તેના બચવાની શક્યતા શૂન્ય હતી.

અલબત્ત, ગણિત માત્ર અમૂર્ત વિભાવનાઓ સાથે કામ કરે છે. સૌથી વધુ એક તેજસ્વી ઉદાહરણસંખ્યાઓ આવા અમૂર્ત તરીકે સેવા આપી શકે છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 2 લઈએ. અમૂર્ત ખ્યાલ "બે" 2 રુબેલ્સ, અને 2 કિલોકલોરી, અને 2 સફરજન, અને 2 માઉસ ક્લિક્સ, અને 2 ક્વોન્ટા પ્રકાશ અને 2 બ્રહ્માંડ સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે.

વચ્ચે ગાણિતિક અમૂર્તત્યાં વધુ છે અમૂર્ત ખ્યાલો, જેમ કે: બિંદુ, સીધી રેખા, અનંત, શૂન્ય... અન્ય ગાણિતિક અમૂર્ત કરતાં પાછળથી દેખાય છે, શૂન્ય હજુ પણ સૌથી મોટું રહસ્ય છે. એક તરફ, ગણિતમાં શૂન્યને સંખ્યા તરીકે ગણવામાં આવે છે, કારણ કે તે તેમાં ભાગ લે છે ગાણિતિક ક્રિયાઓબાકીના નંબરો સાથે. બીજી બાજુ, શૂન્યમાં એવા ગુણધર્મો છે જે સંખ્યાઓની લાક્ષણિકતા નથી: ખાસ કરીને, તે વિભાજક તરીકે કાર્ય કરી શકતું નથી (આકૃતિ જુઓ).

ઉપરોક્ત સંબંધમાં, બે અલગ અલગ વચ્ચે સ્પષ્ટ રીતે તફાવત કરવાનો પ્રસ્તાવ છે ગાણિતિક ખ્યાલો: “શૂન્ય” અને “નલ”, જેનો હવે વ્યાપકપણે સમાનાર્થી તરીકે ઉપયોગ થાય છે.

1. "શૂન્ય" શું છે?

"શૂન્ય" ની વિભાવનાને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, અમે વર્ગને અલગ કરીએ છીએ ગાણિતિક સમસ્યાઓ, તેના દેખાવ તરફ દોરી જાય છે.

1.1. "શૂન્ય" નો ઉદભવ

"શૂન્ય" ના દેખાવ માટેનો એકમાત્ર સ્ત્રોત અથવા કારણ એ છે કે તેના પોતાનામાંથી સંખ્યાને બાદબાકી કરવાનું કાર્ય અથવા તેના સમકક્ષ, કહેવાતા ઉપયોગ સાથે સંકળાયેલ નકારાત્મક સંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે:

x - x = 0;
x + (-x) = 0.

તે ધ્યાનમાં રાખવું અગત્યનું છે કે વસ્તુઓ વાસ્તવિક દુનિયા, સાથે સરખામણી અમૂર્ત ખ્યાલ"શૂન્ય" ક્યાંય અદૃશ્ય થતા નથી, તેઓ બ્રહ્માંડમાં રહે છે!

ઉદાહરણ તરીકે, જો તમારી પાસે 2 રુબેલ્સ છે અને તમે 2 રુબેલ્સ ચૂકવ્યા છે, તો આ પૈસા ફક્ત હાથ બદલાયા છે. જો તમે કાગળના પૈસા બર્ન કરો છો, તો તે જેવું છે ભૌતિક પદાર્થઅદૃશ્ય થઈ ન હતી, પરંતુ તેમની સ્થિતિ બદલી, રાખ અને ઊર્જામાં ફેરવાઈ. પ્રથમ અને બીજા બંને ઉદાહરણોમાં, "શૂન્ય" નો અર્થ તમારા માટે વ્યક્તિગત રીતે પૈસાની ગેરહાજરી હશે, પરંતુ બ્રહ્માંડમાંથી તે અદૃશ્ય થવું નહીં.

1.2. "શૂન્ય" ની અરજી

સૌ પ્રથમ, "શૂન્ય" નો ઉપયોગ વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓમાં થાય છે, જેમ કે:

0 + 0 = 0;
0 - 0 = 0;
0 + x = x;
0 - x = -x;
0 - (-x) = x;
0 x = 0;
0 / x = 0;
0 x = 0;
x0 = 1;
0! = 1;
√0 = 0;

બીજું, "શૂન્ય" નો ઉપયોગ માં ખાલી અંક દર્શાવવા માટે થાય છે સ્થિતિકીય સિસ્ટમોસંખ્યાઓ, ઉદાહરણ તરીકે:

101 10 – માં દશાંશ સંખ્યા"એકસો અને એક" 0 નો અર્થ કોઈ દસ સ્થાન નથી;
1010 2 – માં દ્વિસંગી સંખ્યા"દસ" બાકી 0 એ 4 ના વજન સાથે અંકની ગેરહાજરી સૂચવે છે.

તે લાક્ષણિકતા છે કે આપેલ તમામ ઉદાહરણોમાં, "0" પ્રતીકનો ઉપયોગ સંખ્યા તરીકે થાય છે. તેથી, આ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં નંબર "0" દર્શાવવા માટે "n" શબ્દનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રસ્તાવ છે. ઓ l", એટલે કે, અક્ષર સાથેનો શબ્દ " ઓ", કારણ કે તેનો દેખાવ "0" નંબર જેવો છે. IN અંગ્રેજી સંસ્કરણતે "શૂન્ય" શબ્દ હોઈ શકે છે.

2. "શૂન્ય" શું છે?

ચાલો હવે સમસ્યાઓના વર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરીએ જ્યાં સમાન શબ્દ સંપૂર્ણપણે અલગ ભૂમિકા ભજવે છે, અને તેથી તેના હોદ્દા માટે મૂળભૂત રીતે અલગ શબ્દની જરૂર છે:

સૌ પ્રથમ, ચાલો આપણે અહીં એવી સમસ્યાઓનો સમાવેશ કરીએ કે જેમાં "શૂન્ય" ઘટાડોની મર્યાદા દર્શાવે છે સંખ્યા ક્રમ, ઉદાહરણ તરીકે, સેગમેન્ટ અથવા સંખ્યાના ક્રમિક વિભાજનનું કાર્ય;
આમાં વિભાજનની સમસ્યાનો પણ સમાવેશ થવો જોઈએ કોઈપણ સંખ્યા"શૂન્ય" માટે;
અને છેલ્લે, ગાણિતિક બિંદુનું કદ દર્શાવવા માટે "શૂન્ય" નો ઉપયોગ.

વાસ્તવમાં, આ તમામ કાર્યો એક પર આવે છે, અને શબ્દ "એન ખાતેઅહીં "L" ન તો આકૃતિ કે સંખ્યાને અનુરૂપ છે, પરંતુ સંપૂર્ણપણે અલગ ખ્યાલ સાથે, જેનો સમાનાર્થી શબ્દ હોઈ શકે છે " કંઈ નથી", એટલે કે સંપૂર્ણ ગેરહાજરીકંઈક આ કાર્યોમાં કંઈકબ્રહ્માંડમાંથી તેના કોઈ નિશાન વિના ગાયબ ન થાય ત્યાં સુધી સતત ઘટાડો થાય છે!

આ કારણોસર છે કે શબ્દ "શૂન્ય", ઇટાલિયન સાથે વ્યંજન, અહીં યોગ્ય રહેશે. નુલા"કંઈ નથી"; lat નલસ"કોઈ નહીં, કોઈ નહીં, અસ્તિત્વમાં નથી, ખાલી"; જર્મન નલ"શૂન્ય, અમાન્ય, ઓછા"; અંગ્રેજી નલ"તુચ્છ, તુચ્છ, અસ્તિત્વમાં નથી, ખાલી."

3. શું "શૂન્ય" અસ્તિત્વમાં છે?

તે ખાસ કરીને નોંધવું જોઈએ કે ફક્ત "શૂન્ય" અને "નલ" શબ્દો વચ્ચેનો તફાવત પૂરતો નથી.

આપણે સમજવું જોઈએ કે "શૂન્ય" શબ્દ:

સંખ્યા નથી;
સંખ્યા નથી;
શબ્દ "શૂન્ય" સાથે સમાનાર્થી નથી;
બ્રહ્માંડમાં કોઈ એનાલોગ નથી અને તેથી, તેની કોઈ ગ્રાફિક છબી નથી;
વ્યવહારીક રીતે અમલી નથી, પરંતુ ગાણિતિક એપ્લિકેશન"એન ખાતે"la" એ વાસ્તવિકતાનું એકંદર સરળીકરણ છે. તેથી ગણિતમાં "શૂન્ય" નો ઉપયોગ ઉપયોગ સાથે સરખાવી શકાય કુહાડીવિભાજન માટે અણુ ન્યુક્લીભૌતિકશાસ્ત્રમાં

"કંઈ નથી" ની વિભાવના સાથે "શૂન્ય" શબ્દને ઓળખવાનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ પરિણામ એ છે કે ગણિત (અને તેની સાથે તમામ વિજ્ઞાન!) સૌથી આદિમના માળખામાં રહે છે. ત્રિ-પરિમાણીય મોડેલબ્રહ્માંડ અને સંક્રમણની મૂળભૂત અશક્યતા ગાણિતિક વર્ણન ઉચ્ચ વિશ્વોબહુપરીમાણીય બ્રહ્માંડ.

સાહિત્ય

મિકિશા એ.એમ., ઓર્લોવ વી.બી. ટોલ્કોવી ગણિત શબ્દકોશ: મૂળભૂત શરતો. એમ.: રુસ. લેંગ., 1989. - 244 પૃષ્ઠ.

આ લેખમાંથી તમે શીખી શકશો:

કેવી રીતે દેખાવ સમીકરણો નક્કી કરે છે કે શું આ સમીકરણ હશે અપૂર્ણચતુર્ભુજ સમીકરણ? કેવી રીતે અપૂર્ણ ઉકેલોચતુર્ભુજ સમીકરણો?

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણને દૃષ્ટિ દ્વારા કેવી રીતે ઓળખવું

ડાબીસમીકરણનો ભાગ છે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી , એ અધિકાર - સંખ્યા. આવા સમીકરણો કહેવાય છે સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો.

યુ સંપૂર્ણચતુર્ભુજ સમીકરણ બધા મતભેદ, અને સમાન નથી. તેમને હલ કરવા માટે, ત્યાં વિશેષ સૂત્રો છે, જે આપણે પછીથી પરિચિત થઈશું.

સૌથી વધુ સરળઉકેલ માટે છે અપૂર્ણચતુર્ભુજ સમીકરણો. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણો છે જેમાં કેટલાક ગુણાંક શૂન્ય છે.

વ્યાખ્યા દ્વારા ગુણાંક શૂન્ય ન હોઈ શકે, કારણ કે અન્યથા સમીકરણ ચતુર્ભુજ નહીં હોય. અમે આ વિશે વાત કરી. આનો અર્થ એ થાય છે કે તે તારણ આપે છે તેઓ શૂન્ય પર જઈ શકે છે માત્રમતભેદ અથવા.

આના આધારે ત્યાં છે ત્રણ પ્રકારના અપૂર્ણચતુર્ભુજ સમીકરણો.

1) , ક્યાં ;
2) , ક્યાં ;
3) , ક્યાં .

તેથી, જો આપણે એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ જોઈએ, જેની ડાબી બાજુએ તેના બદલે ત્રણ સભ્યો હાજર બે ડિક્સઅથવા એક સભ્ય, પછી સમીકરણ હશે અપૂર્ણચતુર્ભુજ સમીકરણ.

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણની વ્યાખ્યા

અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણઆને ચતુર્ભુજ સમીકરણ કહેવામાં આવે છે , જેમાં ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક અથવા શૂન્ય બરાબર .

આ વ્યાખ્યામાં ઘણું બધું છે મહત્વપૂર્ણશબ્દસમૂહ " ઓછામાં ઓછું એકગુણાંકમાંથી... શૂન્ય બરાબર". આનો અર્થ એ છે કે એક અથવા વધુગુણાંક સમાન હોઈ શકે છે શૂન્ય.

તેના આધારે, તે શક્ય છે ત્રણ વિકલ્પો: અથવા એકગુણાંક શૂન્ય છે, અથવા અન્યગુણાંક શૂન્ય છે, અથવા બંનેગુણાંક એક સાથે શૂન્ય સમાન છે. આ રીતે આપણને ત્રણ પ્રકારના અપૂર્ણ ચતુર્ભુજ સમીકરણો મળે છે.

અપૂર્ણચતુર્ભુજ સમીકરણો નીચેના સમીકરણો છે:
1)
2)
3)

સમીકરણ ઉકેલવું

ચાલો રૂપરેખા કરીએ ઉકેલ યોજનાઆ સમીકરણ. ડાબીસમીકરણનો ભાગ સરળતાથી બની શકે છે કારણભૂત, કારણ કે સમીકરણની ડાબી બાજુએ શરતો છે સામાન્ય ગુણક , તે કૌંસની બહાર લઈ શકાય છે. પછી ડાબી બાજુએ તમને બે પરિબળોનું ઉત્પાદન મળે છે, અને જમણી બાજુએ - શૂન્ય.

અને પછી નિયમ "ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય સમાન હોય, અને અન્ય અર્થપૂર્ણ હોય" તો જ કાર્ય કરશે. તે ખૂબ જ સરળ છે!

તેથી, ઉકેલ યોજના.
1) અમે ડાબી બાજુને પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ છીએ.
2) અમે નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ "ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે..."

હું આ પ્રકારના સમીકરણો કહું છું "ભાગ્યની ભેટ". જેના માટે આ સમીકરણો છે જમણી બાજુશૂન્ય બરાબર, એ બાકીભાગ વિસ્તૃત કરી શકાય છે ગુણક દ્વારા.

સમીકરણ ઉકેલવું યોજના અનુસાર.

1) ચાલો વિઘટન કરીએ ડાબી બાજુસમીકરણો ગુણક દ્વારા, આ માટે આપણે સામાન્ય અવયવ કાઢીએ છીએ, આપણને નીચેનું સમીકરણ મળે છે .

2) Eq માં. આપણે તે જોઈએ છીએ બાકીખર્ચ કામ, એ જમણી બાજુ શૂન્ય. વાસ્તવિક ભાગ્યની ભેટ!અહીં આપણે, અલબત્ત, નિયમનો ઉપયોગ કરીશું "ઉત્પાદન શૂન્ય બરાબર છે જો અને માત્ર જો ઓછામાં ઓછું એક પરિબળ શૂન્ય સમાન હોય, અને અન્ય અર્થપૂર્ણ હોય." આ નિયમનો ગણિતની ભાષામાં અનુવાદ કરતી વખતે આપણને મળે છે બેસમીકરણો અથવા

આપણે તે સમીકરણ જોઈએ છીએ અલગ પડીબે દ્વારા સરળસમીકરણો, જેમાંથી પ્રથમ પહેલેથી જ હલ થઈ ગયું છે ().

ચાલો બીજો હલ કરીએસમીકરણ ચાલો અજાણ્યા શબ્દોને ડાબી તરફ અને જાણીતા શબ્દોને જમણી તરફ લઈ જઈએ. અજાણ્યો સભ્ય પહેલેથી જ ડાબી બાજુએ છે, અમે તેને ત્યાં છોડીશું. અને ચાલો જાણીતા શબ્દને જમણી બાજુએ ખસેડીએ વિરોધી ચિહ્ન. અમને સમીકરણ મળે છે.

અમે તે શોધી કાઢ્યું, પરંતુ આપણે તેને શોધવાની જરૂર છે. પરિબળથી છૂટકારો મેળવવા માટે, તમારે સમીકરણની બંને બાજુઓ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

હવે ચાર મહિનાનો લોગાન વિકસી રહ્યો છે સામાન્ય બાળકતેણીની ઉંમર

માતા કેલી બોરવિલે તેની ગર્ભાવસ્થા દરમિયાન એક દુર્લભ સ્થિતિ વિકસાવી હતી, જેના કારણે તેનું શરીર તેના અજાત બાળક સામે લડતું હતું. તબીબોએ જણાવ્યું હતું કે ત્યાં ખૂબ જ છે ઉચ્ચ જોખમકે તેની પુત્રીનું મગજ એટલું ગંભીર રીતે નુકસાન થશે કે તે બચી શકશે નહીં. બાળકના જન્મ પછી પણ, માતાપિતાને તેમની પુત્રીને બાપ્તિસ્મા આપવાની સલાહ આપવામાં આવી હતી કારણ કે તેણી થોડા કલાકોથી વધુ જીવે તેવી અપેક્ષા ન હતી.

36 અઠવાડિયાના ગર્ભવતી વખતે, કેલીને તેના ડૉક્ટર દ્વારા કહેવામાં આવ્યું હતું કે બાળક પશ્ચાદવર્તી રિકમ્બન્સીમાં છે, જે પ્રસૂતિ દરમિયાન જટિલતાઓ તરફ દોરી શકે છે, અને તેને સ્કેન માટે મોકલવામાં આવી હતી. જ્યારે નિષ્ણાતે પ્રક્રિયા શરૂ કરી, ત્યારે સગર્ભા માતા-પિતાને સમજાયું કે કંઈક ખોટું હતું અને તેમને સોમવારે પાછા આવવાનું કહેવામાં આવ્યું. “મેં પૂછ્યું કે શું ખોટું છે, પરંતુ તેણે કહ્યું કે તેને અમને કહેવાનો કોઈ અધિકાર નથી. તે એક લાંબો, ભયંકર સપ્તાહાંત હતો. અમને ખબર ન હતી કે શું થયું," કેલી યાદ કરે છે.

માતાપિતાએ વિચાર્યું કે તેમની પુત્રી વિનાશકારી છે અને તેના જન્મ પછી તરત જ અંતિમ સંસ્કાર માટે તૈયાર છે.

પછીના સોમવારે, કન્સલ્ટન્ટે વિનાશક સમાચાર આપ્યા કે બાળકને મગજમાં રક્તસ્રાવ થયો હતો અને તેણે ગર્ભાવસ્થાને સમાપ્ત કરવાનું સૂચન કર્યું. “આપણી દુનિયા તે જ ક્ષણે અલગ પડી ગઈ. કેલી યાદ કરે છે, "મેં કેલમ તરફ જોયું અને આંસુઓ છલકાઈ ગયા." - અમે પહેલાથી જ જાણતા હતા કે અમારી પાસે એક છોકરી છે અને તેના માટે બધું ખરીદ્યું છે. મેં ગર્ભાવસ્થાને સમાપ્ત કરવા વિશે વિચાર્યું પણ ન હતું. ડૉક્ટરે સમજાવ્યું કે જો તે બચી જશે તો પણ તે ચાલી શકશે નહીં કે વાત કરી શકશે નહીં. તે ખાઈ શકશે નહીં અને અમે કોણ છીએ તે જાણશે નહીં. તેઓએ કહ્યું કે તેણીના જન્મ પછી તેઓ તેના માટે કંઈ કરશે નહીં અથવા તેની સાથે કોઈ પણ રીતે સારવાર કરશે નહીં. કેલમ અને મેં તેના વિશે વિચારવાનો પ્રયાસ ન કર્યો, પરંતુ અમે તેના અંતિમ સંસ્કારમાં સાંભળવા માંગતા કેટલાક ગીતો પસંદ કર્યા."

લોગાન બચી ગયો ન હોવો જોઈએ!

નિયત તારીખના એક અઠવાડિયા પહેલા સિઝેરિયનનું આયોજન કરવામાં આવ્યું હતું. અને પછી લોગાનનો જન્મ થયો. "તેની ચીસો સાંભળવી અદ્ભુત હતી. અમારી છોકરી જીવતી હતી!” - કેલી યાદ કરે છે. છોકરી ખતરનાક હતી નીચું સ્તરપ્લેટલેટ્સ અને તેણીને લોહી ચઢાવવામાં આવ્યું હતું. દંપતીને મૂકવામાં આવ્યા હતા અલગ ઓરડોબાકીનો થોડો સમય તેની પુત્રી સાથે વિતાવવા માટે. લોગાનને નવજાત એલોઇમ્યુન થ્રોમ્બોસાયટોપેનિયા હોવાનું નિદાન થયું હતું, જ્યાં માતાનું શરીર તેના અજાત બાળકને હાનિકારક હુમલાખોર તરીકે માને છે. માતાના એન્ટિબોડીઝ બાળકના પ્લેટલેટ્સ પર હુમલો કરે છે, જેનાથી મગજ, પેટમાં રક્તસ્ત્રાવ થઈ શકે છે અથવા કરોડરજ્જુબાળક આ લોગાન સાથે થયું, પરંતુ પછી જે બન્યું તે ચમત્કાર જેવું છે. ચાર મહિનાનો લોગાન વિકસી રહ્યો છે સામાન્ય બાળકતેણીની ઉંમર. "તે તમારી અપેક્ષા મુજબ બધું કરે છે તંદુરસ્ત બાળક, - યુવાન માતા આનંદ કરે છે. - કન્સલ્ટન્ટે કહ્યું કે બાળકો ખૂબ ફ્લેક્સિબલ હોય છે. તેઓ તેમના મગજના અન્ય અખંડ ભાગોનો ઉપયોગ કરી શકે છે. તે મારો નાનો ચમત્કાર છે!”

નિકા નરુબીના ફોટો: બુલ્સ પ્રેસ

રેખીય સમીકરણો અને અસમાનતાઓ I

§ 32. જ્યારે સમીકરણોની સિસ્ટમના મુખ્ય અને બંને સહાયક નિર્ધારકો શૂન્ય સમાન હોય ત્યારે

અગાઉના ફકરાઓમાં, સમીકરણોની સિસ્ટમનો અભ્યાસ

અમે બે કેસો ધ્યાનમાં લીધા:

1) કેસ જ્યારે અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંક એક્સ અને ખાતે અનુક્રમે પ્રમાણસર નથી ( Δ =/= 0);

2) કેસ જ્યારે અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંક એક્સ અને ખાતે તે મુજબ પ્રમાણસર છે, અને કેટલાક અજ્ઞાત અને માટે ગુણાંક મફત સભ્યોઅનુક્રમે પ્રમાણસર નથી ( Δ = 0, અને ઓછામાં ઓછું એક નિર્ણાયક Δ x અને Δ y શૂન્યથી અલગ છે).

તે એક વધુ કેસ ધ્યાનમાં લેવાનું બાકી છે, જ્યારે અજાણ્યાઓ માટે ગુણાંક એક્સ અને ખાતે અને મફત શરતો તે મુજબ પ્રમાણસર છે, એટલે કે

a 1 =કા 2 ,b 1 = kb 2 , c 1 = kc 2

a 2 = k"a 1 ,b 2 = k"b 1 , c 2 = k"c 1

ચોક્કસ થવા માટે, અમે આ બે વિકલ્પોમાંથી પ્રથમને ધ્યાનમાં લઈશું. આ કિસ્સામાં સમીકરણોની સિસ્ટમ (1) ફોર્મ ધરાવે છે:

(2)

દેખીતી રીતે, સંખ્યાઓની દરેક જોડી ( x 0 , y 0), સિસ્ટમ (2) ના બીજા સમીકરણને સંતોષતા, આ સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણને પણ સંતોષવા જોઈએ. તેથી, સમીકરણો (2) ની સિસ્ટમને હલ કરવા માટે, આ સિસ્ટમના બીજા સમીકરણને હલ કરવા માટે તે પૂરતું છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યાઓની આવી બધી જોડી શોધવા માટે તે પૂરતું છે ( x 0 , y 0), જે સમીકરણને ઉલટાવે છે

a 2 એક્સ + b 2 ખાતે = c 2

સંખ્યાત્મક સમાનતામાં.

ચાલો ધારીએ કે આ સમીકરણમાં ઓછામાં ઓછો એક ગુણાંક છે a 2 અને b 2 એ શૂન્યથી અલગ છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, b 2 =/= 0. પછી તરીકે x 0 તમે કોઈપણ નંબર પસંદ કરી શકો છો t ; y 0 આ કિસ્સામાં સ્થિતિ પરથી શોધી શકાય છે a 2 t + b 2 y 0 = c 2, ક્યાંથી .

તેથી, વિચારણા હેઠળના કિસ્સામાં, સમીકરણોની સિસ્ટમ (2) છે અનંત સમૂહનિર્ણયો તે બધા સૂત્રો દ્વારા આપવામાં આવે છે

જ્યાં t - કોઈપણ નંબર.

અમે આ પરિણામ ધારણા હેઠળ મેળવ્યું છે કે ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક છે a 2 અને b 2 એ શૂન્યથી અલગ છે. જો તે બંને શૂન્ય સમાન હોય તો શું? પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ (2) ફોર્મ ધરાવે છે:

આવી સિસ્ટમ રજૂ કરતી નથી વિશેષ રસ. જો c 1 = c 2 = 0, તો તેનો ઉકેલ સંખ્યાઓની કોઈપણ જોડી છે ( x 0 , y 0). જો ઓછામાં ઓછા એક નંબરો c 1 અને c 2 બિનશૂન્ય છે, પછી સિસ્ટમ (3) અસંગત છે.

દેખીતી રીતે, કેસ જ્યારે a 2 = b 2 = 0 આપોઆપ બાકાત થઈ જશે જો અમને વધારામાં અજ્ઞાત માટે ગુણાંકમાં તે જરૂરી હોય x અને ખાતે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં (1) ઓછામાં ઓછો એક બિન-શૂન્ય ગુણાંક હતો.

અમે નીચેની પ્રમેય સાબિત કરી છે.

જો અજ્ઞાતના ગુણાંક અને સમીકરણોની સિસ્ટમમાં મુક્ત પદો (1) અનુક્રમે પ્રમાણસર હોય અને અજાણ્યાના ગુણાંકમાં ઓછામાં ઓછો એક ગુણાંક હોય જે શૂન્યથી અલગ હોય, તો સમીકરણોની સિસ્ટમ (1) પાસે અસંખ્ય ઉકેલો. તે બધા સમાન સમીકરણના ઉકેલો તરીકે મેળવવામાં આવે છે, જેમાં અજ્ઞાત માટે બિનશૂન્ય ગુણાંક હોય છે.

ઉદાહરણ.સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો

અજ્ઞાતના ગુણાંક અને સમીકરણોની આ સિસ્ટમની મુક્ત શરતો અનુક્રમે પ્રમાણસર છે. તેથી, સમીકરણોની આ સિસ્ટમના તમામ ઉકેલો એકલા પ્રથમ સમીકરણના ઉકેલો તરીકે મેળવી શકાય છે

એક્સ -2ખાતે = 3.

માનતા x = t , અમે તે શોધીએ છીએ ખાતે = 1 / 2 (t - 3).

તેથી, આ સિસ્ટમસમીકરણોમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે:

x = t , ખાતે = 1 / 2 (t - 3),

જ્યાં t - કોઈપણ નંબર. ખાસ કરીને, જ્યારે t = 0 ઉકેલ મળે છે એક્સ = 0, y = - 3 / 2, મુ t = 5 - ઉકેલ એક્સ = 5, ખાતે = 1, વગેરે.

નિર્ધારકોના સંદર્ભમાં ઉપર સાબિત થયેલ પ્રમેય ઘડવો ઉપયોગી છે.

જો અજ્ઞાતના ગુણાંક અને સમીકરણોની સિસ્ટમની મુક્ત શરતો (1) અનુક્રમે પ્રમાણસર હોય, તો તે (2) નો ઉપયોગ કરીને સીધું મેળવવાનું સરળ છે.

Δ = Δ x = Δ y = 0.

વાતચીત પણ સાબિત થઈ શકે છે. જો Δ = Δ x = Δ y = 0 અને ઓછામાં ઓછા એક ગુણાંક માટે અજાણી સિસ્ટમોસમીકરણો (1) શૂન્યથી અલગ છે, પછી અજ્ઞાતના ગુણાંક અને આવી સમીકરણોની સિસ્ટમની મુક્ત શરતો અનુક્રમે પ્રમાણસર હશે. અમે આ હકીકતને સાબિત કરવા પર ધ્યાન આપીશું નહીં, જો કે સૈદ્ધાંતિક રીતે આ કરી શકાય છે. પરંતુ, તેને વિશ્વાસ પર લઈને, આપણે હવે નીચે પ્રમાણે ઉપર સાબિત થયેલ પ્રમેય ઘડી શકીએ છીએ.

જો સમીકરણોની પ્રણાલીના મુખ્ય અને બંને સહાયક નિર્ણાયકો (1) શૂન્ય સમાન હોય અને અજ્ઞાતના ગુણાંકમાં ઓછામાં ઓછો એક બિન-શૂન્ય ગુણાંક હોય, તો સમીકરણોની સિસ્ટમ (1) પાસે અસંખ્ય સંખ્યા હોય છે. ઉકેલો તે બધા સમાન સમીકરણના ઉકેલો તરીકે મેળવવામાં આવે છે, જેમાં અજાણ્યા માટે બિનશૂન્ય ગુણાંક હોય છે.

કસરતો

241. (મૌખિક) બતાવો કે સમીકરણોની આ દરેક પ્રણાલીમાં અનંત સંખ્યામાં ઉકેલો છે:

સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલો (નં. 242-244):