La section contient du matériel de référence sur les principales fonctions élémentaires et leurs propriétés. Une classification des fonctions élémentaires est donnée. Vous trouverez ci-dessous des liens vers des sous-sections qui traitent des propriétés de fonctions spécifiques : graphiques, formules, dérivées, primitives (intégrales), développements en séries, expressions via des variables complexes.

Pages de référence pour les fonctions de base

Classification des fonctions élémentaires

Fonction algébrique est une fonction qui satisfait l'équation :
,
où est un polynôme dans la variable dépendante y et la variable indépendante x.
,
On peut l'écrire ainsi :

où sont les polynômes.

Les fonctions algébriques sont divisées en polynômes (fonctions rationnelles entières), fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles. Fonction rationnelle entière , qu'on appelle aussi polynôme ou polynôme , est obtenu à partir de la variable x et nombre fini nombres utilisant opérations arithmétiques
.

addition (soustraction) et multiplication. Après avoir ouvert les parenthèses, le polynôme est réduit à la forme canonique : Fonction rationnelle fractionnaire , ou juste fonction rationnelle
,
, est obtenu à partir de la variable x et d'un nombre fini de nombres en utilisant les opérations arithmétiques d'addition (soustraction), de multiplication et de division. La fonction rationnelle peut être réduite à la forme

où et sont des polynômes. Fonction irrationnelle est une fonction algébrique qui n’est pas rationnelle. En règle générale, sous ir fonction rationnelle
.
comprendre les racines et leurs compositions avec des fonctions rationnelles. Une racine de degré n est définie comme la solution de l'équation
.

Il est désigné comme suit : Fonctions transcendantales

sont appelées fonctions non algébriques. Ce sont des fonctions exponentielles, trigonométriques, hyperboliques et leurs fonctions inverses.

Aperçu des fonctions élémentaires de base Tous fonctions élémentaires
peut être représenté comme un nombre fini d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division effectuées sur une expression de la forme :
zt.

Les fonctions inverses peuvent également être exprimées en termes de logarithmes. Les fonctions élémentaires de base sont listées ci-dessous.
Fonction d'alimentation :
y(x) = xp,
où p est l'exposant. Cela dépend de la base du degré x. Retour à fonction de puissance
.
Pour une valeur entière non négative de l'exposant p, c'est un polynôme. Pour une valeur entière, p est une fonction rationnelle. À sens rationnel - fonction irrationnelle.

Fonctions transcendantales

Fonction exponentielle :
y(x) = une x ,
où a est la base du diplôme. Cela dépend de l'exposant x.
La fonction inverse est le logarithme pour baser a :
X = Connectez-vous un y.

Exposant, e à la puissance x :
y(x) = ex,
Il s'agit d'une fonction exponentielle dont la dérivée est égale à la fonction elle-même :
.
La base de l'exposant est le nombre e :
≈ 2,718281828459045... .
Fonction inverse - logarithme népérien - logarithme en base e :
X = ln y ≡ log e y.

Fonctions trigonométriques :
Sinus : ;
Cosinus : ;
Tangente : ;
Cotangente : ;
Ici, je - unité imaginaire, je 2 = -1 .

Fonctions trigonométriques inverses :
Arc sinus : x = arcsin y, ;
Arc cosinus : x = arccos et, ;
Arctangente : x = arctan y, ;
Arc tangent : x = arcctg y, .

Le maintien de votre vie privée est important pour nous. Pour cette raison, nous avons développé une politique de confidentialité qui décrit la manière dont nous utilisons et stockons vos informations. Veuillez consulter nos pratiques de confidentialité et faites-nous savoir si vous avez des questions.

Collecte et utilisation des informations personnelles

Les informations personnelles font référence aux données qui peuvent être utilisées pour identifier ou contacter une personne spécifique.

Il peut vous être demandé de fournir vos informations personnelles à tout moment lorsque vous nous contactez.

Vous trouverez ci-dessous quelques exemples des types d'informations personnelles que nous pouvons collecter et de la manière dont nous pouvons utiliser ces informations.

Quelles informations personnelles collectons-nous :

• Lorsque vous soumettez une demande sur le site, nous pouvons collecter diverses informations, y compris votre nom, votre numéro de téléphone et votre adresse e-mail etc.

Comment nous utilisons vos informations personnelles :

• Collecté par nos soins informations personnelles nous permet de vous contacter et de vous informer des offres uniques, des promotions et d'autres événements et événements à venir.
• De temps en temps, nous pouvons utiliser vos informations personnelles pour envoyer des notifications et des communications importantes.
• Nous pouvons également utiliser des informations personnelles à des fins internes telles que l'audit, l'analyse des données et diverses études afin d'améliorer les services que nous proposons et de vous fournir des recommandations concernant nos services.
• Si vous participez à un tirage au sort, un concours ou une promotion similaire, nous pouvons utiliser les informations que vous fournissez pour administrer ces programmes.

Divulgation d'informations à des tiers

Nous ne divulguons pas les informations reçues de votre part à des tiers.

Exceptions :

• Si nécessaire - conformément à la loi, à la procédure judiciaire, aux procédures judiciaires et/ou sur la base de demandes publiques ou de demandes de agences gouvernementales sur le territoire de la Fédération de Russie - divulguez vos informations personnelles. Nous pouvons également divulguer des informations vous concernant si nous déterminons qu'une telle divulgation est nécessaire ou appropriée à des fins de sécurité, d'application de la loi ou à d'autres fins d'importance publique.
• En cas de réorganisation, de fusion ou de vente, nous pouvons transférer les informations personnelles que nous collectons au tiers successeur concerné.

Protection des informations personnelles

Nous prenons des précautions - notamment administratives, techniques et physiques - pour protéger vos informations personnelles contre la perte, le vol et l'utilisation abusive, ainsi que contre l'accès, la divulgation, l'altération et la destruction non autorisés.

Respecter votre vie privée au niveau de l'entreprise

Pour garantir la sécurité de vos informations personnelles, nous communiquons les normes de confidentialité et de sécurité à nos employés et appliquons strictement les pratiques de confidentialité.

Donné matériel méthodologique est pour référence seulement et fait référence à à un large cercle sujets L'article donne un aperçu des graphiques des fonctions élémentaires de base et discute la question la plus importante – comment construire un graphique correctement et RAPIDEMENT. Pendant l'étude mathématiques supérieures Sans connaître les graphiques des fonctions élémentaires de base, cela sera difficile, il est donc très important de se rappeler à quoi ressemblent les graphiques d'une parabole, d'une hyperbole, d'un sinus, d'un cosinus, etc., et de se souvenir de certaines valeurs de fonction. Nous parlerons également de certaines propriétés des fonctions principales.

Je ne prétends pas à l'exhaustivité et à la rigueur scientifique des matériaux ; l'accent sera mis avant tout sur la pratique - ces choses avec lesquelles on rencontre littéralement à chaque étape, dans n'importe quel sujet de mathématiques supérieures. Des graphiques pour les nuls ? On pourrait le dire.

En raison de nombreuses demandes de lecteurs table des matières cliquable:

De plus, il y a un résumé ultra-court sur le sujet
– maîtrisez 16 types de graphiques en étudiant SIX pages !

Sérieusement, six, même moi j'ai été surpris. Ce résumé contient des graphiques améliorés et est disponible pour une somme modique, vous pouvez voir la version de démonstration. Il est pratique d'imprimer le fichier pour que les graphiques soient toujours à portée de main. Merci de soutenir le projet !

Et commençons tout de suite :

Comment construire correctement les axes de coordonnées ?

En pratique, les tests sont presque toujours complétés par les étudiants dans des cahiers séparés, alignés en carré. Pourquoi avez-vous besoin de marquages ​​à carreaux ? Après tout, le travail peut en principe être effectué sur des feuilles A4. Et la cage est nécessaire uniquement pour une conception précise et de haute qualité des dessins.

Tout dessin d'un graphe de fonctions commence par des axes de coordonnées.

Les dessins peuvent être en deux ou trois dimensions.

Considérons d'abord le cas bidimensionnel cartésien système rectangulaire coordonnées:

1) Dessinez des axes de coordonnées. L'axe s'appelle axe x , et l'axe est axe y . Nous essayons toujours de les dessiner soigné et pas tordu. Les flèches ne doivent pas non plus ressembler à la barbe de Papa Carlo.

2) Étiquetez les axes en majuscules"X" et "Y". N'oubliez pas d'étiqueter les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes : dessine un zéro et deux un. Lors de la réalisation d'un dessin, l'échelle la plus pratique et la plus fréquemment utilisée est : 1 unité = 2 cellules (dessin à gauche) - si possible, respectez-la. Cependant, il arrive de temps en temps que le dessin ne rentre pas sur la feuille du cahier - alors on réduit l'échelle : 1 unité = 1 cellule (dessin à droite). C'est rare, mais il arrive que l'échelle du dessin doive être réduite (ou augmentée) encore plus

Il n'y a PAS BESOIN de « mitrailleuse »…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Car le plan coordonné n’est pas un monument à Descartes, et l’étudiant n’est pas une colombe. Nous mettons zéro Et deux unités le long des axes. Parfois au lieu de unités, il est pratique de « marquer » d'autres valeurs, par exemple « deux » sur l'axe des abscisses et « trois » sur l'axe des ordonnées - et ce système (0, 2 et 3) définira également de manière unique la grille de coordonnées.

Il est préférable d'estimer les dimensions estimées du dessin AVANT de construire le dessin. Ainsi, par exemple, si la tâche nécessite de dessiner un triangle avec des sommets , , , alors il est tout à fait clair que l'échelle populaire de 1 unité = 2 cellules ne fonctionnera pas. Pourquoi? Regardons le point - ici, vous devrez mesurer quinze centimètres vers le bas et, évidemment, le dessin ne tiendra pas (ou à peine) sur une feuille de cahier. Par conséquent, nous sélectionnons immédiatement une échelle plus petite : 1 unité = 1 cellule.

À propos, à propos des centimètres et des cellules du cahier. Est-il vrai que 30 cellules de cahier contiennent 15 centimètres ? Pour vous amuser, mesurez 15 centimètres dans votre cahier avec une règle. En URSS, cela aurait pu être vrai... Il est intéressant de noter que si l'on mesure ces mêmes centimètres horizontalement et verticalement, les résultats (dans les cellules) seront différents ! À proprement parler, les cahiers modernes ne sont pas à carreaux, mais rectangulaires. Cela peut sembler absurde, mais dessiner, par exemple, un cercle avec une boussole dans de telles situations est très gênant. Pour être honnête, dans de tels moments, vous commencez à penser à la justesse du camarade Staline, qui a été envoyé dans des camps pour travailler dans la production, sans parler de l'industrie automobile nationale, des chutes d'avions ou de l'explosion de centrales électriques.

En parlant de qualité, ou brève recommandation pour la papeterie. Aujourd’hui, la plupart des cahiers en vente sont pour le moins de la merde totale. Pour la raison qu'ils sont mouillés, et pas seulement à cause des stylos gel, mais aussi des stylos à bille ! Ils économisent de l'argent sur le papier. Pour l'inscription essais Je recommande d'utiliser des cahiers de l'usine de pâtes et papiers d'Arkhangelsk (18 feuilles, grille) ou « Pyaterochka », bien que ce soit plus cher. Il est conseillé de choisir un stylo gel ; même la recharge gel chinoise la moins chère est bien meilleure qu'un stylo à bille, qui tache ou déchire le papier. Le seul stylo à bille « compétitif » dont je me souvienne est l’Erich Krause. Elle écrit clairement, magnifiquement et de manière cohérente – que ce soit avec un noyau plein ou presque vide.

En plus: Voir un système de coordonnées rectangulaires avec les yeux géométrie analytique couvert dans l'article Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs, informations détaillées sur les quartiers de coordonnées peuvent être trouvés dans le deuxième paragraphe de la leçon Inégalités linéaires.

Cas 3D

C'est presque pareil ici.

1) Dessinez des axes de coordonnées. Standard: application de l'axe – dirigé vers le haut, axe – dirigé vers la droite, axe – dirigé vers le bas vers la gauche strictementà un angle de 45 degrés.

2) Étiquetez les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes. L'échelle le long de l'axe est deux fois plus petite que l'échelle le long des autres axes. Notez également que dans le dessin de droite j'ai utilisé une "encoche" non standard le long de l'axe (cette possibilité a déjà été évoquée plus haut). De mon point de vue, c'est plus précis, plus rapide et plus esthétique - il n'est pas nécessaire de chercher le milieu de la cellule au microscope et de « sculpter » une unité proche de l'origine des coordonnées.

Lorsque vous réalisez un dessin 3D, encore une fois, donnez la priorité à l'échelle
1 unité = 2 cellules (dessin à gauche).

A quoi servent toutes ces règles ? Les règles sont faites pour être enfreintes. C'est ce que je vais faire maintenant. Le fait est que les dessins ultérieurs de l'article seront réalisés par moi dans Excel et que les axes de coordonnées sembleront incorrects du point de vue conception correcte. Je pourrais dessiner tous les graphiques à la main, mais c’est vraiment effrayant de les dessiner car Excel hésite à les dessiner avec beaucoup plus de précision.

Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires

Une fonction linéaire est donnée par l'équation. Le graphique des fonctions linéaires est direct. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points.

Exemple 1

Construisez un graphique de la fonction. Trouvons deux points. Il est avantageux de choisir zéro comme l'un des points.

Si, alors

Prenons un autre point, par exemple le 1.

Si, alors

Lors de l'exécution des tâches, les coordonnées des points sont généralement résumées dans un tableau :

Et les valeurs elles-mêmes sont calculées oralement ou sur un brouillon, une calculatrice.

Deux points ont été trouvés, faisons un dessin :

Lors de la préparation d'un dessin, nous signons toujours les graphiques.

Il serait utile de rappeler des cas particuliers fonction linéaire:

Remarquez comment j'ai placé les signatures, les signatures ne doivent pas permettre de divergences lors de l'étude du dessin. DANS dans ce cas Il était extrêmement indésirable de mettre une signature à côté du point d'intersection des lignes, ou en bas à droite entre les graphiques.

1) Une fonction linéaire de la forme () est appelée proportionnalité directe. Par exemple, . Un graphe de proportionnalité directe passe toujours par l'origine. Ainsi, la construction d'une ligne droite est simplifiée : il suffit de trouver un seul point.

2) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est tracé immédiatement, sans trouver de points. C'est-à-dire que l'entrée doit être comprise comme suit : « le y est toujours égal à –4, pour toute valeur de x ».

3) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est également tracé immédiatement. L'entrée doit être comprise comme suit : « x est toujours, pour toute valeur de y, égal à 1. »

Certains se demanderont pourquoi se souvenir de la 6e année ?! C'est comme ça, c'est peut-être le cas, mais au fil des années de pratique, j'ai rencontré une bonne douzaine d'étudiants qui étaient déconcertés par la tâche de construire un graphique comme ou.

Construire une ligne droite est l’action la plus courante lors de la réalisation de dessins.

La droite est discutée en détail au cours de la géométrie analytique, et ceux que cela intéresse peuvent se référer à l'article Équation d'une droite sur un plan.

Graphique d'une fonction quadratique et cubique, graphique d'un polynôme

Parabole. Calendrier fonction quadratique () représente une parabole. Considérons cas célèbre:

Rappelons quelques propriétés de la fonction.

Donc, la solution de notre équation : – c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. La raison pour laquelle il en est ainsi peut être trouvée dans l'article théorique sur la dérivée et la leçon sur les extrema de la fonction. En attendant, calculons la valeur « Y » correspondante :

Le sommet est donc au point

On retrouve maintenant d'autres points, tout en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il convient de noter que la fonction – n'est même pas, mais néanmoins personne n'a annulé la symétrie de la parabole.

Dans quel ordre trouver les points restants, je pense que cela ressortira clairement du tableau final :

Cet algorithme les constructions peuvent, au sens figuré, être qualifiées de principe de « navette » ou de « va-et-vient » avec Anfisa Chekhova.

Faisons le dessin :

Des graphiques examinés, une autre fonctionnalité utile me vient à l’esprit :

Pour une fonction quadratique () ce qui suit est vrai :

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

Des connaissances approfondies sur la courbe peuvent être obtenues dans la leçon Hyperbole et parabole.

Une parabole cubique est donnée par la fonction. Voici un dessin familier de l'école :

Listons les principales propriétés de la fonction

Graphique d'une fonction

Elle représente l'une des branches d'une parabole. Faisons le dessin :

Principales propriétés de la fonction :

Dans ce cas, l'axe est asymptote verticale pour le graphique d'une hyperbole en .

Ce serait une grossière erreur si, lors de l'élaboration d'un dessin, vous permettiez négligemment au graphique de croiser une asymptote.

De plus, les limites unilatérales nous indiquent que l'hyperbole pas limité d'en haut Et non limité par le bas.

Examinons la fonction à l'infini : , c'est-à-dire que si nous commençons à nous déplacer le long de l'axe vers la gauche (ou la droite) jusqu'à l'infini, alors les « jeux » se dérouleront de manière ordonnée. infiniment proche approchez de zéro et, par conséquent, les branches de l'hyperbole infiniment proche se rapprocher de l'axe.

L'axe est donc asymptote horizontale pour le graphique d’une fonction, si « x » tend vers plus ou moins l’infini.

La fonction est impair, et, par conséquent, l’hyperbole est symétrique par rapport à l’origine. Ce faitévident d'après le dessin, de plus, cela se vérifie facilement analytiquement : .

Le graphique d'une fonction de la forme () représente deux branches d'une hyperbole.

Si , alors l'hyperbole est située dans les premier et troisième quartiers de coordonnées(voir photo ci-dessus).

Si , alors l'hyperbole est située dans les deuxième et quatrième quartiers de coordonnées.

Le modèle indiqué de résidence des hyperboles est facile à analyser du point de vue des transformations géométriques des graphiques.

Exemple 3

Construire la branche droite de l'hyperbole

Nous utilisons la méthode de construction par points, et il est avantageux de sélectionner les valeurs pour qu'elles soient divisibles par un tout :

Faisons le dessin :

Il ne sera pas difficile de construire la branche gauche de l'hyperbole ; l'étrangeté de la fonction sera utile ici. En gros, dans le tableau construction point par point ajoutez mentalement un moins à chaque nombre, mettez les points correspondants et dessinez la deuxième branche.

Détaillé informations géométriques sur la droite considérée peut être trouvée dans l'article Hyperbole et parabole.

Graphique d'une fonction exponentielle

Dans cette section, je considérerai immédiatement la fonction exponentielle, puisque dans les problèmes de mathématiques supérieures dans 95 % des cas c'est l'exponentielle qui apparaît.

Je te rappelle que c'est nombre irrationnel: , cela sera nécessaire lors de la construction d'un graphe, que, en fait, je construirai sans cérémonie. Trois points, c'est peut-être suffisant :

Laissons le graphique de la fonction seul pour l’instant, nous y reviendrons plus tard.

Principales propriétés de la fonction :

Les graphiques de fonctions, etc., se ressemblent fondamentalement.

Je dois dire que le deuxième cas est moins fréquent dans la pratique, mais il se produit, j'ai donc jugé nécessaire de l'inclure dans cet article.

Graphique d'une fonction logarithmique

Considérons une fonction avec logarithme népérien.
Faisons un dessin point par point :

Si vous avez oublié ce qu'est un logarithme, référez-vous à vos manuels scolaires.

Principales propriétés de la fonction :

Domaine de définition:

Plage de valeurs : .

La fonction n'est pas limitée par le haut : , quoique lentement, mais la branche du logarithme monte vers l'infini.
Examinons le comportement de la fonction proche de zéro à droite : . L'axe est donc asymptote verticale pour le graphique d’une fonction lorsque « x » tend vers zéro à partir de la droite.

Il est impératif de connaître et de mémoriser la valeur typique du logarithme: .

Le graphique du logarithme à la base est fondamentalement le même : , , ( logarithme décimal en base 10), etc. En même temps, que base plus grande, plus le graphique sera plat.

Nous n'examinerons pas l'affaire, je ne me souviens plus quand dernière fois J'ai construit un graphique sur cette base. Et le logarithme semble être un invité très rare dans les problèmes de mathématiques supérieures.

À la fin de ce paragraphe, je dirai encore un fait : Fonction exponentielle et fonction logarithmique– ce sont deux fonctions mutuellement inverses. Si vous regardez attentivement le graphique du logarithme, vous pouvez voir qu’il s’agit du même exposant, il est juste situé un peu différemment.

Graphiques de fonctions trigonométriques

Où commencent les tourments trigonométriques à l’école ? Droite. Du sinus

Traçons la fonction

Cette ligne appelé sinusoïde.

Je vous rappelle que « pi » est un nombre irrationnel : , et en trigonométrie il éblouit les yeux.

Principales propriétés de la fonction :

Cette fonction est périodique avec point. Qu'est-ce que ça veut dire? Regardons le segment. À gauche et à droite, exactement la même partie du graphique est répétée à l’infini.

Domaine de définition: , c'est-à-dire que pour toute valeur de « x », il existe une valeur sinusoïdale.

Plage de valeurs : . La fonction est limité: , c'est-à-dire que tous les « jeux » se situent strictement dans le segment .
Cela n’arrive pas : ou, plus précisément, cela arrive, mais ces équations n’ont pas de solution.

Longueur du segment axe de coordonnées se trouve par la formule :

Longueur du segment plan de coordonnées est recherché par la formule :

Pour trouver la longueur d'un segment dans un système de coordonnées tridimensionnelles, utilisez la formule suivante :

Coordonnées du milieu du segment (pour l'axe de coordonnées, seule la première formule est utilisée, pour le plan de coordonnées - les deux premières formules, pour système tridimensionnel coordonnées - les trois formules) sont calculées à l'aide des formules :

Fonction– c'est une correspondance de la forme oui= f(x) entre des quantités variables, grâce auxquelles chaque valeur considérée de certains taille variable x(argument ou variable indépendante) correspond à une certaine valeur d'une autre variable, oui(variable dépendante, parfois cette valeur est simplement appelée la valeur de la fonction). Notez que la fonction suppose qu'une valeur d'argument X une seule valeur de la variable dépendante peut correspondre à. Cependant, la même valeur à peut être obtenu avec différents X.

Domaine de fonction– ce sont toutes les valeurs de la variable indépendante (argument de fonction, généralement ceci X), pour lequel la fonction est définie, c'est-à-dire sa signification existe. La zone de définition est indiquée D(oui). Par en gros Vous connaissez déjà ce concept. Le domaine d'une fonction est également appelé domaine valeurs acceptables, ou ODZ, que vous avez longtemps pu trouver.

Plage de fonctions- c'est tout valeurs possibles variable dépendante de cette fonction. Désigné E(à).

La fonction augmente sur l'intervalle où valeur plus élevée l'argument correspond à la plus grande valeur de la fonction. La fonction diminue sur l'intervalle auquel correspond la plus grande valeur de l'argument valeur inférieure fonctions.

Intervalles de signe constant d'une fonction- ce sont les intervalles de la variable indépendante sur lesquels la variable dépendante conserve son signe positif ou négatif.

Zéros de fonction– ce sont les valeurs de l'argument pour lesquelles la valeur de la fonction est égale à zéro. En ces points, le graphique de fonctions coupe l'axe des abscisses (axe OX). Très souvent, la nécessité de trouver les zéros d’une fonction signifie simplement la nécessité de résoudre l’équation. De plus, la nécessité de trouver des intervalles de constance de signe signifie souvent la nécessité de simplement résoudre l’inégalité.

Fonction oui = f(x) sont appelés même X

Cela signifie que pour tout sens opposés argument, les valeurs de la fonction paire sont égales. Calendrier même fonction toujours symétrique par rapport à l'axe des ordonnées de l'ampli-op.

Fonction oui = f(x) sont appelés impair, s'il est défini sur un ensemble symétrique et pour tout X du domaine de définition, l'égalité est vraie :

Cela signifie que pour toute valeur opposée de l'argument, les valeurs de la fonction impaire sont également opposées. Le graphique d’une fonction impaire est toujours symétrique par rapport à l’origine.

La somme des racines de pair et fonctions impaires(points d'intersection de l'axe des abscisses OX) est toujours égal à zéro, car pour chacun racine positive X devoir racine négative –X.

Il est important de noter : certaines fonctions ne doivent pas nécessairement être paires ou impaires. Il existe de nombreuses fonctions qui ne sont ni paires ni impaires. De telles fonctions sont appelées fonctions vue générale , et pour eux aucune des égalités ou propriétés données ci-dessus n'est satisfaite.

Fonction linéaire est une fonction qui peut être donnée par la formule :

Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite et cas général ressemble à ceci (un exemple est donné pour le cas où k> 0, dans ce cas la fonction est croissante ; pour l'occasion k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graphique d'une fonction quadratique (Parabole)

Le graphique d'une parabole est donné par une fonction quadratique :

Une fonction quadratique, comme toute autre fonction, coupe l'axe OX aux points qui sont ses racines : ( x 1 ; 0) et ( x 2 ; 0). S'il n'y a pas de racines, alors la fonction quadratique ne coupe pas l'axe OX ; s'il n'y a qu'une seule racine, alors à ce stade ( x 0 ; 0) la fonction quadratique touche uniquement l’axe OX, mais ne le coupe pas. La fonction quadratique coupe toujours l'axe OY au point de coordonnées : (0 ; c). Le graphique d'une fonction quadratique (parabole) peut ressembler à ceci (la figure montre des exemples qui n'épuisent pas tous les types de paraboles possibles) :

Dans ce cas:

• si le coefficient un> 0, en fonction oui = hache 2 + bx + c, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ;
• si un < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Les coordonnées du sommet d'une parabole peuvent être calculées à partir de les formules suivantes. X hauts (p- dans les images ci-dessus) paraboles (ou le point auquel le trinôme quadratique atteint sa plus grande ou sa plus petite valeur) :

Hauts Igrecs (q- dans les figures ci-dessus) des paraboles ou le maximum si les branches de la parabole sont dirigées vers le bas ( un < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (un> 0), valeur trinôme quadratique:

Graphiques d'autres fonctions

Fonction d'alimentation

Voici quelques exemples de graphiques de fonctions puissance :

Inversement proportionnel appeler la fonction donné par la formule:

Selon le signe du nombre k planifier à nouveau dépendance proportionnelle peut avoir deux options fondamentales :

Asymptote est une ligne dont le graphique d’une fonction se rapproche infiniment mais ne coupe pas. Asymptotes pour les graphiques proportionnalité inverse montrés dans la figure ci-dessus sont les axes de coordonnées dont le graphique de la fonction se rapproche à l'infini, mais ne les coupe pas.

Fonction exponentielle avec socle UN est une fonction donnée par la formule :

un calendrier fonction exponentielle peut avoir deux options fondamentales (nous donnons également des exemples, voir ci-dessous) :

Fonction logarithmique est une fonction donnée par la formule :

Selon que le nombre est supérieur ou inférieur à un un calendrier fonction logarithmique peut avoir deux options fondamentales :

Graphique d'une fonction oui = |x| ça ressemble à ça :

Graphiques de fonctions périodiques (trigonométriques)

Fonction à = f(x) s'appelle périodique, s'il existe un tel nombre non nul T, Quoi f(x + T) = f(x), pour tout X du domaine de la fonction f(x). Si la fonction f(x) est périodique avec un point T, alors la fonction :

Où: UN, k, b – nombres constants, et k différent de zéro, également périodique avec période T 1, qui est déterminé par la formule :

La plupart des exemples fonctions périodiques- Ce sont des fonctions trigonométriques. Voici les graphiques des principaux fonctions trigonométriques. La figure suivante montre une partie du graphique de la fonction oui= péché x(le graphe entier continue indéfiniment à gauche et à droite), graphe de la fonction oui= péché x appelé sinusoïde:

Graphique d'une fonction oui=cos x appelé cosinus. Ce graphique est présenté dans la figure suivante. Puisque le graphique sinusoïdal continue indéfiniment le long de l’axe OX à gauche et à droite :

Graphique d'une fonction oui= tg x appelé tangentoïde. Ce graphique est présenté dans la figure suivante. Comme les graphiques d'autres fonctions périodiques, ce calendrier se répète indéfiniment le long de l’axe OX à gauche et à droite.

Et enfin, le graphique de la fonction oui=ctg x appelé cotangentoïde. Ce graphique est présenté dans la figure suivante. Comme les graphiques d'autres fonctions périodiques et trigonométriques, ce graphique se répète indéfiniment le long de l'axe OX à gauche et à droite.

La mise en œuvre réussie, assidue et responsable de ces trois points vous permettra de vous présenter au CT excellent résultat, le maximum de ce dont vous êtes capable.

Vous avez trouvé une erreur ?

Si vous pensez avoir trouvé une erreur dans matériel pédagogique, alors écrivez-nous par e-mail. Vous pouvez également signaler un bug à réseau social(). Dans la lettre, indiquez le sujet (physique ou mathématique), le nom ou le numéro du sujet ou du test, le numéro du problème, ou l'endroit dans le texte (page) où, à votre avis, il y a une erreur. Décrivez également quelle est l'erreur suspectée. Votre lettre ne passera pas inaperçue, soit l'erreur sera corrigée, soit on vous expliquera pourquoi ce n'est pas une erreur.