એક ચલ વડે રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા. સમીકરણોના પ્રકારો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

નિયમ પ્રમાણે, સમીકરણોસમસ્યાઓમાં દેખાય છે જેમાં તમારે ચોક્કસ જથ્થો શોધવાની જરૂર છે. સમીકરણ તમને બીજગણિતની ભાષામાં સમસ્યા ઘડવાની મંજૂરી આપે છે. સમીકરણ હલ કર્યા પછી, આપણે ઇચ્છિત જથ્થાનું મૂલ્ય મેળવીએ છીએ, જેને અજ્ઞાત કહેવામાં આવે છે. “એન્ડ્રેના વૉલેટમાં ઘણા રુબેલ્સ છે. જો તમે આ સંખ્યાને 2 વડે ગુણાકાર કરો અને પછી 5 બાદ કરો, તો તમને 10 મળશે. એન્ડ્રી પાસે કેટલા પૈસા છે?" ચાલો પૈસાની અજાણી રકમને x તરીકે નિયુક્ત કરીએ અને સમીકરણ લખીએ: 2x-5=10.

વિશે વાત કરવી સમીકરણો હલ કરવાની રીતો, પ્રથમ તમારે મૂળભૂત ખ્યાલોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની અને સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત સંકેતોથી પરિચિત થવાની જરૂર છે. માટે વિવિધ પ્રકારોસમીકરણો, તેમને ઉકેલવા માટે વિવિધ અલ્ગોરિધમ્સ છે. સમીકરણો ઉકેલવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ એક અજાણ્યા સાથે પ્રથમ ડિગ્રીનો છે. ઘણા લોકો શાળામાંથી ચતુર્ભુજ સમીકરણો ઉકેલવાના સૂત્રથી પરિચિત છે. તકનીકો ઉચ્ચ ગણિતસમીકરણોને વધુ ઉકેલવામાં મદદ કરશે ઉચ્ચ ક્રમ. સંખ્યાઓનો સમૂહ કે જેના પર સમીકરણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે તેના ઉકેલો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. સમીકરણો અને કાર્ય આલેખ વચ્ચેનો સંબંધ પણ રસપ્રદ છે, કારણ કે સમીકરણોને ગ્રાફિકલી રજૂ કરવું એ તેમને ઉકેલવામાં મોટી મદદ છે.

વર્ણન. સમીકરણ એ એક અથવા વધુ અજાણ્યા જથ્થાઓ સાથેની ગાણિતિક સમાનતા છે, ઉદાહરણ તરીકે 2x+3y=0.

સમાન ચિહ્નની બંને બાજુના અભિવ્યક્તિઓ કહેવામાં આવે છે ડાબે અને જમણી બાજુઓસમીકરણો. પત્રો લેટિન મૂળાક્ષરોઅજ્ઞાત દર્શાવેલ છે. જો કે અજ્ઞાત સંખ્યાઓ હોઈ શકે છે, નીચે આપણે ફક્ત એક અજાણ્યા સમીકરણો વિશે વાત કરીશું, જેને આપણે x દ્વારા સૂચિત કરીશું.

સમીકરણની ડિગ્રી- આ મહત્તમ ડિગ્રી, જેમાં અજ્ઞાત ઉભા થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,
$3x^4+6x-1=0$ એ ચોથી ડિગ્રીનું સમીકરણ છે, $x-4x^2+6x=8$ એ બીજી ડિગ્રીનું સમીકરણ છે.

જે સંખ્યાઓ દ્વારા અજાણ્યાનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે ગુણાંક. અગાઉના ઉદાહરણમાં, ચોથા ઘાત માટે અજાણ્યા 3 નો ગુણાંક ધરાવે છે. જો, આ સંખ્યા સાથે x ને બદલતી વખતે, આપેલ સમાનતા સંતુષ્ટ થાય, તો આ સંખ્યા સમીકરણને સંતોષે તેવું કહેવાય છે. તે કહેવાય છે સમીકરણ ઉકેલવું, અથવા તેના મૂળ. ઉદાહરણ તરીકે, 3 એ 2x+8=14 સમીકરણનું મૂળ અથવા ઉકેલ છે, કારણ કે 2*3+8=6+8=14.

સમીકરણો ઉકેલવા. ચાલો કહીએ કે આપણે સમીકરણ 2x+5=11 હલ કરવા માંગીએ છીએ.

તમે તેમાં અમુક મૂલ્ય x બદલી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે x=2. x ને 2 થી બદલો અને મેળવો: 2*2+5=4+5=9.

અહીં કંઈક ખોટું છે કારણ કે સમીકરણની જમણી બાજુએ આપણે 11 મેળવવું જોઈએ. ચાલો પ્રયાસ કરીએ x=3: 2*3+5=6+5=11.

જવાબ સાચો છે. તે તારણ આપે છે કે જો અજ્ઞાત મૂલ્ય 3 લે છે, તો પછી સમાનતા સંતુષ્ટ છે. તેથી, અમે બતાવ્યું છે કે નંબર 3 એ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે આપણે જે પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો તેને કહેવાય છે પસંદગી પદ્ધતિ. દેખીતી રીતે તેનો ઉપયોગ કરવો અસુવિધાજનક છે. તદુપરાંત, તેને પદ્ધતિ પણ કહી શકાય નહીં. આને ચકાસવા માટે, તેને $x^4-5x^2+16=2365$ ફોર્મના સમીકરણ પર લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરો.

ઉકેલ પદ્ધતિઓ. ત્યાં કહેવાતા "રમતના નિયમો" છે જે તમારી જાતને પરિચિત કરવા માટે ઉપયોગી થશે. અમારો ધ્યેય અજ્ઞાતનું મૂલ્ય નક્કી કરવાનું છે જે સમીકરણને સંતોષે છે. તેથી, અજાણ્યાને અમુક રીતે ઓળખવા જરૂરી છે. આ કરવા માટે, સમીકરણની શરતોને એક ભાગથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવી જરૂરી છે. સમીકરણો ઉકેલવાનો પ્રથમ નિયમ છે...

1. સમીકરણના સભ્યને એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં ખસેડતી વખતે, તેની નિશાની વિરુદ્ધમાં બદલાય છે: વત્તા બાદબાકીમાં અને ઊલટું બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે 2x+5=11 સમીકરણને ધ્યાનમાં લો. ચાલો 5 ને ડાબી બાજુથી જમણી તરફ લઈ જઈએ: 2x=11-5. સમીકરણ 2x=6 બનશે.

ચાલો બીજા નિયમ તરફ આગળ વધીએ.
2. સમીકરણની બંને બાજુઓને શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી સંખ્યા વડે ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરી શકાય છે. ચાલો આ નિયમને આપણા સમીકરણમાં લાગુ કરીએ: $x=\frac62=3$. સમાનતાની ડાબી બાજુએ, ફક્ત અજ્ઞાત x જ રહ્યો, તેથી, અમે તેનું મૂલ્ય શોધી કાઢ્યું અને સમીકરણ હલ કર્યું.

અમે હમણાં જ સૌથી સરળ સમસ્યા જોઈ છે - એક અજ્ઞાત સાથે રેખીય સમીકરણ. આ પ્રકારના સમીકરણોમાં હંમેશા ઉકેલ હોય છે, વધુમાં, તેઓ હંમેશા સરળ કામગીરીનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે: સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર. અરે, બધા સમીકરણો એટલા સરળ નથી હોતા. તદુપરાંત, તેમની જટિલતાની ડિગ્રી ખૂબ જ ઝડપથી વધે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બીજી ડિગ્રીના સમીકરણો કોઈપણ વિદ્યાર્થી સરળતાથી ઉકેલી શકે છે ઉચ્ચ શાળા, પરંતુ સિસ્ટમોને હલ કરવાની રીતો રેખીય સમીકરણોઅથવા ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણોનો અભ્યાસ માત્ર હાઈસ્કૂલમાં જ થાય છે.

સામાન્ય મંત્રાલય અને વ્યાવસાયિક શિક્ષણઆરએફ

મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા

જિમ્નેશિયમ નંબર 12

રચના

વિષય પર: સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ

આના દ્વારા પૂર્ણ: ધોરણ 10 "A" ના વિદ્યાર્થી

ક્રુત્કો એવજેની

દ્વારા ચકાસાયેલ: ગણિતના શિક્ષક ઇસ્ખાકોવા ગુલસુમ અક્રમોવના

ટ્યુમેન 2001

યોજના..................................................... ................................................................ ...................................... 1

પરિચય .................................................... ........................................................ ............. ........................ 2

મુખ્ય ભાગ................................................ ................................................... ........................ 3

નિષ્કર્ષ ................................................... ................................................................ ...... ............... 25

અરજી................................................ ................................................................ ...................... 26

વપરાયેલ સાહિત્યની યાદી................................................ ........................................... 29

યોજના.

પરિચય.

ઐતિહાસિક માહિતી.

સમીકરણો. બીજગણિત સમીકરણો.

એ) મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ.

b) રેખીય સમીકરણ અને તેને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ.

c) ચતુર્ભુજ સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

d) દ્વિપદી સમીકરણો અને તેમને કેવી રીતે ઉકેલવા.

e) ઘન સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

e) Bi ચતુર્ભુજ સમીકરણઅને તેને હલ કરવાની રીત.

g) ચોથી ડિગ્રીના સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

g) સમીકરણો ઉચ્ચ ડિગ્રીઅને ઉકેલમાંથી પદ્ધતિઓ.

h) તર્કસંગત બીજગણિતીય સમીકરણઅને તે જે રીતે છે

i) અતાર્કિક સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

j) નિશાની હેઠળ અજાણ્યા સમીકરણો.

ચોક્કસ મૂલ્ય અને તેને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિ.

ગુણાતીત સમીકરણો.

a) ઘાતાંકીય સમીકરણો અને તેમને કેવી રીતે ઉકેલવા.

b) લઘુગણક સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ.

પરિચય

માં ગણિતનું શિક્ષણ મેળવ્યું માધ્યમિક શાળા, છે આવશ્યક ઘટક સામાન્ય શિક્ષણઅને સામાન્ય સંસ્કૃતિ આધુનિક માણસ. આધુનિક માણસની આસપાસની લગભગ દરેક વસ્તુ ગણિત સાથે જોડાયેલી છે. એ નવીનતમ સિદ્ધિઓભૌતિકશાસ્ત્ર, ટેકનોલોજી અને માહિતી ટેકનોલોજીભવિષ્યમાં પણ સ્થિતિ એવી જ રહેશે તેમાં કોઈ શંકા નથી. તેથી, ઘણા નિર્ણય વ્યવહારુ સમસ્યાઓનિર્ણય પર આવે છે વિવિધ પ્રકારોસમીકરણો કે જેને ઉકેલવા માટે તમારે શીખવાની જરૂર છે.

આ કાર્ય ઉપરોક્ત વિષય પર અભ્યાસ કરેલ સામગ્રીને સારાંશ અને વ્યવસ્થિત કરવાનો પ્રયાસ છે. મેં સામગ્રીને સરળથી શરૂ કરીને, મુશ્કેલીના ક્રમમાં ગોઠવી છે. તેમાં શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાંથી અમને જાણીતા સમીકરણોના બંને પ્રકારો અને વધારાની સામગ્રી. તે જ સમયે, મેં સમીકરણોના પ્રકારો બતાવવાનો પ્રયાસ કર્યો જેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી શાળા અભ્યાસક્રમ, પરંતુ ઉચ્ચ શિક્ષણમાં પ્રવેશ કરતી વખતે જ્ઞાનની જરૂર પડી શકે છે શૈક્ષણિક સંસ્થા. મારા કામમાં, સમીકરણો હલ કરતી વખતે, મેં મારી જાતને ફક્ત આટલા સુધી મર્યાદિત ન રાખી માન્ય ઉકેલ, પણ જટિલ સૂચવે છે, કારણ કે મને લાગે છે કે અન્યથા સમીકરણ ફક્ત વણઉકેલાયેલ છે. છેવટે, જો કોઈ સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તેની પાસે કોઈ ઉકેલો નથી. કમનસીબે, સમયના અભાવે, હું મારી પાસેની તમામ સામગ્રી રજૂ કરી શક્યો ન હતો, પરંતુ અહીં પ્રસ્તુત સામગ્રી સાથે પણ ઘણા પ્રશ્નો ઉભા થઈ શકે છે. હું આશા રાખું છું કે મારું જ્ઞાન મોટાભાગના પ્રશ્નોના જવાબ આપવા માટે પૂરતું છે. તેથી, હું સામગ્રી રજૂ કરવાનું શરૂ કરું છું.

ગણિત... ક્રમ દર્શાવે છે,

સમપ્રમાણતા અને નિશ્ચિતતા,

અને આ સૌંદર્યના સૌથી મહત્વપૂર્ણ પ્રકારો છે.

એરિસ્ટોટલ.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

તે દૂરના સમયમાં, જ્યારે ઋષિઓએ અજાણ્યા જથ્થાઓ ધરાવતી સમાનતા વિશે વિચારવાનું શરૂ કર્યું, ત્યારે કદાચ કોઈ સિક્કા અથવા પાકીટ નહોતા. પરંતુ ત્યાં ઢગલા, તેમજ પોટ્સ અને બાસ્કેટ હતા, જે સ્ટોરેજ કેશની ભૂમિકા માટે યોગ્ય હતા જે અજ્ઞાત સંખ્યામાં વસ્તુઓને પકડી શકે છે. "અમે એક ઢગલા શોધી રહ્યા છીએ જે, બે તૃતીયાંશ, સાડા અને સાતમા ભાગ સાથે મળીને 37 બનાવે છે...", ઇજિપ્તીયન લેખક અહેમસે 2જી સહસ્ત્રાબ્દી બીસીમાં શીખવ્યું. પ્રાચીનોમાં ગાણિતિક સમસ્યાઓમેસોપોટેમિયા, ભારત, ચીન, ગ્રીસ, અજાણ્યા જથ્થામાં બગીચામાં મોરની સંખ્યા, ટોળામાં બળદની સંખ્યા, મિલકતનું વિભાજન કરતી વખતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી વસ્તુઓની સંપૂર્ણતા દર્શાવવામાં આવી છે. લેખિકાઓ, અધિકારીઓ અને દીક્ષાર્થીઓ હિસાબ વિજ્ઞાનમાં સારી રીતે પ્રશિક્ષિત છે ગુપ્ત જ્ઞાનપાદરીઓએ આવા કાર્યોનો તદ્દન સફળતાપૂર્વક સામનો કર્યો.

અમારા સુધી પહોંચેલા સ્ત્રોતો સૂચવે છે કે પ્રાચીન વૈજ્ઞાનિકો પાસે કેટલાક હતા સામાન્ય તકનીકોઅજ્ઞાત જથ્થા સાથે સમસ્યાઓનું નિરાકરણ. જો કે, એક પણ પેપિરસ નહીં, એક પણ નહીં માટીની ગોળીઆ તકનીકોનું કોઈ વર્ણન આપવામાં આવ્યું નથી. લેખકો માત્ર ક્યારેક-ક્યારેક તેમની સંખ્યાત્મક ગણતરીઓ અસ્પષ્ટ ટિપ્પણીઓ સાથે પ્રદાન કરે છે જેમ કે: "જુઓ!", "આ કરો!", "તમને યોગ્ય મળ્યું." આ અર્થમાં, અપવાદ એલેક્ઝાન્ડ્રિયા (III સદી) ના ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયોફન્ટસનું "અંકગણિત" છે - તેમના ઉકેલોની વ્યવસ્થિત રજૂઆત સાથે સમીકરણો કંપોઝ કરવા માટેની સમસ્યાઓનો સંગ્રહ.

જો કે, સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પ્રથમ માર્ગદર્શિકા જે વ્યાપકપણે જાણીતી બની હતી તે 9મી સદીના બગદાદના વૈજ્ઞાનિકનું કાર્ય હતું. મુહમ્મદ બિન મુસા અલ-ખ્વારીઝમી. આ ગ્રંથના અરબી નામમાંથી "અલ-જબર" શબ્દ - "કિતાબ અલ-જાબેર વાલ-મુકાબલા" ("પુનઃસ્થાપન અને વિરોધનું પુસ્તક") - સમય જતાં જાણીતા શબ્દ "બીજગણિત"માં ફેરવાઈ ગયો, અને કાર્ય અલ-ખ્વારિઝ્મીએ પોતે સમીકરણો ઉકેલવાના વિજ્ઞાનના વિકાસમાં પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે સેવા આપી હતી.

સમીકરણો બીજગણિત સમીકરણો

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

બીજગણિતમાં, બે પ્રકારની સમાનતાઓ ગણવામાં આવે છે - ઓળખ અને સમીકરણ.

ઓળખએક સમાનતા છે જે તેમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરોના તમામ (સ્વીકાર્ય) મૂલ્યો માટે ધરાવે છે). નિશાની સાથે ઓળખ રેકોર્ડ કરવી

સમીકરણએ એક સમાનતા છે જે તેમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરોના ચોક્કસ મૂલ્યો માટે જ ધરાવે છે. સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ અક્ષરો, સમસ્યાની શરતો અનુસાર, અસમાન હોઈ શકે છે: કેટલાક તેમના તમામ સ્વીકારી શકે છે માન્ય મૂલ્યો(તેમને કહેવામાં આવે છે પરિમાણોઅથવા ગુણાંકસમીકરણો અને સામાન્ય રીતે લેટિન મૂળાક્ષરોના પ્રથમ અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

IN સામાન્ય દૃશ્યસમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે:

સંખ્યા પર આધાર રાખીને અજ્ઞાત સમીકરણએક, બે, વગેરે અજ્ઞાત સાથેનું સમીકરણ કહેવાય છે.

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને રસ હોય તો આ કામ, કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠ હેતુઓ:

શૈક્ષણિક:

• બધા પર જ્ઞાનનો સારાંશ આપો સમીકરણોના પ્રકાર, સમીકરણો ઉકેલવામાં ઉપયોગમાં લેવાતી તમામ પદ્ધતિઓના મહત્વ પર ભાર મૂકે છે.
• પાઠમાં વિવિધ તકનીકો દ્વારા વિદ્યાર્થીઓના કાર્યને વધુ તીવ્ર બનાવવું.
• સમીકરણો ઉકેલવામાં સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારુ કૌશલ્યોનું પરીક્ષણ કરો.
• એ હકીકત પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરો કે એક સમીકરણ અનેક રીતે ઉકેલી શકાય છે

શૈક્ષણિક:

• આઇસીટીના ઉપયોગ દ્વારા વિદ્યાર્થીઓનો વિષયમાં રસ વધારવો.
• વિદ્યાર્થીઓને વિષય પરની ઐતિહાસિક સામગ્રીથી પરિચિત કરો.
• વિકાસ માનસિક પ્રવૃત્તિસમીકરણનો પ્રકાર અને તેને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ નક્કી કરતી વખતે.

શૈક્ષણિક:

• વર્ગખંડમાં શિસ્ત સ્થાપિત કરો.
• પોતાની જાતમાં, અન્ય વ્યક્તિમાં અને આપણી આસપાસની દુનિયામાં સૌંદર્યને સમજવાની ક્ષમતા વિકસાવવી.

પાઠનો પ્રકાર:

• જ્ઞાનના સામાન્યીકરણ અને વ્યવસ્થિતકરણનો પાઠ.

પાઠનો પ્રકાર:

• સંયુક્ત.

સામગ્રી અને તકનીકી સાધનો:

• કોમ્પ્યુટર
• સ્ક્રીન
• પ્રોજેક્ટર
• વિષયની રજૂઆત સાથે ડિસ્ક

પદ્ધતિઓ અને તકનીકો:

• પ્રસ્તુતિનો ઉપયોગ કરીને
• આગળની વાતચીત
• મૌખિક કાર્ય
• રમત ક્ષણો
• જોડીમાં કામ કરો
• બોર્ડમાં કામ કરો
• નોટબુકમાં કામ કરો

પાઠ યોજના:

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ (1 મિનિટ)
2. પાઠના વિષયનું ડીકોડિંગ (3 મિનિટ)
3. પાઠના વિષય અને હેતુનું નિવેદન (1 મિનિટ)
4. સૈદ્ધાંતિક વોર્મ-અપ (3 મિનિટ)
5. ઐતિહાસિક પ્રવાસ (3 મિનિટ)
6. રમત "અધિક દૂર કરો" (2 મિનિટ)
7. સર્જનાત્મક કાર્ય(2 મિનિટ)
8. કાર્ય "ભૂલ શોધો" (2 મિનિટ)
9. એક સમીકરણને ઘણી રીતે ઉકેલવું (સ્લાઇડ પર) (3 મિનિટ)
10. એક સમીકરણને ઘણી રીતે ઉકેલવું (બોર્ડ પર) (24 મિનિટ)
11. જોડીમાં સ્વતંત્ર કાર્ય પછી સમજૂતી (5 મિનિટ)
12. વ્યક્તિગત હોમવર્ક (1 મિનિટ)
13. પાઠ સારાંશ પ્રતિબિંબ (1 મિનિટ)

પાઠ એપિગ્રાફ:

"તમે માત્ર આનંદ દ્વારા શીખી શકો છો, જ્ઞાનને પચાવવા માટે, તમારે તેને ભૂખ સાથે ગ્રહણ કરવાની જરૂર છે."
એ.ફ્રાન્સ

પાઠ સારાંશ

સંસ્થાકીય ભાગ

હું પાઠ માટે વિદ્યાર્થીઓની તત્પરતા તપાસું છું અને જેઓ પાઠમાં ગેરહાજર છે તેમને ચિહ્નિત કરું છું. ગાય્ઝ, 19મી સદીના ફ્રેન્ચ લેખક એ. ફ્રાન્સે એક વખત ટિપ્પણી કરી હતી, "તમે માત્ર આનંદ દ્વારા જ શીખી શકો છો, જ્ઞાનને પચાવવા માટે, તમારે તેને ભૂખ સાથે ગ્રહણ કરવાની જરૂર છે." તો ચાલો આપણા પાઠમાં લેખકની સલાહને અનુસરીએ અને જ્ઞાનને ખૂબ ભૂખથી પચાવીએ, કારણ કે તે આપણા જીવનમાં ઉપયોગી થશે.

પાઠના વિષયનું ડીકોડિંગ

વધુ જટિલ કાર્ય તરફ આગળ વધવા માટે, ચાલો આપણા મગજને સરળ કાર્યો સાથે લંબાવીએ. અમારા પાઠનો વિષય એનક્રિપ્ટ થયેલ છે, મૌખિક કાર્યોને હલ કરીને અને તેનો જવાબ શોધીને, દરેક જવાબનો પોતાનો અક્ષર છે તે જાણીને, અમે પાઠનો વિષય જાહેર કરીશું. પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 3

પાઠના વિષય અને હેતુની વાતચીત

તમે જાતે આજે પાઠના વિષયનું નામ આપ્યું છે

"સમીકરણોના પ્રકારો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ."પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 4

ધ્યેય: તમામ પ્રકારના સમીકરણો અને તેમને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ યાદ કરો અને સામાન્ય બનાવો. બધી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને એક સમીકરણ ઉકેલો. પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 5 આઇન્સ્ટાઇનનું નિવેદન વાંચો પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 5

સૈદ્ધાંતિક વોર્મ-અપ

પ્રશ્નો પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 7

જવાબો

1. સમાનતા ધરાવે છે ચલ મૂલ્ય, અમુક પત્ર દ્વારા નિયુક્ત.
2. આનો અર્થ એ છે કે તેના બધા મૂળ શોધવા, અથવા સાબિત કરવું કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.
3. ચલનું મૂલ્ય કે જેના પર સમીકરણ સાચું બને છે.
4. આ વ્યાખ્યા પછી, પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 12,13,14 વિશે એક કવિતા વાંચો

છેલ્લા 2 પ્રશ્નોના જવાબો પ્રેઝન્ટેશન સ્લાઇડ 9,10,11

ઐતિહાસિક પ્રવાસ

પ્રેઝન્ટેશન સ્લાઇડ 15 "સમીકરણની શોધ કોણે અને ક્યારે કરી" વિશે ઐતિહાસિક માહિતી

ચાલો કલ્પના કરીએ કે એક આદિમ માતા નામનું ... જો કે, તેણીનું કદાચ નામ પણ ન હતું, તેણીએ તેના 4 બાળકોને આપવા માટે એક ઝાડમાંથી 12 સફરજન ચૂંટ્યા. તેણી કદાચ માત્ર 12 જ નહીં, પણ ચારની ગણતરી કેવી રીતે કરવી તે જાણતી ન હતી, અને ચોક્કસપણે તે જાણતી ન હતી કે 12 ને 4 વડે કેવી રીતે વિભાજિત કરવું. અને તેણે કદાચ આ રીતે સફરજન વિભાજિત કર્યા: પહેલા તેણીએ દરેક બાળકને એક સફરજન આપ્યું, પછી બીજું સફરજન , પછી બીજા એકલા અને પછી મેં જોયું કે ત્યાં વધુ સફરજન નથી અને બાળકો ખુશ હતા. જો આપણે આ ક્રિયાઓને આધુનિક ગાણિતિક ભાષામાં લખીએ, તો આપણને x4=12 મળે છે, એટલે કે, મારી માતાએ સમીકરણ બનાવવાની સમસ્યા હલ કરી. દેખીતી રીતે, ઉપરોક્ત પ્રશ્નનો જવાબ આપવો અશક્ય છે. સમીકરણોના ઉકેલ તરફ દોરી જતી સમસ્યાઓ લોકો માનવ બન્યા ત્યારથી સામાન્ય બુદ્ધિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરે છે. 3-4 હજાર વર્ષ પૂર્વે પણ, ઇજિપ્તવાસીઓ અને બેબીલોનિયનો સરળ સમીકરણોને હલ કરવામાં સક્ષમ હતા, જેનું સ્વરૂપ અને ઉકેલની પદ્ધતિઓ આધુનિક સમીકરણો જેવી ન હતી. ગ્રીક લોકોને ઇજિપ્તવાસીઓનું જ્ઞાન વારસામાં મળ્યું અને આગળ વધ્યા. શુભકામનાઓસમીકરણોના સિદ્ધાંતનો વિકાસ ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક ડાયોફન્ટસ (III સદી) દ્વારા પ્રાપ્ત થયો હતો, જેના વિશે તેઓએ લખ્યું હતું:

તેણે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરી.
તેણે ગંધ અને વરસાદની આગાહી કરી.
ખરેખર, તેમનું જ્ઞાન અદ્ભુત છે.

મધ્ય એશિયાના ગણિતશાસ્ત્રી મુહમ્મદ અલ ખોરેઝમી (9મી સદી) એ સમીકરણો ઉકેલવામાં મોટો ફાળો આપ્યો હતો. તેમનું પ્રખ્યાત પુસ્તક અલ-ખ્વારિઝમી સમીકરણો ઉકેલવા માટે સમર્પિત છે. તેને "કિતાબ અલ-જબર વાલ-મુકાબલા" કહેવામાં આવે છે, એટલે કે "પૂરક અને વિરોધનું પુસ્તક". આ પુસ્તક યુરોપિયનો માટે જાણીતું બન્યું, અને તેના શીર્ષકમાંથી "અલ-જબર" શબ્દ પરથી "બીજગણિત" શબ્દ આવ્યો - ગણિતના મુખ્ય ભાગોમાંના એકનું નામ. ત્યારબાદ, ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સમીકરણોની સમસ્યાઓ પર કામ કર્યું. સામાન્ય નિયમ 15મી સદીમાં રહેતા જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી સ્ટીફેલ દ્વારા x2+in=0 ફોર્મમાં ઘટાડાવામાં આવેલા ચતુર્ભુજ સમીકરણોના ઉકેલો ઘડવામાં આવ્યા હતા. ડચ ગણિતશાસ્ત્રી ગિરાર્ડ (16મી સદી), તેમજ ડેસકાર્ટેસ અને ન્યૂટનના કાર્યો પછી, ઉકેલ પદ્ધતિએ આધુનિક સ્વરૂપ ધારણ કર્યું. તેના ગુણાંક પર સમીકરણના મૂળની અવલંબન વ્યક્ત કરતા સૂત્રો વિએથ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. ફ્રાન્કોઇસ વિયેટ 16મી સદીમાં રહેતા હતા. તેમણે ગણિત અને ખગોળશાસ્ત્રની વિવિધ સમસ્યાઓના અભ્યાસમાં મહાન યોગદાન આપ્યું હતું; ખાસ કરીને, તેમણે સમીકરણના ગુણાંક માટે અક્ષર હોદ્દો રજૂ કર્યા. ચાલો હવે તેમના જીવનના એક રસપ્રદ એપિસોડથી પરિચિત થઈએ. ફ્રાન્કો-સ્પેનિશ યુદ્ધ દરમિયાન, રાજા હેનરી III હેઠળ વિયેટને ખૂબ જ ખ્યાતિ મળી. સ્પેનિશ જિજ્ઞાસુઓએ ખૂબ જ જટિલ ગુપ્ત લેખનની શોધ કરી, જેના કારણે સ્પેનિયાર્ડ્સ તેમના દુશ્મનો સાથે પત્રવ્યવહાર કરે છે. હેનરી IIIફ્રાન્સમાં પણ.

નિરર્થક ફ્રેન્ચોએ કોડની ચાવી શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો, અને પછી રાજા વિએટા તરફ વળ્યો. તેઓ કહે છે કે વિયેટને સતત બે અઠવાડિયાના કામમાં કોડની ચાવી મળી, ત્યારબાદ, સ્પેન માટે અણધારી રીતે, ફ્રાન્સે એક પછી એક યુદ્ધ જીતવાનું શરૂ કર્યું. કોડને ડિસિફર કરી શકાતો નથી તે વિશ્વાસથી, સ્પેનિયાર્ડ્સે વિયેટ પર શેતાન સાથે જોડાણ હોવાનો આરોપ મૂક્યો અને તેને દાવ પર સળગાવી દેવાની સજા ફટકારી. સદભાગ્યે, તેમને તપાસમાં પ્રત્યાર્પણ કરવામાં આવ્યું ન હતું અને એક મહાન ગણિતશાસ્ત્રી તરીકે ઇતિહાસમાં નીચે ગયો.

રમત "અધિક દૂર કરો"

રમતનો હેતુસમીકરણોના પ્રકારોમાં ઓરિએન્ટેશન.

અમને ત્રણ આપવામાં આવે છે સમીકરણોનો સ્તંભ, માંતેમાંથી દરેક માટે, સમીકરણો અમુક માપદંડો અનુસાર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેમાંથી એક અનાવશ્યક છે અને તેને શોધવાનું છે; પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 16

સર્જનાત્મક કાર્ય

આ કાર્યનો હેતુ: ગાણિતિક ભાષણની સમજ સાંભળવી, બાળકોને સમીકરણોના પ્રકારોમાં દિશામાન કરવું.

સ્ક્રીન પર તમે 9 સમીકરણો જુઓ છો. દરેક સમીકરણનો પોતાનો નંબર હોય છે, હું આ સમીકરણના પ્રકારને નામ આપીશ, અને તમારે આ પ્રકારનું સમીકરણ શોધવાનું રહેશે, અને તે જે નંબરની નીચે તે દેખાય છે તે જ મૂકવો જોઈએ, પરિણામે તમને 9-અંકનો નંબર મળશે પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 17

1. ઘટાડેલ ચતુર્ભુજ સમીકરણ.
2. અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સમીકરણ
3. ઘન સમીકરણ
4. લઘુગણક સમીકરણ
5. રેખીય સમીકરણ
6. અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણ
7. ઘાતાંકીય સમીકરણ
8. અતાર્કિક સમીકરણ
9. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણ

કાર્ય "ભૂલ શોધો"

એક વિદ્યાર્થીએ સમીકરણો હલ કર્યા, પરંતુ આખો વર્ગ હસી પડ્યો, તેણે દરેક સમીકરણમાં ભૂલ કરી છે, તમારું કાર્ય તેને શોધવાનું અને તેને સુધારવાનું છે. પ્રસ્તુતિ સ્લાઇડ 18

એક સમીકરણને અનેક રીતે ઉકેલવું

હવે ચાલો એક સમીકરણને તમામ સંભવિત રીતે હલ કરીએ, વર્ગમાં સમય બચાવવા માટે, સ્ક્રીન પર એક સમીકરણ. હવે તમે આ સમીકરણના પ્રકારને નામ આપો, અને આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે કઈ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે તે સમજાવો. 19-27

એક સમીકરણને ઘણી રીતે ઉકેલવું (બોર્ડ પર)

અમે ઉદાહરણ જોયું, અને હવે ચાલો બોર્ડ પરના સમીકરણને દરેક સંભવિત રીતે હલ કરીએ.

X-2 - અતાર્કિક સમીકરણ

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુનો વર્ગ કરીએ.

X 2 +2x+4x-1-4=0

અમે આ સમીકરણને બોર્ડમાં 9 રીતે હલ કરીએ છીએ.

જોડીમાં સ્વતંત્ર કાર્ય અને બોર્ડમાં સમજૂતી દ્વારા અનુસરવામાં આવે છે

અને હવે તમે જોડીમાં કામ કરશો, હું તમારા ડેસ્ક પર એક સમીકરણ આપું છું, તમારું કાર્ય સમીકરણનો પ્રકાર નક્કી કરવાનું છે, આ સમીકરણને હલ કરવાની બધી રીતોની સૂચિ બનાવો, તમારા માટે સૌથી વધુ તર્કસંગત રીતે 1-2 ઉકેલો. (2 મિનિટ)

જોડીમાં કામ કરવા માટેના કાર્યો

સમીકરણ ઉકેલો

પછી સ્વતંત્ર કાર્યજોડીમાં, એક પ્રતિનિધિ બોર્ડમાં આવે છે, તેનું સમીકરણ રજૂ કરે છે, એક રીતે ઉકેલે છે

વ્યક્તિગત હોમવર્ક(ભેદ કરી શકાય તેવું)

સમીકરણ ઉકેલો

(સમીકરણનો પ્રકાર નક્કી કરો, એક અલગ શીટ પર બધી રીતે ઉકેલો)

પ્રતિબિંબ પાઠ સારાંશ.

હું પાઠનો સારાંશ આપું છું, એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોરું છું કે એક સમીકરણ ઘણી રીતે ઉકેલી શકાય છે, માર્કસ આપો, કોણ સક્રિય હતું અને કોને વધુ સક્રિય થવાની જરૂર છે તે વિશે નિષ્કર્ષ દોરો. મેં કાલિનિનનું નિવેદન પ્રેઝન્ટેશન સ્લાઇડ 28 વાંચ્યું

આજના પાઠ માટે અમે જે લક્ષ્યો નક્કી કર્યા છે તેને ધ્યાનથી જુઓ:

• તમને શું લાગે છે કે અમે શું કરી શક્યા?
• શું આટલું સારું કામ ન કર્યું?
• તમને ખાસ કરીને શું ગમ્યું અને યાદ છે?
• આજે કંઈક નવું શીખવા મળ્યું...
• મારું જ્ઞાન પાઠ દરમિયાન ઉપયોગી હતું...
• તે મારા માટે મુશ્કેલ હતું ...
• મને પાઠ ગમ્યો...

સાહિત્ય.

1. ડોરોફીવ જી.વી. "ઉચ્ચ શાળા અભ્યાસક્રમ માટે ગણિતમાં લેખિત પરીક્ષા લેવા માટેના કાર્યોનો સંગ્રહ" - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2006.
2. ગાર્નર માર્ટિન. ગણિતની કોયડાઓઅને મનોરંજન.
3. ઇવલેવ બી.એમ., સહક્યાન એસ.એમ. ડિડેક્ટિક સામગ્રીબીજગણિત પર અને 10મા ધોરણ, 11મા ધોરણ માટે વિશ્લેષણની શરૂઆત. એમ.: જ્ઞાન. 2002.

આ વિડિયોમાં આપણે રેખીય સમીકરણોના સંપૂર્ણ સેટનું વિશ્લેષણ કરીશું જે સમાન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે - તેથી જ તેને સૌથી સરળ કહેવામાં આવે છે.

પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ: રેખીય સમીકરણ શું છે અને કયું સૌથી સરળ કહેવાય છે?

રેખીય સમીકરણ એ એક છે જેમાં માત્ર એક જ ચલ હોય છે, અને માત્ર પ્રથમ ડિગ્રી સુધી.

સૌથી સરળ સમીકરણનો અર્થ છે બાંધકામ:

અન્ય તમામ રેખીય સમીકરણો અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને સરળમાં ઘટાડવામાં આવે છે:

1. કૌંસ વિસ્તૃત કરો, જો કોઈ હોય તો;
2. સમાન ચિન્હની એક બાજુએ ચલ ધરાવતાં શબ્દો અને ચલ વગરના શબ્દોને બીજી તરફ ખસેડો;
3. લીડ સમાન શરતોસમાન ચિહ્નની ડાબી અને જમણી બાજુએ;
4. પરિણામી સમીકરણને $x$ ચલના ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરો.

અલબત્ત, આ અલ્ગોરિધમ હંમેશા મદદ કરતું નથી. હકીકત એ છે કે કેટલીકવાર આ બધી યુક્તિઓ પછી $x$ ચલનો ગુણાંક બહાર આવે છે શૂન્ય બરાબર. આ કિસ્સામાં, બે વિકલ્પો શક્ય છે:

1. સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે $0\cdot x=8$ જેવું કંઈક બહાર આવે છે, એટલે કે. ડાબી બાજુ શૂન્ય છે, અને જમણી બાજુ શૂન્ય સિવાયની સંખ્યા છે. નીચેની વિડિઓમાં આપણે આ પરિસ્થિતિ શા માટે શક્ય છે તેના ઘણા કારણો જોઈશું.
2. ઉકેલ એ બધી સંખ્યાઓ છે. એકમાત્ર કેસ જ્યારે આ શક્ય હોય ત્યારે સમીકરણ $0\cdot x=0$ સુધી ઘટાડી દેવામાં આવ્યું હોય. તે તદ્દન તાર્કિક છે કે અમે ગમે તે $x$ અવેજી કરીએ, તે હજુ પણ "શૂન્ય એ શૂન્ય સમાન છે", એટલે કે. સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા.

હવે ચાલો જોઈએ કે આ બધું વાસ્તવિક જીવનના ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને કેવી રીતે કાર્ય કરે છે.

સમીકરણો ઉકેલવાના ઉદાહરણો

આજે આપણે રેખીય સમીકરણો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, અને માત્ર સૌથી સરળ. સામાન્ય રીતે, એક રેખીય સમીકરણનો અર્થ થાય છે કોઈપણ સમાનતા જેમાં બરાબર એક ચલ હોય છે, અને તે માત્ર પ્રથમ ડિગ્રી સુધી જાય છે.

આવા બાંધકામો લગભગ સમાન રીતે હલ કરવામાં આવે છે:

1. સૌ પ્રથમ, તમારે કૌંસ ખોલવાની જરૂર છે, જો કોઈ હોય તો (જેમ કે અમારા છેલ્લું ઉદાહરણ);
2. પછી સમાન ભેગું કરો
3. છેલ્લે, ચલને અલગ કરો, એટલે કે. ચલ સાથે જોડાયેલી દરેક વસ્તુને ખસેડો - જે શરતોમાં તે સમાયેલ છે - એક બાજુએ, અને તેના વિના બાકી રહેલ દરેક વસ્તુને બીજી બાજુ ખસેડો.

પછી, એક નિયમ તરીકે, તમારે પરિણામી સમાનતાની દરેક બાજુએ સમાન લાવવાની જરૂર છે, અને તે પછી જે બાકી રહે છે તે "x" ના ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવાનું છે, અને અમને અંતિમ જવાબ મળશે.

સિદ્ધાંતમાં, આ સરસ અને સરળ લાગે છે, પરંતુ વ્યવહારમાં, ઉચ્ચ શાળાના અનુભવી વિદ્યાર્થીઓ પણ એકદમ સરળ રેખીય સમીકરણોમાં અપમાનજનક ભૂલો કરી શકે છે. સામાન્ય રીતે, કૌંસ ખોલતી વખતે અથવા "પ્લસ" અને "માઈનસ" ની ગણતરી કરતી વખતે ભૂલો કરવામાં આવે છે.

વધુમાં, એવું બને છે કે રેખીય સમીકરણમાં કોઈ ઉકેલો નથી, અથવા તે ઉકેલ એ સમગ્ર સંખ્યા રેખા છે, એટલે કે. કોઈપણ સંખ્યા. આપણે આજના પાઠમાં આ સૂક્ષ્મતા જોઈશું. પરંતુ અમે શરૂઆત કરીશું, જેમ તમે પહેલાથી જ સમજી ગયા છો, ખૂબ સાથે સરળ કાર્યો.

સરળ રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની યોજના

પ્રથમ, ચાલો હું ફરી એકવાર સરળ રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની આખી યોજના લખું:

1. જો કોઈ હોય તો કૌંસને વિસ્તૃત કરો.
2. અમે ચલોને અલગ પાડીએ છીએ, એટલે કે. અમે "X's" ધરાવતી દરેક વસ્તુને એક બાજુએ અને "X's" વગરની દરેક વસ્તુને બીજી તરફ ખસેડીએ છીએ.
3. અમે સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ.
4. આપણે દરેક વસ્તુને "x" ના ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ.

અલબત્ત, આ યોજના હંમેશા કામ કરતી નથી; તેમાં કેટલીક સૂક્ષ્મતા અને યુક્તિઓ છે, અને હવે આપણે તેમને જાણીશું.

સરળ રેખીય સમીકરણોના વાસ્તવિક ઉદાહરણો ઉકેલવા

કાર્ય નંબર 1

પ્રથમ પગલા માટે આપણે કૌંસ ખોલવાની જરૂર છે. પરંતુ તેઓ આ ઉદાહરણમાં નથી, તેથી અમે આ પગલું છોડી દઈએ છીએ. બીજા પગલામાં આપણે ચલોને અલગ કરવાની જરૂર છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અમે વાત કરી રહ્યા છીએફક્ત વ્યક્તિગત શરતો વિશે. ચાલો તેને લખીએ:

અમે ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ, પરંતુ આ અહીં પહેલાથી જ કરવામાં આવ્યું છે. તેથી, ચાલો આગળ વધીએ ચોથું પગલું: ગુણાંક દ્વારા વિભાજિત:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

તો અમને જવાબ મળ્યો.

કાર્ય નંબર 2

આપણે આ સમસ્યામાં કૌંસ જોઈ શકીએ છીએ, તેથી ચાલો તેને વિસ્તૃત કરીએ:

ડાબી અને જમણી બંને બાજુએ આપણે લગભગ સમાન ડિઝાઇન જોઈએ છીએ, પરંતુ ચાલો એલ્ગોરિધમ અનુસાર કાર્ય કરીએ, એટલે કે. ચલોને અલગ કરી રહ્યા છીએ:

અહીં કેટલાક સમાન છે:

આ કયા મૂળમાં કામ કરે છે? જવાબ: કોઈપણ માટે. તેથી, આપણે લખી શકીએ કે $x$ કોઈપણ સંખ્યા છે.

કાર્ય નંબર 3

ત્રીજું રેખીય સમીકરણ વધુ રસપ્રદ છે:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

ત્યાં ઘણા કૌંસ છે, પરંતુ તે કોઈ પણ વસ્તુથી ગુણાકાર થતા નથી, તે ફક્ત તેની આગળ છે વિવિધ ચિહ્નો. ચાલો તેમને તોડીએ:

અમે બીજું પગલું કરીએ છીએ જે અમને પહેલાથી જ જાણીતું છે:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

ચાલો ગણિત કરીએ:

અમે છેલ્લું પગલું હાથ ધરીએ છીએ - દરેક વસ્તુને "x" ના ગુણાંક દ્વારા વિભાજીત કરો:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

રેખીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે યાદ રાખવા જેવી બાબતો

જો આપણે ખૂબ સરળ કાર્યોને અવગણીએ, તો હું નીચે મુજબ કહેવા માંગુ છું:

• મેં ઉપર કહ્યું તેમ, દરેક રેખીય સમીકરણનો ઉકેલ હોતો નથી - કેટલીકવાર ફક્ત કોઈ મૂળ હોતા નથી;
• જો ત્યાં મૂળ હોય તો પણ, તેમાં શૂન્ય હોઈ શકે છે - તેમાં કંઈ ખોટું નથી.

શૂન્ય એ અન્યની સમાન સંખ્યા છે; તમારે તેની સાથે કોઈપણ રીતે ભેદભાવ કરવો જોઈએ નહીં અથવા જો તમે શૂન્ય મેળવો છો, તો તમે કંઈક ખોટું કર્યું છે.

અન્ય લક્ષણ કૌંસના ઉદઘાટન સાથે સંબંધિત છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: જ્યારે તેમની સામે "માઈનસ" હોય, ત્યારે અમે તેને દૂર કરીએ છીએ, પરંતુ કૌંસમાં અમે ચિહ્નોને વિરુદ્ધ. અને પછી આપણે તેને પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમ્સનો ઉપયોગ કરીને ખોલી શકીએ છીએ: આપણે ઉપરની ગણતરીમાં જે જોયું છે તે મેળવીશું.

આ સમજીને સરળ હકીકતતમને હાઈસ્કૂલમાં મૂર્ખ અને અપમાનજનક ભૂલો કરવાનું ટાળવા દેશે, જ્યારે આવી ક્રિયાઓ કરવાનું ગ્રાહ્ય માનવામાં આવે છે.

જટિલ રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા

ચાલો વધુ પર આગળ વધીએ જટિલ સમીકરણો. હવે બાંધકામો વધુ જટિલ બનશે અને વિવિધ પરિવર્તનો કરતી વખતે એક ચતુર્ભુજ કાર્ય દેખાશે. જો કે, આપણે આનાથી ડરવું જોઈએ નહીં, કારણ કે જો, લેખકની યોજના અનુસાર, આપણે એક રેખીય સમીકરણ હલ કરી રહ્યા છીએ, તો પછી પરિવર્તન પ્રક્રિયા દરમિયાન ચતુર્ભુજ કાર્ય ધરાવતા તમામ મોનોમિઅલ્સ આવશ્યકપણે રદ થશે.

ઉદાહરણ નંબર 1

દેખીતી રીતે, પ્રથમ પગલું કૌંસ ખોલવાનું છે. ચાલો આ ખૂબ જ કાળજીપૂર્વક કરીએ:

હવે ચાલો ગોપનીયતા પર એક નજર કરીએ:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

અહીં કેટલાક સમાન છે:

તે સ્પષ્ટ છે કે આપેલ સમીકરણત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી, તેથી અમે જવાબમાં આ લખીશું:

\[\varnothing\]

અથવા ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

ઉદાહરણ નંબર 2

અમે સમાન ક્રિયાઓ કરીએ છીએ. પ્રથમ પગલું:

ચાલો દરેક વસ્તુને ચલ સાથે ડાબી તરફ ખસેડીએ, અને તેના વિના - જમણી તરફ:

અહીં કેટલાક સમાન છે:

દેખીતી રીતે, આ રેખીય સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી, તેથી અમે તેને આ રીતે લખીશું:

\[\varnothing\],

અથવા ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

બંને સમીકરણો સંપૂર્ણપણે હલ થઈ ગયા છે. ઉદાહરણ તરીકે આ બે અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને, અમને ફરી એકવાર ખાતરી થઈ કે સરળ રેખીય સમીકરણોમાં પણ, બધું એટલું સરળ ન હોઈ શકે: ત્યાં કાં તો એક, અથવા કોઈ પણ, અથવા અનંત ઘણા મૂળ હોઈ શકે છે. અમારા કિસ્સામાં, અમે બે સમીકરણો ધ્યાનમાં લીધા છે, બંનેનું કોઈ મૂળ નથી.

પરંતુ હું તમારું ધ્યાન બીજી હકીકત તરફ દોરવા માંગુ છું: કૌંસ સાથે કેવી રીતે કામ કરવું અને જો તેમની સામે માઇનસ ચિહ્ન હોય તો તેને કેવી રીતે ખોલવું. આ અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લો:

ખોલતા પહેલા, તમારે દરેક વસ્તુને "X" વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: ગુણાકાર દરેક વ્યક્તિગત શબ્દ. અંદર બે પદ છે - અનુક્રમે, બે પદ અને ગુણાકાર.

અને આ મોટે ભાગે પ્રાથમિક, પરંતુ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ અને ખતરનાક પરિવર્તનો પૂર્ણ થયા પછી જ, તમે કૌંસને એ હકીકતના દૃષ્ટિકોણથી ખોલી શકો છો કે તેના પછી માઇનસ ચિહ્ન છે. હા, હા: ફક્ત હવે, જ્યારે પરિવર્તન પૂર્ણ થાય છે, ત્યારે આપણે યાદ રાખીએ છીએ કે કૌંસની સામે માઈનસ ચિહ્ન છે, જેનો અર્થ છે કે નીચેની દરેક વસ્તુ ફક્ત ચિહ્નોને બદલે છે. તે જ સમયે, કૌંસ પોતે અદૃશ્ય થઈ જાય છે અને, સૌથી અગત્યનું, આગળનો "માઈનસ" પણ અદૃશ્ય થઈ જાય છે.

અમે બીજા સમીકરણ સાથે તે જ કરીએ છીએ:

તે આકસ્મિક નથી કે હું આ નાની, મોટે ભાગે નજીવી હકીકતો પર ધ્યાન આપું છું. કારણ કે સમીકરણો ઉકેલવા એ હંમેશા એક ક્રમ છે પ્રાથમિક પરિવર્તનો, જ્યાં સ્પષ્ટ અને નિપુણતાથી પ્રદર્શન કરવામાં અસમર્થતા સરળ પગલાંએ હકીકત તરફ દોરી જાય છે કે ઉચ્ચ શાળાના વિદ્યાર્થીઓ મારી પાસે આવે છે અને ફરીથી આવા સરળ સમીકરણોને હલ કરવાનું શીખે છે.

અલબત્ત, એવો દિવસ આવશે જ્યારે તમે આ કૌશલ્યોને સ્વચાલિતતાના મુદ્દા પર હાંસલ કરશો. તમારે દરેક વખતે આટલા બધા રૂપાંતરણો કરવા પડશે નહીં; તમે બધું એક લીટી પર લખશો. પરંતુ જ્યારે તમે માત્ર શીખતા હોવ, ત્યારે તમારે દરેક ક્રિયાને અલગથી લખવાની જરૂર છે.

વધુ જટિલ રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા

હવે આપણે જે ઉકેલવા જઈ રહ્યા છીએ તે ભાગ્યે જ સરળ કાર્ય કહી શકાય, પરંતુ અર્થ એ જ રહે છે.

કાર્ય નંબર 1

\[\left(7x+1 \જમણે)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

ચાલો પહેલા ભાગમાં તમામ ઘટકોનો ગુણાકાર કરીએ:

ચાલો થોડી ગોપનીયતા કરીએ:

અહીં કેટલાક સમાન છે:

ચાલો છેલ્લું પગલું પૂર્ણ કરીએ:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

અહીં અમારો અંતિમ જવાબ છે. અને, એ હકીકત હોવા છતાં કે હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં અમારી પાસે ચતુર્ભુજ કાર્ય સાથે ગુણાંક હતા, તેઓએ એકબીજાને રદ કર્યા, જે સમીકરણને રેખીય બનાવે છે અને ચતુર્ભુજ નથી.

કાર્ય નંબર 2

\[\left(1-4x \જમણે)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \જમણે)\]

ચાલો પ્રથમ પગલું કાળજીપૂર્વક કરીએ: પ્રથમ કૌંસમાંથી દરેક ઘટકને બીજામાંથી દરેક ઘટક દ્વારા ગુણાકાર કરો. રૂપાંતરણ પછી કુલ ચાર નવા પદો હોવા જોઈએ:

હવે ચાલો દરેક ટર્મમાં ગુણાકાર કાળજીપૂર્વક કરીએ:

ચાલો “X” સાથેના શબ્દોને ડાબી બાજુએ અને તે વગરના શબ્દોને જમણી બાજુએ ખસેડીએ:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

અહીં સમાન શરતો છે:

ફરી એકવાર અમને અંતિમ જવાબ મળ્યો છે.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

આ બે સમીકરણો વિશે સૌથી મહત્વની નોંધ એ છે કે જલદી આપણે એક કરતાં વધુ પદ ધરાવતા કૌંસનો ગુણાકાર કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ, તે આમ કરે છે આગામી નિયમ: આપણે પ્રથમમાંથી પ્રથમ પદ લઈએ છીએ અને બીજામાંથી દરેક તત્વ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ; પછી આપણે પ્રથમમાંથી બીજું તત્વ લઈએ છીએ અને તે જ રીતે બીજામાંથી દરેક તત્વ સાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ. પરિણામે, અમારી પાસે ચાર પદ હશે.

બીજગણિત રકમ વિશે

આ છેલ્લા ઉદાહરણ સાથે, હું વિદ્યાર્થીઓને શું યાદ અપાવવા માંગુ છું બીજગણિતીય સરવાળો. શાસ્ત્રીય ગણિતમાં, અમારો અર્થ $1-7$ છે સરળ ડિઝાઇન: એકમાંથી સાત બાદ કરો. બીજગણિતમાં, અમારો આનો અર્થ નીચે મુજબ છે: “એક” નંબરમાં આપણે બીજી સંખ્યા ઉમેરીએ છીએ, એટલે કે “માઈનસ સાત”. આ રીતે બીજગણિતનો સરવાળો સામાન્ય અંકગણિતના સરવાળાથી અલગ પડે છે.

જલદી, તમામ રૂપાંતરણો, દરેક ઉમેરણો અને ગુણાકાર કરતી વખતે, તમે ઉપર વર્ણવેલ સમાન બાંધકામો જોવાનું શરૂ કરો છો, બહુપદી અને સમીકરણો સાથે કામ કરતી વખતે તમને બીજગણિતમાં કોઈ સમસ્યા નહીં હોય.

છેલ્લે, ચાલો આપણે થોડા વધુ ઉદાહરણો જોઈએ જે આપણે હમણાં જ જોયા છે તેના કરતાં પણ વધુ જટિલ હશે, અને તેને ઉકેલવા માટે આપણે આપણા પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમને સહેજ વિસ્તૃત કરવું પડશે.

અપૂર્ણાંક સાથે સમીકરણો ઉકેલવા

આવા કાર્યોને ઉકેલવા માટે, અમારે અમારા અલ્ગોરિધમમાં વધુ એક પગલું ઉમેરવું પડશે. પરંતુ પ્રથમ, ચાલો હું તમને અમારા અલ્ગોરિધમનો યાદ અપાવી દઉં:

1. કૌંસ ખોલો.
2. અલગ ચલો.
3. સમાન લાવો.
4. ગુણોત્તર દ્વારા ભાગાકાર કરો.

અરે, આ અદ્ભુત અલ્ગોરિધમ, તેની તમામ અસરકારકતા માટે, જ્યારે આપણી સામે અપૂર્ણાંક હોય ત્યારે તે સંપૂર્ણપણે યોગ્ય નથી. અને આપણે નીચે જે જોઈશું તેમાં, આપણી પાસે બંને સમીકરણોમાં ડાબી અને જમણી બાજુએ અપૂર્ણાંક છે.

આ કિસ્સામાં કેવી રીતે કામ કરવું? હા, તે ખૂબ જ સરળ છે! આ કરવા માટે, તમારે અલ્ગોરિધમમાં એક વધુ પગલું ઉમેરવાની જરૂર છે, જે પ્રથમ ક્રિયા પહેલાં અને પછી બંને કરી શકાય છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવવો. તેથી અલ્ગોરિધમ નીચે મુજબ હશે:

1. અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવો.
2. કૌંસ ખોલો.
3. અલગ ચલો.
4. સમાન લાવો.
5. ગુણોત્તર દ્વારા ભાગાકાર કરો.

"અપૂર્ણાંકોથી છૂટકારો મેળવવા" નો અર્થ શું છે? અને આ પ્રથમ ધોરણના પગલા પછી અને પહેલા બંને શા માટે કરી શકાય? હકીકતમાં, અમારા કિસ્સામાં, તમામ અપૂર્ણાંક તેમના છેદમાં સંખ્યાત્મક છે, એટલે કે. દરેક જગ્યાએ છેદ માત્ર એક સંખ્યા છે. તેથી, જો આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણે અપૂર્ણાંકોથી છૂટકારો મેળવીશું.

ઉદાહરણ નંબર 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=(x)^(2))-1\]

ચાલો આ સમીકરણમાંના અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવીએ:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: દરેક વસ્તુને એકવાર "ચાર" વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, એટલે કે. ફક્ત તમારી પાસે બે કૌંસ હોવાનો અર્થ એ નથી કે તમારે દરેકને "ચાર" વડે ગુણાકાર કરવો પડશે. ચાલો નીચે લખીએ:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ચાલો હવે વિસ્તૃત કરીએ:

અમે ચલને અલગ કરીએ છીએ:

અમે સમાન શરતોનો ઘટાડો કરીએ છીએ:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \જમણે) \જમણે.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

અમને મળ્યું અંતિમ નિર્ણય, ચાલો બીજા સમીકરણ તરફ આગળ વધીએ.

ઉદાહરણ નંબર 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+(x)^(2)=1\]

અહીં આપણે બધી સમાન ક્રિયાઓ કરીએ છીએ:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

સમસ્યા હલ થાય છે.

તે, હકીકતમાં, હું તમને આજે કહેવા માંગતો હતો.

કી પોઈન્ટ્સ

મુખ્ય તારણો છે:

• રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ જાણો.
• કૌંસ ખોલવાની ક્ષમતા.
• જો તમે જોશો તો ચિંતા કરશો નહીં ચતુર્ભુજ કાર્યો, મોટે ભાગે, વધુ પરિવર્તનની પ્રક્રિયામાં તેઓ ઘટશે.
• રેખીય સમીકરણોમાં ત્રણ પ્રકારના મૂળ હોય છે, સૌથી સરળ પણ: એક જ મૂળ, આખી સંખ્યા રેખા એક મૂળ હોય છે, અને કોઈ મૂળ નથી.

હું આશા રાખું છું કે આ પાઠ તમને બધા ગણિતની વધુ સમજણ માટે એક સરળ, પરંતુ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ વિષયમાં માસ્ટર કરવામાં મદદ કરશે. જો કંઈક સ્પષ્ટ ન હોય, તો સાઇટ પર જાઓ અને ત્યાં પ્રસ્તુત ઉદાહરણો ઉકેલો. ટ્યુન રહો, ઘણી વધુ રસપ્રદ વસ્તુઓ તમારી રાહ જોઈ રહી છે!

રજૂ કરતું સમીકરણ ચતુર્ભુજ ત્રિપદી, સામાન્ય રીતે ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવાય છે. બીજગણિતીય દૃષ્ટિકોણથી, તેનું વર્ણન a*x^2+b*x+c=0 સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે. આ સૂત્રમાં, x એ અજ્ઞાત છે જેને શોધવાની જરૂર છે (તેને ફ્રી ચલ કહેવાય છે); a, b અને c - સંખ્યાત્મક મતભેદ. દર્શાવેલ ઘટકો સંબંધિત સંખ્યાબંધ નિયંત્રણો છે: ઉદાહરણ તરીકે, ગુણાંક a 0 ની બરાબર ન હોવો જોઈએ.

સમીકરણ ઉકેલવું: ભેદભાવની વિભાવના

તે ધ્યાનમાં રાખવું જોઈએ કે ખ્યાલ માટે જરૂરી છે કે માત્ર ગુણાંક a 0 થી સખત રીતે અલગ હોવો જોઈએ. પરિણામે, ગુણાંક b 0 ની બરાબર હોઈ શકે છે, અને આ કિસ્સામાં સમીકરણ પોતે a*x^2+c સ્વરૂપનું છે. =0. આવી સ્થિતિમાં, ભેદભાવ અને મૂળની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રોમાં 0 ના ગુણાંક મૂલ્યનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. તેથી, આ કિસ્સામાં ભેદભાવ કરનારની ગણતરી D=-4ac તરીકે કરવામાં આવશે.

સકારાત્મક ભેદભાવ સાથે સમીકરણ ઉકેલવું

શૂન્ય અને નકારાત્મક ભેદભાવ સાથે સમીકરણ ઉકેલવું