Traitons notions simples: sinus et cosinus et calcul cosinus au carré et sinus au carré.

Le sinus et le cosinus sont étudiés en trigonométrie (l'étude des triangles rectangles).

Par conséquent, rappelons d’abord les concepts de base d’un triangle rectangle :

Hypoténuse- le côté qui est toujours opposé angle droit(angle de 90 degrés). L'hypoténuse est le côté le plus long d'un triangle rectangle.

Les deux côtés restants d’un triangle rectangle sont appelés jambes.

N’oubliez pas non plus que la somme des trois angles d’un triangle fait toujours 180°.

Passons maintenant à cosinus et sinus de l'angle alpha (∠α)(cela peut être appelé n'importe quel angle indirect dans un triangle ou utilisé comme désignation x - "x", ce qui ne change rien à l'essentiel).

Sinus de l'angle alpha (sin ∠α)- c'est une attitude opposé jambe (le côté opposé à l’angle correspondant) à l’hypoténuse. Si vous regardez la figure, alors sin ∠ABC = AC / BC

Cosinus de l'angle alpha (cos ∠α)- attitude adjacentà l'angle de la jambe par rapport à l'hypoténuse. En regardant à nouveau la figure ci-dessus, cos ∠ABC = AB / BC

Et pour rappel : le cosinus et le sinus ne seront jamais supérieurs à un, puisque tout roulis est plus court que l'hypoténuse (et l'hypoténuse est le côté le plus long de tout triangle, car le côté le plus long est situé à l'opposé du plus grand angle du triangle) .

Cosinus au carré, sinus au carré

Passons maintenant aux formules trigonométriques de base : calculer le cosinus au carré et le sinus au carré.

Pour les calculer, il faut retenir l’identité trigonométrique de base :

péché 2 α + cos 2 α = 1(le sinus carré plus le cosinus carré d'un angle sont toujours égaux à un).

De l'identité trigonométrique, nous tirons des conclusions sur le sinus :

péché 2 α = 1 - cos 2 α

sinus carré alpha égal à un moins cosinus double angle alpha et divisez le tout par deux.

péché 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

​​​​​​​De l'identité trigonométrique, nous tirons des conclusions sur le cosinus :

cos 2 α = 1 - péché 2 α

ou plus option difficile formules : cosinus carré alpha est égal à un plus le cosinus du double angle alpha et divise également le tout par deux.

cos 2α = (1 + cos(2α)) / 2

Ces deux-là sont plus formules complexes Le sinus au carré et le cosinus au carré sont également appelés « réduction du degré des carrés des fonctions trigonométriques ». Ceux. il y avait un deuxième degré, ils l'ont abaissé au premier et les calculs sont devenus plus pratiques.

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques

Note. Ce tableau de valeurs de fonctions trigonométriques utilise le signe √ pour indiquer racine carrée. Pour indiquer une fraction, utilisez le symbole "/".

Voir aussi matériel utile :

Pour déterminer la valeur d'une fonction trigonométrique, trouvez-le à l'intersection de la ligne indiquant la fonction trigonométrique. Par exemple, sinus 30 degrés - nous recherchons la colonne avec le titre sin (sinus) et trouvons l'intersection de cette colonne du tableau avec la ligne "30 degrés", à leur intersection nous lisons le résultat - une moitié. De même on retrouve cosinus 60 degrés, sinus 60 degrés (encore une fois, à l'intersection de la colonne sin et de la ligne des 60 degrés on trouve la valeur sin 60 = √3/2), etc. Les valeurs des sinus, cosinus et tangentes d'autres angles « populaires » se trouvent de la même manière.

Sinus pi, cosinus pi, tangente pi et autres angles en radians

Le tableau ci-dessous des cosinus, sinus et tangentes convient également pour trouver la valeur des fonctions trigonométriques dont l'argument est donné en radians. Pour ce faire, utilisez la deuxième colonne de valeurs d'angle. Grâce à cela, vous pouvez convertir la valeur des angles populaires de degrés en radians. Par exemple, trouvons l'angle de 60 degrés sur la première ligne et lisons sa valeur en radians en dessous. 60 degrés équivaut à π/3 radians.

Le nombre pi exprime sans ambiguïté la dépendance de la circonférence par rapport à mesure de degré coin. Ainsi, pi radians est égal à 180 degrés.

Tout nombre exprimé en pi (radians) peut être facilement converti en degrés en remplaçant pi (π) par 180..

Exemples:
1. Sinus pi.
péché π = péché 180 = 0
ainsi, le sinus de pi est le même que le sinus de 180 degrés et il est égal à zéro.

2. Cosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
ainsi, le cosinus de pi est le même que le cosinus de 180 degrés et il est égal à moins un.

3. Tangente pi
tg π = tg 180 = 0
ainsi, la tangente pi est la même que la tangente 180 degrés et elle est égale à zéro.

Tableau des valeurs sinus, cosinus et tangentes pour les angles 0 - 360 degrés (valeurs communes)

Si dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques un tiret est indiqué à la place de la valeur de la fonction (tangente (tg) 90 degrés, cotangente (ctg) 180 degrés), alors pour une valeur donnée du degré mesure de l'angle la fonction n'a pas de valeur spécifique. S'il n'y a pas de tiret, la cellule est vide, ce qui signifie que nous n'y sommes pas encore entrés valeur souhaitée. Nous sommes intéressés par les requêtes que les utilisateurs nous contactent et complètent le tableau avec de nouvelles valeurs, malgré le fait que les données actuelles sur les valeurs des cosinus, des sinus et des tangentes des valeurs d'angle les plus courantes sont tout à fait suffisantes pour résoudre la plupart problèmes.

Tableau des valeurs des fonctions trigonométriques sin, cos, tg pour les angles les plus courants
0, 15, 30, 45, 60, 90... 360 degrés
(valeurs numériques « selon les tables Bradis »)

L’un des domaines mathématiques avec lesquels les élèves ont le plus de difficultés est la trigonométrie. Pas étonnant : pour maîtriser couramment ce domaine de connaissances, il faut avoir pensée spatiale, capacité à trouver des sinus, cosinus, tangentes, cotangentes à l'aide de formules, simplifier des expressions, être capable d'utiliser pi dans les calculs. De plus, vous devez être capable d'utiliser la trigonométrie pour prouver des théorèmes, ce qui nécessite soit un développement mémoire mathématique, ou la capacité de dériver des chaînes logiques complexes.

Origines de la trigonométrie

Se familiariser avec cette science doit commencer par la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle, mais vous devez d'abord comprendre ce que fait la trigonométrie en général.

Historiquement, le principal objet d'étude dans cette section sciences mathématiquesétaient des triangles rectangles. La présence d'un angle de 90 degrés permet d'effectuer diverses opérations permettant de déterminer les valeurs de tous les paramètres de la figure en question à l'aide de deux côtés et d'un angle ou de deux angles et d'un côté. Dans le passé, les gens ont remarqué ce modèle et ont commencé à l'utiliser activement dans la construction de bâtiments, la navigation, l'astronomie et même dans l'art.

Étape initiale

Au départ, les gens parlaient de la relation entre les angles et les côtés exclusivement en utilisant l'exemple des triangles rectangles. Ensuite, des formules spéciales ont été découvertes qui ont permis d'élargir les limites d'utilisation dans la vie quotidienne cette branche des mathématiques.

L'étude de la trigonométrie à l'école commence aujourd'hui par les triangles rectangles, après quoi les élèves utilisent les connaissances acquises en physique et en résolvant des équations trigonométriques abstraites, qui commencent au lycée.

Trigonométrie sphérique

Plus tard, lorsque la science a atteint un niveau de développement supérieur, des formules avec sinus, cosinus, tangente et cotangente ont commencé à être utilisées en géométrie sphérique, où différentes règles s'appliquent et où la somme des angles dans un triangle est toujours supérieure à 180 degrés. Cette rubrique n'est pas étudié à l'école, mais il faut connaître son existence au moins parce que surface de la terre, et la surface de toute autre planète est convexe, ce qui signifie que tout marquage de surface sera en espace tridimensionnel"en forme d'arc".

Prenez le globe et le fil. Attachez le fil à deux points quelconques du globe afin qu'il soit tendu. Attention, il a pris la forme d'un arc. La géométrie sphérique traite de telles formes, qui sont utilisées en géodésie, en astronomie et dans d'autres domaines théoriques et appliqués.

Triangle rectangle

Après avoir appris un peu les manières d'utiliser la trigonométrie, revenons à la trigonométrie de base afin de mieux comprendre ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente, quels calculs peuvent être effectués avec leur aide et quelles formules utiliser.

La première étape consiste à comprendre les concepts liés à triangle rectangle. Premièrement, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle de 90 degrés. C'est le plus long. On se souvient que d'après le théorème de Pythagore, son valeur numériqueégal à la racine de la somme des carrés des deux autres côtés.

Par exemple, si les deux côtés mesurent respectivement 3 et 4 centimètres, la longueur de l'hypoténuse sera de 5 centimètres. À propos, les anciens Égyptiens le savaient il y a environ quatre mille cinq cents ans.

Les deux côtés restants, qui forment un angle droit, sont appelés jambes. De plus, il ne faut pas oublier que la somme des angles d’un triangle est système rectangulaire les coordonnées sont de 180 degrés.

Définition

Enfin, avec une bonne compréhension de la base géométrique, on peut se tourner vers la définition du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle.

Le sinus d'un angle est le rapport entre la jambe opposée (c'est-à-dire le côté opposé à l'angle souhaité) et l'hypoténuse. Le cosinus d'un angle est le rapport jambe adjacenteà l'hypoténuse.

N'oubliez pas que ni le sinus ni le cosinus ne peuvent être supérieurs à un ! Pourquoi? Parce que l'hypoténuse est par défaut la plus longue, quelle que soit la longueur de la jambe, elle sera plus courte que l'hypoténuse, ce qui signifie que leur rapport sera toujours inférieur à un. Ainsi, si dans votre réponse à un problème vous obtenez un sinus ou un cosinus d'une valeur supérieure à 1, recherchez une erreur dans les calculs ou le raisonnement. Cette réponse est clairement incorrecte.

Enfin, la tangente d’un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent. En divisant le sinus par le cosinus, on obtient le même résultat. Regardez : d'après la formule, on divise la longueur du côté par l'hypoténuse, puis on divise par la longueur du deuxième côté et on multiplie par l'hypoténuse. Ainsi, on obtient la même relation que dans la définition de la tangente.

La cotangente est donc le rapport du côté adjacent au coin au côté opposé. On obtient le même résultat en divisant un par la tangente.

Nous avons donc examiné les définitions de ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, et nous pouvons passer aux formules.

Les formules les plus simples

En trigonométrie, vous ne pouvez pas vous passer de formules - comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente sans elles ? Mais c’est exactement ce qui est nécessaire pour résoudre des problèmes.

La première formule que vous devez connaître pour commencer à étudier la trigonométrie dit que la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est égale à un. Cette formule est une conséquence directe du théorème de Pythagore, mais cela permet de gagner du temps si l'on a besoin de connaître la taille de l'angle plutôt que son côté.

De nombreux étudiants ne se souviennent pas de la deuxième formule, qui est également très populaire pour résoudre tâches scolaires: la somme de un et du carré de la tangente de l'angle est égale à un divisé par le carré du cosinus de l'angle. Regardez de plus près : c'est la même affirmation que dans la première formule, seuls les deux côtés de l'identité ont été divisés par le carré du cosinus. Il s’avère qu’une simple opération mathématique ne formule trigonométrique complètement méconnaissable. N'oubliez pas : savoir ce que sont le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente, les règles de conversion et plusieurs formules de base Vous pouvez à tout moment dériver vous-même les formules plus complexes souhaitées sur une feuille de papier.

Formules pour les angles doubles et ajout d'arguments

Deux autres formules que vous devez apprendre sont liées aux valeurs du sinus et du cosinus pour la somme et la différence des angles. Ils sont présentés dans la figure ci-dessous. Veuillez noter que dans le premier cas, le sinus et le cosinus sont multipliés les deux fois, et dans le second, le produit par paire du sinus et du cosinus est ajouté.

Il existe également des formules associées aux arguments à double angle. Ils sont complètement dérivés des précédents - en guise d'entraînement essayez de les obtenir vous-même en prenant l'angle alpha égal à l'angle bêta.

Enfin, notez que les formules à double angle peuvent être réorganisées pour réduire la puissance du sinus, du cosinus et de la tangente alpha.

Théorèmes

Les deux principaux théorèmes de la trigonométrie de base sont le théorème du sinus et le théorème du cosinus. A l'aide de ces théorèmes, vous pouvez facilement comprendre comment trouver le sinus, le cosinus et la tangente, et donc l'aire de la figure, et la taille de chaque côté, etc.

Le théorème des sinus stipule qu'en divisant la longueur de chaque côté d'un triangle par l'angle opposé, on obtient même numéro. De plus, ce nombre sera égal à deux rayons du cercle circonscrit, c'est-à-dire du cercle contenant tous les points d'un triangle donné.

Le théorème du cosinus généralise le théorème de Pythagore en le projetant sur n'importe quel triangle. Il s'avère que de la somme des carrés des deux côtés, soustrayez leur produit multiplié par le double cosinus de l'angle adjacent - la valeur résultante sera égale au carré du troisième côté. Ainsi, le théorème de Pythagore s’avère être un cas particulier du théorème du cosinus.

Erreurs d'inattention

Même en sachant ce que sont le sinus, le cosinus et la tangente, il est facile de se tromper en raison de la distraction ou d'une erreur dans les calculs les plus simples. Pour éviter de telles erreurs, examinons les plus courantes.

Premièrement, vous ne devez pas convertir des fractions en décimales jusqu'à ce que vous obteniez le résultat final - vous pouvez laisser la réponse telle quelle fraction commune, sauf indication contraire dans les conditions. Une telle transformation ne peut pas être qualifiée d’erreur, mais il ne faut pas oublier qu’à chaque étape du problème, de nouvelles racines peuvent apparaître qui, selon l’idée de l’auteur, devraient être réduites. Dans ce cas, vous perdrez votre temps en tâches inutiles. opérations mathématiques. Cela est particulièrement vrai pour les valeurs telles que la racine de trois ou la racine de deux, car elles se retrouvent dans les problèmes à chaque étape. Il en va de même pour arrondir les nombres « laids ».

De plus, notez que le théorème du cosinus s’applique à n’importe quel triangle, mais pas le théorème de Pythagore ! Si vous oubliez par erreur de soustraire deux fois le produit des côtés multiplié par le cosinus de l'angle qui les sépare, vous obtiendrez non seulement un résultat complètement faux, mais vous démontrerez également une incompréhension totale du sujet. C'est pire qu'une erreur d'inattention.

Troisièmement, ne confondez pas les valeurs des angles de 30 et 60 degrés pour les sinus, cosinus, tangentes, cotangentes. Rappelez-vous ces valeurs, car le sinus est de 30 degrés égal au cosinus 60, et vice versa. Il est facile de les confondre, ce qui entraînera inévitablement un résultat erroné.

Application

De nombreux étudiants ne sont pas pressés de commencer à étudier la trigonométrie car ils n'en comprennent pas le sens pratique. Qu'est-ce que le sinus, le cosinus, la tangente pour un ingénieur ou un astronome ? Ce sont des concepts grâce auxquels vous pouvez calculer la distance jusqu'à étoiles lointaines, prédire la chute d'une météorite, envoyer une sonde de recherche sur une autre planète. Sans eux, il est impossible de construire un bâtiment, de concevoir une voiture, de calculer la charge sur une surface ou la trajectoire d’un objet. Et ce ne sont là que les exemples les plus évidents ! Après tout, la trigonométrie, sous une forme ou une autre, est utilisée partout, de la musique à la médecine.

En conclusion

Donc tu es sinus, cosinus, tangente. Vous pouvez les utiliser dans des calculs et résoudre avec succès des problèmes scolaires.

Tout l’intérêt de la trigonométrie réside dans le fait qu’en utilisant les paramètres connus d’un triangle, vous devez calculer les inconnues. Il y a six paramètres au total : longueur trois côtés et les tailles des trois angles. La seule différence entre les tâches réside dans le fait que différentes données d'entrée sont fournies.

Vous savez maintenant comment trouver le sinus, le cosinus, la tangente en fonction des longueurs connues des jambes ou de l'hypoténuse. Puisque ces termes ne signifient rien de plus qu’un rapport, et qu’un rapport est une fraction, objectif principal problème trigonométrique consiste à trouver les racines d’une équation ordinaire ou d’un système d’équations. Et ici, les mathématiques scolaires régulières vous aideront.

Dans cet article, nous allons jeter un regard complet. Les identités trigonométriques de base sont des égalités qui établissent une connexion entre le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle, et permettent de trouver l'une de ces fonctions trigonométriques à travers un autre connu.

Listons immédiatement les principales identités trigonométriques que nous analyserons dans cet article. Écrivons-les dans un tableau, et ci-dessous nous donnerons le résultat de ces formules et fournirons les explications nécessaires.

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Relation entre le sinus et le cosinus d'un angle

Parfois, ils ne parlent pas des principales identités trigonométriques énumérées dans le tableau ci-dessus, mais d'une seule. identité trigonométrique de base gentil . L'explication de ce fait est assez simple : les égalités sont obtenues à partir de l'identité trigonométrique principale après avoir divisé ses deux parties par et, respectivement, et les égalités Et découlent des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Nous en parlerons plus en détail dans les paragraphes suivants.

C'est, intérêt particulier représente précisément l'égalité, à laquelle on a donné le nom d'identité trigonométrique principale.

Avant de prouver l'identité trigonométrique principale, donnons sa formulation : la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle est identiquement égale à un. Maintenant, prouvons-le.

L'identité trigonométrique de base est très souvent utilisée lorsque transformation expressions trigonométriques . Il permet de remplacer la somme des carrés du sinus et du cosinus d'un angle par un. Non moins souvent, l'identité trigonométrique de base est utilisée dans ordre inverse: l'unité est remplacée par la somme des carrés du sinus et du cosinus de n'importe quel angle.

Tangente et cotangente par sinus et cosinus

Identités reliant la tangente et la cotangente au sinus et au cosinus d'un angle de vue et découlent immédiatement des définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. En effet, par définition, le sinus est l'ordonnée de y, le cosinus est l'abscisse de x, la tangente est le rapport de l'ordonnée à l'abscisse, soit , et la cotangente est le rapport de l'abscisse à l'ordonnée, c'est-à-dire .

Grâce à une telle évidence des identités et La tangente et la cotangente sont souvent définies non pas par le rapport de l'abscisse et de l'ordonnée, mais par le rapport du sinus et du cosinus. Ainsi, la tangente d'un angle est le rapport du sinus au cosinus de cet angle, et la cotangente est le rapport du cosinus au sinus.

En conclusion de ce paragraphe, il convient de noter que les identités et avoir lieu pour tous les angles sous lesquels les fonctions trigonométriques qu'ils contiennent ont un sens. Donc la formule est valable pour tout autre que (sinon le dénominateur aura zéro, et nous n'avons pas défini la division par zéro), et la formule - pour tout , différent de , où z est quelconque .

Relation entre tangente et cotangente

Encore plus évident identité trigonométrique que les deux précédents, est l'identité reliant la tangente et la cotangente d'un angle de la forme . Il est clair que cela est valable pour tous les angles autres que , sinon la tangente ou la cotangente ne sont pas définies.

Preuve de la formule très simple. Par définition et d'où . La preuve aurait pu être réalisée un peu différemment. Depuis , Que .

Ainsi, la tangente et la cotangente du même angle sous lequel elles ont un sens sont .

Si nous construisons un cercle unité avec son centre à l'origine et fixons une valeur arbitraire pour l'argument x0 et compte à partir de l'axe Bœuf coin x 0, puis ce coin sur cercle unitaire correspond à un point UN(Fig.1) et sa projection sur l'axe Oh il y aura un point M. Longueur de section OMégal à valeur absolue points en abscisse UN. Valeur d'argument donnée x0 valeur de fonction mappée oui=cos x 0 comme des points d'abscisse UN. En conséquence, point DANS(x 0 ;à 0) appartient au graphe de la fonction à=cos X(Fig.2). Si le point UN est à droite de l'axe Oh, Le sinus actuel sera positif, mais s'il est à gauche, il sera négatif. Mais de toute façon, point final UN ne peut pas quitter le cercle. Par conséquent, le cosinus est compris entre –1 et 1 :

–1 = cos x = 1.

Rotation supplémentaire à n'importe quel angle, multiple de 2 p, renvoie le point UN au même endroit. Donc la fonction y = parce que xp:

parce que( x+ 2p) = cos X.

Si l'on prend deux valeurs de l'argument, égales en valeur absolue, mais opposées en signe, x Et - x, trouver les points correspondants sur le cercle Un x Et Un -x. Comme on peut le voir sur la Fig. 3 leur projection sur l'axe Oh c'est le même point M. C'est pourquoi

cos(– x) = cos ( x),

ceux. cosinus – même fonction, f(–x) = f(x).

Cela signifie que nous pouvons explorer les propriétés de la fonction oui=cos X sur le segment , puis prendre en compte sa parité et sa périodicité.

À X= 0 point UN se trouve sur l'axe Oh, son abscisse est 1, et donc cos 0 = 1. Avec l'augmentation X point UN se déplace autour du cercle vers le haut et vers la gauche, sa projection, naturellement, n'est que vers la gauche, et en x = p/2 cosinus devient égal à 0. Point UNà ce moment s'élève à hauteur maximale, puis continue de se déplacer vers la gauche, mais déjà en descendant. Son abscisse continue de diminuer jusqu'à atteindre valeur la plus basse, égal à –1 à X= p. Ainsi, sur l'intervalle la fonction à=cos X diminue de façon monotone de 1 à –1 (Fig. 4, 5).

De la parité du cosinus il résulte que sur l'intervalle [– p, 0] la fonction augmente de façon monotone de –1 à 1, prenant une valeur nulle à X =–p/2. Si vous prenez plusieurs périodes, vous obtenez une courbe ondulée (Fig. 6).

Donc la fonction oui=cos x prend des valeurs nulles aux points X= p/2 + kp, Où k- n'importe quel entier. Des maximums égaux à 1 sont atteints aux points X= 2kp, c'est-à-dire par pas de 2 p, et des minimums égaux à –1 aux points X= p + 2kp.

Fonction y = péché x.

Sur le coin du cercle unité x 0 correspond à un point UN(Fig.7), et sa projection sur l'axe Oh il y aura un point N.Z valeur de la fonction oui 0 = péché x0 défini comme l'ordonnée d'un point UN. Point DANS(coin x 0 ,à 0) appartient au graphe de la fonction oui= péché x(Fig. 8). Il est clair que la fonction y= péché x périodique, sa période est de 2 p:

péché ( x+ 2p) = péché ( x).

Pour deux valeurs d'argument, X Et - , projections de leurs points correspondants Un x Et Un -x par axe Oh situé symétriquement par rapport au point À PROPOS. C'est pourquoi

péché(- x) = –péché ( x),

ceux. le sinus est une fonction impaire, f(– x) = –f( x) (Fig. 9).

Si le point UN tourner par rapport à un point À PROPOS sous un angle p/2 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (c'est-à-dire si l'angle X augmenter de p/2), alors son ordonnée dans la nouvelle position sera égale à l'abscisse dans l'ancienne. Ce qui veut dire

péché ( x+ p/2) = cos X.

Sinon, le sinus est un cosinus « en retard » de p/2, puisque toute valeur de cosinus sera « répétée » dans le sinus lorsque l’argument augmente de p/2. Et pour construire un graphe sinusoïdal, il suffit de décaler le graphe cosinus de p/2 vers la droite (Fig. 10). Extrêmement propriété importante le sinus est exprimé par l'égalité

La signification géométrique de l’égalité peut être vue sur la Fig. 11. Ici X- c'est un demi-arc AB, un péché X- la moitié de l’accord correspondant. Il est évident qu'à mesure que les points se rapprochent UN Et DANS la longueur de la corde se rapproche de plus en plus de la longueur de l'arc. A partir du même chiffre, il est facile de déduire l’inégalité

|péché x| x|, vrai pour tout X.

Les mathématiciens appellent la formule (*) limite remarquable. Il en résulte en particulier que le péché X» X au petit X.

Fonctions à= tg x, y=ctg X. Les deux autres fonctions trigonométriques, tangente et cotangente, sont plus facilement définies comme les rapports du sinus et du cosinus déjà connus de nous :

Comme le sinus et le cosinus, la tangente et la cotangente sont des fonctions périodiques, mais leurs périodes sont égales. p, c'est-à-dire ils font la moitié de la taille du sinus et du cosinus. La raison en est claire : si le sinus et le cosinus changent tous deux de signe, alors leur rapport ne changera pas.

Étant donné que le dénominateur de la tangente contient un cosinus, la tangente n'est pas définie aux points où le cosinus est 0 - lorsque X= p/2 +kp. À tous les autres points, il augmente de façon monotone. Direct X= p/2 + kp car la tangente sont des asymptotes verticales. Aux points kp tangente et pente valent respectivement 0 et 1 (Fig. 12).

La cotangente n'est pas définie là où le sinus est 0 (quand x = kp). En d'autres points, il diminue de façon monotone et des lignes droites x = kp – son asymptotes verticales. Aux points x = p/2 +kp la cotangente devient 0 et la pente en ces points est égale à –1 (Fig. 13).

Parité et périodicité.

Une fonction est appelée même si f(–x) = f(x). Les fonctions cosinus et sécante sont paires, et les fonctions sinus, tangente, cotangente et cosécante sont impaires :

Les propriétés de parité découlent de la symétrie des points P. un et R.- un (Fig. 14) par rapport à l'axe X. Avec une telle symétrie, l'ordonnée du point change de signe (( X;à) va à ( X; –у)). Toutes les fonctions - périodique, sinus, cosinus, sécante et cosécante ont une période de 2 p, et tangente et cotangente - p:

La périodicité du sinus et du cosinus découle du fait que tous les points P. a+2 kp, Où k= 0, ±1, ±2,…, coïncident, et la périodicité de la tangente et de la cotangente est due au fait que les points P. un + kp tombent alternativement en deux points diamétralement opposés du cercle, donnant le même point sur l'axe tangent.

Les principales propriétés des fonctions trigonométriques peuvent être résumées dans un tableau :

Formules de réduction.

D'après ces formules, la valeur de la fonction trigonométrique de l'argument a, où p/2 a p , peut être réduit à la valeur de la fonction argument a , où 0 a p /2, soit identique, soit complémentaire de celle-ci.

Argument b	-un	+ un	p-un	p+ un	+ un	+ un	2p-un
péché b	parce qu'un	parce qu'un	péché un	–péché un	– parce qu'un	– parce qu'un	–péché un
cos b	péché un	–péché un	– parce qu'un	– parce qu'un	–péché un	péché un	parce qu'un

Par conséquent, dans les tableaux des fonctions trigonométriques, les valeurs sont données uniquement pour coins pointus, et il suffit de se limiter, par exemple, au sinus et à la tangente. Le tableau ne montre que les formules les plus couramment utilisées pour le sinus et le cosinus. À partir de celles-ci, il est facile d’obtenir des formules pour la tangente et la cotangente. Lors de la conversion d'une fonction à partir d'un argument de la forme kp/2 ± a, où k– un entier, à une fonction de l'argument a :

1) le nom de la fonction est enregistré si k pair, et devient « complémentaire » si k impair;

2) le signe du côté droit coïncide avec le signe de la fonction réductible au point kp/2 ± a si l'angle a est aigu.

Par exemple, lors du lancement de ctg (a – p/2) nous nous assurons qu’un – p/2 à 0 a p /2 se situe dans le quatrième quadrant, où la cotangente est négative, et, selon la règle 1, on change le nom de la fonction : ctg (a – p/2) = –tg une .

Formules d'addition.

Formules pour plusieurs angles.

Ces formules sont dérivées directement des formules d'addition :

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

péché 3a = 3 péché a – 4 péché 3 a ;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

La formule du cos 3a a été utilisée par François Viète pour résoudre équation cubique. Il fut le premier à trouver des expressions pour cos n un et le péché n a, qui furent ensuite obtenus de manière plus simple à partir de la formule de Moivre.

Si vous remplacez a par a /2 dans les formules à double argument, elles peuvent être converties en formules demi-angle :

Formules de substitution universelles.

En utilisant ces formules, une expression impliquant différentes fonctions trigonométriques du même argument peut être réécrite comme expression rationnelleà partir d'une fonction tg (a /2), cela peut être utile pour résoudre certaines équations :

Formules pour convertir des sommes en produits et des produits en sommes.

Avant l’avènement des ordinateurs, ces formules étaient utilisées pour simplifier les calculs. Les calculs ont été effectués en utilisant tableaux logarithmiques, et plus tard - règle à calcul, parce que les logarithmes sont les mieux adaptés pour multiplier des nombres, de sorte que toutes les expressions originales ont été mises sous une forme pratique pour la logarithmisation, c'est-à-dire aux œuvres, par exemple :

2 péché un péché b = cos ( a-b) – cos ( a+b);

2cos un parce que b=cos( a-b) + cos ( a+b);

2 péché un parce que b= péché ( a-b) + péché ( a+b).

Les formules pour les fonctions tangente et cotangente peuvent être obtenues à partir de ce qui précède.

Formules de réduction de diplôme.

À partir des formules à arguments multiples, les formules suivantes sont dérivées :

Utiliser ces formules équations trigonométriques peut être réduit à des équations de degrés inférieurs. De la même manière, nous pouvons dériver des formules de réduction pour plus diplômes élevés sinus et cosinus.

Chaque fonction trigonométrique en chaque point de son domaine de définition est continue et infiniment différentiable. De plus, les dérivées des fonctions trigonométriques sont des fonctions trigonométriques, et lorsqu'elles sont intégrées, des fonctions trigonométriques ou leurs logarithmes sont également obtenues. Les intégrales de combinaisons rationnelles de fonctions trigonométriques sont toujours des fonctions élémentaires.

Représentation de fonctions trigonométriques sous forme de séries entières et de produits infinis.

Toutes les fonctions trigonométriques peuvent être étendues dans série de puissance. Dans ce cas, les fonctions sin x bcos x sont présentés en lignes. convergent pour toutes les valeurs x:

Ces séries peuvent être utilisées pour obtenir des expressions approximatives du péché x et parce que xà petites valeurs x:

à | x| p/2 ;

à 0x| p

(B n – Nombres de Bernoulli).

fonctions de péché x et parce que x peut être représenté sous forme de produits infinis :

Système trigonométrique 1, cos x,péché x, parce que 2 x, péché 2 x,¼,cos nx,péché nx, ¼, se forme sur le segment [– p, p] système orthogonal fonctions, ce qui permet de représenter des fonctions sous forme de séries trigonométriques.

sont définies comme des continuations analytiques des fonctions trigonométriques correspondantes de l'argument réel dans plan complexe. Oui, le péché z et parce que z peut être défini en utilisant une série pour sin x et parce que x, si à la place x mettre z:

Ces séries convergent sur tout le plan, donc sin z et parce que z- des fonctions entières.

La tangente et la cotangente sont déterminées par les formules :

fonctions tg z et ctg z– les fonctions méromorphes. poteaux tg z et sec z– simple (1er ordre) et localisé aux points z = p/2 + pn, Poteaux CTG z et cosec z– également simple et localisé par points z = pn, n = 0, ±1, ±2,…

Toutes les formules valables pour les fonctions trigonométriques d'un argument réel sont également valables pour un argument complexe. En particulier,

péché(- z) = –péché z,

cos(– z) = cos z,

tg(– z) = –tg z,

ctg(– z) = –ctg z,

ceux. les parités paires et impaires sont conservées. Les formules sont également enregistrées

péché ( z + 2p) = péché z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

ceux. la périodicité est également conservée, et les périodes sont les mêmes que pour les fonctions d'un argument réel.

Fonctions trigonométriques peut être exprimé à travers une fonction exponentielle d'un argument purement imaginaire :

Dos, e iz exprimé en termes de cos z et le péché z selon la formule :

e iz=cos z + je péché z

Ces formules sont appelées formules d'Euler. Leonhard Euler les développa en 1743.

Les fonctions trigonométriques peuvent également être exprimées en termes de fonctions hyperboliques:

z = –je merde iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

où sh, ch et th – sinus hyperbolique, cosinus et tangente.

Fonctions trigonométriques d'argument complexe z = x + iy, Où x Et oui – nombres réels, peut être exprimé à travers des fonctions trigonométriques et hyperboliques d'arguments réels, par exemple :

péché ( x + je) = péché x ch oui + je parce que x merde oui;

parce que( x + je) = cos x ch oui + je péché x merde oui.

Le sinus et le cosinus d'un argument complexe peuvent prendre de vraies valeurs, dépassant 1 en valeur absolue. Par exemple:

Si un angle inconnu entre dans une équation comme argument des fonctions trigonométriques, alors l'équation est dite trigonométrique. De telles équations sont si courantes que leurs méthodes les solutions sont très détaillées et soigneusement développées. AVEC avec de l'aide diverses techniques et les formules réduisent les équations trigonométriques aux équations de la forme f(x)=un, Où f– l'une des fonctions trigonométriques les plus simples : sinus, cosinus, tangente ou cotangente. Puis exprimez l'argument x cette fonction à travers sa valeur connue UN.

Puisque les fonctions trigonométriques sont périodiques, la même chose UNà partir de la plage de valeurs, il existe une infinité de valeurs de l'argument, et les solutions de l'équation ne peuvent pas être écrites comme une seule fonction de UN. Ainsi, dans le domaine de définition de chacune des fonctions trigonométriques principales, on sélectionne une section dans laquelle elle prend toutes ses valeurs, chacune une seule fois, et la fonction inverse de celle-ci se retrouve dans cette section. De telles fonctions sont désignées en ajoutant le préfixe arc (arc) au nom de la fonction d'origine et sont appelées trigonométriques inverses. fonctions ou simplement fonctions d'arc.

Fonctions trigonométriques inverses.

Pour le péché X, parce que X, tg X et ctg X des fonctions inverses peuvent être définies. Ils sont désignés en conséquence par arcsin X(lire "arc sinus" x"), arcos x, arctan x et arcctg x. Par définition, arcsin X il y a un tel nombre oui, Quoi

péché à = X.

De même pour les autres fonctions trigonométriques inverses. Mais cette définition souffre d’une certaine imprécision.

Si tu reflètes le péché X, parce que X, tg X et ctg X par rapport à la bissectrice des premier et troisième quadrants plan de coordonnées, alors les fonctions, du fait de leur périodicité, deviennent ambiguës : le même sinus (cosinus, tangente, cotangente) correspond à nombre infini coins

Pour lever toute ambiguïté, une section de la courbe d'une largeur de p, dans ce cas, il est nécessaire qu'une correspondance biunivoque soit maintenue entre l'argument et la valeur de la fonction. Les zones proches de l'origine des coordonnées sont sélectionnées. Pour le sinus Comme « intervalle un à un », nous prenons le segment [– p/2, p/2], sur lequel le sinus augmente de manière monotone de –1 à 1, pour le cosinus – le segment, pour la tangente et la cotangente, respectivement, les intervalles (– p/2, p/2) et (0, p). Chaque courbe de l'intervalle est réfléchie par rapport à la bissectrice et les fonctions trigonométriques inverses peuvent désormais être déterminées. Par exemple, donnons la valeur de l'argument x0, tel que 0 Ј x 0 Ј 1. Alors la valeur de la fonction oui 0 = arc sinus x 0 il n'y aura qu'un seul sens à 0 , tel que - p/2 € à 0 Ј p/2 et x 0 = péché oui 0 .

Ainsi, l'arc sinus est fonction de l'arc sinus UN, défini sur l'intervalle [–1, 1] et égal pour chaque UNà une telle valeur, – p/2 a p /2 que sin a = UN. Il est très pratique de le représenter à l'aide d'un cercle unité (Fig. 15). Quand | un| 1 sur un cercle il y a deux points avec une ordonnée un, symétrique par rapport à l'axe toi. L'un d'eux correspond à l'angle un= arc sinus UN, et l'autre est le coin p-a. AVEC compte tenu de la périodicité du sinus, la solution équations du péché x= UN s'écrit ainsi :

X =(–1)n arcsin un + 2pn,

Où n= 0, ±1, ±2,...

D'autres équations trigonométriques simples peuvent être résolues de la même manière :

parce que x = un, –1 =un= 1;

X =± arcos un + 2pn,

Où n= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16) ;

tg X = un;

x= arctan un + p n,

Où n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17) ;

CTG X= UN;

X= arcctg un + p n,

Où n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).

Propriétés de base des fonctions trigonométriques inverses :

arcsin X(Fig. 19) : domaine de définition – segment [–1, 1] ; gamme - [- p/2, p/2], fonction croissante de façon monotone ;

arccos X(Fig. 20) : domaine de définition – segment [–1, 1] ; plage de valeurs – ; fonction décroissante de façon monotone ;

arctg X(Fig. 21) : domaine de définition – tous les nombres réels ; plage de valeurs – intervalle (– p/2, p/2); fonction croissante de façon monotone ; droit à= –p/2 et y = p /2 – asymptotes horizontales ;

arcctg X(Fig. 22) : domaine de définition – tous les nombres réels ; plage de valeurs – intervalle (0, p); fonction décroissante de façon monotone ; droit oui= 0 et y = p– les asymptotes horizontales.

Pour n'importe qui z = x + je, Où x Et oui sont des nombres réels, les inégalités existent

½| e \ e y–e-y| ≤|péché z|≤½( e y +e-y),

½| e ou–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

dont à oui® Ґ les formules asymptotiques suivent (uniformément par rapport à x)

|péché z| » 1/2 e |oui| ,

|cos z| » 1/2 e |oui| .

Les fonctions trigonométriques sont apparues pour la première fois dans le cadre de recherches en astronomie et en géométrie. Les rapports des segments dans un triangle et un cercle, qui sont essentiellement des fonctions trigonométriques, se retrouvent déjà au IIIe siècle. Colombie-Britannique e. dans les travaux des mathématiciens de la Grèce antique – Euclide, Archimède, Apollonius de Perge et d'autres, cependant, ces relations n'étaient pas un objet d'étude indépendant, ils n'ont donc pas étudié les fonctions trigonométriques en tant que telles. Ils étaient initialement considérés comme des segments et sous cette forme ont été utilisés par Aristarque (fin 4e - 2e moitié du 3e siècle avant JC), Hipparque (2e siècle avant JC), Ménélas (1er siècle après JC) et Ptolémée (2e siècle après JC). résoudre des triangles sphériques. Ptolémée a compilé le premier tableau d'accords pour les angles aigus tous les 30" avec une précision de 10 -6. Ce fut le premier tableau des sinus. En tant que rapport fonction péché a se trouve déjà à Aryabhata (fin du Ve siècle). Les fonctions tg a et ctg a se retrouvent chez al-Battani (2e moitié du IXe – début du Xe siècle) et Abul-Wef (10e siècle), qui utilise également sec a et cosec a. Aryabhata connaissait déjà la formule (sin 2 a + cos 2 a) = 1, et aussi formules de péché et cos d'un demi-angle, à l'aide duquel j'ai construit des tables de sinus pour les angles tous les 3°45" ; basé sur valeurs connues fonctions trigonométriques pour les arguments les plus simples. Bhaskara (XIIe siècle) a donné une méthode pour construire des tableaux en termes de 1 à l'aide de formules d'addition. Les formules permettant de convertir la somme et la différence des fonctions trigonométriques de divers arguments en un produit ont été dérivées par Regiomontanus (XVe siècle) et J. Napier en relation avec l'invention des logarithmes par ce dernier (1614). Regiomontan a donné un tableau des valeurs sinusoïdales en 1". L'expansion des fonctions trigonométriques en séries entières a été obtenue par I. Newton (1669). Dans forme moderne la théorie des fonctions trigonométriques a été introduite par L. Euler (XVIIIe siècle). Il possède leur définition pour de vrai et arguments complexes, symbolisme actuellement accepté, établissant un lien avec fonction exponentielle et orthogonalité du système de sinus et cosinus.