Enerji azaltımı salınım sistemi sebep olur kademeli azalma titreşim genlikleri, çünkü

Bu durumda şunu söylüyorlar titreşimler sönüyor .

Benzer bir durum da ortaya çıkıyor salınım devresi. Bir devrenin parçası olan gerçek bir bobin her zaman aktif dirence sahiptir. Bobinin aktif direncinden akım geçtiğinde Joule ısısı açığa çıkacaktır. Bu durumda devrenin enerjisi azalacak ve bu da yük, voltaj ve akım salınımlarının genliğinde bir azalmaya yol açacaktır.

Görevimiz- salınımların genliğinin hangi yasaya göre azaldığını, salınım miktarının kendisinin hangi yasaya göre değiştiğini, sönümlü salınımların hangi frekansta meydana geldiğini, salınımların ne kadar süreyle "yok olduğunu" öğrenin.

§1 Viskoz sürtünmeli sistemlerde salınımların sönümlenmesi

Viskoz sürtünme kuvvetinin etki ettiği salınımlı bir sistemi düşünelim. Böyle bir salınım sisteminin bir örneği matematiksel sarkaç havada salınım yapıyor.

Bu durumda sistem denge konumundan çıkarıldığında

Sarkaç iki kuvvet tarafından etkilenecektir: yarı elastik kuvvet ve direnç kuvveti (viskoz sürtünme kuvveti).

Newton'un ikinci yasası şu şekilde yazılacaktır:

(1)

Düşük hızlarda viskoz sürtünme kuvvetinin hareket hızıyla orantılı olduğunu biliyoruz:

O halde denklem (2) şu şekli alacaktır:

hareket denklemini aşağıdaki biçimde elde ederiz:

(3)

burada d sönümleme katsayısıdır, sürtünme katsayısı r'ye bağlıdır,

w 0 - ideal salınımların döngüsel frekansı (sürtünme olmadığında).

Denklemi (3) çözmeden önce salınım devresini düşünün. Bobinin aktif direnci kapasitans C ve endüktans L ile seri olarak bağlanır.

Kirchhoff'un ikinci yasasını yazalım

Şunu dikkate alalım, , .

O zaman Kirchhoff'un ikinci yasası şu şekli alacaktır:

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Gösterimi tanıtalım

Sonunda elde ettik

Matematiksel kimliğe dikkat edin diferansiyel denklemler(3) ve (3'). Şaşırtıcı bir şey yok. Bir sarkacın salınım sürecinin mutlak matematiksel özdeşliğini daha önce göstermiştik ve elektromanyetik titreşimler devrede. Açıkçası, bir devrede ve viskoz sürtünmeli sistemlerde titreşim sönümleme süreçleri de aynı şekilde gerçekleşir.

Denklem (3)'ü çözerek yukarıda sorulan tüm soruların cevaplarını alacağız.

Daha sonra istenen denklem (3) için nihai sonucu elde ederiz.

Gerçek bir salınım devresindeki bir kapasitörün yükünün yasaya göre değişeceğini görmek kolaydır.

Elde edilen sonucun analizi:

1 Sonuç olarak ortak eylem yarı elastik kuvvet ve sürükleme kuvveti sistemi Belki salınımlı bir hareket yapın. Bunun için w 0 2 - d 2 > 0 koşulunun sağlanması gerekir, yani sistemdeki sürtünmenin küçük olması gerekir.

2 Frekans sönümlü salınımlar w, sürtünme olmadığında sistemin salınım frekansı ile çakışmaz w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Zamanla sönümlü salınımların frekansı değişmeden kalır.

Sönümleme katsayısı d küçükse, sönümlü salınımların frekansı doğal frekansa yakındır w0 .

4 Eğer w 0 2 - d 2 ise< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

Nerede .

Doğrudan ikame yoluyla, fonksiyon (4)'ün gerçekten de denklem (3)'ün bir çözümü olduğunu doğrulamak kolaydır. Açıkçası, iki üstel fonksiyonun toplamı periyodik fonksiyon. İLE fiziksel nokta Bir açıdan bakıldığında bu, sistemde salınımların oluşmayacağı anlamına gelir. Sistem denge konumundan çıkarıldıktan sonra yavaş yavaş denge konumuna geri dönecektir. Bu süreç denir periyodik olmayan .

§2 Viskoz sürtünmeli sistemlerde salınımlar ne kadar hızlı bozulur?

zayıflamanın azaltılması

İçin elektriksel titreşimler devrede zayıflama katsayısı bobinin parametrelerine bağlıdır: bobinin aktif direnci ne kadar büyük olursa, kapasitör üzerindeki yükün genliği, voltaj ve akım azalır.

Fonksiyon, azalan bir üstel fonksiyonun çarpımıdır ve harmonik fonksiyon, Bu yüzden fonksiyon harmonik değildir. Ama var bir ölçüde Fonksiyonun maksimum, minimum ve sıfırlarının eşit zaman aralıklarında meydana gelmesinden oluşan “tekrar”. Fonksiyonun grafiği iki üstel ile sınırlı bir sinüzoiddir.

Sonucun, başlangıçta hangi ardışık dönemi dikkate aldığınıza bağlı olmadığını unutmayın. salınım hareketi veya bir süre geçtikten sonra. Her periyotta salınımların genliği değişir açık değil aynı beden, A aynı sayıda !!

Bunu görmek zor değil farklı zaman dilimleri için sönümlü salınımların genliği aynı sayıda azalır.

Rahatlama vakti

Dinlenme zamanı denir sönümlü salınımların genliğinin e kat azaldığı süre:

Daha sonra .

Buradan kurulumu kolaydır fiziksel anlam zayıflama katsayısı:

Dolayısıyla sönüm katsayısı gevşeme süresinin tersidir. Örneğin bir salınım devresinde sönümleme katsayısının eşit olduğunu varsayalım. Bu, c süresinden sonra salınımların genliğinin azalacağı anlamına gelir. e bir kere.

Logaritmik sönüm azalması

Çoğu zaman, salınımların sönümleme hızı, logaritmik bir sönüm azalmasıyla karakterize edilir. Bunun için alıyorlar doğal logaritma bir zaman periyoduyla ayrılmış genliklerin oranından.

Hadi fiziksel anlamını bulalım logaritmik azalma zayıflama.

N, gevşeme süresi boyunca sistem tarafından gerçekleştirilen salınımların sayısı olsun, yani salınımların genliğinin şu kadar azaldığı salınımların sayısı olsun: e bir kere. Açıkça, .

Logaritmik sönüm azalmasının miktar olduğu görülebilir. bir sayının tersi salınımlar, bundan sonra genlik azalır e bir kere.

Diyelim ki bu, 100 salınımdan sonra genliğin şu kadar azalacağı anlamına geliyor: e bir kere.

Salınım sisteminin kalite faktörü

Logaritmik sönümleme azalmasına ve gevşeme süresine ek olarak, salınımların sönümleme hızı şu şekilde bir değerle karakterize edilebilir: salınım sisteminin kalite faktörü . Kalite faktörü altında

Salınım sisteminin rastgele bir andaki enerjisi eşittir. Bir periyottaki enerji kaybı, belirli bir andaki enerji ile sonraki enerji arasındaki fark olarak bulunabilir. döneme eşit:

Daha sonra

Üstel fonksiyon bir sıra halinde düzenlenebilir en<< 1. после подстановки получаем .

Çekilmeye kısıtlama getirdik<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Sistemin kalite faktörü için elde ettiğimiz formüller henüz bir şey söylemiyor. Diyelim ki hesaplamalar kalite faktörü Q = 10 değerini veriyor. Bu ne anlama geliyor? Titreşimler ne kadar çabuk bozulur? İyi mi kötü mü?

Daha önce sorulan soruyu cevaplayabiliriz: N = 8.

Hangi salınım sistemi daha iyidir - yüksek veya düşük kalite faktörüyle? Bu sorunun cevabı salınımlı sistemden ne almak istediğinize bağlıdır.

Sistemin durmadan önce mümkün olduğu kadar çok salınım yapmasını istiyorsanız sistemin kalite faktörünün arttırılması gerekir. Nasıl? Kalite faktörü salınım sisteminin kendi parametreleri tarafından belirlendiğinden, bu parametrelerin doğru seçilmesi gerekir.

Örneğin, St. Isaac Katedrali'ne yerleştirilen Foucault sarkacının zayıf sönümlü salınımlar gerçekleştirmesi gerekiyordu. Daha sonra

Bir sarkacın kalite faktörünü arttırmanın en kolay yolu onu daha ağır hale getirmektir.

Uygulamada sıklıkla ters sorunlar ortaya çıkar: Ortaya çıkan titreşimleri mümkün olduğu kadar çabuk sönümlemek gerekir (örneğin, ölçüm cihazının iğnesinin titreşimleri, bir araba gövdesinin titreşimleri, bir geminin titreşimleri vb.). Sistemdeki zayıflamanın artmasına izin verenlere damperler (veya amortisörler) adı verilir. Örneğin, bir araba amortisörü, ilk yaklaşıma göre, içinde çok sayıda küçük delik bulunan bir pistonun hareket edebildiği, yağla (viskoz sıvı) dolu bir silindirdir. Piston çubuğu gövdeye, silindir ise tekerlek aksına bağlanır. Hareket eden piston, silindiri dolduran viskoz sıvıdan geçerken çok fazla dirençle karşılaştığından, gövdede ortaya çıkan titreşimler hızla ortadan kalkar.

§ 3 Kuru sürtünmeli sistemlerde titreşimlerin sönümlenmesi

Salınımların zayıflaması, kayma sürtünme kuvvetinin sistemde etkili olması durumunda temelde farklı bir şekilde meydana gelir. Herhangi bir yüzey boyunca salınan yay sarkacının durmasına neden olan şey budur.

Soldan sağa hareket sırasında sürtünme kuvvetinin yön ve büyüklüğünün sabit olduğunu unutmayın.

Bu bize periyodun ilk yarısında yay sarkacının sabit bir kuvvet alanında olduğunu belirtmemize olanak sağlar.

Ters yönde hareket ederken (sağdan sola) sürtünme kuvveti yön değiştirecektir, ancak tüm geçiş boyunca büyüklük ve yön olarak sabit kalacaktır. Bu durum yine bir sarkacın sabit bir kuvvet alanındaki salınımlarına karşılık gelir. Ancak şimdi bu alan farklı! Yön değiştirdi. Sonuç olarak sağdan sola hareket ederken denge konumu da değişti. Şimdi D miktarı kadar sağa kaymıştır ben 0 .

Vücut koordinatlarının zamana bağımlılığını gösterelim. Periyodun her yarısı için hareket harmonik bir salınım olduğundan, grafik her biri denge konumuna göre çizilen sinüzoidlerin yarısını temsil edecektir. Çözümlerin birleştirilmesi operasyonunu gerçekleştireceğiz.

Bunun nasıl yapıldığını belirli bir örnekle gösterelim.

Yaya bağlanan yükün kütlesi 200 g, yayın sertliği 20 N/m ve yük ile masa yüzeyi arasındaki sürtünme katsayısı 0,1 olsun. Sarkaç, yayı gererek salınım hareketine yerleştirildi.

Viskoz sürtünmeli salınımlı sistemlerin aksine, kuru sürtünmeli sistemlerde salınımların genliği doğrusal bir yasaya göre zamanla azalır - her periyotta durgunluk bölgesinin iki genişliği kadar azalır.

Bir diğer ayırt edici özellik ise kuru sürtünmeli sistemlerde teorik olarak bile salınımların süresiz olarak meydana gelememesidir. Vücut “durgunluk bölgesinde” durduğu anda dururlar.

§4 Sorun çözme örnekleri

Problem 1 Viskoz sürtünmeli sistemlerde sönümlü salınımların genliğindeki değişimin doğası

Sarkacın sönümlü salınımlarının genliği t 1 = 5 dakika boyunca 2 kat azaldı. Hangi t 2 süresi boyunca salınımların genliği 8 kat azalacaktır? t 3 süresinden ne kadar sonra sarkacın salınımının durduğunu düşünebiliriz?

Çözüm:

Zamanla viskoz sürtünmeli sistemlerde salınımların genliği

ne de üstel olarak azalmaz, burada zamanın ilk anında salınımların genliği ve sönüm katsayısıdır.

1 Genlikteki değişim yasasını iki kez yazıyoruz

2 Denklemleri birlikte çözüyoruz. Her denklemin logaritmasını alırız ve

Birinciyi değil ikinci denklemi bölün ve t 2 süresini bulun.

4

Dönüşümlerden sonra elde ederiz

Son denklemi denkleme bölün (*)

Problem 2 Viskoz sürtünmeli sistemlerde sönümlü salınımların periyodu

Doğal salınımların periyodu T 0 = 1 s ve logaritmik sönüm azalması ise T sisteminin sönümlü salınımlarının periyodunu belirleyin. Bu sistem tamamen durmadan önce kaç salınım yapacaktır?

Çözüm:

1 Viskoz sürtünmeli bir sistemdeki sönümlü salınımların periyodu, doğal salınımların periyodundan daha büyüktür (sistemde sürtünme olmadığında). Aksine, sönümlü salınımların frekansı doğal frekanstan daha azdır ve eşittir zayıflama katsayısı nerede.

2 Döngüsel frekansı periyot cinsinden ifade edelim. ve logaritmik sönüm azalmasının şuna eşit olduğunu dikkate alın:

3 Dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz .

Sistemin enerjisi sarkacın maksimum potansiyel enerjisine eşittir

Dönüşümlerden sonra elde ederiz

5 Zayıflama katsayısını logaritmik azalma yoluyla ifade ederiz, şunu elde ederiz:

Sistemin durmadan önce yapacağı salınım sayısı eşittir

Problem 3 Bir sarkacın genliği yarıya düşene kadar gerçekleştirdiği salınım sayısı

Sarkacın logaritmik sönüm azalması q = 3×10-3'tür. Salınımlarının genliğinin yarı yarıya azalması için sarkacın yapması gereken tam salınım sayısını belirleyin.

Çözüm:

3 Bunun logaritmik sönüm azalması olduğunu görmek kolaydır. Aldık

Salınım sayısını bulma

Görev 4 Salınım sisteminin kalite faktörü

10 salınımın yapıldığı süre boyunca genlik 2 kat azaldıysa sarkacın kalite faktörünü belirleyin. Sarkacın durması ne kadar sürer?

Çözüm:

1 Viskoz sürtünmeli sistemlerde salınımların genliği zamanla üstel olarak azalır; burada zamanın ilk anında salınımların genliği ve sönümleme katsayısıdır.

Salınımların genliği 2 kat azaldığı için şunu elde ederiz:

2 Salınım süresi, salınım periyodunun ve bunların sayısının çarpımı olarak temsil edilebilir:

Ortaya çıkan zaman değerini (*) ifadesinde değiştirin

3 Bunun logaritmik sönüm azalması olduğunu görmek kolaydır. Logaritmik zayıflama düşüşünü şuna eşit olarak elde ederiz:

4 Salınım sisteminin kalite faktörü

Sistemin enerjisi sarkacın maksimum potansiyel enerjisine eşittir

Dönüşümlerden sonra elde ederiz

Salınımların duracağı zamanı bulun .

Problem 5 Mıknatıs salınımları

Okul çapında tanınmış bir deneyci olan Vasya Lisichkin, en sevdiği edebi karakter Kolobok'un manyetik heykelciğini buzdolabının duvarı boyunca titreştirmeye karar verdi. Figürü sertliği k = 10 N/m olan bir yaya bağladı, 10 cm kadar gerdi ve serbest bıraktı. Heykelciğin kütlesi m = 10 g, heykelcik ile duvar arasındaki sürtünme katsayısı μ = 0,4 ise ve F = 0,5 N kuvveti ile duvardan kopabilirse Kolobok kaç salınım yapacaktır?

Çözüm:

1 En düşük konumdan en yüksek konuma hareket ederken yükün hızı yukarıya doğru yönlendirildiğinde kayma sürtünme kuvveti aşağıya doğru yönlendirilir ve sayısal olarak eşittir . Böylece yay sarkacı, yer çekimi ve sürtünme kuvvetlerinin oluşturduğu sabit bir kuvvet alanı içerisindedir. Sabit bir kuvvet alanında sarkacın denge konumu değişir:

yeni “denge pozisyonunda” yayın esnemesi nerede?

2 En yüksek konumdan en alçak konuma doğru hareket ederken yükün hızı aşağıya doğru yönlendirildiğinde kayma sürtünme kuvveti yukarıya doğru yönlendirilir ve sayısal olarak eşittir . Böylece yay sarkacı yine yer çekimi ve sürtünme kuvvetlerinin oluşturduğu sabit bir kuvvet alanı içerisindedir. Sabit bir kuvvet alanında sarkacın denge konumu değişir:

yeni “denge konumunda” yayın deformasyonu nerede, “-” işareti bu konumda yayın sıkıştırıldığını gösterir.

3 Durgunluk bölgesi yay deformasyonları ile -1 cm'den 3 cm'ye kadar sınırlanır ve 4 cm'ye ulaşır. Yay deformasyonunun 1 cm olduğu durgunluk bölgesinin ortası, yükün olmadığı konuma karşılık gelir. sürtünme kuvveti. Durma bölgesinde yayın elastik kuvveti, modüldeki bileşke kuvvetten daha azdır. maksimum statik sürtünme kuvveti ve yerçekimi. Sarkaç durgunluk bölgesinde durursa salınımlar da durur.

4 Her periyotta yay deformasyonu durgunluk bölgesinin iki genişliği kadar azalır; 8 cm. Bir salınımdan sonra yayın deformasyonu 10 cm - 8 cm = 2 cm'ye eşit olacaktır. Bu, bir salınımdan sonra Kolobok heykelcikinin durgunluk bölgesine girdiği ve salınımlarının durduğu anlamına gelir.

§5 Bağımsız çözüm için görevler

"Sönümlü Salınımlar" testi

1 Salınımların sönümlenmesinden kastımız...

A) salınım frekansında azalma; B) salınım süresinin azaltılması;

B) salınımların genliğinde azalma; D) salınım aşamasında azalma.

2 Serbest salınımların sönümlenmesinin nedeni

A) salınımları engelleyen rastgele faktörlerin sistemi üzerindeki etkisi;

B) periyodik olarak değişen bir dış kuvvetin etkisi;

C) sistemde sürtünme kuvvetinin varlığı;

D) Sarkacı denge konumuna döndürmeye çalışan yarı elastik kuvvette kademeli bir azalma.

a) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm;

D) Saati bilinmediğinden cevap vermek mümkün değildir.

6 Farklı viskoz ortamlarda bulunan iki özdeş sarkaç salınım yapar. Bu salınımların genliği şekilde gösterildiği gibi zamanla değişir. Hangi ortamda sürtünme daha fazladır?

7 Aynı ortamda bulunan iki sarkaç salınım yapar. Bu salınımların genliği şekilde gösterildiği gibi zamanla değişir. Hangi sarkaç en büyük kütleye sahiptir?

C) Koordinat eksenleri ölçeklendirilmediğinden ve hesaplamalar yapılamadığından cevap vermek mümkün değildir.

8 Viskoz sürtünmeli bir sistemdeki sönümlü salınımların koordinatlarının zamana bağımlılığını doğru şekilde gösteren şekil hangisidir?

A) 1; B) 2; 3'TE; D) Bütün grafikler doğrudur.

9 Viskoz sürtünmeli sistemlerde salınımların sönümlenmesini karakterize eden fiziksel büyüklükler ile bunların tanımı ve fiziksel anlamı arasında bir ilişki kurmak. Tabloyu doldurun

A) Bu, periyoda eşit bir süre sonrasında salınım genliklerinin oranıdır;

B) Bu, periyoda eşit bir süre sonrasında salınım genliklerinin oranının doğal logaritmasıdır;

B) Bu, salınımların genliğinin azaldığı zamandır. e bir kere;

G) D) e)

G) Bu değer, salınımların genliğinin azaldığı salınım sayısının tersidir. e bir kere;

H) Bu değer, salınımların genliğinin, salınım periyoduna eşit bir sürede kaç kez azaldığını gösterir.

10 Doğru bir ifadede bulunun.

Kaliteli demek...

A) E sisteminin toplam enerjisinin, dönem boyunca harcanan W enerjisine oranı 2p kat arttı;

B) döneme eşit bir süre sonra genliklerin oranı;

C) genlik e kat azaldığında sistemin yaptığı salınım sayısı.

Kalite faktörü aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır...

A) M.Ö)

Salınımlı bir sistemin kalite faktörü şunlara bağlıdır:

A) sistemin enerjisi;

B) döneme ilişkin enerji kayıpları;

C) salınım sisteminin parametreleri ve içindeki sürtünme.

Salınım sisteminin kalite faktörü ne kadar yüksek olursa, o kadar...

A) titreşimler daha yavaş bozulur;

B) Titreşimler daha hızlı bozulur.

11 Matematiksel bir sarkaç, ilk durumda süspansiyonu denge konumundan 15°, ikinci durumda 10° saptıracak şekilde salınım hareketine ayarlanıyor. Hangi durumda sarkaç durmadan önce daha fazla salınım yapacaktır?

A) Gimbal 15° eğildiğinde;

B) Gimbal 10° eğildiğinde;

C) Her iki durumda da sarkaç aynı sayıda salınım yapacaktır.

Aynı yarıçapa sahip 12 top (alüminyum ve bakır) aynı uzunluktaki iki ipliğe bağlandı. Sarkaçlar eşit açılarda saptırılarak salınım hareketine sokulur. Hangi sarkaç durmadan önce en fazla salınımı yapacaktır?

A) Alüminyum; B) Bakır;

C) Her iki sarkaç da aynı sayıda salınım yapacaktır.

13 Yatay bir yüzey üzerinde bulunan bir yay sarkaç, yayı 9 cm esnetecek şekilde salınım yapacak şekilde yerleştirildi. Üç tam salınımı tamamladıktan sonra, sarkaç kendisini deforme olmamış yayın konumundan 6 cm uzakta buldu. Sonraki üç salınımdan sonra sarkaç deforme olmamış yayın konumundan ne kadar uzaklıkta olacaktır?

a) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm.

Salınım özellikleri

Faz sistemin durumunu (koordinat, hız, ivme, enerji vb.) belirler.

Döngüsel frekans salınım aşamasındaki değişim oranını karakterize eder.

Salınım sisteminin başlangıç ​​durumu şu şekilde karakterize edilir: başlangıç ​​aşaması

Salınım genliği A- bu denge konumundan en büyük yer değiştirmedir

Dönem T- bu, noktanın bir tam salınım gerçekleştirdiği zaman dilimidir.

Salınım frekansı birim zaman t başına tam salınımların sayısıdır.

Frekans, döngüsel frekans ve salınım periyodu şu şekilde ilişkilidir:

Titreşim türleri

Kapalı sistemlerde meydana gelen salınımlara denir. özgür veya sahip olmak dalgalanmalar. Dış kuvvetlerin etkisi altında meydana gelen salınımlara denir. zoraki. Ayrıca orada kendi kendine salınımlar(otomatik olarak zorlanır).

Salınımları değişen özelliklere (genlik, frekans, periyot vb.) göre düşünürsek, bunlar ikiye ayrılabilir: harmonik, solma, büyüyor(ve ayrıca testere dişi, dikdörtgen, karmaşık).

Gerçek sistemlerde serbest salınımlar sırasında her zaman enerji kayıpları meydana gelir. Örneğin, hava direnci kuvvetlerinin üstesinden gelmek için iş yapmak için mekanik enerji harcanır. Sürtünmenin etkisi altında salınımların genliği azalır ve bir süre sonra salınımlar durur. Açıkçası, harekete karşı direnç kuvveti ne kadar büyük olursa, salınımlar da o kadar hızlı durur.

Zorlanmış titreşimler. Rezonans

Zorlanmış salınımlar sönümsüzdür. Bu nedenle her salınım periyodunda enerji kayıplarının telafi edilmesi gerekmektedir. Bunu yapmak için salınım yapan gövdeyi periyodik olarak değişen bir kuvvetle etkilemek gerekir. Zorla salınımlar, dış kuvvetteki değişimlerin frekansına eşit bir frekansta meydana gelir.

Zorlanmış titreşimler

İtici kuvvetin frekansı salınım sisteminin frekansı ile çakışırsa, zorlanmış mekanik titreşimlerin genliği en büyük değerine ulaşır. Bu fenomene denir rezonans.

Örneğin, kordonu kendi titreşimleriyle periyodik olarak çekersek, titreşimlerinin genliğinde bir artış fark edeceğiz.

Islak parmağınızı bardağın kenarı boyunca hareket ettirirseniz cam çınlama sesi çıkarır. Fark edilmese de parmak aralıklı olarak hareket ederek enerjiyi kısa aralıklarla cama aktararak camın titreşmesine neden olur.

Kendi frekansına eşit bir ses dalgası kendisine yöneltildiğinde camın duvarları da titremeye başlar. Genlik çok büyürse cam kırılabilir. Rezonans nedeniyle F.I. Chaliapin şarkı söylediğinde avizelerin kristal kolyeleri titredi (rezonansa girdi). Rezonans oluşumu banyoda da gözlemlenebilir. Farklı frekanslardaki sesleri yumuşak bir şekilde söylerseniz, frekanslardan birinde bir rezonans ortaya çıkacaktır.

Müzik aletlerinde rezonatörlerin rolü vücut kısımları tarafından gerçekleştirilir. Bir kişinin kendi rezonatörü de vardır - bu, üretilen sesleri güçlendiren ağız boşluğudur.

Rezonans olgusu pratikte dikkate alınmalıdır. Bazı durumlarda yararlı olabilir, bazı durumlarda ise zararlı olabilir. Rezonans olayı, kötü tasarlanmış köprüler gibi çeşitli mekanik sistemlerde geri dönüşü olmayan hasarlara neden olabilir. Böylece 1905 yılında St. Petersburg'daki Mısır Köprüsü üzerinden bir at filosu geçerken çöktü, 1940 yılında da ABD'deki Tacoma Köprüsü çöktü.

Rezonans olgusu, küçük bir kuvvetin yardımıyla titreşim genliğinde büyük bir artış elde edilmesi gerektiğinde kullanılır. Örneğin, büyük bir zilin ağır dili, zilin doğal frekansına eşit frekansta nispeten küçük bir kuvvet uygulanarak sallanabilir.

HARMONİK TİTREŞİMLER

Çevrimiçi test etme

Harmonik salınım

Harmonik titreşim denklemi

Harmonik salınım denklemi, vücut koordinatlarının zamana bağımlılığını belirler

Kosinüs grafiği ilk anda maksimum değere sahiptir ve sinüs grafiği başlangıç ​​anında sıfır değerine sahiptir. Salınımı denge konumundan incelemeye başlarsak, o zaman salınım bir sinüzoidi tekrarlayacaktır. Salınımı maksimum sapma konumundan dikkate almaya başlarsak, o zaman salınım bir kosinüs ile tanımlanacaktır. Veya böyle bir salınım, başlangıç ​​fazlı sinüs formülüyle açıklanabilir.

Harmonik salınım sırasında hız ve ivmedeki değişim

Sadece vücudun koordinatı sinüs veya kosinüs kanununa göre zamanla değişmez. Ancak kuvvet, hız, ivme gibi büyüklükler de aynı şekilde değişir. Salınım yapan cisim yer değiştirmenin maksimum olduğu uç konumlarda olduğunda kuvvet ve ivme maksimumdur ve vücut denge konumundan geçtiğinde sıfırdır. Aksine aşırı konumlarda hız sıfırdır ve vücut denge konumundan geçtiğinde maksimum değerine ulaşır.

Salınım kosinüs kanunu ile tanımlanırsa

Salınım sinüs kanununa göre tanımlanırsa

Maksimum hız ve ivme değerleri

Bağımlılık denklemlerini v(t) ve a(t) analiz ettikten sonra, trigonometrik faktörün 1 veya -1'e eşit olması durumunda hız ve ivmenin maksimum değerleri aldığını tahmin edebiliriz. Formülle belirlenir

Hızın zamana bağımlılığı ve ivmenin zamana bağlılığı için formüller, koordinatın zamana bağımlılığı bilinerek matematiksel olarak elde edilebilir. Düzgün ivmeli harekete benzer şekilde, v(t) bağımlılığı x(t)'nin birinci türevidir. Ve a(t) bağımlılığı x(t)'nin ikinci türevidir.

Salınımların sönümlenmesi, salınım sisteminin enerji kaybına bağlı olarak salınımların genliğinin zaman içinde kademeli olarak azalmasıdır.

Sönümsüz doğal salınımlar idealleştirmedir. Zayıflama nedenleri farklı olabilir. Mekanik bir sistemde titreşimler sürtünmenin varlığıyla sönümlenir. Bir elektromanyetik devrede sistemi oluşturan iletkenlerdeki ısı kayıpları salınım enerjisinde azalmaya neden olur. Salınım sisteminde depolanan enerjinin tamamı tükendiğinde salınımlar duracaktır. Bu nedenle genlik sönümlü salınımlar sıfıra eşit oluncaya kadar azalır.

Doğası farklı sistemlerdeki doğal salınımlar gibi sönümlü salınımlar, tek bir bakış açısıyla - ortak özellikler olarak - değerlendirilebilir. Bununla birlikte, genlik ve periyot gibi karakteristikler yeniden tanımlanmayı gerektirir ve doğal sönümsüz salınımlar için aynı karakteristiklerle karşılaştırıldığında diğerleri ilave ve açıklama gerektirir. Sönümlü salınımların genel işaretleri ve kavramları aşağıdaki gibidir:

Salınım işlemi sırasında titreşim enerjisindeki azalma dikkate alınarak diferansiyel denklem elde edilmelidir.

Salınım denklemi bir diferansiyel denklemin çözümüdür.

Sönümlü salınımların genliği zamana bağlıdır.

Frekans ve periyot titreşim sönümleme derecesine bağlıdır.

Faz ve başlangıç ​​fazı sürekli salınımlarla aynı anlama gelir.

3.1. Mekanik sönümlü salınımlar

Mekanik sistem: Sürtünme kuvvetlerini hesaba katan yaylı sarkaç.

Sarkaç üzerine etki eden kuvvetler:

Elastik kuvvet. , burada k yay sertliği katsayısıdır, x sarkacın denge konumundan yer değiştirmesidir.

Direnç kuvveti. Hareket hızı v ile orantılı bir direnç kuvveti düşünelim (bu bağımlılık geniş bir direnç kuvvetleri sınıfı için tipiktir): . Eksi işareti direnç kuvvetinin yönünün cismin hızının yönüne zıt olduğunu gösterir. Sürtünme katsayısı r, vücut hareketinin birim hızında ortaya çıkan sürükleme kuvvetine sayısal olarak eşittir:

Hareket kanunu yaylı sarkaç - bu Newton'un ikinci yasasıdır:

M A = F eski. + F rezistans

Her ikisini de göz önünde bulundurarak Newton’un ikinci yasasını şu şekilde yazıyoruz:

.

Denklemin tüm terimlerini m'ye bölüp sağ tarafa kaydırırsak şunu elde ederiz: diferansiyel denklem sönümlü salınımlar:

β’yı gösterelim; burada β – zayıflama katsayısı, , burada ω 0, salınım sisteminde enerji kaybı olmadığında sönümsüz serbest salınımların frekansıdır.

Yeni gösterimde, sönümlü salınımların diferansiyel denklemi şu şekildedir:

.

Bu ikinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklemdir.

Sönümlü salınım denklemi Aşağıdaki diferansiyel denklemin bir çözümü vardır:

Ek 1'de değişkenleri değiştirerek sönümlü salınımların diferansiyel denklemine nasıl bir çözüm elde edileceği gösterilmektedir.

Sönümlü frekans:

(bu nedenle yalnızca gerçek kökün fiziksel anlamı vardır).

Sönümlü salınımların periyodu:

.

Sönümsüz salınımlar için periyot kavramına yüklenen anlam, sönümlü salınımlar için uygun değildir, çünkü salınım sistemi, salınım enerjisi kayıpları nedeniyle hiçbir zaman orijinal durumuna dönmez. Sürtünme varlığında titreşimler daha yavaştır: .

Sönümlü salınımların periyodu sistemin denge konumunu bir yönde iki kez geçtiği minimum süredir.

Yaylı sarkacın mekanik sistemi için elimizde:

, .

Sönümlü salınımların genliği:

Yaylı bir sarkaç için.

Sönümlü salınımların genliği sabit bir değer değildir, ancak zamanla değişir; β katsayısı ne kadar hızlı olursa o kadar büyük olur. Bu nedenle, daha önce sönümsüz serbest salınımlar için verilen genlik tanımının sönümlü salınımlar için değiştirilmesi gerekir.

Küçük zayıflamalar için sönümlü salınımların genliği bir dönemde denge konumundan en büyük sapmaya denir.

Grafikler Zamana karşı yer değiştirme ve zamana karşı genlik grafikleri Şekil 3.1 ve 3.2'de sunulmaktadır.

Şekil 3.1 – Sönümlü salınımlar için yer değiştirmenin zamana bağlılığı

Şekil 3.2 - Sönümlü salınımlar için genliğin zamana bağlılığı

3.2. Elektromanyetik sönümlü salınımlar

Elektromanyetik sönümlü salınımlar e'de ortaya çıkar elektromanyetik salınım sistemi, LCR - devresi denir (Şekil 3.3).

Şekil 3.3.

Diferansiyel denklem kapalı bir LCR devresi için Kirchhoff'un ikinci yasasını kullanarak elde ederiz: aktif direnç (R) ve kapasitör (C) üzerindeki voltaj düşüşlerinin toplamı, devre devresinde geliştirilen indüklenen emk'ye eşittir:

Gerilim düşümü:

Aktif dirençte: burada I devredeki akım gücüdür;

Kapasitörde (C): burada q, kapasitör plakalarından birindeki yük miktarıdır.

Devrede geliştirilen EMF, içindeki akım ve dolayısıyla kesitindeki manyetik akı değiştiğinde indüktörde meydana gelen indüklenen EMF'dir: (Faraday yasası).

Kirchhoff yasasını yansıtan denklemde U R , U C değerlerini değiştirelim, şunu elde ederiz:

.

Akım gücü yükün türevi olarak tanımlanır ve diferansiyel denklem şu şekli alır:

.

, , gösterelim ve bu gösterimde sönümlü salınımların diferansiyel denklemini şu şekilde elde ederiz:

Diferansiyel denklem çözme veya yük için salınım denklemi kapasitör plakalarında şöyle görünür:

Sönümlü yük salınımlarının genliğişu forma sahiptir:

Sönümlü frekans LCR devresinde:

.

Dönem sönümlü elektromanyetik salınımlar:

.

Yükün denklemini formda alalım, o zaman gerilim denklemi kapasitörün plakalarına şu şekilde yazılabilir
.

Miktar denir kapasitör boyunca voltaj genliği.

Akım devrede zamanla değişir. Akım denklemi konturdaki oran ve vektör diyagramı kullanılarak elde edilebilir.

Akım için son denklem:

Nerede - başlangıç ​​aşaması.

Akım gücü, yükün türevi olan sinüse göre değil, kosinüse göre değiştiği için α'ya eşit değildir.

Enerji Devredeki salınımlar elektrik alanının enerjisinden oluşur

ve manyetik alan enerjisi

Toplam Enerji her zaman:

Nerede W 0– t=0 anındaki devrenin toplam enerjisi .

3.3. Sönümlü salınımların özellikleri

1.Zayıflama katsayısı β.

Sönümlü salınımların genliği üstel bir yasaya göre değişir:

Salınım genliğinin τ süresi boyunca "e" kat azalmasına izin verin ("e" doğal logaritmanın tabanıdır, e ≈ 2,718). Sonra bir yandan, , ve diğer yandan, A zat genliklerini tanımladıktan sonra. (t) ve A zat. (t+τ), elimizde . Bu ilişkilerden βτ = 1 sonucu çıkar, dolayısıyla

Genliğin "e" kat azaldığı τ zaman periyoduna denir rahatlama vakti.

Zayıflama katsayısıβ gevşeme süresiyle ters orantılı bir değerdir.

2. Logaritmik sönüm azalması δ- zaman içinde bir periyotla ayrılmış iki ardışık genliğin oranının doğal logaritmasına sayısal olarak eşit bir fiziksel miktar.

§6 Sönümlü salınımlar

Zayıflamanın azaltılması. Logaritmik sönüm azalması.

Gerçek koşullarda teknik sistemlerin serbest titreşimleri, direnç kuvvetleri onlara etki ettiğinde ortaya çıkar. Bu kuvvetlerin etkisi salınım değerinin genliğinde bir azalmaya yol açar.

Gerçek salınım sisteminin enerji kayıpları nedeniyle genliği zamanla azalan salınımlara denir. solma.

En yaygın durumlar direnç kuvvetinin hareket hızıyla orantılı olduğu durumlardır.

Nerede R- ortamın direnç katsayısı. Eksi işareti şunu gösteriyorFChızın tersi yönde yönlendirilir.

Direnç katsayısı olan bir ortamda salınan bir noktadaki salınım denklemini yazalım.R. Newton'un ikinci yasasına göre

burada β zayıflama katsayısıdır. Bu katsayı, salınımların zayıflama oranını karakterize eder. Direnç kuvvetlerinin varlığında, salınım sisteminin enerjisi giderek azalacak ve salınımlar sönecektir.

- sönümlü salınımların diferansiyel denklemi.

sen sönümlü salınımların eşitlenmesi.

ω - sönümlü salınımların frekansı:

Sönümlü salınımların periyodu:

Sönümlü salınımlar kesin olarak dikkate alındığında periyodik değildir. Bu nedenle β küçük olduğunda sönümlü salınımların periyodundan bahsedebiliriz.

Zayıflama zayıf bir şekilde ifade edilirse (β→0), o zaman. Sönümlü salınımlar olabilir

genliği üstel bir yasaya göre değişen harmonik salınımlar olarak kabul edilebilir

Denklemde (1) 0 ve φ 0, salınımları dikkate aldığımız zamandan başlayarak, zamanın anının seçimine bağlı olarak keyfi sabitlerdir.

Bir τ süresi boyunca genliğin azalacağı bir salınım düşünelim. e bir kere

τ - dinlenme süresi.

Sönümleme katsayısı β genliğin azaldığı süre ile ters orantılıdır. e bir kere. Ancak sönümleme katsayısı salınımların sönümlenmesini karakterize etmek için yeterli değildir. Bu nedenle, salınımların sönümlenmesi için bir salınımın zamanını içeren bir özelliğin tanıtılması gereklidir. Bu özellik azalma(Rusça: azalma) zayıflama D, zaman içinde bir periyotla ayrılan genliklerin oranına eşittir:

Logaritmik sönüm azalması logaritmaya eşit D:

Logaritmik sönümleme azalması salınımların sayısıyla ters orantılıdır, bunun sonucunda salınımların genliği azalmıştır. e bir kere. Logaritmik sönüm azalması belirli bir sistem için sabit bir değerdir.

Salınımlı sistemin bir diğer özelliği kalite faktörüdür.Q.

Kalite faktörü, gevşeme süresi τ sırasında sistem tarafından gerçekleştirilen salınımların sayısıyla orantılıdır.

Qsalınım sistemi, enerjinin göreceli dağılımının (dağılımının) bir ölçüsüdür.

QSalınım sistemi elastik kuvvetin direnç kuvvetinden kaç kat daha büyük olduğunu gösteren bir sayıdır.

§7 Zorlanmış titreşimler.

Rezonans

Bazı durumlarda sürekli salınımlar gerçekleştiren sistemlerin yaratılmasına ihtiyaç duyulur. Periyodik olarak değişen bir kuvvetle sisteme etki ederek enerji kayıplarını telafi ederseniz sistemde sönümsüz salınımlar elde etmek mümkündür.

İzin vermek

Bir itici kuvvetin etkisi altında harmonik salınım hareketi yapan maddesel bir noktanın hareket denklemi için bir ifade yazalım.

Newton'un ikinci yasasına göre:

(1)

Zorlanmış salınımların diferansiyel denklemi.

Bu diferansiyel denklem doğrusal homojen değildir.

Çözümü, homojen denklemin genel çözümünün ve homojen olmayan denklemin özel çözümünün toplamına eşittir:

Homojen olmayan denklemin özel bir çözümünü bulalım. Bunu yapmak için denklem (1)'i aşağıdaki biçimde yeniden yazıyoruz:

(2)

Bu denkleme özel bir çözümü şu şekilde arayacağız:

Daha sonra

(2)'de yerine koyalım:

Çünkü herhangi biri için çalışırT, o zaman γ = ω eşitliği geçerli olmalıdır, bu nedenle,

Bu karmaşık sayıyı formda temsil etmek uygundur.

Nerede A formül (aşağıdaki 3) ile belirlenir ve φ - formül (4) ile belirlenir, bu nedenle karmaşık formdaki çözüm (2) şu şekle sahiptir:

Denklemin (1) çözümü olan gerçek kısmı şuna eşittir:

Nerede

(3)

(4)

X o.o terimi. Zorunlu salınımların genliği eşitlikle belirlenen değere ulaşana kadar salınımlar kurulduğunda yalnızca ilk aşamada önemli bir rol oynar (3). Kararlı durumda, ω frekansında zorlanmış salınımlar meydana gelir ve harmoniktir. Zorunlu salınımların genliği (3) ve fazı (4), itici kuvvetin frekansına bağlıdır. İtici gücün belirli bir frekansında genliği çok büyük değerlere ulaşabilir. İtici kuvvetin frekansı mekanik sistemin doğal frekansına yaklaştıkça zorlanmış salınımların genliğinde keskin bir artışa denir. rezonans.

Rezonansın gözlemlendiği itici kuvvetin frekansına ω rezonans denir. ωres değerini bulmak için maksimum genlik koşulunu bulmak gerekir. Bunu yapmak için, (3)'teki paydanın minimumunun koşulunu belirlemeniz gerekir (yani (3)'ü bir ekstremum için inceleyin).

Salınım yapan bir niceliğin genliğinin itici kuvvetin frekansına bağımlılığına denir. rezonans eğrisi. Sönümleme katsayısı β ne kadar düşük olursa, rezonans eğrisi o kadar yüksek olur ve β azaldıkça rezonans eğrilerinin maksimumu sağa kayar. Eğer β = 0 ise, o zaman

ω res = ω 0 .

ω→0 olduğunda tüm eğriler bu değere gelir- statik sapma.

Parametrik rezonans, sistemin parametrelerinden birindeki periyodik bir değişiklik, salınım sisteminin genliğinde keskin bir artışa yol açtığında meydana gelir. Örneğin sistemin ağırlık merkezinin konumunu değiştirerek bir “güneş” oluşturan kabinler (“tekneler” için de aynısı). Bkz. §61.t. 1 Savelyev I.V.

Salınımların sönümlenmesi, salınım sisteminin enerji kaybına bağlı olarak salınımların genliğinin zaman içinde kademeli olarak azalmasıdır.

Sönümsüz doğal salınımlar idealleştirmedir. Zayıflama nedenleri farklı olabilir. Mekanik bir sistemde titreşimler sürtünmenin varlığıyla sönümlenir. Bir elektromanyetik devrede sistemi oluşturan iletkenlerdeki ısı kayıpları salınım enerjisinde azalmaya neden olur. Salınım sisteminde depolanan enerjinin tamamı tükendiğinde salınımlar duracaktır. Bu nedenle genlik sönümlü salınımlar sıfıra eşit oluncaya kadar azalır.

Doğası farklı sistemlerdeki doğal salınımlar gibi sönümlü salınımlar, tek bir bakış açısıyla - ortak özellikler olarak - değerlendirilebilir. Bununla birlikte, genlik ve periyot gibi karakteristikler yeniden tanımlanmayı gerektirir ve doğal sönümsüz salınımlar için aynı karakteristiklerle karşılaştırıldığında diğerleri ilave ve açıklama gerektirir. Sönümlü salınımların genel işaretleri ve kavramları aşağıdaki gibidir:

Salınım işlemi sırasında titreşim enerjisindeki azalma dikkate alınarak diferansiyel denklem elde edilmelidir.

Salınım denklemi bir diferansiyel denklemin çözümüdür.

Sönümlü salınımların genliği zamana bağlıdır.

Frekans ve periyot titreşim sönümleme derecesine bağlıdır.

Faz ve başlangıç ​​fazı sürekli salınımlarla aynı anlama gelir.

3.1. Mekanik sönümlü salınımlar

Mekanik sistem: Sürtünme kuvvetlerini hesaba katan yaylı sarkaç.

Sarkaç üzerine etki eden kuvvetler:

Elastik kuvvet. , burada k yay sertliği katsayısıdır, x sarkacın denge konumundan yer değiştirmesidir.

Direnç kuvveti. Hareket hızı v ile orantılı bir direnç kuvveti düşünelim (bu bağımlılık geniş bir direnç kuvvetleri sınıfı için tipiktir): . Eksi işareti direnç kuvvetinin yönünün cismin hızının yönüne zıt olduğunu gösterir. Sürtünme katsayısı r, vücut hareketinin birim hızında ortaya çıkan sürükleme kuvvetine sayısal olarak eşittir:

Hareket kanunu yaylı sarkaç - bu Newton'un ikinci yasasıdır:

M A = F eski. + F rezistans

Her ikisini de göz önünde bulundurarak Newton’un ikinci yasasını şu şekilde yazıyoruz:

.

Denklemin tüm terimlerini m'ye bölüp sağ tarafa kaydırırsak şunu elde ederiz: diferansiyel denklem sönümlü salınımlar:

β’yı gösterelim; burada β – zayıflama katsayısı, , burada ω 0, salınım sisteminde enerji kaybı olmadığında sönümsüz serbest salınımların frekansıdır.

Yeni gösterimde, sönümlü salınımların diferansiyel denklemi şu şekildedir:

.

Bu ikinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklemdir.

Sönümlü salınım denklemi Aşağıdaki diferansiyel denklemin bir çözümü vardır:

Ek 1'de değişkenleri değiştirerek sönümlü salınımların diferansiyel denklemine nasıl bir çözüm elde edileceği gösterilmektedir.

Sönümlü frekans:

(bu nedenle yalnızca gerçek kökün fiziksel anlamı vardır).

Sönümlü salınımların periyodu:

.

Sönümsüz salınımlar için periyot kavramına yüklenen anlam, sönümlü salınımlar için uygun değildir, çünkü salınım sistemi, salınım enerjisi kayıpları nedeniyle hiçbir zaman orijinal durumuna dönmez. Sürtünme varlığında titreşimler daha yavaştır: .

Sönümlü salınımların periyodu sistemin denge konumunu bir yönde iki kez geçtiği minimum süredir.

Yaylı sarkacın mekanik sistemi için elimizde:

, .

Sönümlü salınımların genliği:

Yaylı bir sarkaç için.

Sönümlü salınımların genliği sabit bir değer değildir, ancak zamanla değişir; β katsayısı ne kadar hızlı olursa o kadar büyük olur. Bu nedenle, daha önce sönümsüz serbest salınımlar için verilen genlik tanımının sönümlü salınımlar için değiştirilmesi gerekir.

Küçük zayıflamalar için sönümlü salınımların genliği bir dönemde denge konumundan en büyük sapmaya denir.

Grafikler Zamana karşı yer değiştirme ve zamana karşı genlik grafikleri Şekil 3.1 ve 3.2'de sunulmaktadır.

Şekil 3.1 – Sönümlü salınımlar için yer değiştirmenin zamana bağlılığı

Şekil 3.2 - Sönümlü salınımlar için genliğin zamana bağlılığı

3.2. Elektromanyetik sönümlü salınımlar

Elektromanyetik sönümlü salınımlar e'de ortaya çıkar elektromanyetik salınım sistemi, LCR - devresi denir (Şekil 3.3).

Şekil 3.3.

Diferansiyel denklem kapalı bir LCR devresi için Kirchhoff'un ikinci yasasını kullanarak elde ederiz: aktif direnç (R) ve kapasitör (C) üzerindeki voltaj düşüşlerinin toplamı, devre devresinde geliştirilen indüklenen emk'ye eşittir:

Gerilim düşümü:

Aktif dirençte: burada I devredeki akım gücüdür;

Kapasitörde (C): burada q, kapasitör plakalarından birindeki yük miktarıdır.

Devrede geliştirilen EMF, içindeki akım ve dolayısıyla kesitindeki manyetik akı değiştiğinde indüktörde meydana gelen indüklenen EMF'dir: (Faraday yasası).

Kirchhoff yasasını yansıtan denklemde U R , U C değerlerini değiştirelim, şunu elde ederiz:

.

Akım gücü yükün türevi olarak tanımlanır ve diferansiyel denklem şu şekli alır:

.

, , gösterelim ve bu gösterimde sönümlü salınımların diferansiyel denklemini şu şekilde elde ederiz:

Diferansiyel denklem çözme veya yük için salınım denklemi kapasitör plakalarında şöyle görünür:

Sönümlü yük salınımlarının genliğişu forma sahiptir:

Sönümlü frekans LCR devresinde:

.

Dönem sönümlü elektromanyetik salınımlar:

.

Yükün denklemini formda alalım, o zaman gerilim denklemi kapasitörün plakalarına şu şekilde yazılabilir
.

Miktar denir kapasitör boyunca voltaj genliği.

Akım devrede zamanla değişir. Akım denklemi konturdaki oran ve vektör diyagramı kullanılarak elde edilebilir.

Akım için son denklem:

Nerede - başlangıç ​​aşaması.

Akım gücü, yükün türevi olan sinüse göre değil, kosinüse göre değiştiği için α'ya eşit değildir.

Enerji Devredeki salınımlar elektrik alanının enerjisinden oluşur

ve manyetik alan enerjisi

Toplam Enerji her zaman:

Nerede W 0– t=0 anındaki devrenin toplam enerjisi .

3.3. Sönümlü salınımların özellikleri

1.Zayıflama katsayısı β.

Sönümlü salınımların genliği üstel bir yasaya göre değişir:

Salınım genliğinin τ süresi boyunca "e" kat azalmasına izin verin ("e" doğal logaritmanın tabanıdır, e ≈ 2,718). Sonra bir yandan, , ve diğer yandan, A zat genliklerini tanımladıktan sonra. (t) ve A zat. (t+τ), elimizde . Bu ilişkilerden βτ = 1 sonucu çıkar, dolayısıyla

Genliğin "e" kat azaldığı τ zaman periyoduna denir rahatlama vakti.

Zayıflama katsayısıβ gevşeme süresiyle ters orantılı bir değerdir.

2. Logaritmik sönüm azalması δ- zaman içinde bir periyotla ayrılmış iki ardışık genliğin oranının doğal logaritmasına sayısal olarak eşit bir fiziksel miktar.