Trois définitions de la continuité d'une fonction en un point. Comment examiner la continuité d’une fonction ? Continuité d'une fonction en un point et sur un intervalle

Définition. Soit la fonction y = f(x) définie au point x0 et à une partie de son voisinage. La fonction y = f(x) est appelée continu au point x0, Si:

1. existe
2. cette limite égale à la valeur fonctions au point x0 :

Lors de la définition de la limite, il a été souligné que f(x) ne peut pas être défini au point x0, et si elle est définie à ce point, alors la valeur de f(x0) ne participe en aucune façon à la détermination de la limite. Lors de la détermination de la continuité, il est fondamental que f(x0) existe, et cette valeur doit être égale à lim f(x).

Définition. Soit la fonction y = f(x) définie au point x0 et à une partie de son voisinage. Une fonction f(x) est dite continue en un point x0 si pour tout ε>0 il existe un nombre positif δ tel que pour tout x dans le voisinage δ du point x0 (c'est-à-dire |x-x0|
Ici on prend en compte que la valeur de la limite doit être égale à f(x0), donc, par rapport à la définition de la limite, la condition de perforation du δ-voisinage 0 est supprimée
Donnons une définition supplémentaire (équivalente à la précédente) en termes d'incréments. Notons Δх = x - x0 ; nous appellerons cette valeur l'incrément de l'argument. Puisque x->x0, alors Δx->0, c'est-à-dire Δx - b.m. quantité (infinitésimale). Notons Δу = f(x)-f(x0), nous appellerons cette valeur l'incrément de la fonction, puisque |Δу| devrait être (pour |Δх| suffisamment petit) inférieur à un nombre arbitraire ε>0, alors Δу- est également b.m. valeur, donc

Définition. Soit la fonction y = f(x) définie au point x0 et à une partie de son voisinage. La fonction f(x) est appelée continu au point x0, si un incrément infinitésimal de l'argument correspond à un incrément infinitésimal de la fonction.

Définition. La fonction f(x), qui n'est pas continue au point x0, dit discontinuà ce point.

Définition. Une fonction f(x) est dite continue sur un ensemble X si elle est continue en tout point de cet ensemble.

Théorème sur la continuité d'une somme, d'un produit, d'un quotient

Théorème du passage à la limite sous le signe d'une fonction continue

Théorème de continuité de superposition fonctions continues

Soit la fonction f(x) définie sur un intervalle et monotone sur cet intervalle. Alors f(x) ne peut avoir que des points de discontinuité de première espèce sur ce segment.

Théorème des valeurs intermédiaires. Si la fonction f(x) est continue sur un segment et en deux points a et b (a est inférieur à b) prend des valeurs inégales A = f(a) ≠ B = f(b), alors pour tout nombre C compris entre A et B, il existe un point c ∈ auquel la valeur de la fonction est égale à C : f(c) = C.

Théorème sur la limitation d'une fonction continue sur un intervalle. Si une fonction f(x) est continue sur un intervalle, alors elle est bornée sur cet intervalle.

Théorème pour atteindre les valeurs minimales et maximales. Si la fonction f(x) est continue sur un intervalle, alors elle atteint ses bornes inférieure et supérieure sur cet intervalle.

Théorème de continuité fonction inverse. Soit la fonction y=f(x) continue et strictement croissante (décroissante) sur l'intervalle [a,b]. Alors sur le segment il existe une fonction inverse x = g(y), également croissante (décroissante) de façon monotone et continue.

L'étude d'une fonction de continuité en un point est réalisée selon un schéma de routine déjà établi, qui consiste à vérifier trois conditions continuité:

Exemple 1

Examinez la fonction pour la continuité. Déterminer la nature des discontinuités de fonction, si elles existent. Exécutez le dessin.

Solution:

1) Le seul point dans le champ d'application est celui où la fonction n'est pas définie.

Les limites unilatérales sont finies et égales.

Ainsi, à ce moment-là, la fonction souffre d'une discontinuité amovible.

A quoi ressemble le graphique de cette fonction ?

je voudrais simplifier , et il semble qu'une parabole ordinaire soit obtenue. MAIS la fonction d'origine n'est pas définie au point , donc la clause suivante est requise :

Faisons le dessin :

Répondre: la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf le point où elle subit une discontinuité amovible.

La fonction peut être définie plus en détail d'une manière bonne ou moins bonne, mais selon la condition, cela n'est pas requis.

Vous dites que c'est un exemple tiré par les cheveux ? Pas du tout. Cela s'est produit des dizaines de fois dans la pratique. La quasi-totalité des tâches du site proviennent de véritables travaux et tests indépendants.

Débarrassons-nous de nos modules préférés :

Exemple 2

Fonction Explorer pour la continuité. Déterminer la nature des discontinuités de fonction, si elles existent. Exécutez le dessin.

Solution: Pour une raison quelconque, les étudiants ont peur et n'aiment pas les fonctions avec un module, même si elles n'ont rien de compliqué. Nous avons déjà abordé un peu ces choses dans la leçon. Transformations géométriques graphiques. Le module étant non négatif, il est développé comme suit : , où « alpha » est une expression. DANS dans ce cas, et notre fonction doit être écrite par morceaux :

Mais les fractions des deux morceaux doivent être réduites de . La réduction, comme dans l’exemple précédent, ne se fera pas sans conséquences. La fonction d'origine n'est pas définie au point puisque le dénominateur tend vers zéro. Par conséquent, le système doit en outre spécifier la condition et rendre la première inégalité stricte :

Maintenant à propos du TRÈS Réception UTILE solutions: avant de finaliser la tâche sur un brouillon, il est avantageux de faire un dessin (peu importe si les conditions l'exigent ou non). Cela aidera, d'une part, à voir immédiatement les points de continuité et les points de discontinuité, et, d'autre part, cela vous protégera à 100 % des erreurs lors de la recherche de limites unilatérales.

Faisons le dessin. Conformément à nos calculs, à gauche du point il faut dessiner un fragment de parabole ( bleu), et à droite un morceau de parabole (rouge), alors que la fonction n'est pas définie au point lui-même :

En cas de doute, prenez quelques valeurs x et branchez-les dans la fonction (en vous rappelant que le module détruit l'éventuel signe moins) et vérifiez le graphique.

Examinons analytiquement la fonction de continuité :

1) La fonction n'est pas définie au point, on peut donc immédiatement dire qu'elle n'y est pas continue.

2) Établissons la nature de la discontinuité ; pour ce faire, nous calculons des limites unilatérales :

Les limites unilatérales sont finies et différentes, ce qui fait que la fonction subit une discontinuité de 1ère espèce avec un saut au point . Notez que peu importe que la fonction au point d'arrêt soit définie ou non.

Il ne reste plus qu'à transférer le dessin du brouillon (il a été réalisé comme avec l'aide de la recherche ;-)) et à terminer la tâche :

Répondre: la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf au point où elle subit une discontinuité de première espèce avec un saut.

Parfois, ils nécessitent une indication supplémentaire du saut de discontinuité. Il est calculé simplement - de la limite droite, vous devez soustraire la limite gauche : , c'est-à-dire qu'au point d'arrêt, notre fonction a sauté de 2 unités (comme nous l'indique le signe moins).

Exemple 3

Fonction Explorer pour la continuité. Déterminer la nature des discontinuités de fonction, si elles existent. Faites un dessin.

Ceci est un exemple pour décision indépendante, échantillon approximatif solutions à la fin de la leçon.

Passons à la version la plus populaire et la plus répandue de la tâche, lorsque la fonction se compose de trois parties :

Exemple 4

Examiner la continuité d'une fonction et tracer un graphique de la fonction

.

Solution: il est évident que les trois parties de la fonction sont continues sur les intervalles correspondants, il ne reste donc plus qu'à vérifier deux points de « jonction » entre les pièces. Commençons par faire un brouillon de dessin ; j'ai commenté la technique de construction de manière suffisamment détaillée dans la première partie de l'article. La seule chose est qu'il faut suivre attentivement nos points singuliers : en raison de l'inégalité, la valeur appartient à la droite ( point vert), et en raison de l'inégalité, la valeur appartient à la parabole (point rouge) :


Bon, en principe, tout est clair =) Il ne reste plus qu'à formaliser la décision. Pour chacun des deux points « de jonction », on vérifie classiquement 3 conditions de continuité :

JE)

1)

Les limites unilatérales sont finies et différentes, ce qui fait que la fonction subit une discontinuité de 1ère espèce avec un saut au point .

Calculons le saut de discontinuité comme la différence entre les limites droite et gauche :
, c'est-à-dire que le graphique a augmenté d'une unité.

II) Nous examinons le point de continuité

1) - la fonction est définie en un point donné.

2) Trouvez des limites unilatérales :

- les limites unilatérales sont finies et égales, ce qui signifie qu'il existe une limite générale.

3)

Au stade final, nous transférons le dessin vers la version finale, après quoi nous mettons l'accord final :

Répondre: la fonction est continue sur toute la droite numérique, à l'exception du point où elle subit une discontinuité de première espèce avec un saut.

Exemple 5

Examiner une fonction pour la continuité et construire son graphique .

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même, solution courte et un échantillon approximatif de la tâche à la fin de la leçon.

On peut avoir l’impression qu’à un moment donné la fonction doit être continue et à un autre il doit y avoir une discontinuité. En pratique, ce n’est pas toujours le cas. Essayez de ne pas négliger les exemples restants - il y aura plusieurs fonctionnalités intéressantes et importantes :

Exemple 6

Étant donné une fonction . Étudiez la fonction pour la continuité à certains points. Construisez un graphique.

Solution: et encore une fois, exécutez immédiatement le dessin sur le brouillon :

Particularité de cet horaire est-ce quand fonction par morceaux est donné par l’équation de l’axe des x. Cette zone est dessinée ici vert, et dans un cahier, il est généralement mis en évidence en gras avec un simple crayon. Et bien sûr, n’oubliez pas nos béliers : la valeur appartient à la branche tangente (point rouge), et la valeur appartient à la droite.

Tout est clair sur le dessin - la fonction est continue sur toute la droite numérique, il ne reste plus qu'à formaliser la solution, qui est amenée à une automatisation complète littéralement après 3-4 exemples similaires :

JE) Nous examinons le point de continuité

2) Calculons les limites unilatérales :

, ce qui signifie qu'il existe une limite générale.

Une petite chose amusante s'est produite ici. Le fait est que j'ai créé beaucoup de matériaux sur les limites d'une fonction, et plusieurs fois j'ai voulu, mais plusieurs fois j'en ai oublié un question simple. Et ainsi, avec un effort de volonté incroyable, je me suis forcé à ne pas perdre la tête =) Très probablement, certains lecteurs « nuls » doutent : pourquoi limite égale des constantes ? La limite d’une constante est égale à la constante elle-même. Dans ce cas, la limite de zéro est égale à zéro lui-même (limite à gauche).

3) - la limite d'une fonction en un point est égale à la valeur de cette fonction en un point donné.

Ainsi, une fonction est continue en un point par la définition de continuité d'une fonction en un point.

II) Nous examinons le point de continuité

1) - la fonction est définie en un point donné.

2) Trouvez des limites unilatérales :

Et ici, dans la limite de droite, la limite de l'unité est égale à l'unité elle-même.

- il existe une limite générale.

3) - la limite d'une fonction en un point est égale à la valeur de cette fonction en un point donné.

Ainsi, une fonction est continue en un point par la définition de continuité d'une fonction en un point.

Comme d'habitude, après recherche nous transférons notre dessin vers la version finale.

Répondre: la fonction est continue aux points.

Veuillez noter que dans la condition, on ne nous a rien demandé sur l'étude de la continuité de la fonction entière, et il est considéré comme une bonne forme mathématique de formuler précis et clair la réponse à la question posée. À propos, si les conditions ne vous obligent pas à construire un graphique, vous avez parfaitement le droit de ne pas le construire (bien que plus tard, l'enseignant puisse vous forcer à le faire).

Un petit « virelangue » mathématique pour le résoudre vous-même :

Exemple 7

Étant donné une fonction .

Étudiez la fonction pour la continuité à certains points. Classez les points d’arrêt, le cas échéant. Exécutez le dessin.

Essayez de "prononcer" tous les "mots" correctement =) Et dessinez le graphique plus précisément, avec précision, ce ne sera pas superflu partout ;-)

Comme vous vous en souvenez, j'ai recommandé de terminer immédiatement le dessin sous forme de brouillon, mais de temps en temps, vous rencontrez des exemples où vous ne pouvez pas comprendre immédiatement à quoi ressemble le graphique. Par conséquent, dans un certain nombre de cas, il est avantageux de trouver d’abord les limites unilatérales et ensuite seulement, sur la base de l’étude, de représenter les branches. En deux exemples finaux De plus, nous maîtriserons la technique de calcul de certaines limites unilatérales :

Exemple 8

Examinez la continuité de la fonction et construisez son graphique schématique.

Solution: les mauvais points sont évidents : (réduit le dénominateur de l'exposant à zéro) et (réduit le dénominateur de la fraction entière à zéro). On ne sait pas exactement à quoi ressemble le graphique de cette fonction, ce qui signifie qu'il est préférable de faire quelques recherches d'abord :

JE) Nous examinons le point de continuité

2) Trouvez des limites unilatérales :

Veuillez noter méthode typique pour calculer une limite unilatérale: au lieu de « x » nous remplaçons . Il n'y a pas de crime au dénominateur : « l'addition » « moins zéro » ne joue aucun rôle, et le résultat est « quatre ». Mais au numérateur, il y a un petit thriller : nous tuons d'abord -1 et 1 au dénominateur de l'indicateur, ce qui donne . Unité divisée par , est égal à « moins l’infini », donc : . Et enfin, le « deux » dans infiniment grand degré négatif égal à zéro : . Ou, pour être encore plus précis : .

Calculons la limite de droite :

Et ici, au lieu de « X », nous remplaçons . Au dénominateur, l'« additif » ne joue pas non plus de rôle : . Au numérateur, des actions similaires à la limite précédente sont réalisées : on détruit nombres opposés et diviser un par :

La limite de droite est infinie, ce qui signifie que la fonction subit une discontinuité de 2ème espèce au point .

II) Nous examinons le point de continuité

1) La fonction n'est pas définie à ce stade.

2) Calculons la limite du côté gauche :

La méthode est la même : on remplace « X » dans la fonction. Il n'y a rien d'intéressant dans le numérateur - il s'avère que c'est un nombre fini positif. Et au dénominateur, nous ouvrons les parenthèses, supprimons les « trois », et rôle décisif des jeux « additifs ».

En conséquence, le nombre positif final divisé par nombre positif infinitésimal, donne « plus l'infini » : .

La limite de droite est comme un frère jumeau, à la seule exception qu'elle apparaît au dénominateur nombre négatif infinitésimal:

Les limites unilatérales sont infinies, ce qui signifie que la fonction subit une discontinuité de 2ème espèce au point .

Nous avons donc deux points de rupture et, évidemment, trois branches du graphique. Pour chaque branche il est conseillé d'effectuer construction ponctuelle, c'est-à-dire prenez plusieurs valeurs « x » et remplacez-les par . Notez que la condition permet la construction d'un dessin schématique, et qu'une telle relaxation est naturelle pour fait soi-même. Je construis des graphiques à l'aide d'un programme, donc je n'ai pas de telles difficultés, voici une image assez précise :

Les directs sont asymptotes verticales pour le graphique de cette fonction.

Répondre: la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf pour les points où elle subit des discontinuités de 2ème espèce.

Plus fonction simple pour une solution indépendante :

Exemple 9

Examinez la continuité de la fonction et réalisez un dessin schématique.

Un exemple de solution approximatif à la fin qui est passé inaperçu.

À bientôt!

Solutions et réponses :

Exemple 3 :Solution : transformer la fonction : . Compte tenu de la règle de divulgation des modules et le fait que , nous réécrivons la fonction sous forme de morceaux :


Examinons la fonction pour la continuité.

1) La fonction n'est pas définie au point .

Les limites unilatérales sont finies et différentes, ce qui fait que la fonction subit une discontinuité de 1ère espèce avec un saut au point . Faisons le dessin :

Répondre: la fonction est continue sur toute la droite numérique sauf le point , dans lequel il subit une discontinuité du premier type avec un saut. Espace de saut : (deux unités plus haut).

Exemple 5 :Solution : chacun de trois parties la fonction est continue sur son intervalle.
JE)
1)

2) Calculons les limites unilatérales :

, ce qui signifie qu'il existe une limite générale.
3) - la limite d'une fonction en un point est égale à la valeur de cette fonction en un point donné.
Donc la fonction continu en un point en définissant la continuité d'une fonction en un point.
II) Nous examinons le point de continuité

1) - la fonction est définie en un point donné. la fonction souffre d'une discontinuité de 2ème espèce au point

Comment trouver le domaine d'une fonction ?

Exemples de solutions

S’il manque quelque chose quelque part, c’est qu’il y a quelque chose quelque part

Nous continuons à étudier la section « Fonctions et graphiques », et la prochaine étape de notre voyage est Domaine de fonction. Discussion active cette notion commencé dès la première leçon à propos des graphiques de fonctions où j'ai examiné fonctions élémentaires, et, en particulier, leurs domaines de définition. Par conséquent, je recommande aux nuls de commencer par les bases du sujet, car je ne m'attarderai pas à nouveau sur certains points fondamentaux.

On suppose que le lecteur connaît les domaines de définition des fonctions principales : linéaire, quadratique, fonction cubique, polynômes, exposant, logarithme, sinus, cosinus. Ils sont définis le . Pour les tangentes, les arcs sinus, qu'il en soit ainsi, je vous pardonne =) Les graphiques plus rares ne sont pas immédiatement mémorisés.

La portée de la définition semble être une chose simple, et une question logique se pose : de quoi portera l’article ? Sur cette leçon J'examinerai les problèmes courants liés à la recherche du domaine de définition d'une fonction. Nous répéterons d’ailleurs inégalités à une variable, dont les compétences en solution seront requises dans d'autres tâches mathématiques supérieures. Soit dit en passant, le matériel est entièrement du matériel scolaire, il sera donc utile non seulement aux étudiants, mais aussi aux étudiants. L'information, bien sûr, n'a pas la prétention d'être encyclopédique, mais il ne s'agit pas ici d'exemples « morts » farfelus, mais de marrons grillés, tirés de véritables travaux pratiques.

Commençons par une introduction rapide au sujet. En bref sur l'essentiel : nous parlons d'une fonction d'une variable. Son domaine de définition est plusieurs significations de "x", pour lequel exister significations du terme « joueurs ». Considérons exemple conditionnel:

Le domaine de définition de cette fonction est une union d'intervalles :
(pour ceux qui ont oublié : - icône d'unification). En d'autres termes, si vous prenez une valeur de « x » à partir de l'intervalle , ou de , ou de , alors pour chacun de ces « x », il y aura une valeur « y ».

En gros, là où se trouve le domaine de définition, il existe un graphique de la fonction. Mais le demi-intervalle et le point « tse » ne sont pas inclus dans la zone de définition, il n'y a donc pas de graphique là-bas.

Oui, d'ailleurs, si quelque chose n'est pas clair dans la terminologie et/ou le contenu des premiers paragraphes, il vaut mieux revenir à l'article Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires.

Définition
Fonction f (x) appelé continu au point x 0 voisinage de ce point, et si la limite lorsque x tend vers x 0 égal à la valeur de la fonction en x 0 :
.

En utilisant les définitions de Cauchy et Heine de la limite d’une fonction, nous pouvons donner définitions élargies de la continuité d'une fonction en un point .

Nous pouvons formuler le concept de continuité dans en termes d'incréments. Pour ce faire, nous introduisons une nouvelle variable, appelée l'incrément de la variable x au point.
.
Alors la fonction est continue au point si
.
Introduisons une nouvelle fonction : Ils l'appellent incrément de fonction
.

au point.
Fonction f (x) appelé Alors la fonction est continue au point si 0 Définition de la continuité à droite (gauche) 0 égal à la valeur de la fonction en x 0 :
.

continue à droite (gauche) au point x
, s'il est défini sur un voisinage droit (gauche) de ce point, et si la limite droite (gauche) au point x (x) Théorème sur le caractère limité d'une fonction continue 0 Soit la fonction f est continue au point x.

Alors il y a un quartier U
(x0)
.
, sur lequel la fonction est limitée.
Théorème sur la préservation du signe d'une fonction continue

Soit la fonction continue au point. Et laissez-le avoir une valeur positive (négative) à ce stade :
Il existe alors un voisinage du point où la fonction a une valeur positive (négative) :
à .
Propriétés arithmétiques

fonctions continues
Laissez les fonctions et être continues au point .

Alors les fonctions , et sont continues au point .

Si , alors la fonction est continue au point .

Théorème de continuité Propriété de continuité gauche-droite
Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est continue à droite et à gauche.
Des preuves des propriétés sont données sur la page « Propriétés des fonctions continues en un point ».

Continuité d'une fonction complexe

fonction complexe
Soit la fonction continue au point.
.
Et que la fonction soit continue au point. 0 Alors la fonction complexe est continue en ce point.
Limite d'une fonction complexe
Théorème sur la limite d'une fonction continue d'une fonction
.

Soit une limite de la fonction en , et elle est égale à :
Voici le point t
peut être fini ou infiniment distant : . Et que la fonction soit continue au point. Alors il existe une limite d’une fonction complexe, et elle est égale à :
Théorème sur la limite d'une fonction complexe
.

Laissez la fonction avoir une limite et mappez un voisinage perforé d'un point sur un voisinage perforé d'un point.

Laissez la fonction être définie sur ce quartier et ayez une limite sur celui-ci.
Laissez la fonction être définie sur un voisinage perforé du point. Le point s'appelle point d'arrêt de fonction
, si l'une des deux conditions suivantes est remplie :
1) non défini dans ;

2) est défini en , mais ne l'est pas à ce stade.
Détermination du point de discontinuité de 1ère espèce Le point s'appelle point de discontinuité du premier type
.

, if est un point de rupture et il y a des limites unilatérales finies à gauche et à droite :
Définition d'un saut de fonction Fonction de saut Δ
.

en un point est la différence entre les limites à droite et à gauche
Détermination du point de discontinuité de 1ère espèce Détermination du point de rupture point de rupture amovible
,
, s'il y a une limite

mais la fonction en ce point soit n'est pas définie, soit n'est pas égale à la valeur limite : . Ainsi, le point de discontinuité amovible est un point de discontinuité de 1ère espèce, auquel le saut de la fonction.

égal à zéro
Détermination du point de discontinuité de 1ère espèce Détermination du point de discontinuité du 2ème type point de discontinuité du deuxième type

, s'il ne s'agit pas d'un point de discontinuité de 1ère espèce.

Autrement dit, s’il n’y a pas au moins une limite unilatérale, ou au moins une limite unilatérale en un point est égale à l’infini.
Propriétés des fonctions continues sur un intervalle

Définition d'une fonction continue sur un intervalle
Une fonction est dite continue sur un intervalle (at) si elle est continue en tous points de l'intervalle ouvert (at) et aux points a et b, respectivement.

Premier théorème de Weierstrass sur le caractère borné d'une fonction continue sur un intervalle
Si une fonction est continue sur un intervalle, alors elle est bornée sur cet intervalle.
Détermination de la possibilité d'atteindre le maximum (minimum)

Une fonction atteint son maximum (minimum) sur l'ensemble s'il existe un argument pour lequel
pour tout le monde.
.

Détermination de l'accessibilité de la face supérieure (inférieure)
Une fonction atteint sa limite supérieure (inférieure) sur l'ensemble s'il existe un argument pour lequel Deuxième théorème de Weierstrass sur le maximum et le minimum d'une fonction continue Une fonction continue sur un segment atteint sur celui-ci ses limites supérieures et supérieures.

bords inférieurs
ou, ce qui revient au même, atteint son maximum et son minimum dans l'intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires de Bolzano-Cauchy Soit la fonction continue sur le segment.
.

Et que C soit
nombre arbitraire , situé entre les valeurs de fonction​​aux extrémités du segment : et . Il y a alors un point pour lequel
.

Corollaire 1
Soit la fonction continue sur le segment.
Théorème sur la préservation du signe d'une fonction continue

Fonctions inverses

Définition d'une fonction inverse
Soit une fonction avoir un domaine de définition X et un ensemble de valeurs Y.
Détermination de la possibilité d'atteindre le maximum (minimum)
Et laissez-lui la propriété : Alors pour tout élément de l’ensemble Y on ne peut associer qu’un seul élément de l’ensemble X auquel . Cette correspondance définit une fonction appelée
.

fonction inverse
;
À . La fonction inverse est notée comme suit :
Détermination de la possibilité d'atteindre le maximum (minimum)

De la définition il résulte que
pour tout le monde ;

Lemme sur la monotonie mutuelle des fonctions directes et inverses
Si une fonction est strictement croissante (décroissante), alors il existe une fonction inverse qui est également strictement croissante (décroissante).

Propriété de symétrie des graphiques de fonctions directes et inverses
Les graphiques des fonctions directes et inverses sont symétriques par rapport à la droite.

Théorème sur l'existence et la continuité d'une fonction inverse sur un intervalle

Soit la fonction continue et strictement croissante (décroissante) sur le segment.
Ensuite, la fonction inverse est définie et continue sur le segment, qui augmente (diminue) strictement.

Pour une fonction croissante.
Pour diminuer - .

Théorème sur l'existence et la continuité d'une fonction inverse sur un intervalle

Soit la fonction continue et strictement croissante (décroissante) sur un intervalle ouvert fini ou infini.

Ensuite, la fonction inverse est définie et continue sur l'intervalle, qui augmente (diminue) strictement.

Pour une fonction croissante.

Pour diminuer : . De la même manière, on peut formuler le théorème sur l'existence et la continuité de la fonction inverse sur un demi-intervalle. Propriétés et continuité des fonctions élémentaires > 0 Les fonctions élémentaires et leurs inverses sont continues dans leur domaine de définition. Ci-dessous, nous présentons les formulations des théorèmes correspondants et fournissons des liens vers leurs preuves.
,
Fonction exponentielle Fonction exponentielle f(x) = hache
.

, avec base un est la limite de la séquence
où il y a une séquence arbitraire
nombres rationnels, tendant vers x :
Théorème. Propriétés fonction exponentielle 1 La fonction exponentielle a les propriétés suivantes :
(P.0) défini, pour , pour tous ;
(P.1) ;
pour un ≠ ;
a de nombreuses significations ; ;
(P.2) ;
augmente strictement à , diminue strictement à , est constant à ; ;
(P.3) ;
(P.3*)(P.4)
(P.5)(P.6)
Théorème sur la préservation du signe d'une fonction continue

(P.7)

(P.8) continu pour tous; (P.9)à ; Logarithme

Fonction logarithmique
, ou logarithme, y = bûche, avec base un
est l'inverse de la fonction exponentielle de base a. Théorème. Propriétés du logarithme Fonction logarithmique de base a, y = enregistrer un x
(L.2) La fonction exponentielle a les propriétés suivantes :
(L.3) augmente strictement comme , diminue strictement comme ;
(L.4)(P.6)
(P.6)
(L.5) ;
(L.6)(P.6)
(L.7)(P.6)
(L.8)(P.6)
(L.9) Théorème sur la préservation du signe d'une fonction continue

Exposant et logarithme népérien

Dans les définitions de la fonction exponentielle et du logarithme, une constante apparaît, appelée base de la puissance ou base du logarithme. En analyse mathématique, dans l’écrasante majorité des cas, plus calculs simples, si vous utilisez le nombre e comme base :
.
Une fonction exponentielle de base e est appelée un exposant : , et un logarithme de base e est appelé un logarithme népérien : .

Les propriétés de l'exposant et du logarithme népérien sont présentées sur les pages
"Exposant, e à la puissance x",
"Logarithme népérien, fonction ln x"

Fonction d'alimentation

Fonction d'alimentation avec exposant p est la fonction f (x) = xp, dont la valeur au point x est égale à la valeur de la fonction exponentielle de base x au point p.
De plus, f (0) = 0 p = 0 pour p > 0 .

Ici, nous considérerons les propriétés de la fonction puissance y = x p pour des valeurs non négatives de l'argument.
Pour m rationnel, pour m impair, la fonction puissance est également définie pour x négatif.

Dans ce cas, ses propriétés peuvent être obtenues en utilisant des valeurs paires ou impaires.
Ces cas sont discutés en détail et illustrés sur la page « Fonction puissance, ses propriétés et graphiques ».
Théorème. Propriétés de la fonction puissance (x ≥ 0) Une fonction puissance, y = x p, d'exposant p a les propriétés suivantes :
(C.1)
défini et continu sur le plateau

à ,

à ".
Fonctions trigonométriques Théorème sur la continuité des fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques : sinus ( péché x), cosinus ( parce que x), tangente ( tgx

) et cotangente (
ctg x Théorème sur la continuité des fonctions trigonométriques inverses Fonctions trigonométriques inverses : arc sinus ( arc péché x), arc cosinus ( arccos x), arctangente ( arctan x) et arccotangente (

arcctg x
), sont continues dans leurs domaines de définition.
Littérature utilisée : O.I. Bessov. Cours sur l'analyse mathématique. Partie 1. Moscou, 2004. L.D. Kudryavtsev. Bien
analyse mathématique

. Tome 1. Moscou, 2003.

Une fonction continue exprime mathématiquement une propriété que l'on rencontre souvent en pratique, à savoir qu'un petit incrément dans une variable indépendante correspond à un petit incrément dans une variable dépendante (fonction). Excellents exemples une fonction continue peut servir diverses lois mouvements des corps \(s=f(t)\), exprimant la dépendance du chemin \(s\) parcouru par le corps au temps \(t\) . Le temps et l'espace sont continus, tandis que l'une ou l'autre loi du mouvement du corps \(s=f(t)\) établit entre eux une certaine connexion continue, caractérisée par le fait qu'un petit incrément de temps correspond à un petit incrément de trajet.

L'homme est parvenu à l'abstraction de la continuité en observant ce qu'on appelle continuums- solide, liquide ou gazeux, par exemple les métaux, l'eau, l'air. En fait, comme on le sait désormais, chaque environnement physique est un cluster grand nombre particules en mouvement séparées les unes des autres. Cependant, ces particules et les distances qui les séparent sont si petites par rapport aux volumes de milieux que nous devons traiter de manière macroscopique. phénomènes physiques, que beaucoup de ces phénomènes peuvent être assez bien étudiés si l'on considère approximativement la masse du milieu étudié sans aucune lacune, distribuée en continu dans l'espace qu'il occupe. Beaucoup de gens se basent sur cette hypothèse. disciplines physiques, par exemple l'hydrodynamique, l'aérodynamique, la théorie de l'élasticité. Notion mathématique la continuité joue naturellement un grand rôle dans ces disciplines, comme dans bien d’autres.

Considérons une fonction \(y=f(x)\) et une valeur bien définie de la variable indépendante \(x_0\) . Si notre fonction reflète certains processus continu, alors les valeurs de \(x\) qui diffèrent peu de \(x_0\) doivent correspondre aux valeurs de la fonction \(f(x)\) qui diffèrent peu de la valeur \(f(x_0 )\) au point \(x_0\) . Ainsi, si l'incrément \(x-x_0\) de la variable indépendante est petit, alors l'incrément correspondant \(f(x)-f(x_0)\) de la fonction doit également être petit. Autrement dit, si l'incrément de la variable indépendante \(x-x_0\) tend vers zéro, alors l'incrément \(f(x)-f(x_0)\) de la fonction doit, à son tour, tendre vers zéro, qui peut s'écrire ainsi :

\(\lim_(x-x_0\to0)\Bigl=0.\)

Cette relation est la définition mathématique de la continuité d'une fonction au point \(x_0\) .

La fonction \(f(x)\) est dite continue au point \(x_0\) si l'égalité (1) est satisfaite.

Donnons une autre définition :

La fonction est dite continue pour toutes les valeurs appartenant à ce segment, s'il est continu en tout point \(x_0\) de ce segment, c'est-à-dire en chacun de ces points, l’égalité (1) est satisfaite.

Ainsi, pour entrer définition mathématique propriété d'une fonction, qui consiste dans le fait que son graphique est une courbe continue (au sens habituel de ce terme), il est devenu nécessaire de déterminer d'abord la propriété locale, locale de continuité (continuité au point \(x_0\) ), puis, sur cette base, déterminer la continuité de la fonction sur l'ensemble du segment.

La définition ci-dessus, indiquée pour la première fois au début du siècle dernier par Cauchy, est généralement acceptée dans l'analyse mathématique moderne. Vérification de nombreux exemples spécifiques a montré que cette définition correspond bien à notre idée pratique actuelle d'une fonction continue, par exemple l'idée d'un graphe continu.

Des exemples de fonctions continues incluent le bien connu mathématiques scolaires fonctions élémentaires \(x^n,\) \(\sin(x),\) \(\cos(x),\) \(a^x,\) \(\lg(x),\) \( \arcsin(x),\) \(\arccos(x)\) . Tous fonctions répertoriées sont continus sur les intervalles de changement \(x\) où ils sont définis.

Si des fonctions continues sont ajoutées, soustraites, multipliées et divisées (avec un dénominateur différent de zéro), nous arriverons à nouveau à une fonction continue. Cependant, lors de la division, la continuité est généralement rompue pour les valeurs de \(x_0\) auxquelles la fonction au dénominateur passe à zéro. Le résultat de la division représente alors une fonction discontinue au point \(x_0\).

La fonction \(y=\frac(1)(x)\) peut servir d'exemple de fonction discontinue au point \(y=0\). Quelques autres exemples fonctions discontinues donner les graphiques présentés sur la Fig. 1.

Nous vous recommandons d'examiner attentivement ces graphiques. Notez que les discontinuités des fonctions sont différentes : parfois lorsque \(x\) se rapproche du point \(x_0\) où la fonction subit une discontinuité, la limite \(f(x)\) existe, mais est différente de \(f (x_0)\ ), et parfois, comme sur la Fig. 1c, cette limite n’existe tout simplement pas. Il arrive aussi que lorsque \(x\) se rapproche de \(x_0\) d'une part \(f(x)-f(x_0)\to0\) , et si \(x\to x_0\) se rapproche de l'autre d'autre part, alors \(f(x)-f(x_0)\) ne tend plus vers zéro. Dans ce cas, bien sûr, nous avons une discontinuité de la fonction, même si l’on peut en dire qu’à ce stade elle est « continue d’un côté ». Tous ces cas peuvent être retracés dans les graphiques donnés.

Définition de la continuité d'une fonction

1. La fonction \(y=f(x)\) est continue au point \(x=a\) si les limites à gauche et à droite sont égales et égales à la valeur de la fonction en ce point, c'est-à-dire

\(\lim_(x\to a-0)f(x)=\lim_(x\to a+0)f(x)=f(a).\)

2. La fonction \(y=f(x)\) est continue au point \(x=a\) si elle est définie en ce point et si un incrément infinitésimal dans l'argument correspond à un incrément infinitésimal dans la fonction, c'est-à-dire \(\lim_(\Delta x\à 0)\Delta y=0\) près du point \(a\) .

La somme, la différence et le produit d'un nombre fini de fonctions continues sont une fonction continue.

Une fonction continue sur un intervalle \(\) prend toute valeur intermédiaire entre sa plus petite valeur \(m\) et sa plus grande valeur \(M\), c'est-à-dire \(m\leqslant f(x)\leqslant M\) pour tout \(x\in\) . Il s'ensuit que si aux points limites du segment \(\) la fonction a des signes différents, alors à l'intérieur du segment il y a au moins une valeur \(x=c\) à laquelle la fonction disparaît. Cette propriété de continuité des fonctions permet de retrouver approximativement les racines des polynômes.

Points d'arrêt de fonction

Les valeurs d'argument qui ne satisfont pas aux conditions de continuité sont appelées points d'arrêt de fonction. Dans ce cas, on distingue deux types de points de discontinuité de fonction.

Si pour \(x\to a\) à gauche la fonction a limite finale\(k_1\) , et pour \(x\to a\) à droite la fonction a une limite finie \(k_2\) et \(k_1\ne k_2\) , alors ils disent que la fonction pour \(x =a\) a rupture du premier type. La différence \(|k_1-k_2|\) détermine le saut de la fonction au point \(x=a\) . La valeur de la fonction en \(x=a\) peut être égale à n'importe quel nombre \(k_3\) .

Si la valeur d'une fonction en \(x=a\) est égale à \(k_1\) , alors la fonction est dite continue ; si \(k_2\) , alors ils disent que la fonction est continue à droite.

Si \(k_1=k_2\ne k_3\) on dit que la fonction a au point \(a\) espace réparable.

Si pour \(x\to a\) à droite ou à gauche, la limite de la fonction n'existe pas ou est égale à l'infini, c'est-à-dire \(\lim_(x\to a)f(x)=\infty \), alors ils disent que pour \ (x=a\) la fonction a discontinuité de deuxième type.

Exemple 1. Trouver l'ensemble de valeurs \(x\) pour lequel la fonction \(y=x^3-2x\) est continue.

Solution. Trouvons l'incrément de la fonction

\(\Delta y=(x+\Delta x)^3-2(x+\Delta x)-(x^3-2x)=\Delta x\,(\Delta x^2+3x\Delta x+3x^ 2-2).\)

Pour toutes les valeurs de la variable \(x\), l'incrément est \(\Delta y\to0\) sauf si \(\Delta x\to0\) donc la fonction est continue pour tous de vraies valeurs variable \(x\) .

Exemple 2. Prouver la continuité de la fonction \(y=\frac(1)(x-1)\) au point \(x=3\) .

Solution. Pour le prouver, trouvons l'incrément de la fonction \(y\) lorsque la valeur de l'argument passe de \(x=3\) à \(x=3+\Delta x\)

\(\Delta y=\frac(1)(3+\Delta x-1)-\frac(1)(3-1)=\frac(1)(2+\Delta x)-\frac(1) (2)=\frac(2-2-\Delta x)(2(2+\Delta x))=\frac(-\Delta x)(2(2+\Delta x)).\)

Trouvons la limite de l'incrément de fonction à \(\Delta x\to0\)

\(\lim_(\Delta x\to0)\Delta y=-\lim_(\Delta x\to0)\frac(\Delta x)(2(2+\Delta x))=-\frac(0)( 2(2+0))=0.\)

Puisque la limite de l'incrément de la fonction en \(\Delta x\to0\) est égale à zéro, alors la fonction en \(x\to3\) est continue.

Exemple 3. Déterminer la nature de la discontinuité des fonctions et construire des graphiques :

\(\mathrm(a))~y=\frac(1)(x-1)~\text(if)~x=1;\qquad\mathrm(b))~y=\frac(x)(| x|)~\text(if)~x=0;\qquad\mathrm(c))~y=\begin(cases)2x,&\text(if)~x\ne2,\\1,&\text (if)~x=2;\end(cases)\qquad\mathrm(d))~y=a^(1/x)~(a>1);\qquad\mathrm(e))~y=\ nom de l'opérateur(arctg)\frac(1)(x).\)

Solution.

a) Lorsque \(x=1\) la fonction n'est pas définie, on trouve à ce stade des limites unilatérales :

\(\lim_(x\to1-0)\frac(1)(x-1)=-\infty;\quad\lim_(x\to1+0)\frac(1)(x-1)=+\ infty.\)

Par conséquent, au point \(x=1\) la fonction présente une discontinuité de seconde espèce.

b) Pour \(x<0\) предел функции равен \(\lim_(0-0)\frac(x)(|x|)=-1=k_1\). Lorsque \(x>0\) la limite est égale à \(\lim_(0+0)\frac(x)(|x|)=1=k_2\). Par conséquent, au point \(x=1\) la fonction \(y\) présente une discontinuité de première espèce et le saut de la fonction est égal à \(|k_1-k_2|=|-1-1|= 2\) .

c) La fonction est définie partout axe des nombres, non élémentaire, puisqu'au point \(x=2\) expression analytique les fonctions changent. Examinons la continuité de la fonction au point \(x=2\) :

\(\lim_(x\to2-0)=4,\quad\lim_(x\to2+0)2x=4,\quad y(2)=1,\quad k_1=k_2\ne k_3.\)

Il est évident qu'au point \(x=2\) la fonction présente une discontinuité amovible.

d) Trouver les limites gauche et droite de la fonction au point \(x=0\) :

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)a^(1/x)=+\infty,\quad y(-0)=\lim_(x\to-0)a^(1 /x)=0.\)

Ainsi, au point \(x=0\) la fonction a une discontinuité du deuxième type à droite, et une continuité à gauche.

e) Trouver les limites unilatérales de la fonction au point \(x=0\) :

\(y(+0)=\lim_(x\to+0)\operatorname(arctg)\frac(1)(x)=\frac(\pi)(2),\quad y(-0)=\ lim_(x\to-0)\operatorname(arctg)\frac(1)(x)=-\frac(\pi)(2).\)

Donc, au point \(x=0\) des deux côtés de la fonction \(y=\nom de l'opérateur(arctg)\frac(1)(x)\) course de chevaux

Déterminer la continuité d'une fonction en un point
Fonction f (x) appelé continu au point x 0 quartier U est continue au point x ce point, et si la limite lorsque x tend vers x 0 existe et est égal à la valeur de la fonction en x 0 :
.

Cela implique que x 0 - Ce point final. La valeur de la fonction qu'il contient ne peut être que nombre fini.

au point.
Fonction f (x) appelé Alors la fonction est continue au point si 0 Définition de la continuité à droite (gauche) 0 égal à la valeur de la fonction en x 0 :
.

Exemples

Exemple 1

En utilisant les définitions de Heine et Cauchy, prouver que la fonction est continue pour tout x.

Qu'il y ait un nombre arbitraire. Prouvons que fonction donnée est continue au point.

La fonction est définie pour tout x .

Elle est donc définie en un point et dans l'un quelconque de ses voisinages.
.
Nous utilisons la définition de Heine
.
Utilisons . Soit une séquence arbitraire convergeant vers : .

En appliquant la propriété de la limite d’un produit de séquences on a :

Puisqu’il existe une séquence arbitraire convergeant vers , alors
La continuité a été prouvée.
Nous utilisons la définition de Cauchy .

Utilisons .
.
Considérons le cas.

;
On a le droit de considérer la fonction sur n'importe quel voisinage du point. .

Nous supposerons donc que (A1.1) Appliquons la formule :
;
Compte tenu de (A1.1), nous faisons l’estimation suivante : .
.
(A1.2)

.

En appliquant (A1.2), on estime
.
.

.
valeur absolue

différences : (A1.3) D'après les propriétés des inégalités, si (A1.3) est satisfait, si et si , alors . Voyons maintenant le point..

Dans ce cas

Cela signifie que la fonction est continue en ce point.

De la même manière, on peut prouver que la fonction , où n est

nombre naturel
, continu tout au long
axe réel .

Utilisons .
Exemple 2 .
En utilisant prouver que la fonction est continue pour tous .
.

La fonction donnée est définie en .


.
Montrons qu'elle est continue au point.
.

Considérons le cas.

.
Montrons qu'elle est continue au point.
On a le droit de considérer la fonction sur n'importe quel voisinage du point. .

Nous supposerons donc que (A2.1)(A2.2)
.
Disons-le.

Alors
.
valeur absolue

Compte tenu de (A2.1), nous faisons l’estimation suivante :
.
Donc,
.

En appliquant cette inégalité et en utilisant (A2.2), nous estimons la différence :
.
(A2.3)

Entrer

arcctg x
), sont continues dans leurs domaines de définition.
nombres positifs
analyse mathématique