Résoudre des inégalités logarithmiques avec différentes bases. Inégalités logarithmiques

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Parmi toute la diversité inégalités logarithmiquesétudier séparément les inégalités avec base variable. Ils sont résolus à l'aide d'une formule spéciale, qui, pour une raison quelconque, est rarement enseignée à l'école :

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Au lieu de la case à cocher « ∨ », vous pouvez mettre n'importe quel signe d'inégalité : plus ou moins. L'essentiel est que dans les deux inégalités, les signes sont les mêmes.

De cette façon, nous nous débarrassons des logarithmes et réduisons le problème à une inégalité rationnelle. Ce dernier est beaucoup plus facile à résoudre, mais lorsque l'on supprime les logarithmes, des racines supplémentaires peuvent apparaître. Pour les couper, il suffit de trouver la zone valeurs acceptables. Si vous avez oublié l'ODZ d'un logarithme, je vous recommande fortement de le répéter - voir « Qu'est-ce qu'un logarithme".

Tout ce qui concerne la plage de valeurs acceptables doit être écrit et résolu séparément :

f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; k(x) > 0 ; k(x) ≠ 1.

Ces quatre inégalités constituent un système et doivent être satisfaites simultanément. Lorsque la plage de valeurs acceptables est trouvée, il ne reste plus qu'à la recouper avec la solution inégalité rationnelle- et la réponse est prête.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

Tout d’abord, écrivons l’ODZ du logarithme :

Les deux premières inégalités sont automatiquement satisfaites, mais la dernière devra être écrite. Puisque le carré du nombre égal à zéro si et seulement si le nombre lui-même est nul, on a :

x 2 + 1 ≠ 1 ;
x2 ≠ 0 ;
x ≠ 0.

Il s'avère que l'ODZ du logarithme est composé uniquement de nombres sauf zéro : x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nous résolvons maintenant l'inégalité principale :

Nous passons d’une inégalité logarithmique à une inégalité rationnelle. L'inégalité d'origine a un signe « inférieur à », ce qui signifie que l'inégalité résultante doit également avoir un signe « inférieur à ». Nous avons:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Les zéros de cette expression sont : x = 3 ; x = −3 ; x = 0. De plus, x = 0 est une racine de la deuxième multiplicité, ce qui signifie qu'en la traversant, le signe de la fonction ne change pas. Nous avons:

On obtient x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Cet ensemble est entièrement contenu dans l'ODZ du logarithme, ce qui signifie que c'est la réponse.

Conversion des inégalités logarithmiques

Souvent, l’inégalité initiale est différente de celle ci-dessus. Cela peut être facilement corrigé en utilisant les règles standard pour travailler avec des logarithmes - voir « Propriétés de base des logarithmes ». À savoir:

1. N'importe quel nombre peut être représenté sous forme de logarithme avec une base donnée ;
2. La somme et la différence des logarithmes de mêmes bases peuvent être remplacées par un logarithme.

Par ailleurs, je voudrais vous rappeler la plage de valeurs acceptables. Puisqu’il peut y avoir plusieurs logarithmes dans l’inégalité originale, il faut trouver la VA de chacun d’eux. Ainsi, régime général les solutions aux inégalités logarithmiques sont les suivantes :

1. Trouver la VA de chaque logarithme inclus dans l'inégalité ;
2. Réduisez l'inégalité à une inégalité standard en utilisant les formules d'addition et de soustraction de logarithmes ;
3. Résolvez l'inégalité résultante en utilisant le schéma donné ci-dessus.

Tâche. Résoudre l'inégalité :

Trouvons le domaine de définition (DO) du premier logarithme :

Nous résolvons en utilisant la méthode des intervalles. Trouver les zéros du numérateur :

3x − 2 = 0 ;
x = 2/3.

Puis - les zéros du dénominateur :

x − 1 = 0 ;
x = 1.

Nous marquons des zéros et des signes sur la flèche de coordonnées :

On obtient x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Le deuxième logarithme aura le même VA. Si vous n'y croyez pas, vous pouvez le vérifier. Transformons maintenant le deuxième logarithme pour que la base soit deux :

Comme vous pouvez le constater, les trois à la base et devant le logarithme ont été réduits. Nous avons deux logarithmes avec la même base. Additionnons-les :

journal 2 (x − 1) 2< 2;
journal 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Nous avons obtenu l'inégalité logarithmique standard. On se débarrasse des logarithmes en utilisant la formule. Puisque l’inégalité originale contient un signe « inférieur à », le résultat expression rationnelleça devrait l'être aussi inférieur à zéro. Nous avons:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1 ; 3).

Nous avons deux sets :

1. ODZ : x ∈ (−∞ 2/3)∪(1 ; +∞);
2. Réponse du candidat : ​​x ∈ (−1 ; 3).

Il reste à recouper ces ensembles - nous obtenons la vraie réponse :

Nous nous intéressons à l'intersection des ensembles, nous sélectionnons donc des intervalles ombrés sur les deux flèches. Nous obtenons x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tous les points sont perforés.

Parmi toute la variété des inégalités logarithmiques, les inégalités à base variable sont étudiées séparément. Ils sont résolus à l'aide d'une formule spéciale qui, pour une raison quelconque, est rarement enseignée à l'école. La présentation présente des solutions aux tâches C3 de l'examen d'État unifié - 2014 en mathématiques.

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Légendes des diapositives :

Résolution d'inégalités logarithmiques contenant une variable dans la base du logarithme : méthodes, techniques, transitions équivalentes, professeur de mathématiques, école secondaire n° 143 Knyazkina T. V.

Parmi toute la variété des inégalités logarithmiques, les inégalités à base variable sont étudiées séparément. Ils sont résolus à l'aide d'une formule spéciale, qui, pour une raison quelconque, est rarement enseignée à l'école : log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Au lieu de la case à cocher « ∨ », vous pouvez mettre n'importe quel signe d'inégalité : plus ou moins. L'essentiel est que dans les deux inégalités, les signes sont les mêmes. De cette façon, nous nous débarrassons des logarithmes et réduisons le problème à une inégalité rationnelle. Ce dernier est beaucoup plus facile à résoudre, mais lorsque l'on supprime les logarithmes, des racines supplémentaires peuvent apparaître. Pour les découper, il suffit de trouver la plage de valeurs acceptables. N'oubliez pas l'ODZ du logarithme ! Tout ce qui concerne la plage de valeurs acceptables doit être écrit et résolu séparément : f (x) > 0 ; g(x) > 0 ; k(x) > 0 ; k(x) ≠ 1. Ces quatre inégalités constituent un système et doivent être satisfaites simultanément. Lorsque la plage de valeurs acceptables a été trouvée, il ne reste plus qu'à la recouper avec la solution de l'inégalité rationnelle - et la réponse est prête.

Résoudre l'inégalité : Solution Tout d'abord, écrivons la DO du logarithme. Les deux premières inégalités sont satisfaites automatiquement, mais la dernière devra être écrite. Puisque le carré d'un nombre est égal à zéro si et seulement si le nombre lui-même est égal à zéro, on a : x 2 + 1 ≠ 1 ; x2 ≠ 0 ; x ≠ 0. Il s'avère que l'ODZ d'un logarithme est composé uniquement de nombres sauf zéro : x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Nous résolvons maintenant l'inégalité principale : nous passons de l'inégalité logarithmique à l'inégalité rationnelle. L'inégalité d'origine a un signe « inférieur à », ce qui signifie que l'inégalité résultante doit également avoir un signe « inférieur à ».

On a : (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)

Transformer les inégalités logarithmiques Souvent, l'inégalité d'origine est différente de celle ci-dessus. Cela peut être facilement corrigé à l'aide de règles standard pour travailler avec des logarithmes. A savoir : N'importe quel nombre peut être représenté sous forme de logarithme avec une base donnée ; La somme et la différence des logarithmes de mêmes bases peuvent être remplacées par un logarithme. Par ailleurs, je voudrais vous rappeler la plage de valeurs acceptables. Puisqu’il peut y avoir plusieurs logarithmes dans l’inégalité originale, il faut trouver la VA de chacun d’eux. Ainsi, le schéma général de résolution des inégalités logarithmiques est le suivant : Trouver la VA de chaque logarithme inclus dans l'inégalité ; Réduisez l'inégalité à une inégalité standard en utilisant les formules d'addition et de soustraction de logarithmes ; Résolvez l'inégalité résultante en utilisant le schéma donné ci-dessus.

Résoudre l'inégalité : Solution Trouvons le domaine de définition (DO) du premier logarithme : Résoudre par la méthode des intervalles. Trouvez les zéros du numérateur : 3 x − 2 = 0 ; x = 2/3. Puis - les zéros du dénominateur : x − 1 = 0 ; x = 1. Marquez les zéros et les signes sur la ligne de coordonnées :

On obtient x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Le deuxième logarithme aura le même VA. Si vous n'y croyez pas, vous pouvez le vérifier. Transformons maintenant le deuxième logarithme pour qu'il y ait un deux à la base : Comme vous pouvez le constater, les trois à la base et devant le logarithme ont été annulés. Nous avons deux logarithmes de même base. Additionnez-les : log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Nous nous intéressons à l'intersection des ensembles, nous sélectionnons donc des intervalles ombrés sur les deux flèches. On obtient : x ∈ (−1 ; 2/3) ∪ (1 ; 3) - tous les points sont perforés. Réponse : x ∈ (−1 ; 2/3)∪(1 ; 3)

Résoudre les tâches USE-2014 de type C3

Résoudre le système d’inégalités. ODZ :  1) 2)

Résoudre le système d'inégalités 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (suite)

Résoudre le système d'inégalités 4) Solution générale: et -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (suite)

Résoudre l'inégalité (suite) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Résolvez la solution d’inégalité. ODZ : 

Résoudre l’inégalité (suite)

Résolvez la solution d’inégalité. ODZ :  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

INÉGALITÉS LOGARITHMIQUES D'UTILISATION

Setchine Mikhaïl Alexandrovitch

Petite Académie sciences pour les étudiants de la République du Kazakhstan "Iskatel"

MBOU "École secondaire Sovetskaya n° 1", 11e année, ville. soviétique Quartier Sovetski

Gunko Lyudmila Dmitrievna, professeur de l'établissement d'enseignement budgétaire municipal « École secondaire Sovetskaya n° 1 »

Quartier Sovetski

Objectif du travail :étude du mécanisme de résolution des inégalités logarithmiques C3 à l'aide de méthodes non standards, identifiant faits intéressants logarithme

Sujet de recherche :

3) Apprendre à résoudre des inégalités logarithmiques spécifiques C3 à l'aide de méthodes non standards.

Résultats:

Contenu

Introduction………………………………………………………………………………….4

Chapitre 1. Historique du problème……………………………………………………...5

Chapitre 2. Collecte des inégalités logarithmiques ………………………… 7

2.1. Transitions équivalentes et généralisées méthode d'intervalle…………… 7

2.2. Méthode de rationalisation……………………………………………………………… 15

2.3. Substitution non standard……………….................................................. ............ ..... 22

2.4. Tâches avec pièges……………………………………………………27

Conclusion………………………………………………………………………………… 30

Littérature……………………………………………………………………. 31

Introduction

Je suis en 11e année et j'ai l'intention d'entrer dans une université où sujet spécialisé ce sont les mathématiques. C'est pourquoi je travaille beaucoup avec les problèmes de la partie C. Dans la tâche C3, vous devez résoudre inégalité non standard ou un système d'inégalités, généralement associé à des logarithmes. Lors de la préparation de l'examen, j'ai été confronté au problème du manque de méthodes et techniques de résolution des inégalités logarithmiques à l'examen proposé en C3. Les méthodes étudiées dans programme scolaire sur ce sujet, ne fournissent pas de base pour résoudre les tâches C3. Le professeur de mathématiques m'a suggéré de travailler sur les devoirs C3 de manière indépendante sous sa direction. De plus, la question m'intéressait : rencontrons-nous des logarithmes dans nos vies ?

C'est dans cette optique que le thème a été choisi :

« Inégalités logarithmiques à l'examen d'État unifié »

Objectif du travail :étude du mécanisme de résolution des problèmes C3 à l'aide de méthodes non standard, identifiant des faits intéressants sur le logarithme.

Sujet de recherche :

1)Trouver informations nécessairesÔ méthodes non standard solutions aux inégalités logarithmiques.

2) Trouver Informations Complémentaires sur les logarithmes.

3) Apprenez à décider tâches spécifiques C3 en utilisant des méthodes non standards.

Résultats:

L'importance pratique réside dans l'expansion de l'appareil permettant de résoudre les problèmes C3. Ce matériel peut être utilisé dans certains cours, pour les clubs, activités parascolaires en mathématiques.

Le produit du projet sera la collection « Inégalités logarithmiques C3 avec solutions ».

Chapitre 1. Contexte

Tout au long du XVIe siècle, le nombre de calculs approximatifs augmente rapidement, principalement en astronomie. L'amélioration des instruments, l'étude des mouvements planétaires et d'autres travaux ont nécessité des calculs colossaux, parfois de plusieurs années. L’astronomie risquait réellement de se noyer sous des calculs non réalisés. Des difficultés sont apparues dans d'autres domaines, par exemple dans le secteur des assurances, des tableaux étaient nécessaires intérêts composés Pour différentes significations pour cent. La principale difficulté était la multiplication, la division nombres à plusieurs chiffres, en particulier les quantités trigonométriques.

La découverte des logarithmes s'appuie sur les propriétés des progressions bien connues à la fin du XVIe siècle. À propos de la connexion entre les membres progression géométrique q, q2, q3, ... et progression arithmétique leurs indicateurs sont 1, 2, 3,... Archimède parlait dans son « Psalmite ». Une autre condition préalable était l'extension du concept de degré aux domaines négatifs et indicateurs fractionnaires. De nombreux auteurs ont souligné que multiplication, division, exponentiation et extraction de racine en progression géométrique correspondent en arithmétique - dans le même ordre - addition, soustraction, multiplication et division.

Voici l'idée du logarithme comme exposant.

Dans l'histoire du développement de la doctrine des logarithmes, plusieurs étapes ont été franchies.

Étape 1

Les logarithmes ont été inventés au plus tard en 1594 indépendamment par le baron écossais Napier (1550-1617) et dix ans plus tard par le mécanicien suisse Bürgi (1552-1632). Tous deux voulaient offrir un nouveau moyen pratique calculs arithmétiques, bien qu'ils aient abordé cette tâche différemment. Napier a exprimé cinématiquement la fonction logarithmique et est ainsi entré dans nouvelle zone théorie de la fonction. Bürgi est resté sur la base d’envisager des progressions discrètes. Cependant, la définition du logarithme pour les deux n'est pas similaire à la définition moderne. Le terme « logarithme » (logarithme) appartient à Napier. Il est né d'une combinaison Mots grecs: logos - "relation" et ariqmo - "nombre", qui signifiait "nombre de relations". Au départ, Napier utilisait un terme différent : numeri artificiales- " nombres artificiels", par opposition aux numeri naturalts - "nombres naturels".

En 1615, dans une conversation avec Henry Briggs (1561-1631), professeur de mathématiques au Gresh College de Londres, Napier proposa de prendre zéro comme logarithme de un, et 100 comme logarithme de dix, ou, ce qui revient au même. , simplement 1. Voici comment ils sont apparus logarithmes décimaux et les premiers tableaux logarithmiques furent imprimés. Plus tard, les tableaux de Briggs furent complétés par le libraire néerlandais et passionné de mathématiques Adrian Flaccus (1600-1667). Napier et Briggs, bien qu'ils soient arrivés aux logarithmes plus tôt que tout le monde, ont publié leurs tableaux plus tard que les autres - en 1620. Les signes log et Log ont été introduits en 1624 par I. Kepler. Le terme « logarithme naturel » a été introduit par Mengoli en 1659, suivi par N. Mercator en 1668, et le professeur londonien John Speidel a publié des tableaux de logarithmes naturels de nombres de 1 à 1000 sous le nom de « New Logarithms ».

Les premiers tableaux logarithmiques ont été publiés en russe en 1703. Mais en tout tableaux logarithmiques des erreurs ont été commises dans les calculs. Les premiers tableaux sans erreur ont été publiés en 1857 à Berlin, élaborés par le mathématicien allemand K. Bremiker (1804-1877).

Étape 2

Le développement ultérieur de la théorie des logarithmes est associé à une application plus large géométrie analytique et calcul infinitésimal. À ce moment-là, le lien entre la quadrature d’une hyperbole équilatérale et logarithme népérien. La théorie des logarithmes de cette période est associée aux noms d'un certain nombre de mathématiciens.

Le mathématicien, astronome et ingénieur allemand Nikolaus Mercator dans un essai

"Logarithmotechnics" (1668) donne une série donnant le développement de ln(x+1) en

puissances de x :

Cette expression correspond exactement au cours de sa pensée, même s'il n'a bien sûr pas utilisé les signes d, ..., mais une symbolique plus encombrante. Avec la découverte des séries logarithmiques, la technique de calcul des logarithmes change : ils commencent à être déterminés à l'aide de séries infinies. Dans ses conférences" Mathématiques élémentaires Avec point culminant vision", lu en 1907-1908, F. Klein propose d'utiliser la formule comme point de départ pour construire la théorie des logarithmes.

Étape 3

Définition fonction logarithmique comme fonction inverse

exponentiel, logarithme comme exposant d'une base donnée

n’a pas été formulée immédiatement. Essai de Leonhard Euler (1707-1783)

"Introduction à l'analyse des infinitésimaux" (1748) a servi à approfondir

développement de la théorie des fonctions logarithmiques. Ainsi,

134 ans se sont écoulés depuis l'introduction des logarithmes

(à partir de 1614), avant que les mathématiciens ne parviennent à la définition

la notion de logarithme, qui constitue désormais la base du cursus scolaire.

Chapitre 2. Collecte des inégalités logarithmiques

2.1. Transitions équivalentes et méthode généralisée des intervalles.

Transitions équivalentes

, si a > 1

, si 0 < а < 1

Méthode d'intervalle généralisée

Cette méthode la plus universelle pour résoudre les inégalités de presque tous les types. Le diagramme de solution ressemble à ceci :

1. Amenez l'inégalité sous une forme où la fonction du côté gauche est
, et à droite 0.

2. Trouvez le domaine de la fonction
.

3. Trouver les zéros de la fonction
, c'est-à-dire résoudre l'équation
(et résoudre une équation est généralement plus facile que résoudre une inégalité).

4. Dessinez le domaine de définition et les zéros de la fonction sur la droite numérique.

5. Déterminer les signes de la fonction
sur les intervalles obtenus.

6. Sélectionnez les intervalles où la fonction prend valeurs requises, et notez la réponse.

Exemple 1.

Solution:

Appliquons la méthode des intervalles

où

Pour ces valeurs, toutes les expressions sous les signes logarithmiques sont positives.

Répondre:

Exemple 2.

Solution:

1er chemin . Les AVQ sont déterminées par l'inégalité x> 3. Prendre des logarithmes pour tel x en base 10, on obtient

La dernière inégalité pourrait être résolue en appliquant des règles d'expansion, c'est-à-dire comparer les facteurs à zéro. Cependant, dans dans ce cas facile à déterminer les intervalles de signe constant d'une fonction

par conséquent, la méthode des intervalles peut être appliquée.

Fonction f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ est continu à x> 3 et disparaît à certains endroits x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Ainsi, on détermine les intervalles de signe constant de la fonction f(x):

Répondre:

2ème méthode . Appliquons directement les idées de la méthode des intervalles à l'inégalité originale.

Pour ce faire, rappelons que les expressions un b- un c et ( un - 1)(b- 1) avoir un signe. Alors notre inégalité à x> 3 équivaut à une inégalité

ou

La dernière inégalité est résolue en utilisant la méthode des intervalles

Répondre:

Exemple 3.

Solution:

Appliquons la méthode des intervalles

Répondre:

Exemple 4.

Solution:

Depuis 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 pour tout réel x, Que

Pour résoudre la deuxième inégalité, nous utilisons la méthode des intervalles

Dans la première inégalité, nous effectuons le remplacement

on arrive alors à l'inégalité 2y 2 - oui - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те oui, qui satisfont l'inégalité -0,5< oui < 1.

D'où, depuis

on obtient l'inégalité

qui est effectué lorsque x, pour lequel 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Maintenant, compte tenu de la solution de la deuxième inégalité du système, on obtient finalement

Répondre:

Exemple 5.

Solution:

L'inégalité équivaut à un ensemble de systèmes

ou

Utilisons la méthode des intervalles ou

Répondre:

Exemple 6.

Solution:

Inégalité égale système

Laisser

Alors oui > 0,

et la première inégalité

le système prend la forme

ou, se dépliant

trinôme quadratique par facteurs,

En appliquant la méthode des intervalles à la dernière inégalité,

on voit que ses solutions satisfont à la condition oui> 0 sera tout oui > 4.

Ainsi, l'inégalité originelle est équivalente au système :

Ainsi, les solutions aux inégalités sont toutes

2.2. Méthode de rationalisation.

Auparavant, les inégalités n’étaient pas résolues par la méthode de rationalisation ; C'est le "nouveau moderne" méthode efficace solutions aux inégalités exponentielles et logarithmiques" (citation du livre de S.I. Kolesnikova)
Et même si le professeur le connaissait, il y avait une peur : le connaissait-il ? Expert en examen d'État unifié, pourquoi ne le donnent-ils pas à l'école ? Il y a eu des situations où l'enseignant a dit à l'élève : « Où l'avez-vous trouvé ? Asseyez-vous - 2. »
Aujourd’hui, la méthode est promue partout. Et pour les experts, il y a lignes directrices liés à cette méthode, et dans les "Éditions les plus complètes options typiques..." La solution C3 utilise cette méthode.
MERVEILLEUSE MÉTHODE !

"Table magique"

Dans d'autres sources

Si a >1 et b >1, puis enregistrez a b >0 et (a -1)(b -1)>0 ;

Si un >1 et 0

si 0<un<1 и b >1, puis enregistrez a b<0 и (a -1)(b -1)<0;