Les fractales sont connues depuis près d’un siècle, sont bien étudiées et ont de nombreuses applications dans la vie. Ce phénomène repose sur une idée très simple : un nombre infini de formes, belles et variées, peuvent être obtenues à partir de conceptions relativement simples en utilisant seulement deux opérations : la copie et la mise à l'échelle.
Ce concept n'a pas de définition stricte. Par conséquent, le mot « fractale » n’est pas un terme mathématique. C'est généralement le nom donné à une figure géométrique qui satisfait une ou plusieurs des propriétés suivantes :
- a une structure complexe à n'importe quel grossissement ;
- est (approximativement) auto-similaire ;
- a une dimension Hausdorff (fractale) fractionnaire, qui est plus grande que la dimension topologique ;
- peut être construit par des procédures récursives.
Au tournant des XIXe et XXe siècles, l’étude des fractales était plus épisodique que systématique, car auparavant les mathématiciens étudiaient principalement les « bons » objets qui pouvaient être étudiés à l’aide de méthodes et de théories générales. En 1872, le mathématicien allemand Karl Weierstrass construisit un exemple fonction continue, qui n'est nulle part différenciable. Cependant, sa construction était entièrement abstraite et difficile à comprendre. C'est pourquoi, en 1904, le Suédois Helge von Koch a proposé une courbe continue qui n'a de tangente nulle part et qui est assez facile à dessiner. Il s’est avéré qu’il possède les propriétés d’une fractale. Une variante de cette courbe est appelée « flocon de neige de Koch ».
Les idées d'autosimilarité des figures ont été reprises par le Français Paul Pierre Lévy, futur mentor de Benoît Mandelbrot. En 1938, son article « Courbes et surfaces planes et spatiales constituées de parties similaires au tout » est publié, qui décrit une autre fractale - la courbe C de Lévy. Toutes ces fractales énumérées ci-dessus peuvent être conditionnellement classées comme une classe de fractales constructives (géométriques).
Une autre classe est celle des fractales dynamiques (algébriques), qui incluent l'ensemble de Mandelbrot. Les premières recherches dans ce sens remontent au début du XXe siècle et sont associées aux noms des mathématiciens français Gaston Julia et Pierre Fatou. En 1918, Julia publie un ouvrage de près de deux cents pages consacré aux itérations de complexes fonctions rationnelles, qui décrit les ensembles de Julia, toute une famille de fractales étroitement liées à l'ensemble de Mandelbrot. Cette œuvre a été primée par l'Académie française, mais elle ne contenait aucune illustration, il était donc impossible d'apprécier la beauté des objets ouverts. Malgré le fait que ce travail ait rendu Julia célèbre parmi les mathématiciens de l'époque, il fut rapidement oublié.
L'attention s'est à nouveau portée sur le travail de Julia et Fatou seulement un demi-siècle plus tard, avec l'avènement des ordinateurs : ce sont eux qui ont rendu visible la richesse et la beauté du monde des fractales. Après tout, Fatou n'a jamais pu regarder les images que nous connaissons aujourd'hui comme des images du décor de Mandelbrot, car quantité requise les calculs ne peuvent pas être effectués manuellement. Benoit Mandelbrot a été le premier à utiliser un ordinateur.
En 1982, le livre de Mandelbrot « Fractal Geometry of Nature » a été publié, dans lequel l'auteur a rassemblé et systématisé presque toutes les informations disponibles à l'époque sur les fractales et les a présentées de manière simple et accessible. Mandelbrot a mis l'accent dans sa présentation non pas sur des formules lourdes et des constructions mathématiques, mais sur l'intuition géométrique des lecteurs. Grâce aux illustrations obtenues à l'aide d'un ordinateur et d'histoires historiques, avec lesquelles l'auteur a habilement dilué la composante scientifique de la monographie, le livre est devenu un best-seller et les fractales sont devenues connues du grand public. Leur succès auprès des non-mathématiciens est en grande partie dû au fait qu'à l'aide de constructions et de formules très simples que même un lycéen peut comprendre, on obtient des images d'une complexité et d'une beauté étonnantes. Lorsque les ordinateurs personnels sont devenus suffisamment puissants, même toute une direction artistique est apparue - la peinture fractale, et presque tous les propriétaires d'ordinateurs pouvaient le faire. Désormais, sur Internet, vous pouvez facilement trouver de nombreux sites consacrés à ce sujet.
Fractale
Fractale (lat. fracturé- écrasé, brisé, brisé) est une figure géométrique qui a la propriété d'autosimilarité, c'est-à-dire composée de plusieurs parties dont chacune est similaire à la figure entière. En mathématiques, les fractales sont comprises comme des ensembles de points en euclidien. espaces qui ont une dimension métrique fractionnaire (au sens de Minkowski ou Hausdorff), ou une dimension métrique différente de la dimension topologique. La fractasme est une science exacte indépendante d'étude et de composition de fractales.
En d’autres termes, les fractales sont des objets géométriques ayant une dimension fractionnaire. Par exemple, la dimension d'une ligne est 1, l'aire est 2 et le volume est 3. Pour une fractale, la valeur de dimension peut être comprise entre 1 et 2 ou entre 2 et 3. Par exemple, la dimension fractale d'un objet froissé la boule de papier mesure environ 2,5. En mathématiques, il existe une formule complexe spéciale pour calculer la dimension des fractales. Les branches des tubes trachéaux, les feuilles des arbres, les veines de la main, une rivière – ce sont des fractales. En termes simples, une fractale est une figure géométrique dont une certaine partie est répétée encore et encore, changeant de taille - c'est le principe d'autosimilarité. Les fractales sont similaires à elles-mêmes, elles se ressemblent à tous les niveaux (c'est-à-dire à n'importe quelle échelle). Il existe de nombreux types de fractales. En principe, on peut affirmer que tout ce qui existe dans le monde réel est une fractale, qu'il s'agisse d'un nuage ou d'une molécule d'oxygène.
Le mot « chaos » fait penser à quelque chose d’imprévisible, mais en réalité, le chaos est tout à fait ordonné et obéit à certaines lois. L’objectif de l’étude du chaos et des fractales est de prédire des modèles qui, à première vue, peuvent sembler imprévisibles et complètement chaotiques.
Le pionnier dans ce domaine de connaissance fut le mathématicien franco-américain, le professeur Benoit B. Mandelbrot. Au milieu des années 1960, il développe la géométrie fractale dont le but est d’analyser les formes brisées, ridées et floues. L'ensemble de Mandelbrot (représenté sur la figure) est la première association qui surgit chez une personne lorsqu'elle entend le mot « fractale ». À propos, Mandelbrot a déterminé que la dimension fractale du littoral anglais est de 1,25.
Les fractales sont de plus en plus utilisées en science. Ils décrivent le monde réel encore mieux que la physique ou les mathématiques traditionnelles. Le mouvement brownien est, par exemple, le mouvement aléatoire et chaotique de particules de poussière en suspension dans l’eau. Ce type de mouvement est peut-être l’aspect de la géométrie fractale qui a l’utilité la plus pratique. Le mouvement brownien aléatoire a une réponse en fréquence qui peut être utilisée pour prédire des phénomènes impliquant de grandes quantités de données et de statistiques. Par exemple, Mandelbrot a prédit les changements dans les prix de la laine en utilisant le mouvement brownien.
Le mot « fractale » peut être utilisé non seulement comme terme mathématique. Dans la presse et la littérature scientifique populaire, une fractale peut être appelée une figure qui possède l'une des propriétés suivantes :
Sa structure est non triviale à toutes les échelles. Ceci contraste avec les figures régulières (comme un cercle, une ellipse, un graphique d'une fonction lisse) : si l'on considère un petit fragment d'une figure régulière à très grande échelle, il ressemblera à un fragment de ligne droite. Pour une fractale, augmenter l’échelle ne conduit pas à une simplification de la structure ; à toutes les échelles, nous verrons une image tout aussi complexe.
Est auto-similaire ou approximativement auto-similaire.
Il a une dimension métrique fractionnaire ou une dimension métrique qui dépasse la dimension topologique.
L’utilisation la plus utile des fractales en technologie informatique est la compression des données fractales. Dans le même temps, les images sont bien mieux compressées qu'avec les méthodes conventionnelles - jusqu'à 600:1. Un autre avantage de la compression fractale est qu'une fois agrandie, il n'y a pas d'effet de pixellisation, ce qui détériore considérablement l'image. De plus, une image fractalement compressée est souvent encore meilleure après agrandissement qu’avant. Les informaticiens savent également que des fractales d’une complexité et d’une beauté infinies peuvent être générées par des formules simples. L'industrie cinématographique utilise largement la technologie graphique fractale pour créer des éléments paysagers réalistes (nuages, rochers et ombres).
L'étude de la turbulence dans les écoulements s'adapte très bien aux fractales. Cela nous permet de mieux comprendre la dynamique des flux complexes. En utilisant des fractales, vous pouvez également simuler des flammes. Les matériaux poreux sont bien représentés sous forme fractale du fait de leur géométrie très complexe. Pour transmettre des données à distance, des antennes aux formes fractales sont utilisées, ce qui réduit considérablement leur taille et leur poids. Les fractales sont utilisées pour décrire la courbure des surfaces. Une surface inégale est caractérisée par une combinaison de deux fractales différentes.
De nombreux objets dans la nature ont des propriétés fractales, par exemple les côtes, les nuages, les cimes des arbres, les flocons de neige, le système circulatoire et le système alvéolaire des humains ou des animaux.
Les fractales, en particulier dans un avion, sont populaires en raison de la combinaison de la beauté et de la facilité de construction à l'aide d'un ordinateur.
Les premiers exemples d'ensembles auto-similaires aux propriétés inhabituelles sont apparus au XIXe siècle (par exemple, la fonction de Bolzano, la fonction de Weierstrass, l'ensemble de Cantor). Le terme « fractale » a été inventé par Benoit Mandelbrot en 1975 et a gagné en popularité avec la publication de son livre « Fractal Geometry of Nature » en 1977.
L'image de gauche montre un exemple simple de la fractale du Pentagone Darer, qui ressemble à un groupe de pentagones écrasés ensemble. En fait, il est formé en utilisant un pentagone comme initiateur et des triangles isocèles, dans lesquels le rapport du plus grand côté au plus petit est exactement égal au soi-disant nombre d'or (1,618033989 ou 1/(2cos72°)) comme un générateur. Ces triangles sont découpés au milieu de chaque pentagone, ce qui donne une forme qui ressemble à 5 petits pentagones collés à un grand. 
La théorie du chaos dit que les systèmes non linéaires complexes sont héréditairement imprévisibles, mais affirme en même temps que la manière d'exprimer de tels systèmes imprévisibles s'avère correcte non pas dans des égalités exactes, mais dans des représentations du comportement du système - dans des graphiques d'attracteurs étranges. , qui ont la forme de fractales. Ainsi, la théorie du chaos, que beaucoup considèrent comme l’imprévisibilité, s’avère être la science de la prévisibilité, même dans les systèmes les plus instables. L'étude des systèmes dynamiques montre que des équations simples peuvent donner lieu à un comportement chaotique dans lequel le système ne revient jamais à un état stable et aucun modèle n'apparaît. Souvent, de tels systèmes se comportent tout à fait normalement jusqu'à une certaine valeur d'un paramètre clé, puis connaissent une transition dans laquelle il existe deux possibilités de développement ultérieur, puis quatre, et enfin un ensemble chaotique de possibilités.
Les schémas de processus se produisant dans des objets techniques ont une structure fractale clairement définie. La structure d'un système technique minimal (ST) implique l'apparition au sein du TS de deux types de processus - le principal et les processus de support, et cette division est conditionnelle et relative. Tout processus peut être le principal par rapport aux processus de support, et n'importe lequel des processus de support peut être considéré comme le principal par rapport à « ses » processus de support. Les cercles du diagramme indiquent des effets physiques qui garantissent l'apparition de processus pour lesquels il n'est pas nécessaire de créer spécialement « vos propres » véhicules. Ces processus sont le résultat d'interactions entre substances, champs, substances et champs. Pour être précis, un effet physique est un véhicule dont nous ne pouvons pas influencer le principe de fonctionnement, et nous ne voulons pas ou n'avons pas la possibilité d'interférer avec sa conception. 
Le déroulement du processus principal représenté dans le diagramme est assuré par l'existence de trois processus supports, qui sont les principaux pour le TS qui les génère. Pour être juste, notons que pour le fonctionnement même d'un TS minimal, trois processus ne suffisent clairement pas, c'est-à-dire Le schéma est très, très exagéré.
Tout est loin d’être aussi simple que le montre le schéma. Utile ( nécessaire à une personne), le processus ne peut pas être réalisé avec une efficacité de 100 %. L'énergie dissipée est dépensée pour créer des processus nocifs - chauffage, vibrations, etc. En conséquence, des processus nuisibles surviennent parallèlement au processus bénéfique. Il n'est pas toujours possible de remplacer un « mauvais » processus par un « bon », il est donc nécessaire d'organiser de nouveaux processus visant à compenser les conséquences néfastes pour le système. Un exemple typique est la nécessité de lutter contre la friction, qui oblige à organiser des systèmes de lubrification ingénieux, à utiliser des matériaux antifriction coûteux ou à consacrer du temps à la lubrification des composants et des pièces ou à leur remplacement périodique.
En raison de l’influence inévitable d’un environnement changeant, il peut être nécessaire de gérer un processus utile. Le contrôle peut être effectué soit à l'aide d'appareils automatiques, soit directement par une personne. Le diagramme de processus est en fait un ensemble de commandes spéciales, c'est-à-dire algorithme. L'essence (description) de chaque commande est la totalité d'un seul processus utile, des processus nuisibles qui l'accompagnent et d'un ensemble de processus de contrôle nécessaires. Dans un tel algorithme, l'ensemble des processus de support est un sous-programme régulier - et ici nous découvrons également une fractale. Créée il y a un quart de siècle, la méthode de R. Koller permet de créer des systèmes avec un ensemble assez limité de seulement 12 couples de fonctions (processus).
Ensembles auto-similaires aux propriétés inhabituelles en mathématiques
À partir de fin XIX siècle, des exemples d'objets auto-similaires avec des propriétés pathologiques du point de vue de l'analyse classique apparaissent en mathématiques. Ceux-ci incluent les éléments suivants :
L’ensemble Cantor est un ensemble parfait et indénombrable, nulle part dense. En modifiant la procédure, on peut également obtenir un ensemble nulle part dense de longueur positive.
le triangle Sierpinski (« nappe ») et le tapis Sierpinski sont des analogues du décor Cantor dans l'avion.
L'éponge de Menger est un analogue de l'éponge de Cantor située dans un espace tridimensionnel ;
exemples de Weierstrass et Van der Waerden d'une fonction continue nulle part différenciable.
La courbe de Koch est une courbe continue sans intersection de longueur infinie qui n'a de tangente en aucun point ;
La courbe Peano est une courbe continue passant par tous les points du carré.
la trajectoire d'une particule brownienne n'est également nulle part différentiable avec une probabilité de 1.
Sa dimension Hausdorff est de deux
Procédure récursive pour obtenir des courbes fractales
Construction de la courbe de Koch
Il existe une procédure récursive simple pour obtenir des courbes fractales sur un plan. Définissons une ligne brisée arbitraire avec un nombre fini de liens, appelée générateur. Ensuite, remplaçons chaque segment par un générateur (plus précisément, une ligne brisée semblable à un générateur). Dans la ligne brisée résultante, nous remplaçons à nouveau chaque segment par un générateur. En continuant vers l'infini, à la limite on obtient une courbe fractale. La figure de droite montre les quatre premières étapes de cette procédure pour la courbe de Koch.
Des exemples de telles courbes sont :
Courbe de dragon,
Courbe de Koch (flocon de neige de Koch),
Courbe de Lewy,
Courbe de Minkowski,
courbe de Hilbert,
Cassé (courbe) d'un dragon (Harter-Haithway Fractal),
Courbe de Peano.
En utilisant une procédure similaire, l’arbre de Pythagore est obtenu.
Les fractales comme points fixes des mappages de compression
La propriété d’autosimilarité peut être exprimée mathématiquement strictement comme suit. Soit des cartographies contractuelles du plan. Considérons le mappage suivant sur l'ensemble de tous les sous-ensembles compacts (fermés et délimités) du plan :
On peut montrer que la cartographie est une cartographie de contraction sur l'ensemble des compacta avec la métrique Hausdorff. Par conséquent, d'après le théorème de Banach, cette cartographie a un point fixe unique. Ce point fixe sera notre fractale.
La procédure récursive d'obtention de courbes fractales décrite ci-dessus est un cas particulier de cette construction. Dans celui-ci, tous les mappages sont des mappages de similarité et - le nombre de liens générateurs.
Pour le triangle de Sierpinski et l'application , , sont des homothéties de centres aux sommets d'un triangle régulier et de coefficient 1/2. Il est facile de voir que le triangle de Sierpinski se transforme en lui-même lorsqu'il est cartographié. 
.
Dans le cas où les mappages sont des transformations de similarité avec des coefficients, la dimension de la fractale (sous certaines conditions techniques supplémentaires) peut être calculée comme solution à l'équation. Ainsi, pour le triangle de Sierpinski on obtient
Par le même théorème de Banach, en partant de n'importe quel ensemble compact et en lui appliquant des itérations de l'application, nous obtenons une séquence d'ensembles compacts convergeant (au sens de la métrique de Hausdorff) vers notre fractale.
Ensemble Julia
Un autre ensemble Julia
Les fractales apparaissent naturellement lors de l’étude des systèmes dynamiques non linéaires. Le cas le plus étudié est celui où un système dynamique est spécifié par des itérations d'un polynôme ou d'une fonction holomorphe d'une variable complexe sur le plan. Les premières études dans ce domaine remontent au début du XXe siècle et sont associées aux noms de Fatou et Julia.
Laisser F(z) - polynôme, z 0 est un nombre complexe. Considérons la séquence suivante : z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …
Nous nous intéressons au comportement de cette séquence telle qu'elle tend nà l'infini. Cette séquence peut :
aspirer vers l'infini,
s'efforcer d'atteindre la limite ultime
présentent un comportement cyclique dans la limite, par exemple : z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …
se comporter de manière chaotique, c’est-à-dire ne démontrer aucun des trois types de comportements mentionnés.
Ensembles de valeurs z 0, pour lequel la séquence présente un type de comportement particulier, ainsi que plusieurs points de bifurcation entre différents types, ont souvent des propriétés fractales.
Ainsi, l'ensemble de Julia est l'ensemble des points de bifurcation du polynôme F(z)=z 2 +c(ou autre fonction similaire), c'est-à-dire ces valeurs z 0 pour lequel le comportement de la séquence ( z n) peut changer radicalement avec des changements arbitrairement petits z 0 .
Une autre option pour obtenir des ensembles fractals consiste à introduire un paramètre dans le polynôme F(z) et prise en compte de l'ensemble des valeurs de paramètres pour lesquelles la séquence ( z n) présente un certain comportement à une heure fixe z 0 . Ainsi, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble de tous , pour lesquels ( z n) Pour F(z)=z 2 +c Et z 0 ne va pas à l’infini.
Un autre exemple célèbre Les piscines de Newton sont de ce genre.
Il est courant de créer de belles images graphiques basées sur des dynamiques complexes en colorant des points plans en fonction du comportement des systèmes dynamiques correspondants. Par exemple, pour compléter l'ensemble de Mandelbrot, vous pouvez colorer les points en fonction de la vitesse d'aspiration ( z n) à l'infini (défini, par exemple, comme le plus petit nombre n, à laquelle | z n| dépassera une grande valeur fixe UN.
Les biomorphes sont des fractales construites sur la base de dynamiques complexes et rappelant les organismes vivants.
Fractales stochastiques
Fractale randomisée basée sur l'ensemble de Julia
Les objets naturels ont souvent une forme fractale. Des fractales stochastiques (aléatoires) peuvent être utilisées pour les modéliser. Exemples de fractales stochastiques :
trajectoire du mouvement brownien dans le plan et dans l'espace ;
limite de la trajectoire du mouvement brownien sur un plan. En 2001, Lawler, Schramm et Werner ont prouvé l'hypothèse de Mandelbrot selon laquelle sa dimension est de 4/3.
Les évolutions de Schramm-Löwner sont des courbes fractales conformes et invariantes qui apparaissent dans les modèles bidimensionnels critiques de mécanique statistique, par exemple dans le modèle d'Ising et la percolation.
différents types de fractales randomisées, c'est-à-dire des fractales obtenues à l'aide d'une procédure récursive dans laquelle un paramètre aléatoire est introduit à chaque étape. Le plasma est un exemple d’utilisation d’une telle fractale en infographie.
Dans la nature
Vue de face de la trachée et des bronches
Arbre bronchique
Réseau de vaisseaux sanguins
Application
Sciences naturelles
En physique, les fractales apparaissent naturellement lors de la modélisation de processus non linéaires, tels que l'écoulement de fluides turbulents, les processus complexes de diffusion-adsorption, les flammes, les nuages, etc. Les fractales sont utilisées lors de la modélisation de matériaux poreux, par exemple en pétrochimie. En biologie, ils sont utilisés pour modéliser des populations et décrire des systèmes d’organes internes (le système vasculaire).
Ingénierie radio
Antennes fractales
L'utilisation de la géométrie fractale dans la conception des antennes a été utilisée pour la première fois par l'ingénieur américain Nathan Cohen, qui vivait alors dans le centre-ville de Boston, où l'installation d'antennes externes sur les bâtiments était interdite. Nathan a découpé une forme de courbe de Koch dans du papier d'aluminium et l'a collée sur un morceau de papier, puis l'a fixée au récepteur. Cohen a fondé sa propre entreprise et a commencé sa production en série.
Informatique
Compression d'images
Article principal : Algorithme de compression fractale
Arbre fractal
Il existe des algorithmes de compression d'images utilisant des fractales. Ils sont basés sur l'idée qu'au lieu de l'image elle-même, on peut stocker une carte de compression pour laquelle cette image (ou une image proche) est un point fixe. Une des variantes de cet algorithme a été utilisée [ source non précisée 895 jours] par Microsoft lors de la publication de son encyclopédie, mais répandu ces algorithmes n'ont pas été reçus.
Infographie
Un autre arbre fractal
Les fractales sont largement utilisées en infographie pour construire des images d’objets naturels, tels que des arbres, des buissons, des paysages de montagne, des surfaces marines, etc. Il existe de nombreux programmes utilisés pour générer des images fractales, voir Fractal Generator (programme).
Réseaux décentralisés
Le système d'attribution d'adresses IP du réseau Netsukuku utilise le principe de compression des informations fractales pour stocker de manière compacte les informations sur les nœuds du réseau. Chaque nœud du réseau Netsukuku ne stocke que 4 Ko d'informations sur l'état des nœuds voisins, tandis que tout nouveau nœud se connecte au réseau commun sans avoir besoin d'une régulation centrale de la distribution des adresses IP, ce qui, par exemple, est typique du Internet. Ainsi, le principe de compression des informations fractales garantit un fonctionnement totalement décentralisé, et donc le plus stable, de l'ensemble du réseau.
Ainsi, une fractale est un ensemble mathématique constitué d'objets similaires à cet ensemble. En d’autres termes, si nous regardons un petit fragment d’une figure fractale sous grossissement, il ressemblera à une plus grande partie de cette figure ou même à la figure dans son ensemble. Toutefois, pour une fractale, augmenter l’échelle ne signifie pas simplifier la structure. Par conséquent, à tous les niveaux, nous verrons une situation tout aussi complexe.
Propriétés d'une fractale
Sur la base de la définition indiquée ci-dessus, une fractale est généralement représentée comme une figure géométrique qui satisfait une ou plusieurs des propriétés suivantes :
Il a une structure complexe quel que soit le grossissement ;
Approximativement auto-similaire (les parties sont similaires au tout) ;
Il a une dimension fractionnaire, qui est plus grande que la dimension topologique ;
Peut être construit de manière récursive.
Les fractales dans le monde qui nous entoure
Malgré le fait que le concept de « fractale » semble extrêmement abstrait, dans la vie, vous pouvez rencontrer de nombreux exemples réels et même pratiques de ce phénomène. De plus, les éléments du monde environnant doivent certainement être pris en compte, car ils permettront de mieux comprendre la fractale et ses caractéristiques.
Par exemple, les antennes pour divers appareils, dont les conceptions sont réalisées selon la méthode fractale, montrent que leur efficacité de fonctionnement est 20 % supérieure à celle des antennes de conception traditionnelle. De plus, l’antenne fractale peut fonctionner simultanément avec d’excellentes performances sur une grande variété de fréquences. C'est pourquoi les téléphones mobiles modernes n'ont pratiquement plus d'antennes externes de l'appareil classique dans leur conception - ces dernières ont été remplacées par des antennes fractales internes, qui sont montées directement sur le circuit imprimé du téléphone.
Les fractales ont reçu beaucoup d’attention avec le développement des technologies de l’information. Actuellement, des algorithmes de compression ont été développés diverses images en utilisant les fractales, il existe des moyens de construire des objets infographie(arbres, surfaces de montagne et de mer) de manière fractale, ainsi qu'un système fractal d'attribution d'adresses IP dans certains réseaux.
En économie, il existe un moyen d’utiliser les fractales lors de l’analyse des cotations boursières et monétaires. Peut-être que le lecteur qui négocie sur le marché Forex a vu l'analyse fractale en action dans un terminal de trading ou même l'a utilisée dans la pratique.
De plus, en plus des objets créés artificiellement avec des propriétés fractales, dans nature naturelle Il peut également y avoir de nombreux objets similaires. De bons exemples de fractales sont les coraux, les coquillages, certaines fleurs et plantes (brocoli, chou-fleur), le système circulatoire et les bronches des humains et des animaux, les motifs formés sur le verre et les cristaux naturels. Ces objets et bien d’autres ont une forme fractale prononcée.
Le plus de brillantes découvertes en science peut changer radicalement la vie humaine. Le vaccin inventé peut sauver des millions de personnes ; au contraire, la création d’armes leur enlève des vies. Plus récemment (à l'échelle évolution humaine), nous avons appris à « apprivoiser » l'électricité - et maintenant nous ne pouvons plus imaginer la vie sans tous ces appareils pratiques qui utilisent l'électricité. Mais il y a aussi des découvertes auxquelles peu de gens attachent de l’importance, même si elles influencent aussi grandement nos vies.
L’une de ces découvertes « discrètes » concerne les fractales. Vous avez probablement déjà entendu ce mot accrocheur, mais savez-vous ce qu'il signifie et combien d'informations intéressantes se cachent dans ce terme ?
Chaque personne a une curiosité naturelle, une envie de comprendre le monde qui l’entoure. Et dans cet effort, une personne essaie d'adhérer à la logique dans ses jugements. En analysant les processus qui se déroulent autour de lui, il essaie de trouver la logique de ce qui se passe et d'en tirer un modèle. Le plus grands esprits sur la planète sont occupés à cette tâche. En gros, les scientifiques recherchent un modèle là où il ne devrait pas y en avoir. Néanmoins, même dans le chaos, il est possible d’établir des liens entre les événements. Et cette connexion est une fractale.
Notre petite fille de quatre ans et demi a désormais cet âge merveilleux où se multiplient les questions « Pourquoi ? dépasse de plusieurs fois le nombre de réponses que les adultes parviennent à donner. Il n’y a pas si longtemps, en examinant une branche soulevée du sol, ma fille a soudainement remarqué que cette branche, avec ses brindilles et ses branches, ressemblait elle-même à un arbre. Et bien sûr, ce qui a suivi était la question habituelle « Pourquoi ? », à laquelle les parents devaient chercher une explication simple et compréhensible pour l’enfant.
La similitude d'une seule branche avec un arbre entier découverte par un enfant est une observation très précise, qui témoigne une fois de plus du principe d'autosimilarité récursive dans la nature. De nombreuses formes organiques et inorganiques dans la nature se forment de la même manière. Les nuages, les coquillages, la « maison » d’un escargot, l’écorce et la cime des arbres, le système circulatoire, etc. : les formes aléatoires de tous ces objets peuvent être décrites par un algorithme fractal.
⇡ Benoit Mandelbrot : père de la géométrie fractale
Le mot « fractale » lui-même est apparu grâce au brillant scientifique Benoit B. Mandelbrot.
Il a lui-même inventé le terme dans les années 1970, empruntant le mot fractus au latin, où il signifie littéralement « cassé » ou « écrasé ». Qu'est-ce que c'est? Aujourd’hui, le mot « fractale » désigne le plus souvent une représentation graphique d’une structure qui, à plus grande échelle, lui ressemble.
Les bases mathématiques de l'émergence de la théorie des fractales ont été posées bien des années avant la naissance de Benoit Mandelbrot, mais elles n'ont pu se développer qu'avec l'avènement des appareils informatiques. Au début de sa carrière scientifique, Benoit a travaillé dans centre de recherche Société IBM. A cette époque, les employés du centre travaillaient à la transmission de données à distance. Au cours de leurs recherches, les scientifiques ont été confrontés au problème des pertes importantes résultant des interférences sonores. Benoit a fait face à une situation difficile et très tâche importante— comprendre comment prédire l'apparition d'interférences sonores dans les circuits électroniques lorsque méthode statistique s'avère inefficace.
En parcourant les résultats des mesures de bruit, Mandelbrot a remarqué une tendance étrange : les graphiques de bruit à différentes échelles se ressemblaient. Une tendance identique a été observée, qu’il s’agisse d’un graphique de bruit couvrant une journée, une semaine ou une heure. Il a fallu changer l’échelle du graphique et l’image s’est répétée à chaque fois.
Au cours de sa vie, Benoît Mandelbrot a répété à plusieurs reprises qu'il n'étudiait pas les formules, mais qu'il jouait simplement avec les images. Cet homme pensait de manière très figurative et transposait tout problème algébrique dans le domaine de la géométrie, où, selon lui, la bonne réponse est toujours évidente.
Il n’est pas surprenant que ce soit un homme doté d’une imagination spatiale si riche qui soit devenu le père de la géométrie fractale. Après tout, la prise de conscience de l'essence des fractales survient précisément lorsque vous commencez à étudier les dessins et à réfléchir à la signification d'étranges motifs de tourbillons.
Un motif fractal ne comporte pas d’éléments identiques, mais est similaire à toutes les échelles. Construire une telle image avec haut degré Les détails manuels étaient auparavant tout simplement impossibles ; ils nécessitaient une énorme quantité de calculs. Par exemple, le mathématicien français Pierre Joseph Louis Fatou a décrit cet ensemble plus de soixante-dix ans avant la découverte de Benoît Mandelbrot. Si nous parlons des principes d'autosimilarité, ils ont été mentionnés dans les travaux de Leibniz et Georg Cantor.
L'un des premiers dessins fractals était une interprétation graphique de l'ensemble de Mandelbrot, né grâce aux recherches de Gaston Maurice Julia.
Gaston Julia (portant toujours un masque - blessure de la Première Guerre mondiale)
Ce mathématicien français se demandait à quoi ressemblerait un ensemble s'il était construit à partir d'une formule simple itérée dans une boucle. retour. Si nous l'expliquons « sur nos doigts », cela signifie que pour un nombre spécifique, nous trouvons une nouvelle valeur à l'aide de la formule, après quoi nous la substituons à nouveau dans la formule et obtenons une autre valeur. Le résultat est une grande séquence de nombres.
Pour obtenir une image complète d'un tel ensemble, vous devez effectuer un grand nombre de calculs - des centaines, des milliers, des millions. Il était tout simplement impossible de le faire manuellement. Mais lorsque de puissants appareils informatiques sont devenus disponibles pour les mathématiciens, ils ont pu jeter un nouveau regard sur des formules et des expressions qui les intéressaient depuis longtemps. Mandelbrot fut le premier à utiliser un ordinateur pour calculer une fractale classique. Après avoir traité une séquence composée d’un grand nombre de valeurs, Benoit a tracé les résultats sur un graphique. C'est ce qu'il a eu.
Par la suite, cette image a été colorée (par exemple, l'une des méthodes de coloration est le nombre d'itérations) et est devenue l'une des images les plus populaires jamais créées par l'homme.
Comme il est dit dicton ancien, attribué à Héraclite d’Éphèse : « Vous ne pouvez pas entrer deux fois dans le même fleuve. » Il est parfaitement adapté pour interpréter la géométrie des fractales. Peu importe le degré de détail avec lequel nous examinons une image fractale, nous verrons toujours un motif similaire.
Ceux qui souhaitent voir à quoi ressemblerait une image de l’espace de Mandelbrot après plusieurs zooms peuvent le faire en téléchargeant le GIF animé.
⇡ Lauren Carpenter : l'art créé par la nature
La théorie des fractales a rapidement trouvé une application pratique. Puisqu’il est étroitement lié à la visualisation d’images auto-similaires, il n’est pas surprenant que les premiers à adopter des algorithmes et des principes de construction formes inhabituelles, il y avait des artistes.
Le futur co-fondateur du légendaire studio Pixar, Loren C. Carpenter, a commencé à travailler en 1967 chez Boeing Computer Services, qui était l'une des divisions de la célèbre société développant de nouveaux avions.
En 1977, il crée des présentations avec des prototypes de modèles volants. Les responsabilités de Loren comprenaient le développement d'images de l'avion en cours de conception. Il devait créer des images de nouveaux modèles, montrant les futurs avions sous différents angles. À un moment donné, le futur fondateur des studios d'animation Pixar a eu l'idée créative d'utiliser une image de montagnes comme arrière-plan. Aujourd'hui, n'importe quel écolier peut résoudre un tel problème, mais à la fin des années 70 du siècle dernier, les ordinateurs ne pouvaient pas faire face à une telle tâche. calculs complexes— il n'y avait pas d'éditeurs graphiques, encore moins d'applications pour les graphiques 3D. En 1978, Lauren a accidentellement vu le livre de Benoit Mandelbrot, Fractals : Form, Chance and Dimension, dans un magasin. Ce qui a retenu son attention dans ce livre, c'est que Benoit a donné de nombreux exemples de formes fractales dans la vie réelle et a soutenu qu'elles pouvaient être décrites par une expression mathématique.
Cette analogie n’a pas été choisie par le mathématicien par hasard. Le fait est que dès qu’il a publié ses recherches, il a dû faire face à toute une série de critiques. La principale chose que lui reprochaient ses collègues était l'inutilité de la théorie en cours d'élaboration. « Oui, dirent-ils, ce sont de belles images, mais rien de plus. La théorie des fractales n’a aucune valeur pratique. Il y avait aussi ceux qui croyaient généralement que les modèles fractals étaient simplement un sous-produit du travail de « machines diaboliques », qui, à la fin des années 70, semblaient à beaucoup quelque chose de trop complexe et inexploré pour qu'on leur fasse entièrement confiance. Mandelbrot a essayé de trouver des applications évidentes à la théorie fractale, mais dans l’ensemble, il n’en avait pas besoin. Au cours des 25 années suivantes, les adeptes de Benoit Mandelbrot ont prouvé les énormes avantages d'une telle « curiosité mathématique », et Lauren Carpenter a été l'une des premières à mettre en pratique la méthode fractale.
Après avoir étudié le livre, le futur animateur a étudié sérieusement les principes de la géométrie fractale et a commencé à chercher un moyen de l'implémenter en infographie. En seulement trois jours de travail, Lauren a pu restituer une image réaliste système de montagne sur votre ordinateur. En d’autres termes, il a utilisé des formules pour peindre un paysage de montagne parfaitement reconnaissable.
Le principe que Lauren a utilisé pour atteindre son objectif était très simple. Cela consistait à diviser une figure géométrique plus grande en petits éléments, et ceux-ci, à leur tour, étaient divisés en figures similaires de plus petite taille.
En utilisant des triangles plus grands, Carpenter les a divisés en quatre plus petits, puis a répété ce processus encore et encore jusqu'à obtenir un paysage de montagne réaliste. Ainsi, il a réussi à devenir le premier artiste à utiliser un algorithme fractal pour construire des images en infographie. Dès que l’œuvre a été connue, des passionnés du monde entier ont repris l’idée et ont commencé à utiliser l’algorithme fractal pour imiter des formes naturelles réalistes.
Une des premières visualisations 3D utilisant un algorithme fractal
Quelques années plus tard, Lauren Carpenter a pu appliquer ses développements à bien plus encore. projet à grande échelle. L'animateur a créé à partir d'eux une démo de deux minutes de Vol Libre, qui a été diffusée sur Siggraph en 1980. Cette vidéo a choqué tous ceux qui l'ont vue et Lauren a reçu une invitation de Lucasfilm.
L'animation a été rendue sur un ordinateur VAX-11/780 de Digital Equipment Corporation avec une vitesse d'horloge de cinq mégahertz, et chaque image a pris environ une demi-heure à rendre.
Travaillant pour Lucasfilm Limited, l'animateur a créé des paysages 3D en utilisant le même schéma pour le deuxième long métrage de la saga Star Trek. Dans La Colère de Khan, Carpenter a pu créer une planète entière en utilisant le même principe de modélisation de surface fractale.
Actuellement, toutes les applications populaires de création de paysages 3D utilisent un principe similaire pour générer des objets naturels. Terragen, Bryce, Vue et d'autres éditeurs 3D s'appuient sur un algorithme fractal pour modéliser les surfaces et les textures.
⇡ Antennes fractales : moins c'est plus
Au cours du dernier demi-siècle, la vie a rapidement commencé à changer. La plupart d'entre nous acceptent les réalisations technologies modernes pour acquis. On s’habitue très vite à tout ce qui rend la vie plus confortable. Il est rare que quelqu’un pose la question « D’où cela vient ? » et "Comment ça marche?" Un micro-ondes réchauffe le petit-déjeuner - super, un smartphone vous donne la possibilité de parler à une autre personne - super. Cela nous semble une possibilité évidente.
Mais la vie aurait pu être complètement différente si une personne n'avait pas cherché une explication aux événements qui se déroulaient. Prenez les téléphones portables, par exemple. Vous vous souvenez des antennes rétractables sur les premiers modèles ? Ils ont interféré, ont augmenté la taille de l'appareil et, à la fin, se sont souvent cassés. Nous pensons qu’ils sont tombés dans l’oubli pour toujours, et cela s’explique en partie par… les fractales.
Les motifs fractals fascinent par leurs motifs. Ils ressemblent définitivement aux images objets spatiaux- nébuleuses, amas de galaxies, etc. Il est donc tout à fait naturel que, lorsque Mandelbrot ait exprimé sa théorie des fractales, ses recherches aient suscité un intérêt accru parmi ceux qui étudiaient l'astronomie. L'un de ces amateurs nommé Nathan Cohen, après avoir assisté à une conférence de Benoît Mandelbrot à Budapest, s'est inspiré de l'idée d'une application pratique des connaissances acquises. Certes, il l'a fait intuitivement et le hasard a joué un rôle important dans sa découverte. En tant que radioamateur, Nathan cherchait à créer une antenne ayant la sensibilité la plus élevée possible.
La seule façon connue à l’époque d’améliorer les paramètres de l’antenne était d’augmenter ses dimensions géométriques. Cependant, le propriétaire de la propriété du centre-ville de Boston que Nathan louait était catégoriquement contre l'installation de gros appareils sur le toit. Puis Nathan a commencé à expérimenter diverses formes antennes, essayant d'obtenir résultat maximum avec des dimensions minimales. Inspiré par l'idée des formes fractales, Cohen, comme on dit, a créé au hasard l'une des fractales les plus célèbres à partir de fil de fer - le "flocon de neige de Koch". Le mathématicien suédois Helge von Koch a proposé cette courbe en 1904. Il est obtenu en divisant un segment en trois parties et en remplaçant le segment médian par un triangle équilatéral sans côté coïncidant avec ce segment. La définition est un peu difficile à comprendre, mais sur la figure tout est clair et simple.
Il existe également d'autres variantes de la courbe de Koch, mais forme approximative la courbe reste similaire
Lorsque Nathan a connecté l'antenne au récepteur radio, il a été très surpris : la sensibilité a considérablement augmenté. Après une série d'expériences, le futur professeur de l'Université de Boston s'est rendu compte qu'une antenne réalisée selon un motif fractal a un rendement élevé et couvre une gamme de fréquences beaucoup plus large par rapport à solutions classiques. De plus, la forme de l'antenne en forme de courbe fractale permet de réduire considérablement les dimensions géométriques. Nathan Cohen a même proposé un théorème prouvant que pour créer une antenne à large bande, il suffit de lui donner la forme d'une courbe fractale auto-similaire.
L'auteur a breveté sa découverte et a fondé une entreprise pour le développement et la conception d'antennes fractales Fractal Antenna Systems, estimant à juste titre qu'à l'avenir, grâce à sa découverte, les téléphones portables pourront se débarrasser des antennes encombrantes et devenir plus compacts.
En principe, c'est ce qui s'est passé. Certes, Nathan est encore aujourd'hui engagé dans une bataille juridique avec de grandes entreprises qui utilisent illégalement sa découverte pour produire des appareils de communication compacts. Quelques fabricants célèbres appareils mobiles, comme Motorola, ont déjà conclu un accord de paix avec l'inventeur de l'antenne fractale.
⇡ Dimensions fractales : vous ne pouvez pas le comprendre avec votre esprit
Benoit a emprunté cette question au célèbre scientifique américain Edward Kasner.
Le dernier, comme beaucoup d'autres mathématiciens célèbres, aimait communiquer avec les enfants, leur poser des questions et recevoir des réponses inattendues. Cela a parfois conduit à des conséquences surprenantes. Par exemple, le neveu d’Edward Kasner, âgé de neuf ans, a inventé le mot désormais bien connu « googol », signifiant un suivi de cent zéros. Mais revenons aux fractales. Le mathématicien américain aimait poser la question de savoir quelle est la longueur du littoral américain. Après avoir écouté l'opinion de son interlocuteur, Edward lui-même a donné la bonne réponse. Si vous mesurez la longueur sur une carte à l'aide de segments brisés, le résultat sera inexact, car le littoral présente un grand nombre d'irrégularités. Que se passe-t-il si nous mesurons aussi précisément que possible ? Vous devrez prendre en compte la longueur de chaque irrégularité - vous devrez mesurer chaque cap, chaque baie, rocher, la longueur d'un rebord rocheux, une pierre dessus, un grain de sable, un atome, etc. Puisque le nombre d’irrégularités tend vers l’infini, la longueur mesurée du trait de côte augmentera jusqu’à l’infini lors de la mesure de chaque nouvelle irrégularité.
Plus la mesure est petite lors de la mesure, plus la longueur mesurée est longue
Fait intéressant, suivant les instructions d'Edward, les enfants parlaient beaucoup plus vite que les adultes. la bonne décision, alors que ce dernier a eu du mal à accepter une réponse aussi incroyable.
En utilisant ce problème comme exemple, Mandelbrot a proposé d'utiliser une nouvelle approche des mesures. Étant donné que le littoral est proche d’une courbe fractale, cela signifie qu’un paramètre caractéristique peut lui être appliqué : la dimension dite fractale.
Ce qu'est une dimension régulière est clair pour tout le monde. Si la dimension est égale à un, on obtient une ligne droite, si deux - silhouette plate, trois volumes. Cependant, cette compréhension de la dimension en mathématiques ne fonctionne pas avec les courbes fractales, où ce paramètre a une valeur fractionnaire. La dimension fractale en mathématiques peut être classiquement considérée comme une « rugosité ». Plus la rugosité de la courbe est élevée, plus sa dimension fractale est grande. Une courbe qui, selon Mandelbrot, a une dimension fractale supérieure à sa dimension topologique a une longueur approximative qui ne dépend pas du nombre de dimensions.
Actuellement, les scientifiques trouvent de plus en plus de domaines pour appliquer la théorie des fractales. Grâce aux fractales, vous pouvez analyser les fluctuations des cours boursiers, étudier toutes sortes de processus naturels, comme les fluctuations du nombre d'espèces, ou encore simuler la dynamique des flux. Les algorithmes fractals peuvent être utilisés pour la compression de données, comme la compression d'images. Et d’ailleurs, pour obtenir une belle fractale sur votre écran d’ordinateur, vous n’avez pas besoin d’avoir un doctorat.
⇡ Fractale dans le navigateur
L'un des moyens les plus simples d'obtenir un motif fractal est peut-être d'utiliser un éditeur vectoriel en ligne du jeune programmeur talentueux Toby Schachman. Les outils de cet éditeur graphique simple reposent sur le même principe d'autosimilarité.
À votre disposition, il n'y a que deux formes les plus simples : un quadrilatère et un cercle. Vous pouvez les ajouter au canevas, les redimensionner (pour redimensionner le long de l'un des axes, maintenez la touche Maj enfoncée) et les faire pivoter. Se chevauchant selon le principe des opérations d'addition booléennes, ces éléments les plus simples forment de nouvelles formes moins triviales. Ces nouvelles formes peuvent ensuite être ajoutées au projet, et le programme répétera la génération de ces images à l'infini. A n'importe quelle étape du travail sur une fractale, vous pouvez revenir à n'importe quel composant forme complexe et modifiez sa position et sa géométrie. Une activité amusante, surtout si l’on considère que le seul outil dont vous avez besoin pour créer est un navigateur. Si vous ne comprenez pas le principe de travailler avec cet éditeur vectoriel récursif, nous vous conseillons de regarder la vidéo sur le site officiel du projet, qui montre en détail l'ensemble du processus de création d'une fractale.
⇡ XaoS : des fractales pour tous les goûts
De nombreux éditeurs graphiques disposent d'outils intégrés pour créer des modèles fractals. Cependant, ces outils sont généralement secondaires et ne permettent pas d’affiner le motif fractal généré. Dans les cas où il est nécessaire de construire une fractale mathématiquement précise, l'éditeur multiplateforme XaoS viendra à la rescousse. Ce programme permet non seulement de construire une image auto-similaire, mais également d'effectuer diverses manipulations avec celle-ci. Par exemple, en temps réel, vous pouvez « promener » le long d’une fractale en changeant son échelle. Un mouvement animé le long d'une fractale peut être enregistré sous forme de fichier XAF puis reproduit dans le programme lui-même.
XaoS peut charger un ensemble aléatoire de paramètres et également utiliser divers filtres de post-traitement d'image - ajouter un effet de mouvement flou, adoucir les transitions nettes entre les points fractals, simuler une image 3D, etc.
⇡ Fractal Zoomer : générateur de fractales compact
Par rapport aux autres générateurs d’images fractales, il présente plusieurs avantages. Premièrement, il est de très petite taille et ne nécessite aucune installation. Deuxièmement, il implémente la possibilité de déterminer la palette de couleurs d'une image. Vous pouvez choisir des nuances dans modèles de couleurs RVB, CMJN, HVS et HSL.
Il est également très pratique d'utiliser l'option de sélection aléatoire des nuances de couleurs et la fonction d'inversion de toutes les couleurs de l'image. Pour ajuster la couleur, il existe une fonction de sélection cyclique des nuances - lorsque vous activez le mode approprié, le programme anime l'image en changeant cycliquement les couleurs.
Zoom fractal peut visualiser 85 fonctions fractales différentes et les formules sont clairement affichées dans le menu du programme. Il existe des filtres pour le post-traitement des images dans le programme, bien que petite quantité. Chaque filtre attribué peut être annulé à tout moment.
⇡ Mandelbulb3D : éditeur de fractales 3D
Lorsque le terme « fractale » est utilisé, il fait le plus souvent référence à une image plate et bidimensionnelle. Cependant, la géométrie fractale dépasse la dimension 2D. Dans la nature, vous pouvez trouver à la fois des exemples de formes fractales plates, par exemple la géométrie de la foudre, et des formes tridimensionnelles. chiffres volumétriques. Les surfaces fractales peuvent être tridimensionnelles, et l'une des illustrations très claires des fractales 3D dans la vie quotidienne- une tête de chou. La meilleure façon de voir les fractales est peut-être dans la variété Romanesco, un hybride de chou-fleur et de brocoli.
Vous pouvez aussi manger cette fractale
Le programme Mandelbulb3D peut créer des objets tridimensionnels ayant une forme similaire. Pour obtenir une surface 3D à l'aide d'un algorithme fractal, les auteurs cette demande, Daniel White et Paul Nylander, ont converti l'ensemble de Mandelbrot en coordonnées sphériques. Le programme Mandelbulb3D qu'ils ont créé est un véritable éditeur tridimensionnel qui modélise les surfaces fractales différentes formes. Puisque nous observons souvent des motifs fractals dans la nature, un objet tridimensionnel fractal créé artificiellement semble incroyablement réaliste et même « vivant ».
Cela peut ressembler à une plante, à un animal étrange, à une planète ou à autre chose. Cet effet est renforcé par un algorithme de rendu avancé, qui permet d'obtenir des reflets réalistes, de calculer la transparence et les ombres, de simuler l'effet de profondeur de champ, etc. Mandelbulb3D dispose d'un grand nombre de paramètres et d'options de rendu. Vous pouvez contrôler les nuances des sources lumineuses, sélectionner l'arrière-plan et le niveau de détail de l'objet simulé.
L'éditeur de fractales Incendia prend en charge le double lissage d'image, contient une bibliothèque de cinquante fractales tridimensionnelles différentes et dispose d'un module séparé pour l'édition des formes de base.
L'application utilise des scripts fractals, avec lesquels vous pouvez décrire indépendamment de nouveaux types de conceptions fractales. Incendia dispose d'éditeurs de textures et de matériaux, et le moteur de rendu vous permet d'utiliser des effets de brouillard volumétrique et divers shaders. Le programme implémente l'option de sauvegarde d'un tampon lors du rendu à long terme et prend en charge la création d'animations.
Incendia vous permet d'exporter un modèle fractal vers des formats graphiques 3D populaires - OBJ et STL. Incendia inclut un petit utilitaire appelé Geographica - outil spécial pour configurer l'export d'une surface fractale vers un modèle 3D. À l'aide de cet utilitaire, vous pouvez déterminer la résolution d'une surface 3D et spécifier le nombre d'itérations fractales. Les modèles exportés peuvent être utilisés dans des projets 3D lorsque vous travaillez avec des éditeurs 3D tels que Blender, 3ds max et autres.
DANS dernièrement les travaux sur le projet Incendia ont quelque peu ralenti. Sur à l'heure actuelle l'auteur recherche des sponsors pour l'aider à développer le programme.
Si vous n’avez pas assez d’imagination pour dessiner une belle fractale tridimensionnelle dans ce programme, cela n’a pas d’importance. Utilisez la bibliothèque de paramètres située dans le dossier INCENDIA_EX\parameters. À l'aide des fichiers PAR, vous pouvez trouver rapidement les formes fractales les plus inhabituelles, y compris les formes animées.
⇡ Aural : comment chantent les fractales
Nous ne parlons généralement pas de projets qui viennent juste d’être lancés, mais dans dans ce cas il faut faire une exception, c'est une application très inhabituelle. Le projet, appelé Aural, a été inventé par la même personne qui a créé Incendia. Cependant, cette fois, le programme ne visualise pas l'ensemble fractal, mais le sonne, le transformant en musique électronique. L’idée est très intéressante, surtout compte tenu des propriétés inhabituelles des fractales. Aural est un éditeur audio qui génère des mélodies à l'aide d'algorithmes fractaux, c'est-à-dire essentiellement un synthétiseur-séquenceur audio.
La séquence de sons produite par ce programme est inhabituelle et... belle. Il pourrait bien être utile pour écrire des rythmes modernes et, nous semble-t-il, est particulièrement bien adapté à la création de bandes sonores pour les économiseurs d'écran de programmes de télévision et de radio, ainsi que de « boucles » de musique de fond pour les jeux informatiques. Ramiro n'a pas encore fourni de démo de son programme, mais promet que lorsqu'il le fera, pour travailler avec Aural, vous n'aurez pas besoin d'étudier la théorie fractale - il vous suffira de jouer avec les paramètres de l'algorithme de génération d'une séquence de notes. Écoutez le son des fractales, et.
Fractales : pause musicale
En fait, les fractales peuvent vous aider à écrire de la musique même sans logiciel. Mais cela ne peut être fait que par quelqu'un qui est vraiment imprégné de l'idée d'harmonie naturelle et qui ne s'est pas transformé en un malheureux « nerd ». Il est logique de prendre l'exemple d'un musicien nommé Jonathan Coulton, qui écrit, entre autres, des compositions pour le magazine Popular Science. Et contrairement à d'autres artistes, Colton publie toutes ses œuvres sous une licence Creative Commons Attribution-Non commerciale, qui (lorsqu'elle est utilisée à des fins non commerciales) prévoit la copie gratuite, la distribution, le transfert de l'œuvre à d'autres, ainsi que sa modification ( création d'œuvres dérivées) afin de l'adapter à vos tâches.
Jonathan Colton, bien sûr, a une chanson sur les fractales.
⇡Conclusion
Dans tout ce qui nous entoure, nous voyons souvent le chaos, mais en réalité ce n'est pas un accident, mais forme parfaite, quelles fractales nous aident à discerner. La nature est le meilleur architecte, constructeur et ingénieur idéal. Il est structuré de manière très logique, et si nous ne voyons pas de tendance quelque part, cela signifie que nous devons le rechercher à une autre échelle. Les gens le comprennent de mieux en mieux, essayant d’imiter les formes naturelles de plusieurs manières. Les ingénieurs conçoivent des systèmes de haut-parleurs en forme de coque, créent des antennes en forme de flocon de neige, etc. Nous sommes sûrs que les fractales contiennent encore de nombreux secrets, et que beaucoup d’entre eux n’ont pas encore été découverts par l’homme.
Établissement d'enseignement budgétaire municipal
"Moyenne Siverskaya lycée N°3"
en mathématiques.
Fait le travail
élève de 8e-1re année
Emeline Pavel
Superviseur scientifique
professeur de mathématiques
Tupitsyna Natalia Alekseevna
Village Siverski
2014
Les mathématiques sont toutes imprégnées de beauté et d'harmonie,
Il vous suffit de voir cette beauté.
B.Mandelbrot
Introduction__________________________________________3-4pp.
Chapitre 1.histoire de l'émergence des fractales._______5-6pp.
Chapitre 2. Classification des fractales ______6-10pp.
Fractales géométriques
Fractales algébriques
Fractales stochastiques
Chapitre 3. "Géométrie fractale de la nature"______11-13pp.
Chapitre 4. Application des fractales_______________13-15pp.
Chapitre 5 Travaux pratiques__________________16-24pp.
Conclusion_________________________________25.page
Liste de références et ressources Internet________26 pages.
Introduction
Mathématiques,
si vous le regardez correctement,
reflète non seulement la vérité,
mais aussi d'une beauté incomparable.
Bertrand Russel
Le mot « fractal » est quelque chose dont beaucoup de gens parlent ces jours-ci, des scientifiques aux lycéens. Il apparaît sur les couvertures de nombreux manuels de mathématiques, revues scientifiques et boîtiers informatiques. logiciel. Les images couleur des fractales peuvent être trouvées partout aujourd'hui : des cartes postales, des T-shirts aux images sur le bureau d'un ordinateur personnel. Alors, quelles sont ces formes colorées que l’on voit autour ?
Mathématiques – science ancienne. Il semblait à la plupart des gens que la géométrie dans la nature se limitait à de tels chiffres simples, comme une ligne, un cercle, un polygone, une sphère, etc. Il s’avère que de nombreux systèmes naturels sont si complexes qu’il semble inutile d’utiliser uniquement des objets familiers de géométrie ordinaire pour les modéliser. Comment, par exemple, construire un modèle géométrique d’une chaîne de montagnes ou d’une cime d’arbre ? Comment décrire la diversité de la diversité biologique que l’on observe dans le monde végétal et animal ? Comment imaginer la complexité du système circulatoire, composé de nombreux capillaires et vaisseaux et distribuant le sang à chaque cellule corps humain? Imaginez la structure des poumons et des reins, rappelant la structure des arbres à cime ramifiée ?
Les fractales sont des outils appropriés pour explorer ces questions. Souvent, ce que nous voyons dans la nature nous intrigue par la répétition sans fin du même motif, augmenté ou diminué plusieurs fois. Par exemple, un arbre a des branches. Sur ces branches se trouvent des branches plus petites, etc. Théoriquement, l’élément de branchement se répète indéfiniment, devenant de plus en plus petit. La même chose peut être observée en regardant une photographie d’un terrain montagneux. Essayez de zoomer un peu plus près de la chaîne de montagnes : vous verrez à nouveau les montagnes. C'est ainsi que se manifeste la propriété d'autosimilarité caractéristique des fractales.
L'étude des fractales ouvre de merveilleuses possibilités, comme dans l'étude nombre infini applications et dans le domaine des mathématiques. Les applications des fractales sont très étendues ! Après tout, ces objets sont si beaux qu'ils sont utilisés par des designers, des artistes, à l'aide d'eux de nombreux éléments sont dessinés graphiquement : arbres, nuages, montagnes, etc. Mais les fractales sont même utilisées comme antennes dans de nombreux téléphones portables.
Pour de nombreux chaologistes (scientifiques qui étudient les fractales et le chaos), ce n’est pas facile. nouvelle zone les connaissances qui combinent mathématiques, physique théorique, art et technologie informatique sont une révolution. C'est la découverte d'un nouveau type de géométrie, la géométrie qui décrit le monde qui nous entoure et que l'on peut voir non seulement dans les manuels scolaires, mais aussi dans la nature et partout dans l'univers sans limites..
Dans mon travail, j'ai également décidé de « toucher » le monde de la beauté et j'ai déterminé par moi-même...
But du travail: créer des objets dont les images sont très similaires aux images naturelles.
Méthodes de recherche: analyse comparative, synthèse, modélisation.
Tâches:
connaissance du concept, de l'histoire d'origine et des recherches de B. Mandelbrot,
G. Koch, V. Sierpinsky et autres ;
connaissance de divers types d'ensembles fractals ;
étudier la littérature scientifique populaire sur ce problème, connaissance de
hypothèses scientifiques;
trouver la confirmation de la théorie de la fractalité du monde environnant ;
étudier l'utilisation des fractales dans d'autres sciences et dans la pratique ;
mener une expérience pour créer vos propres images fractales.
La question fondamentale du travail :
Pour montrer que les mathématiques ne sont pas une matière aride et sans âme, elles peuvent exprimer le monde spirituel d'une personne individuellement et de la société dans son ensemble.
Sujet de recherche: Géométrie fractale.
Objet d'étude: les fractales en mathématiques et dans le monde réel.
Hypothèse: Tout ce qui existe dans le monde réel est une fractale.
Méthodes de recherche: analytique, recherche.
Pertinence Le thème énoncé est déterminé avant tout par le sujet de recherche, qui est la géométrie fractale.
Résultats attendus : Au cours de mon travail, je pourrai élargir mes connaissances dans le domaine des mathématiques, voir la beauté de la géométrie fractale et commencer à travailler sur la création de mes propres fractales.
Le résultat du travail sera la création présentation informatique, bulletin d'information et brochure.
Chapitre 1. Histoire
B 
quand Mandelbrot
Le concept de « fractale » a été inventé par Benoît Mandelbrot. Le mot vient du latin « fractus », qui signifie « cassé, brisé ».
Fractale (lat. fractus - écrasé, brisé, brisé) est un terme désignant une figure géométrique complexe qui a la propriété d'auto-similarité, c'est-à-dire composée de plusieurs parties, dont chacune est similaire à la figure entière.
Pour objets mathématiques, auquel il appartient, se caractérisent par des propriétés extrêmement intéressantes. En géométrie ordinaire, une ligne a une dimension, une surface a deux dimensions et une figure spatiale a trois dimensions. Les fractales ne sont pas des lignes ou des surfaces, mais, si vous pouvez l'imaginer, quelque chose entre les deux. À mesure que la taille augmente, le volume de la fractale augmente également, mais sa dimension (exposant) n'est pas une valeur entière, mais une valeur fractionnaire, et donc la limite de la figure fractale n'est pas une ligne : à fort grossissement, il devient clair que il est flou et se compose de spirales et de boucles, répétant à faible grossissement la figure elle-même. Cette régularité géométrique est appelée invariance d'échelle ou auto-similarité. C'est ce qui détermine la dimension fractionnaire des figures fractales.
Avant l’avènement de la géométrie fractale, la science traitait de systèmes contenus dans trois dimensions spatiales. Grâce à Einstein, il est devenu clair que espace tridimensionnel- seulement un modèle de réalité, et non la réalité elle-même. En fait, notre monde se situe dans un continuum espace-temps à quatre dimensions.
Grâce à Mandelbrot, il est devenu clair à quoi cela ressemble espace à quatre dimensions, au sens figuré, le visage fractal du Chaos. Benoit Mandelbrot a découvert que la quatrième dimension inclut non seulement les trois premières dimensions, mais aussi (c'est très important !) les intervalles entre elles.
La géométrie récursive (ou fractale) remplace la géométrie euclidienne. La nouvelle science est capable de décrire la véritable nature des corps et des phénomènes. La géométrie euclidienne ne concernait que des objets artificiels et imaginaires appartenant à trois dimensions. Seule la quatrième dimension peut les transformer en réalité.
Liquide, gaz, solide - trois familiers condition physique substance qui existe dans le monde tridimensionnel. Mais quelle est la dimension d’un nuage de fumée, d’un nuage, ou plus précisément de leurs limites, continuellement érodées par les mouvements turbulents de l’air ?
Fondamentalement, les fractales sont classées en trois groupes :
Fractales algébriques
Fractales stochastiques
Fractales géométriques
Examinons de plus près chacun d'eux.
Chapitre 2. Classification des fractales
Fractales géométriques
Benoit Mandelbrot a proposé un modèle fractal, qui est déjà devenu un classique et est souvent utilisé pour démontrer à la fois un exemple typique d'une fractale elle-même et pour démontrer la beauté des fractales, qui attire également des chercheurs, des artistes et simplement des personnes intéressées.
C’est ici que commence l’histoire des fractales. Ce type de fractale est obtenu grâce à des constructions géométriques simples. Habituellement, lors de la construction de ces fractales, ils font ceci : ils prennent une « graine » - un axiome - un ensemble de segments sur la base desquels la fractale sera construite. Ensuite, un ensemble de règles est appliqué à cette « graine », qui la transforme en une sorte de figure géométrique. Ensuite, le même ensemble de règles est appliqué à nouveau à chaque partie de cette figure. À chaque étape, le chiffre deviendra de plus en plus complexe, et si nous réalisons (du moins dans notre esprit) nombre infini transformations - nous obtenons une fractale géométrique.
Les fractales de cette classe sont les plus visuelles, car l'autosimilarité y est immédiatement visible à n'importe quelle échelle d'observation. Dans le cas bidimensionnel, de telles fractales peuvent être obtenues en spécifiant une ligne brisée appelée générateur. En une étape de l'algorithme, chacun des segments qui composent la polyligne est remplacé par une polyligne génératrice, à l'échelle appropriée. Grâce à la répétition sans fin de cette procédure (ou, plus précisément, en allant à la limite), une courbe fractale est obtenue. Malgré l'apparente complexité de la courbe obtenue, son aspect général n'est déterminé que par la forme de la génératrice. Des exemples de telles courbes sont : la courbe de Koch (Fig. 7), la courbe de Peano (Fig. 8), la courbe de Minkowski.
Au début du XXe siècle, les mathématiciens recherchaient des courbes qui ne comportent en aucun point une tangente. Cela signifiait que la courbe changeait brusquement de direction et, de plus, avec un impact colossal grande vitesse(la dérivée est égale à l'infini). La recherche de ces courbes n’a pas été provoquée uniquement par l’intérêt vain des mathématiciens. Le fait est qu’au début du XXe siècle, il y a eu un développement très rapide mécanique quantique. Le chercheur M. Brown a esquissé la trajectoire des particules en suspension dans l'eau et a expliqué ce phénomène comme suit : des atomes liquides en mouvement aléatoire heurtent les particules en suspension et les mettent ainsi en mouvement. Après cette explication du mouvement brownien, les scientifiques furent confrontés à la tâche de trouver une courbe qui permettrait de la meilleure façon possible a montré le mouvement des particules browniennes. Pour ce faire, la courbe devait répondre aux propriétés suivantes : ne pas avoir de tangente en aucun point. Le mathématicien Koch a proposé une telle courbe.
À 
La courbe de Koch est une fractale géométrique typique. Le processus de sa construction est le suivant : on prend un seul segment, on le divise en trois parties égales et on remplace intervalle moyen un triangle équilatéral sans ce segment. Le résultat est une ligne brisée composée de quatre maillons de longueur 1/3. A l'étape suivante, on répète l'opération pour chacun des quatre liens résultants, etc...
La courbe limite est Courbe de Koch.
Flocon de neige Koch. En effectuant des transformations similaires sur les côtés triangle équilatéral vous pouvez obtenir une image fractale d'un flocon de neige de Koch.
T 
Un autre représentant simple d'une fractale géométrique est Place Sierpinski. Sa construction est assez simple : le carré est divisé par des lignes droites parallèles à ses côtés en 9 carrés égaux. La place centrale est retirée de la place. Le résultat est un ensemble composé des 8 carrés de « premier rang » restants. En faisant exactement la même chose avec chacun des carrés du premier rang, on obtient un ensemble constitué de 64 carrés du deuxième rang. En poursuivant ce processus indéfiniment, nous obtenons une séquence infinie ou carré de Sierpinski. 
Fractales algébriques
C'est le plus grand groupe de fractales. Les fractales algébriques tirent leur nom du fait qu'elles sont construites à l'aide de simples formules algébriques.
Ils sont obtenus à l'aide de processus non linéaires dans n-espaces dimensionnels. On sait que les systèmes dynamiques non linéaires possèdent plusieurs états stables. L'état dans lequel je me suis retrouvé système dynamique après un certain nombre d'itérations, dépend de son état initial. Par conséquent, chaque état stable (ou, comme on dit, attracteur) possède une certaine région d'états initiaux, à partir de laquelle le système tombera nécessairement dans les états finaux considérés. Ainsi, espace des phases le système est divisé en zones d'attraction attracteurs. Si l’espace des phases est bidimensionnel, alors en colorant les zones d’attraction avec des couleurs différentes, on peut obtenir portrait en phase de couleur ce système (processus itératif). En modifiant l'algorithme de sélection des couleurs, vous pouvez obtenir des motifs fractals complexes avec des motifs multicolores bizarres. Ce qui a surpris les mathématiciens, c'est la capacité, à l'aide d'algorithmes primitifs, à générer des structures complexes.
A titre d’exemple, considérons l’ensemble de Mandelbrot. Ils le construisent en utilisant des nombres complexes.
Une section de la limite de l'ensemble de Mandelbrot, agrandie 200 fois.
L'ensemble de Mandelbrot contient des points qui, au coursinfini le nombre d'itérations ne va pas à l'infini (points noirs). Points appartenant à la limite de l'ensemble(c'est là que naissent les structures complexes) vont à l'infini en un nombre fini d'itérations, et les points situés en dehors de l'ensemble vont à l'infini après plusieurs itérations (fond blanc).
P. 
Un exemple d'une autre fractale algébrique est l'ensemble de Julia. Il existe 2 variétés de cette fractale.Étonnamment, les ensembles de Julia sont formés en utilisant la même formule que l'ensemble de Mandelbrot. L'ensemble Julia a été inventé mathématicien français Gaston Julia, dont beaucoup portent le nom.
ET 
fait intéressant, certaines fractales algébriques ressemblent étonnamment à des images d'animaux, de plantes et d'autres objets biologiques, c'est pourquoi elles sont appelées biomorphes.
Fractales stochastiques
Une autre classe bien connue de fractales sont les fractales stochastiques, qui sont obtenues si certains de leurs paramètres sont modifiés de manière aléatoire au cours d'un processus itératif. Dans ce cas, les objets résultants sont très similaires aux objets naturels - arbres asymétriques, côtes accidentées, etc.
Un représentant typique de ce groupe de fractales est le « plasma ».
D 
Pour le construire, prenez un rectangle et attribuez une couleur à chacun de ses coins. Ensuite, le point central du rectangle est trouvé et peint dans une couleur égale à la moyenne arithmétique des couleurs aux coins du rectangle plus quelques nombre aléatoire. Plus le nombre aléatoire est grand, plus le tirage sera « irrégulier ». Si nous supposons que la couleur du point correspond à la hauteur au-dessus du niveau de la mer, nous obtenons une chaîne de montagnes au lieu d'un plasma. C'est sur ce principe que les montagnes sont modélisées dans la plupart des programmes. À l'aide d'un algorithme similaire au plasma, une carte de hauteur est construite, divers filtres y sont appliqués, une texture est appliquée et des montagnes photoréalistes sont prêtes
E 
Si nous regardons cette fractale en coupe transversale, nous verrons que cette fractale est volumétrique, et a une « rugosité », précisément à cause de cette « rugosité », il y a une application très importante de cette fractale.
Disons que vous devez décrire la forme d'une montagne. Les figures ordinaires de la géométrie euclidienne n'aideront pas ici, car elles ne tiennent pas compte de la topographie de la surface. Mais en combinant la géométrie conventionnelle avec la géométrie fractale, vous pouvez obtenir la « rugosité » même d’une montagne. Nous devons appliquer du plasma sur un cône régulier et nous obtiendrons le relief d'une montagne. De telles opérations peuvent être réalisées avec de nombreux autres objets dans la nature ; grâce aux fractales stochastiques, la nature elle-même peut être décrite.
Parlons maintenant des fractales géométriques.
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Chapitre 3 "Géométrie fractale de la nature"
" Pourquoi la géométrie est-elle souvent appelée « froide » et « sèche » ? L'une des raisons est qu'elle ne peut pas décrire la forme d'un nuage, d'une montagne, d'un littoral ou d'un arbre. Les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles, l'écorce des arbres. n'est pas lisse, la foudre ne se déplace pas en ligne droite. Plus généralement, je soutiens que de nombreux objets dans la nature sont si irréguliers et fragmentés que, comparés à Euclide - terme qui dans cet ouvrage désigne toute géométrie standard - la nature n'a pas seulement une plus grande complexité. , mais une complexité à un niveau complètement différent. Le nombre d’échelles de longueur différentes d’objets naturels est, à toutes fins pratiques, infini.
(Benoît Mandelbrot "Géométrie fractale de la nature" ).
À 
La beauté des fractales est double : elle ravit les yeux, comme en témoigne l'exposition mondiale d'images fractales, organisée par un groupe de mathématiciens de Brême sous la direction de Peitgen et Richter. Plus tard, les éléments de cette exposition grandiose ont été capturés dans les illustrations du livre des mêmes auteurs, « La beauté des fractales ». Mais il y a un autre aspect, plus abstrait ou sublime, de la beauté des fractales, ouvert, selon R. Feynman, uniquement au regard mental d'un théoricien en ce sens, les fractales sont belles en raison de la beauté d'un problème mathématique difficile ; . Benoît Mandelbrot a signalé à ses contemporains (et probablement à ses descendants) une lacune gênante dans les Éléments d'Euclide, à travers laquelle, sans remarquer l'omission, près de deux millénaires de l'humanité ont compris la géométrie du monde environnant et ont appris la rigueur mathématique de la présentation. Bien entendu, les deux aspects de la beauté des fractales sont étroitement liés et ne s'excluent pas, mais se complètent, bien que chacun d'eux se suffise à lui-même.
La géométrie fractale de la nature selon Mandelbrot est une véritable géométrie qui satisfait à la définition de la géométrie proposée dans le programme d'Erlangen par F. Klein. Le fait est qu'avant l'avènement de la géométrie non euclidienne, N.I. Lobatchevski - L. Bolyai, il n'y avait qu'une seule géométrie - celle qui était énoncée dans les "Principes", et la question de savoir ce qu'est la géométrie et laquelle des géométries est la géométrie du monde réel ne s'est pas posée et n'a pas pu surgir. Mais avec l’avènement d’une autre géométrie, la question s’est posée de savoir ce qu’est la géométrie en général et laquelle des nombreuses géométries correspond au monde réel. Selon F. Klein, la géométrie s'occupe de l'étude de telles propriétés d'objets qui sont invariantes sous transformations : Euclidienne - invariants du groupe de mouvements (transformations qui ne modifient pas la distance entre deux points, c'est-à-dire représentant une superposition de traductions parallèles et rotations avec ou sans changement d'orientation), géométrie de Lobachevsky-Bolyai - invariants du groupe de Lorentz. La géométrie fractale traite de l'étude des invariants du groupe des transformations auto-affines, c'est-à-dire propriétés exprimées par des lois de puissance.
Quant à la correspondance avec le monde réel, la géométrie fractale décrit une classe très large de processus et de phénomènes naturels, et nous pouvons donc, à la suite de B. Mandelbrot, parler à juste titre de la géométrie fractale de la nature. Nouveau : les objets fractals ont des propriétés inhabituelles. Les longueurs, aires et volumes de certaines fractales sont nuls, tandis que d'autres se tournent vers l'infini.
La nature crée souvent des fractales étonnantes et magnifiques, avec une géométrie idéale et une telle harmonie que vous vous figez simplement d'admiration. Et voici leurs exemples :
Coquillages
Foudre admirer par leur beauté. Les fractales créées par la foudre ne sont ni arbitraires ni régulières
Forme fractale sous-espèce de chou-fleur(Brassica cauliflora). Ce genre spécial est une fractale particulièrement symétrique.
P. 
fougère est également un bon exemple de fractale parmi la flore.
Paons tout le monde est connu pour son plumage coloré, dans lequel se cachent de solides fractales.
Glace, motifs givrés sur les fenêtres ce sont aussi des fractales
À PROPOS 
image agrandie feuille, jusqu'à branches d'arbre- on peut trouver des fractales dans tout
Les fractales sont partout et partout dans la nature qui nous entoure. L’Univers entier est construit selon des lois étonnamment harmonieuses et d’une précision mathématique. Est-il possible après cela de penser que notre planète est un enchaînement aléatoire de particules ? À peine.
Chapitre 4. Application des fractales
Les fractales trouvent de plus en plus d’applications scientifiques. La principale raison en est qu’ils décrivent le monde réel, parfois même mieux que la physique ou les mathématiques traditionnelles. Voici quelques exemples :
À PROPOS 
les jours où les applications les plus puissantes des fractales se situent infographie. Il s'agit d'une compression d'image fractale. La physique et la mécanique modernes commencent tout juste à étudier le comportement des objets fractals.
Les avantages des algorithmes de compression d’images fractales sont très petite taille fichier compressé et temps de récupération d'image court. Les images fractales peuvent être mises à l'échelle sans apparition de pixellisation (mauvaise qualité d'image - grands carrés). Mais le processus de compression prend beaucoup de temps et dure parfois des heures. L'algorithme de packaging fractal avec perte vous permet de définir le niveau de compression, similaire au format jpeg. L'algorithme est basé sur la recherche de grandes parties de l'image qui sont similaires à certaines petites parties. Et seulement quel morceau est similaire à celui qui est écrit dans le fichier de sortie. Lors de la compression, une grille carrée est généralement utilisée (les pièces sont des carrés), ce qui entraîne une légère angulaire lors de la restauration de l'image, une grille hexagonale ne présente pas cet inconvénient ;
Iterated a développé un nouveau format d'image, "Sting", qui combine la compression sans perte fractale et "onde" (comme jpeg). Le nouveau format vous permet de créer des images avec la possibilité d'une mise à l'échelle ultérieure de haute qualité, et le volume des fichiers graphiques représente 15 à 20 % du volume des images non compressées.
En mécanique et physique Les fractales sont utilisées en raison de leur propriété unique de répéter les contours de nombreux objets naturels. Les fractales vous permettent d'approcher les arbres, les surfaces de montagnes et les fissures avec une plus grande précision que les approximations utilisant des ensembles de segments ou de polygones (avec la même quantité de données stockées). Les modèles fractaux, comme les objets naturels, ont une « rugosité », et cette propriété est préservée quel que soit le grossissement du modèle. La présence d'une mesure uniforme sur les fractales permet d'appliquer l'intégration, la théorie du potentiel et de les utiliser à la place des objets standards dans les équations déjà étudiées.
T 
La géométrie fractale est également utilisée pour concevoir des dispositifs d'antenne. Celui-ci a été utilisé pour la première fois par l'ingénieur américain Nathan Cohen, qui vivait alors dans le centre de Boston, où l'installation d'antennes extérieures sur les bâtiments était interdite. Cohen a découpé une forme de courbe de Koch dans du papier d'aluminium, puis l'a collée sur un morceau de papier et l'a ensuite fixée au récepteur. Il s'est avéré qu'une telle antenne ne fonctionne pas moins bien qu'une antenne ordinaire. Et bien que les principes physiques d'une telle antenne n'aient pas encore été étudiés, cela n'a pas empêché Cohen de créer sa propre entreprise et de lancer leur production en série. Actuellement, la société américaine « Fractal Antenna System » a développé un nouveau type d'antenne. Vous pouvez maintenant arrêter d'utiliser téléphones portables antennes externes saillantes. L'antenne dite fractale est située directement sur la carte principale à l'intérieur de l'appareil.
Il existe également de nombreuses hypothèses sur l'utilisation des fractales - par exemple, les systèmes lymphatique et circulatoire, les poumons et bien d'autres encore ont également des propriétés fractales.
Chapitre 5. Travaux pratiques.
Tout d'abord, regardons les fractales « Collier », « Victoire » et « Carré ».
D'abord - "Collier"(Fig.7). L'initiateur de cette fractale est un cercle. Ce cercle est constitué d'un certain nombre de cercles identiques, mais de tailles plus petites, et il est lui-même l'un de plusieurs cercles identiques, mais de tailles plus grandes. Le processus d’éducation est donc sans fin et peut s’effectuer aussi bien dans un sens que dans le sens opposé. Ceux. la figure peut être agrandie en prenant juste un petit arc, ou elle peut être réduite en considérant sa construction à partir d'arcs plus petits.
riz. 7.
« Collier » fractal
La deuxième fractale est "Victoire"(Fig. 8). Il a reçu ce nom car il ressemble à la lettre latine « V », c'est-à-dire « victoire ». Cette fractale est constituée d'un certain nombre de petits « v » qui composent un grand « V », et dans la moitié gauche, dans laquelle les petits sont placés de manière à ce que leurs moitiés gauches forment une seule ligne droite, côté droit est construit de la même manière. Chacun de ces « v » est construit de la même manière et continue cela à l’infini.
Figure 8. "Victoire" fractale
La troisième fractale est "Carré" (Fig. 9). Chacun de ses côtés est constitué d'une rangée de cellules, en forme de carrés, dont les côtés représentent également des rangées de cellules, etc.
Fig. 9. « Carré » fractal
La fractale a été nommée « Rose » (Fig. 10), en raison de sa ressemblance extérieure avec cette fleur. La construction d'une fractale implique la construction d'une série de cercles concentriques dont le rayon varie proportionnellement à un rapport donné (dans ce cas, R m / R b = ¾ = 0,75.). Après cela, un hexagone régulier est inscrit dans chaque cercle, dont le côté est égal au rayon du cercle décrit autour de lui.
Riz. 11. Fractale « Rose* »
Passons ensuite à un pentagone régulier, dans lequel nous dessinons ses diagonales. Ensuite, dans le pentagone résultant, à l'intersection des segments correspondants, nous dessinons à nouveau des diagonales. Continuons ce processusà l'infini et nous obtenons la fractale du « Pentagramme » (Fig. 12).
Introduisons un élément de créativité et notre fractale prendra la forme d'un objet plus visuel (Fig. 13).
R. 
est. 12. « Pentagramme » fractal.
Riz. 13. Fractal « Pentagramme * »
Riz. 14 fractales « Trou noir »
Expérience n°1 « Arbre »
Maintenant que j'ai compris ce qu'est une fractale et comment en construire une, j'ai essayé de créer mes propres images fractales. Dans Adobe Photoshop, j'ai créé un petit sous-programme ou action, la particularité de cette action est qu'elle répète les actions que je fais, et c'est ainsi que j'obtiens une fractale.
Pour commencer, j'ai créé un arrière-plan pour notre future fractale avec une résolution de 600 par 600. Ensuite, j'ai dessiné 3 lignes sur ce fond - la base de notre future fractale.
AVEC L'étape suivante consiste à écrire le script.
dupliquez le calque ( calque > dupliquer) et changez le type de fusion en " Écran" .
Appelons-le " fr1". Copiez ce calque (" fr1") Encore 2 fois.
Nous devons maintenant passer à la dernière couche (fr3) et fusionnez-le deux fois avec le précédent ( Ctrl+E). Diminuer la luminosité des calques ( Image > Réglages > Luminosité/Contraste , réglage de la luminosité 50% ). Fusionnez à nouveau avec le calque précédent et coupez les bords de l'ensemble du dessin pour supprimer les parties invisibles.
La dernière étape consistait à copier cette image et à la coller plus petite et pivotée. C'est le résultat final.
Conclusion
Cet ouvrage est une introduction au monde des fractales. Nous n'avons considéré que la plus petite partie de ce que sont les fractales et sur la base des principes sur lesquels elles sont construites.
Les graphiques fractals ne sont pas simplement un ensemble d’images auto-répétitives, c’est un modèle de la structure et du principe de toute chose existante. Toute notre vie est représentée par des fractales. Toute la nature qui nous entoure en est constituée. Il est impossible de ne pas noter l'utilisation généralisée des fractales dans les jeux informatiques, où les reliefs du terrain sont souvent des images fractales basées sur modèles tridimensionnels ensembles complexes. Les fractales facilitent grandement le dessin d'infographies ; à l'aide des fractales, de nombreux effets spéciaux, diverses images fabuleuses et incroyables, etc. De plus, les arbres, les nuages, les rivages et toute autre nature sont dessinés à l'aide de la géométrie fractale. Les graphiques fractals sont nécessaires partout, et le développement des « technologies fractales » est aujourd’hui l’une des tâches importantes.
À l’avenir, j’ai l’intention d’apprendre à construire des fractales algébriques une fois que j’aurai étudié plus en détail les nombres complexes. Je veux aussi essayer de construire mes propres images fractales dans le langage de programmation Pascal en utilisant des boucles.
Il convient de noter l'utilisation de fractales dans technologies informatiques, au-delà de la simple création de belles images sur un écran d'ordinateur. Les fractales en technologie informatique sont utilisées dans les domaines suivants :
1. Compresser des images et des informations
2. Cacher des informations dans l’image, le son,…
3. Cryptage des données à l'aide d'algorithmes fractals
4. Faire de la musique fractale
5. Modélisation du système
Notre travail ne répertorie pas tous les domaines de la connaissance humaine où la théorie des fractales a trouvé son application. Nous voulons seulement dire qu'à peine un tiers de siècle s'est écoulé depuis l'apparition de la théorie, mais pendant cette période, les fractales sont devenues un phénomène soudain pour de nombreux chercheurs. lumière vive dans les nuits qui ont éclairé des faits et des modèles jusqu’alors inconnus dans des domaines spécifiques de données. Avec l'aide de la théorie des fractales, ils ont commencé à expliquer l'évolution des galaxies et le développement des cellules, l'émergence des montagnes et la formation des nuages, l'évolution des prix en bourse et le développement de la société et de la famille. Peut-être qu'au début, cette passion pour les fractales était même trop intense et que les tentatives pour tout expliquer en utilisant la théorie des fractales étaient injustifiées. Mais cette théorie a sans aucun doute le droit d’exister, et nous regrettons qu’elle ait été récemment oubliée et soit restée l’apanage d’une élite. En préparant ce travail, il nous a été très intéressant de trouver des applications de la THÉORIE dans la PRATIQUE. Car très souvent, on a le sentiment que les connaissances théoriques se démarquent de la réalité de la vie.
Ainsi, le concept de fractales devient non seulement une partie de la science « pure », mais aussi un élément de la culture humaine universelle. La science fractale est encore très jeune et a un bel avenir devant elle. La beauté des fractales est loin d'être épuisée et nous offrira encore de nombreux chefs-d'œuvre - ceux qui ravissent les yeux et ceux qui apportent un véritable plaisir à l'esprit.
10. Références
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Vitolin D. Application des fractales en infographie. // Computerworld-Russie.-1995
Mandelbrot B. Ensembles fractals auto-affines, « Fractals in Physics ». M. : Mir 1988
Mandelbrot B. Géométrie fractale de la nature. - M. : "Institut de Recherche Informatique", 2002.
Morozov A.D. Introduction à la théorie des fractales. N. Novgorod : Maison d'édition Nijni Novgorod. Université 1999
Peitgen H.-O., Richter P. H. La beauté des fractales. - M. : « Mir », 1993.
Ressources Internet
http://www.ghcube.com/fractals/determin.html
http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/
http://fractals.nsu.ru/animations.htm
http://www.cootey.com/fractals/index.html
http://fraktals.ucoz.ru/publ
http://sakva.narod.ru
http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/
http://www.cnam.fr/fractals/
http://www.softlab.ntua.gr/mandel/
http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html
