek için yeterli malzeme görevi görebilir.

Böyle bir olasılığın var olduğu ortaya çıktı, ancak tüm rastgele süreçler için geçerli değil. Örneğin, bir dizi uygulamayla temsil edilen iki durağan rastgele işlevi düşünün.

		Şekil 1		Şekil 2

Rastgele bir fonksiyon için X 1 (T) (Şekil 1) aşağıdaki özellik ile karakterize edilir: uygulamalarının her biri aynı karakteristik özellikler: etrafında salınımların meydana geldiği ortalama değer ve bu salınımların ortalama aralığı. Bu farkındalıklardan birini keyfi olarak seçelim ve bunun sonucunda elde edilen deneyimi zihinsel olarak belirli bir süre devam ettirelim. T. Açıkçası yeterince büyük bir T bu tek uygulama bize yeterince şey verebilir iyi gösteri bir bütün olarak rastgele bir fonksiyonun özellikleri hakkında. Özellikle, bu uygulamanın değerlerinin zaman içinde x ekseni boyunca ortalamasını alarak, rastgele bir fonksiyonun matematiksel beklentisinin yaklaşık bir değerini elde etmeliyiz; Bu ortalamadan sapmaların karelerinin ortalamasını alarak varyansın vb. yaklaşık değerini elde etmeliyiz.

Böyle bir işlevin olduğu söyleniyor ergodik özellik . Ergodik özellik, rastgele bir fonksiyonun her bir bireysel uygulamasının, tüm olası uygulamalar kümesinin bir "yetkili temsilcisi" olmasıdır.

Fonksiyonu dikkate alırsak X 2 (T) (Şekil 2), her uygulama için ortalama değerin diğerlerinden farklı ve önemli ölçüde farklı olduğu açıktır. Bu nedenle, tüm uygulamalar için tek bir ortalama değer oluşturursanız bu, her bir uygulamadan önemli ölçüde farklı olacaktır.

Rastgele fonksiyon ise X(T) ergodik özelliğe sahiptir, o zaman bunun için zaman ortalaması(oldukça geniş bir gözlem alanı üzerinde) bir dizi gözlemin ortalamasına yaklaşık olarak eşit. Aynı şey için de geçerli olacak X 2 (T), X(T)X(T+τ), vb. Özellikle yeterince büyük bir T matematiksel beklenti m x formül kullanılarak hesaplanabilir

. (1)

Bu formülde, basitlik açısından, bir rastgele fonksiyonu karakterize ederken ~ işareti atlanır; bu, özelliklerin kendisiyle değil, onların tahminleriyle ilgilendiğimiz anlamına gelir.

Benzer şekilde korelasyon fonksiyonunu da bulabiliriz. kx(τ ) herhangi biri için τ . Çünkü

kx(τ ) = ,

daha sonra belirli bir değer için bu değeri hesaplamak τ , alıyoruz

kx(τ ) ≈ , (2)

Nerede - merkezli uygulama. Bir dizi değer için integrali (2) hesapladıktan sonra τ , korelasyon fonksiyonunun gidişatını yaklaşık olarak noktadan noktaya yeniden oluşturmak mümkündür.

Pratikte yukarıdaki integraller genellikle şu şekilde değiştirilir: sonlu miktarlar. Bu şu şekilde yapılır. Rastgele fonksiyonun kayıt aralığını aşağıdakilere bölelim: N eşit uzunlukta parçalar ∆ T ve elde edilen bölümlerin orta noktalarını belirtin T 1 , T 2 , …, tn.

İntegrali (1) temel kesitler ∆ üzerindeki integrallerin toplamı olarak temsil edelim. T ve her birinde işlevi türeteceğiz X(T) integral işaretinin altından aralığın merkezine karşılık gelen ortalama değere göre - X(ben). Yaklaşık olarak elde ederiz

m x = = /

Benzer şekilde değerler için korelasyon fonksiyonunu hesaplayabilirsiniz. τ , 0'a eşit, ∆ T, 2∆T, ... Mesela değerini verelim τ Anlam

τ = 2∆T = .

İntegral (2)'yi integral aralığını bölerek hesaplayalım

T - τ = =

Açık N – M uzunlukları eşit bölümler ∆ T ve fonksiyonu her birinin üzerindeki integral işaretinden ortalama değere göre çıkarmak. Aldık

.

Korelasyon fonksiyonu verilen formül kullanılarak hesaplanır. M= 0, 1, 2,…. Sürekli olarak bu değerlere kadar M Korelasyon fonksiyonunun neredeyse sıfıra eşit olduğu veya sıfır civarında küçük düzensiz dalgalanmalar yapmaya başladığı nokta. Genel hareket işlevler kx(τ ) bireysel noktalarda çoğaltılır.

Özelliklerin tatmin edici bir doğrulukla belirlenebilmesi için nokta sayısının N oldukça büyüktü (yaklaşık 100 ve bazı durumlarda daha fazla). Temel bölümün uzunluğunun seçilmesi ∆ T rastgele fonksiyondaki değişimin doğasına göre belirlenir: nispeten düzgün bir şekilde değişirse, ∆ bölümü T keskin ve sık dalgalanmalar yaptığında daha fazlasını seçebilirsiniz. Kaba bir kılavuz olarak, temel bir bölüm seçmenizi tavsiye edebiliriz. tam dönem rastgele fonksiyondaki en yüksek frekans harmoniği yaklaşık 5-10 referans noktasına karşılık geliyordu.

Çözüm tipik görevler

1. a) Rastgele fonksiyon X(T) = (T 3 + 1)sen, Nerede sen– değerleri (0; 10) aralığına ait olan rastgele bir değişken. İşlev uygulamalarını bulun X(T) iki testte değer sen değerleri aldı sen 1 = 2, sen 2 = 3.

Çözüm. Rastgele fonksiyonun uygulanmasından bu yana X(T) rastgele olmayan bir argüman işlevi olarak adlandırılır T, o zaman bu miktar değerleri için sen rastgele fonksiyonun karşılık gelen uygulamaları şöyle olacaktır:

X 1 (T) = 2(T 3 + 1), X 2 (T) = 3(T 3 + 1).

b) Rastgele fonksiyon X(T) = sen günah T, Nerede sen– rastgele değişken.

Bölümleri bul X(T), sabit argüman değerlerine karşılık gelir T 1 = , T 2 = .

Çözüm. Rastgele fonksiyonun kesitinden beri X(T) argümanın sabit bir değerine karşılık gelen rastgele bir değişkendir, o zaman argümanın belirli değerleri için karşılık gelen kesitler şöyle olacaktır:

X 1 = sen· = , X 2 = sen· = sen.

2. Rastgele bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulun X(T) = sen· ℮t, Nerede sen M(u) = 5.

Çözüm. Bunu hatırlayalım matematiksel beklenti rastgele fonksiyon X(T) rastgele olmayan bir fonksiyon olarak adlandırılır m x(T) = M[X(T)], argümanın her değeri için T rastgele fonksiyonun karşılık gelen bölümünün matematiksel beklentisine eşittir. Buradan

m x(T) = M[X(T)] = M[sen· ℮t].

m x(T) =M[sen· ℮t] = ℮ t M(sen) = 5℮t.

3. Rastgele bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulun a) X(T) = Ut 2 +2T+1; B) X(T) = sen günah4 T + V· cos4 T, Nerede sen Ve V rastgele değişkenlerdir ve M(u) = M(v) = 1.

Çözüm. M.o.'nun özelliklerini kullanma rastgele fonksiyon, elimizde

A) m x(T) = M(Ut 2 +2T+1) = M(Ut 2) +M(2T) + M(1) = M(sen)T 2 +2T+1 = T 2 +2T+1.

B) m x(T) = M(sen günah4 T + V· cos4 T) = M(sen günah4 T) + M(V· cos4 T) = M(sen)· günah4 T + M(V)· cos4 T= günah4 T+cos4 T.

4. Korelasyon fonksiyonu biliniyor kx rastgele fonksiyon X(T). Rastgele bir fonksiyonun korelasyon fonksiyonunu bulun e(T) = X(T) + T 2, m.o.'nun tanımlarını kullanarak. ve korelasyon fonksiyonu.

Çözüm. Haydi m.o'yu bulalım. rastgele fonksiyon e(T):

Benim(T) = M[e(T)] = M[X(T) + T 2 ] = M[X(T)] + T 2 = m x(T) + T 2 .

Ortalanmış fonksiyonu bulalım

= e(T) - Benim(T) = [X(T) + T 2 ] – [m x(T) + T 2 ] = X(T) –m x(T) = .

K ey = = = kx.

5. Korelasyon fonksiyonu biliniyor kx rastgele fonksiyon X(T). Rastgele fonksiyonun korelasyon fonksiyonunu bulun a) e(T)=X(T)·( T+1); B) Z(T)=C· X(T), Nerede İLE- devamlı.

Çözüm. a) Yöntemi bulalım. rastgele fonksiyon e(T):

Benim(T) = M[e(T)] = M[X(T) · ( T+1)] = (T+1) · M[X(T)].

Ortalanmış fonksiyonu bulalım

=e(T)-Benim(T)=X(T)·( T+1) - (T+1)· M[X(T)] = (T+1)·( X(T) - M[X(T)]) = (T+1)· .

Şimdi korelasyon fonksiyonunu bulalım

K ey = = = (T 1 +1)(T 2 +1)kx.

b) Durum a)'ya benzer şekilde kanıtlanabilir:

K ey = İLE 2 kx.

6. Varyans biliniyor Dx(T) rastgele fonksiyon X(T e(T) =X(T)+2.

Çözüm. Rastgele bir fonksiyona rastgele olmayan bir terim eklemek korelasyon fonksiyonunu değiştirmez:

K ey(T 1 , T 2) = kx(T 1 , T 2).

Bunu biliyoruz kx(T, T) = Dx(T), Bu yüzden

D(T) = K ey(T, T) = kx(T, T) = Dx(T).

7. Varyans biliniyor Dx(T) rastgele fonksiyon X(T). Rastgele bir fonksiyonun varyansını bulun e(T) = (T+3) · X(T).

Çözüm. Haydi m.o'yu bulalım. rastgele fonksiyon e(T):

Benim(T) = M[e(T)] = M[X(T) · ( T+3)] = (T+3) · M[X(T)].

Ortalanmış fonksiyonu bulalım

=e(T)-Benim(T)=X(T)·( T+3) - (T+3)· M[X(T)] = (T+3)·( X(T) - M[X(T)]) = (T+3)· .

Korelasyon fonksiyonunu bulalım

K ey = = = (T 1 +3)(T 2 +3)kx.

Şimdi varyansı bulalım

D(T) = K ey(T, T) = (T+3)(T+3)kx(T, T) = (T+3) 2 Dx(T).

8. Rastgele bir fonksiyon verildiğinde X(T) = sen cos2 T, Nerede sen rastgele bir değişkendir ve M(u) = 5, D(u) = 6. Rastgele fonksiyonun matematiksel beklentisini, korelasyon fonksiyonunu ve varyansını bulun X(T).

Çözüm. Rastgele olmayan cos2 faktörünü çıkararak gerekli matematiksel beklentiyi bulalım. T m.o. işareti için:

M[X(T)] = M[sen cos2 T] = cos2 t ·M(sen) = 5cos2 T.

Ortalanmış fonksiyonu bulalım:

= X(T) - m x(T) = sen cos2 T- 5cos2 T = (U- 5)cos2 T.

İstenilen korelasyon fonksiyonunu bulalım:

kx(T 1 , T 2) = = M{[(U- 5)· cos2 T 1 ] [(U- 5)· cos2 T 2 ]} =

Cos2 T 1 cos2 T 2 M(U- 5) 2 .

Ayrıca, rastgele bir değişken için bunu dikkate alarak sen tanım gereği varyans eşittir D(sen) = M[(U - M((sen)] 2 = M((U- 5) 2, bunu anlıyoruz M((U- 5) 2 = 6. Dolayısıyla korelasyon fonksiyonu için sonunda elimizde

kx(T 1 , T 2) = 6cos2 T 1 cos2 T 2 .

Şimdi belirlediğimiz gerekli dağılımı bulalım. T 1 = T 2 = T:

Dx(T) = kx(T, T) = 6cos 2 2 T.

9. Korelasyon fonksiyonu verilmiştir kx(T 1 , T 2) = T 1 T 2. Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonunu bulun.

Çözüm. Tanım gereği normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu

ρx(T 1 , T 2) = = = .

Ortaya çıkan ifadenin işareti argümanların olup olmadığına bağlıdır. T 1 ve T 2 aynı işaretler veya farklı. Payda her zaman pozitiftir, dolayısıyla sonunda elimizde

ρx(T 1 , T 2) =

10. Matematiksel beklenti verilmiştir m x(T) = T 2 + 4 rastgele fonksiyon X(T). Rastgele bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulun e(T) = TX´( T) + T 2 .

Çözüm. Rasgele bir fonksiyonun türevinin matematiksel beklentisi, matematiksel beklentisinin türevine eşittir. Bu yüzden

Benim(T) = M(e(T)) = M(TX´( T) + T 2) = M(TX´( T)) + M(T 2) =

= t∙M(X´( T)) + T 2 = t∙(m x(T))´ + T 2 = t∙(T 2 + 4)' + T 2 = 3T 2 .

11. Korelasyon fonksiyonu verilmiştir kx= rastgele fonksiyon X(T). Türevinden korelasyon fonksiyonunu bulun.

Çözüm. Türevin korelasyon fonksiyonunu bulmak için, orijinal rastgele fonksiyonun korelasyon fonksiyonunun iki kez türevini almanız gerekir; önce bir argümana göre, sonra diğerine göre.

= .

+ =

= .

12. Verilen rastgele fonksiyon X(T) = sen℮3 ton cos2 T, Nerede sen rastgele bir değişkendir ve M(sen) = 4, D(sen) = 1. Türevinin matematiksel beklentisini ve korelasyon fonksiyonunu bulun.

Çözüm. m x(T) = M(X(T)) = M(sen℮3 ton cos2 T) = M(sen)℮3 ton cos2 T = 4℮3 ton cos2 T.

M(X(T)) = (m x(T))' = 4(3℮ 3 ton cos2 T – 2℮3 ton günah2 T) = 4℮3 ton(3cos2 T– 2sin2 T).

Orijinal rastgele fonksiyonun korelasyon fonksiyonunu bulalım. Merkezi rastgele fonksiyon

= X(T) - m x(T) = sen℮3 ton cos2 T- 4℮3 ton cos2 T = (U- 4)℮3 ton cos2 T.

kx(T 1 , T 2) = = M{[(U- 4)cos2 T 1 ] [(U- 4)cos2 T 2 ]} =

Cos2 T 1 cos2 T 2 M((U- 4) 2)= cos2 T 1 cos2 T 2 D(sen)=cos2 T 1 cos2 T 2 .

İlk argümana göre korelasyon fonksiyonunun kısmi türevini bulalım

Cos2 T 2 =

Cos2 T 2 (3cos2 T 1 – 2sin2 T 1).

Korelasyon fonksiyonunun ikinci karma türevini bulalım

= (3cos2 T 1 – 2sin2 T 1) =

= (3cos2 T 1 – 2sin2 T 1) (3cos2 T 2 – 2sin2 T 2).

13. Verilen rastgele fonksiyon X(T), matematiksel bir beklentiye sahip olmak

m x(T) = 3T 2 + 1. Rasgele bir fonksiyonun matematiksel beklentisini bulun e(T)= .

Çözüm. Gerekli matematiksel beklenti

Benim(T) = = = T 2 + T.

14. İntegralin matematiksel beklentisini bulun e(T)= , rastgele fonksiyonun matematiksel beklentisini bilmek X(T):

A) m x(T) = T–cos2 T; B) m x(T) = 4cos 2 T.

Çözüm. A) Benim(T) = = = .

B) Benim(T) = = = = + =

2T+ günah2 T.

15. Verilen rastgele fonksiyon X(T) = sen℮2 ton cos3 T, Nerede sen rastgele bir değişkendir ve M(sen) = 5. İntegralin matematiksel beklentisini bulun e(T)= .

Çözüm.Öncelikle rastgele fonksiyonun kendisinin matematiksel beklentisini bulalım.

m x(T) = M(sen℮2 ton cos3 T) = M(sen)℮2 ton cos3 T = 5℮2 ton cos3 T.

Benim(T) = = 5 = =

= ℮2 ton günah3 T - = =

= ℮2 ton günah3 T – =

= ℮2 ton günah3 T + ℮2 ton cos3 T – .

Dairesel bir integral elde ettik, dolayısıyla

5 + = ℮2 ton günah3 T + ℮2 ton cos3 T.

veya = ℮2 ton( günah3 T+cos3 T).

Nihayet Benim(T) = ℮2 ton( günah3 T+cos3 T).

16. İntegralin matematiksel beklentisini bulun e(T) = rasgele fonksiyonun bilinmesi X(T) =sen℮3 ton günah T, Nerede sen rastgele bir değişkendir ve M(sen)=2.

Çözüm. Matematiksel bulalım en rastgele işlevi bekliyorum.

m x(T) = M(sen℮3 gün günah T) = M(sen)℮3 gün günah T = 2℮3 gün günah T.

Benim(T) = = 2 = =

= – 2℮3 günçünkü T + = =

= – 2℮3 günçünkü T + ℮3 gün günah T – .

Sahibiz = – ℮3 günçünkü T + ℮3 gün günah T.

Nihayet Benim(T) = – ℮2 tonçünkü T + ℮2 ton günah T.

17. Verilen rastgele fonksiyon X(T), bir korelasyon fonksiyonuna sahip

kx(T 1 , T 2) = T 1 T 2. İntegralin korelasyon fonksiyonunu bulun e(T)= .

Çözüm. İlk önce integralin korelasyon fonksiyonunu buluyoruz ki bu şuna eşittir: çift ​​katlı integral belirli bir korelasyon fonksiyonundan. Buradan,

K ey(T 1 , T 2) = = = = .

Daha sonra varyans Dy(T) = K ey(T, T) = .

18. Korelasyon fonksiyonu verilmiştir kx(T 1 , T 2) = rastgele fonksiyon X(T). İntegralin varyansını bulun e(T)= .

Çözüm. İntegralin korelasyon fonksiyonunu bulalım

K ey(T 1 , T 2) = = =

= = .

Daha sonra varyans

Dy(T) = K ey(T, T) = .

19. İntegralin varyansını bulun e(T) = , rastgele fonksiyonun korelasyon fonksiyonunu bilmek X(T):

A) kx(T 1 ,T 2) =; B) kx(T 1 , T 2) = .

Çözüm. A) K ey(T 1 , T 2) = = .

Durağan bir rastgele fonksiyonun spektral genişlemesini oluşturmak

X(t) sınırlı bir zaman diliminde (Oh, T), rastgele bir fonksiyonun varyans spektrumunu, eşit aralıklarla ayrılmış bir dizi bireysel ayrık çizgi şeklinde elde ettik ("süreksiz" veya "çizgi" spektrumu olarak adlandırılır).

Açıkçası, ele aldığımız zaman aralığı ne kadar büyük olursa, rastgele fonksiyon hakkındaki bilgilerimiz de o kadar eksiksiz olacaktır. Bu nedenle spektral ayrıştırmada sınıra gitmeye çalışmak doğaldır. T-> oo ve spektrumun neye dönüştüğünü görün

rastgele fonksiyon. Bu nedenle mesafelerle

Spektrumun oluşturulduğu odacıkların frekansları arasında T-> oo süresiz olarak azalır. Bu durumda, ayrık spektrum sürekli bir spektruma yaklaşacak ve burada keyfi olarak küçük olan her frekans aralığı Aco, bir temel dispersiyon ADco'ya karşılık gelecektir.

Sürekli bir spektrumu grafiksel olarak tasvir etmeye çalışalım. Bunu yapmak için, sonlu noktadaki ayrık spektrumun grafiğini biraz yeniden düzenlememiz gerekir. T. Yani dağılımın kendisini değil ordinat eksenini çizeceğiz dk(sonsuzca azalır T-"oo) ve ortalama dağılım yoğunluğu, onlar. Belirli bir frekans aralığının birim uzunluğu başına dağılım. ACO komşu frekansları arasındaki mesafeyi gösterelim:

ve her Aso segmentinde taban olarak alanı olan bir dikdörtgen oluşturuyoruz Dk ( pirinç. 17.3.1). İstatistiksel bir dağılımın histogramının oluşturulması ilkesine benzeyen bir adım diyagramı elde ediyoruz.

Diyagramın sod noktasına bitişik Aco bölümündeki yüksekliği eşittir.

Pirinç. 17.3.1

ve bu alandaki ortalama dağılım yoğunluğunu temsil eder. Diyagramın tamamının toplam alanı açıkça rastgele fonksiyonun varyansına eşittir.

Aralığı süresiz olarak artıracağız T. Bu durumda, Du -> O ve kademeli eğri süresiz olarak pürüzsüz eğriye yaklaşacaktır. S x (с) (Şekil 17.3.2). Bu eğri, sürekli bir spektrumun frekansları üzerindeki dağılım yoğunluğunu gösterir ve D x.(a>) fonksiyonunun kendisi denir. spektral dağılım yoğunluğu veya kısaca, spektral yoğunluk durağan rastgele fonksiyon X(t).

Pirinç. 17.3.2

Açıkçası, D g(co) eğrisinin kapsadığı alan yine de dağılıma eşit olmalıdır. Dx rastgele fonksiyon X(t):

Formül (17.3.2) varyansın genişletilmesinden başka bir şey değildir Dx her biri temel frekans aralığı başına dağılımı temsil eden L'Dso)s/co temel terimlerinin toplamı ile dco,с noktasına bitişik (Şekil 17.3.2).

Böylece, durağan bir rastgele sürecin yeni bir ek özelliğini - durağan sürecin frekans bileşimini tanımlayan spektral yoğunluğu - dikkate aldık. Ancak bu özellik bağımsız değildir; tamamen bu sürecin korelasyon fonksiyonu tarafından belirlenir. Tıpkı ayrık bir spektrumun koordinatları gibi dk korelasyon fonksiyonu aracılığıyla formüller (17.2.4) ile ifade edilir k x ( t), spektral yoğunluk Sx(a) korelasyon fonksiyonuyla da ifade edilebilir.

Bu ifadeyi türetelim. Bunu yapmak için şuraya gidelim: kanonik genişleme sınıra korelasyon fonksiyonu T-> bakalım neye dönüşecek. Korelasyon fonksiyonunun (17.2.1) sonlu aralıktaki Fourier serisine genişletilmesinden ilerleyeceğiz. (-T, 7):

w/( frekansına karşılık gelen dağılım aşağıdaki formülle ifade edilir:

Г ->oo olarak limite geçmeden önce dağılımdan (17.3.3) formülünü geçelim. dk ortalama dağılım yoğunluğuna

Bu yoğunluk bile hesaplandığından nihai değer T ve bağlıdır T, onu belirtelim:

İfadeyi (17.3.4) bölerek şunu elde ederiz:

(17.3.5)'ten şu sonuç çıkıyor:

(17.3.7) ifadesini formül (17.3.3)'e koyalım; şunu elde ederiz:

Bakalım (17.3.8) ifadesi ne zaman neye dönüşecek? T-> oo. Açıkçası bu durumda Aso -> 0; ayrık argüman ω/(sürekli değişen bir ω argümanına dönüşür; toplam, ω değişkeni üzerinde bir integrale dönüşür; ortalama yoğunluk farklılıklar SXT) ( A.) dağılım yoğunluğu A L.(ω)'ye yönelir ve limitteki ifade (17.3.8) şu formu alır:

Nerede S x (с) -sabit bir rastgele fonksiyonun spektral yoğunluğu.

Formül (17.3.6)'da Γ ->oo olarak sınıra geçerek, korelasyon fonksiyonu aracılığıyla spektral yoğunluk için bir ifade elde ederiz:

(17.3.9) gibi bir ifade matematikte şu şekilde bilinir: Fourier integrali. Fourier integrali, sonsuz bir aralıkta ele alınan periyodik olmayan bir fonksiyon durumu için Fourier serisi açılımının bir genellemesidir ve fonksiyonun, sürekli spektrum 1 ile temel harmonik salınımların toplamına genişlemesini temsil eder.

Fourier serisinin genişletilebilir fonksiyonu serinin katsayıları aracılığıyla ifade etmesi gibi, bunlar da genişletilebilir fonksiyon aracılığıyla ifade edilir, (17.3.9) ve (17.3.10) formülleri de fonksiyonları ifade eder. k x ( m) ve A x (k>) karşılıklıdır: biri diğerinden. Formül (17.3.9) korelasyon fonksiyonunu spektral yoğunluk cinsinden ifade eder; formül

(17.3.10) ise tam tersine korelasyon fonksiyonu aracılığıyla spektral yoğunluğu ifade etmektedir. İki fonksiyonu karşılıklı olarak ilişkilendiren (17.3.9) ve (17.3.10) gibi formüllere denir. Fourier dönüşümleri.

Böylece korelasyon fonksiyonu ve spektral yoğunluk, Fourier dönüşümleri kullanılarak birbirleri cinsinden ifade edilir.

m = 0'daki genel formül (17.3.9)'dan, dağılımın önceden elde edilen frekanslara (17.3.2) ayrıştırılmasının türetildiğine dikkat edin.

Pratikte spektral yoğunluk yerine S x ( co) sıklıkla kullanırım normalleştirilmiş spektral yoğunluk:

Nerede Dx- rastgele fonksiyonun varyansı.

Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu pl (m) ile normalleştirilmiş spektral yoğunluk l A (ω)'nin aynı Fourier dönüşümleri ile ilişkili olduğunu doğrulamak kolaydır:

İlk denklemin (17.3.12) t = 0 olduğunu varsayarsak ve p t(0) = 1 olduğunu hesaba katarsak, elimizde:

onlar. normalleştirilmiş spektral yoğunluk grafiğinin sınırladığı toplam alan birliğe eşittir.

Örnek 1. Bir rastgele fonksiyonun normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu p x (m) X(t) kadar azalır doğrusal yasa 0 t 0 r l.(t) = 0'da birden sıfıra (Şekil 17.3.3). Rastgele bir fonksiyonun normalleştirilmiş spektral yoğunluğunu belirleme X(t).

Çözüm. Normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonu şu şekilde ifade edilir:

formüller:

Formüllerden (17.3.12) şunu elde ederiz:

Pirinç. 17.3.3

Pirinç. 17.3.4

Normalleştirilmiş spektral yoğunluk grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 17.3.4. Birinci - mutlak - maksimum spektral yoğunluğa co = 0'da ulaşılır; belirsizliği ortaya çıkarmak

spektral yoğunluk, yüksekliği co arttıkça azalan bir dizi göreceli maksimuma ulaşır; ω -> oo l A. (o>) -> 0 olduğunda. Spektral yoğunluktaki değişimin doğası s x (с) (hızlı veya yavaş azalma) m 0 parametresine bağlıdır. Toplam alan bir eğri ile sınırlanmış s x(co), sabittir ve birliğe eşittir. m 0'daki bir değişiklik, alanını korurken her iki eksen boyunca eğrinin ölçeğindeki bir değişikliğe eşdeğerdir, s" A .(co). m 0'daki bir artışla, ordinat ekseni boyunca ölçek apsis boyunca artar. eksende azalır; spektrumda sıfır frekansın rasgele fonksiyonunun üstünlüğü daha belirgin hale gelir Limitte, m -> oo olarak, rasgele fonksiyon bu durumda sıradan bir rasgele değişkene dejenere olur, p d (m) = I, ve spektrum 0 = 0 ile tek bir frekansla ayrık hale gelir.

Pirinç. 17.3.5

Örnek 2. Rastgele bir fonksiyonun normalleştirilmiş spektral yoğunluğu.v v(co) X(t) belirli bir frekans aralığı a>b a>2 boyunca sabittir ve bu aralığın dışında sıfıra eşittir (Şekil 17.3.5).

Rastgele bir fonksiyonun normalleştirilmiş korelasyon fonksiyonunu belirleme X(t).

Çözüm. xl(co)'nun “t2”deki değeri, eğri tarafından sınırlanan alanın olması koşulundan belirlenir. s x(co), bire eşit:

(17.3.12)'den elimizde:

p d(t) fonksiyonunun genel görünümü Şekil 2'de gösterilmektedir. 17.3.6. Fonksiyonun kaybolduğu düğüm sayısı ile genliği azalan salınım karakterine sahiptir. Özel görünüm Grafikler açıkça a>a>2 değerlerine bağlıdır.

Pirinç. 17.3.6

p x (m) fonksiyonunun “t -> ω 2” şeklinde sınırlayıcı formu ilgi çekicidir. Açıkçası, ω 2 = ω = ω olduğunda, rastgele fonksiyonun spektrumu, ω frekansına karşılık gelen tek bir çizgiyle ayrık hale gelir; bu durumda korelasyon fonksiyonu basit bir kosinüse dönüşür:

Bu durumda rastgele fonksiyonun kendisinin nasıl bir biçime sahip olduğunu görelim. X(t). Tek hatlı ayrık bir spektrumla

durağan bir rastgele fonksiyonun spektral genişlemesi X(t) bir görünüme sahip;

Nerede U vlV - matematiksel beklentileri sıfıra ve eşit varyanslara sahip ilişkisiz rastgele değişkenler:

(17.3.14) tipindeki rastgele bir fonksiyonun tek bir fonksiyon olarak temsil edilebileceğini gösterelim. harmonik salınım rastgele genliğe ve rastgele faza sahip frekanslar. Belirleme

(17.3.14) ifadesini şu forma indirgeriz:

Bu ifadede - rastgele genlik; F - harmonik salınımın rastgele fazı.

Şimdiye kadar sadece dağılımların frekans dağılımının sürekli olduğu durumu ele aldık; sonsuz küçük bir frekans aralığı sonsuz küçük bir dağılıma neden olduğunda. Uygulamada bazen rastgele bir fonksiyonun, rastgele genliğe sahip o>a frekansının tamamen periyodik bir bileşenini içerdiği durumlar vardır. Daha sonra, rastgele fonksiyonun spektral genişlemesinde, sürekli frekans spektrumuna ek olarak, sonlu bir dağılıma sahip ayrı bir frekans co* ortaya çıkacaktır. Dk. Genel durumda, bu tür birkaç periyodik bileşen olabilir. Daha sonra korelasyon fonksiyonunun spektral ayrışımı iki bölümden oluşacaktır: ayrık ve sürekli spektrum:

Böyle bir "karışık" spektruma sahip durağan rastgele fonksiyon durumları pratikte oldukça nadirdir. Bu durumlarda, rastgele fonksiyonu sürekli ve ayrık spektrumlu iki terime bölmek ve bu terimleri ayrı ayrı incelemek her zaman mantıklıdır.

Çoğu zaman, rastgele bir fonksiyonun spektral genişlemesindeki son dağılımın sıfır frekansta (ω = 0) meydana geldiği özel durumla uğraşmak zorundayız. Bu, rastgele fonksiyonun terim olarak varyanslı sıradan bir rastgele değişkeni içerdiği anlamına gelir. D0.İÇİNDE benzer vakalar aynı zamanda bu rastgele terimi izole etmek ve onunla ayrı ayrı çalışmak da mantıklıdır.

• Formül (17.3.9), Fourier serisi açılımını genelleştiren Fourier integralinin özel bir şeklidir eşit işlev kosinüs harmonikleri ile. Daha fazlası için benzer bir ifade yazılabilir. genel durum.
• Burada Fourier dönüşümlerinin özel bir durumuyla uğraşıyoruz - buna "kosinüs Fourier dönüşümleri" denir.