Yüzdelerle ilgili sözlü problemleri doğru ve hızlı bir şekilde çözme yeteneği, yalnızca Birleşik Devlet Sınavını geçmek temel matematikte veya profil düzeyi ama aynı zamanda tüm yetişkinlere de yöneliktir, çünkü bu tür görevlerle sürekli olarak karşılaşılmaktadır. günlük yaşam. Fiyatların arttırılması, aile bütçesinin planlanması, karlı fon yatırımları ve daha birçok konu bu beceriler olmadan çözülemez. Sertifika sınavına girmeye hazırlanırken yüzdelerle ilgili problemlerin nasıl çözüleceğini tekrarlamalısınız: Matematikte Birleşik Devlet Sınavında bunlar hem temel hem de uzmanlık düzeylerinde bulunur.
Hatırlamak gerekiyor
Yüzde, bir sayının \(\frac(1)(100)\) kısmıdır. Bir şeyin bütüne göre payını ifade eder. Yazılı sembolü \(\%\)'dir. “Yüzde” konulu Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken hem Moskova'daki hem de Rusya Federasyonu'nun diğer bölgelerindeki okul çocuklarının aşağıdaki formülü hatırlamaları gerekir:
\Nasıl uygulanır?
Matematikte Birleşik Devlet Sınavında yüzdelerle basit bir görevi çözmek için ihtiyacınız olan:
- Verilen sayıyı \(100\)'a bölün.
- Ortaya çıkan değeri bulunması gereken \(\%\) miktarıyla çarpın.
Örneğin \(300\) sayısının \(10\%\) değerini hesaplamak için \(300:100=3\) öğesini bölerek \(1\) yüzdesini bulmanız gerekir. Ve önceki işlemden elde edilen sayı \(3\cdot10=30\)'dur. Cevap: \(30\).
Bunlar en basit görevlerdir. Birleşik Devlet Sınavındaki 11. sınıf öğrencileri, yüzdelerle ilgili karmaşık problemleri çözme ihtiyacıyla karşı karşıyadır. Kural olarak banka mevduatlarına veya ödemelere atıfta bulunurlar. “Teorik Bilgiler” bölümüne giderek bunların uygulanmasına ilişkin formül ve kuralları öğrenebilirsiniz. Burada sadece temel tanımları tekrarlamakla kalmaz, aynı zamanda bir banka kredisinin faizini içeren karmaşık problemleri çözme seçeneklerinin yanı sıra cebirin diğer bölümlerinden alıştırmalar hakkında da bilgi sahibi olabilirsiniz, örneğin,
Ayrıca "Matematikte Birleşik Devlet Sınavında metin problemleri" videosuna da bakın.
Bir kelime problemi sadece bir hareket ve çalışma görevi değildir. Ayrıca yüzdeler, çözümler, alaşımlar ve karışımlar, bir daire içinde hareket etme ve ortalama hızı bulma gibi görevler de vardır. Size bunları anlatacağız.
Yüzdelerle ilgili problemlerle başlayalım. Bu konuya zaten görev 1'de değinmiştik. Özellikle formüle ettiler önemli kural: karşılaştırdığımız değer olarak alırız.
Ayrıca yararlı formüller de türettik:
değeri yüzde oranında arttırırsak, elde ederiz.
eğer değer yüzde oranında azaltılırsa, elde ederiz.
eğer değer yüzde oranında artırılıp ardından azaltılırsa, elde ederiz.
değeri yüzde iki kat artırırsak, şunu elde ederiz:
eğer değer yüzde iki kat azaltılırsa, şunu elde ederiz:
Sorunları çözmek için bunları kullanalım.
Her yıl şehir bloğunda yaşayan insanlar vardı. Yıl içinde yeni evlerin inşası sonucunda konut sakinlerinin sayısı geçen yıla göre arttı. Yılda kaç kişi o çeyrekte yaşamaya başladı?
Şarta göre, bir yılda nüfus sayısı arttı, yani insan sayısına eşit hale geldi.
Ve yıl içinde sakinlerin sayısı, şu anki yıla kıyasla arttı. Bir yıl içinde blokta yaşayan sakinlerin sayısının arttığını anlıyoruz.
Aşağıdaki problem şu tarihte önerildi: deneme Birleşik Devlet Sınavı Aralık ayında matematikte. Çok basit, ancak çok az kişi bu konuda ustalaştı.
Pazartesi günü şirketin hisselerinin fiyatı belirli bir oranda artarken, Salı günü aynı oranda fiyat düştü. Sonuç olarak, Pazartesi günü işlemlerin başladığı zamana göre daha ucuz hale geldiler. Şirketin hisseleri Pazartesi günü yüzde kaç oranında arttı?
İlk bakışta durumda bir hata olduğu ve hisse senedi fiyatının hiç değişmemesi gerektiği görülüyor. Sonuçta fiyatları aynı oranda arttı ve düştü! Ama acele etmeyelim. Pazartesi günü işlem açılışında hisselerin ruble değerinde olduğunu varsayalım. Pazartesi akşamı fiyatları arttı ve pahalı olmaya başladı. Şimdi bu değer olarak alınıyor ve Salı akşamı itibarıyla hisseler bu değer kadar değer kaybetti. Verileri bir tabloda toplayalım:
| pazartesi sabahı | Pazartesi akşamı | Salı akşamı | |
| Hisse fiyatı |
Koşula göre, hisselerin fiyatı eninde sonunda düştü.
Bunu anlıyoruz
Denklemin her iki tarafını da ikiye bölelim (sonuçta öyle değil) sıfıra eşit) ve kısaltılmış çarpma formülünü sol tarafa uygulayın.
Problemin anlamına göre değer pozitiftir.
Bunu anlıyoruz.
Bir mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl önceki fiyata göre aynı oranda azalır. Ruble karşılığında satışa sunulan ve iki yıl sonra ruble karşılığında satılan bir buzdolabının fiyatının her yıl yüzde kaç oranında düştüğünü belirleyin.
Bu sorun aynı zamanda makalenin başında verilen formüllerden biri kullanılarak da çözülmektedir. Buzdolabının maliyeti ruble. Fiyatı iki kat düştü ve şimdi eşitlendi
Dört gömlek bir ceketten daha ucuzdur. Beş gömlek bir ceketten yüzde kaç daha pahalıdır?
Gömleğin fiyatı ceketin fiyatına eşit olsun. Her zaman olduğu gibi karşılaştırdığımız değeri yani ceketin fiyatını yüzde yüz olarak alıyoruz. O zaman dört gömleğin fiyatı ceketin fiyatına eşit olur, yani
.
Bir gömleğin maliyeti birkaç kat daha azdır:
,
ve beş gömleğin maliyeti:
Elimizde ceketten daha pahalı olan beş gömlek vardı.
Cevap: .
Aile bir karı-koca ve onların öğrenci kızlarından oluşuyor. Kocanın maaşı iki katına çıkarsa toplam aile geliri 0,000 artacaktır. Kızının bursu yarıya indirilseydi ailenin toplam geliri 0,000 lira azalacaktı. Kadının maaşı toplam aile gelirinin yüzde kaçını oluşturuyor?
Bir tablo çizelim. Problemde bahsedilen durumları (“kocanın maaşı artarsa, kızın bursu azalırsa…”) “durum” ve “durum” olarak adlandıracağız.
| koca | eş | kız çocuğu | Toplam gelir | |
| Gerçekte | ||||
| Durum | ||||
| Durum |
Denklem sistemini yazmaya devam ediyor.
Peki ne görüyoruz? İki denklem ve üç bilinmeyen! Bunları ayrı ayrı bulamayacağız. Doğru, buna ihtiyacımız yok. İlk denklemi alıp toplamı her iki taraftan çıkarmak daha iyidir. Şunu elde ederiz:
Bu, kocanın maaşının toplam aile gelirinin bir parçası olduğu anlamına gelir.
İkinci denklemde de ifadeyi her iki taraftan çıkarıp sadeleştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:
Bu, kızın bursunun toplam aile gelirine dayandığı anlamına geliyor. O halde kadının maaşı toplam geliri oluşturur.
Cevap: .
Sonraki tür problemler - çözümler, karışımlar ve alaşımlarla ilgili problemler. Sadece matematikte değil kimyada da bulunurlar. Size şunu anlatacağız basit bir şekilde onların kararları.
Yüzde litre içeren bir kapta sulu çözelti bir miktar maddeye litre su eklendi. Ortaya çıkan çözeltinin konsantrasyonu yüzde kaçtır?
Kararda benzer görevler resim yardımcı olur. Solüsyonlu bir kabı şematik olarak tasvir edelim - sanki içindeki madde ve su birbiriyle karıştırılmamış, bir kokteylde olduğu gibi birbirinden ayrılmış gibi. Ve kapların kaç litre içerdiğini ve içindeki maddenin yüzde kaçını yazalım. Ortaya çıkan çözeltinin konsantrasyonunu gösterelim.
İlk kapta litrelerce madde vardı. İkinci kapta ise yalnızca su vardı. Bu, üçüncü kabın birinciyle aynı sayıda litre madde içerdiği anlamına gelir:
.
Belirli bir maddenin belirli bir yüzdelik çözeltisini, bu maddenin aynı miktardaki yüzdelik çözeltisiyle karıştırdık. Ortaya çıkan çözeltinin konsantrasyonu yüzde kaçtır?
İlk çözümün kütlesi eşit olsun. İkincisinin kütlesi aynıdır. Sonuç olarak kütlesi olan bir çözüm elde ettik. Bir resim çizelim.
Şunu elde ederiz:
Cevap: .
Üzüm nem içerir, kuru üzüm ise nem içerir. Kilogram kuru üzüm üretmek için kaç kilo üzüm gerekir?
Dikkat! “Ürünlerle ilgili”, yani kuru üzümün üzümden, kayısının kayısıdan, krakerin ekmekten veya süzme peynirin sütten yapıldığı bir sorunla karşılaşırsanız, bunun aslında çözüm odaklı bir sorun olduğunu bilin. Çözüm olarak da kabaca üzümleri tasvir edebiliriz. Su ve "kuru madde" içerir. “Kuru madde”nin karmaşık bir yapısı vardır kimyasal bileşim Tadı, rengi ve kokusundan bunların patates değil üzüm olduğunu anlayabiliriz. Üzümlerdeki su buharlaştığında kuru üzüm elde edilir. Aynı zamanda “kuru madde” miktarı da sabit kalır. Üzümlerde su vardı, yani “kuru madde” vardı. Kuru üzüm su ve “kuru madde” içerir. Bir kilo üzümden bir kilo kuru üzüm olsun. Daha sonra
itibaren
Bir denklem kuralım:
ve onu bulacağız.
Cevap: .
İki alaşım var. İlk alaşım nikel, ikincisi nikel içerir. Bu iki alaşımdan kg ağırlığında nikel içeren üçüncü bir alaşım elde edildi. Birinci alaşımın kütlesi ikincinin kütlesinden kaç kilogram daha azdır?
Birinci alaşımın kütlesi x, ikinci alaşımın kütlesi y olsun. Sonuç, kütlesi olan bir alaşımdı.
Haydi yazalım basit sistem denklemler:
İlk denklem elde edilen alaşımın kütlesi, ikincisi ise nikelin kütlesidir.
Çözünce bunu anlıyoruz.
Cevap: .
Asitin yüzde ve yüzdelik çözeltilerini karıştırıp kg ekleyerek temiz su yüzdelik bir asit çözeltisi elde ettik. Eğer kg su yerine aynı asidin yüzde kg'lık çözeltisi eklenirse, asidin yüzde -lik bir çözeltisi elde edilir. Karışımı elde etmek için kaç kilogram yüzdelik çözelti kullanıldı?
Birinci çözümün kütlesi ikincinin kütlesine eşit olsun. Ortaya çıkan çözümün kütlesi eşittir. Asit miktarı için iki denklem yazalım.
Ortaya çıkan sistemi çözüyoruz. Hemen denklemlerin her iki tarafını da ile çarpalım, çünkü tamsayı katsayılarla çalışmak kesirli katsayılarla çalışmak daha uygundur. Parantezleri açalım.
Cevap: .
Dairesel hareket problemlerinin de birçok öğrenci için zor olduğu ortaya çıktı. Neredeyse aynı şekilde çözülürler sıradan görevler hareket için. Formülünü de kullanıyorlar. Ancak size anlatacağımız bir püf noktası var.
noktadan dairesel yol Bir bisikletçi dışarı çıktı ve birkaç dakika sonra bir motosikletçi onu takip etti. Yola çıktıktan dakikalar sonra bisikletçiye ilk kez, dakikalar sonra ise ikinci kez yetişti. Rotanın uzunluğu km ise motosikletçinin hızını bulunuz. Cevabınızı km/saat cinsinden verin.
Hızın km/saat cinsinden bulunması gerektiğinden ilk olarak dakikaları saate çevirelim. Katılımcıların hızlarını ve olarak gösteriyoruz. İlk kez bir motosikletçi bir bisikletçiyi starttan dakikalar sonra, yani starttan bir saat sonra geçti. Bu noktaya kadar bisikletçi dakikalardır, yani bir saattir yoldaydı.
Bu verileri bir tabloya yazalım:
| bisikletçi | |||
| motosikletçi |
Yani her ikisi de aynı mesafeleri kat etti.
Motosikletçi daha sonra bisikletçiyi ikinci kez geçti. Bu, ilk sollamadan dakikalar, yani bir saat sonra gerçekleşti.
İkinci tabloyu çizelim.
| bisikletçi | |||
| motosikletçi |
Ne kadar mesafe kat ettiler? Bir motosikletçi bir bisikletçiyi geçti. Bu, bir tur daha sürdüğü anlamına geliyor. Bu görevin sırrı budur. Bir tur parkurun uzunluğudur, kilometreye eşittir. İkinci denklemi elde ederiz:
Ortaya çıkan sistemi çözelim.
Bunu anlıyoruz. Cevap olarak motosikletçinin hızını yazıyoruz.
Cevap: .
İbreli bir saat, saatin dakikasını gösterir. Kaç dakika içinde dakika ibresi dördüncü kez saate göre hizalanacak mı?
Bu belki de en zor görev itibaren Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Elbette basit bir çözüm var: İbreli bir saat alın ve ibrelerin bir saat içinde dördüncü kez tam olarak aynı hizada olduğundan emin olun.
Peki ya varsa elektronik saat ve sorunu deneysel olarak çözemiyor musunuz?
Bir saat içinde yelkovan bir daireyi, akrep ise bir daireyi kat eder. Hızları (saatte daire) ve (saatte daire) olsun. Başla - .. Yelkovanın akrebe ilk kez yetişeceği zamanı bulalım.
Yelkovan bir daire daha kat edeceğinden denklem şu şekilde olacaktır:
Çözdükten sonra o saati alıyoruz. Böylece ilk kez ibreler bir saat içinde aynı hizaya gelecek. Bir süre sonra ikinci kez eşitlensinler. Dakika ibresi mesafeye gidecek, akrep ve yelkovan bir daire daha kat edecek. Denklemi yazalım:
Çözdükten sonra o saati alıyoruz. Böylece, bir saat sonra ibreler ikinci kez, bir saat sonra üçüncü kez, bir saat sonra da dördüncü kez hizalanacak.
Bu, eğer başlangıç . ise, dördüncü kez okların aynı hizada olacağı anlamına gelir.
saat.
Cevap "deneysel" çözümle tamamen tutarlıdır! :-)
Matematik sınavınızda ortalama hızı da bulmanız istenebilir. Ortalama hızın, hızların aritmetik ortalamasına eşit olmadığını unutmayın. Özel bir formül kullanılarak bulunur:
,
ortalama hız nerede, - ortak yol, - toplam süre.
Yolun iki bölümü olsaydı, o zaman
Gezgin, denizi bir yatta ortalama km/saat hızla geçti. Bir spor uçağıyla km/saat hızla geri uçtu. Yolcunun tüm yolculuk boyunca ortalama hızını bulun. Cevabınızı km/saat cinsinden verin.
Yolcunun ne kadar mesafe kat ettiğini bilmiyoruz. Sadece gidiş-dönüşte bu mesafenin aynı olduğunu biliyoruz. Kolaylık olması açısından bu mesafeyi (tek deniz) olarak alalım. Bu durumda yolcunun yatta yolculuk yaptığı süreye, uçuşta geçirdiği süre ise eşittir. Toplam süre eşittir.
Ortalama hız km/saat'e eşittir.
Cevap: .
Problem 13'teki denklem sistemini hızlı bir şekilde çözmenize yardımcı olacak başka bir etkili teknik gösterelim.
Andrey ve Paşa çitleri bir saat içinde boyuyorlar. Paşa ve Volodya aynı çiti bir saat içinde, Volodya ve Andrey ise bir saat içinde boyuyor. Çocukların birlikte çalışarak çiti boyamaları kaç saat sürecek?
İş ve üretkenlik sorunlarını zaten çözdük. Kurallar aynı. Tek fark burada üç kişi çalışıyor ve üç değişken de olacak. Andrey'in üretkenliği olsun, Paşa'nın üretkenliği olsun ve Volodya'nın üretkenliği olsun. Çiti, yani iş miktarını alacağız çünkü büyüklüğü hakkında hiçbir şey söyleyemeyiz.
| performans | İş | |
| Andrey | ||
| Paşa | ||
| Volodya | ||
| Birlikte |
Andrey ve Paşa çitleri saatler içinde boyadılar. Bunu ne zaman hatırlıyoruz birlikte çalışmak performanslar artıyor. Denklemi yazalım:
Aynı şekilde,
Daha sonra
.
ve'yi ayrı ayrı arayabilirsiniz, ancak üç denklemin tümünü eklemek daha iyidir. Bunu anlıyoruz
Bu, Andrey, Paşa ve Volodya'nın birlikte çalışarak bir saat içinde çitin sekizde birini boyadığı anlamına geliyor. Bütün çiti saatler içinde boyayacaklar.
"Basit ve bileşik faiz »
Konunun alaka düzeyi.
Yüzdeleri anlamak ve yüzde hesaplamaları yapabilme yeteneği şu anda her kişi için gereklidir: uygulanan değer Bu konu oldukça geniştir ve hayatımızın finansal, demografik, çevresel, sosyolojik ve diğer yönlerini etkilemektedir.
Materyal bu yıl 11. sınıfa giden herkes için geçerlidir.
Matematikte CIM'lerin derlenmesinde doğrudan yer alan Yashchenko Ekim ayında seminerimize geldiğinde, görev 19'un tüm prototiplerinin açık kavanozçünkü görev yeni.
Çok güçlü olmayan sınıfım için görev çözülüyor ve bunun için eğitim almak mümkün olacak.
Küçük bir teori...
"Faiz".
Görev1
a) Faize ne denir? (Yüzde, bir sayının yüzde biridir.)
b) Belirtilen %1 nedir? ( 1%? = 0,01 )
c) Yüz ağırlığın %1'ine ne denir? ( kilogram. ) Metre? (bkz.) Hektar mı? (ar veya yüzüncü)
d) %1 faize ne denir? verilen numara A? (Belirli bir a sayısının yüzdesi 0,01 a sayısıdır, yani.%1 (a) = 0,01*a)
e) Belirli bir a sayısının p%'si nasıl belirlenir? (0,01 pa sayısını bulun, yani.р% = 0,01*р*а)
f) Ondalık kesir yüzdeye nasıl dönüştürülür? ( 100 ile çarpın ). Ondalık sayılarda yüzdelere ne dersiniz? (yüze bölün, yani 0,01 ile çarpın)
g) Bir sayının yüzdesi nasıl bulunur? (Bir parça bulmak için x sayısından itibaren Yüzde olarak bu kısmı sayıya bölüp 100 ile çarpmanız gerekiyor yani. a(%)=(w/x)*100)
e) Bir sayı yüzdesine göre nasıl bulunur?(X'in % a'sının b'ye eşit olduğu biliniyorsa, x aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir: x = (v/a)*100)
Görev 2
Bu ondalık kesirleri yüzde olarak gösterin:
A)1; 0,5; 0,763; 1.7; 256.
b) Yüzdeleri ondalık kesirlerle ifade edin: %2; %12; %12,5; %0,1; %200.
Görev 3
Sayının yüzdesini bulun:
c) 1200 sayısının %0,1'i?(1,2)
d) 2 sayısının %15'i? (0.30)
Görev 4
Yüzdesine göre bir sayı bulun:
e) Torbanın ağırlığı kaç santimetredir? toz şeker%13'ü 6,5 kg ise?(50 kg.= 0,5 c.)
c) 10'un yüzde kaçı 9'dur?
Yanıtlar: a) %9, b) %0,09, c) %90;
d) %900?.
Basit ve bileşik faiz
Bu terimler çoğunlukla bankacılıkta, finansal görevlerde bulunur.
Bankalar belirli faiz oranlarıyla fon (mevduat) çekmektedir. Faiz oranına bağlı olarak gelir hesaplanır.
Uygulamada faiz gelirinin değerlendirilmesinde basit ve bileşik faiz olmak üzere iki yaklaşım kullanılmaktadır.
Basit faiz uygulandığında gelir, yatırım süresine bakılmaksızın başlangıçta yatırılan fon miktarından hesaplanır. Finansal işlemlerde basit faiz, öncelikle kısa vadeli finansal işlemler için kullanılmaktadır. Bir miktarın kademeli olarak değişmesine izin verin. Üstelik her değişimde belirli sayıbu değerin sahip olduğu değerin yüzdesi Açık başlangıç aşaması. Bu şekilde hesaplanıyorlar
basit faiz.Bileşik faiz uygulanırken birikmiş faiz tutarı bir sonraki tahakkuk dönemi sonunda mevduata eklenir. Üstelik her seferinde değişimi bu değerin sahip olduğu değerin belirli bir yüzdesi kadardır.önceki aşamada. Bu durumda, "bileşik faiz
” (yani “faiz başına faiz” hesaplamaları kullanılmaktadır)
Başlangıç tutarı ve alınan faiz toplu olarak birikmiş (birikmiş) tutar olarak adlandırılır.
Tablo 1. Basit ve bileşik faiz kullanılarak biriken tutarlar.
Başlangıca | 1. yıl | 2. yıl | 3. yıl | 4. yıl | 5. yıl |
|
Basit faiz | ||||||
Bileşik faiz |
Basit ve bileşik faiz formülleri.
I. Belirli bir A değerinin n kez (n yıl) ve her seferinde %p oranında artmasına izin verin.
Gösterimi tanıtıyoruz: A 0 – A miktarının başlangıç değeri;
R – sabit miktar yüzde;
A faiz oranı; a=р/100 = 0,01*р
Bir – n katı için (n'inci yılın sonuna kadar) birikmiş tutar - basit faiz formülüne göre;
Sn - bileşik faiz formülüne göre n kez (n'inci yılın sonuna kadar) birikmiş tutar.
O zaman değeri A 1 basit faiz için ilk artıştan sonra (ilk yılın sonuna kadar) aşağıdaki formülle hesaplanır: A 1 = Bir 0 + Bir 0 * (0,01p) = Bir 0 (1 + (0,01p) = Bir 0 (1 + p)
İkinci aşama A'nın sonunda 2 = Bir 1 + Bir 0 * (0,01r) = Bir 0 (1 + a) + Bir 0 * a = Bir 0 (1 + 2 a).
Üçüncü aşama A'nın sonunda 3 = A 2 + A 0 * (0,01r) = A 0 (1 + 2 a) + A 0 * a = A 0 (1 + 3 a).
Daha sonra basit faiz için yıllar içindeki tutar şuna eşittir:
A n = A 0 (1 + 0,01р*n) veya An n = A 0 (1 + ?* n) (1)
Bileşik faiz için durum farklı görünüyor:
Bir miktar S olsun 0 n kez (n yıl) ve her seferinde %p oranında artar.
O halde anlamı S1 Bileşik faiz için ilk artıştan sonra (ilk yılın sonuna kadar) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:
S1 = S0 + S0 (0,01r) = S0 * (1 + 0,01r) = S0 * (1 + ?).
İkinci aşamanın sonunda S 2 = S 1 + S 1 (0,01р) = S 1 * (1 + 0,01р) = S 0 (1 + ????р) 2 = S 0 (1 + ?) 2.
Üçüncü aşamanın sonunda S 3 = S 2 + S 2 (0,01r) = S 2 * (1 +0,01r) = S 0 (1 +0,01r) 2 *(1 +0,01r)=S 0 (1 +0, 01р) 3 = S 0 (1 + a) 3.
Daha sonra bileşik faiz için yıllar içindeki tutar şuna eşittir:
S n = S 0 (1 + 0,01р) n veya S n = S 0 (1 + a ) n (2)
Örnek 1.
Banka 50 bin ruble tutarında vadeli mevduat açtı. 3 yıl boyunca %12. Faiz varsa birikmiş tutarı hesaplayın:
a) basit; b) karmaşık.
Çözüm 1.
Basit faiz formülünü kullanma
Sn=(1+3*0,12)*50.000 = 68.000 ovma. (çözünürlük 68.000 rub.)
Basit faiz formülünü kullanma
Sn=(1+0,12) 3 *50.000 = 70.246 ruble. (res. 70246 ovmak.)
Bileşik faiz formülü dört miktarı birbirine bağlar: ilk mevduat, birikmiş tutar ( gelecekteki değer Mevduat), yıllık faiz oranı ve yıl cinsinden süre. Bu nedenle, üç miktarı bilerek her zaman dördüncüyü bulabilirsiniz:
S n = S 0 * (1+0,01р) n
Yüzde p sayısını belirlemek için gereklidir:
р = 100 * ((S n / S 0 ) 1/n – 1) (2.1)
İlk depozitoyu bulma işlemi S 0 , eğer n yıl içinde toplamına eşit olması gerektiği biliniyorsa Sn iskonto denir:
S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n (2,2)
Katkı payı kaç yıldır S 0 S değerini elde etmek için bankada yıllık %p oranında yatmak gerekir N.
n = (lnS n – lnS 0 ) / (ln(1 + 0,01р) (2,3)
Bankacılık uygulamalarında faizin yılda birden fazla tahakkuk etmesi mümkündür. Bu durumda banka faiz oranı genellikle yıllık olarak belirlenir. Bileşik faiz formülü şöyle görünecektir:
S n = (1 + ?/t) n t S 0 (3)
burada t yıllık faiz yeniden yatırımlarının sayısıdır.
Örnek 2.
Banka 50 bin ruble tutarında vadeli mevduat açtı. 3 yıl boyunca %12. Faiz üç ayda bir hesaplanıyorsa tahakkuk eden tutarı hesaplayın.
Çözüm 2.
n=3
t = 4 (yılda – 4 çeyrek)
Bileşik faiz formülünü kullanma
S 3 = (1+0,12/4) 3*4 *50000 = 1,03 12 *50000 = 71288 ovmak. Temsilci 71.288 RUB
Örnek 1 ve 2'den de anlaşılacağı gibi, birikmiş tutar ne kadar sık faiz tahakkuk ederse o kadar hızlı artacaktır.
Her aşamada S değerindeki artışın farklı olduğu formül (2)'nin bir genellemesini sunalım. S olsun O , S'nin başlangıç değeri, ilk aşamanın sonunda p kadar bir değişim yaşar 1 %, p'deki saniyenin sonunda 2 % ve üçüncü aşamanın sonunda p 3 %, vesaire. N'inci aşamanın sonunda S'nin değeri formülle belirlenir.
S n = S 0 (1 + 0,01р 1 )(1 + 0,01р 2 )...(1 + 0,01р n ) (4)
Örnek 3.
Ticaret üssü, üreticiden bir parti mal satın aldı ve bunu %30 daha yüksek bir toptan satış fiyatıyla mağazaya teslim etti. daha fazla fiyatüretici. Mağaza, ürünün perakende fiyatını toptan satış fiyatından %20 daha yüksek belirledi. İndirim sırasında mağaza bu fiyatı %10 oranında düşürdü. Alıcı, satışta bir ürünü 140 rubleye satın alırsa, üreticinin fiyatına kıyasla kaç ruble daha fazla ödedi? 40 kopek
Çözüm 3.
Başlangıç fiyatı S rub. olsun, o zaman formül (4)'e göre elimizde:
S 0 (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4
S 0 *1,3*1,2*0,9 = S 0 *1,404 = 140,4
S 0 = 140,4: 1,404 = 100 (ovmak)
Son ve ilk fiyatlar arasındaki farkı bulun
140,4 – 100 = 40,4 Cevap. 40,4 ovmak.
Çözümlü problem örnekleri
Seçenek 1
Görev 1. Benzin istasyonu sahibi benzin fiyatına yüzde 10 oranında zam yaptı. Müşteri sayısının hızla düştüğünü fark ederek fiyatı %10 düşürdü. Benzinin başlangıç fiyatı bundan sonra nasıl değişti? (arttı veya azaldı ve % kaç oranında?)
Çözüm: S 0 olsun – başlangıç fiyatı, S2 – nihai fiyat, x – istenilen yüzde değişim sayısı, burada x = (1 - S 2 /S 0 )*100%(*)
Daha sonra S formülüne göre n = S 0 (1 + 0,01р 1 )(1 + 0,01р 2 )***(1 + 0,01р n ) (4), şunu elde ederiz:
S 2 = S 0 (1 + 0,01*10 )(1 - 0,01*10) = S 0 *1,1*0,9 = 0,99*S 0.
S2 = 0,99*S0; 0,99 = %99, S değeri 2 orijinal maliyetin %99'udur, bu da %100 daha düşük anlamına gelir - %99 = %1.
Veya (*) formülünü kullanarak şunu elde ederiz: x = (1 – 0,99)*100% = 1%.
Cevap: %1 oranında azaldı.
Görev 2. Yıl içinde işletme üretim çıktısını aynı oranda iki kez artırdı. Şirketin yılın başında aylık 600 ürün ürettiği, yıl sonunda ise aylık 726 ürün üretmeye başladığı biliniyorsa bu rakamı bulunuz.
Çözüm: S 0 olsun – başlangıç fiyatı, S2 – son fiyat, p – sabit faiz miktarı.
Formül (2.1)'e göre şunu elde ederiz: р = 100 * ((726/ 600 ) 1/2 – 1) = 10%.
Cevap: %10
Görev 3. Bilgisayar ekipmanlarının fiyatı %44 oranında artırıldı. Bunun ardından art arda yapılan iki aynı yüzdelik indirim sonucunda bilgisayarların fiyatı orijinal fiyatından %19 daha ucuz oldu. Her seferinde fiyatı yüzde kaç düşürdüler?
Çözüm: Formül (4)'ü kullanarak denklemi oluşturuyoruz
S 3 = S 0 (1 + 0,01*44)(1 - 0,01r)(1 - 0,01r) = S0 *1,44*(1 - 0,01r) 2 = S0 * (1-0,01*19). Denklemi çözerek 2 kök elde ederiz: 175 ve 25; burada 175, problemin koşullarına uymuyor. Bu nedenle p = %25.
Cevap: %25
Görev 4. Optimum fiyat artış rejimini belirlemek amacıyla şirket, 1 Ocak'tan itibaren aynı ürünün fiyatını iki mağazada iki şekilde artırmaya karar verdi. Bir mağazada - her ayın başında (Şubat ayından itibaren)% 2, diğerinde - her iki ayda bir, üçüncü ayın başında (Mart ayından itibaren) aynı oranda ve altı ay sonra (1 Temmuz) fiyatlar yine aynı oldu. İkinci mağazada ürünün fiyatı iki ayda bir yüzde kaç oranında artırılmalıdır?
Çözüm: S 0 olsun – başlangıç fiyatı,p – sabit yüzde.
Daha sonra 6 ay sonra (%2 oranında altı artıştan sonra) ilk mağazada ürünün fiyatı S'ye eşit olacaktır. 0 (1 + 0,01*2) 6 ve ikinci mağazada (%p oranında üç artıştan sonra) ürünün fiyatı S'ye eşit olacaktır. 0 (1 + 0,01r) 3 . S denklemini elde ederiz 0 (1 + 0,01*2) 6 = S 0 (1 + 0,01р) 3 . Bunu çözersek şunu elde ederiz
(1 + 0,01*2) 2 = (1 + 0,01r); 1,02 2 = (1 + 0,01r); p = 4,04
Cevap: %4,04
Seçenek 2.
Görev 1. Bir araba otoyolda belli bir hızla ilerliyordu. dışarı çıkıyorum köy yolu, hızını %20 düşürdü, ardından dik tırmanış bölümünde hızı %30 düşürdü. Bu yeni hız orijinalinden yüzde kaç daha düşük?
Çözüm: V 0 olsun – başlangıç hızı,V – ikiden sonra elde edilen yeni hız çeşitli değişiklikler, p – gerekli faiz miktarı.
Daha sonra formül (4)'ü kullanarak V denklemini oluştururuz. 0 (1 - 0,01*20)(1 - 0,01*30) = V 0 (1 - 0,01r). Çözdüğümüzde V elde ederiz 0 *0,8*0,7 = V 0 (1 - 0,01r); p = 44
Cevap: %44
Görev 2. Oda sıcaklığında suyun günde %3 oranında buharlaştığını varsayalım. 100 litreden 2 gün sonra kaç litre su kalır? Ne kadar su buharlaşacak?
Çözüm: n=2; p=%3; S 0 = 100l. Daha sonra formül (2)'ye göre şunu elde ederiz:
S 2 = S 0 (1 - 0,01p) 2 = 100*(1-0,01*3) 2 = 100*0,97 2 = 94,09; S 0 – S 2 = 100 - 94,09 = 5,91
Cevap: 94.09l.; 5.91l.
Görev 3. 2 yıl önce bankaya yatırılan mevduat 11.449 rubleye ulaştı. Yıllık %7'lik ilk katkı ne kadardı? Kâr nedir?
Çözüm: n=2; p=%7; S2 = 11449; S0 = ?
Formül (2.2)'de S 0 = S n * (1 + 0,01р) –n bu değerleri değiştirirsek şunu elde ederiz:
S 0 = 11449* (1 + 0,01*7) –2 = 11449/ (1,07) 2 =11449/ 1,1449 = 10000.
11449 – 10000 = 1449
Cevap: 10.000 ruble; 1449 ovmak.
Görev 4. Sberkassa yıllık olarak depozito tutarının %3'ünü tahakkuk ettirir. Bu miktar kaç yıl içinde iki katına çıkacak?
Çözüm: p=%3; S 0 – başlangıç tutarı; n=?
Bir denklem kuralım: 2*S 0 = S 0 (1 + 0,01р)n ; 2*S 0 = S 0 (1 + 0,03) n; 2 = 1,03 n n=log 1,03 2; n ?23.
Bağımsız çalışma
1. seviye. Yeniden yapılanmanın ardından tesis, üretim çıktısını %10 artırdı ve ekipmanı değiştirdikten sonra %30 daha artırdı. Başlangıçtaki çıktı yüzde kaç arttı?
(Cevap: %43)
2. seviye. 50 sayısı üç kez aynı yüzde oranında artırıldı ve ardından aynı yüzde oranında azaltıldı. Sonuç 69.12 oldu. Bu sayıyı yüzde kaç artırıp sonra azalttınız?
(Cevap: %20)
3. seviye. Banka yıllık olarak mevduat tutarının %7'sini tahsil etmektedir. Bulmak en küçük sayı katkının %20'den fazla arttığı yıllar.
(Cevap: 3 yıl)
1 numara. Tasarruf bankası mevduatlara yıllık %5,5 tahakkuk ettirmektedir. Mevduat sahibi bankaya 150 bin ruble yatırdı. 2 yıl sonra depozito tutarı ne olacak?
(Cevap: 166.953,75 RUB)
3 numara. Banka iki para yatırma seçeneği sunuyor
1) yıl sonunda tahakkuk eden faizle birlikte %120 oranında;
2) Her çeyreğin sonunda tahakkuk eden faizle birlikte %100.
Bir yıl boyunca para yatırmak için daha karlı bir seçenek belirleyin.
Çözüm.
Daha karlı seçeneğin, yıl içinde artan miktarın daha fazla olacağı seçenek olduğu düşünülmektedir. Seçenekleri değerlendirmek için başlangıç miktarını 100 rubleye eşit alacağız.
İlk seçeneğe göre birikmiş tutar (1+1,2)*100 rubleye eşit olacaktır. = 220 ovmak.
İkinci seçenekte faiz üç ayda bir tahakkuk ettirilir. İlk çeyreğin sonunda biriken tutar (1+1,0/4)*100 rubledir. = 125 ovmak.
2. çeyreğin sonunda (1+1.0/4) 2 *100 ovmak. = 156 ovmak.
Yıla ait birikimli tutar (1+1.0/4) 4*100 ovmak. = 244 ovmak.
Hesaplamalardan da anlaşılacağı üzere ikinci seçenek çok daha karlı (244 > 220). Doğru, yalnızca bileşik faiz kullanılıyorsa.
Profil düzeyinde matematik 2015 Birleşik Devlet Sınavı'nın 19 numaralı görevi için bir prototip seçimi.
19. 31 Aralık 2012 tarihinde Ekaterina, bankadan yıllık %15 faizle 850.000 ruble kredi çekti. Kredi geri ödeme planı aşağıdaki gibidir: 31 Aralık gelecek yıl banka borcun kalan kısmı üzerinden faiz alır (yani borcu% 15 artırır), ardından Ekaterina bunu bankaya aktarır belli bir miktar yıllık ödeme. Catherine'in borcunu üç eşit yıllık ödemeyle ödeyebilmesi için yıllık ödeme miktarı ne olmalıdır?
19. Bir banka, genç bir aileye daire satın almaları için yıllık %20 oranında kredi vermektedir.
Kredi geri ödeme planı şu şekildedir: kredinin banka tarafından verilmesinden tam bir yıl sonra
kalan borç tutarına faiz uygular (yani borcu %20 artırır),
daha sonra bu aile gelecek yıl bankaya belli bir miktar transfer edecek
(sabit) yıllık ödeme tutarı. Ivanov ailesi borcunu ödemeyi planlıyor
4 yıl eşit ödemeli kredi. Onlara ne kadar para verebilir?
Ivanov'lar yıllık 810.000 tutarındaki krediyi geri ödeyebilirlerse banka
ruble mi?
19. 8 litrelik bir şişede %32 oksijen içeren bir nitrojen ve oksijen karışımı bulunmaktadır. Karışımın belirli bir miktarı şişeden çıkarıldı ve aynı miktarda nitrojen ilave edildi; daha sonra ilk seferkiyle aynı miktarda yeni karışımı tekrar serbest bıraktılar ve aynı miktarda nitrojen eklediler. Sonuç olarak karışımdaki oksijen yüzdesi %12,5 oldu. Her seferinde kaç litre karışım açığa çıktı?
19. Bankaya %10 banka faiziyle mevduat yatırıldı. Bir yıl sonra mevduatın sahibi hesaptan 2.000 ruble çekti ve bir yıl sonra tekrar 2.000 ruble yatırdı. Ancak bu eylemlerin sonucunda, mevduatın ilk yatırımından üç yıl sonra, planlanandan daha az bir miktar aldı (mevduatla herhangi bir ara işlem olmasaydı). Yatırımcı sonunda planlanan miktardan kaç ruble daha az aldı?
19. Ayın ilk iş gününde çok sayıda traktör fabrikanın montaj hattından çıktı. Sonraki her iş gününde üretimleri günde 3 traktör arttı ve 55 traktörlük aylık plan, planlanandan önce ve birkaç gün içinde tamamlandı. Bundan sonra günde 11 adet traktör üretildi. Ayda 26 iş günü olduğu ve planlanan işin 3'ten az 10'dan fazla sürmediği biliniyorsa, ilk iş gününde kaç adet traktör üretildiğini ve aylık planın yüzde kaçının aşıldığını belirleyin. günler.
19. 8 Mart'ta Lenya Golubkov, karısı Rita'ya yeni bir kürk manto satın almak için bankadan 4 yıl süreyle yıllık% 20 faizle 53.680 ruble kredi aldı. Kredi geri ödeme planı şu şekildedir: Gelecek yılın 8 Mart sabahı banka, borcun kalan tutarına faiz uygular (yani borcu% 20 artırır) ve aynı günün akşamı Lenya, yıllık ödemenin belirli bir miktarını bankaya aktarır (bu miktar dört yıl boyunca aynıdır). Lenya Golubkov'un bu dört yıl içinde alınan 53.680 rubleyi aşan tutarı bankaya ödemek zorunda kalacak mı?
19. Semyon Kuznetsov, tüm birikimlerini Navroda bankasındaki bir tasarruf hesabına %500 oranında yatırmayı planladı ve yılda A ruble almayı bekliyordu. Ancak Navrode Bank'ın çöküşü planlarını değiştirerek aceleci bir eylemi önledi. Sonuç olarak Bay Kuznetsov paranın bir kısmını Birinci Belediye bankasına, geri kalanını da makarna kavanozuna koydu. Bir yıl sonra Birinci Belediye ödeme yüzdesini iki buçuk kat artırdı ve Bay Kuznetsov depozitoyu bir yıl daha bırakmaya karar verdi. Sonuç olarak, Birinci Belediye'de alınan miktar şuydu:Ve ruble. Semyon'un bir kutu makarnaya "yatırım yapması" durumunda Birinci Belediye Bankası'nın ilk yıl için ne kadar faiz tahakkuk ettireceğini belirleyin Ve ruble.
19. Banka, müşteri fonlarının %30'unu 1 yıl boyunca altın madenciliği tesisinin hisselerine, geri kalan %70'ini ise alışveriş kompleksi inşaatına yatırmayı planlıyor. Koşullara bağlı olarak, ilk proje bankaya yılda %32 ila %37, ikinci proje ise yılda %22 ila %27 oranında kar getirebilir. Yıl sonunda banka, parayı müşterilere iade etmek ve onlara önceden belirlenmiş bir oranda, yıllık %10 ile %20 arasında değişen bir oranda faiz ödemekle yükümlüdür. Bankanın alabileceği hisse alımı ve alışveriş kompleksi inşaatı için yapılan toplam yatırımlardan yıllık yüzde olarak en küçük ve en büyük net kârın ne olduğunu belirleyin.
Yüzde, bir sayının yüzde biri kadardır.
Yüzde, $%$ sembolüyle gösterilir.
Formdaki yüzdeleri temsil etmek için ondalık değerini 100$'a bölmeniz gerekir.
$35%={35}/{100}=0.35$.
Bir sayının yüzdesini bulmak için yapmanız gerekenler verilen numara$100$'a bölün ve yüzdeyle çarpın.
$n%$ / $а=(а⋅n)/(100)$
Düz açının %5$'ı olan bir açı kaç derece içerir?
Düz açı 180°$'dır.
Bunun için $(180°⋅5)/(100)=9°$ için $180°$'ın $%5$'ını bulalım.
Cevap: $9°$.
Bir sayıyı ona göre bulmak için belirtilen yüzde verilen sayıyı şuna bölmeniz gerekir: belirtilen değer yüzde ve sonucu 100$ ile çarpın.
$20%$, $80$ olan bir sayı bulun.
$20%$ olan $80$ olan bir sayıyı aşağıdaki gibi buluyoruz:
${80⋅100}/{20}=400$.
Cevap: 400$.
İndirim görevleri
İndirim, bir ürün veya hizmetin fiyatında yapılan indirimdir. Çoğu zaman indirim yüzde olarak gösterilir.
İndirimi dikkate alarak bir ürünün fiyatını bulmak için yapmanız gerekenler:
- İndirim yüzdesini $100%$'dan çıkarın.
- Ürünün toplam maliyetinin elde edilen yüzdesini bulun.
Bir kışlık ceketin fiyatı 4.500 ruble. Sezonluk indirim%20$$. İndirimi dikkate alarak bir ceket için ne kadar ödemeliyim?
İndirimli ceket fiyatının başlangıç maliyetinin yüzde kaçı olacağını bulalım:
4500$ ruble'nin %80$$'ının ne kadar olduğunu hesaplayalım. Bir sayının yüzdesini bulmak için verilen sayıyı 100$'a bölüp yüzde değeriyle çarpmanız gerekir.
$(4500·80)/(100)=$3600 - indirim dikkate alınarak ceketin maliyeti.
Mevduat, kredi ve kâr marjlarına ilişkin görevler
Yıllık oranı dikkate alarak para miktarını bulmak için şunları yapmanız gerekir:
- Depozitonun yıllık yüzdesini %100$'a ekleyin.
- Orijinal para miktarının sonuçta ortaya çıkan yüzdesini bulun.
Müşteri bankaya yıllık %12 dolardan 150.000 ruble yatırdı. Bir yıl sonra ne kadar çekilebilir?
$100+12%=112%$, müşterinin parasının bir yıl sonra orijinal miktara göre yüzdesidir.
150.000$ rublenin $112%$'ını bulalım:
$(112⋅150000)/(100)=$168000 ruble.
Cevap: 168.000$.
Bazı yüzde problemlerinde orantı kullanmak uygundur, örneğin:
Bir torba patatesin maliyeti 200 ruble. Fiyat artışından sonra 250$ rubleye mal olmaya başladı. Bir torba patatesin fiyatı yüzde kaç arttı?
Ürünün başlangıç maliyetini $100%$ olarak alalım (çünkü fiyat artışından sonraki maliyeti bununla karşılaştıracağız):
Yeni fiyatın eskisine göre yüzdesi $x%$ olsun.
Bu verilerle oranı oluşturup çözeceğiz:
$(100%)/(x%)=(200)/(250)$.
Bir oranın aşırı terimlerinin çarpımı, o oranın orta terimlerinin çarpımına eşittir:
200$⋅х=100⋅250$.
$х=(100⋅250)/(200)=125%$.
Bir torba patatesin yeni maliyeti orijinal fiyata göre %125$'dır.
Fiyat $125-%100=%25$ arttı.
Cevap: 25$.
Matematik çalışma kitabının maliyeti 65$ ruble. Bir öğrenci $%8$ indirim varsa 450 $ ruble karşılığında kaç tane not defteri satın alabilir?
İndirimi de hesaba katarak defterin maliyetinin yüzdesini bulalım:
$65$ rublenin $92%$'ını bulalım ve $1$ dizüstü bilgisayarın fiyatını indirimli alalım:
${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$
Kesirli sayıda defter satın alamıyoruz; sekiz deftere yetecek para yok, dolayısıyla öğrenci yalnızca 7$ defter alabilecek.
Cevap: 7$.
Bazı sorunları çözmek için terime aşina olmanız gerekir. "bileşik faiz" Mevduat, kredi vb. ile ilgili sorunları çözmek için sıklıkla ihtiyaç duyulan Basit kelimelerle Faizi faizle birleştirdiğimizde “bileşik faiz” ortaya çıkar. Bir örnekle bakalım.
Diyelim ki bankaya yıllık $N%$ tutarında $X$ ruble yatırdık. Ve parayı bir değil iki yıl bankada bıraktılar. Bu, ilk yılın sonunda $X + X*(N/100) = X(1+(N/100))$ rubleyi alabileceğimiz anlamına gelir, ancak onları almayız ve bir süreliğine bırakırız. ikinci yıl. Ve şimdi, olduğu gibi, ikinci yıl için $N%$ tutarındaki “yeni” katkımızın miktarı artık $X$ değil, $X(1+(N/100))$ ruble. Yani ikinci yılda, birinci yılda biriken faizler de dahil olmak üzere faiz tahakkuk ettirilecektir. İkinci yılın sonunda toplam $X(1+(N/100)) + X(1+(N/100))*(N/100) = X(1+(N/) alabileceğiz. 100))(1+ (N/100)) = X(1+(N/100))^2$.
İki kişilik değil, $Y$ yıl boyunca depozito yatırsaydık, sonunda $X(1+(N/100))^Y$ ruble alırdık.
“İyi bir öğretmen hiçbir görevin sonuna kadar bitirilemeyeceğini anlamalıdır. Bu görüşü öğrencilerine aşılamalıdır.”
D. Polya.
Giriiş.
özellikle dikkat ediyorum kelime problemleri pratikte sıklıkla bulunan yüzdeler hakkında giriş sınavları V ekonomik üniversiteler ancak okulda tam olarak ele alınmıyor. Yüzde hesaplamaları yapabilme yeteneği kesinlikle en gerekli matematiksel yeterliliklerden biridir. Ancak ilgi karşısında çekingen olanlar yalnızca okuldan uzun süre mezun olmuş olanlar değildir. Birleşik Devlet Sınavında bile yüzde içeren problemlerin çözülebilirliği %20'yi geçmiyor. Bu, bu tür bir sorunun yalnızca genç sınıfları bu konunun çalışıldığı yer, aynı zamanda tüm eğitim yılları boyunca.
1. Yüzde içeren problemleri çözerken aşağıdaki temel formüller kullanılır:
a'nın %1'i a'ya eşittir.
a sayısının %p'si a'ya eşittir.
Belirli bir a sayısının x'in %p'si olduğu biliniyorsa, o zaman x, orandan bulunabilir.
A- р%
X − 100%,
buradan x=a.
a, b ve a sayıları olsun B sayısı a sayısından %100 daha büyüktür. A sayısı b sayısından %100 küçüktür. Eğer depozito a para birimi tutarında bir miktar içeriyorsa, banka yıllık %p tutarında ücret alır, bu durumda n yıl sonra depozitodaki miktar şu şekilde olacaktır: A para birimleri Görev 1. Güzel insanlardan %45 daha az akıllı insan var; akıllı insanların %36'sı güzel bir görünüme sahip. Güzel insanlar arasında akıllı insanların yüzdesi nedir? Çözüm: güzel insanların sayısı x olsun, sonra da akıllı insanların sayısı olsun: x - 0,45x = 0,55x. Akıllı insanların %36'sı güzel insanlardır, dolayısıyla akıllı ve aynı zamanda güzel insanların sayısı: 0,36 ·0,55x= 0,198x. Orantı kuralım: Buradan şunu anlıyoruz: Cevap: 19,8% Öğrenciler gerçek hayata daha yakın yüzdeler içeren sözlü problemleri çözmekle ilgilenirler. Özel bir "eğlence", sorunların bir sorun kitabından değil, doğrudan bir gazete sayfasından sunulmasıdır. Burada matematiğin yararsızlığına dair hiçbir düşünce yok. Ve ekonomik krizin patlak vermesiyle bağlantılı olarak gazete sayfalarında “faiz gazeteciliği” tam anlamıyla gelişiyor. Görev 2. Tur fiyatları zaten arttı: örneğin Fransa'ya turlar -% 20 oranında. Fransa'ya yapılacak bir turun yüzde kaç daha erken ucuz olduğunu söylemek mümkün mü? Çözüm: eski fiyat x, yeni fiyat n olsun. 1)
İlk orantıyı yapalım: n=1,2x elde ederiz. 2)
İkinci orantıyı yapalım: x - (%100-a) (100-a) 1,2x = 100x Denklemi çözdüğümüzde şunu elde ederiz: a ≈%17. Cevap: 17%. Görev 3. Banka hesabına 10 bin ruble yatırıldı. Para bir yıldır ortalıkta dolaştıktan sonra hesaptan 1 bin ruble çekildi. Bir yıl sonra hesapta 11 bin ruble vardı. Bankanın yıllık yüzde kaç oranında ücret aldığını belirleyin. Çözüm: Bankanın yıllık %p ücret almasına izin verin. 1)
Bir banka hesabına yılda %p oranında yatırılan 10.000 ruble miktarı bir yıl içinde bu miktara artacaktır. 2)
Hesaptan 1000 ruble çekildiğinde orada kalacak 9000+100ovmak ovmak. 3)
Bir sonraki yıl faiz tahakkuku nedeniyle ikinci değer, değerine yükselecektir. Koşullu olarak bu değer 11000'e eşittir: Bu denklemi çözdüğümüzde şunu elde ederiz: =10, =−200 - negatif bir kök uygun değildir. Cevap: 10% Görev 4. (Birleşik Devlet Sınavı 2015) Banka belirli bir yüzdeyle belirli bir tutarı kabul etti. Bir yıl sonra biriken tutarın dörtte biri hesaptan çekildi. Ancak banka yıllık faiz oranını artırdı %40 oranında. Gelecek yılın sonuna kadar biriken miktar 1,44 kez ilk yatırımı aştı. Yeni APR yüzdesi nedir? Çözüm: Yatırılan tutara bağlı olarak durum değişmeyecektir. Hadi bankaya koyalım 4
ruble (bölünmüş) 4
). Bir yıl içinde hesaptaki tutar tam olarak artacak p kere ve eşit olacak (4p) ruble şuna bölelim 4
parçalar, onları eve götüreceğiz (P) ruble, onu bankada bırakacağız (3p) ruble Gelecek yılın sonuna kadar bankanın 4 1,44 = 5,76 ruble Yani sayı (3p) bir sayıya dönüştü (5,76)
. Kaç kat arttı? Böylece ikinci artan katsayı bulunmuş oldu k kavanoz. İlginç bir şekilde, her iki katsayıların çarpımı eşittir 1,92
: İkinci katsayının olması koşulundan şu sonuç çıkar: 0,4
ilkinden daha fazla. Virgüllerden kurtulduktan sonra yerine yenisini koyalım t = 10r: Böyle bir denklemden 12'yi elde etmek oldukça kolaydır. Yani p = 1,2, k = 1,6. Yatırılan tutar ilk seferde 1,2 kat, ikinci seferde ise 1,6 kat arttı. Yüzde 100’dü, yüzde 160 oldu. Yıllık yeni yüzde %160-%100 = %60'tır. Cevap: 60%. Görev 5. (USE-2015) Bankaya yatırılan tutar 3900
bin ruble altında 50%
yıllık. İlk dört yıllık depolamanın her birinin sonunda, faiz hesaplandıktan sonra mevduat sahibi, hesaba aynı sabit miktarda ek bir para yatırdı. Beşinci yılın sonunda faiz hesaplandıktan sonra ortaya çıktı ki Mevduatın büyüklüğü ilkine göre arttı 725%
. Yatırımcı mevduata yıllık ne kadar ekledi? Çözüm: Yatırımcı tarafından depozitoya yıllık olarak x ruble eklensin. 50%
yıllık, mevduat sahibinin hesabındaki tutarın her yıl 1,5 kat artması anlamına gelir. Yatırımcı başlangıçtaki tutara hiçbir şey eklemediyse, bir yıl sonra 3900·1,5, iki yıl sonra - 3900·1,52 ve benzeri. Dört takviyenin de ne kadar gelir getirdiğini hesaplayalım. x∙1,5 4 + x∙1,5 3 + x∙1,5 2 +x∙1,5 Bunu yapmak için dışarı çıkalım X parantez dışında ve geometrik ilerlemenin toplamını hesaplayın; b = 1,5 Ve q = 1,5. Mevduatın büyüklüğünün ilk döneme göre arttığı biliniyor. 725%
.2. Bileşik faiz formülü.
3. Yüzdelerle ilgili problemler.
4. Bileşik faiz formülünün kullanılması.
