સંખ્યા શ્રેણીને કન્વર્જન્ટ જો કહેવાય છે. વૈકલ્પિક શ્રેણી

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ.

વ્યાખ્યા. અનંત સંખ્યાના ક્રમની શરતોનો સરવાળો કહેવાય છે સંખ્યા શ્રેણી.

તે જ સમયે, સંખ્યાઓ
અમે તેમને શ્રેણીના સભ્યો કહીશું, અને u n- શ્રેણીના સામાન્ય સભ્ય.

વ્યાખ્યા. રકમો
,n = 1, 2, … કહેવાય છે ખાનગી (આંશિક) રકમપંક્તિ

આમ, શ્રેણીના આંશિક સરવાળોના ક્રમને ધ્યાનમાં લેવું શક્ય છે એસ 1 , એસ 2 , …, એસ n , …

વ્યાખ્યા. પંક્તિ
કહેવાય છે કન્વર્જન્ટ, જો તેના આંશિક સરવાળોનો ક્રમ એકરૂપ થાય છે. કન્વર્જન્ટ શ્રેણીનો સરવાળોતેના આંશિક સરવાળોના ક્રમની મર્યાદા છે.

વ્યાખ્યા. જો શ્રેણીના આંશિક સરવાળોનો ક્રમ અલગ પડે છે, એટલે કે. કોઈ મર્યાદા નથી, અથવા છે અનંત મર્યાદા, પછી શ્રેણી કહેવામાં આવે છે અલગઅને તેને કોઈ રકમ સોંપવામાં આવી નથી.

પંક્તિઓના ગુણધર્મો.

1) જો તમે બદલો, કાઢી નાખો અથવા ઉમેરશો તો શ્રેણીના કન્વર્જન્સ અથવા ડાયવર્જન્સનું ઉલ્લંઘન થશે નહીં અંતિમ સંખ્યાશ્રેણીના સભ્યો.

2) બે પંક્તિઓ ધ્યાનમાં લો
અને
, જ્યાં C - સતત સંખ્યા.

પ્રમેય. જો પંક્તિ
કન્વર્જ અને તેનો સરવાળો બરાબર છેએસ, પછી શ્રેણી
પણ કન્વર્જ થાય છે, અને તેનો સરવાળો C બરાબર છેએસ. (સી  0)

3) બે પંક્તિઓ ધ્યાનમાં લો
અને
.રકમઅથવા તફાવતઆ શ્રેણીઓમાંથી શ્રેણી કહેવાશે
, જ્યાં સમાન સંખ્યાઓ સાથેના મૂળ તત્વો ઉમેરીને (બાદબાકી કરીને) તત્વો મેળવવામાં આવે છે.

પ્રમેય. જો પંક્તિઓ
અને
કન્વર્જ અને તેમના સરવાળો અનુક્રમે સમાન છેએસઅને , પછી શ્રેણી
પણ કન્વર્જ થાય છે અને તેનો સરવાળો સમાન છેએસ +  .

બે કન્વર્જન્ટ સિરીઝનો તફાવત પણ કન્વર્જન્ટ સિરીઝ હશે.

કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ સીરીઝનો સરવાળો એ એક અલગ શ્રેણી છે.

બે અલગ-અલગ શ્રેણીના સરવાળા વિશે સામાન્ય વિધાન બનાવવું અશક્ય છે.

શ્રૃંખલાનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તેઓ મુખ્યત્વે બે સમસ્યાઓ હલ કરે છે: કન્વર્જન્સનો અભ્યાસ કરવો અને શ્રેણીનો સરવાળો શોધવો.

કોચી માપદંડ.

(શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો)

ક્રમ માટે ક્રમમાં
કન્વર્જન્ટ હતું, તે કોઈપણ માટે જરૂરી અને પૂરતું છે
આવી સંખ્યા હતીએન, તે ખાતેn > એનઅને કોઈપણપી> 0, જ્યાં p પૂર્ણાંક છે, નીચેની અસમાનતા રહેશે:

.

પુરાવો. (જરૂરી)

દો
, પછી કોઈપણ નંબર માટે
અસમાનતા જેવી સંખ્યા N છે

પૂર્ણ થાય છે જ્યારે n>N. n>N અને કોઈપણ પૂર્ણાંક p>0 માટે અસમાનતા પણ ધરાવે છે
. બંને અસમાનતાને ધ્યાનમાં લેતા, અમે મેળવીએ છીએ:

જરૂરિયાત સાબિત થઈ છે. અમે પર્યાપ્તતાના પુરાવાને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં.

ચાલો શ્રેણી માટે કોચી માપદંડ ઘડીએ.

શ્રેણી માટે ક્રમમાં
કન્વર્જન્ટ હતું, તે કોઈપણ માટે જરૂરી અને પૂરતું છે
એક નંબર હતોએનજેમ કે ખાતેn> એનઅને કોઈપણપી>0 અસમાનતા જાળવી રાખશે

.

જો કે, વ્યવહારમાં, Cauchy માપદંડનો સીધો ઉપયોગ કરવો ખૂબ અનુકૂળ નથી. તેથી, એક નિયમ તરીકે, સરળ કન્વર્જન્સ પરીક્ષણોનો ઉપયોગ થાય છે:

1) જો પંક્તિ
કન્વર્ઝ, પછી તે જરૂરી છે કે સામાન્ય સભ્ય u nશૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે. જો કે, આ સ્થિતિ પૂરતી નથી. અમે ફક્ત એટલું જ કહી શકીએ કે જો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતું નથી, તો શ્રેણી ચોક્કસપણે અલગ પડે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કહેવાતી હાર્મોનિક શ્રેણી વિભિન્ન છે, જો કે તેનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ.શ્રેણીના કન્વર્જન્સની તપાસ કરો

અમે શોધીશું
- જરૂરી નિશાનીકન્વર્જન્સ સંતુષ્ટ નથી, જેનો અર્થ છે કે શ્રેણી અલગ પડે છે.

2) જો શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે, તો તેના આંશિક સરવાળોનો ક્રમ બંધાયેલો છે.

જો કે, આ નિશાની પણ પર્યાપ્ત નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, શ્રેણી 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… અલગ પડે છે, કારણ કે તેના આંશિક સરવાળોનો ક્રમ એ હકીકતને કારણે અલગ પડે છે કે

જો કે, આંશિક રકમનો ક્રમ મર્યાદિત છે, કારણ કે
કોઈપણ સમયે n.

બિન-નકારાત્મક શરતો સાથે શ્રેણી.

સતત સંકેતની શ્રેણીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમે બિન-નકારાત્મક શરતો સાથે શ્રેણીને ધ્યાનમાં લેવા માટે પોતાને મર્યાદિત કરીશું, કારણ કે આ શ્રેણીમાંથી માત્ર –1 વડે ગુણાકાર કરવાથી નકારાત્મક શબ્દો સાથે શ્રેણી મળી શકે છે.

પ્રમેય. શ્રેણીના સંપાત માટે
બિન-નકારાત્મક શરતો સાથે, શ્રેણીના આંશિક સરવાળો માટે તે જરૂરી અને પૂરતું છે.

બિન-નકારાત્મક શબ્દો સાથે શ્રેણીની સરખામણી કરવા માટેનું ચિહ્ન.

બે પંક્તિઓ આપવા દો
અને
ખાતે u n , વિ n  0 .

પ્રમેય. જો u n  વિ nકોઈપણ સમયે n, પછી શ્રેણીના કન્વર્જન્સથી
શ્રેણી એકરૂપ થાય છે
, અને શ્રેણીના વિચલનમાંથી
શ્રેણી અલગ પડે છે
.

પુરાવો. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ એસ n અને  nશ્રેણીના આંશિક સરવાળો
અને
. કારણ કે પ્રમેયની શરતો અનુસાર, શ્રેણી
કન્વર્જ થાય છે, પછી તેની આંશિક રકમો મર્યાદિત હોય છે, એટલે કે. દરેકની સામે n n  M, જ્યાં M એ ચોક્કસ સંખ્યા છે. પરંતુ કારણ કે u n  વિ n, તે એસ n   nપછી શ્રેણીના આંશિક સરવાળો
પણ મર્યાદિત છે, અને આ કન્વર્જન્સ માટે પૂરતું છે.

ઉદાહરણ.કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો

કારણ કે
, અને હાર્મોનિક શ્રેણી અલગ પડે છે, પછી શ્રેણી અલગ પડે છે
.

ઉદાહરણ.

કારણ કે
, અને શ્રેણી
કન્વર્જ (ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિની જેમ), પછી શ્રેણી
પણ એકરૂપ થાય છે.

નીચેના કન્વર્જન્સ માપદંડનો પણ ઉપયોગ થાય છે:

પ્રમેય. જો
અને એક મર્યાદા છે
, ક્યાંh– શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા, પછી શ્રેણી
અને
કન્વર્જન્સની દ્રષ્ટિએ સમાન રીતે વર્તે છે.

ડી'એલેમ્બર્ટનું ચિહ્ન.

(જીન લેરોન ડી'અલેમ્બર્ટ (1717 - 1783) - ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી)

જો શ્રેણી માટે
હકારાત્મક શબ્દો સાથે આવી સંખ્યા છેq<1, что для всех достаточно больших nઅસમાનતા ધરાવે છે

પછી શ્રેણી
જો બધા માટે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા હોય તો કન્વર્જ થાય છેnશરત પૂરી થાય છે

પછી શ્રેણી
અલગ પડે છે.

ડી'એલેમ્બર્ટનું મર્યાદિત સંકેત.

ડી'એલેમ્બર્ટનો સીમિત માપદંડ ઉપરોક્ત ડી'એલેમ્બર્ટ માપદંડનું પરિણામ છે.

મર્યાદા હોય તો
, પછી ક્યારે < 1 ряд сходится, а при  > 1 - અલગ પડે છે. જો = 1, પછી કન્વર્જન્સના પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકાતો નથી.

ઉદાહરણ.શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ નક્કી કરો .

નિષ્કર્ષ: શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

ઉદાહરણ.શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ નક્કી કરો

નિષ્કર્ષ: શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

કોચીની નિશાની. (આમૂલ ચિહ્ન)

જો શ્રેણી માટે
બિન-નકારાત્મક શબ્દો સાથે આવી સંખ્યા છેq<1, что для всех достаточно больших nઅસમાનતા ધરાવે છે

,

પછી શ્રેણી
જો બધા માટે પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા હોય તો કન્વર્જ થાય છેnઅસમાનતા ધરાવે છે

પછી શ્રેણી
અલગ પડે છે.

પરિણામ. મર્યાદા હોય તો
, પછી ક્યારે<1 ряд сходится, а при >પંક્તિ 1 અલગ પડે છે.

ઉદાહરણ.શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ નક્કી કરો
.

નિષ્કર્ષ: શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

ઉદાહરણ.શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ નક્કી કરો
.

તે. કોચી ટેસ્ટ શ્રેણીના કન્વર્જન્સના પ્રશ્નનો જવાબ આપતો નથી. ચાલો તપાસ કરીએ કે જરૂરી કન્વર્જન્સ શરતો પૂરી થઈ છે. ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, જો શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે, તો શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વળે છે.

,

આમ, કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી શરત સંતુષ્ટ નથી, જેનો અર્થ છે કે શ્રેણી અલગ પડે છે.

ઇન્ટિગ્રલ કોચી ટેસ્ટ.

જો (x) એ અંતરાલ પર ઘટતું સતત હકારાત્મક કાર્ય છેઅને
પછી અભિન્ન
અને
કન્વર્જન્સની દ્રષ્ટિએ સમાન રીતે વર્તે છે.

વૈકલ્પિક શ્રેણી.

વૈકલ્પિક પંક્તિઓ.

વૈકલ્પિક શ્રેણી આ રીતે લખી શકાય છે:

જ્યાં

લીબનીઝની નિશાની.

જો વૈકલ્પિક પંક્તિનું ચિહ્ન સંપૂર્ણ મૂલ્યોu i ઘટી રહ્યા છે
અને સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે
, પછી શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

સંપૂર્ણ અને શરતી કન્વર્જન્સપંક્તિઓ

ચાલો કેટલીક વૈકલ્પિક શ્રેણીને ધ્યાનમાં લઈએ (મનસ્વી સંકેતોની શરતો સાથે).

(1)

અને શ્રેણીના સભ્યોના સંપૂર્ણ મૂલ્યોથી બનેલી શ્રેણી (1):

(2)

પ્રમેય. શ્રેણીના કન્વર્જન્સમાંથી (2) શ્રેણી (1) ના કન્વર્જન્સને અનુસરે છે.

પુરાવો. શ્રેણી (2) બિન-નકારાત્મક શબ્દો સાથેની શ્રેણી છે. જો શ્રેણી (2) કન્વર્જ થાય, તો પછી કોઈપણ >0 માટે કોચી માપદંડ દ્વારા ત્યાં એક સંખ્યા N હોય છે જે n>N અને કોઈપણ પૂર્ણાંક p>0 માટે નીચેની અસમાનતા સાચી છે:

નિરપેક્ષ મૂલ્યોની મિલકત અનુસાર:

એટલે કે, કોચી માપદંડ મુજબ, શ્રેણીના સંપાતથી (2) શ્રેણીનું સંપાત (1) અનુસરે છે.

વ્યાખ્યા. પંક્તિ
કહેવાય છે એકદમ કન્વર્જન્ટ, જો શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે
.

તે સ્પષ્ટ છે કે સતત સંકેતોની શ્રેણી માટે કન્વર્જન્સ અને સંપૂર્ણ કન્વર્જન્સના ખ્યાલો એકરૂપ થાય છે.

વ્યાખ્યા. પંક્તિ
કહેવાય છે શરતી રીતે કન્વર્જન્ટ, જો તે કન્વર્જ થાય અને શ્રેણી
અલગ પડે છે.

વૈકલ્પિક શ્રેણી માટે ડી'એલેમ્બર્ટ અને કોચીના પરીક્ષણો.

દો
- વૈકલ્પિક શ્રેણી.

ડી'એલેમ્બર્ટનું ચિહ્ન. મર્યાદા હોય તો
, પછી ક્યારે<1 ряд
એકદમ કન્વર્જન્ટ હશે, અને ક્યારે>

કોચીની નિશાની. મર્યાદા હોય તો
, પછી ક્યારે<1 ряд
એકદમ કન્વર્જન્ટ હશે, અને જો >1 હશે તો શ્રેણી અલગ હશે. જ્યારે =1, ચિહ્ન શ્રેણીના કન્વર્જન્સ વિશે જવાબ આપતું નથી.

એકદમ કન્વર્જન્ટ શ્રેણીના ગુણધર્મો.

1) પ્રમેય. શ્રેણીના સંપૂર્ણ કન્વર્જન્સ માટે
તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે કે તેને બિન-નકારાત્મક શબ્દો સાથે બે કન્વર્જન્ટ શ્રેણીના તફાવત તરીકે રજૂ કરી શકાય..

પરિણામ. શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતા બિન-નકારાત્મક શબ્દો સાથે બે અલગ-અલગ શ્રેણીનો તફાવત શરતી રીતે કન્વર્જન્ટ શ્રેણી છે.

2) કન્વર્જન્ટ શ્રેણીમાં, શ્રેણીની શરતોનું કોઈપણ જૂથ કે જે તેમના ક્રમમાં ફેરફાર કરતું નથી તે શ્રેણીની સંપાત અને તીવ્રતા જાળવી રાખે છે.

3) જો કોઈ શ્રૃંખલા એકદમ કન્વર્જ થાય છે, તો પછી તેમાંથી મળેલી શ્રેણી પણ શરતોના કોઈપણ ક્રમચય દ્વારા સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય છે અને તેનો સરવાળો સમાન હોય છે.

શરતી રીતે કન્વર્જન્ટ સિરીઝની શરતોને ફરીથી ગોઠવીને, વ્યક્તિ કોઈપણ ફોરવર્ડ ધરાવતી શરતી કન્વર્જન્ટ શ્રેણી મેળવી શકે છે આપેલ રકમ, અને એક અલગ શ્રેણી પણ.

4) પ્રમેય. સંપૂર્ણપણે કન્વર્જન્ટ શ્રેણીના સભ્યોના કોઈપણ જૂથ માટે (આ ​​કિસ્સામાં, જૂથોની સંખ્યા કાં તો મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે, અને જૂથમાં સભ્યોની સંખ્યા કાં તો મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે), એક કન્વર્જન્ટ શ્રેણી પ્રાપ્ત થાય છે, સરવાળો જેમાંથી મૂળ શ્રેણીના સરવાળા સમાન છે.

5) જો પંક્તિઓ અને સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ અને તેમના સરવાળો અનુક્રમે સમાન છે એસ અને , પછી ફોર્મના તમામ ઉત્પાદનોની બનેલી શ્રેણી
કોઈપણ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, પણ સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય છે અને તેનો સરવાળો બરાબર છે એસ - ગુણાકાર શ્રેણીના સરવાળોનું ઉત્પાદન.

જો તમે શરતી રીતે કન્વર્જન્ટ શ્રેણીનો ગુણાકાર કરો છો, તો તમે પરિણામ સ્વરૂપે એક અલગ શ્રેણી મેળવી શકો છો.

કાર્યાત્મક સિક્વન્સ.

વ્યાખ્યા. જો શ્રેણીના સભ્યો સંખ્યાઓ નથી, પરંતુ તેના કાર્યો છે એક્સ, પછી શ્રેણી કહેવામાં આવે છે કાર્યાત્મક.

સંખ્યાત્મક શ્રેણીના અભ્યાસ કરતાં કાર્યાત્મક શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો અભ્યાસ વધુ જટિલ છે. એક અને સમાન કાર્યાત્મક શ્રેણીકદાચ સમાન ચલ મૂલ્યો સાથે એક્સએકરૂપ થવું, અને અન્ય લોકો સાથે - અલગ થવું. તેથી, કાર્યાત્મક શ્રેણીના કન્વર્જન્સનો પ્રશ્ન ચલના તે મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે નીચે આવે છે. એક્સ, જેના પર શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે.

આવા મૂલ્યોના સમૂહને કહેવામાં આવે છે સંકલન વિસ્તાર.

શ્રેણીના કન્વર્જન્સ પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ દરેક કાર્યની મર્યાદા ચોક્કસ સંખ્યા હોવાથી, કાર્યાત્મક ક્રમની મર્યાદા ચોક્કસ કાર્ય હશે:

વ્યાખ્યા. અનુગામી ( f n (x) } એકરૂપ થાય છેકાર્ય કરવા માટે f(x) સેગમેન્ટ પર જો કોઈપણ સંખ્યા >0 અને કોઈપણ બિંદુ માટે હોય એક્સવિચારણા હેઠળના સેગમેન્ટમાંથી એક સંખ્યા N = N(, x) છે, જેમ કે અસમાનતા

પૂર્ણ થાય છે જ્યારે n>N.

પસંદ કરેલ મૂલ્ય >0 સાથે, સેગમેન્ટ પરના દરેક બિંદુની પોતાની સંખ્યા હોય છે અને તેથી, સેગમેન્ટ પરના તમામ બિંદુઓને અનુરૂપ સંખ્યાઓની અનંત સંખ્યા હશે. જો તમે આ બધી સંખ્યાઓમાંથી સૌથી મોટી પસંદ કરો છો, તો આ સંખ્યા સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ માટે યોગ્ય રહેશે, એટલે કે. તમામ મુદ્દાઓ માટે સામાન્ય હશે.

વ્યાખ્યા. અનુગામી ( f n (x) } એકસરખી રીતે એકરૂપ થાય છેકાર્ય કરવા માટે f(x) સેગમેન્ટ પર, જો કોઈપણ સંખ્યા માટે >0 સંખ્યા N = N() હોય તો અસમાનતા

સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ માટે n>N માટે પરિપૂર્ણ થાય છે.

ઉદાહરણ.ક્રમ ધ્યાનમાં લો

આ ક્રમ સમગ્ર સંખ્યાના અક્ષ પર ફંક્શનમાં કન્વર્જ થાય છે f(x)=0 , કારણ કે

ચાલો આ ક્રમનું કાવતરું કરીએ:

sinx

જેમ જોઈ શકાય છે, વધતી સંખ્યા સાથે nઅનુક્રમ ગ્રાફ અક્ષની નજીક આવે છે એક્સ.

કાર્યાત્મક શ્રેણી.

વ્યાખ્યા. ખાનગી (આંશિક) રકમકાર્યાત્મક શ્રેણી
કાર્યો કહેવામાં આવે છે

વ્યાખ્યા. કાર્યાત્મક શ્રેણી
કહેવાય છે કન્વર્જન્ટબિંદુ પર ( x=x 0 ), જો તેના આંશિક સરવાળોનો ક્રમ આ બિંદુએ કન્વર્જ થાય છે. ક્રમ મર્યાદા
કહેવાય છે રકમપંક્તિ
બિંદુ પર એક્સ 0 .

વ્યાખ્યા. તમામ મૂલ્યોનો સમૂહ એક્સ, જેના માટે શ્રેણી એકરૂપ થાય છે
કહેવાય છે સંકલન વિસ્તારપંક્તિ

વ્યાખ્યા. પંક્તિ
કહેવાય છે એકસરખી રીતે કન્વર્જન્ટઅંતરાલ પર જો આ શ્રેણીના આંશિક સરવાળોનો ક્રમ આ અંતરાલ પર એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય.

પ્રમેય. (શ્રેણીના એકસમાન કન્વર્જન્સ માટે કોચી માપદંડ)

શ્રેણીના સમાન સંપાત માટે
તે કોઈપણ સંખ્યા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે >0 આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છેએન( ), જે ખાતેn> એનઅને કોઈપણ સંપૂર્ણપી>0 અસમાનતા

અંતરાલ પર બધા x માટે પકડી રાખશે [a, b].

પ્રમેય. (યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ માટે વેયરસ્ટ્રાસ ટેસ્ટ)

(કાર્લ થિયોડોર વિલ્હેમ વેયરસ્ટ્રાસ (1815 - 1897) - જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી)

પંક્તિ
એકસરખી રીતે અને એકદમ અંતરાલ પર કન્વર્જ થાય છે [a, b], જો સમાન સેગમેન્ટ પરની તેની શરતોની મોડ્યુલી સકારાત્મક શરતો સાથે કન્વર્જન્ટ નંબર સિરીઝની અનુરૂપ શરતોથી વધુ ન હોય તો:

તે એક અસમાનતા છે:

.

તેઓ એમ પણ કહે છે કે આ કિસ્સામાં કાર્યાત્મક શ્રેણી
મેજરાઇઝ્ડ છેસંખ્યા શ્રેણી
.

ઉદાહરણ.કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો
.

કારણ કે
હંમેશા, તે સ્પષ્ટ છે કે
.

તદુપરાંત, તે જાણીતું છે કે સામાન્ય હાર્મોનિક શ્રેણી જ્યારે=3>1 કન્વર્જ થાય છે, તો પછી, વેરસ્ટ્રાસ ટેસ્ટ અનુસાર, અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણી એકસરખી રીતે અને વધુમાં, કોઈપણ અંતરાલમાં કન્વર્જ થાય છે.

ઉદાહરણ.કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો .

અંતરાલ [-1,1] પર અસમાનતા ધરાવે છે
તે વેયરસ્ટ્રાસ માપદંડ અનુસાર, અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણી આ સેગમેન્ટ પર એકરૂપ થાય છે, પરંતુ અંતરાલ (-, -1)  (1, ) પર અલગ પડે છે.

એકસરખી કન્વર્જન્ટ શ્રેણીના ગુણધર્મો.

1) શ્રેણીના સરવાળાની સાતત્ય પર પ્રમેય.

જો શ્રેણીના સભ્યો
- સેગમેન્ટ પર સતત [a, b] ફંક્શન અને શ્રેણી એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય છે, પછી તેનો સરવાળોએસ(x) છે સતત કાર્યસેગમેન્ટ પર [a, b].

2) શ્રેણીના ટર્મ-બાય-ટર્મ એકીકરણ પર પ્રમેય.

સેગમેન્ટ પર એકસરખી રીતે કન્વર્જિંગ [a, b] સતત પદો સાથેની શ્રેણીને આ અંતરાલ પર પદ દ્વારા સંકલિત કરી શકાય છે, એટલે કે. સેગમેન્ટ પર તેની શરતોના અભિન્ન ભાગોથી બનેલી શ્રેણી [a, b] , આ સેગમેન્ટ પરની શ્રેણીના સરવાળાના અભિન્ન અંગમાં કન્વર્જ થાય છે.

3) શ્રેણીના ટર્મ-બાય-ટર્મ ભિન્નતા પર પ્રમેય.

જો શ્રેણીના સભ્યો
સેગમેન્ટ પર કન્વર્જિંગ [a, b] સતત ડેરિવેટિવ્ઝ ધરાવતા સતત કાર્યો અને આ ડેરિવેટિવ્સની બનેલી શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે
આ સેગમેન્ટ પર એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય છે, પછી આ સીરિઝ એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય છે અને ટર્મ દ્વારા શબ્દને અલગ કરી શકાય છે.

એ હકીકત પર આધારિત છે કે શ્રેણીનો સરવાળો એ ચલનું અમુક કાર્ય છે એક્સ, તમે શ્રેણીના સ્વરૂપમાં ફંક્શનનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાની કામગીરી કરી શકો છો (શ્રેણીમાં ફંક્શનનું વિસ્તરણ), જેનો વ્યાપકપણે એકીકરણ, ભિન્નતા અને કાર્યો સાથેની અન્ય કામગીરીમાં ઉપયોગ થાય છે.

વ્યવહારમાં, વિધેયોના પાવર શ્રેણીના વિસ્તરણનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે.

પાવર શ્રેણી.

વ્યાખ્યા. પાવર શ્રેણીફોર્મની શ્રેણી કહેવાય છે

.

પાવર સિરીઝના કન્વર્જન્સનો અભ્યાસ કરવા માટે, ડી'અલેમ્બર્ટ ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે.

ઉદાહરણ.કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો

અમે ડી'એલેમ્બર્ટની નિશાની લાગુ કરીએ છીએ:

.

અમે શોધીએ છીએ કે આ શ્રેણી પર કન્વર્જ થાય છે
અને પર અલગ પડે છે
.

હવે આપણે બાઉન્ડ્રી પોઈન્ટ 1 અને –1 પર કન્વર્જન્સ નક્કી કરીએ છીએ.

x = 1 માટે:
લીબનીઝના માપદંડ અનુસાર શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે (જુઓ લીબનીઝની નિશાની.).

x = -1 પર:
શ્રેણી અલગ પડે છે (હાર્મોનિક શ્રેણી).

એબેલના પ્રમેય.

(નિલ્સ હેનરિક એબેલ (1802 - 1829) - નોર્વેજીયન ગણિતશાસ્ત્રી)

પ્રમેય. જો શક્તિ શ્રેણી
ખાતે કન્વર્જ થાય છેx = x 1 , પછી તે એકરૂપ થાય છે અને, વધુમાં, સંપૂર્ણપણે દરેક માટે
.

પુરાવો. પ્રમેયની શરતો અનુસાર, કારણ કે શ્રેણીની શરતો મર્યાદિત છે, તો પછી

જ્યાં k- કેટલીક સ્થિર સંખ્યા. નીચેની અસમાનતા સાચી છે:

આ અસમાનતા પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ક્યારે x< x 1 અમારી શ્રેણીની શરતોના આંકડાકીય મૂલ્યો ઉપર લખેલી અસમાનતાની જમણી બાજુએ શ્રેણીની અનુરૂપ શરતો કરતાં ઓછા (ઓછામાં ઓછા વધુ નહીં) હશે, જે ભૌમિતિક પ્રગતિ બનાવે છે. આ પ્રગતિનો છેદ પ્રમેયની શરતો અનુસાર, તે એક કરતા ઓછી છે, તેથી, આ પ્રગતિ એક સંસર્જિત શ્રેણી છે.

તેથી, સરખામણીના માપદંડના આધારે, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે શ્રેણી
કન્વર્જ, જેનો અર્થ છે શ્રેણી
સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય છે.

આમ, જો શક્તિ શ્રેણી
એક બિંદુ પર એકરૂપ થાય છે એક્સ 1 , પછી તે લંબાઈ 2 ના અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુએ સંપૂર્ણપણે કન્વર્જ થાય છે એક બિંદુ પર કેન્દ્રિત એક્સ = 0.

પરિણામ. જો ખાતે x = x 1 શ્રેણી અલગ પડે છે, પછી તે દરેક માટે અલગ પડે છે
.

આમ, દરેક પાવર સિરીઝ માટે ધન સંખ્યા R હોય છે જેમ કે બધા માટે એક્સજેમ કે
શ્રેણી એકદમ સંકલિત છે, અને બધા માટે
પંક્તિ અલગ પડે છે. આ કિસ્સામાં, નંબર R કહેવામાં આવે છે કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા. અંતરાલ (-R, R) કહેવાય છે કન્વર્જન્સ અંતરાલ.

નોંધ કરો કે આ અંતરાલ એક અથવા બંને બાજુએ બંધ થઈ શકે છે, અથવા બંધ થઈ શકતું નથી.

કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

ઉદાહરણ.શ્રેણીના કન્વર્જન્સનું ક્ષેત્રફળ શોધો

કન્વર્જન્સની ત્રિજ્યા શોધવી
.

આથી, આ શ્રેણીકોઈપણ મૂલ્યમાં કન્વર્જ થાય છે એક્સ. આ શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વળે છે.

પ્રમેય. જો શક્તિ શ્રેણી
હકારાત્મક મૂલ્ય માટે કન્વર્જ થાય છે x=x 1 , પછી તે અંદરના કોઈપણ અંતરાલમાં એકસરખી રીતે કન્વર્જ થાય છે
.

પાવર શ્રેણી સાથે ક્રિયાઓ.

વ્યવહારમાં, શ્રૃંખલાના કન્વર્જન્સના પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે શ્રેણીનો સરવાળો શોધવાનું ઘણીવાર એટલું મહત્વનું નથી. આ હેતુ માટે, શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દના ગુણધર્મોના આધારે કન્વર્જન્સ માપદંડનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

શ્રેણીના કન્વર્જન્સની આવશ્યક નિશાની

પ્રમેય 1

જો પંક્તિકન્વર્જ, પછી તેનો સામાન્ય શબ્દ ખાતે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે
, તે
.

સંક્ષિપ્તમાં: જો શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે, તો તેનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વળે છે.

પુરાવો.શ્રેણીને એકરૂપ થવા દો અને તેનો સરવાળો બરાબર કરો . કોઈપણ માટે આંશિક રકમ

.

પછી . 

કન્વર્જન્સ માટે સાબિત જરૂરી માપદંડમાંથી તે અનુસરે છે શ્રેણીના વિચલનનો પૂરતો સંકેત: જો ખાતે
જો શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવતું નથી, તો શ્રેણી અલગ પડે છે.

ઉદાહરણ 4.

આ શ્રેણી માટે સામાન્ય શબ્દ છે
અને
.

તેથી, આ શ્રેણી અલગ પડે છે.

ઉદાહરણ 5.કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો

તે સ્પષ્ટ છે કે આ શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ, જેનું સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિની બોજારૂપતાને કારણે સૂચવવામાં આવતું નથી, તે શૂન્ય તરફ વલણ ધરાવે છે
, એટલે કે શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી માપદંડ સંતુષ્ટ છે, પરંતુ આ શ્રેણી અલગ પડે છે, કારણ કે તેનો સરવાળો અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.

ધન સંખ્યાની શ્રેણી

સંખ્યા શ્રેણી કે જેમાં તમામ પદ ધન હોય તેને કહેવામાં આવે છે હકારાત્મક સંકેત.

થિયોરેમ 2 (સકારાત્મક શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે માપદંડ)

એક સકારાત્મક ચિન્હ સાથેની શ્રેણી માટે કન્વર્જ થવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેના તમામ આંશિક સરવાળો ઉપરથી સમાન સંખ્યા દ્વારા બંધાયેલા હોય.

પુરાવો.કોઈપણ માટે થી
, પછી, એટલે કે અનુગામી
- એકવિધ રીતે વધી રહ્યું છે, તેથી મર્યાદાના અસ્તિત્વ માટે ઉપરથી ક્રમને અમુક સંખ્યા દ્વારા પ્રતિબંધિત કરવો જરૂરી અને પૂરતું છે.

આ પ્રમેય માં વધુ હદ સુધીવ્યવહારિકને બદલે સૈદ્ધાંતિક મહત્વ ધરાવે છે. નીચે અન્ય કન્વર્જન્સ ટેસ્ટ છે જેનો વધુ વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે.

હકારાત્મક શ્રેણીના કન્વર્જન્સના પૂરતા સંકેતો

થિયોરેમ 3 (પ્રથમ સરખામણી ચિહ્ન)

બે સકારાત્મક ચિહ્ન શ્રેણીઓ આપવા દો:

(1)

(2)

અને, ચોક્કસ સંખ્યાથી શરૂ કરીને
, કોઈપણ માટે
અસમાનતા ધરાવે છે
પછી:

પ્રથમ સરખામણી લક્ષણની યોજનાકીય સંકેત:

વંશ.ગેધરીંગ.

exp.exp.

પુરાવો. 1) શ્રેણીની મર્યાદિત સંખ્યાની શરતોને કાઢી નાખવાથી તેના કન્વર્જન્સને અસર થતી નથી, અમે કેસ માટે પ્રમેય સાબિત કરીએ છીએ
. તે કોઈપણ માટે રહેવા દો
અમારી પાસે છે

, (3)

જ્યાં
અને
- અનુક્રમે શ્રેણી (1) અને (2) ના આંશિક સરવાળો.

જો શ્રેણી (2) કન્વર્જ થાય, તો ત્યાં એક સંખ્યા છે
. ત્યારથી આ કિસ્સામાં ક્રમ
- વધી રહી છે, તેની મર્યાદા તેના કોઈપણ સભ્યો કરતા વધારે છે, એટલે કે.
કોઈપણ માટે . તેથી, અસમાનતા (3) થી તે અનુસરે છે
. આમ, શ્રેણી (1) ના તમામ આંશિક સરવાળો ઉપર સંખ્યા દ્વારા બંધાયેલ છે . પ્રમેય 2 મુજબ, આ શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

2) ખરેખર, જો શ્રેણી (2) કન્વર્જ થાય, તો સરખામણી કરીને, શ્રેણી (1) પણ કન્વર્જ થશે. 

આ સુવિધાને લાગુ કરવા માટે, આવી પ્રમાણભૂત શ્રેણીનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેનું કન્વર્જન્સ અથવા વિચલન અગાઉથી જાણીતું છે, ઉદાહરણ તરીકે:

3) - ડિરિચલેટ શ્રેણી (તે પર કન્વર્જ થાય છે
અને પર અલગ પડે છે
).

વધુમાં, શ્રેણીઓનો વારંવાર ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જે નીચેની સ્પષ્ટ અસમાનતાઓનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે:

,

,
,
.

ચાલો જોઈએ ચોક્કસ ઉદાહરણોપ્રથમ સરખામણી માપદંડનો ઉપયોગ કરીને કન્વર્જન્સ માટે હકારાત્મક શ્રેણીનો અભ્યાસ કરવાની યોજના.

ઉદાહરણ 6.પંક્તિનું અન્વેષણ કરો
સંકલન માટે.

પગલું 1. શ્રેણીની સકારાત્મક નિશાની તપાસો:
માટે

પગલું 2. ચાલો શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી માપદંડની પરિપૂર્ણતા તપાસીએ:
. કારણ કે
, તે

(જો મર્યાદાની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ હોય, તો તમે આ પગલું છોડી શકો છો).

પગલું 3. પ્રથમ સરખામણી ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો. આ કરવા માટે, અમે આ શ્રેણી માટે પ્રમાણભૂત શ્રેણી પસંદ કરીશું. કારણ કે
, તો પછી આપણે શ્રેણીને ધોરણ તરીકે લઈ શકીએ છીએ
, એટલે કે ડિરિચલેટ શ્રેણી. આ શ્રેણી ઘાતાંકથી કન્વર્જ થાય છે
. પરિણામે, પ્રથમ સરખામણી માપદંડ અનુસાર, અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણી પણ એકરૂપ થાય છે.

ઉદાહરણ 7.પંક્તિનું અન્વેષણ કરો
સંકલન માટે.

1) આ શ્રેણી હકારાત્મક છે, ત્યારથી
માટે

2) શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી માપદંડ સંતુષ્ટ છે, કારણ કે

3) ચાલો પ્રમાણભૂત પંક્તિ પસંદ કરીએ. કારણ કે
, તો પછી આપણે ભૌમિતિક શ્રેણીને ધોરણ તરીકે લઈ શકીએ છીએ

. આ શ્રેણી એકરૂપ થાય છે, અને તેથી અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણી પણ એકરૂપ થાય છે.

થિયોરેમ 4 (બીજો સરખામણી માપદંડ)

જો સકારાત્મક શ્રેણી માટે અને બિન-શૂન્ય મર્યાદિત મર્યાદા છે
, તે પંક્તિઓ એકસાથે ભેગા થાય છે અથવા અલગ પડે છે.

પુરાવો.શ્રેણી (2) એકરૂપ થવા દો; ચાલો સાબિત કરીએ કે પછી શ્રેણી (1) પણ કન્વર્જ થાય છે. ચાલો અમુક નંબર પસંદ કરીએ , કરતાં વધુ . શરતમાંથી
તે અનુસરે છે કે આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે તે દરેક માટે છે
અસમાનતા સાચી છે
, અથવા, સમાન શું છે,

(4)

પંક્તિઓ (1) અને (2) માં પ્રથમ કાઢી નાખ્યા પછી શરતો (જે કન્વર્જન્સને અસર કરતી નથી), અમે ધારી શકીએ છીએ કે અસમાનતા (4) બધા માટે માન્ય છે
પરંતુ સામાન્ય સભ્ય સાથેની શ્રેણી
શ્રેણી (2) ના કન્વર્જન્સને કારણે કન્વર્જ થાય છે. પ્રથમ સરખામણી માપદંડ અનુસાર, અસમાનતા (4) શ્રેણી (1) નું કન્વર્જન્સ સૂચવે છે.

હવે શ્રેણી (1)ને એકરૂપ થવા દો; ચાલો શ્રેણી (2) નું કન્વર્જન્સ સાબિત કરીએ. આ કરવા માટે, આપેલ પંક્તિઓની ભૂમિકાઓને ફક્ત સ્વેપ કરો. કારણ કે

પછી, ઉપર જે સાબિત થયું હતું તે મુજબ, શ્રેણી (1) નું કન્વર્જન્સ શ્રેણી (2) નું કન્વર્જન્સ સૂચવે છે. 

જો
ખાતે
(કન્વર્જન્સની આવશ્યક નિશાની), પછી શરતમાંથી
, તે તેને અનુસરે છે અને - નાનાતાના સમાન ક્રમના અનંત સિમલ્સ (ની સમકક્ષ
). તેથી, જો શ્રેણી આપવામાં આવે છે , ક્યાં
ખાતે
, તો પછી આ શ્રેણી માટે તમે પ્રમાણભૂત શ્રેણી લઈ શકો છો , સામાન્ય શબ્દ ક્યાં છે આપેલ શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દ જેટલો જ નાનોપણ ક્રમ ધરાવે છે.

પ્રમાણભૂત શ્રેણી પસંદ કરતી વખતે, તમે નીચે આપેલા સમકક્ષ ઈન્ફિનિટેસિમલ્સના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરી શકો છો
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

ઉદાહરણ 8.કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો

.

કોઈપણ માટે
.

કારણ કે
, પછી આપણે હાર્મોનિક ડાયવર્જન્ટ શ્રેણીને પ્રમાણભૂત શ્રેણી તરીકે લઈએ છીએ
. સામાન્ય શબ્દોના ગુણોત્તરની મર્યાદાથી અને મર્યાદિત છે અને શૂન્યથી અલગ છે (તે 1 બરાબર છે), પછી બીજા સરખામણી માપદંડના આધારે, આ શ્રેણી અલગ પડે છે.

ઉદાહરણ 9.
સરખામણીના બે માપદંડો અનુસાર.

આ શ્રેણી હકારાત્મક છે, ત્યારથી
, અને
. ત્યારથી
, તો પછી આપણે હાર્મોનિક શ્રેણીને પ્રમાણભૂત શ્રેણી તરીકે લઈ શકીએ છીએ . આ શ્રેણી અલગ પડે છે અને તેથી, સરખામણીના પ્રથમ સંકેત મુજબ, અભ્યાસ હેઠળની શ્રેણી પણ અલગ પડે છે.

આ શ્રેણી અને પ્રમાણભૂત શ્રેણી માટે શરત સંતુષ્ટ છે
(અહીં 1લી નોંધપાત્ર મર્યાદા વપરાય છે), પછી બીજા સરખામણી માપદંડના આધારે શ્રેણી
- અલગ પડે છે.

થિયોરેમ 5 (ડી'એલેમ્બર્ટની કસોટી)

એક મર્યાદિત મર્યાદા છે
, પછી શ્રેણી અહીં કન્વર્જ થાય છે
અને પર અલગ પડે છે
.

પુરાવો.દો
. ચાલો અમુક નંબર લઈએ , વચ્ચે તારણ કાઢ્યું અને 1:
. શરતમાંથી
તે અમુક નંબરથી શરૂ થાય છે તે અનુસરે છે અસમાનતા ધરાવે છે

;
;
(5)

શ્રેણી ધ્યાનમાં લો

(5) મુજબ, શ્રેણીની તમામ શરતો (6) અનંતની અનુરૂપ શરતોથી વધુ નથી ભૌમિતિક પ્રગતિ
ત્યારથી
, આ પ્રગતિ કન્વર્જન્ટ છે. અહીંથી, પ્રથમ સરખામણીના માપદંડને લીધે, શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ નીચે મુજબ છે

થઈ રહ્યું છે
તમારા માટે વિચાર કરો.

નોંધો :

તે શ્રેણીના બાકીના ભાગને અનુસરે છે

.

જ્યારે શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ હોય ત્યારે ડી'એલેમ્બર્ટની કસોટી વ્યવહારમાં અનુકૂળ હોય છે ઘાતાંકીય કાર્યઅથવા કારણભૂત.

ઉદાહરણ 10.કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો ડી'એલેમ્બર્ટની નિશાની અનુસાર.

આ શ્રેણી હકારાત્મક છે અને

.

(અહીં, ગણતરીમાં, L'Hopital નો નિયમ બે વાર લાગુ પડે છે).

પછી, ડી'એલેમ્બર્ટના માપદંડ દ્વારા, આ શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

ઉદાહરણ 11..

આ શ્રેણી હકારાત્મક છે અને
. ત્યારથી

પછી આ શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

થિયોરેમ 6 (કોચી ટેસ્ટ)

જો સકારાત્મક શ્રેણી માટે એક મર્યાદિત મર્યાદા છે
, પછી ક્યારે
શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે, અને ક્યારે
પંક્તિ અલગ પડે છે.

સાબિતી પ્રમેય 5 જેવી જ છે.

નોંધો :

ઉદાહરણ 12.કન્વર્જન્સ માટે શ્રેણીની તપાસ કરો
.

આ શ્રેણી હકારાત્મક છે, ત્યારથી
કોઈપણ માટે
. મર્યાદા ની ગણતરી થી
ચોક્કસ મુશ્કેલીઓનું કારણ બને છે, પછી અમે શ્રેણીના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી માપદંડની શક્યતા તપાસવાનું છોડી દઈએ છીએ.

પછી, કોચી માપદંડ અનુસાર, આ શ્રેણી અલગ પડે છે.

થિયોરેમ 7 (મેકલોરિન માટે ઇન્ટિગ્રલ ટેસ્ટ - કોચી કન્વર્જન્સ)

એક શ્રેણી આપવામાં આવે છે

જેની શરતો હકારાત્મક છે અને વધતી નથી:

ચાલો, આગળ
- એક કાર્ય જે તમામ વાસ્તવિક માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે
, સતત છે, વધતું નથી અને

જવાબ આપો: શ્રેણી અલગ પડે છે.

ઉદાહરણ નંબર 3

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ નો સરવાળો શોધો.

સમીકરણની નીચલી મર્યાદા 1 હોવાથી, શ્રેણીનો સામાન્ય શબ્દ સરવાળા ચિહ્ન હેઠળ લખવામાં આવે છે: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. ચાલો કંપોઝ કરીએ nth આંશિકશ્રેણીનો સરવાળો, એટલે કે. ચાલો આપેલ સંખ્યા શ્રેણીના પ્રથમ $n$ શબ્દોનો સરવાળો કરીએ:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

હું શા માટે બરાબર $\frac(2)(3\cdot 5)$ લખું છું, અને $\frac(2)(15)$ નહીં, તે આગળના વર્ણન પરથી સ્પષ્ટ થશે. જો કે, આંશિક રકમ લખવાથી અમને અમારા ધ્યેયની એક પણ અંશ નજીક ન આવી. અમારે $\lim_(n\to\infty)S_n$ શોધવાની જરૂર છે, પરંતુ જો આપણે ફક્ત લખીએ તો:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\જમણે), $$

તો પછી આ રેકોર્ડ, ફોર્મમાં સંપૂર્ણ રીતે સાચો, આપણને સારમાં કંઈ આપશે નહીં. મર્યાદા શોધવા માટે, આંશિક રકમ માટેની અભિવ્યક્તિને પહેલા સરળ બનાવવી આવશ્યક છે.

આ માટે પ્રમાણભૂત રૂપાંતરણ છે, જેમાં અપૂર્ણાંક $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ને વિઘટિત કરવામાં આવે છે, જે શ્રેણીના સામાન્ય શબ્દને પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકમાં રજૂ કરે છે. વિઘટનનો મુદ્દો તર્કસંગત અપૂર્ણાંકપ્રાથમિક માટે સમર્પિત અલગ વિષય(જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, આ પૃષ્ઠ પર ઉદાહરણ નંબર 3). અપૂર્ણાંક $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ને પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકમાં વિસ્તરણ કરવાથી, આપણી પાસે હશે:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))(2n+1)(2n+3)). $$

અમે ડાબી બાજુના અપૂર્ણાંકના અંશને સમાન કરીએ છીએ અને જમણા ભાગોપરિણામી સમાનતા:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

$A$ અને $B$ ના મૂલ્યો શોધવાની બે રીત છે. તમે કૌંસ ખોલી શકો છો અને શરતોને ફરીથી ગોઠવી શકો છો અથવા તમે $n$ ને બદલે અમુક યોગ્ય મૂલ્યો બદલી શકો છો. ફક્ત વિવિધતા માટે, આ ઉદાહરણમાં આપણે પ્રથમ માર્ગ પર જઈશું, અને પછીના એકમાં આપણે ખાનગી મૂલ્યોને $n$ બદલીશું. કૌંસ ખોલીને અને શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી, અમને મળે છે:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

સમાનતાની ડાબી બાજુએ, $n$ ની આગળ શૂન્ય છે. જો તમને ગમે, ડાબી બાજુસ્પષ્ટતા માટે, સમાનતાને $0\cdot n+ 2$ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. સમાનતાની ડાબી બાજુએ $n$ ની આગળ શૂન્ય છે, અને સમાનતાની જમણી બાજુ પર $n$ $2A+2B$થી આગળ આવેલું છે, અમારી પાસે પ્રથમ સમીકરણ છે: $2A+2B=0$. ચાલો તરત જ આ સમીકરણની બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરીએ, જેના પછી આપણને $A+B=0$ મળશે.

સમાનતાની ડાબી બાજુએ હોવાથી મફત સભ્ય 2 ની બરાબર છે, અને સમાનતાની જમણી બાજુએ મફત શબ્દ બરાબર છે $3A+B$, પછી $3A+B=2$. તેથી, અમારી પાસે એક સિસ્ટમ છે:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \અંત(સંરેખિત)\જમણે. $$

અમે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પુરાવા હાથ ધરીશું ગાણિતિક ઇન્ડક્શન. પ્રથમ પગલા પર, તમારે $n=1$ માટે $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ સાબિત થઈ રહી છે કે કેમ તે તપાસવું જરૂરી છે. અમે જાણીએ છીએ કે $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, પરંતુ શું સમીકરણ $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $\frac(નું મૂલ્ય આપશે? 2 )(15)$, જો આપણે તેમાં $n=1$ બદલીએ તો? ચાલો તપાસીએ:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

તેથી, $n=1$ માટે સમાનતા $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ સંતુષ્ટ છે. આ ગાણિતિક ઇન્ડક્શન પદ્ધતિનું પ્રથમ પગલું પૂર્ણ કરે છે.

ચાલો ધારીએ કે $n=k$ માટે સમાનતા સંતુષ્ટ છે, એટલે કે. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. ચાલો સાબિત કરીએ કે સમાન સમાનતા $n=k+1$ માટે સંતુષ્ટ થશે. આ કરવા માટે, $S_(k+1)$ ને ધ્યાનમાં લો:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

ત્યારથી $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, પછી $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 -\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. ઉપર બનાવેલી ધારણા મુજબ $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, તેથી સૂત્ર $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ ફોર્મ લેશે:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

નિષ્કર્ષ: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=k+1$ માટે સાચો છે. તેથી, ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિ અનુસાર, સૂત્ર $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ કોઈપણ $n\in N$ માટે સાચું છે. સમાનતા સાબિત થઈ છે.

ધોરણ અભ્યાસક્રમમાં ઉચ્ચ ગણિતસામાન્ય રીતે તેઓ કોઈપણ પુરાવાની જરૂર વગર, રદ કરવાની શરતોને "પાર" કરવામાં સંતુષ્ટ હોય છે. તેથી અમારી પાસે અભિવ્યક્તિ છે nth આંશિકસરવાળો: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. ચાલો $\lim_(n\to\infty)S_n$ ની કિંમત શોધીએ:

નિષ્કર્ષ: આપેલ શ્રેણીકન્વર્જ અને તેનો સરવાળો $S=\frac(1)(3)$.

આંશિક રકમ માટે સૂત્રને સરળ બનાવવાની બીજી રીત.

પ્રામાણિકપણે, હું મારી જાતે આ પદ્ધતિ પસંદ કરું છું :) ચાલો સંક્ષિપ્ત સંસ્કરણમાં આંશિક રકમ લખીએ:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

અમે અગાઉ મેળવ્યું હતું કે $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, તેથી:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\જમણે). $$

સરવાળો $S_n$ માં શરતોની મર્યાદિત સંખ્યા હોય છે, તેથી અમે તેને અમારી ઈચ્છા મુજબ ફરીથી ગોઠવી શકીએ છીએ. હું પહેલા $\frac(1)(2k+1)$ ફોર્મની તમામ શરતો ઉમેરવા માંગુ છું, અને તે પછી જ $\frac(1)(2k+3)$ ફોર્મની શરતો પર આગળ વધો. આનો અર્થ એ છે કે અમે આંશિક રકમ નીચે પ્રમાણે રજૂ કરીશું:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) -\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\જમણે). $$

અલબત્ત, વિસ્તૃત નોટેશન અત્યંત અસુવિધાજનક છે, તેથી ઉપરોક્ત સમાનતા વધુ સઘન રીતે લખી શકાય છે:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\જમણે)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

હવે ચાલો $\frac(1)(2k+1)$ અને $\frac(1)(2k+3)$ ને એક સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ. મને લાગે છે કે નિર્દેશ કરવો અનુકૂળ છે મોટો અપૂર્ણાંક(જો કે તે ઓછું હોઈ શકે છે, તે સ્વાદની બાબત છે). $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (જેટલો મોટો છેદ, ઓછો અપૂર્ણાંક), તો આપણે અપૂર્ણાંક $\frac(1)(2k+3)$ ને $\frac(1)(2k+1)$ માં ઘટાડીશું.

હું અપૂર્ણાંક $\frac(1)(2k+3)$ ના છેદમાં અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે રજૂ કરીશ:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

અને સરવાળો $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ હવે નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\સમ\મર્યાદા_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

જો સમાનતા $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ કોઈ પ્રશ્નો ઉભા કરતું નથી, તો ચાલો આગળ વધીએ. જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય, તો કૃપા કરીને નોંધને વિસ્તૃત કરો.

અમને રૂપાંતરિત રકમ કેવી રીતે મળી? બતાવો\ છુપાવો

અમારી પાસે શ્રેણી હતી $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. ચાલો $k+1$ ને બદલે એક નવું ચલ રજૂ કરીએ - ઉદાહરણ તરીકે, $t$. તેથી $t=k+1$.

જૂનું ચલ $k$ કેવી રીતે બદલાયું? અને તે 1 થી $n$ માં બદલાઈ ગયું. ચાલો જાણીએ કે નવું ચલ $t$ કેવી રીતે બદલાશે. જો $k=1$, તો $t=1+1=2$. જો $k=n$, તો $t=n+1$. તેથી, $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ હવે બને છે: $\sum\limits_(t=2)^(n) +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2t+1). $$

અમારી પાસે $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ છે. પ્રશ્ન: આ રકમમાં કયો અક્ષર વપરાયો છે તેનાથી કોઈ ફરક પડે છે? :) ફક્ત $t$ ને બદલે $k$ લખવાથી અમને નીચે મુજબ મળે છે:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1). $$

આ રીતે આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

આમ, આંશિક રકમ નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\સમ\મર્યાદા_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

નોંધ કરો કે સરવાળો $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ અને $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ માત્ર સમીકરણ મર્યાદામાં અલગ પડે છે. ચાલો આ મર્યાદાઓ સમાન બનાવીએ. સરવાળો $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$માંથી પ્રથમ તત્વ “લેવું” આપણી પાસે હશે:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

સરવાળા $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$માંથી છેલ્લું તત્વ “લેવું”, અમને મળે છે:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3 ).$$

પછી આંશિક રકમ માટેની અભિવ્યક્તિ ફોર્મ લેશે:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k) +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

જો તમે તમામ સ્પષ્ટતાઓને છોડી દો છો, તો પછી nમી આંશિક રકમ માટે ટૂંકું સૂત્ર શોધવાની પ્રક્રિયા નીચેનું સ્વરૂપ લેશે:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\જમણે)=\\ =\sum\limits_(k) =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે અમે $\frac(1)(2k+3)$ ને $\frac(1)(2k+1)$ માં ઘટાડી દીધું છે. અલબત્ત, તમે વિપરીત કરી શકો છો, એટલે કે. અપૂર્ણાંક $\frac(1)(2k+1)$ ને $\frac(1)(2k+3)$ તરીકે રજૂ કરો. આંશિક રકમ માટે અંતિમ અભિવ્યક્તિ બદલાશે નહીં. આ કિસ્સામાં, હું એક નોંધ હેઠળ આંશિક રકમ શોધવાની પ્રક્રિયાને છુપાવીશ.

જો બીજા અપૂર્ણાંકમાં કન્વર્ટ કરવામાં આવે તો $S_n$ કેવી રીતે શોધવું? બતાવો\ છુપાવો

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\સમ\મર્યાદા_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\જમણે) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3 ). $$

તેથી, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$ મર્યાદા શોધો:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\જમણે)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

આપેલ શ્રેણી કન્વર્જ થાય છે અને તેનો સરવાળો $S=\frac(1)(3)$.

જવાબ આપો: $S=\frac(1)(3)$.

શ્રેણીનો સરવાળો શોધવાના વિષયને ચાલુ રાખવાની ચર્ચા બીજા અને ત્રીજા ભાગમાં કરવામાં આવશે.

ક્રમમાં શ્રેણીના સરવાળાની ગણતરી કરો, તમારે ફક્ત પંક્તિના ઘટકો ઉમેરવાની જરૂર છે, ઉલ્લેખિત જથ્થોએકવાર ઉદાહરણ તરીકે:

ઉપરના ઉદાહરણમાં, આ ખૂબ જ સરળ રીતે કરવામાં આવ્યું હતું, કારણ કે તેને મર્યાદિત સંખ્યામાં વખત સમાવવાનું હતું. પરંતુ જો સમીકરણની ઉપલી મર્યાદા અનંત હોય તો શું? ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે નીચેની શ્રેણીનો સરવાળો શોધવાની જરૂર હોય તો:

અગાઉના ઉદાહરણ સાથે સામ્યતા દ્વારા, આપણે આ રકમ આ રીતે લખી શકીએ છીએ:

પણ આગળ શું કરવું ?! આ તબક્કે ખ્યાલ રજૂ કરવો જરૂરી છે શ્રેણીનો આંશિક સરવાળો. તેથી, શ્રેણીનો આંશિક સરવાળો(S n સૂચવવામાં આવે છે) એ શ્રેણીની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો છે. તે. અમારા કિસ્સામાં:

પછી મૂળ શ્રેણીના સરવાળાને આંશિક રકમની મર્યાદા તરીકે ગણી શકાય:

આમ, માટે શ્રેણીના સરવાળાની ગણતરી, શ્રેણીના આંશિક સરવાળા (S n ) માટે કોઈક રીતે અભિવ્યક્તિ શોધવી જરૂરી છે. અમારા ચોક્કસ કિસ્સામાં, શ્રેણી એ 1/3 ના છેદ સાથે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ છે. જેમ તમે જાણો છો, ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ n તત્વોના સરવાળાની ગણતરી સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે:

અહીં b 1 એ ભૌમિતિક પ્રગતિનું પ્રથમ તત્વ છે (અમારા કિસ્સામાં તે 1 છે) અને q એ પ્રગતિનો છેદ છે (અમારા કિસ્સામાં 1/3). તેથી, અમારી શ્રેણી માટે આંશિક રકમ S n બરાબર છે:

પછી ઉપર આપેલ વ્યાખ્યા મુજબ અમારી શ્રેણી (S) નો સરવાળો બરાબર છે:

ઉપર ચર્ચા કરેલ ઉદાહરણો એકદમ સરળ છે. સામાન્ય રીતે, શ્રેણીના સરવાળાની ગણતરી કરવી વધુ મુશ્કેલ છે અને સૌથી મોટી મુશ્કેલી શ્રેણીના આંશિક સરવાળાને શોધવામાં રહે છે. નીચે દર્શાવવામાં આવ્યું છે ઓનલાઈન કેલ્ક્યુલેટર, વોલ્ફ્રામ આલ્ફા સિસ્ટમ પર આધારિત, તમને એકદમ જટિલ શ્રેણીના સરવાળાની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. તદુપરાંત, જો કેલ્ક્યુલેટર શ્રેણીનો સરવાળો શોધી શક્યું નથી, તો સંભવ છે કે શ્રેણી અલગ છે (જે કિસ્સામાં કેલ્ક્યુલેટર "સમ વિચલિત" જેવો સંદેશ પ્રદર્શિત કરે છે), એટલે કે. આ કેલ્ક્યુલેટરશ્રેણીના કન્વર્જન્સનો વિચાર મેળવવામાં પણ પરોક્ષ રીતે મદદ કરે છે.

તમારી શ્રેણીનો સરવાળો શોધવા માટે, તમારે સૂચવવું આવશ્યક છે શ્રેણી ચલ, નીચું અને ઉપલી મર્યાદાસમીકરણ, તેમજ શ્રેણીના nમા શબ્દ માટે અભિવ્યક્તિ (એટલે ​​​​કે, શ્રેણી માટે જ વાસ્તવિક અભિવ્યક્તિ).

શ્રેણી, ગણિતમાં

1. વ્યાખ્યાઓ. R. કેટલાક કાયદા અનુસાર બનેલા તત્વોનો ક્રમ છે. જો કોઈ સૂત્ર આપવામાં આવે છે, તો આનો અર્થ એ છે કે એક કાયદો નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યો છે જેની મદદથી તે તત્વોના ગુણધર્મો, સંખ્યાઓના સૂત્રો, કાર્યોના સૂત્રોના આધારે સૂત્રના ઇચ્છિત ઘટકોની રચના શક્ય છે , અને ક્રિયાઓના સૂત્રોને અલગ પાડવામાં આવે છે. ચાલો થોડા ઉદાહરણો આપીએ.

1, 2, 3, 4,..., n,...

R. કુદરતી સંખ્યાઓ છે;

1, 4, 9, 16,..., n 2 ...

આર. ચોરસ;

a 0, a 1 x, a 2 a 2,..., a n x n,...

આર. પાવર કાર્યોઅથવા પાવર આર.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

ગણતરી કરવા માટે સંખ્યાત્મક મૂલ્યઅમુક અભિવ્યક્તિ આર. ક્રિયાઓ કરવી જોઈએ. દા.ત.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

આર. ક્રિયાઓની મદદથી એક શોધે છે સૌથી મોટો વિભાજકઆપેલ બે નંબરો.

આર. u 0 , u 1 , u 2 ,... u n...

નામ અનંતજો કોઈપણ તત્વ પછી u k ત્યાં એક તત્વ છે u k+1 ; નહિંતર, આર કહેવાય છે. અંતિમદા.ત.

1. 2, 3,... 9, 10

અંતિમ R છે. કારણ કે તત્વ 10 પછી કોઈ તત્વો નથી.

2. શ્રેણી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ સંખ્યા.

ખાસ મહત્વ એ ફોર્મની અનંત શ્રેણી છે

(1)... એ 1 /10, એ 2 /10 2 , ... અને એન/10n,...,

જ્યાં એ 1 , એ 2 , એ 3 , ... અને એન,... હકારાત્મક પૂર્ણાંકો, a 0 તમને ગમે તેટલું મોટું; દરેક અન્ય સંખ્યાઓ એ 1 , એ 2 , એ 3 , ... 10 થી ઓછી. આવી શ્રેણીને સંખ્યા કહી શકાય, કારણ કે આ શ્રેણીની તર્કસંગત સંખ્યાઓ (જુઓ) સાથે તુલના કરવી શક્ય છે, સમાનતા, સરવાળો, ઉત્પાદન, તફાવત અને આવા ભાગની વિભાવનાઓ સ્થાપિત કરવી શક્ય છે. શ્રેણી

સંક્ષિપ્તતા માટે, અમે R. (1) ને એક અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ એ.

તેઓ કહે છે કે અને વધુતર્કસંગત સંખ્યા પી/q, જો પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા માટે nઅસમાનતા છે

એ 0 + એ 1 /10 + એ 2 /10 2 +... + એ n /10 n > પી/q

જો કોઈ પણ સંજોગોમાં n

એ 0 + એ 1 /10 + એ 2 /10 2 +... + એ n /10 n નથી > પી/q

પરંતુ જ્યારે પર્યાપ્ત મોટા n

એ 0 + એ 1 /10 + એ 2 /10 2 +... + એ n /10 n > આર/s

જ્યાં r/sકરતાં ઓછી મનસ્વી સંખ્યા પી/q, પછી તેઓ ધ્યાનમાં લે છે અને p ની બરાબર/q.

આ આધારે આર.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

એક સમાન. આ સમાનતા નીચે મુજબ સૂચવવામાં આવે છે: 0, 999... = 1.

જો એ 9 ની બરાબર નથી, પરંતુ બધી અનુગામી સંખ્યાઓ

a k +1 , a k +2 , a k+3,... 9 બરાબર છે, પછી સંખ્યા એ, R. (1) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત, બરાબર છે

એ 0 + એ 1 /10 + એ 2 /10 2 +... + (એ k + 1)/10 k .

જો બધા નંબરો નહીં એ k+1 , એ k+2 , એ k+3 ... 9 ની બરાબર, પછી

એ = એ 0 + એ 1 /10 + એ 2 /10 2 +... + એ k /10 k

એવું બની શકે છે કે શ્રેણીના તમામ ઘટકો (1), થી શરૂ થાય છે એ k+1 , શૂન્ય સમાન છે. આ કિસ્સામાં, જણાવેલ વ્યાખ્યા અનુસાર

એ a 0 + એ 1 /10 + એ 2 /10 2 +... + (એ k +1)/10 k

આ પ્રકારની સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક.

અંકગણિતમાંથી તે જાણીતું છે કે જ્યારે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે ત્યારે તે બહાર આવે છે અંતિમ અપૂર્ણાંકઅથવા અનંત સામયિક. કોઈપણ સામયિક દશાંશમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. તે અનુસરે છે કે અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક બરાબર ન હોઈ શકે તર્કસંગત સંખ્યાઅને તેથી સંખ્યાબંધ વિશિષ્ટ પ્રકારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જેને કહેવાય છે અતાર્કિક(સે.મી.).

3. શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ અને ડાયવર્જન્સ. R. સંખ્યાઓ

(2)... u 0 , u 1 , u 2 ,... u એન,...

કહેવાય છે કન્વર્જન્ટ,જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે એ(તર્કસંગત અથવા અતાર્કિક), કે જ્યારે વધે છે nતફાવતનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય

એ - (u 0 + u 1 + u 2 +... યુ એન- 1)

બને છે અને ઇચ્છિત તરીકે નાનું રહે છે. આવી સંખ્યા aકહેવાય છે રકમઆર. આ કિસ્સામાં તેઓ લખે છે

(3)... એ = u 0 + u 1 + u 2 +...

અને આ સમાનતા કહેવાય છે. વિઘટનસંખ્યાઓ a to infinite R. જો આવી સંખ્યા એઅસ્તિત્વમાં નથી, તો R. (2) કહેવાય છે. અલગ

કન્વર્જન્ટ ક્રમનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણ ભૌમિતિક પ્રગતિ (જુઓ) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

1, q, q 2 ,...,

જેનો છેદ qદ્વારા સંખ્યાત્મક મૂલ્યએક કરતાં ઓછું. આ કિસ્સામાં, વિઘટન થાય છે

1/(1 - q) = 1 + q + q 2 +...

ભિન્ન R.નું ઉદાહરણ છે

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

કોઈ અર્થ નથી.

જો આપણે હાર્મોનિક સમીકરણની શરતોને + અને - ચિહ્નો સાથે લઈએ, તો આપણે કન્વર્જન્ટ સમીકરણ મેળવીએ છીએ

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

આધાર તરીકે લેવાયેલ 2 ના લઘુગણકની બરાબર ઇ(સે.મી.).

કન્વર્જન્સના ચિહ્નોને વિગતવાર રજૂ કરવામાં સમર્થ થયા વિના, અમે ફક્ત નીચેના પ્રમેયને નોંધીએ છીએ.

આપેલ R. કન્વર્જન્ટ છે જો તેના સભ્યોના મોડ્યુલો (જુઓ) નો R. કન્વર્જન્ટ હોય.

આર. વિ 0 , -વિ 1 , વિ 2 , -વી 3 ...,

જેમાં સંખ્યાઓ વિ 0 , વી 1 , વિ 2 , વી 3 ... હકારાત્મક, કન્વર્જન્ટ, જો વધતી વખતે n

લિમ વિ એન = 0.

હકારાત્મક સભ્યો સાથે આર

u 0 , u 1 , u 2 ,..., u એન,...

કન્વર્જન્ટ જો

લિમ(u એન + 1)/u એન

લિમ(u એન + 1)/u એન > 1

જો હકારાત્મક શરતો સાથે આર માટે

પરંતુ, અને 0 , અને 1 , u 2 , .., અને એન...

વલણ

લિમ(u એન + 1)/u એન = 1 - આર/n+θ (n) /nα,

જ્યાં આરપર આધાર રાખશો નહીં n, α > 1 અને θ ( n) સંખ્યાત્મક મૂલ્યમાં ચોક્કસ કરતાં સતત ઓછું રહે છે હકારાત્મક સંખ્યા, પછી R. ખાતે કન્વર્જ થાય છે આર> 1 અને r કરતાં ઓછા અથવા = 1 માટે અલગ-અલગ (ટેનરી, "ઇન્ટ્રોડક્શન à લા થિયરી ડેસ ફૉનક્શન્સ d"une વેરીએબલ", p. 84).

4. શરતી અને સંપૂર્ણ કન્વર્જન્સ.જો આર. (4) વિ 0 , વિ 1 , વિ 2 ,... vn,...

કન્વર્જન્ટ, પરંતુ તેના સભ્યોના મોડ્યુલીનો આર. અલગ છે, તો તેઓ કહે છે કે આર. (4) શરતી રીતે કન્વર્જન્ટ.દા.ત.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

આર. કહેવાય છે એકદમ કન્વર્જન્ટ,જો તેના સભ્યોની R. મોડ્યુલી કન્વર્જન્ટ હોય.

શરતી કન્વર્જન્ટ સમીકરણનો સરવાળો તેની શરતોના ક્રમ સાથે બદલાય છે. દા.ત.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

પરંતુ 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 લોગ 2.

એકદમ કન્વર્જન્ટ સમીકરણનો સરવાળો તેની શરતોના ક્રમ પર આધાર રાખતો નથી.

જો નંબરો એઅને bએકદમ કન્વર્જન્ટ R માં વિઘટન કરો.

એ = a 0 + a 1 + a 2 +.....,

b = b 0 + b 1 + b 2 +..... .,

a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0 ,...

એકદમ કન્વર્જન્ટ અને વધુમાં,

a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) + (a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0) +... = ab.

5. યુનિફોર્મ કન્વર્જન્સ. ધારો કે R આપવામાં આવે છે.

(5)... f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x), ..., fn(x), ...

જેના સભ્યો એક ચલના કાર્યો છે x, જે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક (જુઓ) બંને મૂલ્યો લઈ શકે છે. મૂલ્યોનો સમૂહ X,જેના માટે આ આર. કન્વર્જન્ટ છે, કહેવાતા રચે છે સંકલન વિસ્તાર.

આર. 1, X, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

માત્ર પર કન્વર્જન્ટ x = 0.

આર. 1, X, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

કોઈપણ માટે અલગ એક્સ.

આર. 1, X/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

મેળાવડા કોઈપણ મૂલ્ય માટે એક્સ.જો પાવર R. α 0, α 1 x,α 2 x 2 ,...

મેળાવડા અમુક કિંમતે X,નથી શૂન્ય બરાબર, પછી આ આર. સભા. અને દરેક કિસ્સામાં x, જેનું મોડ્યુલસ ચોક્કસ સંખ્યા કરતા ઓછું છે આર. જો તમે ઉપયોગ કરો છો ભૌમિતિક રજૂઆતકાલ્પનિક જથ્થાઓ (જુઓ), તો પછી આપણે કહી શકીએ કે આ R ના સંપાતનો પ્રદેશ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ છે આર.

એક ઉદાહરણ ભૌમિતિક પ્રગતિ હશે

1, x, x 2 , x 3,...., જેની ત્રિજ્યા કન્વર્જન્સનું વર્તુળએક સમાન.

જો એક્સભેગી વિસ્તાર માટે અનુસરે છે. આર. (5), પછી કોઈપણ માટે n, અમુક સંખ્યા કરતા વધારે ટી

મોડ [ fn(x) + fn+ 1 (x) + fn+ 2 (x) +...]

બિલકુલ ટીપર આધાર રાખે છે એક્સઅને ε થી, પરંતુ કદાચ માં ખાસ કેસો, શું ટીજો કિંમતો હોય તો માત્ર ε પર આધાર રાખે છે એક્સઅમુક વિસ્તાર સાથે સંબંધ ધરાવે છે (એસ).આ કિસ્સામાં, આર. (5) કહેવાય છે. પ્રદેશમાં એકસરખું કન્વર્જન્ટ (એસ).

ઉદાહરણ તરીકે, આર ધ્યાનમાં લો.

(6)... (1 - એક્સ), એક્સ (1 - એક્સ), એક્સ 2 (1 - એક્સ)....

વાસ્તવિક સુધી મર્યાદિત અને હકારાત્મક મૂલ્યો એક્સ.

અસમાનતા રહે તે માટે

(7)... x n(1 - એક્સ) +xn+ 1 (1 - એક્સ) +... x n

તે લેવાની જરૂર છે n> લોગ ε /લોગ x

આગળ, વિચારણા હેઠળના કિસ્સામાં

ટી= લોગ ε /લોગ x

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, ટીપર આધાર રાખે છે એક્સ.ભલે ગમે તેટલું મોટું હોય m, આવા મૂલ્યો છે એક્સઅંતરાલ (0, 1) માં, તે અસમાનતા (7) કોઈપણ માટે સંતુષ્ટ થશે નહીં n,વધુ ટી.જો એક્સ= 1, પછી અસમાનતા (7) સંતુષ્ટ થાય છે જ્યારે n અથવા = 1 કરતા વધારે હોય

ચાલો માની લઈએ કે

ટી= લોગ ε /લોગ (1 - α) અને n અથવા = m કરતાં મોટો છે

ટ્રેક. આર. (6) એકસમાન વંશ. અંતરાલમાં (0, 1 - α).

જો શ્રેણીની શરતો સમાન કન્વર્જન્સના ક્ષેત્રમાં હોય

f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x)...

ના સતત કાર્યો છે x, તો પછી આ R નો સરવાળો એ સતત કાર્ય છે (જુઓ અખંડિતતા).

સમાનરૂપે ઉતરતા. R. શબ્દ દ્વારા સંકલિત અથવા ભિન્ન શબ્દ હોઈ શકે છે.

પાવર આર.

a 0 , એ 1 x, a 2 એક્સ 2 ...

કન્વર્જન્સના વર્તુળમાં એકસમાન કન્વર્જન્સ હોય છે.

6. શ્રેણીમાં કાર્યોનું વિસ્તરણ.આગળ આપણે ધારીશું કે સ્વતંત્ર ચલ વાસ્તવિક છે. મેકલોરિન ફોર્મ્યુલા (જુઓ) નો ઉપયોગ કરીને, નીચેના વિસ્તરણ પ્રાપ્ત થાય છે:

(આ સૂત્રો કોઈપણ માટે માન્ય છે x).

ગણતરી કરવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર (9) નો ઉપયોગ કરીને cos 2° ને બદલે x 2 ડિગ્રી ધરાવતા ચાપની લંબાઈના ત્રિજ્યાના ગુણોત્તરને બદલો.

સ્વરૂપે. (11) લઘુગણક આધાર પર લેવામાં આવે છે ઇ. આ ફોર્મ. લઘુગણકની ગણતરી કરવા માટે અસુવિધાજનક છે, કારણ કે થોડી સચોટતા મેળવવા માટે ઘણી બધી R શરતો લેવી જરૂરી છે. સૂત્ર 13 એ ગણતરી માટે વધુ અનુકૂળ છે, જે સૂત્ર (11) પરથી ઉતરી આવ્યું છે.

(1 + એક્સ)/(1 - એક્સ) = (a + z)/z

ફંક્શન લોગના વિસ્તરણમાં (1 + x) - લોગ(l - x).

માનતા એ = 1, z= 1, લોગ2 શોધો;

" એ = 1, z= 1,"લોગ5;

a + z = 3 4 , એ= 80,"લોગ3;

એ + z = 7 4 , એ= 2400,"લોગ7;

મળીને ગુણાકાર કરીને કુદરતી લઘુગણકઆ નંબરો ચાલુ છે

M= 1/log10 = 0.43429 44819 03251 82765...,

આપણે સમાન સંખ્યાઓના સામાન્ય લઘુગણક (આધાર 10) મેળવીએ છીએ (જુઓ).

ફોર્મ. (12) માટે માન્ય છે એક્સ= 1 જો m> -1, અને ક્યારે x= -1 જો m> 0 (અબેલ, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245).

ડાયરેક્ટ ડિવિઝનનો ઉપયોગ કરીને, તેઓ પાવર R માં વિઘટિત થાય છે. તર્કસંગત કાર્યો. તમે આ હેતુ માટે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો અનિશ્ચિત ગુણાંક. ઉદાહરણ તરીકે, ધારી રહ્યા છીએ.

1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +...,

y 0 = 1, y 1 + 2y 0 = 0, y 2 + 2y 1 + 5y 0 = 0,

y 3 + 2y 2 + 5 ખાતે 1 + 3 ખાતે 0 = 0,

y 4 + 2y 3 + 5 ખાતે 2 + 3 ખાતે 1 = 0, વગેરે.

R. ગુણાંક y 0, ખાતે 1 , y 2 ... એ ગુણધર્મ ધરાવે છે જે સતત ચાર ગુણાંક ધરાવે છે. સંબંધ દ્વારા સંબંધિત y n +3 + 2y n +2 + 5 y n +1 + 3 y n = 0.

આ પ્રકારની R. કહેવાય છે. પરત કરી શકાય તેવુંલેખિત સમીકરણોમાંથી, y 0 ક્રમિક રીતે નક્કી થાય છે, ખાતે 1, વાય 2 ...

R. માં આ કાર્યનું વિસ્તરણ ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે અભિન્ન કલન, જો ડેરિવેટિવના R. માં વિસ્તરણ જાણીતું હોય. આ રીતે આપણે વિઘટન મેળવીએ છીએ

(14)... ચાપ tg x = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... ચાપપાપ એક્સ = x/1 + 1/2(x 3/3) + (1.2/2.4)(x 5/5) +...

મૂલ્યો માટે માન્ય X,શરતો સંતોષે છે

R. (14) મશીનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને

π /4 = 4 ચાપ tg(1/5) - ચાપ tg(1/239)

π સાથે ખૂબ જ ઝડપથી ગણતરી કરવાનું શક્ય બનાવે છે મોટી સંખ્યામાંદશાંશ સ્થાનો. આમ શેન્ક્સે 707 થી π ની ગણતરી કરી દશાંશ. ત્રિકોણમિતિ ફંક્શન્સમાં ફંક્શનનું વિસ્તરણ અને લંબગોળ ફંક્શન્સનું વિસ્તરણ પછીથી રજૂ કરવામાં આવશે.

જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશએફ. Brockhaus અને I.A. એફ્રોન. - S.-Pb.: Brockhaus-Efron. 1890-1907 .

અન્ય શબ્દકોશોમાં "ગણિતમાં શ્રેણી" શું છે તે જુઓ:

SERIES, એક અનંત શ્રેણી, જેની અભિવ્યક્તિ a1, a2,..., an,... સંખ્યાઓ છે ( સંખ્યા શ્રેણી) અથવા કાર્યો (કાર્યકારી શ્રેણી). જો શ્રેણીની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો ( ખાનગી રકમ): Sn= a1+ a2+ ... + a n માં અમર્યાદિત વધારા સાથે... ... જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

સામગ્રી. 1) વ્યાખ્યા. 2) શ્રેણી દ્વારા નિર્ધારિત સંખ્યા. 3) શ્રેણીનું કન્વર્જન્સ અને ડાયવર્જન્સ. 4) શરતી અને સંપૂર્ણ કન્વર્જન્સ. 5) એકસમાન કન્વર્જન્સ. 6) શ્રેણીમાં કાર્યોનું વિસ્તરણ. 1. વ્યાખ્યાઓ. R. તત્વોનો ક્રમ છે... ... જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ F.A. Brockhaus અને I.A. એફ્રોન

ઘણા અર્થો ધરાવે છે: શ્રેણી એ સજાતીયનો સંગ્રહ છે, સમાન વસ્તુઓ, એક લાઇનમાં સ્થિત છે. શ્રેણી એ એક પછી એક પછીની કેટલીક ઘટનાઓનો સંગ્રહ છે ચોક્કસ ક્રમમાં. કેટલાકની સંખ્યા, નોંધપાત્ર સંખ્યા, ઉદાહરણ તરીકે "સંખ્યક દેશો" ... વિકિપીડિયા

શ્રેણી, અનંત રકમ, ઉદાહરણ તરીકે ફોર્મ u1 + u2 + u3 +... + un +... અથવા ટૂંકમાં, . (1) આર.ના સૌથી સરળ ઉદાહરણોમાંથી એક, જે પહેલાથી જ મળી આવે છે પ્રાથમિક ગણિત, એ અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો છે 1 + q + q 2 +... + q... ... ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

પાવર ફંક્શન્સના અનંત સરવાળામાં ફંક્શનનું ટેલર સીરિઝનું વિસ્તરણ. આ શ્રેણીનું નામ અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી બ્રુક ટેલરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જોકે ટેલર શ્રેણી ટેલરના પ્રકાશનોના ઘણા સમય પહેલા જાણીતી હતી, તેનો ઉપયોગ 17મી સદીમાં ગ્રેગરી દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો, અને ... ... વિકિપીડિયા

પાવર ફંક્શન્સના અનંત સરવાળામાં ફંક્શનનું ટેલર સીરિઝનું વિસ્તરણ. આ શ્રેણીનું નામ અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી ટેલરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જોકે ટેલર શ્રેણી ટેલરના પ્રકાશનોના ઘણા સમય પહેલા જાણીતી હતી તેનો ઉપયોગ 17મી સદીમાં ગ્રેગરી અને ન્યૂટન દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. પંક્તિઓ... ... વિકિપીડિયા

પાવર ફંક્શન્સના અનંત સરવાળામાં ફંક્શનનું વિસ્તરણ. આ શ્રેણીનું નામ અંગ્રેજી ગણિતશાસ્ત્રી ટેલરના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જોકે ટેલર શ્રેણી ટેલરના પ્રકાશનોના ઘણા સમય પહેલા જાણીતી હતી તેનો ઉપયોગ 17મી સદીમાં ગ્રેગરી અને ન્યૂટન દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. ટેલર શ્રેણી... ... વિકિપીડિયા

Möbius શ્રેણી સ્વરૂપની કાર્યાત્મક શ્રેણી છે આ શ્રેણીનો Möbius દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો, જેમણે આ શ્રેણી માટે એક વ્યુત્ક્રમ સૂત્ર શોધી કાઢ્યું હતું: Möbius કાર્ય ક્યાં છે ... વિકિપીડિયા

હું 1. સંપૂર્ણતા સજાતીય વસ્તુઓ, એક લાઇનમાં સ્થિત છે. ઓટ. એક લીટીમાં લાઇન અપ; રેખા 2. થિયેટર, સિનેમા વગેરેમાં બેઠકનો રેખીય ક્રમ. ઓટ. આવી જગ્યાઓ પર કબજો કરનાર વ્યક્તિઓ. 3. એક લાઇનમાં સ્થિત સ્ટોલ... આધુનિક સમજૂતીત્મક શબ્દકોશરશિયન ભાષા એફ્રેમોવા

પુસ્તકો

• નિરીક્ષક ગણિત અને ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ, સાપેક્ષતા અને શાસ્ત્રીય ગણિતમાં તેની એપ્લિકેશન, બી.એસ. હોટ્સ, ડી.બી. હોટ્સ. આ પુસ્તક નિરીક્ષકોના ગણિત (લેખકનું શીર્ષક ઓબ્ઝર્વર્સ મેથેમેટિક્સ) સંબંધિત લેખકોના પરિણામો રજૂ કરે છે. આ ગણિત સૌપ્રથમ લેખકો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, તેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો...