Sistem doğrusal denklemler iki bilinmeyenli - bunlar, hepsini bulmanın gerekli olduğu iki veya daha fazla doğrusal denklemdir genel çözümler. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini ele alacağız. Genel görünüm iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi aşağıdaki şekilde gösterilmektedir:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Burada x ve y bilinmeyen değişkenlerdir, a1,a2,b1,b2,c1,c2 ise bazı değişkenlerdir. gerçek sayılar. İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sisteminin çözümü bir (x,y) sayı çiftidir; öyle ki, bu sayıları sistemin denklemlerinde yerine koyarsak, sistemin denklemlerinin her biri gerçek bir eşitliğe dönüşür. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin birkaç yolu vardır. Bir doğrusal denklem sistemini çözmenin yollarından birini, yani toplama yöntemini ele alalım.

Toplama yöntemiyle çözme algoritması

İki bilinmeyenli bir doğrusal denklem sistemini toplama yöntemini kullanarak çözmek için bir algoritma.

1. Gerektiğinde eşdeğer dönüşümler Her iki denklemdeki bilinmeyen değişkenlerden birinin katsayılarını eşitleyin.

2. Ortaya çıkan denklemleri toplayarak veya çıkararak, bir bilinmeyenli doğrusal bir denklem elde edin

3. Ortaya çıkan denklemi bir bilinmeyenle çözün ve değişkenlerden birini bulun.

4. Ortaya çıkan ifadeyi sistemin iki denkleminden herhangi birinde yerine koyun ve bu denklemi çözerek ikinci değişkeni elde edin.

5. Çözümü kontrol edin.

Toplama yöntemini kullanan bir çözüm örneği

Daha fazla netlik sağlamak için toplama yöntemini kullanarak çözelim aşağıdaki sistem iki bilinmeyenli doğrusal denklemler:

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

Değişkenlerin hiçbirinin katsayıları aynı olmadığından y değişkeninin katsayılarını eşitliyoruz. Bunu yapmak için ilk denklemi üçle, ikinci denklemi ikiyle çarpın.

(3*x+2*y=10 |*3
(5*x + 3*y = 12 |*2

Aldık aşağıdaki denklem sistemi:

(9*x+6*y = 30;
(10*x+6*y=24;

Şimdi ikinci denklemden birinciyi çıkarıyoruz. Sunuyoruz benzer terimler ve ortaya çıkan doğrusal denklemi çözün.

10*x+6*y - (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Ortaya çıkan değeri orijinal sistemimizdeki ilk denklemde yerine koyarız ve elde edilen denklemi çözeriz.

(3*(-6) + 2*y =10;
(2*y=28; y =14;

Sonuç x=6 ve y=14 sayılarından oluşan bir çifttir. Kontrol ediyoruz. Bir değişiklik yapalım.

(3*x + 2*y = 10;
(5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Gördüğünüz gibi iki gerçek eşitliğimiz var, dolayısıyla şunu bulduk: doğru karar.

Bunu kullanmak matematik programıİki değişkenli iki doğrusal denklemden oluşan bir sistemi, yerine koyma yöntemini ve toplama yöntemini kullanarak çözebilirsiniz.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda detaylı çözümçözüm adımlarının açıklamaları iki şekilde: yerine koyma yöntemi ve toplama yöntemi.

Bu program lise öğrencileri için faydalı olabilir orta okullar hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi

matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz. Bu şekilde kendi eğitiminizi ve/veya eğitiminizi yürütebilirsiniz. küçük kardeşler

veya kız kardeşler, sorunların çözüldüğü alandaki eğitim düzeyi arttıkça artar.

Denklem girme kuralları
Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.

Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb. Denklemleri girerken parantez kullanabilirsiniz
. Bu durumda denklemler öncelikle basitleştirilir.

Sadeleştirmelerden sonra denklemler doğrusal olmalıdır; elemanların sırasının doğruluğu ile ax+by+c=0 formundadır. Örneğin: 6x+1 = 5(x+y)+2 Denklemlerde yalnızca tam sayıları değil aynı zamanda

kesirli sayılar
ondalık sayılar ve sıradan kesirler şeklinde. Ondalık kesir girme kuralları. Bütün ve kesirli kısım V
ondalık sayılar

nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin: 2,1n + 3,5m = 55
Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir. Payda negatif olamaz. Girerken /
sayısal kesir Pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: &

Bütün kısım
kesirden bir ve işaretiyle ayrılır:
Örnekler.

Örnek: 6x+1 = 5(x+y)+2
Denklem sistemini çözme
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü. Değiştirme yöntemi

İkame yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) sistemin bazı denklemlerindeki bir değişkeni diğerine göre ifade etmek;
2) elde edilen ifadeyi bu değişken yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right.$$

İlk denklemden y'yi x cinsinden ifade edelim: y = 7-3x. İkinci denklemde y yerine 7-3x ifadesini yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right.$$

Birinci ve ikinci sistemlerin aynı çözümlere sahip olduğunu göstermek kolaydır. İkinci sistemde ikinci denklem yalnızca bir değişken içerir. Bu denklemi çözelim:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

y=7-3x eşitliğinde x yerine 1 sayısını yerine koyarsak, y'nin karşılık gelen değerini buluruz:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Çift (1;4) - sistemin çözümü

Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklem sistemlerine denir. eş değer. Çözümü olmayan sistemler de eşdeğer kabul edilir.

Doğrusal denklem sistemlerini toplama yoluyla çözme

Doğrusal denklem sistemlerini çözmenin başka bir yolunu, yani toplama yöntemini ele alalım. Sistemleri bu şekilde çözerken ve yerine koyma yoluyla çözerken, bu sistemden denklemlerden birinin yalnızca bir değişken içerdiği başka bir eşdeğer sisteme geçiyoruz.

Toplama yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken yapılacak işlemlerin sırası:
1) değişkenlerden birinin katsayılarının zıt sayılara dönüşmesi için faktörleri seçerek sistem teriminin denklemlerini terimle çarpın;
2) sistem denklemlerinin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayın;
3) ortaya çıkan denklemi tek değişkenle çözün;
4) ikinci değişkenin karşılık gelen değerini bulun.

Örnek. Denklem sistemini çözelim:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right.$$

Bu sistemin denklemlerinde y'nin katsayıları zıt sayılardır. Denklemlerin sol ve sağ taraflarını terim terim toplayarak tek değişkenli 3x=33 denklemi elde ederiz. Sistemin denklemlerinden birini, örneğin birincisini, 3x=33 denklemiyle değiştirelim. Sistemi alalım
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

3x=33 denkleminden x=11'i buluyoruz. Bu x değerini \(x-3y=38\) denkleminde yerine koyarsak, y: \(11-3y=38\) değişkenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemi çözelim:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Böylece denklem sisteminin çözümünü \(x=11; y=-9\) veya \((11;-9)\) ekleyerek bulduk.

Sistem denklemlerinde y'nin katsayılarının zıt sayılar olması gerçeğinden yararlanarak, çözümünü eşdeğer bir sistemin çözümüne indirgedik (orijinal sistemin denklemlerinin her birinin her iki tarafını toplayarak), burada bir tanesi Denklemlerin her biri yalnızca bir değişken içerir.

1. Değiştirme yöntemi: sistemin herhangi bir denkleminden bir bilinmeyeni diğeriyle ifade ederiz ve onu sistemin ikinci denkleminde yerine koyarız.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm.İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden en başından sonuna kadar X ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım orijinaline eşdeğerdir.

getirdikten sonra benzer üyeler sistem şu şekli alacaktır:

İkinci denklemden şunu buluyoruz: . Bu değeri denklemde yerine koymak en = 2 - 2X, alıyoruz en= 3. Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

2. Yöntem cebirsel toplama : İki denklem toplayarak tek değişkenli bir denklem elde edersiniz.

Görev. Sistem denklemini çözün:

Çözüm.İkinci denklemin her iki tarafını da 2 ile çarparak sistemi elde ederiz. orijinaline eşdeğerdir. Bu sistemin iki denklemini topladığımızda sisteme ulaşıyoruz.

Benzer terimler getirildikten sonra bu sistem şu şekli alacaktır: İkinci denklemden şunu buluyoruz. Bu değeri denklem 3'te yerine koyarsak X + 4en= 5, şunu elde ederiz , Neresi . Dolayısıyla bu sistemin çözümü bir sayı çiftidir.

3. Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi: Sistemde yeni değişkenlerle göstereceğimiz bazı tekrar eden ifadeler arıyoruz, böylece sistemin görünümünü basitleştiriyoruz.

Görev. Denklem sistemini çözün:

Çözüm. Haydi yazalım bu sistem aksi takdirde:

İzin vermek x + y = sen, xy = v. Daha sonra sistemi alıyoruz.

Değiştirme yöntemini kullanarak çözelim. İfade ettiğimiz sistemin ilk denkleminden sen başından sonuna kadar v ve bunu sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım. Sistemi alalım onlar.

Bulduğumuz sistemin ikinci denkleminden v 1 = 2, v 2 = 3.

Bu değerleri denklemde yerine koymak sen = 5 - v, alıyoruz sen 1 = 3,
sen 2 = 2. O zaman iki sistemimiz var

İlk sistemi çözerek iki çift sayı elde ederiz (1; 2), (2; 1). İkinci sistemin çözümü yoktur.

Bağımsız çalışma için alıştırmalar

1.Denklem sistemlerini yerine koyma yöntemini kullanarak çözebilecektir.

Önceki paragrafta tartışılan grafiksel yöntemden daha güvenilirdir.

Değiştirme yöntemi

Bu yöntemi 7. sınıfta doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullandık. 7. sınıfta geliştirilen algoritma, iki x ve y değişkenli (tabii ki değişkenler başka harflerle de gösterilebilir, bu önemli değil) herhangi iki denklemden (doğrusal olmak zorunda değil) oluşan sistemleri çözmek için oldukça uygundur. Aslında bu algoritmayı önceki paragrafta kullanmıştık. çift ​​haneli sayı yol açtı matematiksel model bir denklem sistemidir. Yukarıdaki denklem sistemini ikame yöntemini kullanarak çözdük (bkz. § 4'teki örnek 1).

İki değişkenli x, y içeren iki denklem sistemini çözerken ikame yöntemini kullanmaya yönelik bir algoritma.

1. Sistemin bir denkleminden y'yi x cinsinden ifade edin.
2. Sonuçta elde edilen ifadeyi y yerine sistemin başka bir denkleminde değiştirin.
3. x için elde edilen denklemi çözün.
4. Üçüncü adımda bulunan denklemin köklerinden her birini, birinci adımda elde edilen y'den x'e kadar olan ifadede x yerine değiştirin.
5. Cevabı sırasıyla üçüncü ve dördüncü adımlarda bulunan değer çiftleri (x; y) şeklinde yazın.

4) Y'nin bulunan değerlerinin her birini birer birer x = 5 - 3 formülünde değiştirin. Eğer o zaman
5) (2; 1) çiftleri ve belirli bir denklem sisteminin çözümleri.

Cevap: (2; 1);

Cebirsel toplama yöntemi

Bu yöntem, yerine koyma yöntemi gibi, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanıldığı 7. sınıf cebir dersinden size tanıdık geliyor. Aşağıdaki örneği kullanarak yöntemin özünü hatırlayalım.

Örnek 2. Denklem sistemini çözme

Sistemin ilk denkleminin tüm terimlerini 3 ile çarpalım ve ikinci denklemi değiştirmeden bırakalım:
Sistemin ikinci denklemini birinci denkleminden çıkarın:

Orijinal sistemin iki denkleminin cebirsel olarak toplanması sonucunda verilen sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden daha basit bir denklem elde edildi. Bu daha basit denklemle, belirli bir sistemin herhangi bir denklemini, örneğin ikincisini değiştirme hakkına sahibiz. Daha sonra verilen denklem sistemi daha basit bir sistemle değiştirilecektir:

Bu sistem ikame yöntemi kullanılarak çözülebilir. Bulduğumuz ikinci denklemden sistemin ilk denkleminde y yerine bu ifadeyi yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

X'in bulunan değerlerini formülde değiştirmeye devam ediyor

Eğer x = 2 ise

Böylece sisteme iki çözüm bulduk:

Yeni değişkenleri tanıtma yöntemi

8. sınıf cebir dersinde tek değişkenli rasyonel denklemleri çözerken yeni bir değişken ekleme yöntemiyle tanıştınız. Denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bu yöntemin özü aynıdır ancak teknik açıdan aşağıdaki örneklerde tartışacağımız bazı özellikler vardır.

Örnek 3. Denklem sistemini çözme

Yeni bir değişken tanıtalım. Daha sonra sistemin ilk denklemi daha fazla şeklinde yeniden yazılabilir. basit biçimde: Bu denklemi t değişkeni için çözelim:

Bu değerlerin her ikisi de koşulu karşılar ve dolayısıyla köklerdir rasyonel denklem t değişkenli. Ama bu ya x = 2y'yi bulduğumuz yer anlamına gelir, ya da
Böylece, yeni bir değişken ekleme yöntemini kullanarak, görünüşte oldukça karmaşık olan sistemin ilk denklemini iki daha basit denklem halinde "katmanlandırmayı" başardık:

x = 2 y; y - 2x.

Sırada ne var? Ve sonra ikisinin her biri aldı basit denklemler henüz hatırlamadığımız x 2 - y 2 = 3 denklemine sahip bir sistemde tek tek ele alınması gerekir. Başka bir deyişle, problem iki denklem sisteminin çözümünden ibarettir:

Birinci sisteme, ikinci sisteme çözüm bulmamız ve ortaya çıkan tüm değer çiftlerini cevaba dahil etmemiz gerekiyor. İlk denklem sistemini çözelim:

Burada özellikle her şey hazır olduğuna göre yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde x yerine 2y ifadesini yazalım. Aldık

x = 2y olduğundan sırasıyla x 1 = 2, x 2 = 2 buluruz. Böylece verilen sistemin iki çözümü elde edilir: (2; 1) ve (-2; -1). İkinci denklem sistemini çözelim:

Tekrar yerine koyma yöntemini kullanalım: sistemin ikinci denkleminde y yerine 2x ifadesini yazalım. Aldık

Bu denklemin kökleri yoktur, yani denklem sisteminin çözümü yoktur. Bu nedenle cevaba yalnızca ilk sistemin çözümlerinin dahil edilmesi gerekir.

Cevap: (2; 1); (-2;-1).

İki değişkenli iki denklem sistemini çözerken yeni değişkenler ekleme yöntemi iki versiyonda kullanılır. İlk seçenek: Sistemin yalnızca bir denkleminde yeni bir değişken tanıtılır ve kullanılır. Örnek 3'te olan da tam olarak budur. İkinci seçenek: Sistemin her iki denkleminde iki yeni değişken tanıtılır ve aynı anda kullanılır. Örnek 4'te de durum böyle olacaktır.

Örnek 4. Denklem sistemini çözme

İki yeni değişkeni tanıtalım:

O zaman şunu dikkate alalım

Bu yeniden yazmanıza izin verecektir verilen sistemçok daha basit bir biçimde, ancak nispeten yeni değişkenler a ve b:

a = 1 olduğundan, a + 6 = 2 denkleminden şunu buluruz: 1 + 6 = 2; 6=1. Böylece a ve b değişkenleriyle ilgili olarak bir çözüm elde ettik:

X ve y değişkenlerine dönersek bir denklem sistemi elde ederiz

Bu sistemi çözmek için cebirsel toplama yöntemini uygulayalım:

O zamandan beri 2x + y = 3 denkleminden şunları buluyoruz:
Böylece x ve y değişkenleriyle ilgili olarak tek bir çözüm elde ettik:

Bu paragrafı kısa ama oldukça ciddi bir teorik tartışmayla bitirelim. Çözüm konusunda zaten biraz deneyim kazandınız farklı denklemler: doğrusal, kare, rasyonel, irrasyonel. Bir denklem çözmenin ana fikrinin, bir denklemden diğerine, daha basit ama verilene eşdeğer olana yavaş yavaş geçmek olduğunu biliyorsunuz. Önceki paragrafta iki değişkenli denklemler için denklik kavramını tanıttık. Bu kavram aynı zamanda denklem sistemleri için de kullanılır.

Tanım.

X ve y değişkenlerine sahip iki denklem sistemi, çözümleri aynıysa veya her iki sistemin de çözümü yoksa eşdeğer olarak adlandırılır.

Bu bölümde tartıştığımız her üç yöntem de (değiştirme, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması) eşdeğerlik açısından kesinlikle doğrudur. Başka bir deyişle, bu yöntemleri kullanarak, bir denklem sistemini daha basit ancak orijinal sisteme eşdeğer başka bir denklem sistemiyle değiştiriyoruz.

Denklem sistemlerini çözmek için grafiksel yöntem

Denklem sistemlerini ikame yöntemi, cebirsel toplama ve yeni değişkenlerin tanıtılması gibi yaygın ve güvenilir yollarla nasıl çözeceğimizi zaten öğrendik. Şimdi önceki derste incelediğiniz yöntemi hatırlayalım. Yani bildiklerinizi tekrarlayalım grafiksel yöntemçözümler.

Denklem sistemlerini çözme yöntemi grafiksel olarak her biri için bir grafiğin yapısını temsil eder özel denklemler Bu sisteme dahil olan ve bir arada olan koordinat düzlemi ve ayrıca bu grafiklerin noktalarının kesişme noktalarını bulmanın gerekli olduğu yer. Bu denklem sistemini çözmek için bu noktanın koordinatları vardır (x; y).

Şunu unutmamak gerekir ki grafik sistemi denklemler ya tek bir doğru çözüme sahip olma eğilimindedir ya da sonsuz kümeçözümleri var ya da hiç çözümü yok.

Şimdi bu çözümlerin her birine daha ayrıntılı olarak bakalım. Ve böylece denklem sistemi tek çözüm sistemin denklemlerinin grafiği olan doğruların kesişmesi durumunda. Eğer bu çizgiler paralelse, böyle bir denklem sisteminin kesinlikle hiçbir çözümü yoktur. Sistemin denklemlerinin doğrudan grafikleri çakışırsa, böyle bir sistem birçok çözüm bulmayı sağlar.

Şimdi 2 bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemi grafiksel yöntemle çözmek için kullanılan algoritmaya bakalım:

Öncelikle 1. denklemin grafiğini oluşturuyoruz;
İkinci adım, ikinci denklemle ilgili bir grafik oluşturmak olacaktır;
Üçüncü olarak grafiklerin kesişim noktalarını bulmamız gerekiyor.
Sonuç olarak denklem sisteminin çözümü olacak her kesişme noktasının koordinatlarını elde ederiz.

Bir örnek kullanarak bu yönteme daha ayrıntılı olarak bakalım. Bize çözülmesi gereken bir denklem sistemi veriliyor:

Denklemleri çözme

1. Öncelikle şu denklemin grafiğini oluşturacağız: x2+y2=9.

Ancak denklemlerin bu grafiğinin orijinde merkezi olan bir daire olacağını ve yarıçapının üçe eşit olacağını belirtmeliyiz.

2. Bir sonraki adımımız şu şekilde bir denklemin grafiğini çizmek olacaktır: y = x – 3.

Bu durumda düz bir çizgi çizip (0;−3) ve (3;0) noktalarını bulmalıyız.

3. Bakalım elimizde ne var. Doğrunun çemberi A ve B noktalarından ikisinde kestiğini görüyoruz.

Şimdi bu noktaların koordinatlarını arıyoruz. Koordinatların (3;0) A noktasına, koordinatların (0;−3) ise B noktasına karşılık geldiğini görüyoruz.

Peki sonuç olarak ne elde ederiz?

Doğru daireyi kestiğinde elde edilen (3;0) ve (0;−3) sayıları sistemin her iki denkleminin de çözümleridir. Ve bundan, bu sayıların aynı zamanda bu denklem sisteminin çözümleri olduğu sonucu çıkıyor.

Yani bu çözümün cevabı (3;0) ve (0;−3) sayılarıdır.

Bu videoyla denklem sistemlerine adanmış bir dizi derse başlıyorum. Bugün doğrusal denklem sistemlerinin çözümü hakkında konuşacağız. ekleme yöntemi- bu en çok görülenlerden biri basit yollar, ama aynı zamanda en etkili olanlardan biri.

Ekleme yöntemi aşağıdakilerden oluşur: üç basit adımlar:

1. Sisteme bakın ve her denklemde aynı (veya zıt) katsayılara sahip bir değişken seçin;
2. Uygulamak cebirsel çıkarma(İçin zıt sayılar- birbirinden denklemlerin eklenmesi ve ardından benzer terimlerin getirilmesi;
3. İkinci adımdan sonra elde edilen yeni denklemi çözün.

Her şey doğru yapılırsa çıktıda tek bir denklem elde edeceğiz tek değişkenli- bunu çözmek zor olmayacak. Daha sonra geriye kalan tek şey, bulunan kökü orijinal sisteme yerleştirmek ve nihai cevabı almaktır.

Ancak pratikte her şey o kadar basit değil. Bunun birkaç nedeni var:

• Toplama yöntemini kullanarak denklemleri çözmek, tüm satırların eşit/karşıt katsayılara sahip değişkenler içermesi gerektiği anlamına gelir. Bu gereksinim karşılanmazsa ne yapmalı?
• Her zaman değil, denklemleri belirtilen şekilde toplayıp/çıkardıktan sonra kolayca çözülebilecek güzel bir yapı elde ederiz. Hesaplamaları bir şekilde basitleştirmek ve hesaplamaları hızlandırmak mümkün mü?

Bu soruların cevabını bulmak ve aynı zamanda birçok öğrencinin başarısız olduğu birkaç ek inceliği anlamak için video dersimi izleyin:

Bu dersle denklem sistemlerine ayrılmış bir dizi derse başlıyoruz. Ve bunların en basitinden, yani iki denklem ve iki değişken içerenlerden başlayacağız. Her biri doğrusal olacaktır.

Sistemler 7. sınıf materyalidir ancak bu ders aynı zamanda bu konudaki bilgilerini tazelemek isteyen lise öğrencileri için de faydalı olacaktır.

Bu tür sistemlerin çözümü için genel olarak iki yöntem vardır:

1. Ekleme yöntemi;
2. Bir değişkeni diğerine göre ifade etme yöntemi.

Bugün ilk yöntemle ilgileneceğiz - çıkarma ve toplama yöntemini kullanacağız. Ancak bunu yapmak için şu gerçeği anlamanız gerekir: İki veya daha fazla denkleminiz olduğunda bunlardan herhangi ikisini alıp birbirine ekleyebilirsiniz. Üye üye eklenirler, yani. “X”lere “X”ler eklenir ve benzerleri verilir, “Y” ile “Y” yine benzer olur ve eşittir işaretinin sağındakiler de birbirine eklenir ve orada da benzerleri verilir. .

Bu tür entrikaların sonuçları yeni bir denklem olacaktır ve eğer kökleri varsa kesinlikle köklerin arasında olacaktır. orijinal denklem. Bu nedenle bizim görevimiz, çıkarma veya toplama işlemini $x$ veya $y$ kaybolacak şekilde yapmaktır.

Bunu nasıl başaracağız ve bunun için hangi aracı kullanacağız - şimdi bunun hakkında konuşacağız.

Toplama yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme

Böylece iki basit ifade örneğini kullanarak toplama yöntemini kullanmayı öğreniyoruz.

Görev No.1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

$y$'ın ilk denklemde $-4$, ikinci denklemde ise $+4$ katsayısına sahip olduğunu unutmayın. Birbirlerine zıttırlar, bu yüzden onları toplarsak sonuçta ortaya çıkan "oyunların" karşılıklı olarak yok edileceğini varsaymak mantıklıdır. Bunu ekleyin ve şunu elde edin:

En basit yapıyı çözelim:

Harika, "x"i bulduk. Şimdi bununla ne yapmalıyız? Bunu denklemlerden herhangi birinin yerine koyma hakkımız var. İlkinde yerine koyalım:

\[-4y=12\sol| :\sol(-4 \sağ) \sağ.\]

Cevap: $\left(2;-3 \right)$.

Sorun No. 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Buradaki durum tamamen benzer, sadece “X'ler” için. Bunları toplayalım:

En basit doğrusal denklemimiz var, hadi çözelim:

Şimdi $x$'ı bulalım:

Cevap: $\left(-3;3 \right)$.

Önemli noktalar

Toplama yöntemini kullanarak iki basit doğrusal denklem sistemini çözdük. Tekrar önemli noktalar:

1. Değişkenlerden birinin zıt katsayıları varsa denklemdeki tüm değişkenlerin toplanması gerekir. Bu durumda bunlardan biri yok edilecektir.
2. İkincisini bulmak için bulunan değişkeni sistem denklemlerinden herhangi birinin yerine koyarız.
3. Nihai yanıt kaydı farklı şekillerde sunulabilir. Örneğin, bunun gibi - $x=...,y=...$ veya noktaların koordinatları biçiminde - $\left(...;... \right)$. İkinci seçenek tercih edilir. Hatırlanması gereken en önemli şey, ilk koordinatın $x$ ve ikincisinin $y$ olmasıdır.
4. Cevabı nokta koordinatları şeklinde yazma kuralı her zaman geçerli değildir. Örneğin, değişkenler $x$ ve $y$ olmadığında, örneğin $a$ ve $b$ olduğunda kullanılamaz.

Aşağıdaki problemlerde katsayılar zıt olmadığında çıkarma tekniğini ele alacağız.

Çıkarma yöntemini kullanarak kolay problemleri çözme

Görev No.1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Burada zıt katsayıların olmadığını, ancak aynı katsayıların olduğunu unutmayın. Bu nedenle ikinciyi birinci denklemden çıkarıyoruz:

Şimdi $x$ değerini sistem denklemlerinden herhangi birinin yerine koyarız. Önce başlayalım:

Cevap: $\left(2;5\right)$.

Sorun No. 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Birinci ve ikinci denklemde yine $x$ için aynı $5$ katsayısını görüyoruz. Bu nedenle ikinciyi birinci denklemden çıkarmanız gerektiğini varsaymak mantıklıdır:

Bir değişkeni hesapladık. Şimdi ikinciyi bulalım, örneğin $y$ değerini ikinci yapının yerine koyarak:

Cevap: $\left(-3;-2 \right)$.

Çözümün nüansları

Peki ne görüyoruz? Esas itibariyle şema önceki sistemlerin çözümünden farklı değildir. Tek fark, denklemleri toplamamamız, çıkarmamızdır. Cebirsel çıkarma işlemi yapıyoruz.

Yani iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem gördüğünüzde ilk bakmanız gereken şey katsayılardır. Her yerde aynı ise denklemler çıkarılır, zıt ise toplama yöntemi kullanılır. Bu her zaman bunlardan birinin ortadan kalkması için yapılır ve çıkarmadan sonra kalan son denklemde yalnızca bir değişken kalır.

Tabii ki hepsi bu değil. Şimdi denklemlerin genel olarak tutarsız olduğu sistemleri ele alacağız. Onlar. İçlerinde aynı veya zıt olan hiçbir değişken yoktur. Bu durumda bu tür sistemleri çözmek için şunu kullanırız: ek doz yani her denklemin özel bir katsayı ile çarpılması. Nasıl bulunur ve genel olarak bu tür sistemlerin nasıl çözüleceği, şimdi bunun hakkında konuşacağız.

Bir katsayı ile çarparak problemleri çözme

Örnek No.1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Ne $x$ ne de $y$ için katsayıların yalnızca karşılıklı olarak zıt olmadığını, aynı zamanda diğer denklemle hiçbir şekilde ilişkili olmadığını görüyoruz. Denklemleri birbirine eklesek veya çıkarsak bile bu katsayılar hiçbir şekilde kaybolmayacaktır. Bu nedenle çarpma işlemine başvurmak gerekir. $y$ değişkeninden kurtulmaya çalışalım. Bunun için ilk denklemi ikinci denklemdeki $y$ katsayısıyla, ikinci denklemi ise birinci denklemdeki $y$ katsayısıyla işarete dokunmadan çarpıyoruz. Çarpıyoruz ve yeni bir sistem elde ediyoruz:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Şuna bakalım: $y$'da katsayılar zıttır. Böyle bir durumda ekleme yöntemini kullanmak gerekir. Ekleyelim:

Şimdi $y$'ı bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için ilk ifadeye $x$ yazın:

\[-9y=18\sol| :\sol(-9 \sağ) \sağ.\]

Cevap: $\left(4;-2 \right)$.

Örnek No.2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Yine hiçbir değişkenin katsayıları tutarlı değildir. $y$ katsayılarıyla çarpalım:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Yeni sistemimiz bir öncekinin eşdeğeridir ancak $y$'ın katsayıları birbirine zıttır ve bu nedenle burada toplama yöntemini uygulamak kolaydır:

Şimdi ilk denklemde $x$ yerine $y$ koyalım:

Cevap: $\left(-2;1 \right)$.

Çözümün nüansları

Buradaki temel kural şudur: her zaman yalnızca şununla çarparız: pozitif sayılar- bu sizi işaret değiştirmeyle ilgili aptalca ve saldırgan hatalardan kurtaracaktır. Genel olarak çözüm şeması oldukça basittir:

1. Sisteme bakıyoruz ve her denklemi analiz ediyoruz.
2. Ne $y$ ne de $x$ katsayılarının tutarlı olduğunu görürsek, yani ne eşit ne de zıt, o zaman şunu yapıyoruz: kurtulmamız gereken değişkeni seçiyoruz ve sonra bu denklemlerin katsayılarına bakıyoruz. İlk denklemi ikincinin katsayısı ile çarparsak ve ikinciyi buna göre birincinin katsayısı ile çarparsak, sonunda bir öncekine tamamen eşdeğer bir sistem ve $ katsayıları elde ederiz. y$ tutarlı olacaktır. Tüm eylemlerimiz veya dönüşümlerimiz yalnızca bir değişkeni tek bir denklemde elde etmeye yöneliktir.
3. Bir değişken buluyoruz.
4. Bulunan değişkeni sistemin iki denkleminden birine yerleştirip ikincisini buluyoruz.
5. $x$ ve $y$ değişkenlerimiz varsa cevabı noktaların koordinatları şeklinde yazıyoruz.

Ancak bu kadar basit bir algoritmanın bile kendi incelikleri vardır; örneğin, $x$ veya $y$ katsayıları kesirler ve diğer "çirkin" sayılar olabilir. Şimdi bu durumları ayrı ayrı ele alacağız çünkü bunlarda standart algoritmaya göre biraz farklı davranabilirsiniz.

Kesirlerle ilgili problemleri çözme

Örnek No.1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Öncelikle ikinci denklemin kesirler içerdiğine dikkat edin. Ancak 4$'ı 0,8$'a bölebileceğinizi unutmayın. 5$ alacağız. İkinci denklemi $5$ ile çarpalım:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Denklemleri birbirinden çıkarırız:

$n$'ı bulduk, şimdi $m$'ı sayalım:

Cevap: $n=-4;m=5$

Örnek No.2

\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Sağ.\]

Burada da önceki sistemde olduğu gibi kesirli oranlar ancak hiçbiri için değişken katsayılar tamsayı sayıda birbirine uymaz. Bu nedenle standart algoritmayı kullanıyoruz. $p$'dan kurtulun:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Çıkarma yöntemini kullanıyoruz:

İkinci yapıya $k$ koyarak $p$'ı bulalım:

Cevap: $p=-4;k=-2$.

Çözümün nüansları

Hepsi optimizasyon bu. İlk denklemde hiçbir şeyle çarpmadık ama ikinci denklemi 5$ ile çarptık. Sonuç olarak, ilk değişken için tutarlı ve hatta özdeş bir denklem elde ettik. İkinci sistemde standart bir algoritma izledik.

Peki denklemlerin çarpılacağı sayıları nasıl bulacaksınız? Sonuçta kesirlerle çarparsak yeni kesirler elde ederiz. Bu nedenle kesirlerin yeni bir tam sayı verecek bir sayı ile çarpılması ve ardından standart algoritmaya göre değişkenlerin katsayılarla çarpılması gerekir.

Sonuç olarak, yanıtın kaydedilme biçimine dikkatinizi çekmek isterim. Daha önce de söylediğim gibi, burada $x$ ve $y$ değil, diğer değerlere sahip olduğumuz için, formun standart olmayan bir gösterimini kullanıyoruz:

Karmaşık denklem sistemlerini çözme

Bugünkü video eğitiminin son notu olarak, gerçekten birkaç tanesine bakalım. karmaşık sistemler. Karmaşıklıkları, hem solda hem de sağda değişkenlere sahip olmaları gerçeğinden oluşacaktır. Bu nedenle bunları çözmek için ön işleme uygulamamız gerekecek.

Sistem No.1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Her denklem belirli bir karmaşıklık taşır. Bu nedenle her ifadeyi düzenli doğrusal yapıyla ele alalım.

Toplamda orijinal sisteme eşdeğer olan son sistemi elde ediyoruz:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$ katsayılarına bakalım: $3$, $6$'a iki kez sığar, o halde ilk denklemi $2$ ile çarpalım:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

$y$'ın katsayıları artık eşit olduğundan ikinciyi birinci denklemden çıkarırız: $$

Şimdi $y$'ı bulalım:

Cevap: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistem No.2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

İlk ifadeyi dönüştürelim:

Gelelim ikincisine:

\[-3\sol(b-2a \sağ)-12=2\left(a-5 \sağ)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Toplamda, ilk sistemimiz aşağıdaki formu alacaktır:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

$a$ katsayılarına baktığımızda ilk denklemin $2$ ile çarpılması gerektiğini görüyoruz:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

İkinciyi ilk yapıdan çıkarın:

Şimdi $a$'ı bulalım:

Cevap: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

İşte bu. Bu video eğitiminin bu zor konuyu, yani basit doğrusal denklem sistemlerini çözmenizi anlamanıza yardımcı olacağını umuyorum. Bu konuyla ilgili daha birçok ders olacak: daha fazlasına bakacağız karmaşık örnekler, daha fazla değişkenin olacağı ve denklemlerin kendileri zaten doğrusal olmayan olacaktır. Tekrar görüşürüz!