Exemples de résolution d’inégalités. Résoudre les inégalités

Par exemple, l'inégalité est l'expression \(x>5\).

Types d'inégalités :

Si \(a\) et \(b\) sont des nombres ou , alors l'inégalité est appelée numérique. Il s'agit en fait simplement de comparer deux nombres. Ces inégalités se répartissent en fidèle Et infidèle.

Par exemple:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) est une inégalité numérique incorrecte, puisque \(17+3=20\) et \(20\) est inférieur à \(115\) (et non supérieur ou égal à) .

Si \(a\) et \(b\) sont des expressions contenant une variable, alors nous avons inégalité avec variable. Ces inégalités sont divisées en types selon le contenu :

Quelle est la solution à une inégalité ?

Si vous remplacez un nombre par une variable dans une inégalité, celle-ci deviendra numérique.

Si une valeur donnée pour x transforme l’inégalité d’origine en une véritable inégalité numérique, alors on l’appelle solution aux inégalités. Si ce n’est pas le cas, cette valeur n’est pas une solution. Et à résoudre les inégalités– il faut trouver toutes ses solutions (ou montrer qu’il n’y en a pas).

Par exemple, si nous substituons le nombre \(7\) dans l'inégalité linéaire \(x+6>10\), nous obtenons l'inégalité numérique correcte : \(13>10\). Et si nous substituons \(2\), il y aura une inégalité numérique incorrecte \(8>10\). Autrement dit, \(7\) est une solution à l’inégalité d’origine, mais \(2\) ne l’est pas.

Cependant, l’inégalité \(x+6>10\) a d’autres solutions. En effet, nous obtiendrons les inégalités numériques correctes en substituant \(5\), et \(12\), et \(138\)... Et comment trouver tous solutions possibles? Pour cela ils utilisent. Pour notre cas nous avons :

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Autrement dit, tout nombre supérieur à quatre nous conviendra. Vous devez maintenant écrire la réponse. Les solutions aux inégalités sont généralement écrites numériquement, en les marquant en outre sur axe des nombreséclosion. Pour notre cas nous avons :

Répondre: \(x\in(4;+\infty)\)

Quand le signe d’une inégalité change-t-il ?

Il existe un grand piège dans les inégalités dans lequel les étudiants « aiment » vraiment tomber :

Lorsqu’on multiplie (ou divise) une inégalité par un nombre négatif, elle est inversée (« plus » par « moins », « plus ou égal » par « inférieur ou égal », etc.)

Pourquoi cela arrive-t-il? Pour comprendre cela, regardons les transformations inégalité numérique\(3>1\). C’est exact, trois est effectivement supérieur à un. Tout d'abord, essayons de le multiplier par n'importe quel nombre positif, par exemple deux :

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Comme nous pouvons le voir, après multiplication, l’inégalité reste vraie. Et quel que soit le nombre positif par lequel nous multiplions, nous obtiendrons toujours la bonne inégalité. Essayons maintenant de multiplier par un nombre négatif, par exemple, moins trois :

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Le résultat est une inégalité incorrecte, car moins neuf est inférieur à moins trois ! Autrement dit, pour que l'inégalité devienne vraie (et donc que la transformation de la multiplication par négatif soit « légale »), vous devez inverser le signe de comparaison, comme ceci : \(−9<− 3\).
Avec la division, cela fonctionnera de la même manière, vous pouvez le vérifier vous-même.

La règle écrite ci-dessus s’applique à tous les types d’inégalités, pas seulement aux inégalités numériques.

Répondre: \(x\in(-1;\infty)\)

Inégalités et handicap

Les inégalités, tout comme les équations, peuvent avoir des restrictions sur , c'est-à-dire sur les valeurs de x. En conséquence, les valeurs inacceptables selon le DZ devraient être exclues de la gamme de solutions.

Exemple: Résoudre l'inégalité \(\sqrt(x+1)<3\)

Solution: Il est clair que pour que le côté gauche soit inférieur à \(3\), l'expression radicale doit être inférieure à \(9\) (après tout, de \(9\) juste \(3\)). On a:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Tous? Toute valeur de x inférieure à \(8\) nous conviendra ? Non! Car si l’on prend, par exemple, la valeur \(-5\) qui semble répondre à l’exigence, ce ne sera pas une solution à l’inégalité originelle, puisqu’elle nous amènera à calculer la racine d’un nombre négatif.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Par conséquent, nous devons également prendre en compte les restrictions sur la valeur de X - il ne peut pas être tel qu'il y ait un nombre négatif sous la racine. Ainsi, nous avons la deuxième exigence pour x :

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Et pour que x soit la solution finale, il doit satisfaire aux deux exigences à la fois : il doit être inférieur à \(8\) (pour être une solution) et supérieur à \(-1\) (pour être admissible en principe). En le traçant sur la droite numérique, nous avons la réponse finale :

Répondre: \(\gauche[-1;8\droite)\)

Vous pouvez maintenant comprendre comment les inégalités linéaires a x + b sont résolues<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

La principale façon de les résoudre est d’utiliser des transformations équivalentes qui permettent d’arriver à a≠0 à inégalités élémentaires tapez x

, ≥), p - un certain nombre, qui sont la solution souhaitée, et pour a=0 - aux inégalités numériques de la forme a

, ≥), à partir de laquelle une conclusion est tirée sur la solution de l'inégalité d'origine. Nous allons d'abord l'analyser.

Cela ne fait pas de mal non plus d’envisager la résolution des inégalités linéaires dans une variable sous d’autres perspectives. Par conséquent, nous montrerons également comment l’inégalité linéaire peut être résolue graphiquement et en utilisant la méthode des intervalles.

Utiliser des transformations équivalentes

Devons-nous résoudre l'inégalité linéaire a x+b<0 (≤, >, ≥). Montrons comment procéder en utilisant des transformations d'inégalité équivalentes.

Les approches diffèrent selon que le coefficient a de la variable x est égal ou non à zéro. Regardons-les un par un. De plus, lors de l'examen, nous suivrons un schéma en trois points : nous donnerons d'abord l'essence du processus, puis nous donnerons un algorithme pour résoudre une inégalité linéaire, et enfin, nous donnerons des solutions à des exemples typiques.

Commençons avec algorithme pour résoudre l'inégalité linéaire a x+b<0 (≤, >, ≥) pour a≠0.

• Premièrement, le nombre b est transféré du côté droit de l'inégalité de signe opposé. Cela nous permet de passer à l'inégalité équivalente a x<−b (≤, >, ≥).
• Deuxièmement, les deux côtés de l’inégalité résultante sont divisés par un nombre a non nul. De plus, si a est un nombre positif, alors le signe d'inégalité est conservé, et si a est un nombre négatif, alors le signe d'inégalité est inversé. Le résultat est une inégalité élémentaire équivalente à l’inégalité linéaire originale, et voici la réponse.

Reste à comprendre l'application de l'algorithme annoncé à l'aide d'exemples. Voyons comment il peut être utilisé pour résoudre des inégalités linéaires pour a≠0.

Exemple.

Résolvez l'inégalité 3·x+12≤0.

Solution.

Pour une inégalité linéaire donnée, nous avons a=3 et b=12. Évidemment, le coefficient a pour la variable x est différent de zéro. Utilisons l'algorithme de solution correspondant donné ci-dessus.

Tout d'abord, on déplace le terme 12 vers la droite de l'inégalité, sans oublier de changer son signe, c'est-à-dire que −12 apparaîtra sur le côté droit. En conséquence, nous arrivons à l’inégalité équivalente 3·x≤−12.

Et, deuxièmement, nous divisons les deux côtés de l'inégalité résultante par 3, puisque 3 est un nombre positif, nous ne changeons pas le signe de l'inégalité. Nous avons (3 x):3≤(−12):3, ce qui est identique à x≤−4.

L'inégalité élémentaire résultante x≤−4 est équivalente à l'inégalité linéaire d'origine et est sa solution souhaitée.

Ainsi, la solution de l’inégalité linéaire 3 x + 12≤0 est tout nombre réel inférieur ou égal à moins quatre. La réponse peut également s'écrire sous la forme d'un intervalle numérique correspondant à l'inégalité x≤−4, c'est-à-dire comme (−∞, −4] .

Ayant acquis l'habileté de travailler avec des inégalités linéaires, leurs solutions peuvent être écrites brièvement sans explication. Dans ce cas, notez d'abord l'inégalité linéaire d'origine, et ci-dessous - les inégalités équivalentes obtenues à chaque étape de la solution :
3x+12≤0 ;
3x≤−12 ;
x≤−4 .

Répondre:

x≤−4 ou (−∞, −4] .

Exemple.

Énumérez toutes les solutions à l'inégalité linéaire −2,7·z>0.

Solution.

Ici le coefficient a pour la variable z est égal à −2,7. Et le coefficient b est absent sous forme explicite, c'est-à-dire qu'il est égal à zéro. Par conséquent, la première étape de l'algorithme de résolution d'une inégalité linéaire avec une variable n'a pas besoin d'être effectuée, car déplacer un zéro du côté gauche vers la droite ne changera pas la forme de l'inégalité d'origine.

Il reste à diviser les deux côtés de l'inégalité par −2,7, sans oublier de changer le signe de l'inégalité par le signe opposé, puisque −2,7 est un nombre négatif. Nous avons (−2,7z):(−2,7)<0:(−2,7) , puis z<0 .

Et maintenant brièvement :
−2,7.z>0 ;
z<0 .

Répondre:

z<0 или (−∞, 0) .

Exemple.

Résoudre l'inégalité .

Solution.

Il faut résoudre une inégalité linéaire de coefficient a pour la variable x égale à −5, et de coefficient b, qui correspond à la fraction −15/22. On procède selon le schéma bien connu : on transfère d'abord −15/22 vers le côté droit de signe opposé, après quoi on divise les deux côtés de l'inégalité par le nombre négatif −5, en changeant le signe de l'inégalité :

La dernière transition sur le côté droit utilise , puis exécuté .

Répondre:

Passons maintenant au cas où a=0. Le principe de résolution de l'inégalité linéaire a x+b<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Sur quoi est-ce basé? Très simple : déterminer la solution à l’inégalité. Comment? Oui, voici comment : quelle que soit la valeur de la variable x que nous substituons dans l'inégalité linéaire d'origine, nous obtiendrons une inégalité numérique de la forme b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Formulons les arguments ci-dessus sous la forme algorithme de résolution des inégalités linéaires 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

• Considérons l'inégalité numérique b<0 (≤, >, ≥) et
• si c'est vrai, alors la solution de l'inégalité initiale est n'importe quel nombre ;
• si c'est faux, alors l'inégalité linéaire originale n'a pas de solution.

Comprenons maintenant cela avec des exemples.

Exemple.

Résolvez l'inégalité 0·x+7>0.

Solution.

Pour toute valeur de la variable x, l'inégalité linéaire 0 x+7>0 se transformera en inégalité numérique 7>0. La dernière inégalité est vraie, donc tout nombre est une solution à l’inégalité d’origine.

Répondre:

la solution est n'importe quel nombre ou (−∞, +∞) .

Exemple.

L'inégalité linéaire 0·x−12.7≥0 a-t-elle des solutions ?

Solution.

Si nous substituons n'importe quel nombre à la variable x, alors l'inégalité d'origine se transforme en une inégalité numérique −12,7≥0, ce qui est incorrect. Cela signifie qu'aucun nombre n'est une solution à l'inégalité linéaire 0·x−12,7≥0.

Répondre:

non, ce n'est pas le cas.

Pour conclure cette section, nous analyserons les solutions de deux inégalités linéaires dont les coefficients sont tous deux égaux à zéro.

Exemple.

Laquelle des inégalités linéaires 0·x+0>0 et 0·x+0≥0 n'a pas de solutions, et laquelle a une infinité de solutions ?

Solution.

Si vous remplacez la variable x par n'importe quel nombre, alors la première inégalité prendra la forme 0>0 et la seconde – 0≥0. Le premier d’entre eux est incorrect et le second est correct. Par conséquent, l'inégalité linéaire 0·x+0>0 n'a pas de solutions, et l'inégalité 0·x+0≥0 a une infinité de solutions, c'est-à-dire que sa solution est n'importe quel nombre.

Répondre:

l'inégalité 0 x+0>0 n'a pas de solutions, et l'inégalité 0 x+0≥0 a une infinité de solutions.

Méthode d'intervalle

En général, la méthode des intervalles est étudiée dans un cours d'algèbre scolaire plus tard que le thème de la résolution des inégalités linéaires à une variable. Mais la méthode des intervalles vous permet de résoudre diverses inégalités, y compris les inégalités linéaires. Par conséquent, attardons-nous là-dessus.

Notons tout de suite qu'il convient d'utiliser la méthode des intervalles pour résoudre des inégalités linéaires à coefficient non nul pour la variable x. Sinon, il est plus rapide et plus pratique de tirer une conclusion sur la solution de l'inégalité en utilisant la méthode évoquée à la fin du paragraphe précédent.

La méthode des intervalles implique

• introduisant une fonction correspondant au côté gauche de l’inégalité, dans notre cas – fonction linéaire y=a x+b ,
• trouver ses zéros, qui divisent le domaine de définition en intervalles,
• détermination des signes qui ont des valeurs de fonction sur ces intervalles, sur la base desquels une conclusion est tirée sur la solution d'une inégalité linéaire.

Rassemblons ces moments dans algorithme, révélant comment résoudre les inégalités linéaires a x+b<0 (≤, >, ≥) pour a≠0 en utilisant la méthode des intervalles :

• On trouve les zéros de la fonction y=a·x+b, pour lesquels a·x+b=0 est résolu. Comme on le sait, pour a≠0, il a une seule racine, que nous désignons par x 0 .
• Il est construit et un point de coordonnée x 0 y est représenté. De plus, s'il est décidé inégalité stricte(avec signe< или >), alors ce point est rendu ponctué (avec un centre vide), et s'il n'est pas strict (avec un signe ≤ ou ≥), alors un point régulier est placé. Ce point divise la ligne de coordonnées en deux intervalles (−∞, x 0) et (x 0, +∞).
• Les signes de la fonction y=a·x+b sur ces intervalles sont déterminés. Pour ce faire, la valeur de cette fonction est calculée en tout point de l'intervalle (−∞, x 0), et le signe de cette valeur sera le signe souhaité sur l'intervalle (−∞, x 0). De même, le signe sur l'intervalle (x 0 , +∞) coïncide avec le signe de la valeur de la fonction y=a·x+b en tout point de cet intervalle. Mais on peut se passer de ces calculs, et tirer des conclusions sur les signes en fonction de la valeur du coefficient a : si a>0, alors sur les intervalles (−∞, x 0) et (x 0, +∞) il y aura signes − et +, respectivement, et si a >0, alors + et −.
• Si des inégalités avec des signes > ou ≥ sont résolues, alors une hachure est placée sur l'espace avec un signe plus, et si des inégalités avec des signes sont résolues< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

Considérons un exemple de résolution d'une inégalité linéaire à l'aide de la méthode des intervalles.

Exemple.

Résolvez l’inégalité −3·x+12>0.

Solution.

Puisque nous analysons la méthode des intervalles, nous l'utiliserons. Selon l'algorithme, nous trouvons d'abord la racine de l'équation −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. Ensuite, nous traçons une ligne de coordonnées et marquons un point dessus avec la coordonnée 4, et nous faisons perforer ce point, puisque nous résolvons une inégalité stricte :

Maintenant, nous déterminons les signes sur les intervalles. Pour déterminer le signe sur l'intervalle (−∞, 4), vous pouvez calculer la valeur de la fonction y=−3·x+12, par exemple en x=3. On a −3·3+12=3>0, ce qui signifie qu'il y a un signe + sur cet intervalle. Pour déterminer le signe sur un autre intervalle (4, +∞), vous pouvez calculer la valeur de la fonction y=−3 x+12, par exemple au point x=5. On a −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

Puisque nous résolvons l'inégalité avec le signe >, nous dessinons un ombrage sur l'écart avec le signe +, le dessin prend la forme

Sur la base de l'image résultante, nous concluons que la solution souhaitée est (−∞, 4) ou dans une autre notation x<4 .

Répondre:

(−∞, 4) ou x<4 .

Graphiquement

Il est utile de comprendre l’interprétation géométrique de la résolution d’inéquations linéaires à une variable. Pour l’obtenir, considérons quatre inégalités linéaires de même membre gauche : 0,5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 et 0.5 x−1≥0 , leurs solutions sont x<2 , x≤2 , x>2 et x≥2, et tracez également un graphique de la fonction linéaire y=0,5 x−1.

Il est facile de remarquer que

• solution à l'inégalité 0,5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
• la solution de l'inégalité 0,5 x−1≤0 représente l'intervalle dans lequel le graphique de la fonction y=0,5 x−1 est en dessous de l'axe Ox ou coïncide avec lui (c'est-à-dire pas au-dessus de l'axe des abscisses),
• de même, la solution de l'inégalité 0,5 x−1>0 est l'intervalle dans lequel le graphique de la fonction est au-dessus de l'axe Ox (cette partie du graphique est représentée en rouge),
• et la solution de l'inégalité 0,5·x−1≥0 est l'intervalle dans lequel le graphique de la fonction est plus haut ou coïncide avec l'axe des abscisses.

Méthode graphique pour résoudre les inégalités, notamment linéaire, et implique de trouver des intervalles dans lesquels le graphe de la fonction correspondant au côté gauche de l'inégalité se situe au dessus, en dessous, pas en dessous ou pas au dessus du graphe de la fonction correspondant au côté droit de l'inégalité. Dans notre cas d'inégalité linéaire, la fonction correspondant au côté gauche est y=a·x+b, et le côté droit est y=0, coïncidant avec l'axe Ox.

Compte tenu des informations fournies, il est facile de formuler algorithme pour résoudre graphiquement les inégalités linéaires:

• Un graphe de la fonction y=a x+b est construit (schématiquement possible) et
• lors de la résolution de l'inégalité a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
• lors de la résolution de l'inégalité a x+b≤0, l'intervalle est déterminé dans lequel le graphique est inférieur ou coïncide avec l'axe Ox,
• lors de la résolution de l'inégalité a x+b>0, l'intervalle est déterminé dans lequel le graphique est au-dessus de l'axe Ox,
• lors de la résolution de l'inégalité a·x+b≥0, l'intervalle dans lequel le graphique est plus haut ou coïncide avec l'axe Ox est déterminé.

Exemple.

Résoudre l'inégalité graphiquement.

Solution.

Esquissons un graphique d'une fonction linéaire . Il s’agit d’une droite décroissante puisque le coefficient de x est négatif. Il faut aussi la coordonnée du point de son intersection avec l'axe des x, c'est la racine de l'équation , qui est égal à . Pour nos besoins, nous n’avons même pas besoin de représenter l’axe Oy. Notre dessin schématique ressemblera donc à ceci

Puisque nous résolvons une inégalité avec un signe >, nous nous intéressons à l'intervalle dans lequel le graphique de la fonction est au-dessus de l'axe Ox. Pour plus de clarté, soulignons cette partie du graphique en rouge, et afin de déterminer facilement l'intervalle correspondant à cette partie, soulignons en rouge la partie du plan de coordonnées dans laquelle se situe la partie sélectionnée du graphique, comme dans le Figure ci-dessous:

L'écart qui nous intéresse est la partie de l'axe Ox qui est surlignée en rouge. Il s'agit évidemment d'un faisceau de nombres ouvert . C'est la solution que nous recherchons. Notez que si nous résolvions l'inégalité non pas avec le signe >, mais avec le signe de l'inégalité non stricte ≥, alors nous devrions ajouter la réponse, car à ce stade le graphique de la fonction coïncide avec l'axe Ox .y=0·x+7, qui est identique à y=7, définit une ligne droite sur le plan de coordonnées parallèle à l'axe Ox et située au-dessus de lui. Donc l’inégalité 0 x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

Et le graphique de la fonction y=0·x+0, qui est identique à y=0, est une ligne droite coïncidant avec l'axe Ox. Par conséquent, la solution de l’inégalité 0·x+0≥0 est l’ensemble de tous les nombres réels.

Répondre:

deuxième inégalité, sa solution est n’importe quel nombre réel.

Des inégalités qui se réduisent à linéarité

Un grand nombre d'inégalités peuvent être remplacées par des inégalités linéaires équivalentes à l'aide de transformations équivalentes, c'est-à-dire réduites à une inégalité linéaire. De telles inégalités sont appelées des inégalités qui se réduisent à linéaires.

À l'école, presque simultanément à la résolution des inégalités linéaires, des inégalités simples qui se réduisent à des inégalités linéaires sont également prises en compte. Ce sont des cas particuliers des inégalités entières, à savoir dans leurs parties gauche et droite se trouvent des expressions entières qui représentent ou binômes linéaires, ou y sont convertis par et . Pour plus de clarté, nous donnons plusieurs exemples de telles inégalités : 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, .

Les inégalités de forme similaire à celles indiquées ci-dessus peuvent toujours être réduites à des inégalités linéaires. Cela peut être fait en ouvrant des parenthèses, en rapprochant des termes similaires, en réorganisant les termes et en déplaçant les termes d'un côté de l'inégalité à un autre avec le signe opposé.

Par exemple, pour réduire l'inégalité 5−2 x>0 à linéaire, il suffit de réarranger les termes sur son côté gauche, on a −2 x+5>0. Pour réduire la deuxième inégalité 7·(x−1)+3≤4·x−2+x à linéaire, il faut un peu plus d'étapes : sur le côté gauche, nous ouvrons les parenthèses 7·x−7+3≤4· x−2+x , après Pour y parvenir, on présente des termes similaires des deux côtés 7 x−4≤5 x−2 , puis on transfère les termes du côté droit vers le côté gauche 7 x−4−5 x+2 ≤0 , enfin, nous présentons des termes similaires dans le côté gauche 2 ·x−2≤0 . De même, la troisième inégalité peut être réduite à une inégalité linéaire.

Étant donné que de telles inégalités peuvent toujours être réduites à des inégalités linéaires, certains auteurs les qualifient même de linéaires. Mais nous les considérerons toujours comme réductibles au linéaire.

On comprend maintenant pourquoi ces inégalités sont considérées conjointement avec les inégalités linéaires. Et le principe de leur solution est absolument le même : en effectuant des transformations équivalentes, on peut les réduire à des inégalités élémentaires, qui sont les solutions recherchées.

Pour résoudre une inégalité de ce type, vous pouvez d’abord la réduire à une inégalité linéaire, puis résoudre cette inégalité linéaire. Mais il est plus rationnel et pratique de faire ceci :

• après avoir ouvert les parenthèses, rassembler tous les termes avec la variable à gauche de l'inégalité, et tous les nombres à droite,
• puis apportez des termes similaires,
• puis divisez les deux côtés de l'inégalité résultante par le coefficient de x (s'il est, bien sûr, différent de zéro). Cela donnera la réponse.

Exemple.

Résolvez l'inégalité 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Solution.

Tout d'abord, ouvrons les parenthèses, nous arrivons ainsi à l'inégalité 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1 . Donnons maintenant des termes similaires : 6 x+15≤6 x−17 . Ensuite, nous déplaçons les termes de côté gauche, nous obtenons 6 x+15−6 x+17≤0, et encore une fois nous apportons des termes similaires (ce qui nous amène à l'inégalité linéaire 0 x+32≤0) et nous avons 32≤0. C’est ainsi que nous sommes arrivés à une inégalité numérique incorrecte, d’où nous concluons que l’inégalité originelle n’a pas de solution.

Répondre:

aucune solution.

En conclusion, notons qu'il existe bien d'autres inégalités qui peuvent être réduites à des inégalités linéaires, ou à des inégalités du type considéré ci-dessus. Par exemple, la solution inégalité exponentielle 5 2 x−1 ≥1 se réduit à résoudre l'inégalité linéaire 2 x−1≥0 . Mais nous en parlerons lors de l'analyse des solutions aux inégalités de la forme correspondante.

Bibliographie.

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• Mordkovitch A.G. Algèbre et début de l'analyse mathématique. 11e année. En 2 heures. Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveau profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2e éd., effacé. - M. : Mnémosyne, 2008. - 287 p. : ill. ISBN978-5-346-01027-2.

Les principaux types d'inégalités sont présentés, parmi lesquels les inégalités de Bernoulli, Cauchy - Bunyakovsky, Minkowski, Chebyshev. Les propriétés des inégalités et les actions sur celles-ci sont prises en compte. Les méthodes de base pour résoudre les inégalités sont données.

Formules pour les inégalités fondamentales

Formules pour les inégalités universelles

Les inégalités universelles sont satisfaites pour toutes les valeurs des quantités qu'elles contiennent. Les principaux types d’inégalités universelles sont énumérés ci-dessous.

1) | un b | ≤ |une| + |b| ; | une 1 une 2 ... une n | ≤ |a 1 | + |une 2 | + ... + |une n |

2) |une| + |b| ≥ | un-b | ≥ | |une| - |b| |

3)
L'égalité ne se produit que lorsque a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Inégalité de Cauchy-Bunyakovsky

L'égalité est vraie si et seulement si α a k = β b k pour tout k = 1, 2, ..., n et certains α, β, |α| + |β| > 0 .

5) L'inégalité de Minkowski, pour p ≥ 1

Formules d'inégalités satisfiables

Les inégalités satisfaisables sont satisfaites pour certaines valeurs des quantités qu'elles contiennent.

1) L'inégalité de Bernoulli :
.
Plus généralement:
,
où , nombres de même signe et supérieurs à -1 : .
Lemme de Bernoulli :
.
Voir "Preuves d'inégalités et lemme de Bernoulli".

2)
pour une je ≥ 0 (je = 1, 2, ..., n) .

3) L'inégalité de Chebyshev
à 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Et 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
À 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Et b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Inégalités généralisées de Chebyshev
à 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Et 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n et k naturel
.
À 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n Et b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Propriétés des inégalités

Les propriétés des inégalités sont un ensemble de règles qui sont satisfaites lors de leur transformation. Voici les propriétés des inégalités. Il est entendu que les inégalités originales sont satisfaites pour les valeurs de x i (i = 1, 2, 3, 4) appartenant à un intervalle prédéterminé.

1) Lorsque l'ordre des côtés change, le signe de l'inégalité change à l'opposé.
Si x1< x 2 , то x 2 >x1.
Si x 1 ≤ x 2, alors x 2 ≥ x 1.
Si x 1 ≥ x 2, alors x 2 ≤ x 1.
Si x 1 > x 2 alors x 2< x 1 .

2) Une égalité équivaut à deux inégalités faibles signe différent.
Si x 1 = x 2, alors x 1 ≤ x 2 et x 1 ≥ x 2.
Si x 1 ≤ x 2 et x 1 ≥ x 2, alors x 1 = x 2.

3) Propriété de transitivité
Si x1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Si x1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Si x 1 ≤ x 2 et x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Si x 1 ≤ x 2 et x 2 ≤ x 3, alors x 1 ≤ x 3.

4) Le même nombre peut être ajouté (soustrait) aux deux côtés de l’inégalité.
Si x1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Si x 1 ≤ x 2, alors x 1 + A ≤ x 2 + A.
Si x 1 ≥ x 2, alors x 1 + A ≥ x 2 + A.
Si x 1 > x 2, alors x 1 + A > x 2 + A.

5) S'il y a deux inégalités ou plus avec le signe de la même direction, alors leurs côtés gauche et droit peuvent être additionnés.
Si x1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Si x1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Si x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Si x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, alors x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Des expressions similaires s'appliquent aux signes ≥, >.
Si les inégalités d'origine contiennent des signes d'inégalités non strictes et au moins une inégalité stricte (mais tous les signes ont la même direction), alors l'addition aboutit à une inégalité stricte.

6) Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par un nombre positif.
Si x1< x 2 и A >0, puis A x 1< A · x 2 .
Si x 1 ≤ x 2 et A > 0, alors A x 1 ≤ A x 2.
Si x 1 ≥ x 2 et A > 0, alors A x 1 ≥ A x 2.
Si x 1 > x 2 et A > 0, alors A · x 1 > A · x 2.

7) Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par un nombre négatif. Dans ce cas, le signe de l'inégalité changera à l'opposé.
Si x1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >Un x2.
Si x 1 ≤ x 2 et A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Si x 1 ≥ x 2 et A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Si x 1 > x 2 et A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) S'il existe deux ou plusieurs inégalités avec des termes positifs, avec le signe de la même direction, alors leurs côtés gauche et droit peuvent être multipliés l'un par l'autre.
Si x1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 puis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Si x1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 puis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Si x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 puis x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Si x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 alors x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Des expressions similaires s'appliquent aux signes ≥, >.
Si les inégalités d'origine contiennent des signes d'inégalités non strictes et au moins une inégalité stricte (mais tous les signes ont la même direction), alors la multiplication aboutit à une inégalité stricte.

9) Soit f(x) une fonction croissante de façon monotone. Autrement dit, pour tout x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2).
Si x1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Cette fonction peut alors être appliquée aux deux côtés de l’inégalité, ce qui ne changera pas le signe de l’inégalité.
Si x 1 ≤ x 2 alors f(x 1) ≤ f(x 2) .
Si x 1 ≥ x 2 alors f(x 1) ≥ f(x 2) .

Si x 1 > x 2, alors f(x 1) > f(x 2).< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Si x1< x 2 , то f(x 1) >10) Soit f(x) une fonction décroissante de façon monotone, c'est-à-dire que pour tout x 1 > x 2, f(x 1)
f(x2) .
Si x 1 ≤ x 2 alors f(x 1) ≥ f(x 2) .
Si x 1 ≥ x 2 alors f(x 1) ≤ f(x 2) .< f(x 2) .

Si x 1 > x 2 alors f(x 1)

Méthodes pour résoudre les inégalités

Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles
La méthode des intervalles est applicable si l'inégalité comprend une variable, que nous désignons par x, et qu'elle a la forme :
f(x) > 0 où f(x) - fonction continue , ayant numéro final<, ≤ .

points de rupture. Le signe de l'inégalité peut être n'importe quoi : >, ≥,

La méthode des intervalles est la suivante.

1) Trouvez le domaine de définition de la fonction f(x) et marquez-le avec des intervalles sur l'axe des nombres.

2) Trouver les points de discontinuité de la fonction f(x).
Par exemple, s'il s'agit d'une fraction, nous trouvons alors les points auxquels le dénominateur devient nul. Nous marquons ces points sur l'axe des nombres.
3) Résoudre l'équation

f(x) = 0 .

Nous marquons les racines de cette équation sur l’axe des nombres.
4) En conséquence, l'axe des nombres sera divisé en intervalles (segments) par points. Dans chaque intervalle inclus dans le domaine de définition, nous sélectionnons n'importe quel point et à ce stade nous calculons la valeur de la fonction. Si cette valeur est supérieure à zéro, alors on place un signe « + » au dessus du segment (intervalle).
Si cette valeur est inférieure à zéro, alors on met un signe « - » au dessus du segment (intervalle).< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Si l'inégalité a la forme : f(x) ≤ 0, alors à la solution on ajoute les points auxquels f(x) = 0.

Résoudre les inégalités en utilisant leurs propriétés

Cette méthode est applicable aux inégalités de toute complexité. Elle consiste à appliquer les propriétés (présentées ci-dessus) pour amener les inégalités à plus vue simple et obtenez une solution. Il est fort possible que cela aboutisse non pas à une seule, mais à un système d’inégalités. C'est une méthode universelle. Cela s’applique à toutes les inégalités.

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Les inégalités et les systèmes d’inégalités sont l’un des thèmes abordés dans lycée en algèbre. En termes de niveau de difficulté, ce n'est pas le plus difficile, puisqu'il a des règles simples (nous y reviendrons un peu plus tard). En règle générale, les écoliers apprennent assez facilement à résoudre les systèmes d’inégalités. Cela est également dû au fait que les enseignants « forment » simplement leurs élèves sur ce sujet. Et ils ne peuvent s'empêcher de le faire, car cela sera étudié à l'avenir à l'aide d'autres quantités mathématiques, et est également testé sur l'OGE et l'examen d'État unifié. DANS manuels scolaires Le sujet des inégalités et des systèmes d'inégalités est abordé de manière très détaillée, donc si vous souhaitez l'étudier, il est préférable d'y recourir. Cet article ne résume que des éléments plus vastes et il peut y avoir quelques omissions.

Le concept de système d'inégalités

Si vous vous tournez vers langage scientifique, on peut alors définir la notion de « système d’inégalités ». Il s'agit d'un modèle mathématique qui représente plusieurs inégalités. Ce modèle, bien sûr, nécessite une solution, et ce sera la réponse générale pour toutes les inégalités du système proposé dans la tâche (généralement cela s'écrit ainsi, par exemple : « Résoudre le système d'inégalités 4 x + 1 > 2 et 30 - x > 6... "). Cependant, avant de passer aux types et méthodes de solutions, vous devez comprendre autre chose.

Systèmes d'inégalités et systèmes d'équations

En cours d'étude nouveau sujet très souvent, des malentendus surviennent. D'une part, tout est clair et vous souhaitez commencer à résoudre les tâches le plus rapidement possible, mais d'autre part, certains moments restent dans « l'ombre » et ne sont pas entièrement compris. En outre, certains éléments de connaissances déjà acquises peuvent être étroitement liés à de nouvelles. En raison de ce « chevauchement », des erreurs se produisent souvent.

Par conséquent, avant de commencer à analyser notre sujet, nous devons nous rappeler les différences entre les équations et les inégalités et leurs systèmes. Pour ce faire, nous devons clarifier une fois de plus ce que représentent les données. concepts mathématiques. Une équation est toujours une égalité, et elle est toujours égale à quelque chose (en mathématiques, ce mot est désigné par le signe "="). L'inégalité est un modèle dans lequel une valeur est soit supérieure, soit inférieure à une autre, ou contient une déclaration indiquant qu'elles ne sont pas identiques. Ainsi, dans le premier cas, il convient de parler d'égalité, et dans le second, aussi évident que cela puisse paraître au vu du nom lui-même, de l'inégalité des données initiales. Les systèmes d'équations et d'inégalités ne diffèrent pratiquement pas les uns des autres et les méthodes pour les résoudre sont les mêmes. La seule différence est que dans le premier cas, des égalités sont utilisées et dans le second, des inégalités.

Types d'inégalités

Il existe deux types d'inégalités : numériques et à variable inconnue. Le premier type représente les valeurs fournies (nombres) qui sont inégales les unes aux autres, par exemple 8 > 10. Le second concerne les inégalités contenant une variable inconnue (désignée par une lettre alphabet latin, le plus souvent X). Cette variable doit être trouvée. Selon leur nombre, le modèle mathématique distingue les inégalités à une (elles constituent un système d'inégalités à une variable) ou à plusieurs variables (elles constituent un système d'inégalités à plusieurs variables).

Les deux derniers types, selon le degré de leur construction et le niveau de complexité de la solution, sont divisés en simples et complexes. Les inégalités simples sont également appelées inégalités linéaires. Ils sont à leur tour divisés en stricts et non stricts. Les plus stricts « disent » spécifiquement qu’une quantité doit nécessairement être inférieure ou supérieure, il s’agit donc d’une pure inégalité. Plusieurs exemples peuvent être donnés : 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etc. Les non stricts incluent également l'égalité. Autrement dit, une valeur peut être supérieure ou égale à une autre valeur (le signe « ≥ ») ou inférieure ou égale à une autre valeur (le signe « ≤ »). Même dans les inégalités linéaires, la variable n’est pas à la racine, au carré ou divisible par quoi que ce soit, c’est pourquoi on les appelle « simples ». Les complexes impliquent des variables inconnues qui nécessitent une exécution pour être trouvées. plus opérations mathématiques. Ils sont souvent situés dans un carré, un cube ou sous une racine, ils peuvent être modulaires, logarithmiques, fractionnaires, etc. Mais puisque notre tâche est la nécessité de comprendre la solution des systèmes d'inégalités, nous parlerons d'un système d'inégalités linéaires . Cependant, avant cela, il convient de dire quelques mots sur leurs propriétés.

Propriétés des inégalités

Les propriétés des inégalités sont les suivantes :

1. Le signe d'inégalité est inversé si une opération est utilisée pour changer l'ordre des côtés (par exemple, si t 1 ≤ t 2, alors t 2 ≥ t 1).
2. Les deux côtés de l'inégalité permettent d'ajouter le même nombre à lui-même (par exemple, si t 1 ≤ t 2, alors t 1 + nombre ≤ t 2 + nombre).
3. Deux ou plusieurs inégalités avec un signe dans le même sens permettent d'ajouter leurs côtés gauche et droit (par exemple, si t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, alors t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Les deux parties de l'inégalité peuvent être multipliées ou divisées par le même nombre positif (par exemple, si t 1 ≤ t 2 et un nombre ≤ 0, alors le nombre · t 1 ≥ nombre · t 2).
5. Deux ou plusieurs inégalités qui ont des termes positifs et un signe dans le même sens se laissent multiplier les unes par les autres (par exemple, si t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 alors t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Les deux parties de l'inégalité se laissent multiplier ou diviser par le même nombre négatif, mais dans ce cas le signe de l'inégalité change (par exemple, si t 1 ≤ t 2 et un nombre ≤ 0, alors le nombre · t 1 ≥ nombre · t 2).
7. Toutes les inégalités ont la propriété de transitivité (par exemple, si t 1 ≤ t 2 et t 2 ≤ t 3, alors t 1 ≤ t 3).

Maintenant, après avoir étudié les principes de base de la théorie relative aux inégalités, nous pouvons procéder directement à l'examen des règles de résolution de leurs systèmes.

Résoudre les systèmes d'inégalités. Informations générales. Solutions

Comme mentionné ci-dessus, la solution réside dans les valeurs de la variable qui conviennent à toutes les inégalités du système donné. La résolution de systèmes d'inégalités est la mise en œuvre d'opérations mathématiques qui conduisent finalement à une solution du système entier ou prouvent qu'il n'a pas de solution. Dans ce cas, la variable est dite faire référence à vide ensemble numérique(écrit ainsi : lettre désignant une variable∈ (signe « appartient ») ø (signe « ensemble vide »), par exemple x ∈ ø (lire : « La variable « x » appartient à l'ensemble vide »). Il existe plusieurs manières de résoudre des systèmes d'inégalités : graphique, algébrique, méthode de substitution. Il convient de noter qu'ils font partie de ceux modèles mathématiques, qui ont plusieurs variables inconnues. Dans le cas où il n’y en a qu’un, la méthode des intervalles convient.

Méthode graphique

Permet de résoudre un système d'inégalités à plusieurs inconnues (à partir de deux et plus). Grâce à cette méthode, un système d'inégalités linéaires peut être résolu assez facilement et rapidement, c'est donc la méthode la plus courante. Cela s'explique par le fait que tracer un graphique réduit la quantité d'écriture d'opérations mathématiques. Il devient particulièrement agréable de faire une petite pause avec le stylo, de prendre un crayon avec une règle et de commencer à travailler. actions supplémentaires avec leur aide lorsque beaucoup de travail a été fait et que vous souhaitez un peu de variété. Cependant cette méthode certaines personnes n’aiment pas cela parce qu’elles doivent s’éloigner de la tâche et basculer leur activité mentale vers le dessin. Cependant, c'est une méthode très efficace.

Résoudre un système d’inégalités en utilisant méthode graphique, il faut transférer tous les termes de chaque inégalité vers leur côté gauche. Les signes seront inversés, zéro devra être écrit à droite, puis chaque inégalité devra être écrite séparément. En conséquence, les fonctions seront obtenues à partir des inégalités. Après cela, vous pouvez sortir un crayon et une règle : vous devez maintenant tracer un graphique de chaque fonction obtenue. L'ensemble des nombres qui se trouveront dans l'intervalle de leur intersection sera une solution au système d'inégalités.

Voie algébrique

Permet de résoudre un système d'inégalités à deux variables inconnues. De plus, les inégalités doivent avoir avec le même signe inégalités (c'est-à-dire qu'elles doivent contenir soit uniquement le signe « supérieur à », soit uniquement le signe « inférieur à », etc.). Malgré ses limites, cette méthode est également plus complexe. Son application s'effectue en deux étapes.

La première implique des actions pour se débarrasser de l’une des variables inconnues. Vous devez d'abord le sélectionner, puis vérifier la présence de chiffres devant cette variable. S'ils ne sont pas là (alors la variable ressemblera à une seule lettre), alors on ne change rien, s'il y en a (le type de la variable sera, par exemple, 5y ou 12y), alors il faut faire assurez-vous que dans chaque inégalité, le nombre devant la variable sélectionnée est le même. Pour ce faire, il faut multiplier chaque terme des inégalités par multiplicateur commun, par exemple, si 3y est écrit dans la première inégalité et 5y dans la seconde, alors il faut multiplier tous les termes de la première inégalité par 5 et la seconde par 3. Le résultat est respectivement 15y et 15y.

Deuxième étape de solution. Il faut transférer le côté gauche de chaque inégalité vers leur côté droit, en changeant le signe de chaque terme en sens opposé, et écrire zéro à droite. Vient ensuite la partie amusante : se débarrasser de la variable sélectionnée (autrement appelée « réduction ») tout en ajoutant les inégalités. Il en résulte une inégalité avec une variable qui doit être résolue. Après cela, vous devriez faire la même chose, mais avec une autre variable inconnue. Les résultats obtenus seront la solution du système.

Méthode de substitution

Permet de résoudre un système d'inégalités s'il est possible d'introduire une nouvelle variable. Habituellement, cette méthode est utilisée lorsque la variable inconnue dans un terme de l'inégalité est élevée à la puissance quatrième et que dans l'autre terme elle est au carré. Ainsi, cette méthode vise à réduire le degré d’inégalités dans le système. L'inégalité d'échantillon x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 est résolue de cette manière. Une nouvelle variable est introduite, par exemple t. Ils écrivent : « Soit t = x 2 », puis le modèle est réécrit sous une nouvelle forme. Dans notre cas, nous obtenons t 2 - t - 1 ≤0. Cette inégalité doit être résolue en utilisant la méthode des intervalles (nous y reviendrons un peu plus tard), puis en revenant à la variable X, puis en faisant de même avec l'autre inégalité. Les réponses reçues constitueront la solution du système.

Méthode d'intervalle

C’est la manière la plus simple de résoudre les systèmes d’inégalités, et en même temps elle est universelle et répandue. Il est utilisé dans les écoles secondaires et même dans les écoles supérieures. Son essence réside dans le fait que l'élève recherche des intervalles d'inégalité sur une droite numérique dessinée dans un cahier (ce n'est pas un graphique, mais juste une droite ordinaire avec des nombres). Là où les intervalles d’inégalités se croisent, la solution du système est trouvée. Pour utiliser la méthode des intervalles, vous devez suivre ces étapes :

1. Tous les termes de chaque inégalité sont transférés vers la gauche avec le signe changeant à l'opposé (zéro est écrit à droite).
2. Les inégalités sont écrites séparément et la solution de chacune d'elles est déterminée.
3. Les intersections des inégalités sur la droite numérique sont trouvées. Tous les numéros situés à ces intersections seront une solution.

Quelle méthode dois-je utiliser ?

Évidemment celui qui semble le plus simple et le plus pratique, mais il y a des cas où les tâches nécessitent une certaine méthode. Le plus souvent, ils disent que vous devez résoudre soit à l'aide d'un graphique, soit par la méthode des intervalles. Voie algébrique et la substitution sont utilisées extrêmement rarement ou pas du tout, car elles sont assez complexes et déroutantes, et de plus, elles sont davantage utilisées pour résoudre des systèmes d'équations que des inégalités, vous devriez donc recourir à dessiner des graphiques et des intervalles. Ils apportent une clarté qui ne peut que contribuer à l’exécution efficace et rapide des opérations mathématiques.

Si quelque chose ne marche pas

Lors de l'étude d'un sujet particulier en algèbre, des problèmes de compréhension peuvent naturellement survenir. Et c'est normal, car notre cerveau est conçu de telle manière qu'il n'est pas capable de comprendre matériau complexe immediatement. Vous avez souvent besoin de relire un paragraphe, de demander l'aide d'un enseignant ou de vous entraîner à résoudre un problème. tâches typiques. Dans notre cas, ils ressemblent par exemple à ceci : « Résolvez le système d'inégalités 3 x + 1 ≥ 0 et 2 x - 1 > 3. » Ainsi, le désir personnel, l'aide de personnes extérieures et la pratique aident à comprendre tout sujet complexe.

Solveur ?

Un livre de solutions est également très approprié, mais pas pour copier des devoirs, mais pour s'auto-aider. Vous pouvez y trouver des systèmes d'inégalités avec une solution, les examiner (comme modèles), essayer de comprendre exactement comment l'auteur de la solution a fait face à la tâche, puis essayer de faire de même par vous-même.

conclusions

L'algèbre est l'une des matières les plus difficiles à l'école. Eh bien, que peux-tu faire ? Les mathématiques ont toujours été ainsi : pour certains c'est facile, mais pour d'autres c'est difficile. Mais dans tous les cas, il ne faut pas oublier que programme de formation générale Il est construit de telle manière que n'importe quel étudiant peut le gérer. De plus, il faut garder à l'esprit grande quantité assistants Certains d'entre eux ont été mentionnés ci-dessus.

Que devez-vous savoir sur les icônes d’inégalité ? Inégalités avec icône plus (> ), ou moins (< ) sont appelés strict. Avec des icônes plus ou égal (≥ ), inférieur ou égal (≤ ) sont appelés pas stricte. Icône inégal (≠ ) se démarque, mais vous devez également résoudre à tout moment des exemples avec cette icône. Et nous déciderons.)

L'icône elle-même n'a pas beaucoup d'influence sur le processus de résolution. Mais à la fin de la décision, lors du choix de la réponse finale, la signification de l'icône apparaît dans pleine puissance! C’est ce que nous verrons ci-dessous dans des exemples. Il y a des blagues là-bas...

Les inégalités, comme les égalités, existent fidèle et infidèle. Ici, tout est simple, pas d'astuces. Disons 5 > 2 est une véritable inégalité. 5 < 2 - incorrect.

Cette préparation œuvre pour les inégalités toute sorte et simple jusqu'à l'horreur.) Il vous suffit d'effectuer correctement deux (seulement deux !) actions élémentaires. Ces actions sont familières à tout le monde. Mais, de manière caractéristique, les erreurs dans ces actions sont la principale erreur dans la résolution des inégalités, oui... Par conséquent, ces actions doivent être répétées. Ces actions sont appelées comme suit :

Transformations identiques des inégalités.

Les transformations identiques des inégalités sont très similaires aux transformations identiques des équations. En fait, c'est le principal problème. Les différences vous dépassent la tête et... vous y êtes.) C'est pourquoi je soulignerai particulièrement ces différences. Donc, première transformation identique des inégalités :

1. Le même nombre ou expression peut être ajouté (soustrait) aux deux côtés de l’inégalité. N'importe lequel. Cela ne changera pas le signe de l'inégalité.

En pratique, cette règle s'applique comme le transfert des termes du côté gauche de l'inégalité vers la droite (et vice versa) avec un changement de signe. Avec un changement de signe du terme, pas l'inégalité ! La règle un-à-un est la même que celle des équations. Voici les prochains transformations identitaires dans les inégalités diffère significativement de celui dans les équations. Je les surligne donc en rouge :

2. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosepositifnombre. Pour toutepositif Ne changera pas.

3. Les deux côtés de l’inégalité peuvent être multipliés (divisés) par la même chosenégatif nombre. Pour toutenégatifnombre. Le signe d'inégalité de cecichangera à l’opposé.

Vous vous souvenez (j'espère...) que l'équation peut être multipliée/divisée par n'importe quoi. Et pour n’importe quel nombre, et pour une expression avec un X. Si seulement ce n'était pas zéro. Cela fait de lui, l'équation, ni chaud ni froid.) Cela ne change pas. Mais les inégalités sont plus sensibles à la multiplication/division.

Un bon exemple pour la longue mémoire. Écrivons une inégalité qui ne fait pas de doute :

5 > 2

Multipliez les deux côtés par +3, on a:

15 > 6

Des objections? Il n'y a pas d'objections.) Et si nous multiplions les deux côtés de l'inégalité initiale par -3, on a:

15 > -6

Et c'est un mensonge pur et simple.) Un mensonge complet ! Tromperie du peuple ! Mais dès que l'on change le signe de l'inégalité par le signe opposé, tout se met en place :

15 < -6

Je ne jure pas seulement sur les mensonges et la tromperie.) "J'ai oublié de changer le signe égal..."- Ce maison erreur dans la résolution des inégalités. C'est trivial et règle simple tant de personnes ont été blessées ! Ce qu'ils ont oublié...) Alors je le jure. Peut-être que je m'en souviendrai...)

Les personnes particulièrement attentives remarqueront que les inégalités ne peuvent pas être multipliées par une expression avec un X. Respect à ceux qui sont attentifs !) Pourquoi pas ? La réponse est simple. On ne connaît pas le signe de cette expression avec un X. Cela peut être positif, négatif... On ne sait donc pas quel signe d'inégalité mettre après la multiplication. Dois-je le changer ou pas ? Inconnu. Bien entendu, cette restriction (l’interdiction de multiplier/diviser une inégalité par une expression avec un x) peut être contournée. Si vous en avez vraiment besoin. Mais c'est un sujet pour d'autres leçons.

Ce sont toutes des transformations identiques des inégalités. Permettez-moi de vous rappeler encore une fois qu'ils travaillent pour n'importe lequel inégalités Vous pouvez maintenant passer à des types spécifiques.

Inégalités linéaires. Solution, exemples.

Les inégalités linéaires sont des inégalités dans lesquelles x est à la première puissance et il n'y a pas de division par x. Taper:

x+3 > 5x-5

Comment ces inégalités sont-elles résolues ? Ils sont très faciles à résoudre ! A savoir : avec l'aide de nous réduisons l'inégalité linéaire la plus déroutante directement à la réponse. C'est la solution. Je soulignerai les principaux points de la décision. Pour éviter des erreurs stupides.)

Résolvons cette inégalité :

x+3 > 5x-5

Nous le résolvons exactement de la même manière qu’une équation linéaire. Avec la seule différence :

Nous suivons de près signe d'inégalité!

La première étape est la plus courante. Avec des X - à gauche, sans X - à droite... C'est la première transformation identique, simple et sans problème.) N'oubliez pas de changer les signes des termes transférés.

Le signe de l'inégalité reste :

x-5x > -5-3

En voici des similaires.

Le signe de l'inégalité reste :

4x > -8

Il reste à appliquer la dernière transformation identique : diviser les deux côtés par -4.

Diviser par négatif nombre.

Le signe de l'inégalité changera à l'opposé :

X < 2

C'est la réponse.

C’est ainsi que toutes les inégalités linéaires sont résolues.

Attention! Le point 2 est dessiné en blanc, c'est-à-dire non peint. Vide à l'intérieur. Cela signifie qu'elle n'est pas incluse dans la réponse ! Je l'ai dessinée exprès en si bonne santé. Un tel point (vide, pas sain !)) en mathématiques s'appelle point percé.

Les nombres restants sur l’axe peuvent être marqués, mais ce n’est pas nécessaire. Les nombres superflus qui ne sont pas liés à nos inégalités peuvent prêter à confusion, oui... Il faut juste se rappeler que les nombres augmentent dans le sens de la flèche, c'est-à-dire numéros 3, 4, 5, etc. sont À droite sont des deux et les nombres sont 1, 0, -1, etc. - À gauche.

Inégalité x < 2 - strict. X est strictement inférieur à deux. En cas de doute, la vérification est simple. Nous substituons le nombre douteux à l'inégalité et pensons : « Deux est inférieur à deux ? Non, bien sûr ! Exactement. Inégalité 2 < 2 Incorrect. Un deux en retour n'est pas approprié.

Est-ce que ça va ? Certainement. Moins... Et zéro est bon, et -17, et 0,34... Oui, tous les nombres inférieurs à deux sont bons ! Et même 1,9999.... Au moins un peu, mais moins !

Marquons donc tous ces nombres sur l’axe des nombres. Comment? Il y a des options ici. Première option - ombrage. Nous déplaçons la souris sur l'image (ou touchons l'image sur la tablette) et voyons que la zone de tous les x qui remplissent la condition x est ombrée < 2 . C'est tout.

Examinons la deuxième option en utilisant le deuxième exemple :

X ≥ -0,5

Tracez un axe et marquez le nombre -0,5. Comme ça:

Remarquez la différence ?) Eh bien oui, c'est difficile de ne pas le remarquer... Ce point est noir ! Peint. Cela signifie -0,5 est inclus dans la réponse. Soit dit en passant, la vérification peut dérouter quelqu'un. Remplaçons :

-0,5 ≥ -0,5

Comment ça? -0,5 n'est pas plus de -0,5 ! Et il y a plus d'icônes...

C'est bon. Dans une inégalité faible, tout ce qui correspond à l'icône convient. ET équivaut à bon et plus bien. Par conséquent, -0,5 est inclus dans la réponse.

Nous avons donc marqué -0,5 sur l'axe ; il reste à marquer tous les nombres supérieurs à -0,5. Cette fois, je marque la zone des valeurs x appropriées arc(du mot arc), plutôt que d’ombrager. Nous passons le curseur sur le dessin et voyons cet arc.

Il n'y a pas de différence particulière entre l'ombrage et les bras. Faites ce que dit le professeur. S'il n'y a pas de professeur, dessinez des arcs. En plus tâches difficiles l'ombrage est moins évident. Vous pouvez être confus.

C'est ainsi que les inégalités linéaires sont tracées sur un axe. Passons à la caractéristique suivante des inégalités.

Écrire la réponse aux inégalités.

Les équations étaient bonnes.) Nous avons trouvé x et noté la réponse, par exemple : x=3. Il existe deux formes d’écriture des réponses sur les inégalités. L’une est sous la forme d’une inégalité finale. bon pour cas simples. Par exemple:

X< 2.

C'est une réponse complète.

Parfois, vous devez écrire la même chose, mais sous une forme différente, en utilisant intervalles numériques. Ensuite, l’enregistrement commence à paraître très scientifique) :

x ∈ (-∞; 2)

Sous l'icône ∈ le mot est caché "fait parti".

L'entrée se lit comme ceci : x appartient à l'intervalle de moins l'infini à deux non compris. Assez logique. X peut être n'importe quel nombre parmi tous numéros possibles de moins l'infini à deux. Il ne peut pas y avoir de double X, c'est ce que nous dit le mot "non compris".

Et où dans la réponse est-il clair que "non compris"? Ce fait est noté dans la réponse rond support immédiatement après les deux. Si les deux étaient inclus, le support serait carré. C'est ici:]. DANS exemple suivant un tel support est utilisé.

Écrivons la réponse : x ≥ -0,5 à intervalles:

x ∈ [-0,5 ; +∞)

Lit : x appartient à l'intervalle de moins 0,5, y compris,à plus l'infini.

L'infini ne peut jamais être activé. Ce n'est pas un chiffre, c'est un symbole. Par conséquent, dans de tels enregistrements, l’infini est toujours adjacent à parenthèse.

Cette forme d'enregistrement est pratique pour les réponses complexes composées de plusieurs espaces. Mais juste pour des réponses définitives. DANS résultats intermédiaires, lorsqu'une autre solution est attendue, il est préférable d'utiliser la forme habituelle, sous la forme inégalité simple. Nous en traiterons dans les rubriques correspondantes.

Tâches populaires avec inégalités.

Les inégalités linéaires elles-mêmes sont simples. Les tâches deviennent donc souvent plus difficiles. Il fallait donc réfléchir. Ceci, si on n’y est pas habitué, n’est pas très agréable.) Mais c’est utile. Je vais montrer des exemples de telles tâches. Ce n’est pas à vous de les apprendre, c’est inutile. Et pour ne pas avoir peur lors d'une rencontre avec exemples similaires. Réfléchissez un peu - et c'est simple !)

1. Trouvez deux solutions quelconques à l'inégalité 3x - 3< 0

Si vous ne savez pas vraiment quoi faire, rappelez-vous la règle principale des mathématiques :

Si vous ne savez pas ce dont vous avez besoin, faites ce que vous pouvez !)

X < 1

Et quoi? Rien de spécial. Que nous demandent-ils ? On nous demande de trouver deux nombres spécifiques qui sont la solution à une inégalité. Ceux. correspond à la réponse. Deux n'importe lequel Nombres. En fait, c'est déroutant.) Quelques 0 et 0,5 conviennent. Un couple -3 et -8. Oui ces couples ensemble infini! Quelle réponse est correcte ?!

Je réponds : tout ! Toute paire de nombres dont chacun est inférieur à un, sera la bonne réponse.Écrivez lequel vous voulez. Allons-nous en.

2. Résolvez l’inégalité :

4x-3 ≠ 0

Les tâches sous cette forme sont rares. Mais, en tant qu'inégalités auxiliaires, lors de la recherche d'ODZ, par exemple, ou lors de la recherche du domaine de définition d'une fonction, elles surviennent tout le temps. Une telle inégalité linéaire peut être résolue comme une équation linéaire ordinaire. Uniquement partout sauf le signe "=" ( équivaut à) mettre un signe " ≠ " (inégal). Voici comment aborder la réponse, avec un signe d'inégalité :

X ≠ 0,75

En plus exemples complexes, il vaut mieux faire les choses différemment. Faire de l'égalité l'inégalité. Comme ça:

4x-3 = 0

Résolvez-le calmement comme enseigné et obtenez la réponse :

x = 0,75

L'essentiel est qu'à la toute fin, en écrivant la réponse finale, n'oubliez pas que nous avons trouvé x, ce qui donne égalité. Et nous avons besoin - inégalité. Par conséquent, nous n’avons pas vraiment besoin de ce X.) Et nous devons l’écrire avec le symbole correct :

X ≠ 0,75

Cette approche entraîne moins d’erreurs. Ceux qui résolvent les équations automatiquement. Et pour ceux qui ne résolvent pas les équations, les inégalités ne servent en fait à rien...) Autre exemple de tâche populaire :

3. Trouvez la plus petite solution entière de l'inégalité :

3(x-1) < 5x + 9

Tout d’abord, nous résolvons simplement l’inégalité. On ouvre les parenthèses, on les déplace, on en amène des similaires... On obtient :

X > - 6

Cela n'a-t-il pas fonctionné comme ça !? Avez-vous suivi les panneaux !? Et derrière les pancartes des adhérents, et derrière les pancartes des inégalités…

Réfléchissons-y à nouveau. Nous devons trouver un numéro spécifique qui correspond à la fois à la réponse et à la condition "le plus petit entier". Si cela ne vous vient pas tout de suite à l’esprit, vous pouvez simplement prendre n’importe quel chiffre et le découvrir. Deux sur moins six ? Certainement! Existe-t-il un nombre inférieur approprié ? Bien sûr. Par exemple, zéro est supérieur à -6. Et encore moins ? Nous avons besoin de la plus petite chose possible ! Moins trois, c'est plus que moins six ! Vous pouvez déjà saisir le schéma et arrêter de parcourir bêtement les chiffres, n'est-ce pas ?)

Prenons un nombre plus proche de -6. Par exemple, -5. La réponse est remplie, -5 > - 6. Est-il possible de trouver un autre nombre inférieur à -5 mais supérieur à -6 ? Vous pouvez par exemple -5,5... Stop ! On nous dit entier solution! Ne lance pas -5,5 ! Et moins six ? Euh-euh ! L'inégalité est stricte, moins 6 n'est en aucun cas inférieur à moins 6 !

La bonne réponse est donc -5.

Espérons qu'avec une sélection de valeurs de solution générale tout est clair. Un autre exemple:

4. Résoudre les inégalités :

7 < 3x+1 < 13

Ouah! Cette expression s'appelle triple inégalité. Il s’agit à proprement parler d’une forme abrégée d’un système d’inégalités. Mais pour décider d'une telle triples inégalités Cela arrive encore dans certaines tâches... Cela peut être résolu sans aucun système. Selon les mêmes transformations identiques.

Il faut simplifier, ramener cette inégalité à X pur. Mais... Que faut-il transférer où ?! C’est là qu’il est temps de se rappeler que se déplacer à gauche et à droite est forme abrégée première transformation identitaire.

UN forme complèteça ressemble à ça : N'importe quel nombre ou expression peut être ajouté/soustrait aux deux côtés de l'équation (inégalité).

Il y a trois parties ici. Nous appliquerons donc des transformations identiques aux trois parties !

Alors, débarrassons-nous de celle qui se trouve au milieu de l'inégalité. Soustrayons un de toute la partie médiane. Pour que l’inégalité ne change pas, on soustrait une des deux parties restantes. Comme ça:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

C'est mieux, non ?) Il ne reste plus qu'à diviser les trois parties en trois :

2 < X < 4

C'est tout. C'est la réponse. X peut être n'importe quel nombre compris entre deux (non compris) et quatre (non compris). Cette réponse est également écrite à intervalles ; ces entrées seront en inégalités quadratiques. Là, c'est la chose la plus courante.

À la fin de la leçon, je répéterai la chose la plus importante. Le succès dans la résolution des inégalités linéaires dépend de la capacité à transformer et à simplifier des équations linéaires. Si en même temps surveillez le signe d'inégalité, il n'y aura aucun problème. C'est ce que je te souhaite. Pas de problème.)

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

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