Considérons la fraction $\frac63$. Sa valeur est 2, puisque $\frac63 =6:3 = 2$. Que se passe-t-il si le numérateur et le dénominateur sont multipliés par 2 ? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Évidemment, la valeur de la fraction n'a pas changé, donc $\frac(12)(6)$ comme y est également égal à 2. Vous pouvez multiplier le numérateur et le dénominateur par 3 et obtenez $\frac(18)(9)$, ou par 27 et obtenez $\frac(162)(81)$, ou par 101 et obtenez $\frac(606)(303)$. Dans chacun de ces cas, la valeur de la fraction que l'on obtient en divisant le numérateur par le dénominateur est 2. Cela signifie qu'elle n'a pas changé.
Le même schéma s’observe dans le cas d’autres fractions. Si le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(120)(60)$ (égal à 2) sont divisés par 2 (le résultat est $\frac(60)(30)$), ou par 3 (le résultat est $\frac(40)(20) $), ou par 4 (résultat $\frac(30)(15)$) et ainsi de suite, alors dans chaque cas la valeur de la fraction reste inchangée et égale à 2.
Cette règle s'applique également aux fractions qui ne sont pas égales nombre entier.
Si le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(1)(3)$ sont multipliés par 2, nous obtenons $\frac(2)(6)$, c'est-à-dire que la valeur de la fraction n'a pas changé. Et en effet, si vous divisez la tarte en 3 parts et en prenez une, ou si vous la divisez en 6 parts et prenez 2 parts, vous obtiendrez la même quantité de tarte dans les deux cas. Par conséquent, les nombres $\frac(1)(3)$ et $\frac(2)(6)$ sont identiques. Formulons une règle générale.
Le numérateur et le dénominateur de n'importe quelle fraction peuvent être multipliés ou divisés par le même nombre sans changer la valeur de la fraction.
Cette règle s'avère très utile. Par exemple, cela permet dans certains cas, mais pas toujours, d'éviter les opérations avec de grands nombres.
Par exemple, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(126)(189)$ par 63 et obtenir la fraction $\frac(2)(3)$, avec laquelle il est beaucoup plus facile de calculer. Un autre exemple. On peut diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(155)(31)$ par 31 et obtenir la fraction $\frac(5)(1)$ ou 5, puisque 5:1=5.
Dans cet exemple, nous avons rencontré pour la première fois une fraction dont le dénominateur est 1. De telles fractions jouent rôle important lors des calculs. Il ne faut pas oublier que n'importe quel nombre peut être divisé par 1 et que sa valeur ne changera pas. Autrement dit, $\frac(273)(1)$ est égal à 273 ; $\frac(509993)(1)$ est égal à 509993 et ainsi de suite. Par conséquent, nous n’avons pas besoin de diviser les nombres par , puisque chaque entier peut être représenté comme une fraction avec un dénominateur de 1.
Avec de telles fractions dont le dénominateur est 1, vous pouvez faire de même opérations arithmétiques, comme pour toutes les autres fractions : $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.
Vous vous demandez peut-être à quoi cela sert-il de représenter un entier sous la forme d’une fraction avec une unité sous la ligne, car il est plus pratique de travailler avec un entier. Mais le fait est que représenter un entier sous forme de fraction nous donne la possibilité d'effectuer diverses actions plus efficacement lorsque nous traitons à la fois d'entiers et de nombres fractionnaires. Par exemple, pour apprendre ajouter des fractions avec différents dénominateurs . Supposons que nous devions ajouter $\frac(1)(3)$ et $\frac(1)(5)$.
On sait qu’on ne peut additionner que des fractions dont les dénominateurs sont égaux. Cela signifie que nous devons apprendre à réduire les fractions à une forme où leurs dénominateurs sont égaux. Dans ce cas, nous aurons à nouveau besoin du fait que nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre sans changer sa valeur.
Tout d'abord, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(1)(3)$ par 5. On obtient $\frac(5)(15)$, la valeur de la fraction n'a pas changé. Ensuite, nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la fraction $\frac(1)(5)$ par 3. Nous obtenons $\frac(3)(15)$, encore une fois la valeur de la fraction n'a pas changé. Par conséquent, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Essayons maintenant d'appliquer ce système à l'addition de nombres contenant à la fois des parties entières et fractionnaires.
Nous devons ajouter $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Tout d'abord, convertissons tous les termes en fractions et obtenons : $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Nous devons maintenant ramener toutes les fractions à un dénominateur commun, pour cela nous multiplions le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 12, la deuxième par 4 et la troisième par 3. En conséquence, nous obtenons $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, qui est égal à $\frac(55)(12)$. Si tu veux te débarrasser fraction impropre, il peut être transformé en un nombre composé d'un entier et d'une fraction : $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ou $4\frac(7 )( 12)$.
Toutes les règles qui permettent opérations avec des fractions, que nous venons d’étudier, sont également valables dans le cas de nombres négatifs. Ainsi, -1 : 3 peut s'écrire sous la forme $\frac(-1)(3)$ et 1 : (-3) sous la forme $\frac(1)(-3)$.
Puisque diviser un nombre négatif par un nombre positif et diviser un nombre positif par un nombre négatif donne des nombres négatifs, dans les deux cas, la réponse sera un nombre négatif. C'est
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ou $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Le signe moins, lorsqu'il est écrit de cette façon, fait référence à la fraction entière, et non séparément au numérateur ou au dénominateur.
D'un autre côté, (-1) : (-3) peut s'écrire $\frac(-1)(-3)$, et puisque diviser un nombre négatif par un nombre négatif donne un nombre positif, alors $\frac (-1 )(-3)$ peut s'écrire sous la forme $+\frac(1)(3)$.
Addition et soustraction fractions négatives s'effectue de la même manière que l'addition et la soustraction de fractions positives. Par exemple, qu'est-ce que $1- 1\frac13$ ? Représentons les deux nombres sous forme de fractions et obtenons $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Ramenons les fractions à un dénominateur commun et obtenons $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, c'est-à-dire $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$, ou $-\frac(1)(3)$.
- On multiplie 7 par le dénominateur (2), on obtient 14,
- ajouter à 14 partie supérieure(1), sort le 15,
- et remplacez le dénominateur.
- le résultat est 15/2.
- La fraction est correcte, c'est-à-dire numérateur inférieur au dénominateur. Ensuite, le nombre mixte obtenu après le devoir sera la réponse.
- La fraction est impropre, c'est-à-dire le numérateur est supérieur au dénominateur. Ensuite, une petite conversion s'impose. Une fraction impropre doit être transformée en nombre fractionnaire, en d’autres termes, la partie entière doit être isolée. Cela se fait comme ceci :
Pour ajouter un nombre entier à une fraction, il suffit d'effectuer une série d'actions, ou plutôt de calculs.
Par exemple, vous avez 7 - un nombre entier, vous devez l'ajouter à la fraction 1/2 ;
Nous procédons de la manière suivante :
De cette manière simple, vous pouvez ajouter des nombres entiers à des fractions.
Et pour isoler un nombre entier d'une fraction, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur et le reste - et il y aura une fraction.
L’opération consistant à ajouter un nombre entier à une fraction ordinaire propre n’est pas compliquée et implique parfois simplement la formation fraction mixte, dans lequel partie entière placée à gauche de la partie fractionnaire, par exemple, une telle fraction sera mélangée :
Cependant, le plus souvent, l’ajout d’un nombre entier à une fraction donne une fraction impropre dans laquelle le numérateur est supérieur au dénominateur. Cette opération s'effectue comme suit : le nombre entier est représenté comme une fraction impropre avec le même dénominateur que la fraction à ajouter, puis les numérateurs des deux fractions sont simplement additionnés. Dans un exemple, cela ressemblera à ceci :
5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8
Je pense que c'est très simple.
Par exemple, nous avons la fraction 1/4 (c'est la même chose que 0,25, soit un quart du nombre entier).
Et à ce quart, vous pouvez ajouter n'importe quel nombre entier, par exemple 3. Vous obtenez trois et quart:
3.25. Ou en fraction cela s'exprime ainsi : 3 1/4
Sur la base de cet exemple, vous pouvez additionner n'importe quelle fraction avec n'importe quel nombre entier.
Vous devez élever un nombre entier en fraction avec un dénominateur de 10 (6/10). Ensuite, ramenez la fraction existante à un dénominateur commun de 10 (35=610). Eh bien, effectuez l'opération comme avec fractions ordinaires 610+610=1210 total 12.
Il existe deux façons de procéder.
1). Une fraction peut être convertie en nombre entier et une addition peut être effectuée. Par exemple, 1/2 vaut 0,5 ; 1/4 équivaut à 0,25 ; 2/5 est 0,4, etc.
Prenez le nombre entier 5, auquel vous devez ajouter la fraction 4/5. Transformons la fraction : 4/5 vaut 4 divisé par 5 et on obtient 0,8. Ajoute 0,8 à 5 et nous obtenons 5,8 ou 5 4/5.
2). Deuxième méthode : 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.
L'ajout de fractions est une opération mathématique simple, par exemple, vous devez additionner l'entier 3 et la fraction 1/7. Pour additionner ces deux nombres, vous devez avoir un dénominateur, vous devez donc multiplier trois par sept et diviser par ce chiffre, vous obtenez alors 21/7+1/7, dénominateur un, ajoutez 21 et 1, vous obtenez la réponse 22/7 .
Prenez et ajoutez simplement un entier à cette fraction. Disons que vous avez besoin de 6 + 1/2 = 6 1/2. Eh bien, s’il s’agit d’une fraction décimale, alors vous pouvez le faire comme ceci : 6+1,2=7,2.
Pour ajouter une fraction et un nombre entier, vous devez ajouter la fraction au nombre entier et les écrire sous la forme nombre complexe, par exemple, en ajoutant une fraction ordinaire avec un entier, nous obtenons : 1/2 +3 =3 1/2 ; lors de l'ajout décimal: 0,5 +3 =3,5.
Une fraction en elle-même n'est pas un nombre entier, car sa quantité ne l'atteint pas, et il n'est donc pas nécessaire de convertir le nombre entier en cette fraction. Par conséquent, l'entier reste un entier et démontre pleinement la valeur totale, et une fraction y est ajoutée et démontre à quel point cet entier manque avant d'ajouter le point complet suivant.
Exemple académique.
10 + 7/3 = 10 entiers et 7/3.
Si, bien sûr, il existe des nombres entiers, alors ils sont additionnés à des nombres entiers.
12 + 5 7/9 = 17 et 7/9.
Cela dépend de quel entier et de quelle fraction.
Si les deux termes sont positifs, cette fraction doit être ajoutée au nombre entier. Le résultat sera un nombre mixte. De plus, il peut y avoir 2 cas.
Cas 1.
4/9 + 10 = 10 4/9 (dix virgule quatre neuvièmes).
Cas 2.
Après cela, vous devez ajouter la partie entière de la fraction impropre au nombre entier et l'ajouter au montant obtenu. partie fractionnaire. De la même manière pour nombre mixte le tout est ajouté.
1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 virgule trois quarts).
2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 virgule un).
Si l'un des termes ou les deux négatif, puis nous effectuons l'addition selon les règles d'addition de nombres avec différents ou signes identiques. Un entier est représenté comme le rapport de ce nombre et de 1, puis le numérateur et le dénominateur sont multipliés par le nombre, égal au dénominateur la fraction à laquelle le nombre entier est ajouté.
3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (moins 1 virgule quatre cinquièmes).
4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (moins 8 virgule un tiers).
Commentaire.
Après la rencontre nombres négatifs, lorsqu'ils étudient les opérations avec eux, les élèves de 6e doivent comprendre qu'ajouter un entier positif à une fraction négative équivaut à soustraire de nombre naturel fraction. Cette action est connue pour être effectuée comme ceci :
En fait, pour ajouter une fraction et un entier, il vous suffit de convertir l'entier existant en fraction, et cela est aussi simple que d'éplucher des poires. Il vous suffit de prendre le dénominateur de la fraction (dans l'exemple) et d'en faire le dénominateur d'un nombre entier en le multipliant par ce dénominateur et en divisant, voici un exemple :
2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3
Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.
Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ...les discussions se poursuivent à ce jour ; la communauté scientifique n'a pas encore réussi à se mettre d'accord sur l'essence des paradoxes...ont été impliqués dans l'étude de la question. analyse mathématique, théorie des ensembles, nouvelles sciences physiques et approches philosophiques; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'on se laisse berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.
D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. AVEC point physique D'un point de vue, on dirait que le temps ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.
Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court avec vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».
Comment éviter ce piège logique ? Restez à l'intérieur unités constantes mesures du temps et n'allez pas à réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :
Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.
Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais ce n'est pas solution complète problèmes. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée en nombres infiniment grands, mais en unités de mesure.
Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :
Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.
Dans cette aporie paradoxe logique cela peut être surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à la voiture, vous avez besoin de deux photographies prises depuis différents points l'espace à un moment donné, mais il est impossible de déterminer le fait d'un mouvement à partir d'eux (naturellement, des données supplémentaires sont toujours nécessaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera). Ce que je veux souligner attention particulière, c'est que deux points dans le temps et deux points dans l'espace sont des choses différentes qu'il ne faut pas confondre, car ils offrent des opportunités de recherche différentes.
mercredi 4 juillet 2018
Les différences entre set et multiset sont très bien décrites sur Wikipédia. Voyons.
Comme vous pouvez le voir, « il ne peut pas y avoir deux éléments identiques dans un ensemble », mais s'il y a des éléments identiques dans un ensemble, un tel ensemble est appelé « multiensemble ». Une telle logique absurde les êtres sensibles jamais compris. C'est le niveau des perroquets parlants et des singes dressés, qui n'ont aucune intelligence du mot « complètement ». Les mathématiciens agissent comme de simples formateurs, nous prêchant leurs idées absurdes.
Il était une fois, les ingénieurs qui ont construit le pont se trouvaient dans un bateau sous le pont pendant qu'ils testaient le pont. Si le pont s'effondrait, l'ingénieur médiocre mourait sous les décombres de sa création. Si le pont pouvait résister à la charge, le talentueux ingénieur construisait d'autres ponts.
Peu importe à quel point les mathématiciens se cachent derrière l’expression « va me faire foutre, je suis dans la maison », ou plutôt « études de mathématiques concepts abstraits", il y a un cordon ombilical qui les relie inextricablement à la réalité. Ce cordon ombilical, c'est de l'argent. Appliquer théorie mathématique aux mathématiciens eux-mêmes.
Nous avons très bien étudié les mathématiques et maintenant nous sommes assis à la caisse et distribuons les salaires. Alors un mathématicien vient nous voir pour son argent. Nous lui comptons le montant total et le disposons sur notre table en différentes piles, dans lesquelles nous mettons des billets de même valeur. Ensuite, nous prenons une facture de chaque pile et donnons au mathématicien son « salaire mathématique ». On explique au mathématicien qu'il ne recevra les factures restantes que lorsqu'il prouvera qu'un ensemble sans éléments identiques n'est pas égal à un ensemble avec éléments identiques. C'est là que le plaisir commence.
Tout d’abord, la logique des députés fonctionnera : « Cela peut s’appliquer aux autres, mais pas à moi ! Ensuite, ils commenceront à nous rassurer sur le fait que les billets de même valeur ont des numéros de billets différents, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être considérés comme les mêmes éléments. D'accord, comptons les salaires en pièces - il n'y a pas de chiffres sur les pièces. Ici, le mathématicien commencera à se souvenir frénétiquement de la physique : sur différentes pièces il y a différentes quantités boue, structure cristalline et la disposition des atomes dans chaque pièce est unique...
Et maintenant j'ai le plus question intéressante: où est la ligne au-delà de laquelle les éléments d'un multiset se transforment en éléments d'un ensemble et vice versa ? Une telle ligne n'existe pas - tout est décidé par les chamanes, la science n'est même pas près de mentir ici.
Regardez ici. Nous sélectionnons des stades de football ayant la même superficie de terrain. Les zones des champs sont les mêmes, ce qui signifie que nous avons un multiset. Mais si on regarde les noms de ces mêmes stades, on en trouve beaucoup, car les noms sont différents. Comme vous pouvez le constater, le même ensemble d’éléments est à la fois un ensemble et un multiensemble. Qu'est-ce qui est correct ? Et ici, le mathématicien-chaman-aiguiseur sort un as d'atout de sa manche et commence à nous parler soit d'un ensemble, soit d'un multiensemble. En tout cas, il nous convaincra qu’il a raison.
Pour comprendre comment les chamanes modernes opèrent avec la théorie des ensembles, en la liant à la réalité, il suffit de répondre à une question : en quoi les éléments d'un ensemble diffèrent-ils des éléments d'un autre ensemble ? Je vais vous le montrer, sans aucun « concevable comme un tout unique » ou « non concevable comme un tout unique ».
dimanche 18 mars 2018
La somme des chiffres d’un nombre est une danse de chamanes avec un tambourin, qui n’a rien à voir avec les mathématiques. Oui, dans les cours de mathématiques, on nous apprend à trouver la somme des chiffres d’un nombre et à l’utiliser, mais c’est pourquoi ils sont chamanes, pour enseigner à leurs descendants leurs compétences et leur sagesse, sinon les chamanes disparaîtront tout simplement.
Avez-vous besoin d'une preuve ? Ouvrez Wikipédia et essayez de trouver la page "Somme des chiffres d'un nombre". Elle n'existe pas. Il n’existe aucune formule mathématique permettant de calculer la somme des chiffres d’un nombre quelconque. Après tout, les nombres sont des symboles graphiques avec lesquels nous écrivons des nombres, et dans le langage mathématique, la tâche ressemble à ceci : « Trouvez la somme des symboles graphiques représentant n'importe quel nombre ». Les mathématiciens ne peuvent pas résoudre ce problème, mais les chamanes peuvent le faire facilement.
Voyons quoi et comment nous faisons pour trouver la somme des nombres numéro donné. Et donc, ayons le nombre 12345. Que faut-il faire pour trouver la somme des chiffres de ce nombre ? Considérons toutes les étapes dans l'ordre.
1. Notez le numéro sur une feuille de papier. Qu'avons-nous fait ? Nous avons converti le nombre en un symbole numérique graphique. Ce n'est pas une opération mathématique.
2. Nous découpons une image résultante en plusieurs images contenant des numéros individuels. Découper une image n’est pas une opération mathématique.
3. Convertissez des symboles graphiques individuels en nombres. Ce n'est pas une opération mathématique.
4. Ajoutez les nombres résultants. Maintenant, ce sont des mathématiques.
La somme des chiffres du nombre 12345 est 15. Ce sont les « cours de coupe et de couture » dispensés par les chamanes et utilisés par les mathématiciens. Mais ce n'est pas tout.
D'un point de vue mathématique, peu importe dans quel système numérique nous écrivons un nombre. Alors, dans différents systèmes En calcul, la somme des chiffres d’un même nombre sera différente. En mathématiques, le système numérique est indiqué en indice à droite du nombre. AVEC un grand nombre 12345 Je ne veux pas me tromper, regardons le numéro 26 de l'article sur . Écrivons ce nombre dans les systèmes numériques binaires, octaux, décimaux et hexadécimaux. Nous n’examinerons pas chaque étape au microscope ; nous l’avons déjà fait. Regardons le résultat.
Comme vous pouvez le constater, dans différents systèmes numériques, la somme des chiffres d'un même nombre est différente. Ce résultat n'a rien à voir avec les mathématiques. C’est comme si vous déterminiez l’aire d’un rectangle en mètres et en centimètres, vous obtiendriez des résultats complètement différents.
Le zéro se ressemble dans tous les systèmes numériques et n’a pas de somme de chiffres. C'est un autre argument en faveur du fait que. Question pour les mathématiciens : comment désigne-t-on en mathématiques quelque chose qui n'est pas un nombre ? Quoi, pour les mathématiciens, rien n’existe à part les nombres ? Je peux autoriser cela pour les chamanes, mais pas pour les scientifiques. La réalité n’est pas qu’une question de chiffres.
Le résultat obtenu doit être considéré comme la preuve que les systèmes numériques sont des unités de mesure des nombres. Après tout, nous ne pouvons pas comparer des nombres avec des unités de mesure différentes. Si les mêmes actions avec différentes unités de mesure d’une même quantité conduisent à des résultats différents après les avoir comparées, cela n’a rien à voir avec les mathématiques.
Que sont les vraies mathématiques ? C'est alors que le résultat d'une opération mathématique ne dépend pas de la taille du nombre, de l'unité de mesure utilisée et de la personne qui effectue cette action.
Oh! Ce n'est pas les toilettes des femmes ?
- Jeune femme ! Il s'agit d'un laboratoire pour l'étude de la sainteté indéphilique des âmes lors de leur ascension au ciel ! Halo en haut et flèche vers le haut. Quelles autres toilettes ?
Femelle... Le halo en haut et la flèche vers le bas sont masculins.
Si une telle œuvre d'art du design clignote devant vos yeux plusieurs fois par jour,
Il n’est alors pas surprenant que vous trouviez soudainement une étrange icône dans votre voiture :
Personnellement, je m'efforce de voir moins quatre degrés chez une personne qui fait caca (une image) (une composition de plusieurs images : signe moins, chiffre quatre, désignation du degré). Et je ne pense pas que cette fille soit stupide, non connaisseur en physique. Elle a juste un stéréotype de perception images graphiques. Et les mathématiciens nous l’enseignent tout le temps. Voici un exemple.
1A n’est pas « moins quatre degrés » ou « un a ». Il s’agit de « l’homme qui fait caca » ou du nombre « vingt-six » en notation hexadécimale. Les personnes qui travaillent constamment dans ce système numérique perçoivent automatiquement un chiffre et une lettre comme un seul symbole graphique.
Les fractions sont nombres ordinaires, ils peuvent également être ajoutés et soustraits. Mais du fait qu'ils contiennent un dénominateur, plus règles complexes que pour les entiers.
Considérons le cas le plus simple, lorsqu'il existe deux fractions avec mêmes dénominateurs. Alors:
Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé.
Pour soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction, et encore une fois laisser le dénominateur inchangé.
Dans chaque expression, les dénominateurs des fractions sont égaux. Par définition de l'addition et de la soustraction de fractions, nous obtenons :
Comme vous pouvez le constater, ce n’est rien de compliqué : on ajoute ou soustrait simplement les numérateurs et c’est tout.
Mais même dans un tel gestes simples les gens parviennent à faire des erreurs. Ce qu’on oublie le plus souvent, c’est que le dénominateur ne change pas. Par exemple, en les additionnant, ils commencent également à s'additionner, ce qui est fondamentalement faux.
Se débarrasser de mauvaise habitude L'addition des dénominateurs est assez simple. Essayez la même chose lors de la soustraction. En conséquence, le dénominateur sera nul et la fraction perdra (du coup !) son sens.
N'oubliez donc pas une fois pour toutes : lors de l'addition et de la soustraction, le dénominateur ne change pas !
De nombreuses personnes font également des erreurs en additionnant plusieurs fractions négatives. Il y a une confusion avec les signes : où mettre un moins et où mettre un plus.
Ce problème est également très simple à résoudre. Il suffit de rappeler que le moins avant le signe d'une fraction peut toujours être transféré au numérateur - et vice versa. Et bien sûr, n’oubliez pas deux règles simples :
- Plus par moins donne moins ;
- Deux négatifs font un affirmatif.
Regardons tout cela avec des exemples précis :
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Dans le premier cas tout est simple, mais dans le second on introduit des moins dans les numérateurs des fractions :
Que faire si les dénominateurs sont différents
Vous ne pouvez pas additionner directement des fractions avec des dénominateurs différents. En tout cas, cette méthode m'est inconnue. Cependant, les fractions originales peuvent toujours être réécrites pour que les dénominateurs deviennent les mêmes.
Il existe de nombreuses façons de convertir des fractions. Trois d'entre eux sont abordés dans la leçon « Réduire des fractions à un dénominateur commun », nous ne nous y attarderons donc pas ici. Regardons quelques exemples :
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Dans le premier cas, on réduit les fractions à un dénominateur commun en utilisant la méthode des « entrecroisés ». Dans la seconde, nous chercherons le CNO. Notez que 6 = 2 · 3 ; 9 = 3 · 3. Les derniers facteurs de ces développements sont égaux et les premiers sont relativement premiers. Par conséquent, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Que faire si une fraction a une partie entière
Je peux vous faire plaisir : avoir des dénominateurs différents dans les fractions n'est pas le plus grand mal. Beaucoup plus d'erreurs se produit lorsqu'une partie entière est isolée dans les termes de fraction.
Bien sûr, pour de telles fractions, il existe leurs propres algorithmes d'addition et de soustraction, mais ils sont assez complexes et nécessitent longue étude. Meilleure utilisation diagramme simple, donné ci-dessous :
- Convertissez toutes les fractions contenant une partie entière en fractions impropres. On obtient des termes normaux (même avec des dénominateurs différents), qui sont calculés selon les règles évoquées ci-dessus ;
- En fait, calculez la somme ou la différence des fractions résultantes. En conséquence, nous trouverons pratiquement la réponse ;
- Si c'est tout ce qui était requis dans la tâche, nous effectuons conversion inverse, c'est-à-dire On se débarrasse d'une fraction impropre en mettant en évidence la partie entière.
Règles de transition vers fractions impropres et la mise en évidence d'une partie entière sont décrits en détail dans la leçon « Qu'est-ce qu'une fraction numérique ». Si vous ne vous en souvenez pas, assurez-vous de le répéter. Exemples :
Tâche. Trouvez le sens de l’expression :
Tout est simple ici. Les dénominateurs à l'intérieur de chaque expression sont égaux, il ne reste donc plus qu'à convertir toutes les fractions en fractions impropres et à compter. Nous avons:
Pour simplifier les calculs, j'ai sauté certaines étapes évidentes dans les derniers exemples.
Une petite note à propos de deux derniers exemples, où les fractions dont la partie entière est mise en évidence sont soustraites. Le moins avant la deuxième fraction signifie que c'est la fraction entière qui est soustraite, et pas seulement sa partie entière.
Relisez cette phrase, regardez les exemples – et réfléchissez-y. C'est là que les débutants admettent quantité énorme erreurs. Ils adorent confier de telles tâches à essais. Vous les rencontrerez également à plusieurs reprises dans les tests de cette leçon, qui sera publiée prochainement.
Résumé : schéma général de calcul
En conclusion, je donnerai algorithme général, qui vous aidera à trouver la somme ou la différence de deux fractions ou plus :
- Si une ou plusieurs fractions ont une partie entière, convertissez ces fractions en fractions impropres ;
- Ramenez toutes les fractions à un dénominateur commun de la manière qui vous convient (à moins, bien sûr, que les auteurs des problèmes ne l'aient fait) ;
- Ajoutez ou soustrayez les nombres résultants selon les règles d'addition et de soustraction de fractions avec des dénominateurs similaires ;
- Si possible, raccourcissez le résultat. Si la fraction est incorrecte, sélectionnez la partie entière.
N'oubliez pas qu'il est préférable de mettre en évidence toute la partie à la toute fin du problème, juste avant d'écrire la réponse.
Les règles pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents sont très simples.
Examinons étape par étape les règles d'addition de fractions avec différents dénominateurs :
1. Trouvez le LCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs. Le LCM résultant sera le dénominateur commun des fractions ;
2. Réduire les fractions à un dénominateur commun ;
3. Additionnez les fractions réduites à un dénominateur commun.
Sur exemple simple Apprenons à appliquer les règles d'addition de fractions avec des dénominateurs différents.
Exemple
Un exemple d'addition de fractions avec différents dénominateurs.
Additionnez des fractions avec différents dénominateurs :
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Nous déciderons étape par étape.
1. Trouvez le LCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs.
Le nombre 12 est divisible par 6.
Nous en concluons que 12 est le plus petit commun multiple des nombres 6 et 12.
Réponse : le nombre des nombres 6 et 12 est 12 :
LCM(6, 12) = 12
Le LCM résultant sera le dénominateur commun de deux fractions 1/6 et 5/12.
2. Réduisez les fractions à un dénominateur commun.
Dans notre exemple, seule la première fraction doit être réduite à un dénominateur commun de 12, car la deuxième fraction a déjà un dénominateur de 12.
divisons dénominateur commun 12 au dénominateur de la première fraction :
2 a un multiplicateur supplémentaire.
Multipliez le numérateur et le dénominateur de la première fraction (1/6) par un facteur supplémentaire de 2.
