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Au professeur Soyez patient et lisez ceci.. Un jeu avec une attente mathématique positive est vital

notion importante

pour tous les spéculateurs, c’est un concept sur lequel est construit un système de foi, mais le concept lui-même ne peut pas être construit sur la foi. Les casinos ne fonctionnent pas sur la foi. Le casino fonctionne en gérant ses affaires sur la base de mathématiques pures. Le casino sait que les lois de la roulette et du craps finiront par prévaloir. Par conséquent, le casino ne permet pas au jeu de s’arrêter. Cela ne dérange pas le casino d'attendre, mais le casino ne s'arrête pas et joue 24 heures sur 24, car plus vous jouez longtemps à son jeu d'espérance mathématique négative, plus les organisateurs du casino sont sûrs qu'ils recevront votre argent.

Un trader doit comprendre les attentes mathématiques. Selon qui a un avantage mathématique dans le jeu, on l'appelle soit l'avantage du joueur - attente positive, soit l'avantage de la maison de jeu - attente négative. Disons que nous jouons à pile ou face avec vous. Ni vous ni moi n'avons l'avantage d'avoir chacun 50 % de chances de gagner. Mais si nous apportons ce jeu dans un casino qui prend 10 % de réduction sur chaque pari, alors vous ne gagnez que 90 cents pour chaque dollar que vous perdez. Cet avantage de la maison de jeu se transforme en une forte attente mathématique négative pour vous en tant que joueur. Et aucun système de contrôle du capital, aucune stratégie ne peut vaincre un jeu aux attentes négatives. Dans les jeux avec une valeur attendue négative, il n’existe pas de système de gestion de l’argent (stratégie) qui fera de vous un gagnant., prenons-le comme base. Alors, casino, cris, bruit, émotions et affichage luxueux, mais nous nous concentrerons sur la roulette. Calculons l'espérance mathématique de jouer à la roulette si vous jouez uniquement en rouge-noir (en trading, d'ailleurs, c'est long ou court). Il n'y a donc que 38 champs de jeu sur la roulette - 36 numéros (18 champs rouges et 18 champs noirs), ainsi que deux zéros (prenons une roulette avec deux zéros). Ainsi, la probabilité de gagner en pariant sur le rouge ou le noir est d'environ 0,45 (18/38). Si le pari est réussi, nous doublons notre mise, et s’il échoue, nous perdons tout ce que nous avons parié. Ah oui, si on obtient un zéro, on perd aussi notre argent. Nous avons donc une espérance mathématique négative. Ce jeu peut être qualifié de non rentable en raison de la présence de deux zéros parmi les terrains de jeu, lorsqu'ils tombent, le casino prend notre pari en sa faveur. Une cellule représente environ 2,6% de la roue de roulette, deux cellules représentent plus de 5%, c'est exactement le pourcentage que les propriétaires de casino mettent en moyenne dans leurs poches pour chaque transaction, donc le casino pompe lentement de l'argent aux clients, gagnant de l'argent. pendant de nombreuses décennies.

Bien entendu, pour un casino, ce jeu a une espérance mathématique positive : avec deux zéros, le casino recevra l’argent du joueur dans vingt cas sur 38. Et plus le jeu dure longtemps, plus le casino recevra de bénéfices.

Quelle est l’espérance mathématique des jeux financiers ? Parier sur instruments financiers ont tous les attributs externes du jeu, les jeux financiers sur l'échange dispersent la roulette zéro dans un grand nombre de composants de probabilité - spread, commissions de change, commissions de courtier, frais d'abonnement pour l'utilisation du terminal d'échange, frais de transfert de fonds vers des comptes et, en fait , une taxe de 13% sur bénéfices futurs ensemble, ils sont des analogues particuliers de la roulette zéro. Cela donne lieu à parler d'une attente mathématique négative, initialement défavorable pour le joueur (commerçant).

Je veux que vous compreniez : aucune méthode de gestion financière, aucune stratégie ne peut transformer une attente négative en attente positive. C'est une remarque tout à fait correcte. Preuves mathématiques non à cette affirmation. Toutefois, cela ne signifie pas que cela ne puisse pas se produire. Bien sûr, dans le jeu, un participant peut participer à une série de gains, de coïncidences et simplement arrêter de jouer, ce qui fait qu'une telle personne sera essentiellement un gagnant. Mais combien de temps va-t-il abandonner le jeu ?...

Ainsi, la seule fois où vous avez une chance de gagner à long terme, c'est si vous jouez avec une espérance de vie positive.. Je pense que vous pouvez généralement gagner en utilisant le même pari plusieurs fois et seulement s'il n'y a pas de mise. barrière d'absorption supérieure. Un joueur qui commence avec 100 $ arrêtera de jouer si son compte atteint 101 $. Cette cible supérieure (101 $) est appelée barrière d’absorption. Disons qu'un joueur parie toujours 1 dollar sur la couleur rouge d'une roue de roulette où 18 bandes sont rouges, 18 bandes sont noires, 2 bandes sont zéro, et s'il y a zéro, l'argent va au casino. Ainsi, le jeu se joue avec une petite espérance mathématique négative. Le joueur a plus de chances voir son compte augmenter à 101$ et le joueur arrêter de jouer que de voir son compte diminuer à zéro et le joueur n'aura plus rien pour jouer. Si un joueur joue encore et encore à la roulette, il deviendra victime d’attentes mathématiques négatives. Si vous ne jouez à un tel jeu qu’une seule fois, alors l’axiome de la faillite inévitable ne s’applique bien sûr pas ; si vous y jouez une seule fois, disons alors le pouvoir de l’échec et mat négatif ; les attentes seront aussi faibles que possible. La différence entre les attentes négatives et les attentes positives est la différence entre la vie et la mort de votre dépôt.

Lorsque vous réalisez que le jeu a une valeur attendue négative, le mieux est de ne pas parier. Rappelez-vous que Il n’existe aucune stratégie de gestion de l’argent qui puisse transformer un jeu perdant en un jeu gagnant.. Disons que vous devez quand même parier dans un jeu avec des attentes négatives, alors la meilleure stratégie serait " stratégie de courage maximum » . En d’autres termes, vous voulez parier le moins possible (contrairement à un jeu à attentes positives, où vous devriez parier aussi souvent que possible, de préférence sans quitter le jeu du tout). Donc plus il y a de tentatives, plus plus probable qu'avec une attente négative, vous perdrez. Par conséquent, avec une espérance négative, il y a moins de chances de perdre à mesure que la durée du jeu devient plus courte (c'est-à-dire que le nombre d'essais se rapproche de 1). Si vous jouez à un jeu où vous avez 49 % de chances de gagner 1 $ et 51 % de chances de perdre 1 $, alors le mieux est de n'essayer qu'une seule fois. Plus vous placez de paris, plus plus de force la probabilité que vous perdiez (avec une probabilité de perdre proche de 100 % de certitude à mesure que le jeu s'approche de l'infini avec une valeur attendue négative).

Les organisateurs du jeu, le casino, ne diront pas au commerçant l'attente mathématique, « ils » informeront le commerçant de l'opportunité de gagner et trouveront diverses raisons pour que le commerçant place un pari. A l'écoute des organisateurs du jeu et quantité énorme les gens proches du marché qui reçoivent une commission sans risquer leur argent, le trader estime que pour un jeu réussi, il est important d'analyser le graphique, l'actualité, de tracer des lignes sur la pseudoscience de l'analyse technique et ainsi de trouver le bon moment pour ouvrir des positions et ainsi censé augmenter la fiabilité de votre système de stratégie (s'il en existe un) et battre le marché. Mais la vérité est qu'au moins 97 % des personnes qui tentent d'inventer des systèmes de stratégie de trading essaient simplement de trouver signal d'entrée idéal. Ce signal d’entrée est impuissant face à l’attente mathématiquement négative initiale. En fait, les traders déclarent presque toujours que leurs systèmes ont un taux de fiabilité d'au moins 60 %. Mais en même temps, ils se demandent pourquoi ils ne gagnent pas d’argent ; à long terme, les traders perdent de l’argent ! Comprenez que même un système avec un pourcentage élevé de gains avec une attente mathématique négative ne mène nulle part ; la meilleure chose qu'un trader puisse faire est de s'arrêter sur une séquence de victoires et de ne plus entrer sur le marché ;

Autre détail intéressant : disons que vous commencez le jeu avec un dollar, que vous gagnez au premier lancer et que vous gagnez un dollar. Au prochain lancer, vous misez la totalité du compte (2 $), mais cette fois, vous le perdez et vous le perdez. Vous avez perdu le montant initial de 1 dollar et 1 dollar de profit. Le fait est que si vous utilisez 100 % du compte, vous quitterez le jeu dès que vous rencontrerez une perte, ce qui est un événement inévitable. Il en résulte règle importante, si vous avez finalement commencé le jeu, jouez avec les mêmes paris et réalisez les bénéfices pour vous-même. N'entrez pas sur le marché avec des paris importants lorsque le calcul est négatif.

Les traders à court terme disent constamment des choses comme : Je suis un day trader à succès. J'entre et sors du marché plusieurs fois par jour. Et je gagne de l'argent presque tous les jours. Mais hier, en une journée, j’ai perdu près d’un an de bénéfices et j’en suis très contrarié. De telles erreurs se produisent à la suite de changements de paris, de chutes dans le piège de l’effet de levier et de transactions émotionnelles. Sélectionner une entrée, gagner de l'argent pendant un certain temps et finalement perdre le compte, tel est le sort de la grande majorité des traders qui jouent, mais le terrain est un échec et mat négatif. attentes.

Comment les traders réagissent-ils au marché ? Les tentatives pour briser l’espérance mathématique négative sont des séries identiques de paris sur des « événements » identiques. Il s’agit d’un exemple classique de jeu de hasard dans lequel les participants tentent de tirer profit des séquences. Le seul cas qui les amène à perdre avec cette approche est celui où il y a plusieurs coups sûrs identiques d'affilée dans une série. Les séries, plus elles sont petites, mieux c'est - sont plus efficaces que le jeu aveugle, cependant, les séries ne fournissent pas d'attente mathématique positive.

Vous avez probablement tous entendu parler de la Martingale, c'est une stratégie de série améliorée. Ici, le joueur commence avec une mise minimale, généralement de 1 $, et après chaque perte, il double la mise. Théoriquement, il devrait gagner tôt ou tard et récupérer ensuite tout ce qu'il a perdu plus un dollar. Après cela, il peut à nouveau miser le minimum et recommencer. Le concept de base de la méthode Martingale repose sur le fait qu'à mesure que le montant résultant des pertes diminue, la possibilité de compenser les pertes augmente ou reste la même. Il s’agit d’un type de gestion d’argent populaire auprès des joueurs. Le système de doublement ressemble à un gagnant-gagnant jusqu'à ce que vous réalisiez qu'une longue séquence de défaites ruinera n'importe quel joueur, aussi riche soit-il. Un joueur qui a commencé avec 1 $ et a perdu 46 fois doit placer son 47e pari de 70 000 milliards de dollars., ce qui représente plus que la valeur du monde entier (environ 50 000 milliards). Il est clair que bien plus tôt il manquera d’argent ou se heurtera à des restrictions sur son dépôt ou son casino. Je pense que le système de doublement est inutile si vous avez une attente mathématique négative et qu'il est trop risqué d'utiliser ce système avec votre propre argent.

Dans une continuation infinie, un jeu avec une espérance mathématique négative est sans espoir. Mais avec un nombre limité d’épisodes, il y a une chance de sortir victorieux. Ou vous devez chercher un tapis. un jeu positif où le profit possible sera supérieur à la perte possible pour 1 pari.

La plupart des traders meurent de l’une des deux balles suivantes : l’ignorance et les émotions. Les profanes jouent sur un coup de tête, s'impliquant dans des transactions qu'ils auraient dû manquer en raison d'attentes mathématiques négatives. S’ils survivent, après avoir appris, ils commenceront à développer des systèmes plus intelligents. Puis, confiants en eux-mêmes, ils sortent la tête de la tranchée et tombent sous la deuxième balle. Par excès de confiance, ils ont parié trop sur une transaction et se sont retirés du jeu après une courte série de pertes. L'émotivité a l'impact le plus direct sur le résultat financier obtenu par l'investisseur - dans une plus large mesure par le joueur - issu de la spéculation financière. Et plus le comportement d'une personne est émotif, plus l'écart entre les attentes mathématiques des résultats financiers de son trading et la réalité sera important. Pour les jeux de hasard avec une attente mathématique négative, les résultats financiers obtenus sous l'influence des émotions entraînent la mort du dépôt.

En règle générale, tous les jeux avec des gains monétaires, qu'il s'agisse d'une loterie, de paris sur un hippodrome et chez des bookmakers, des machines à sous, etc., sont des jeux avec une attente mathématique négative pour le joueur. Les casinos organisent ces jeux pour vous pour une raison. La particularité du trader moyen est qu'il n'est pas capable de calculer toutes les petites choses qui l'attendent dans le futur, et donc l'avenir de son jeu est prédéterminé.

Je veux que vous compreniez que la participation à un jeu avec une attente mathématique négative ne peut être considérée comme une source de revenus stables.

Ce qu'il faut faire? Chacun décide pour lui-même, j'ai trouvé une attente mathématiquement positive sur les stock-options, mais même là, les changements constants des règles du jeu par les courtiers et les bourses entraînent une forte diminution du revenu final. Le zéro de la roulette sur les spreads, les frais, les courtiers et autres petites choses réduit considérablement le profit final, mais ce n'est qu'avec l'utilisation d'options que vous pouvez construire un système échec et mat+ dans ce « casino du 21e siècle ».

Recherchez une attente mathématiquement positive par tous les moyens nécessaires !

Je pense que oui, la clé pour gagner de l'argent sur le marché financier est d'avoir un système avec une espérance mathématique positive élevée, en utilisant ce système, il est extrêmement important d'utiliser la taille de position initialement établie, de travailler strictement selon les règles et de continuer le jeu. à plusieurs reprises et le plus longtemps possible et gagnez de l'argent en luttant contre les pitreries des organisateurs de ce « casino ».

L'espérance mathématique est la définition

L'attente de l'échec et mat est l'un des les notions les plus importantes en statistiques mathématiques et théorie des probabilités, caractérisant la distribution de valeurs ou probabilités variable aléatoire. Généralement exprimé sous forme de moyenne pondérée de tous les paramètres possibles d’une variable aléatoire. Largement utilisé dans l'analyse technique, l'étude des séries de nombres et l'étude des processus continus et à long terme. Il est important pour évaluer les risques, prédire les indicateurs de prix lors des transactions sur les marchés financiers et est utilisé pour développer des stratégies et des méthodes de tactiques de jeu dans théories du jeu.

Échec et mat en attente- Ce valeur moyenne d'une variable aléatoire, distribution probabilités la variable aléatoire est prise en compte dans la théorie des probabilités.

L'attente de l'échec et mat est une mesure de la valeur moyenne d'une variable aléatoire dans la théorie des probabilités. Échec et mat l'attente d'une variable aléatoire x désigné par M(x).

Attente (Moyenne de la population) - Ce

L'attente de l'échec et mat est

L'attente de l'échec et mat est en théorie des probabilités, moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles que peut prendre une variable aléatoire.

L'attente de l'échec et mat est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités de ces valeurs.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'attente de l'échec et mat est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et des longues distances.

L'attente de l'échec et mat est dans la théorie du jeu, montant des gains qu'un spéculateur peut gagner ou perdre, en moyenne, sur chaque pari. Dans le langage du jeu spéculateurs c'est ce qu'on appelle parfois "avantage" spéculateur" (s'il est positif pour le spéculateur) ou "house edge" (s'il est négatif pour le spéculateur).

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'attente de l'échec et mat est bénéfice par victoire multiplié par la moyenne profit, moins la perte, multipliée par la perte moyenne.

Attente mathématique d'une variable aléatoire en théorie mathématique

L'une des caractéristiques numériques importantes d'une variable aléatoire est la valeur attendue. Introduisons le concept de système de variables aléatoires. Considérons un ensemble de variables aléatoires qui sont les résultats de la même expérience aléatoire. Si est l’une des valeurs possibles du système, alors l’événement correspond à une certaine probabilité qui satisfait les axiomes de Kolmogorov. Une fonction définie pour toutes les valeurs possibles de variables aléatoires est appelée loi de distribution conjointe. Cette fonction vous permet de calculer les probabilités de tout événement à partir de. En particulier, conjointe loi les distributions de variables aléatoires et, qui prennent des valeurs de l'ensemble et, sont données par des probabilités.

Le terme « mat. "espérance" a été introduite par Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) et vient du concept de "valeur espérée des gains", apparu pour la première fois au XVIIe siècle dans la théorie des jeux de hasard dans les travaux de Blaise Pascal et Christiaan Huygens. Cependant, la première compréhension théorique et évaluation complète de ce concept a été donnée par Pafnuty Lvovich Chebyshev (milieu du XIXe siècle).

Loi les distributions de variables numériques aléatoires (fonction de distribution et séries de distribution ou densité de probabilité) décrivent complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son éventuel écart par rapport à celle-ci) pour répondre à la question posée. Les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires sont l'espérance, la variance, le mode et la médiane.

La valeur attendue d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles et de leurs probabilités correspondantes. Parfois en jurant. l'espérance est appelée moyenne pondérée, car elle est approximativement égale à la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire à grand nombre expériences. De la définition de la valeur attendue, il s'ensuit que sa valeur n'est pas inférieure à la plus petite valeur possible de la variable aléatoire ni supérieure à la plus grande. La valeur attendue d'une variable aléatoire est une variable non aléatoire (constante).

L'espérance mathématique a une signification physique simple : si vous placez une unité de masse sur une ligne droite, en plaçant une certaine masse en certains points (pour une distribution discrète), ou si vous la « badigeonnez » d'une certaine densité (pour une distribution absolument continue) , alors le point correspondant à l'espérance mathématique sera la coordonnée "centre de gravité" droite.

La valeur moyenne d'une variable aléatoire est un certain nombre qui est en quelque sorte son « représentant » et le remplace dans des calculs à peu près approximatifs. Lorsque nous disons : « la durée moyenne de fonctionnement de la lampe est de 100 heures » ou « le point d'impact moyen est décalé par rapport à la cible de 2 m vers la droite », nous indiquons une certaine caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui décrit son emplacement. sur axe des nombres, c'est-à-dire "caractéristiques du poste".

À partir des caractéristiques de position en théorie des probabilités rôle vital joue échec et mat à l'attente d'une variable aléatoire, qui est parfois appelée simplement la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Considérons la variable aléatoire X, ayant des valeurs possibles x1, x2, …, xn avec probabilités p1, p2, …, pn. Nous devons caractériser par un nombre la position des valeurs de la variable aléatoire sur l'axe des abscisses avec en tenant compte que ces valeurs ont des probabilités différentes. A cet effet, il est naturel d’utiliser ce que l’on appelle la « moyenne pondérée » des valeurs xi, et chaque valeur xi lors de la moyenne doit être prise en compte avec un « poids » proportionnel à la probabilité de cette valeur. Ainsi, nous calculerons la moyenne de la variable aléatoire X, que nous désignons M |X|:

Cette moyenne pondérée est appelée valeur attendue d’une variable aléatoire. Ainsi, nous avons introduit en considération l’un des concepts les plus importants de la théorie des probabilités : le concept mathématique. attentes. Tapis. L'espérance d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et des probabilités de ces valeurs.

Tapis. en attente d'une variable aléatoire X est lié par une dépendance particulière avec la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire sur un grand nombre d'expériences. Cette dépendance est du même type que la dépendance entre fréquence et probabilité, à savoir : avec un grand nombre d'expériences, la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire se rapproche (converge en probabilité) de ses mathématiques. en attendant. De la présence d'un lien entre fréquence et probabilité, on peut déduire en conséquence la présence d'un lien similaire entre la moyenne arithmétique et l'espérance mathématique. En effet, considérons la variable aléatoire X, caractérisé par une série de distribution :

Qu'il soit produit N expériences indépendantes, dans chacune desquelles la valeur X prend une certaine valeur. Supposons que la valeur x1 apparu m1 fois, valeur x2 apparu m2 fois, sens général xi est apparu plusieurs fois. Calculons la moyenne arithmétique des valeurs observées de la valeur X, qui, contrairement à l'attente mathématique M|X| nous désignons M*|X| :

Avec un nombre croissant d'expériences N fréquences pi se rapprochera (convergera en probabilité) des probabilités correspondantes. Par conséquent, la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire M|X| avec une augmentation du nombre d'expériences, il se rapprochera (convergera en probabilité) de sa valeur attendue. Le lien formulé ci-dessus entre la moyenne arithmétique et les mathématiques. l'attente est le contenu d'une des formes de la loi des grands nombres.

Nous savons déjà que toutes les formes de loi des grands nombres stipulent que certaines moyennes sont stables sur un grand nombre d’expériences. Nous parlons ici de la stabilité de la moyenne arithmétique d’une série d’observations de même quantité. Avec un petit nombre d'expériences, la moyenne arithmétique de leurs résultats est aléatoire ; avec une augmentation suffisante du nombre d'expériences, elle devient « presque non aléatoire » et, en se stabilisant, se rapproche d'une valeur constante - mat. en attendant.

La stabilité des moyennes sur un grand nombre d’expériences peut être facilement vérifiée expérimentalement. Par exemple, lors de la pesée d'un corps dans un laboratoire sur des balances précises, à la suite de la pesée, nous obtenons à chaque fois une nouvelle valeur ; Pour réduire les erreurs d'observation, nous pesons le corps plusieurs fois et utilisons la moyenne arithmétique des valeurs obtenues. Il est facile de voir qu'avec une nouvelle augmentation du nombre d'expériences (pesées), la moyenne arithmétique réagit de moins en moins à cette augmentation et, avec un nombre d'expériences suffisamment grand, cesse pratiquement de changer.

Il convient de noter que la caractéristique la plus importante de la position d'une variable aléatoire est mat. attente - n'existe pas pour toutes les variables aléatoires. Il est possible de créer des exemples de telles variables aléatoires pour lesquelles mat. il n'y a pas d'attente car la somme ou l'intégrale correspondante diverge. Cependant, de tels cas ne présentent pas un intérêt significatif pour la pratique. Généralement, les variables aléatoires que nous traitons ont zone limitée valeurs possibles et, bien sûr, avoir une attente mathématique.

En plus des caractéristiques les plus importantes de la position d'une variable aléatoire - la valeur attendue - en pratique, d'autres caractéristiques de la position sont parfois utilisées, notamment le mode et la médiane de la variable aléatoire.

Le mode d'une variable aléatoire est sa valeur la plus probable. Le terme « valeur la plus probable » ne s'applique à proprement parler qu'à des quantités discontinues ; pour une quantité continue, le mode est la valeur à laquelle la densité de probabilité est maximale. Les figures montrent respectivement le mode pour les variables aléatoires discontinues et continues.

Si le polygone de répartition (courbe de répartition) comporte plus d'un maximum, la répartition est dite « multimodale ».

Parfois, certaines distributions ont un minimum au milieu plutôt qu'un maximum. De telles distributions sont dites « antimodales ».

DANS cas général le mode et l'attente du partenaire d'une variable aléatoire ne coïncident pas. Dans le cas particulier où la distribution est symétrique et modale (c'est-à-dire possède un mode) et qu'il y a un tapis. attendue, alors elle coïncide avec le mode et le centre de symétrie de la distribution.

Une autre caractéristique de position est souvent utilisée : la médiane d'une variable aléatoire. Cette caractéristique n'est généralement utilisée que pour les variables aléatoires continues, bien qu'elle puisse être formellement définie pour une variable discontinue. Géométriquement, la médiane est l'abscisse du point auquel l'aire délimitée par la courbe de distribution est divisée en deux.

Dans le cas d'une distribution modale symétrique, la médiane coïncide avec le tapis. attente et mode.

La valeur attendue est la valeur moyenne d'une variable aléatoire - une caractéristique numérique de la distribution de probabilité d'une variable aléatoire. De la manière la plus générale, échec et mat l'attente d'une variable aléatoire X(w) est défini comme l'intégrale de Lebesgue par rapport à la mesure de probabilité R. dans l'espace de probabilité d'origine :

Tapis. l'espérance peut également être calculée comme l'intégrale de Lebesgue de X par distribution de probabilité px quantités X:

Il est naturel de définir le concept de variable aléatoire à espérance infinie. Un exemple typique servir de temps de rapatriement dans quelques balades aléatoires.

Avec l'aide d'un tapis. les attentes sont déterminées par de nombreux chiffres et caractéristiques fonctionnelles distributions (comme espérance mathématique fonctions pertinentesà partir d'une variable aléatoire), par exemple la fonction génératrice, fonction caractéristique, moments de tout ordre, notamment dispersion, covariance.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

L'espérance mathématique est une caractéristique de la localisation des valeurs d'une variable aléatoire (la valeur moyenne de sa distribution). À ce titre, l'espérance mathématique sert de paramètre de distribution « typique » et son rôle est similaire à celui du moment statique - la coordonnée du centre de gravité de la distribution de masse - en mécanique. L'espérance se distingue des autres caractéristiques de localisation à l'aide desquelles la distribution est décrite en termes généraux - médianes, modes, tapis - par la plus grande valeur qu'elle et la caractéristique de diffusion correspondante - dispersion - ont dans théorèmes limites théorie des probabilités. La signification de l'attente du partenaire est révélée plus pleinement par la loi des grands nombres (inégalité de Chebyshev) et la loi renforcée des grands nombres.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Attente d'une variable aléatoire discrète

Supposons qu'il y ait une variable aléatoire qui peut prendre l'une des nombreuses valeurs numériques (par exemple, le nombre de points lors du lancement d'un dé peut être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Souvent en pratique, pour une telle valeur, la question se pose : quelle valeur prend-on « en moyenne » avec un grand nombre de tests ? Quel sera notre revenu (ou perte) moyen pour chacune des transactions risquées ?

Disons qu'il y a une sorte de loterie. Nous voulons comprendre s’il est rentable ou non d’y participer (voire d’y participer de manière répétée, régulière). Disons qu'un billet sur quatre est gagnant, que le prix sera de 300 roubles et que n'importe quel billet sera de 100 roubles. Avec un nombre infini de participations, c'est ce qui se passe. Dans les trois quarts des cas, nous perdrons, toutes les trois pertes coûteront 300 roubles. Dans un cas sur quatre, nous gagnerons 200 roubles. (prix moins coût), c'est-à-dire que pour quatre participations, nous perdons en moyenne 100 roubles, pour une - en moyenne 25 roubles. Au total, le tarif moyen de notre ruine sera de 25 roubles par ticket.

Nous jetons dés. S’il ne s’agit pas de tricher (sans déplacer le centre de gravité, etc.), alors combien de points aurons-nous en moyenne à la fois ? Puisque chaque option est également probable, nous prenons simplement la moyenne arithmétique et obtenons 3,5. Puisque c'est MOYEN, il n'y a pas lieu de s'indigner qu'aucun lancer spécifique ne donnera 3,5 points - eh bien, ce cube n'a pas de face avec un tel chiffre !

Résumons maintenant nos exemples :

Regardons l'image qui vient d'être donnée. A gauche se trouve un tableau de la distribution d'une variable aléatoire. La valeur X peut prendre l'une des n valeurs possibles (affichées sur la ligne du haut). Il ne peut y avoir d’autres significations. Sous chaque valeur possible, sa probabilité est écrite ci-dessous. À droite se trouve la formule, où M(X) est appelé mat. en attendant. La signification de cette valeur est qu’avec un grand nombre de tests (avec un grand échantillon), la valeur moyenne tendra vers cette même attente.

Revenons encore au même cube de jeu. Tapis. le nombre de points attendu lors du lancer est de 3,5 (calculez-le vous-même en utilisant la formule si vous ne me croyez pas). Disons que vous l'avez lancé plusieurs fois. Les résultats étaient de 4 et 6. La moyenne était de 5, ce qui est loin de 3,5. Ils l'ont lancé encore une fois, ils ont obtenu 3, soit en moyenne (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... D'une certaine manière loin du tapis. attentes. Maintenant, faites une expérience folle : lancez le cube 1000 fois ! Et même si la moyenne n’est pas exactement de 3,5, elle s’en rapprochera.

Calculons le tapis. en attendant la loterie décrite ci-dessus. La plaque ressemblera à ceci :

Ensuite, l’attente d’échec et mat sera celle que nous avons établie ci-dessus :

Une autre chose est qu'il serait difficile de le faire « sur les doigts » sans formule s'il y avait plus d'options. Bon, disons qu'il y aurait 75 % de tickets perdants, 20 % de tickets gagnants et 5 % de tickets surtout gagnants.

Certaines propriétés répondent désormais aux attentes.

Tapis. l'attente est linéaire. C'est facile à prouver :

Le multiplicateur constant peut être retiré au-delà du signe échec et mat. attentes, c'est-à-dire :

Il s’agit d’un cas particulier de la propriété de linéarité de la contrainte attendue.

Autre conséquence de la linéarité du tapis. attentes :

c'est-à-dire mat. l'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des espérances mathématiques des variables aléatoires.

Soit X, Y des variables aléatoires indépendantes, Alors:

C'est aussi facile à prouver) Travail XY elle-même est une variable aléatoire, et si les valeurs initiales pouvaient prendre n Et m valeurs en conséquence, alors XY peut prendre des valeurs nm. chaque valeur est calculée sur la base du fait que les probabilités événements indépendants multiplier. En conséquence, nous obtenons ceci :

Attente d'une variable aléatoire continue

Les variables aléatoires continues ont une caractéristique telle que la densité de distribution (densité de probabilité). Il caractérise essentiellement la situation dans laquelle certaines valeurs de l'ensemble nombres réels une variable aléatoire prend plus souvent, d'autres moins souvent. Par exemple, considérons ce graphique :

Ici X- variable aléatoire réelle, f(x)- densité de distribution. A en juger par ce calendrier, lors des expériences la valeur X sera souvent un nombre proche de zéro. Les chances sont dépassées 3 ou être plus petit -3 plutôt purement théorique.

Si la densité de distribution est connue, alors la valeur attendue se trouve comme suit :

Supposons par exemple une distribution uniforme :

Trouvons un échec et mat. attente:

Ceci est tout à fait cohérent avec une compréhension intuitive. Disons que si nous obtenons de nombreux nombres réels aléatoires avec une distribution uniforme, chacun des segments |0; 1| , alors la moyenne arithmétique devrait être d'environ 0,5.

Les propriétés des attentes mathématiques - linéarité, etc., applicables aux variables aléatoires discrètes, sont également applicables ici.

Relation entre l'espérance mathématique et d'autres indicateurs statistiques

DANS statistique l'analyse, avec l'espérance mathématique, il existe un système d'indicateurs interdépendants qui reflètent l'homogénéité des phénomènes et la stabilité processus. Les indicateurs de variation n’ont souvent aucune signification indépendante et sont utilisés pour une analyse plus approfondie des données. L'exception est le coefficient de variation, qui caractérise l'homogénéité données ce qui a de la valeur statistique caractéristiques.

Degré de variabilité ou de stabilité processus en science statistique peut être mesurée à l’aide de plusieurs indicateurs.

L'indicateur le plus important caractérisant variabilité la variable aléatoire est Dispersion, qui est le plus étroitement et directement lié au tapis. en attendant. Ce paramètre est activement utilisé dans d'autres types d'analyses statistiques (tests d'hypothèses, analyse des relations de cause à effet, etc.). Identique à la moyenne déviation linéaire, la dispersion reflète également la mesure de la propagation données autour taille moyenne.

Il est utile de traduire le langage des signes dans le langage des mots. Il s’avère que la dispersion est le carré moyen des écarts. Autrement dit, la valeur moyenne est d'abord calculée, puis la différence entre chaque valeur originale et moyenne est prise, mise au carré, ajoutée, puis divisée par le nombre de valeurs dans la population. Différence entre valeur distincte et la moyenne reflète la mesure de l'écart. Au carré pour que tous les écarts deviennent exclusivement nombres positifs et éviter la destruction mutuelle des écarts positifs et négatifs lors de leur synthèse. Ensuite, étant donné les carrés des écarts, on calcule simplement la moyenne arithmétique. Moyenne - carré - écarts. Les écarts sont mis au carré et la moyenne est calculée. Solution mot magique«variance» n'est que trois mots.

Cependant, sous sa forme pure, comme la moyenne arithmétique ou la dispersion, elle n'est pas utilisée. Il s’agit plutôt d’un indicateur auxiliaire et intermédiaire utilisé pour d’autres types d’analyses statistiques. Il n’a même pas d’unité de mesure normale. À en juger par la formule, il s'agit du carré de l'unité de mesure des données originales.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Mesurons une variable aléatoire N Plusieurs fois, par exemple, nous mesurons la vitesse du vent dix fois et souhaitons trouver la valeur moyenne. Comment la valeur moyenne est-elle liée à la fonction de distribution ?

Ou bien nous lancerons les dés un grand nombre de fois. Le nombre de points qui apparaîtront sur les dés à chaque lancer est une variable aléatoire et peut prendre n'importe quelle valeur. valeurs naturelles de 1 à 6. La moyenne arithmétique des points perdus calculée pour tous les lancers de dés est également une variable aléatoire, mais pour les grands N il tend vers un nombre très spécifique – échec et mat. en attendant MX. Dans ce cas Mx = 3,5.

Comment as-tu obtenu cette valeur ? Laisser entrer N essais n1 une fois que vous obtenez 1 point, n2 une fois - 2 points et ainsi de suite. Ensuite, le nombre de résultats dans lesquels un point est tombé :

De même pour les résultats lorsque 2, 3, 4, 5 et 6 points sont obtenus.

Supposons maintenant que nous connaissons les distributions de la variable aléatoire x, c'est-à-dire que nous savons que la variable aléatoire x peut prendre des valeurs x1, x2,..., xk avec des probabilités p1, p2,..., pk .

L'espérance mathématique Mx de la variable aléatoire x est égale à :

Les attentes mathématiques ne sont pas toujours une estimation raisonnable d’une variable aléatoire. Donc pour estimer la moyenne salaires il est plus raisonnable d'utiliser la notion de médiane, c'est-à-dire une valeur telle que le nombre de personnes recevant moins que la médiane salaire et grand, coïncident.

La probabilité p1 que la variable aléatoire x soit inférieure à x1/2 et la probabilité p2 que la variable aléatoire x soit supérieure à x1/2 sont identiques et égales à 1/2. La médiane n'est pas déterminée de manière unique pour toutes les distributions.

Standard ou écart type en statistique, le degré d'écart des données ou des ensembles d'observation par rapport à la valeur MOYENNE est appelé. Désigné par les lettres s ou s. Un petit écart type indique que les données se regroupent autour de la moyenne, tandis qu'un grand écart type indique que les données initiales sont situées loin de celle-ci. Écart type est égal racine carrée quantité appelée dispersion. C'est la moyenne de la somme des carrés des différences des données initiales qui s'écartent de la valeur moyenne. L'écart type d'une variable aléatoire est la racine carrée de la variance :

Exemple. Dans des conditions de test lors du tir sur une cible, calculez la dispersion et l'écart type de la variable aléatoire :

Variation- fluctuation, variabilité de la valeur d'une caractéristique parmi les unités de la population. Les valeurs numériques individuelles d'une caractéristique trouvée dans la population étudiée sont appelées valeurs variantes. L'insuffisance de la valeur moyenne pour caractériser pleinement la population nous oblige à compléter les valeurs moyennes par des indicateurs permettant d'évaluer la typicité de ces moyennes en mesurant la variabilité (variation) de la caractéristique étudiée. Le coefficient de variation est calculé à l'aide de la formule :

Plage de variation(R) représente la différence entre le maximum et valeurs minimales trait dans la population étudiée. Cet indicateur donne l'idée la plus générale de la variabilité de la caractéristique étudiée, comme le montre différence seulement entre les valeurs extrêmes des options. Dépendance à valeurs extrêmes Cette caractéristique confère à l'étendue de la variation un caractère instable et aléatoire.

Déviation linéaire moyenne représente la moyenne arithmétique des écarts absolus (modulo) de toutes les valeurs de la population analysée par rapport à leur valeur moyenne :

Espérance mathématique dans la théorie du jeu

L'attente de l'échec et mat est le montant moyen d’argent qu’un spéculateur de jeu peut gagner ou perdre sur un pari donné. C'est très notion essentielle pour un spéculateur, car il est fondamental pour évaluer la plupart des situations de jeu. L'échec et mat des attentes est également l'outil optimal pour analyser les dispositions de base des cartes et les situations de jeu.

Disons que vous jouez à un jeu de pièces avec un ami, en pariant 1 $ à chaque fois, quoi qu'il arrive. Face signifie que vous gagnez, face vous perdez. Les chances sont de une contre une que cela tombe face, vous pariez donc 1 $ contre 1 $. Ainsi, votre espérance d’échec et mat est égale à zéro, car D'un point de vue mathématique, vous ne pouvez pas savoir si vous allez mener ou perdre après deux lancers ou après 200.

Vos gains horaires égal à zéro. Les gains horaires correspondent au montant d’argent que vous espérez gagner en une heure. Vous pouvez lancer une pièce 500 fois en une heure, mais vous ne gagnerez ni ne perdrez parce que... vos chances ne sont ni positives ni négatives. Du point de vue d’un spéculateur sérieux, ce système de paris n’est pas mauvais. Mais c'est tout simplement une perte de temps.

Mais disons que quelqu'un veut parier 2 $ contre 1 $ sur le même jeu. Vous avez alors immédiatement une attente positive de 50 centimes pour chaque pari. Pourquoi 50 centimes? En moyenne, vous gagnez un pari et perdez le second. Pariez en premier et vous perdrez 1 $, pariez en deuxième et vous gagnerez 2 $. Vous pariez 1 $ deux fois et vous avancez de 1 $. Donc chacun de vos paris d'un dollar vous a donné 50 centimes.

Si une pièce apparaît 500 fois en une heure, vos gains horaires seront déjà de 250 $, car... en moyenne tu en as perdu un dollar 250 fois et j'en ai gagné deux dollar 250 fois. 500 $ moins 250 $ équivaut à 250 $, soit le total des gains. Veuillez noter que la valeur attendue, qui correspond au montant moyen que vous gagnez par pari, est de 50 centimes. Vous avez gagné 250 $ en pariant un dollar 500 fois, ce qui équivaut à 50 cents par pari.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Tapis. l'attente n'a rien à voir avec les résultats à court terme. Votre adversaire, qui a décidé de parier 2 $ contre vous, pourrait vous battre sur les dix premiers lancers consécutifs, mais vous, bénéficiant d'un avantage de mise de 2 contre 1, toutes choses étant égales par ailleurs, gagnerez 50 cents sur chaque pari de 1 $ dans n'importe quelle situation. circonstances. Peu importe que vous gagniez ou perdiez un pari ou plusieurs paris, du moment que vous disposez de suffisamment d’argent pour couvrir confortablement les frais. Si vous continuez à parier de la même manière, vos gains atteindront sur une longue période la somme des attentes lors des lancers individuels.

Chaque fois que vous faites un meilleur pari (un pari qui peut s'avérer rentable à long terme), lorsque les chances sont en votre faveur, vous êtes assuré de gagner quelque chose, que vous le perdiez ou non dans le futur. donné la main. A l’inverse, si vous pariez avec pire résultat(un pari qui n'est pas rentable à long terme) Lorsque les chances sont contre vous, vous perdez quelque chose, que vous gagniez ou perdiez la main.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Vous placez un pari avec le meilleur résultat si vos attentes sont positives, et il est positif si les chances sont de votre côté. Lorsque vous placez un pari avec le pire résultat, vous avez une attente négative, ce qui se produit lorsque les chances sont contre vous. Les spéculateurs sérieux ne parient que sur le meilleur résultat ; si le pire se produit, ils se couchent. Que signifient les chances en votre faveur ? Vous pourriez finir par gagner plus que ce que les probabilités réelles vous apportent. Les chances réelles que des têtes atterrissent sont de 1 contre 1, mais vous obtenez 2 contre 1 en raison du rapport de cotes. Dans ce cas, les chances sont en votre faveur. Vous obtenez certainement le meilleur résultat avec une attente positive de 50 centimes par pari.

Voici un exemple de tapis plus complexe. attentes. Un ami écrit les nombres de un à cinq et parie 5 $ contre 1 $ pour que vous ne deviniez pas le nombre. Faut-il accepter un tel pari ? Quelle est l’attente ici ?

En moyenne, vous vous tromperez quatre fois. Sur cette base, les chances que vous deviniez le nombre sont de 4 contre 1. Les chances que vous perdiez un dollar en une seule tentative. Cependant, vous gagnez 5 contre 1, avec la possibilité de perdre 4 contre 1. Les chances sont donc en votre faveur, vous pouvez prendre le pari et espérer le meilleur résultat. Si vous faites ce pari cinq fois, en moyenne vous perdrez 1 $ quatre fois et gagnerez 5 $ une fois. Sur cette base, pour les cinq tentatives, vous gagnerez 1 $ avec une espérance mathématique positive de 20 cents par pari.

Un spéculateur qui espère gagner plus que ce qu’il parie, comme dans l’exemple ci-dessus, prend des risques. Au contraire, il ruine ses chances lorsqu’il espère gagner moins que ce qu’il a parié. Un spéculateur plaçant un pari peut avoir une attente positive ou négative, selon qu'il gagne ou qu'il ruine les chances.

Si vous pariez 50 $ pour gagner 10 $ avec une chance de gagner de 4 contre 1, vous obtiendrez une attente négative de 2 $ car En moyenne, vous gagnerez 10 $ quatre fois et perdrez 50 $ une fois, ce qui signifie que la perte par pari sera de 10 $. Mais si vous pariez 30 $ pour gagner 10 $, avec les mêmes chances de gagner 4 contre 1, alors dans ce cas vous avez une attente positive de 2 $, car vous gagnez à nouveau quatre fois 10 $ et perdez une fois 30 $, ce qui équivaut à profità 10$. Ces exemples montrent que le premier pari est mauvais et le second est bon.

Tapis. l’anticipation est au centre de toute situation de jeu. Lorsqu'un bookmaker encourage les fans de football à parier 11 $ pour gagner 10 $, il s'attend à gagner 50 cents pour chaque 10 $. Si le casino verse l'argent de la ligne de passe au craps, alors l'attente positive du casino sera d'environ 1,40 $ pour chaque tranche de 100 $, car Ce jeu est structuré de telle sorte que quiconque parie sur cette ligne perd en moyenne 50,7 % et gagne 49,3 % du temps total. Sans aucun doute, c’est cette attente positive apparemment minime qui rapporte des profits colossaux aux propriétaires de casino du monde entier. Comme l'a noté Bob Stupak, propriétaire du casino Vegas World, « un millième pour cent une probabilité négative sur une distance suffisamment longue ruinera l’homme le plus riche du monde.

Attente en jouant au poker

Le jeu de Poker est le plus révélateur et un exemple clair du point de vue de l'utilisation de la théorie et des propriétés des attentes mathématiques.

Tapis. La valeur attendue au poker est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et de la longue distance. Un jeu de poker réussi consiste à toujours accepter des mouvements avec une valeur attendue positive.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Signification mathématique des mathématiques. Lorsqu'on joue au poker, on s'attend à ce que nous rencontrions souvent des variables aléatoires lors de la prise de décision (nous ne savons pas exactement quelles cartes l'adversaire a en main, quelles cartes apparaîtront lors des tours suivants). commerce). Il faut considérer chacune des solutions du point de vue de la théorie des grands nombres, qui stipule qu'avec un échantillon suffisamment grand, la valeur moyenne d'une variable aléatoire tendra vers sa valeur attendue.

Parmi les formules particulières permettant de calculer les attentes en matière de mat, la suivante est la plus applicable au poker :

Lorsque vous jouez au poker, échec et mat. l'attente peut être calculée à la fois pour les paris et les appels. Dans le premier cas, le Fold Equity doit être pris en compte, dans le second, les propres cotes de la banque. Lors de l'évaluation du tapis. attentes d'un mouvement particulier, il ne faut pas oublier qu'un repli a toujours une attente nulle. Ainsi, défausser des cartes sera toujours une décision plus rentable que n’importe quel mouvement négatif.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Les attentes vous indiquent à quoi vous pouvez vous attendre (ou perdre) pour chaque risque que vous prenez. Les casinos gagnent de l'argent argent, puisque l'échec et mat est une attente de tous les jeux qui y sont pratiqués, en faveur du casino. Avec une série de jeux suffisamment longue, vous pouvez vous attendre à ce que le client perde son argent, puisque les « chances » sont en faveur du casino. Cependant, les spéculateurs professionnels des casinos limitent leurs jeux à de courtes périodes, augmentant ainsi les chances en leur faveur. Il en va de même pour l’investissement. Si vos attentes sont positives, vous pouvez gagner plus d'argent, effectuant de nombreuses transactions en peu de temps période temps. L'attente est votre pourcentage de profit par victoire multiplié par votre profit moyen, moins votre probabilité de perte multipliée par votre perte moyenne.

Le poker peut également être vu du point de vue des attentes en matière d'échec et mat. Vous pouvez supposer qu’un certain mouvement est rentable, mais dans certains cas, ce n’est peut-être pas le meilleur car un autre mouvement est plus rentable. Disons que vous obtenez un full au poker à cinq cartes. Votre adversaire fait un pari. Vous savez que si vous relancez la mise, il répondra. Par conséquent, relancer semble être la meilleure tactique. Mais si vous augmentez la mise, les deux spéculateurs restants se coucheront définitivement. Mais si vous suivez, vous avez la certitude que les deux autres spéculateurs après vous feront de même. Lorsque vous relancez votre mise, vous recevez une unité, et lorsque vous suivez, vous en recevez deux. Ainsi, suivre vous donne une valeur attendue positive plus élevée et constituera la meilleure tactique.

Tapis. les attentes peuvent également donner une idée des tactiques de poker les moins rentables et celles qui sont les plus rentables. Par exemple, si vous jouez une certaine main et que vous pensez que votre perte sera en moyenne de 75 cents, mise comprise, alors vous devriez jouer cette main car c'est mieux que de se coucher lorsque l'ante est de 1 $.

Un autre raison importante pour comprendre l'essence du tapis. L'attente est que cela vous procure un sentiment de paix, que vous gagniez ou non le pari : si vous avez fait un bon pari ou si vous vous êtes couché au bon moment, vous saurez que vous avez gagné ou économisé une certaine somme d'argent qu'un spéculateur plus faible ne pourrait pas sauvegarder. Il est beaucoup plus difficile de se coucher si vous êtes contrarié parce que votre adversaire a tiré une main plus forte. Avec tout cela, ce que vous avez économisé en ne jouant pas, au lieu de parier, s'ajoute à vos gains par nuit ou par mois.

N'oubliez pas que si vous aviez changé de main, votre adversaire vous aurait suivi, et comme vous le verrez dans l'article sur le Théorème fondamental du poker, ce n'est qu'un de vos avantages. Vous devriez être heureux quand cela arrive. Vous pourriez même apprendre à aimer perdre une main, car vous savez que d’autres spéculateurs dans votre position auraient perdu beaucoup plus.

Comme mentionné dans l'exemple du jeu de pièces au début, le coefficient de profit horaire est lié à l'attente du tapis, et cette notion particulièrement important pour les spéculateurs professionnels. Lorsque vous allez jouer au poker, vous devez estimer mentalement combien vous pouvez gagner en une heure de jeu. Dans la plupart des cas, vous devrez vous fier à votre intuition et à votre expérience, mais vous pouvez également recourir à quelques mathématiques. Par exemple, vous jouez au draw lowball et vous voyez trois joueurs miser 10 $ puis échanger deux cartes, ce qui est une très mauvaise tactique, vous pouvez comprendre que chaque fois qu'ils parient 10 $, ils perdent environ 2 $. Chacun d’eux fait cela huit fois par heure, ce qui signifie qu’ils perdent tous les trois environ 48 dollars de l’heure. Vous êtes l'un des quatre spéculateurs restants, qui sont à peu près égaux, donc ces quatre spéculateurs (et vous parmi eux) doivent se partager 48 $, chacun réalisant un bénéfice de 12 $ de l'heure. Dans ce cas, vos chances horaires sont simplement égales à votre part du montant d’argent perdu par trois mauvais spéculateurs en une heure.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Pour grand écartÀ ce moment-là, les gains totaux du spéculateur sont la somme de ses attentes mathématiques dans les mains individuelles. Plus vous jouez de mains avec une attente positive, plus vous gagnez, et inversement, plus vous jouez de mains avec une attente négative, plus vous perdez. Par conséquent, vous devez choisir un jeu qui peut maximiser votre anticipation positive ou annuler votre anticipation négative afin que vous puissiez maximiser vos gains horaires.

Attente mathématique positive dans la stratégie de jeu

Si vous savez compter les cartes, vous pouvez avoir un avantage sur le casino s'il ne le remarque pas et vous jette dehors. Les casinos adorent les spéculateurs ivres et ne supportent pas de compter les cartes. L'avantage vous permettra de gagner sur la durée. plus grand nombre fois que de perdre. Bonne gestion Le capital lors de l'utilisation des calculs de tapis d'attente peut vous aider à tirer davantage de profit de votre avantage et à réduire les pertes. Sans avantage, il vaut mieux donner l’argent à une œuvre caritative. Dans le jeu boursier, un avantage est donné par le système de jeu qui crée plus de profits que de pertes, la différence prix et commissions. Aucun gestion de l'argent ne sauvera pas un mauvais système de jeu.

Une attente positive est définie comme une valeur supérieure à zéro. Plus ce nombre est élevé, plus l’espérance statistique est forte. Si la valeur inférieur à zéro, puis tapis. l'attente sera également négative. Plus le module est grand valeur négative, plus la situation est mauvaise. Si le résultat est nul, alors l’attente est à l’équilibre. Vous ne pouvez gagner que lorsque vous avez des attentes mathématiques positives et un système de jeu raisonnable. Jouer par intuition mène au désastre.

Espérance mathématique et

L'attente d'échec et mat est un indicateur statistique assez largement demandé et populaire lors de la réalisation de transactions boursières sur des marchés financiers. marchés. Tout d'abord, ce paramètre est utilisé pour analyser le succès de commerce. Il n'est pas difficile de deviner que plus valeur donnée, raison de plus pour considérer le métier étudié comme réussi. Bien sûr, l'analyse travail le trader ne peut pas être effectué uniquement en utilisant ce paramètre. Cependant, la valeur calculée en combinaison avec d'autres méthodes d'évaluation de la qualité travail, peut améliorer considérablement la précision de l’analyse.

L'échec et mat attendu est souvent calculé dans les services de surveillance des comptes de trading, ce qui vous permet d'évaluer rapidement le travail effectué sur le dépôt. Les exceptions incluent les stratégies qui utilisent des transactions non rentables « s’absentant ». Commerçant la chance peut l'accompagner pendant un certain temps et il se peut donc qu'il n'y ait aucune perte dans son travail. Dans ce cas, il ne sera pas possible de se laisser guider uniquement par l'attente mathématique, car les risques utilisés dans le travail ne seront pas pris en compte.

En trading sur marché l'échec et mat est le plus souvent utilisé pour prédire la rentabilité de toute stratégie de trading ou pour prévoir les revenus commerçant sur la base des données statistiques de son précédent enchère.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

En ce qui concerne la gestion de l'argent, il est très important de comprendre qu'il n'y a aucune tendance à effectuer des transactions avec des attentes négatives. gestion de l'argent, ce qui peut certainement générer des profits élevés. Si tu continues à jouer bourse dans ces conditions, alors quelle que soit la méthode gestion de l'argent, vous perdrez la totalité de votre compte, quelle que soit sa taille au début.

Cet axiome est vrai non seulement pour les jeux ou les échanges avec des attentes négatives, mais également pour les jeux avec des chances égales. Par conséquent, la seule fois où vous avez une chance de profiter à long terme est d’effectuer des transactions avec une valeur attendue positive.

La différence entre une attente négative et une attente positive est la différence entre la vie et la mort. Peu importe à quel point les attentes sont positives ou négatives ; Tout ce qui compte c'est si c'est positif ou négatif. Par conséquent, avant d’aborder les questions de gestion capital il faut trouver un jeu avec une anticipation positive.

Si vous n'avez pas ce jeu, toute la gestion financière du monde ne vous sauvera pas. D’un autre côté, si vous avez une attente positive, alors vous pouvez, grâce à bonne gestion l’argent, transformez-le en une fonction de croissance exponentielle. Peu importe que les attentes positives soient minimes ! En d’autres termes, peu importe la rentabilité d’un système commercial basé sur un seul contrat. Si vous disposez d'un système qui gagne 10 $ par contrat et par transaction (après commissions et dérapages), vous pouvez utiliser des techniques de gestion. capital d'une manière qui le rend plus rentable qu'un système qui affiche un bénéfice moyen de 1 000 $ par transaction (après commissions et dérapages).

Ce qui compte n’est pas la rentabilité du système, mais la certitude qu’il générera au moins un bénéfice minimal à l’avenir. Par conséquent, la préparation la plus importante qui puisse être effectuée est de garantir que le système affichera une valeur attendue positive à l’avenir.

Afin d’avoir une valeur attendue positive dans le futur, il est très important de ne pas limiter les degrés de liberté de votre système. Ceci est réalisé non seulement en éliminant ou en réduisant le nombre de paramètres à optimiser, mais également en réduisant autant de règles système que possible. Chaque paramètre que vous ajoutez, chaque règle que vous établissez, chaque petite modification que vous apportez au système réduit le nombre de degrés de liberté. Idéalement, vous devez construire un système assez primitif et simple qui générera systématiquement de petits bénéfices sur presque tous les marchés. Encore une fois, il est important que vous compreniez que la rentabilité du système n’a pas d’importance, du moment qu’il est rentable. que vous gagnez en trading le sera grâce à gestion efficace argent.

L'espérance mathématique (moyenne de la population) est

Un système commercial est simplement un outil qui vous donne une valeur attendue positive afin que vous puissiez utiliser la gestion de l'argent. Les systèmes qui fonctionnent (montrent au moins des bénéfices minimes) sur un ou quelques marchés seulement, ou qui ont des règles ou des paramètres différents pour différents marchés, ne fonctionneront probablement pas en temps réel assez longtemps. Le problème avec la plupart des traders orientés vers la technique est qu'ils consacrent trop de temps et d'efforts à l'optimisation. règles différentes et les valeurs des paramètres du système commercial. Cela donne des résultats complètement opposés. Au lieu de gaspiller de l'énergie et du temps informatique pour augmenter les bénéfices du système commercial, consacrez votre énergie à augmenter le niveau de fiabilité pour obtenir un profit minimum.

Sachant que gestion de l'argent n'est qu'un jeu de chiffres qui nécessite l'utilisation d'attentes positives, un commerçant peut arrêter de chercher le « Saint Graal » de la négociation d'actions. Au lieu de cela, il peut commencer à tester sa méthode de trading, découvrir à quel point cette méthode est logique et si elle donne des attentes positives. Des méthodes appropriées de gestion financière, appliquées à toutes les méthodes de trading, même très médiocres, feront elles-mêmes le reste du travail.

Pour que tout commerçant réussisse dans son travail, il doit résoudre les trois problèmes les plus importants. tâches importantes:. S'assurer que le nombre de transactions réussies dépasse les inévitables erreurs et erreurs de calcul ; Configurez votre système de trading pour avoir la possibilité de gagner de l'argent le plus souvent possible ; Obtenez des résultats positifs et stables de vos opérations.

Et ici, pour nous, commerçants qui travaillons, le maté peut être d’une grande aide. attente. Ce terme en théorie des probabilités est l’un des éléments clés. Avec son aide, vous pouvez donner une estimation moyenne de certains valeur aléatoire. L'espérance d'une variable aléatoire est similaire au centre de gravité, si vous imaginez toutes les probabilités possibles comme des points avec des masses différentes.

En ce qui concerne une stratégie de trading, l'attente de profit (ou de perte) est le plus souvent utilisée pour évaluer son efficacité. Ce paramètre est défini comme la somme des produits des niveaux de profits et pertes donnés et de la probabilité de leur apparition. Par exemple, la stratégie de trading développée suppose que 37 % de toutes les transactions généreront des bénéfices et que la partie restante - 63 % - ne sera pas rentable. Dans le même temps, la moyenne revenu d'une transaction réussie sera de 7 dollars et la perte moyenne sera de 1,4 dollars. Calculons le calcul. attente de trading en utilisant ce système :

Qu'est-ce que ça veut dire numéro donné? Il dit que, selon les règles de ce système, nous recevrons en moyenne 1 708 $ pour chaque transaction clôturée. Depuis l'évaluation de l'efficacité qui en a résulté supérieur à zéro, alors un tel système peut être utilisé pour vrai travail. Si, à la suite du calcul de l'échec et mat, l'attente s'avère négative, cela indique déjà une perte moyenne et cela conduira à la ruine.

Le montant du bénéfice par transaction peut également être exprimé sous la forme taille relative sous forme de %. Par exemple:

Le pourcentage de revenu pour 1 transaction est de 5 % ;

Le pourcentage d'opérations commerciales réussies est de 62 % ;

Pourcentage de perte pour 1 transaction - 3 % ;

Le pourcentage de transactions infructueuses est de 38 % ;

Dans ce cas, échec et mat. l'attente sera :

Autrement dit, le commerce moyen rapportera 1,96%.

Il est possible de développer un système qui, malgré la prédominance des métiers non rentables, donnera un résultat positif, puisque son MO>0.

Cependant, attendre seul ne suffit pas. Il est difficile de gagner de l'argent si le système donne très peu de signaux de trading. Dans ce cas, il sera assimilable à des intérêts bancaires. Supposons que chaque opération produise en moyenne seulement 0,5 dollar, mais que se passe-t-il si le système implique 1 000 opérations par an ? Cela représentera une somme très importante dans un délai relativement court. Il en résulte logiquement qu'un autre poinçonner un bon système commercial peut être envisagé à court terme occupant des postes.

Sources et liens

dic.academic.ru - dictionnaire académique en ligne

maths.ru - site Web éducatif en mathématiques

nsu.ru - site Web éducatif de Novossibirsk université d'état

webmath.ru - portail éducatif pour les étudiants, les candidats et les écoliers.

Site Web éducatif mathématique exponenta.ru

ru.tradimo.com - gratuit école en ligne commerce

crypto.hut2.ru - ressource d'information multidisciplinaire

poker-wiki.ru - encyclopédie gratuite du poker

sernam.ru - Bibliothèque scientifique publications sélectionnées en sciences naturelles

reshim.su - site Web NOUS RÉSOUDRONS les problèmes de cours de test

unfx.ru - Forex sur UNFX : formation, signaux de trading, gestion de la confiance

ATTENTES MATHÉMATIQUES- (valeur attendue) La valeur moyenne de la distribution d'une variable économique qu'elle peut prendre. Si рt est le prix d’un produit au temps t, son espérance mathématique est notée Ept. Pour indiquer le moment auquel ... ... Dictionnaire économique

Attente- la valeur moyenne de la variable aléatoire. L'espérance mathématique est une quantité déterministe. Moyenne valeur arithmétique des réalisations d'une variable aléatoire est une estimation de l'espérance mathématique. Moyenne arithmétique... ... Terminologie officielle- (valeur moyenne) d'une variable aléatoire est une caractéristique numérique d'une variable aléatoire. Si une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité (voir Théorie des probabilités), alors son M. o. MX (ou EX) est défini comme l'intégrale de Lebesgue : où... Encyclopédie physique

ATTENTES MATHÉMATIQUES- une variable aléatoire est sa caractéristique numérique. Si une variable aléatoire X a une fonction de distribution F(x), alors son M. o. volonté: . Si la distribution X est discrète, alors M.o. : , où x1, x2, ... valeurs possibles de la variable aléatoire discrète X ; p1... Encyclopédie géologique

ATTENTES MATHÉMATIQUES- Anglais valeur attendue Allemand Erwartung mathématique. Moyenne stochastique ou centre de dispersion d'une variable aléatoire. Antinazi. Encyclopédie de sociologie, 2009... Encyclopédie de sociologie

Attente- Voir aussi : Espérance mathématique conditionnelle L'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire, la distribution de probabilité d'une variable aléatoire, est considérée en théorie des probabilités. Dans la littérature anglophone et en mathématiques... ... Wikipédia

Attente- 1.14 Espérance mathématique E (X) où xi est la valeur d'une variable aléatoire discrète ; p = P (X = xi); f(x) densité d'une variable aléatoire continue * Si cette expression existe dans le sens convergence absolue Source … Dictionnaire-ouvrage de référence des termes de la documentation normative et technique

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L'attente est la distribution de probabilité d'une variable aléatoire

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L'espérance mathématique est la définition

L'un des concepts les plus importants des statistiques mathématiques et de la théorie des probabilités, caractérisant la distribution des valeurs ou des probabilités d'une variable aléatoire. Généralement exprimé sous forme de moyenne pondérée de tous les paramètres possibles d’une variable aléatoire. Largement utilisé dans l'analyse technique, l'étude des séries de nombres et l'étude des processus continus et à long terme. Il est important pour évaluer les risques, prédire les indicateurs de prix lors des transactions sur les marchés financiers et est utilisé dans le développement de stratégies et de méthodes de tactiques de jeu dans la théorie du jeu.

L'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire, la distribution de probabilité d'une variable aléatoire est prise en compte dans la théorie des probabilités.

L'espérance mathématique est une mesure de la valeur moyenne d'une variable aléatoire dans la théorie des probabilités. Attente d'une variable aléatoire x désigné par M(x).

L'espérance mathématique est

L'espérance mathématique est en théorie des probabilités, moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles que peut prendre une variable aléatoire.

L'espérance mathématique est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et les probabilités de ces valeurs.

L'espérance mathématique est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et des longues distances.

L'espérance mathématique est Dans la théorie du jeu, montant des gains qu'un joueur peut gagner ou perdre, en moyenne, pour chaque pari. Dans le langage des jeux de hasard, cela est parfois appelé « avantage du joueur » (s'il est positif pour le joueur) ou « avantage de la maison » (s'il est négatif pour le joueur).

L'espérance mathématique est le pourcentage de profit par gain multiplié par le profit moyen, moins la probabilité de perte multipliée par la perte moyenne.

Espérance mathématique d'une variable aléatoire dans théorie mathématique

L'une des caractéristiques numériques importantes d'une variable aléatoire est son espérance mathématique. Introduisons le concept de système de variables aléatoires. Considérons un ensemble de variables aléatoires qui sont les résultats de la même expérience aléatoire. Si est l’une des valeurs possibles du système, alors l’événement correspond à une certaine probabilité qui satisfait les axiomes de Kolmogorov. Une fonction définie pour toutes les valeurs possibles de variables aléatoires est appelée loi de distribution conjointe. Cette fonction vous permet de calculer les probabilités de tout événement à partir de. En particulier, la loi de distribution conjointe des variables aléatoires et, qui prennent des valeurs de l'ensemble et, est donnée par des probabilités.

Le terme « espérance mathématique » a été introduit par Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) et vient du concept de « valeur espérée des gains », apparu pour la première fois au XVIIe siècle dans la théorie du jeu dans les travaux de Blaise Pascal et Christiaan. Huygens. Cependant, la première compréhension théorique et évaluation complète de ce concept a été donnée par Pafnuty Lvovich Chebyshev (milieu du XIXe siècle).

La loi de distribution des variables numériques aléatoires (fonction de distribution et série de distribution ou densité de probabilité) décrit complètement le comportement d'une variable aléatoire. Mais dans un certain nombre de problèmes, il suffit de connaître certaines caractéristiques numériques de la grandeur étudiée (par exemple, sa valeur moyenne et son éventuel écart par rapport à celle-ci) pour répondre à la question posée. Les principales caractéristiques numériques des variables aléatoires sont l'espérance mathématique, la variance, le mode et la médiane.

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète est la somme des produits de ses valeurs possibles et de leurs probabilités correspondantes. Parfois, l'espérance mathématique est appelée moyenne pondérée, car elle est approximativement égale à la moyenne arithmétique des valeurs observées d'une variable aléatoire sur un grand nombre d'expériences. De la définition de l'espérance mathématique, il s'ensuit que sa valeur n'est pas inférieure à la plus petite valeur possible d'une variable aléatoire et pas supérieure à la plus grande. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est une variable non aléatoire (constante).

L'espérance mathématique a une signification physique simple : si vous placez une unité de masse sur une ligne droite, en plaçant une certaine masse en certains points (pour une distribution discrète), ou si vous la « badigeonnez » d'une certaine densité (pour une distribution absolument continue) , alors le point correspondant à l'espérance mathématique sera la coordonnée "centre de gravité" droite.

La valeur moyenne d'une variable aléatoire est un certain nombre qui est en quelque sorte son « représentant » et le remplace dans des calculs à peu près approximatifs. Lorsque nous disons : « la durée moyenne de fonctionnement de la lampe est de 100 heures » ou « le point d'impact moyen est décalé par rapport à la cible de 2 m vers la droite », nous indiquons une certaine caractéristique numérique d'une variable aléatoire qui décrit son emplacement. sur l'axe numérique, c'est-à-dire "caractéristiques du poste".

Parmi les caractéristiques d'une position dans la théorie des probabilités, le rôle le plus important est joué par l'espérance mathématique d'une variable aléatoire, qui est parfois appelée simplement la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Considérons la variable aléatoire X, ayant des valeurs possibles x1, x2, …, xn avec probabilités p1, p2, …, pn. Nous devons caractériser avec un certain nombre la position des valeurs d'une variable aléatoire sur l'axe des x, en tenant compte du fait que ces valeurs ont des probabilités différentes. A cet effet, il est naturel d’utiliser ce que l’on appelle la « moyenne pondérée » des valeurs xi, et chaque valeur xi lors de la moyenne doit être prise en compte avec un « poids » proportionnel à la probabilité de cette valeur. Ainsi, nous calculerons la moyenne de la variable aléatoire X, que nous désignons M |X|:

Cette moyenne pondérée est appelée l’espérance mathématique de la variable aléatoire. Ainsi, nous avons introduit en considération l’un des concepts les plus importants de la théorie des probabilités : le concept d’espérance mathématique. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est la somme des produits de toutes les valeurs possibles d'une variable aléatoire et des probabilités de ces valeurs.

Qu'il soit produit N expériences indépendantes, dans chacune desquelles la valeur X prend une certaine valeur. Supposons que la valeur x1 apparu m1 fois, valeur x2 apparu m2 fois, sens général xi est apparu plusieurs fois. Calculons la moyenne arithmétique des valeurs observées de la valeur X, qui, contrairement à l'attente mathématique M|X| nous désignons M*|X| :

Avec un nombre croissant d'expériences N fréquences pi se rapprochera (convergera en probabilité) des probabilités correspondantes. Par conséquent, la moyenne arithmétique des valeurs observées de la variable aléatoire M|X| avec une augmentation du nombre d'expériences, il se rapprochera (convergera en probabilité) de son espérance mathématique. Le lien entre la moyenne arithmétique et l'espérance mathématique formulé ci-dessus constitue le contenu d'une des formes de la loi des grands nombres.

Nous savons déjà que toutes les formes de loi des grands nombres stipulent que certaines moyennes sont stables sur un grand nombre d’expériences. Nous parlons ici de la stabilité de la moyenne arithmétique d’une série d’observations de même quantité. Avec un petit nombre d'expériences, la moyenne arithmétique de leurs résultats est aléatoire ; avec une augmentation suffisante du nombre d'expériences, elle devient « presque non aléatoire » et, en se stabilisant, se rapproche d'une valeur constante - l'espérance mathématique.

La stabilité des moyennes sur un grand nombre d’expériences peut être facilement vérifiée expérimentalement. Par exemple, lors de la pesée d'un corps dans un laboratoire sur des balances précises, à la suite de la pesée, nous obtenons à chaque fois une nouvelle valeur ; Pour réduire les erreurs d'observation, nous pesons le corps plusieurs fois et utilisons la moyenne arithmétique des valeurs obtenues. Il est facile de voir qu'avec une nouvelle augmentation du nombre d'expériences (pesées), la moyenne arithmétique réagit de moins en moins à cette augmentation et, avec un nombre d'expériences suffisamment grand, cesse pratiquement de changer.

Il convient de noter que la caractéristique la plus importante de la position d'une variable aléatoire - l'espérance mathématique - n'existe pas pour toutes les variables aléatoires. Il est possible de composer des exemples de telles variables aléatoires pour lesquelles l'espérance mathématique n'existe pas, puisque la somme ou l'intégrale correspondante diverge. Cependant, de tels cas ne présentent pas un intérêt significatif pour la pratique. En règle générale, les variables aléatoires que nous traitons ont une plage limitée de valeurs possibles et, bien sûr, ont une espérance mathématique.

En plus des caractéristiques les plus importantes de la position d'une variable aléatoire - l'espérance mathématique - en pratique, d'autres caractéristiques de la position sont parfois utilisées, notamment le mode et la médiane de la variable aléatoire.

Le mode d'une variable aléatoire est sa valeur la plus probable. Le terme « valeur la plus probable » ne s'applique à proprement parler qu'à des quantités discontinues ; pour une quantité continue, le mode est la valeur à laquelle la densité de probabilité est maximale. Les figures montrent respectivement le mode pour les variables aléatoires discontinues et continues.

Si le polygone de répartition (courbe de répartition) comporte plus d'un maximum, la répartition est dite « multimodale ».

Parfois, certaines distributions ont un minimum au milieu plutôt qu'un maximum. De telles distributions sont dites « antimodales ».

Dans le cas général, le mode et l'espérance mathématique d'une variable aléatoire ne coïncident pas. Dans le cas particulier, lorsque la distribution est symétrique et modale (c'est-à-dire qu'elle a un mode) et qu'il existe une espérance mathématique, alors elle coïncide avec le mode et le centre de symétrie de la distribution.

Une autre caractéristique de position est souvent utilisée : la médiane d'une variable aléatoire. Cette caractéristique n'est généralement utilisée que pour les variables aléatoires continues, bien qu'elle puisse être formellement définie pour une variable discontinue. Géométriquement, la médiane est l'abscisse du point auquel l'aire délimitée par la courbe de distribution est divisée en deux.

Dans le cas d'une distribution modale symétrique, la médiane coïncide avec l'espérance mathématique et le mode.

L'espérance mathématique est la valeur moyenne d'une variable aléatoire - une caractéristique numérique de la distribution de probabilité d'une variable aléatoire. De la manière la plus générale, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X(w) est défini comme l'intégrale de Lebesgue par rapport à la mesure de probabilité R. dans l'espace de probabilité d'origine :

L'espérance mathématique peut également être calculée comme l'intégrale de Lebesgue de X par distribution de probabilité px quantités X:

Le concept de variable aléatoire avec une espérance mathématique infinie peut être défini de manière naturelle. Un exemple typique est celui des temps de retour de certaines marches aléatoires.

À l'aide de l'espérance mathématique, de nombreuses caractéristiques numériques et fonctionnelles d'une distribution sont déterminées (comme l'espérance mathématique des fonctions correspondantes d'une variable aléatoire), par exemple la fonction génératrice, la fonction caractéristique, les moments de tout ordre, notamment la dispersion, la covariance. .

L'espérance mathématique est une caractéristique de la localisation des valeurs d'une variable aléatoire (la valeur moyenne de sa distribution). À ce titre, l'espérance mathématique sert de paramètre de distribution « typique » et son rôle est similaire à celui du moment statique - la coordonnée du centre de gravité de la distribution de masse - en mécanique. D'autres caractéristiques de l'emplacement à l'aide desquelles la distribution est décrite en termes généraux - médianes, modes, espérance mathématique diffèrent par la plus grande valeur qu'elle et la caractéristique de diffusion correspondante - dispersion - ont dans les théorèmes limites de la théorie des probabilités. Le sens de l'espérance mathématique est révélé plus pleinement par la loi des grands nombres (inégalité de Chebyshev) et la loi renforcée des grands nombres.

Attente d'une variable aléatoire discrète

Supposons qu'il y ait une variable aléatoire qui peut prendre l'une des nombreuses valeurs numériques (par exemple, le nombre de points lors du lancement d'un dé peut être 1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Souvent en pratique, pour une telle valeur, la question se pose : quelle valeur prend-on « en moyenne » avec un grand nombre de tests ? Quel sera notre revenu (ou perte) moyen pour chacune des transactions risquées ?

Disons qu'il y a une sorte de loterie. Nous voulons comprendre s’il est rentable ou non d’y participer (voire d’y participer de manière répétée, régulière). Disons qu'un billet sur quatre est gagnant, le prix sera de 300 roubles et le prix de n'importe quel billet sera de 100 roubles. Avec un nombre infini de participations, c'est ce qui se passe. Dans les trois quarts des cas, nous perdrons, toutes les trois pertes coûteront 300 roubles. Dans un cas sur quatre, nous gagnerons 200 roubles. (prix moins coût), c'est-à-dire que pour quatre participations, nous perdons en moyenne 100 roubles, pour une - en moyenne 25 roubles. Au total, le tarif moyen de notre ruine sera de 25 roubles par ticket.

Nous jetons les dés. S’il ne s’agit pas de tricher (sans déplacer le centre de gravité, etc.), alors combien de points aurons-nous en moyenne à la fois ? Puisque chaque option est également probable, nous prenons simplement la moyenne arithmétique et obtenons 3,5. Puisque c'est MOYEN, il n'y a pas lieu de s'indigner qu'aucun lancer spécifique ne donnera 3,5 points - eh bien, ce cube n'a pas de face avec un tel chiffre !

Résumons maintenant nos exemples :

Regardons l'image qui vient d'être donnée. A gauche se trouve un tableau de la distribution d'une variable aléatoire. La valeur X peut prendre l'une des n valeurs possibles (affichées sur la ligne du haut). Il ne peut y avoir d’autres significations. Sous chaque valeur possible, sa probabilité est écrite ci-dessous. À droite se trouve la formule, où M(X) est appelé l’espérance mathématique. La signification de cette valeur est qu’avec un grand nombre de tests (avec un grand échantillon), la valeur moyenne tendra vers cette même espérance mathématique.

Revenons encore au même cube de jeu. L'espérance mathématique du nombre de points lors du lancer est de 3,5 (calculez-la vous-même en utilisant la formule si vous ne me croyez pas). Disons que vous l'avez lancé plusieurs fois. Les résultats étaient de 4 et 6. La moyenne était de 5, ce qui est loin de 3,5. Ils l'ont lancé une fois de plus, ils ont obtenu 3, c'est-à-dire en moyenne (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... En quelque sorte loin de l'attente mathématique. Maintenant, faites une expérience folle : lancez le cube 1000 fois ! Et même si la moyenne n’est pas exactement de 3,5, elle s’en rapprochera.

Calculons l'espérance mathématique pour la loterie décrite ci-dessus. La plaque ressemblera à ceci :

Alors l’espérance mathématique sera, comme nous l’avons établi ci-dessus :

Une autre chose est qu'il serait difficile de le faire « sur les doigts » sans formule s'il y avait plus d'options. Bon, disons qu'il y aurait 75 % de tickets perdants, 20 % de tickets gagnants et 5 % de tickets surtout gagnants.

Maintenant quelques propriétés de l'espérance mathématique.

C'est facile à prouver :

Le facteur constant peut être retiré comme signe de l’espérance mathématique, c’est-à-dire :

Il s’agit d’un cas particulier de la propriété de linéarité de l’espérance mathématique.

Autre conséquence de la linéarité de l’espérance mathématique :

c'est-à-dire que l'espérance mathématique de la somme des variables aléatoires est égale à la somme des espérances mathématiques des variables aléatoires.

Soit X, Y des variables aléatoires indépendantes, Alors:

C'est aussi facile à prouver) Travail XY elle-même est une variable aléatoire, et si les valeurs initiales pouvaient prendre n Et m valeurs en conséquence, alors XY peut prendre des valeurs nm. La probabilité de chaque valeur est calculée sur la base du fait que les probabilités d'événements indépendants sont multipliées. En conséquence, nous obtenons ceci :

Attente d'une variable aléatoire continue

Les variables aléatoires continues ont une caractéristique telle que la densité de distribution (densité de probabilité). Cela caractérise essentiellement la situation dans laquelle une variable aléatoire prend plus souvent certaines valeurs de l'ensemble des nombres réels et d'autres moins souvent. Par exemple, considérons ce graphique :

Ici X- variable aléatoire réelle, f(x)- densité de distribution. A en juger par ce graphique, lors des expériences, la valeur X sera souvent un nombre proche de zéro. Les chances sont dépassées 3 ou être plus petit -3 plutôt purement théorique.

Supposons par exemple une distribution uniforme :

Ceci est tout à fait cohérent avec une compréhension intuitive. Disons que si nous obtenons de nombreux nombres réels aléatoires avec une distribution uniforme, chacun des segments |0; 1| , alors la moyenne arithmétique devrait être d'environ 0,5.

Les propriétés de l'espérance mathématique - linéarité, etc., applicables aux variables aléatoires discrètes, sont également applicables ici.

Relation entre l'espérance mathématique et d'autres indicateurs statistiques

Dans l'analyse statistique, outre l'espérance mathématique, il existe un système d'indicateurs interdépendants qui reflètent l'homogénéité des phénomènes et la stabilité des processus. Les indicateurs de variation n’ont souvent aucune signification indépendante et sont utilisés pour une analyse plus approfondie des données. L'exception est le coefficient de variation, qui caractérise l'homogénéité des données, qui est précieux caractéristique statistique.

Le degré de variabilité ou de stabilité des processus en science statistique peut être mesuré à l'aide de plusieurs indicateurs.

L'indicateur le plus important caractérisant la variabilité d'une variable aléatoire est Dispersion, qui est le plus étroitement et directement lié à l’espérance mathématique. Ce paramètre est activement utilisé dans d'autres types d'analyses statistiques (tests d'hypothèses, analyse des relations de cause à effet, etc.). Comme l’écart linéaire moyen, la variance reflète également l’étendue de la dispersion des données autour de la valeur moyenne.

Il est utile de traduire le langage des signes dans le langage des mots. Il s’avère que la dispersion est le carré moyen des écarts. Autrement dit, la valeur moyenne est d'abord calculée, puis la différence entre chaque valeur originale et moyenne est prise, mise au carré, ajoutée, puis divisée par le nombre de valeurs dans la population. La différence entre une valeur individuelle et la moyenne reflète la mesure de l'écart. Il est mis au carré pour que tous les écarts deviennent des nombres exclusivement positifs et pour éviter la destruction mutuelle des écarts positifs et négatifs lors de leur addition. Ensuite, étant donné les carrés des écarts, on calcule simplement la moyenne arithmétique. Moyenne - carré - écarts. Les écarts sont mis au carré et la moyenne est calculée. La réponse au mot magique « dispersion » tient en seulement trois mots.

Cependant, sous sa forme pure, comme la moyenne arithmétique ou l'indice, la dispersion n'est pas utilisée. Il s’agit plutôt d’un indicateur auxiliaire et intermédiaire utilisé pour d’autres types d’analyses statistiques. Il n’a même pas d’unité de mesure normale. À en juger par la formule, il s'agit du carré de l'unité de mesure des données originales.

Mesurons une variable aléatoire N Plusieurs fois, par exemple, nous mesurons la vitesse du vent dix fois et souhaitons trouver la valeur moyenne. Comment la valeur moyenne est-elle liée à la fonction de distribution ?

Ou bien nous lancerons les dés un grand nombre de fois. Le nombre de points qui apparaîtront sur les dés à chaque lancer est une variable aléatoire et peut prendre n'importe quelle valeur naturelle de 1 à 6. La moyenne arithmétique des points perdus calculée pour tous les lancers de dés est également une variable aléatoire, mais pour les grands N il tend vers un nombre très spécifique - espérance mathématique MX. Dans ce cas Mx = 3,5.

Comment as-tu obtenu cette valeur ? Laisser entrer N essais n1 une fois que vous obtenez 1 point, n2 une fois - 2 points et ainsi de suite. Ensuite, le nombre de résultats dans lesquels un point est tombé :

De même pour les résultats lorsque 2, 3, 4, 5 et 6 points sont obtenus.

Supposons maintenant que nous connaissions la loi de distribution de la variable aléatoire x, c'est-à-dire que nous savons que la variable aléatoire x peut prendre des valeurs x1, x2, ..., xk avec des probabilités p1, p2, ..., pk.

L'espérance mathématique Mx d'une variable aléatoire x est égale à :

L'espérance mathématique n'est pas toujours une estimation raisonnable d'une variable aléatoire. Ainsi, pour estimer le salaire moyen, il est plus raisonnable d'utiliser la notion de médiane, c'est-à-dire une valeur telle que le nombre de personnes percevant un salaire inférieur à la médiane et un salaire supérieur coïncide.

La probabilité p1 que la variable aléatoire x soit inférieure à x1/2 et la probabilité p2 que la variable aléatoire x soit supérieure à x1/2 sont identiques et égales à 1/2. La médiane n'est pas déterminée de manière unique pour toutes les distributions.

Standard ou écart type en statistique, le degré d'écart des données ou des ensembles d'observation par rapport à la valeur MOYENNE est appelé. Désigné par les lettres s ou s. Un petit écart type indique que les données se regroupent autour de la moyenne, tandis qu'un grand écart type indique que les données initiales sont situées loin de celle-ci. L'écart type est égal à la racine carrée d'une quantité appelée variance. C'est la moyenne de la somme des carrés des différences des données initiales qui s'écartent de la valeur moyenne. L'écart type d'une variable aléatoire est la racine carrée de la variance :

Exemple. Dans des conditions de test lors du tir sur une cible, calculez la dispersion et l'écart type de la variable aléatoire :

Variation- fluctuation, variabilité de la valeur d'une caractéristique parmi les unités de la population. Les valeurs numériques individuelles d'une caractéristique trouvée dans la population étudiée sont appelées variantes de valeurs. L'insuffisance de la valeur moyenne pour caractériser pleinement la population nous oblige à compléter les valeurs moyennes par des indicateurs permettant d'évaluer la typicité de ces moyennes en mesurant la variabilité (variation) de la caractéristique étudiée. Le coefficient de variation est calculé à l'aide de la formule :

Plage de variation(R) représente la différence entre les valeurs maximales et minimales de l'attribut dans la population étudiée. Cet indicateur donne l'idée la plus générale de la variabilité de la caractéristique étudiée, puisqu'il montre la différence uniquement entre les valeurs maximales des options. La dépendance aux valeurs extrêmes d'une caractéristique confère à l'étendue de la variation un caractère instable et aléatoire.

Déviation linéaire moyenne représente la moyenne arithmétique des écarts absolus (modulo) de toutes les valeurs de la population analysée par rapport à leur valeur moyenne :

Espérance mathématique dans la théorie du jeu

L'espérance mathématique est Le montant moyen qu’un joueur peut gagner ou perdre sur un pari donné. Il s’agit d’une notion très importante pour le joueur car elle est fondamentale pour l’évaluation de la plupart des situations de jeu. L’espérance mathématique est également l’outil optimal pour analyser les dispositions de base des cartes et les situations de jeu.

Disons que vous jouez à un jeu de pièces avec un ami, en pariant 1 $ à chaque fois, quoi qu'il arrive. Face signifie que vous gagnez, face signifie que vous perdez. Les chances sont de une contre une que cela tombe face, vous pariez donc 1 $ contre 1 $. Ainsi, votre espérance mathématique est nulle, car D'un point de vue mathématique, vous ne pouvez pas savoir si vous allez mener ou perdre après deux lancers ou après 200.

Votre gain horaire est nul. Les gains horaires correspondent au montant d’argent que vous espérez gagner en une heure. Vous pouvez lancer une pièce 500 fois en une heure, mais vous ne gagnerez ni ne perdrez parce que... vos chances ne sont ni positives ni négatives. Si vous y regardez, du point de vue d’un joueur sérieux, ce système de paris n’est pas mauvais. Mais c'est tout simplement une perte de temps.

Mais disons que quelqu'un veut parier 2 $ contre 1 $ sur le même jeu. Vous avez alors immédiatement une attente positive de 50 centimes pour chaque pari. Pourquoi 50 centimes ? En moyenne, vous gagnez un pari et perdez le second. Pariez le premier dollar et vous perdrez 1 $, pariez le deuxième et vous gagnerez 2 $. Vous pariez 1 $ deux fois et vous avancez de 1 $. Ainsi, chacun de vos paris d’un dollar vous rapportait 50 cents.

Si une pièce apparaît 500 fois en une heure, vos gains horaires seront déjà de 250 $, car... En moyenne, vous avez perdu un dollar 250 fois et gagné deux dollars 250 fois. 500 $ moins 250 $ équivaut à 250 $, soit le total des gains. Veuillez noter que la valeur attendue, qui correspond au montant moyen que vous gagnez par pari, est de 50 centimes. Vous avez gagné 250 $ en pariant un dollar 500 fois, ce qui équivaut à 50 cents par pari.

Les attentes mathématiques n'ont rien à voir avec les résultats à court terme. Votre adversaire, qui a décidé de parier 2 $ contre vous, pourrait vous battre sur les dix premiers lancers consécutifs, mais vous, bénéficiant d'un avantage de mise de 2 contre 1, toutes choses étant égales par ailleurs, gagnerez 50 cents sur chaque pari de 1 $ dans n'importe quelle situation. circonstances. Peu importe que vous gagniez ou perdiez un pari ou plusieurs paris, du moment que vous disposez de suffisamment d’argent pour couvrir confortablement les frais. Si vous continuez à parier de la même manière, alors pour longue période Avec le temps, vos gains approcheront la somme des valeurs attendues dans les lancers individuels.

Chaque fois que vous faites un meilleur pari (un pari qui peut s'avérer rentable à long terme), lorsque les chances sont en votre faveur, vous êtes assuré de gagner quelque chose, que vous le perdiez ou non dans le futur. donné la main. À l’inverse, si vous faites un pari outsider (un pari qui n’est pas rentable à long terme) alors que les chances sont contre vous, vous perdez quelque chose, que vous gagniez ou perdiez la main.

Vous placez un pari avec le meilleur résultat si vos attentes sont positives, et il est positif si les chances sont de votre côté. Lorsque vous placez un pari avec le pire résultat, vous avez une attente négative, ce qui se produit lorsque les chances sont contre vous. Les joueurs sérieux ne parient que sur le meilleur résultat ; si le pire se produit, ils se couchent. Que signifient les chances en votre faveur ? Vous pourriez finir par gagner plus que ce que les probabilités réelles vous apportent. Les chances réelles que des têtes atterrissent sont de 1 contre 1, mais vous obtenez 2 contre 1 en raison du rapport de cotes. Dans ce cas, les chances sont en votre faveur. Vous obtenez certainement le meilleur résultat avec une attente positive de 50 centimes par pari.

Voici un exemple plus complexe d’espérance mathématique. Un ami écrit les nombres de un à cinq et parie 5 $ contre 1 $ pour que vous ne deviniez pas le nombre. Faut-il accepter un tel pari ? Quelle est l’attente ici ?

En moyenne, vous vous tromperez quatre fois. Sur cette base, les chances que vous deviniez le nombre sont de 4 contre 1. Les chances que vous perdiez un dollar en une seule tentative. Cependant, vous gagnez 5 contre 1, avec la possibilité de perdre 4 contre 1. Les chances sont donc en votre faveur, vous pouvez prendre le pari et espérer le meilleur résultat. Si vous faites ce pari cinq fois, en moyenne vous perdrez 1 $ quatre fois et gagnerez 5 $ une fois. Sur cette base, pour les cinq tentatives, vous gagnerez 1 $ avec une espérance mathématique positive de 20 cents par pari.

Un joueur qui s’attend à gagner plus que ce qu’il mise, comme dans l’exemple ci-dessus, prend des risques. Au contraire, il ruine ses chances lorsqu’il espère gagner moins que ce qu’il a parié. Un parieur peut avoir une attente positive ou négative, selon qu’il gagne ou qu’il gâche les cotes.

Si vous pariez 50 $ pour gagner 10 $ avec une chance de gagner de 4 contre 1, vous obtiendrez une attente négative de 2 $ car En moyenne, vous gagnerez 10 $ quatre fois et perdrez 50 $ une fois, ce qui signifie que la perte par pari sera de 10 $. Mais si vous pariez 30 $ pour gagner 10 $, avec les mêmes chances de gagner 4 contre 1, alors dans ce cas vous avez une attente positive de 2 $, car vous gagnez à nouveau 10 $ quatre fois et perdez 30 $ une fois, pour un bénéfice de 10 $. Ces exemples montrent que le premier pari est mauvais et le second est bon.

L'espérance mathématique est au centre de toute situation de jeu. Lorsqu'un bookmaker encourage les fans de football à parier 11 $ pour gagner 10 $, il s'attend à gagner 50 cents pour chaque 10 $. Si le casino verse l'argent de la ligne de passe au craps, alors l'attente positive du casino sera d'environ 1,40 $ pour chaque tranche de 100 $, car Ce jeu est structuré de telle sorte que quiconque parie sur cette ligne perd en moyenne 50,7 % et gagne 49,3 % du temps total. Sans aucun doute, c’est cette attente positive apparemment minime qui rapporte d’énormes profits aux propriétaires de casino du monde entier. Comme l'a noté Bob Stupak, propriétaire du casino Vegas World, « une probabilité négative d'un millième de pour cent sur une distance suffisamment longue ruinera votre expérience. homme le plus riche dans le monde."

Attente en jouant au poker

Le jeu de poker est l'exemple le plus illustratif et le plus illustratif du point de vue de l'utilisation de la théorie et des propriétés de l'espérance mathématique.

La valeur attendue au poker est le bénéfice moyen d'une décision particulière, à condition qu'une telle décision puisse être considérée dans le cadre de la théorie des grands nombres et de la longue distance. Un jeu de poker réussi consiste à toujours accepter des mouvements avec une valeur attendue positive.

La signification mathématique de l'espérance mathématique lorsque l'on joue au poker est que nous rencontrons souvent des variables aléatoires lors de la prise de décisions (nous ne savons pas quelles cartes l'adversaire a en main, quelles cartes viendront lors des tours d'enchères suivants). Nous devons considérer chacune des solutions du point de vue de la théorie des grands nombres, qui stipule qu'avec un échantillon suffisamment grand, la valeur moyenne d'une variable aléatoire tendra vers son espérance mathématique.

Parmi les formules particulières pour calculer l'espérance mathématique, les suivantes sont les plus applicables au poker :

Lorsque vous jouez au poker, la valeur attendue peut être calculée à la fois pour les mises et pour les call. Dans le premier cas, le Fold Equity doit être pris en compte, dans le second, les propres cotes de la banque. Lorsque vous évaluez l'espérance mathématique d'un mouvement particulier, vous devez vous rappeler qu'un pli a toujours une espérance nulle. Ainsi, défausser des cartes sera toujours une décision plus rentable que n’importe quel mouvement négatif.

Les attentes vous indiquent à quoi vous pouvez vous attendre (bénéfice ou perte) pour chaque dollar que vous risquez. Les casinos gagnent de l’argent parce que les attentes mathématiques de tous les jeux qui y sont joués sont en faveur du casino. Avec une série de jeux suffisamment longue, on peut s'attendre à ce que le client perde son argent, puisque les « chances » sont en faveur du casino. Cependant, les joueurs de casino professionnels limitent leurs jeux à de courtes périodes, mettant ainsi toutes les chances de leur côté. Il en va de même pour l’investissement. Si vos attentes sont positives, vous pouvez gagner plus d’argent en effectuant de nombreuses transactions sur une courte période. L'attente est votre pourcentage de profit par victoire multiplié par votre profit moyen, moins votre probabilité de perte multipliée par votre perte moyenne.

Le poker peut également être considéré du point de vue des attentes mathématiques. Vous pouvez supposer qu’un certain mouvement est rentable, mais dans certains cas, ce n’est peut-être pas le meilleur car un autre mouvement est plus rentable. Disons que vous obtenez un full au poker à cinq cartes. Votre adversaire fait un pari. Vous savez que si vous relancez la mise, il répondra. Par conséquent, relancer semble être la meilleure tactique. Mais si vous relancez la mise, les deux joueurs restants se coucheront définitivement. Mais si vous suivez, vous avez la certitude que les deux autres joueurs derrière vous feront de même. Lorsque vous relancez votre mise, vous recevez une unité, et lorsque vous suivez, vous en recevez deux. Ainsi, suivre vous donne une valeur attendue positive plus élevée et constituera la meilleure tactique.

L'espérance mathématique peut également donner une idée des tactiques de poker les moins rentables et lesquelles sont les plus rentables. Par exemple, si vous jouez une certaine main et que vous pensez que votre perte sera en moyenne de 75 cents, mise comprise, alors vous devriez jouer cette main car c'est mieux que de se coucher lorsque l'ante est de 1 $.

Une autre raison importante pour comprendre le concept de valeur attendue est qu'il vous procure un sentiment de tranquillité d'esprit, que vous gagniez ou non le pari : si vous avez fait un bon pari ou vous êtes couché au bon moment, vous saurez que vous avez gagné ou non. a économisé une certaine somme d’argent que le joueur le plus faible ne pouvait pas économiser. Il est beaucoup plus difficile de se coucher si vous êtes contrarié parce que votre adversaire a tiré une main plus forte. Avec tout cela, l’argent que vous économisez en ne jouant pas au lieu de parier est ajouté à vos gains de la nuit ou du mois.

N'oubliez pas que si vous aviez changé de main, votre adversaire vous aurait suivi, et comme vous le verrez dans l'article sur le Théorème fondamental du poker, ce n'est qu'un de vos avantages. Vous devriez être heureux quand cela arrive. Vous pouvez même apprendre à aimer perdre une main car vous savez que d’autres joueurs dans votre position auraient perdu beaucoup plus.

Comme mentionné dans l'exemple du jeu de pièces au début, le taux de profit horaire est lié à l'espérance mathématique, et ce concept est particulièrement important pour les joueurs professionnels. Lorsque vous allez jouer au poker, vous devez estimer mentalement combien vous pouvez gagner en une heure de jeu. Dans la plupart des cas, vous devrez vous fier à votre intuition et à votre expérience, mais vous pouvez également recourir à quelques mathématiques. Par exemple, vous jouez au draw lowball et vous voyez trois joueurs miser 10 $ puis échanger deux cartes, ce qui est une très mauvaise tactique, vous pouvez comprendre que chaque fois qu'ils parient 10 $, ils perdent environ 2 $. Chacun d’eux fait cela huit fois par heure, ce qui signifie qu’ils perdent tous les trois environ 48 dollars de l’heure. Vous êtes l'un des quatre joueurs restants qui sont à peu près égaux, donc ces quatre joueurs (et vous parmi eux) doivent se partager 48 $, chacun réalisant un bénéfice de 12 $ de l'heure. Dans ce cas, vos cotes horaires sont simplement égales à votre part de la somme d’argent perdue par trois mauvais joueurs en une heure.

Sur une longue période, les gains totaux du joueur sont la somme de ses attentes mathématiques dans les mains individuelles. Plus vous jouez de mains avec une attente positive, plus vous gagnez, et inversement, plus vous jouez de mains avec une attente négative, plus vous perdez. Par conséquent, vous devez choisir un jeu qui peut maximiser votre anticipation positive ou annuler votre anticipation négative afin que vous puissiez maximiser vos gains horaires.

Attente mathématique positive dans la stratégie de jeu

Si vous savez compter les cartes, vous pouvez avoir un avantage sur le casino s'il ne le remarque pas et vous jette dehors. Les casinos aiment les joueurs ivres et ne tolèrent pas les joueurs qui comptent les cartes. Un avantage vous permettra de gagner plus de fois que vous n’en perdrez au fil du temps. Une bonne gestion financière utilisant des calculs de valeur attendue peut vous aider à tirer davantage de profit de votre avantage et à réduire vos pertes. Sans avantage, il vaut mieux donner l’argent à une œuvre caritative. Dans le jeu boursier, l'avantage est donné par le système de jeu, qui crée des profits supérieurs aux pertes, aux différences de prix et aux commissions. Aucune gestion financière ne peut sauver un mauvais système de jeu.

Une attente positive est définie comme une valeur supérieure à zéro. Plus ce nombre est élevé, plus l’espérance statistique est forte. Si la valeur est inférieure à zéro, alors l’espérance mathématique sera également négative. Plus le module de la valeur négative est grand, plus la situation est mauvaise. Si le résultat est nul, alors l’attente est à l’équilibre. Vous ne pouvez gagner que lorsque vous avez des attentes mathématiques positives et un système de jeu raisonnable. Jouer par intuition mène au désastre.

Espérance mathématique et négociation d'actions

L'espérance mathématique est un indicateur statistique assez largement utilisé et populaire lors des transactions boursières sur les marchés financiers. Tout d’abord, ce paramètre est utilisé pour analyser le succès du trading. Il n'est pas difficile de deviner que plus cette valeur est élevée, plus il y a de raisons de considérer le métier étudié comme réussi. Bien entendu, l’analyse du travail d’un trader ne peut être réalisée à partir de ce seul paramètre. Cependant, la valeur calculée, en combinaison avec d'autres méthodes d'évaluation de la qualité du travail, peut augmenter considérablement la précision de l'analyse.

L'espérance mathématique est souvent calculée dans les services de surveillance des comptes de trading, ce qui vous permet d'évaluer rapidement le travail effectué sur le dépôt. Les exceptions incluent les stratégies qui utilisent des transactions non rentables « s’absentant ». Un commerçant peut avoir de la chance pendant un certain temps et il se peut donc qu'il n'y ait aucune perte dans son travail. Dans ce cas, il ne sera pas possible de se laisser guider uniquement par l'attente mathématique, car les risques utilisés dans le travail ne seront pas pris en compte.

Dans le trading sur le marché, l'espérance mathématique est le plus souvent utilisée pour prédire la rentabilité de toute stratégie de trading ou pour prédire les revenus d'un trader sur la base des données statistiques de ses transactions précédentes.

En ce qui concerne la gestion de l’argent, il est très important de comprendre que lors de transactions avec des attentes négatives, il n’existe aucun système de gestion de l’argent qui puisse certainement générer des profits élevés. Si vous continuez à jouer en bourse dans ces conditions, quelle que soit la façon dont vous gérez votre argent, vous perdrez la totalité de votre compte, quelle que soit sa taille au départ.

Cet axiome est vrai non seulement pour les jeux ou les échanges avec des attentes négatives, mais également pour les jeux avec des chances égales. Par conséquent, le seul moment où vous avez une chance de réaliser des bénéfices à long terme est si vous effectuez des transactions avec une valeur attendue positive.

La différence entre une attente négative et une attente positive est la différence entre la vie et la mort. Peu importe à quel point les attentes sont positives ou négatives ; Tout ce qui compte c'est si c'est positif ou négatif. Par conséquent, avant d’envisager la gestion de l’argent, vous devez trouver un jeu avec des attentes positives.

Si vous n'avez pas ce jeu, toute la gestion financière du monde ne vous sauvera pas. D’un autre côté, si vous avez une attente positive, vous pouvez, grâce à une bonne gestion financière, la transformer en une fonction de croissance exponentielle. Peu importe que les attentes positives soient minimes ! En d’autres termes, peu importe la rentabilité d’un système commercial basé sur un seul contrat. Si vous disposez d'un système qui gagne 10 $ par contrat et par transaction (après commissions et dérapages), vous pouvez utiliser des techniques de gestion financière pour le rendre plus rentable qu'un système qui gagne en moyenne 1 000 $ par transaction (après déduction des commissions et des dérapages).

Ce qui compte n’est pas la rentabilité du système, mais la certitude qu’il générera au moins un bénéfice minimal à l’avenir. Par conséquent, la préparation la plus importante qu'un trader puisse faire est de s'assurer que le système affichera une valeur attendue positive à l'avenir.

Afin d’avoir une valeur attendue positive dans le futur, il est très important de ne pas limiter les degrés de liberté de votre système. Ceci est réalisé non seulement en éliminant ou en réduisant le nombre de paramètres à optimiser, mais également en réduisant autant de règles système que possible. Chaque paramètre que vous ajoutez, chaque règle que vous établissez, chaque petite modification que vous apportez au système réduit le nombre de degrés de liberté. Idéalement, vous devez construire un système assez primitif et simple qui générera systématiquement de petits bénéfices sur presque tous les marchés. Encore une fois, il est important que vous compreniez que la rentabilité du système n’a pas d’importance, du moment qu’il est rentable. L’argent que vous gagnez en trading sera gagné grâce à une gestion efficace de l’argent.

Un système commercial est simplement un outil qui vous donne une valeur attendue positive afin que vous puissiez utiliser la gestion de l'argent. Les systèmes qui fonctionnent (montrent au moins des bénéfices minimes) sur un ou quelques marchés seulement, ou qui ont des règles ou des paramètres différents pour différents marchés, ne fonctionneront probablement pas en temps réel assez longtemps. Le problème avec la plupart des traders orientés vers la technique est qu'ils consacrent trop de temps et d'efforts à optimiser les différentes règles et valeurs des paramètres du système commercial. Cela donne des résultats complètement opposés. Au lieu de gaspiller de l'énergie et du temps informatique pour augmenter les bénéfices du système commercial, consacrez votre énergie à augmenter le niveau de fiabilité pour obtenir un profit minimum.

Sachant que la gestion financière n'est qu'un jeu de chiffres qui nécessite l'utilisation d'attentes positives, un trader peut arrêter de chercher le « Saint Graal » de la négociation d'actions. Au lieu de cela, il peut commencer à tester sa méthode de trading, découvrir à quel point cette méthode est logique et si elle donne des attentes positives. Des méthodes appropriées de gestion financière, appliquées à toutes les méthodes de trading, même très médiocres, feront elles-mêmes le reste du travail.

Pour réussir dans son travail, tout trader doit résoudre trois tâches les plus importantes : . S'assurer que le nombre de transactions réussies dépasse les inévitables erreurs et erreurs de calcul ; Configurez votre système de trading pour avoir la possibilité de gagner de l'argent le plus souvent possible ; Obtenez des résultats positifs et stables de vos opérations.

Et ici, pour nous, commerçants, les attentes mathématiques peuvent être d’une grande aide. Ce terme est l’un des termes clés de la théorie des probabilités. Avec son aide, vous pouvez donner une estimation moyenne d'une valeur aléatoire. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est similaire au centre de gravité, si vous imaginez toutes les probabilités possibles comme des points avec des masses différentes.

En ce qui concerne une stratégie de trading, l'espérance mathématique de profit (ou de perte) est le plus souvent utilisée pour évaluer son efficacité. Ce paramètre est défini comme la somme des produits de niveaux de profits et de pertes donnés et de la probabilité de leur apparition. Par exemple, la stratégie de trading développée suppose que 37 % de toutes les transactions généreront des bénéfices et que la partie restante - 63 % - ne sera pas rentable. Dans le même temps, le revenu moyen d'une transaction réussie sera de 7 $ et la perte moyenne sera de 1,4 $. Calculons l'espérance mathématique du trading en utilisant ce système :

Que signifie ce numéro ? Il dit que, selon les règles de ce système, nous recevrons en moyenne 1 708 $ pour chaque transaction clôturée. Étant donné que l’indice d’efficacité qui en résulte est supérieur à zéro, un tel système peut être utilisé pour un travail réel. Si, à la suite du calcul, l'espérance mathématique s'avère négative, cela indique déjà une perte moyenne et un tel trading conduira à la ruine.

Le montant du bénéfice par transaction peut également être exprimé en valeur relative sous forme de %. Par exemple:

– pourcentage de revenu pour 1 transaction - 5% ;

– pourcentage d'opérations commerciales réussies - 62% ;

– pourcentage de perte pour 1 transaction - 3% ;

– pourcentage de transactions infructueuses - 38% ;

Autrement dit, le commerce moyen rapportera 1,96%.

Il est possible de développer un système qui, malgré la prédominance des métiers non rentables, donnera un résultat positif, puisque son MO>0.

Cependant, attendre seul ne suffit pas. Il est difficile de gagner de l'argent si le système donne très peu de signaux de trading. Dans ce cas, sa rentabilité sera comparable aux intérêts bancaires. Supposons que chaque opération produise en moyenne seulement 0,5 dollar, mais que se passe-t-il si le système implique 1 000 opérations par an ? Cela représentera une somme très importante dans un délai relativement court. Il s'ensuit logiquement qu'une autre caractéristique distinctive d'un bon système commercial peut être considérée comme une courte période de détention des positions.

Sources et liens

dic.academic.ru – dictionnaire académique en ligne

maths.ru – site Web éducatif en mathématiques

nsu.ru – site Web éducatif de l'Université d'État de Novossibirsk

webmath.ru est un portail éducatif destiné aux étudiants, aux candidats et aux écoliers.

Site Web éducatif mathématique exponenta.ru

ru.tradimo.com – école de commerce en ligne gratuite

crypto.hut2.ru – ressource d'information multidisciplinaire

poker-wiki.ru – encyclopédie gratuite du poker

sernam.ru – Bibliothèque scientifique de publications sélectionnées en sciences naturelles

reshim.su – site Web NOUS RÉSOUDRONS les problèmes de cours de test

unfx.ru – Forex sur UNFX : formation, signaux de trading, gestion de la confiance

slovopedia.com – Grand dictionnaire encyclopédique Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Votre guide dans le monde du poker

statanaliz.info – blog d’information “ Analyse statistique données"

forex-trader.rf – Portail Forex-Trader

megafx.ru – analyses Forex actuelles

fx-by.com – tout pour un trader

Le concept d'espérance mathématique peut être envisagé à l'aide de l'exemple du lancement d'un dé. A chaque lancer, les points perdus sont enregistrés. Pour les exprimer, des valeurs naturelles comprises entre 1 et 6 sont utilisées.

Après un certain nombre de lancers, à l'aide de calculs simples, vous pouvez connaître la moyenne arithmétique des points obtenus.

Tout comme l'occurrence de l'une des valeurs de la plage, cette valeur sera aléatoire.

Et si vous augmentiez plusieurs fois le nombre de lancers ? À grandes quantités lance, la moyenne arithmétique des points se rapprochera d'un nombre spécifique, qui en théorie des probabilités est appelé l'espérance mathématique.

Ainsi, par attente mathématique, nous entendons la valeur moyenne d’une variable aléatoire. Cet indicateur peut également être présenté comme une somme pondérée de valeurs probables.

Ce concept a plusieurs synonymes :

• moyenne;
• valeur moyenne;
• indicateur de tendance centrale;
• premier instant.

En d’autres termes, ce n’est rien de plus qu’un nombre autour duquel sont réparties les valeurs d’une variable aléatoire.

DANS divers domaines activité humaine les approches pour comprendre les attentes mathématiques seront quelque peu différentes.

Il peut être considéré comme :

• le bénéfice moyen obtenu en prenant une décision, lorsqu'une telle décision est considérée du point de vue de la théorie des grands nombres ;
• le montant possible de gain ou de perte (théorie du jeu), calculé en moyenne pour chaque pari. En argot, ils sonnent comme « avantage du joueur » (positif pour le joueur) ou « avantage du casino » (négatif pour le joueur) ;
• pourcentage de profit reçu des gains.

L'attente n'est pas obligatoire pour absolument toutes les variables aléatoires. Il est absent pour ceux qui ont un écart dans la somme ou intégrale correspondante.

Propriétés de l'espérance mathématique

Comme tout paramètre statistique, l'espérance mathématique a les propriétés suivantes :

Formules de base pour l'espérance mathématique

Le calcul de l'espérance mathématique peut être effectué à la fois pour des variables aléatoires caractérisées à la fois par la continuité (formule A) et la discrétion (formule B) :

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, où xi sont les valeurs de la variable aléatoire, pi sont les probabilités :
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, où f(x) – densité donnée probabilités.

Exemples de calcul d'espérance mathématique

Exemple A.

Est-il possible de connaître la taille moyenne des nains dans le conte de Blanche-Neige. On sait que chacun des 7 nains avait une certaine taille : 1,25 ; 0,98 ; 1,05 ; 0,71 ; 0,56 ; 0,95 et 0,81 m.

L'algorithme de calcul est assez simple :

• on retrouve la somme de toutes les valeurs de l'indicateur de croissance (variable aléatoire) :
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Divisez le montant obtenu par le nombre de gnomes :
  6,31:7=0,90.

Ainsi, la taille moyenne des gnomes dans un conte de fées est de 90 cm. En d'autres termes, c'est l'espérance mathématique de la croissance des gnomes.

Formule de travail - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Mise en œuvre pratique de l'espérance mathématique

Vers le calcul indicateur statistique l'espérance mathématique est utilisée dans divers domaines activités pratiques. Tout d’abord, nous parlons de la sphère commerciale. Après tout, l’introduction par Huygens de cet indicateur est associée à la détermination des chances qui peuvent être favorables ou, au contraire, défavorables pour un événement.

Ce paramètre est largement utilisé pour évaluer les risques, notamment lorsqu'il s'agit d'investissements financiers.
Ainsi, en entreprise, le calcul de l'espérance mathématique agit comme une méthode d'évaluation du risque lors du calcul des prix.

Aussi cet indicateur peut être utilisé pour calculer l'efficacité de certaines activités, par exemple la protection du travail. Grâce à lui, vous pouvez calculer la probabilité qu'un événement se produise.

Un autre domaine d'application de ce paramètre est la gestion. Il peut également être calculé lors du contrôle qualité du produit. Par exemple, en utilisant un tapis. attentes, vous pouvez calculer le nombre possible de pièces défectueuses produites.

L'attente mathématique s'avère également irremplaçable lors de la réalisation d'un traitement statistique des résultats obtenus lors de recherche scientifique résultats. Il permet de calculer la probabilité d'un résultat souhaité ou indésirable d'une expérience ou d'une étude en fonction du niveau d'atteinte de l'objectif. Après tout, sa réalisation peut être associée à un gain et à un bénéfice, et son échec peut être associé à une perte ou à une perte.

Utiliser les attentes mathématiques sur le Forex

L'application pratique de ce paramètre statistique est possible lors de la réalisation de transactions sur le marché des changes. Avec son aide, vous pouvez analyser le succès des transactions commerciales. De plus, une augmentation de la valeur attendue indique une augmentation de leur succès.

Il est également important de rappeler que l’espérance mathématique ne doit pas être considérée comme le seul paramètre statistique utilisé pour analyser la performance d’un trader. L'utilisation de plusieurs paramètres statistiques ainsi que de la valeur moyenne augmente considérablement la précision de l'analyse.

Ce paramètre a fait ses preuves dans le suivi des observations des comptes de trading. Grâce à lui, une évaluation rapide du travail effectué sur le compte de dépôt est réalisée. Dans les cas où l’activité du commerçant réussit et évite les pertes, il n’est pas recommandé d’utiliser exclusivement le calcul de l’espérance mathématique. Dans ces cas, les risques ne sont pas pris en compte, ce qui réduit l'efficacité de l'analyse.

Les études menées sur les tactiques des traders indiquent que :

• Les tactiques les plus efficaces sont celles basées sur l’entrée aléatoire ;
• Les moins efficaces sont les tactiques basées sur des apports structurés.

En réalisant des résultats positifs non moins important :

• tactiques de gestion financière ;
• stratégies de sortie.

En utilisant un indicateur tel que l'espérance mathématique, vous pouvez prédire quel sera le profit ou la perte en investissant 1 dollar. On sait que cet indicateur, calculé pour l’ensemble des jeux pratiqués dans le casino, est en faveur de l’établissement. C'est ce qui vous permet de gagner de l'argent. Dans le cas d'une longue série de jeux, la probabilité qu'un client perde de l'argent augmente considérablement.

Les jeux joués par des joueurs professionnels sont limités à de courtes périodes, ce qui augmente les chances de gagner et réduit le risque de perdre. Le même schéma est observé lors de la réalisation d’opérations d’investissement.

Un investisseur peut gagner une somme importante en ayant des attentes positives et en effectuant un grand nombre de transactions sur une courte période.

L'espérance peut être considérée comme la différence entre le pourcentage de profit (PW) multiplié par le profit moyen (AW) et la probabilité de perte (PL) multipliée par la perte moyenne (AL).

À titre d'exemple, considérons ce qui suit : position – 12,5 mille dollars, portefeuille – 100 mille dollars, risque de dépôt – 1 %. La rentabilité des transactions est de 40% des cas avec un profit moyen de 20%. En cas de sinistre, la perte moyenne est de 5%. Le calcul de l'espérance mathématique de la transaction donne une valeur de 625 $.

Chaque valeur individuelle est entièrement déterminée par sa fonction de distribution. Aussi, pour résoudre problèmes pratiques Il suffit de connaître quelques caractéristiques numériques, grâce auxquelles il devient possible de présenter sous une forme concise les principales caractéristiques d'une variable aléatoire.

Ces quantités comprennent principalement espérance mathématique Et dispersion .

Attente— la valeur moyenne d'une variable aléatoire en théorie des probabilités. Noté comme .

Le plus d'une manière simple espérance mathématique d'une variable aléatoire X(w), découvrez comment intégralLebesgue par rapport à la mesure de probabilité R. original espace de probabilité

Vous pouvez également trouver l'espérance mathématique d'une valeur comme intégrale de Lebesgue depuis X par distribution de probabilité R X quantités X:

où est l'ensemble de toutes les valeurs possibles X.

Espérance mathématique des fonctions d'une variable aléatoire X trouvé grâce à la distribution R X. Par exemple, Si X- une variable aléatoire avec des valeurs dans et f(x)- sans ambiguïté de Borelfonction X , Que:

Si F(x)- fonction de distribution X, alors l'espérance mathématique est représentable intégralLebesgue - Stieltjes (ou Riemann - Stieltjes) :

dans ce cas, l'intégrabilité X En termes de ( * ) correspond à la finitude de l'intégrale

Dans des cas précis, si X a distribution discrète avec des valeurs probables xk, k=1, 2, . , et les probabilités, alors

Si X a absolument distribution continue avec densité de probabilité p(x), Que

dans ce cas, l'existence d'une espérance mathématique équivaut à la convergence absolue de la série ou intégrale correspondante.

Propriétés de l'espérance mathématique d'une variable aléatoire.

• L'espérance mathématique d'une valeur constante est égale à cette valeur :

C- constante;

• M=C.M[X]

• L'espérance mathématique de la somme des valeurs prises au hasard est égale à la somme de leurs espérances mathématiques :

• L'espérance mathématique du produit de variables indépendantes prises au hasard = le produit de leurs espérances mathématiques :

M=M[X]+M[Y]

Si X Et Oui indépendant.

si la série converge :

Algorithme de calcul de l'espérance mathématique.

Propriétés des variables aléatoires discrètes : toutes leurs valeurs peuvent être renumérotées nombres naturels; attribuez à chaque valeur une probabilité non nulle.

1. Multipliez les paires une par une : x je sur p je.

2. Ajoutez le produit de chaque paire x je p je.

Par exemple, Pour n = 4 :

Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète par étapes, elle augmente brusquement aux points dont les probabilités ont un signe positif.

Exemple: Trouvez l'espérance mathématique à l'aide de la formule.