પરિપત્ર સિલિન્ડર સમીકરણ. જગ્યાની મૂળભૂત સપાટીઓ અને તેમનું બાંધકામ

વિદ્યાર્થીઓ મોટેભાગે પ્રથમ વર્ષમાં 2જી ક્રમની સપાટીઓનો સામનો કરે છે. શરૂઆતમાં, આ વિષય પરની સમસ્યાઓ સરળ લાગે છે, પરંતુ જેમ તમે અભ્યાસ કરો છો ઉચ્ચ ગણિતઅને વૈજ્ઞાનિક બાજુમાં વધુ ઊંડાણપૂર્વક, તમે આખરે શું થઈ રહ્યું છે તેના પર તમારી બેરિંગ્સ ગુમાવી શકો છો. આવું ન થાય તે માટે, તમારે માત્ર યાદ રાખવાની જરૂર નથી, પરંતુ તે સમજવાની જરૂર છે કે આ અથવા તે સપાટી કેવી રીતે પ્રાપ્ત થાય છે, ગુણાંકમાં થતા ફેરફારો તેને અને તેના સ્થાનને મૂળ સંકલન પ્રણાલીની તુલનામાં કેવી રીતે અસર કરે છે અને નવી સિસ્ટમ કેવી રીતે શોધવી (એક જેમાં તેનું કેન્દ્ર મૂળ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે એકરુપ છે, પરંતુ તેમાંથી એકની સમાંતર સંકલન અક્ષો). ચાલો શરૂઆતથી જ શરૂ કરીએ.

વ્યાખ્યા

2જી ક્રમની સપાટીને GMT કહેવામાં આવે છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ નીચેના ફોર્મના સામાન્ય સમીકરણને સંતોષે છે:

તે સ્પષ્ટ છે કે સપાટી સાથે જોડાયેલા દરેક બિંદુમાં અમુક નિયુક્ત ધોરણે ત્રણ કોઓર્ડિનેટ્સ હોવા જોઈએ. જોકે કેટલાક કિસ્સાઓમાં લોકસબિંદુઓ અધોગતિ કરી શકે છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્લેનમાં. આનો અર્થ માત્ર એ છે કે અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની સમગ્ર શ્રેણીમાં એક કોઓર્ડિનેટ્સ સ્થિર અને શૂન્યની બરાબર છે.

ઉપરોક્ત સમાનતાનું સંપૂર્ણ લેખિત સ્વરૂપ આના જેવું દેખાય છે:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - કેટલાક સ્થિરાંકો, x, y, z - અનુરૂપ ચલ affine કોઓર્ડિનેટ્સકોઈપણ બિંદુ. આ કિસ્સામાં, ઓછામાં ઓછા એક સતત પરિબળો ન હોવા જોઈએ શૂન્ય બરાબર, એટલે કે, કોઈપણ બિંદુ સમીકરણને અનુરૂપ રહેશે નહીં.

મોટા ભાગના ઉદાહરણોમાં, ઘણા સંખ્યાત્મક પરિબળો હજુ પણ શૂન્ય સમાન છે, અને સમીકરણ નોંધપાત્ર રીતે સરળ છે. વ્યવહારમાં, બિંદુ સપાટીથી સંબંધિત છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવું મુશ્કેલ નથી (તે તેના કોઓર્ડિનેટ્સને સમીકરણમાં બદલવા અને ઓળખ અવલોકન કરવામાં આવે છે કે કેમ તે તપાસવા માટે પૂરતું છે). મુખ્ય મુદ્દોઆવા કામમાં બાદમાં લાવવાનું છે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ.

ઉપર લખેલ સમીકરણ કોઈપણ (નીચે સૂચિબદ્ધ તમામ) 2જી ક્રમની સપાટીઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. ચાલો નીચેના ઉદાહરણો જોઈએ.

2જી ક્રમની સપાટીઓના પ્રકાર

2જી ક્રમની સપાટીઓના સમીકરણો A nm ગુણાંકના મૂલ્યોમાં જ અલગ પડે છે. થી સામાન્ય દૃશ્યસ્થિરાંકોના ચોક્કસ મૂલ્યો પર, વિવિધ સપાટીઓ મેળવી શકાય છે, જેનું વર્ગીકરણ નીચે મુજબ છે:

1. સિલિન્ડરો.
2. લંબગોળ પ્રકાર.
3. હાયપરબોલિક પ્રકાર.
4. શંક્વાકાર પ્રકાર.
5. પેરાબોલિક પ્રકાર.
6. વિમાનો.

સૂચિબદ્ધ દરેક પ્રકારો કુદરતી અને કાલ્પનિક સ્વરૂપ ધરાવે છે: કાલ્પનિક સ્વરૂપમાં, વાસ્તવિક બિંદુઓનું સ્થાન કાં તો વધુ અધોગતિ પામે છે. એક સરળ આકૃતિ, અથવા સંપૂર્ણપણે ગેરહાજર છે.

સિલિન્ડરો

આ સૌથી સરળ પ્રકાર છે, કારણ કે પ્રમાણમાં જટિલ વળાંક ફક્ત પાયા પર રહેલો છે, જે માર્ગદર્શક તરીકે કાર્ય કરે છે. જનરેટર સીધી રેખાઓ છે, લંબરૂપ વિમાનો, જેમાં આધાર રહેલો છે.

ગ્રાફ ગોળાકાર સિલિન્ડર બતાવે છે - ખાસ કેસલંબગોળ સિલિન્ડર. XY પ્લેનમાં, તેનું પ્રક્ષેપણ એક લંબગોળ હશે (અમારા કિસ્સામાં, એક વર્તુળ) - એક માર્ગદર્શિકા, અને XZ માં - એક લંબચોરસ - કારણ કે જનરેટર્સ Z અક્ષની સમાંતર છે, તેને સામાન્ય સમીકરણમાંથી મેળવવા માટે ગુણાંકને નીચેના મૂલ્યો આપવા માટે જરૂરી છે:

સામાન્ય સંકેતોને બદલે x, y, z, x ની સાથે સીરીયલ નંબર- તે વાંધો નથી.

વાસ્તવમાં, અહીં દર્શાવેલ 1/a 2 અને અન્ય સ્થિરાંકો સામાન્ય સમીકરણમાં દર્શાવેલ સમાન ગુણાંક છે, પરંતુ તેમને બરાબર આ સ્વરૂપમાં લખવાનો રિવાજ છે - આ છે પ્રમાણભૂત રજૂઆત. નીચેનામાં, આ એન્ટ્રીનો વિશેષ ઉપયોગ કરવામાં આવશે.

આ હાઇપરબોલિક સિલિન્ડરને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. યોજના સમાન છે - હાયપરબોલ માર્ગદર્શિકા હશે.

પેરાબોલિક સિલિન્ડરને થોડી અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: તેના પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં એક ગુણાંક p શામેલ છે, જેને પરિમાણ કહેવાય છે. વાસ્તવમાં, ગુણાંક q=2p છે, પરંતુ તેને પ્રસ્તુત કરેલા બે પરિબળોમાં વિભાજીત કરવાનો રિવાજ છે.

સિલિન્ડરનો બીજો પ્રકાર છે: કાલ્પનિક. આવા સિલિન્ડરનો કોઈ વાસ્તવિક બિંદુ નથી. તે લંબગોળ સિલિન્ડરના સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, પરંતુ એકને બદલે -1 છે.

લંબગોળ પ્રકાર

લંબગોળને અક્ષોમાંથી એક સાથે ખેંચી શકાય છે (જેની સાથે તે ઉપર દર્શાવેલ સ્થિરાંક a, b, c ના મૂલ્યો પર આધાર રાખે છે; દેખીતી રીતે, મોટી અક્ષ મોટા ગુણાંકને અનુરૂપ હશે).

ત્યાં એક કાલ્પનિક લંબગોળ પણ છે - જો કે ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરેલ કોઓર્ડિનેટનો સરવાળો -1 બરાબર છે:

હાયપરબોલોઇડ્સ

જ્યારે કોઈ એક સ્થિરાંકમાં બાદબાકી દેખાય છે, ત્યારે લંબગોળનું સમીકરણ સિંગલ-શીટ હાઈપરબોલોઈડના સમીકરણમાં ફેરવાય છે. તમારે સમજવું જોઈએ કે આ માઈનસ x3 કોઓર્ડિનેટની સામે સ્થિત હોવું જરૂરી નથી! તે માત્ર નક્કી કરે છે કે કયો અક્ષ હાયપરબોલોઇડના પરિભ્રમણની અક્ષ હશે (અથવા તેની સમાંતર, કારણ કે જ્યારે વધારાના શબ્દો ચોરસમાં દેખાય છે (ઉદાહરણ તરીકે, (x-2) 2), ત્યારે આકૃતિનું કેન્દ્ર બદલાય છે, જેમ કે પરિણામે, સપાટી સંકલન અક્ષની સમાંતર ખસે છે). આ તમામ 2જી ઓર્ડર સપાટી પર લાગુ પડે છે.

વધુમાં, તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે સમીકરણો પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે અને તે સ્થિરાંકોને અલગ કરીને બદલી શકાય છે (ચિહ્ન જાળવી રાખતી વખતે!); તે જ સમયે, તેમનો દેખાવ (હાયપરબોલોઇડ, શંકુ અને તેથી વધુ) સમાન રહેશે.

આવા સમીકરણ બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

શંક્વાકાર સપાટી

શંકુ સમીકરણમાં, કોઈ એકતા નથી - તે શૂન્યની બરાબર છે.

શંકુ માત્ર મર્યાદિત છે શંકુ આકારની સપાટી. નીચેનું ચિત્ર બતાવે છે કે, હકીકતમાં, ચાર્ટ પર બે કહેવાતા શંકુ હશે.

મહત્વની નોંધ: તમામ માનવામાં આવતા પ્રમાણભૂત સમીકરણોમાં, સ્થિરાંકો મૂળભૂત રીતે હકારાત્મક હોવાનું માનવામાં આવે છે. નહિંતર, ચિહ્ન અંતિમ ગ્રાફને અસર કરી શકે છે.

સંકલન વિમાનો શંકુની સમપ્રમાણતાના વિમાનો બની જાય છે, સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર મૂળ પર સ્થિત છે.

કાલ્પનિક શંકુના સમીકરણમાં ફક્ત પ્લીસસ છે; તે એક વાસ્તવિક બિંદુ ધરાવે છે.

પેરાબોલોઇડ્સ

અવકાશમાં 2જી ક્રમની સપાટીઓ લઈ શકે છે વિવિધ આકારોસમાન સમીકરણો સાથે પણ. ઉદાહરણ તરીકે, પેરાબોલોઇડ્સ બે પ્રકારના આવે છે.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

એક લંબગોળ પેરાબોલોઇડ, જ્યારે Z અક્ષ રેખાંકન માટે લંબરૂપ હોય છે, ત્યારે તેને લંબગોળમાં પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવશે.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

હાઇપરબોલિક પેરાબોલોઇડ: ZY ની સમાંતર પ્લેનવાળા વિભાગોમાં, પેરાબોલાસ મેળવવામાં આવશે, અને XY ની સમાંતર પ્લેનવાળા વિભાગોમાં, હાઇપરબોલાસ મેળવવામાં આવશે.

છેદતી વિમાનો

એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે પ્લેનમાં 2જી ક્રમની સપાટીઓ ડિજનરેટ થાય છે. આ વિમાનોને વિવિધ રીતે ગોઠવી શકાય છે.

પહેલા આપણે છેદતા વિમાનો જોઈએ:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

પ્રામાણિક સમીકરણના આ ફેરફાર સાથે, આપણને ફક્ત બે છેદતા વિમાનો મળે છે (કાલ્પનિક!); બધા વાસ્તવિક બિંદુઓ કોઓર્ડિનેટની અક્ષ પર સ્થિત છે જે સમીકરણમાં ગેરહાજર છે (કેનોનિકલ એકમાં - Z અક્ષ).

સમાંતર વિમાનો

જો ત્યાં માત્ર એક સંકલન હોય, તો 2જી ક્રમની સપાટીઓ જોડીમાં ક્ષીણ થાય છે સમાંતર વિમાનો. ભૂલશો નહીં, કોઈપણ અન્ય ચલ પ્લેયરનું સ્થાન લઈ શકે છે; પછી અન્ય અક્ષોની સમાંતર વિમાનો મેળવવામાં આવશે.

આ કિસ્સામાં તેઓ કાલ્પનિક બની જાય છે.

સાંયોગિક વિમાનો

આ સાથે સરળ સમીકરણવિમાનોની જોડી એકમાં અધોગતિ કરે છે - તે એકરૂપ થાય છે.

ભૂલશો નહીં કે ત્રિ-પરિમાણીય આધારના કિસ્સામાં, ઉપરોક્ત સમીકરણ સીધી રેખા y=0 નો ઉલ્લેખ કરતું નથી! તે અન્ય બે ચલો ખૂટે છે, પરંતુ તેનો અર્થ એ છે કે તેમની કિંમત સ્થિર છે અને શૂન્યની બરાબર છે.

બાંધકામ

વિદ્યાર્થી માટે સૌથી મુશ્કેલ કાર્યોમાંનું એક ચોક્કસપણે 2જી ક્રમની સપાટીઓનું નિર્માણ છે. અક્ષો અને કેન્દ્રના ઓફસેટને સંબંધિત વળાંકના ઝોકના ખૂણાઓને ધ્યાનમાં લેતા, એક સંકલન પ્રણાલીમાંથી બીજી તરફ જવાનું વધુ મુશ્કેલ છે. ચાલો સતત કેવી રીતે નક્કી કરવું તેની સમીક્ષા કરીએ ભાવિ દૃશ્યવિશ્લેષણાત્મક રીતે ચિત્રકામ.

2જી ક્રમની સપાટી બનાવવા માટે, તમારે આ કરવાની જરૂર છે:

• સમીકરણને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં લાવો;
• અભ્યાસ હેઠળની સપાટીનો પ્રકાર નક્કી કરો;
• ગુણાંકના મૂલ્યોના આધારે બિલ્ડ કરો.

નીચે બધા પ્રકારો ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા છે:

આને મજબૂત કરવા માટે, અમે આ પ્રકારના કાર્યના એક ઉદાહરણનું વિગતવાર વર્ણન કરીશું.

ઉદાહરણો

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે સમીકરણ છે:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

ચાલો તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લાવીએ. ચાલો સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ, એટલે કે, આપણે ઉપલબ્ધ શબ્દોને એવી રીતે ગોઠવીશું કે તે સરવાળો અથવા તફાવતના વર્ગનું વિઘટન હોય. ઉદાહરણ તરીકે: જો (a+1) 2 =a 2 +2a+1, તો a 2 +2a+1=(a+1) 2. અમે બીજું ઓપરેશન કરીશું. માં કૌંસ આ કિસ્સામાંતે જાહેર કરવું જરૂરી નથી, કારણ કે આ ફક્ત ગણતરીઓને જટિલ બનાવશે, પરંતુ બહાર લાવવા માટે સામાન્ય ગુણક 6 (સાથે કૌંસમાં સંપૂર્ણ ચોરસરમત) તમને જરૂર છે:

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

ચલ ઝેટ આ કિસ્સામાં માત્ર એક જ વાર દેખાય છે - તમે તેને હમણાં માટે એકલા છોડી શકો છો.

ચાલો આ તબક્કે સમીકરણનું પૃથ્થકરણ કરીએ: બધા અજ્ઞાતની સામે વત્તાનું ચિહ્ન હોય છે; છ પાન એક વડે ભાગવું. પરિણામે, આપણી સમક્ષ લંબગોળને વ્યાખ્યાયિત કરતું એક સમીકરણ છે.

નોંધ લો કે 144 ને 150-6 માં પરિબળ કરવામાં આવ્યું હતું, અને પછી -6 ને જમણી તરફ ખસેડવામાં આવ્યું હતું. શા માટે આ રીતે કરવું પડ્યું? દેખીતી રીતે સૌથી વધુ મોટા વિભાજકવી આ ઉદાહરણમાં-6, તેથી, તેના દ્વારા વિભાજન કર્યા પછી એકમ જમણી બાજુએ રહે તે માટે, 144 માંથી બરાબર 6 "બાજુ મૂકવું" જરૂરી છે (એકમ જમણી બાજુએ હોવો જોઈએ તે હકીકત એ એકની હાજરી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ફ્રી ટર્મ - એક અચળ અજ્ઞાત દ્વારા ગુણાકાર થતો નથી).

ચાલો દરેક વસ્તુને છ વડે વિભાજીત કરીએ અને લંબગોળનું પ્રમાણભૂત સમીકરણ મેળવીએ:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

2જી ક્રમની સપાટીઓના અગાઉ ઉપયોગમાં લેવાતા વર્ગીકરણમાં, જ્યારે આકૃતિનું કેન્દ્ર કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર હોય ત્યારે એક વિશિષ્ટ કેસ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આ ઉદાહરણમાં તે સરભર છે.

અમે ધારીએ છીએ કે અજ્ઞાત સાથે દરેક કૌંસ એક નવું ચલ છે. એટલે કે: a=x-1, b=y+5, c=z. નવા કોઓર્ડિનેટ્સમાં, લંબગોળનું કેન્દ્ર બિંદુ (0,0,0) સાથે એકરુપ છે, તેથી, a=b=c=0, જ્યાંથી: x=1, y=-5, z=0. પ્રારંભિક કોઓર્ડિનેટ્સમાં, આકૃતિનું કેન્દ્ર બિંદુ (1,-5,0) પર આવેલું છે.

લંબગોળ બે લંબગોળોમાંથી મેળવવામાં આવશે: પ્રથમ XY પ્લેનમાં અને બીજો XZ પ્લેનમાં (અથવા YZ - તે વાંધો નથી). ગુણાંક કે જેના દ્વારા ચલોને વિભાજિત કરવામાં આવે છે તે પ્રમાણભૂત સમીકરણમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. તેથી, ઉપરના ઉદાહરણમાં, બેના મૂળ, એક અને ત્રણના મૂળ વડે ભાગવું વધુ યોગ્ય રહેશે.

પ્રથમ અંડાકારની નાની અક્ષ, Y અક્ષની સમાંતર, બે જેટલી છે. મુખ્ય અક્ષ X અક્ષની સમાંતર છે - બેના બે મૂળ. બીજા લંબગોળની નાની અક્ષ, Y અક્ષની સમાંતર, સમાન રહે છે - તે બે બરાબર છે. એ મુખ્ય ધરી, Z અક્ષની સમાંતર, ત્રણના બે મૂળની બરાબર છે.

મૂળ સમીકરણમાંથી મેળવેલા ડેટાને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીને તેનો ઉપયોગ કરીને, આપણે લંબગોળ દોરી શકીએ છીએ.

સારાંશ

આ લેખમાં આવરી લેવામાં આવેલ વિષય ખૂબ વ્યાપક છે, પરંતુ હકીકતમાં, તમે હવે જોઈ શકો છો, તે ખૂબ જટિલ નથી. તેનો વિકાસ, હકીકતમાં, તે ક્ષણે સમાપ્ત થાય છે જ્યારે તમે સપાટીઓના નામ અને સમીકરણોને યાદ કરો છો (અને, અલબત્ત, તેઓ કેવા દેખાય છે). ઉપરના ઉદાહરણમાં, અમે દરેક પગલાની વિગતવાર તપાસ કરી છે, પરંતુ સમીકરણને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં લાવવા માટે ઉચ્ચ ગણિતનું ન્યૂનતમ જ્ઞાન જરૂરી છે અને વિદ્યાર્થી માટે કોઈ મુશ્કેલી ઊભી થવી જોઈએ નહીં.

વર્તમાન સમાનતા પર આધારિત ભાવિ શેડ્યૂલનું વિશ્લેષણ પહેલાથી જ વધુ છે મુશ્કેલ કાર્ય. પરંતુ તેને સફળતાપૂર્વક હલ કરવા માટે, તે સમજવા માટે પૂરતું છે કે અનુરૂપ બીજા-ક્રમના વળાંકો કેવી રીતે બનાવવામાં આવે છે - એલિપ્સ, પેરાબોલાસ અને અન્ય.

અધોગતિના કેસો વધુ સરળ વિભાગ છે. કેટલાક ચલોની ગેરહાજરીને લીધે, માત્ર ગણતરીઓ જ સરળ નથી, જેમ કે અગાઉ ઉલ્લેખ કર્યો છે, પણ બાંધકામ પણ.

જલદી તમે વિશ્વાસપૂર્વક તમામ પ્રકારની સપાટીઓને નામ આપી શકો છો, સ્થિરાંકો બદલી શકો છો, ગ્રાફને એક અથવા બીજા આકારમાં ફેરવી શકો છો, વિષયમાં નિપુણતા પ્રાપ્ત થશે.

તમારા અભ્યાસમાં સારા નસીબ!

લંબગોળ સમીકરણ:

એક ખાસ કેસ લંબગોળ સિલિન્ડરછે ગોળાકાર સિલિન્ડર, તેનું સમીકરણ x 2 + y 2 = R 2 છે. સમીકરણ x 2 =2pz અવકાશમાં વ્યાખ્યાયિત કરે છે પેરાબોલિક સિલિન્ડર.

સમીકરણ: અવકાશમાં વ્યાખ્યાયિત કરે છે હાઇપરબોલિક સિલિન્ડર.

આ તમામ સપાટીઓ કહેવામાં આવે છે બીજા ક્રમના સિલિન્ડરો, કારણ કે તેમના સમીકરણો વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સ x, y, z ના સંદર્ભમાં બીજી ડિગ્રીના સમીકરણો છે.

18. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જટિલ સંખ્યાઓ જટિલ સંખ્યાઓ પરની ક્રિયાઓ. જટિલ સંખ્યાઓ. મોઇવરના સૂત્રો.
જટિલ સંખ્યાનામ z=x+iy ફોર્મની અભિવ્યક્તિ, જ્યાં x અને y વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને i કહેવાતા છે. કાલ્પનિક એકમ, . જો x=0, તો નંબર 0+iy=iy કહેવાય. કાલ્પનિક સંખ્યા; જો y=0 હોય, તો સંખ્યા x+i0=x વાસ્તવિક સંખ્યા x સાથે ઓળખાય છે, જેનો અર્થ છે કે સેટ Rall વાસ્તવિક છે. ઘટનાની સંખ્યા તમામ જટિલ સંખ્યાઓના સમૂહ C નો સબસેટ, એટલે કે. .નંબર x નામ વાસ્તવિક ભાગ z, .બે જટિલ સંખ્યાઓ અને સમાન (z1=z2) કહેવાય છે જો અને માત્ર જો તેમના વાસ્તવિક ભાગો સમાન હોય અને તેમના કાલ્પનિક ભાગો સમાન હોય: x1=x2, y1=y2. ખાસ કરીને, જટિલ સંખ્યા Z=x+iy શૂન્યની બરાબર છે જો અને માત્ર જો x=y=0 હોય. જટિલ સંખ્યાઓ માટે "વધુ" અને "ઓછા" ની વિભાવનાઓ રજૂ કરવામાં આવી નથી. બે જટિલ સંખ્યાઓ z = x + iy и , જે ફક્ત કાલ્પનિક ભાગની નિશાનીમાં અલગ હોય છે, તેને સંયોજક કહેવામાં આવે છે.

ભૌમિતિક છબીજટિલ સંખ્યાઓ.

કોઈપણ જટિલ સંખ્યા z=x+iy ઓક્સી સમતલના બિંદુ M(x,y) દ્વારા દર્શાવી શકાય છે જેમ કે x=Rez, y=Imz. અને, તેનાથી વિપરિત, કોઓર્ડિનેટ પ્લેનનો દરેક બિંદુ M(x;y) એક છબી તરીકે ગણી શકાય જટિલ સંખ્યા z=x+iy. પ્લેન કે જેના પર જટિલ સંખ્યાઓ દર્શાવવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે જટિલ વિમાન, કારણ કે તેમાં વાસ્તવિક સંખ્યાઓ z=x+0i=x છે. ઓર્ડિનેટ અક્ષને કાલ્પનિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેના પર સંપૂર્ણ કાલ્પનિક જટિલ સંખ્યાઓ z=0+iy આવેલી છે. જટિલ સંખ્યા Z=x+iy ત્રિજ્યા વેક્ટર r=OM=(x,y) નો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. જટિલ સંખ્યા z રજૂ કરતા વેક્ટર r ની લંબાઈને આ સંખ્યાનું મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે અને તેને |z| દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. અથવા આર. વચ્ચેના ખૂણાનું કદ દિશા વાસ્તવિક ધરીઅને જટિલ સંખ્યાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વેક્ટર r ને આ જટિલ સંખ્યાની દલીલ કહેવામાં આવે છે, જે Argz દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે અથવા જટિલ સંખ્યા Z=0 ની દલીલ વ્યાખ્યાયિત નથી. જટિલ સંખ્યાની દલીલ એ બહુ-મૂલ્યવાળું જથ્થા છે અને તે એક શબ્દ સુધી નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે જ્યાં argz એ અંતરાલ () માં સમાયેલ દલીલનું મુખ્ય મૂલ્ય છે, એટલે કે. - (ક્યારેક દલીલનું મુખ્ય મૂલ્ય મૂલ્ય તરીકે લેવામાં આવે છે અંતરાલ સાથે સંબંધિત (0; )).

નંબર z ને z=x+iy સ્વરૂપમાં લખવાનું કહેવાય છે બીજગણિત સ્વરૂપજટિલ સંખ્યા.

તફાવત સાથે કે "સપાટ" આલેખને બદલે, અમે સૌથી સામાન્ય અવકાશી સપાટીઓને ધ્યાનમાં લઈશું, અને તે પણ શીખીશું કે તેમને હાથથી કેવી રીતે સક્ષમ રીતે બનાવવું. મેં ત્રિ-પરિમાણીય રેખાંકનો બનાવવા માટે સૉફ્ટવેર ટૂલ્સ પસંદ કરવામાં ઘણો લાંબો સમય પસાર કર્યો અને કેટલીક સારી એપ્લિકેશનો મળી, પરંતુ ઉપયોગમાં સરળતા હોવા છતાં, આ પ્રોગ્રામ્સ મહત્વપૂર્ણ મુદ્દાઓને હલ કરતા નથી. વ્યવહારુ પ્રશ્ન. હકીકત એ છે કે નજીકના ઐતિહાસિક ભવિષ્યમાં, વિદ્યાર્થીઓ હજી પણ શાસક અને પેન્સિલથી સજ્જ હશે, અને ઉચ્ચ-ગુણવત્તાવાળા "મશીન" ચિત્ર સાથે પણ, ઘણા તેને યોગ્ય રીતે સ્થાનાંતરિત કરી શકશે નહીં. ચેકર્ડ કાગળ. તેથી, માર્ગદર્શિકામાં ખાસ ધ્યાનમેન્યુઅલ બાંધકામની તકનીકને સમર્પિત છે, અને પૃષ્ઠના ચિત્રોનો નોંધપાત્ર ભાગ હાથથી બનાવેલ ઉત્પાદન છે.

આમાં શું અલગ છે સંદર્ભ સામગ્રીએનાલોગમાંથી?

એક પ્રતિષ્ઠિત કર્યા વ્યવહારુ અનુભવ, હું સારી રીતે જાણું છું કે કઈ સપાટીઓ સાથે મારે મોટાભાગે વ્યવહાર કરવો પડે છે વાસ્તવિક સમસ્યાઓઉચ્ચ ગણિત, અને મને આશા છે કે આ લેખ તમને મદદ કરશે શક્ય તેટલી વહેલી તકેતમારા સામાનને સંબંધિત જ્ઞાન અને લાગુ કુશળતાથી ભરો, જે 90-95% કેસોમાં પૂરતું હોવું જોઈએ.

આ ક્ષણે તમારે શું કરવા સક્ષમ બનવાની જરૂર છે?

સૌથી મૂળભૂત:

સૌ પ્રથમ, તમારે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે યોગ્ય રીતે બનાવોઅવકાશી કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ (લેખની શરૂઆત જુઓ આલેખ અને કાર્યોના ગુણધર્મો) .

આ લેખ વાંચ્યા પછી તમને શું મળશે?

બોટલ પાઠ સામગ્રીમાં નિપુણતા મેળવ્યા પછી, તમે તેના કાર્ય અને/અથવા સમીકરણ દ્વારા સપાટીના પ્રકારને ઝડપથી નિર્ધારિત કરવાનું શીખી શકશો, કલ્પના કરો કે તે અવકાશમાં કેવી રીતે સ્થિત છે અને, અલબત્ત, રેખાંકનો બનાવો. જો તમે પ્રથમ વાંચન પછી તમારા મગજમાં બધું મેળવશો નહીં તો તે ઠીક છે - તમે હંમેશા જરૂર મુજબ કોઈપણ ફકરા પર પાછા આવી શકો છો.

માહિતી દરેકની શક્તિમાં હોય છે - તેને માસ્ટર કરવા માટે તમારે કોઈ સુપર જ્ઞાન, વિશેષ કલાત્મક પ્રતિભા અથવા અવકાશી દ્રષ્ટિની જરૂર નથી.

ચાલો શરૂ કરીએ!

વ્યવહારમાં, અવકાશી સપાટી સામાન્ય રીતે આપવામાં આવે છે બે ચલોનું કાર્યઅથવા ફોર્મનું સમીકરણ (જમણી બાજુનો સ્થિરાંક મોટેભાગે શૂન્ય અથવા એક સમાન હોય છે). પ્રથમ હોદ્દો માટે વધુ લાક્ષણિક છે ગાણિતિક વિશ્લેષણ, બીજું - માટે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ. સમીકરણ અનિવાર્યપણે છે સ્પષ્ટપણે આપવામાં આવે છે 2 ચલોનું કાર્ય, જે લાક્ષણિક કિસ્સાઓમાં સરળતાથી ફોર્મમાં ઘટાડી શકાય છે. હું તમને યાદ કરાવું છું સૌથી સરળ ઉદાહરણ c:

–પ્લેન સમીકરણપ્રકારની

- માં પ્લેન ફંક્શન સ્પષ્ટપણે .

ચાલો તેની સાથે પ્રારંભ કરીએ:

વિમાનોના સામાન્ય સમીકરણો

લાક્ષણિક વિકલ્પોમાં વિમાનોની વ્યવસ્થા લંબચોરસ સિસ્ટમલેખની શરૂઆતમાં કોઓર્ડિનેટ્સની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે પ્લેન સમીકરણ. જો કે, ચાલો આપણે ફરી એકવાર સમીકરણો પર ધ્યાન આપીએ મહાન મહત્વપ્રેક્ટિસ માટે.

સૌ પ્રથમ, તમારે વિમાનોના સમીકરણોને સંપૂર્ણ રીતે આપમેળે ઓળખી લેવા જોઈએ જે સમન્વયિત વિમાનોની સમાંતર છે. વિમાનોના ટુકડાઓ પ્રમાણભૂત રીતે લંબચોરસ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જે છેલ્લા બે કિસ્સામાં સમાંતરગ્રામ જેવા દેખાય છે. ડિફૉલ્ટ રૂપે, તમે કોઈપણ પરિમાણો પસંદ કરી શકો છો (અલબત્ત વાજબી મર્યાદામાં), પરંતુ તે ઇચ્છનીય છે કે જે બિંદુ પર સંકલન અક્ષ પ્લેનને "વીંધે છે" તે સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર હોય:


કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, સંકલન અક્ષોને કેટલાક સ્થળોએ ડોટેડ રેખાઓ સાથે દર્શાવવામાં આવવી જોઈએ, પરંતુ મૂંઝવણ ટાળવા માટે અમે આ સૂક્ષ્મતાને અવગણીશું.

– (ડાબે ચિત્ર)અસમાનતા આપણાથી સૌથી દૂરની અડધી જગ્યાને સ્પષ્ટ કરે છે, પ્લેનને બાદ કરતાં;

– (મધ્યમ ચિત્ર)અસમાનતા પ્લેન સહિત જમણી અર્ધ-જગ્યાનો ઉલ્લેખ કરે છે;

– (જમણું ચિત્ર)બેવડી અસમાનતા એ "સ્તર" ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે જે પ્લેન વચ્ચે સ્થિત છે, જેમાં બંને પ્લેનનો સમાવેશ થાય છે.

સ્વ-વર્મ-અપ માટે:

ઉદાહરણ 1

વિમાનો દ્વારા બંધાયેલ શરીર દોરો
આપેલ શરીરને વ્યાખ્યાયિત કરતી અસમાનતાઓની સિસ્ટમ બનાવો.

તમારી પેન્સિલની આગેવાની હેઠળથી કોઈ જૂનો પરિચય નીકળવો જોઈએ. ક્યુબોઇડ . ભૂલશો નહીં કે અદ્રશ્ય કિનારીઓ અને ચહેરાઓ ડોટેડ લાઇનથી દોરેલા હોવા જોઈએ. પાઠના અંતે ચિત્રકામ પૂર્ણ કર્યું.

મહેરબાની કરીને, ઉપેક્ષા કરશો નહીં શીખવાના હેતુઓ, ભલે તેઓ ખૂબ સરળ લાગે. નહિંતર, એવું બની શકે છે કે તમે એક ચૂકી ગયા, બે ચૂકી ગયા, અને પછી કેટલાકમાં ત્રિ-પરિમાણીય ડ્રોઇંગનો પ્રયાસ કરવાનો નક્કર કલાક પસાર કર્યો વાસ્તવિક ઉદાહરણ. ઉપરાંત, યાંત્રિક કાર્યતમને સામગ્રીને વધુ અસરકારક રીતે શીખવામાં અને તમારી બુદ્ધિ વિકસાવવામાં મદદ કરશે! તે કોઈ સંયોગ નથી કિન્ડરગાર્ટનઅને પ્રાથમિક શાળાબાળકો ડ્રોઇંગ, મોડેલિંગ, કન્સ્ટ્રક્શન કીટ અને અન્ય કાર્યોથી ભરેલા છે સરસ મોટર કુશળતાઆંગળીઓ વિષયાંતર માટે માફ કરશો, પરંતુ મારી બે નોટબુક ગુમ થવા ન દો વિકાસલક્ષી મનોવિજ્ઞાન =)

અમે શરતી રીતે વિમાનોના આગલા જૂથને "પ્રત્યક્ષ પ્રમાણસરતા" કહીશું - આ સંકલન અક્ષોમાંથી પસાર થતા વિમાનો છે:

2) ફોર્મનું સમીકરણ ધરીમાંથી પસાર થતા પ્લેનનો ઉલ્લેખ કરે છે;

3) ફોર્મનું સમીકરણ ધરીમાંથી પસાર થતા પ્લેનનો ઉલ્લેખ કરે છે.

જોકે ઔપચારિક સંકેત સ્પષ્ટ છે (સમીકરણમાંથી કયું ચલ ખૂટે છે - પ્લેન તે અક્ષમાંથી પસાર થાય છે), બની રહેલી ઘટનાઓના સારને સમજવા માટે તે હંમેશા ઉપયોગી છે:

ઉદાહરણ 2

પ્લેન બાંધો

બિલ્ડ કરવાની શ્રેષ્ઠ રીત કઈ છે? હું સૂચન કરું છું આગામી અલ્ગોરિધમ:

પ્રથમ, ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ, જેમાંથી તે સ્પષ્ટપણે જોવા મળે છે કે "y" લઈ શકે છે કોઈપણઅર્થો ચાલો આપણે મૂલ્યને ઠીક કરીએ, એટલે કે, આપણે કોઓર્ડિનેટ પ્લેનને ધ્યાનમાં લઈશું. સમીકરણો સેટ અવકાશ રેખા, આપેલ કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં પડેલો. ચાલો આ રેખાને ચિત્રમાં દર્શાવીએ. સીધી રેખા કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થાય છે, તેથી તેને બાંધવા માટે તે એક બિંદુ શોધવા માટે પૂરતું છે. દો . એક બિંદુ બાજુ પર સેટ કરો અને સીધી રેખા દોરો.

હવે આપણે પ્લેનના સમીકરણ પર પાછા આવીએ છીએ. ત્યારથી "Y" સ્વીકારે છે કોઈપણમૂલ્યો, પછી પ્લેનમાં બનેલી સીધી રેખા ડાબી અને જમણી તરફ સતત "પ્રતિકૃતિ" થાય છે. આ જ રીતે આપણું પ્લેન બને છે, ધરીમાંથી પસાર થાય છે. રેખાંકન પૂર્ણ કરવા માટે, સીધી રેખાની ડાબી અને જમણી બાજુએ આપણે બે મૂકીએ છીએ સમાંતર રેખાઓઅને ત્રાંસી આડા ભાગો સાથે સાંકેતિક સમાંતરગ્રામને "બંધ કરો":

શરત વધારાના નિયંત્રણો લાદતી ન હોવાથી, પ્લેનનો ટુકડો સહેજ નાના અથવા સહેજ મોટા કદમાં દર્શાવી શકાય છે.

ચાલો ફરી એકવાર અવકાશીના અર્થનું પુનરાવર્તન કરીએ રેખીય અસમાનતાઉદાહરણ દ્વારા. તે વ્યાખ્યાયિત કરે છે તે અર્ધ-જગ્યા કેવી રીતે નક્કી કરવી? ચાલો થોડો મુદ્દો લઈએ થી સંબંધિત નથીપ્લેન, ઉદાહરણ તરીકે, આપણી સૌથી નજીકની અર્ધ-જગ્યામાંથી એક બિંદુ અને તેના કોઓર્ડિનેટ્સને અસમાનતામાં બદલો:

પ્રાપ્ત સાચી અસમાનતા, જેનો અર્થ છે કે અસમાનતા નીચલી (પ્લેનથી સંબંધિત) અર્ધ-જગ્યાને સ્પષ્ટ કરે છે, જ્યારે પ્લેન પોતે ઉકેલમાં સમાવિષ્ટ નથી.

ઉદાહરણ 3

વિમાનો બાંધો
એ);
b)

આ માટે કાર્યો છે સ્વ-નિર્માણ, મુશ્કેલીઓના કિસ્સામાં, સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરો. પાઠના અંતે સંક્ષિપ્ત સૂચનાઓ અને રેખાંકનો.

વ્યવહારમાં, ધરીની સમાંતર વિમાનો ખાસ કરીને સામાન્ય છે. જ્યારે પ્લેન અક્ષમાંથી પસાર થાય છે ત્યારે વિશિષ્ટ કેસની ચર્ચા ફક્ત બિંદુ "be" માં કરવામાં આવી હતી, અને હવે અમે વધુ વિશ્લેષણ કરીશું. સામાન્ય કાર્ય:

ઉદાહરણ 4

પ્લેન બાંધો

ઉકેલ: ચલ “z” સમીકરણમાં સ્પષ્ટપણે સમાવેલ નથી, જેનો અર્થ છે કે પ્લેન એપ્લીકેટ અક્ષની સમાંતર છે. ચાલો અગાઉના ઉદાહરણોની જેમ જ તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ.

ચાલો પ્લેનના સમીકરણને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ જેમાંથી તે સ્પષ્ટ છે કે "zet" લઈ શકે છે કોઈપણઅર્થો ચાલો તેને ઠીક કરીએ અને "મૂળ" વિમાનમાં નિયમિત "સપાટ" સીધી રેખા દોરીએ. તેને બાંધવા માટે, સંદર્ભ બિંદુઓ લેવાનું અનુકૂળ છે.

ત્યારથી "Z" સ્વીકારે છે બધામૂલ્યો, પછી બાંધેલી સીધી રેખા ઉપર અને નીચે સતત "ગુણાકાર" થાય છે, ત્યાંથી ઇચ્છિત સમતલ બનાવે છે . અમે કાળજીપૂર્વક વાજબી કદનો સમાંતરગ્રામ દોરીએ છીએ:

તૈયાર છે.

સેગમેન્ટ્સમાં પ્લેનનું સમીકરણ

સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાગુ વિવિધ. જો બધામતભેદ પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણ બિન-શૂન્ય, પછી તે ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે જેને કહેવામાં આવે છે સેગમેન્ટમાં પ્લેનનું સમીકરણ. તે સ્પષ્ટ છે કે પ્લેન બિંદુઓ પર સંકલન અક્ષોને છેદે છે, અને આવા સમીકરણનો મોટો ફાયદો એ છે કે ડ્રોઇંગ બાંધવામાં સરળતા છે:

ઉદાહરણ 5

પ્લેન બાંધો

ઉકેલ: પ્રથમ, ચાલો સેગમેન્ટમાં પ્લેનનું સમીકરણ બનાવીએ. ચાલો ટ્રાન્સફર કરીએ મફત સભ્યજમણી તરફ અને બંને બાજુઓને 12 વડે વિભાજીત કરો:

ના, અહીં કોઈ ટાઇપો નથી અને બધી વસ્તુઓ અવકાશમાં થાય છે! અમે તે જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સૂચિત સપાટીની તપાસ કરીએ છીએ જેનો ઉપયોગ તાજેતરમાં વિમાનો માટે કરવામાં આવ્યો હતો. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ , જેમાંથી તે અનુસરે છે કે "zet" લે છે કોઈપણઅર્થો ચાલો આપણે સમતલમાં લંબગોળને ઠીક કરીએ અને બાંધીએ. ત્યારથી "ઝેટ" સ્વીકારે છે બધામૂલ્યો, પછી બાંધવામાં આવેલ લંબગોળ ઉપર અને નીચે સતત "પ્રતિકૃતિ" થાય છે. તે સમજવું સરળ છે કે સપાટી અનંત:

આ સપાટી કહેવામાં આવે છે લંબગોળ સિલિન્ડર . લંબગોળ (કોઈપણ ઊંચાઈએ) કહેવાય છે માર્ગદર્શિકાસિલિન્ડર અને અંડાકારના દરેક બિંદુમાંથી પસાર થતી સમાંતર રેખાઓને કહેવામાં આવે છે રચનાસિલિન્ડર (જે છે શાબ્દિકશબ્દો તેની રચના કરે છે). ધરી છે સમપ્રમાણતાની અક્ષસપાટી (પરંતુ તેનો ભાગ નથી!).

આપેલ સપાટીથી સંબંધિત કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ આવશ્યકપણે સમીકરણને સંતોષે છે .

અવકાશીઅસમાનતા અનંત "પાઈપ" ની "અંદર" નો ઉલ્લેખ કરે છે, જેમાં નળાકાર સપાટીનો સમાવેશ થાય છે, અને તે મુજબ, વિરુદ્ધ અસમાનતાસિલિન્ડરની બહારના બિંદુઓના સમૂહને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

IN વ્યવહારુ સમસ્યાઓસૌથી વધુ લોકપ્રિય ખાસ કેસ જ્યારે છે માર્ગદર્શિકાસિલિન્ડર છે વર્તુળ:

ઉદાહરણ 8

સમીકરણ દ્વારા આપેલ સપાટી બનાવો

અનંત “પાઈપ”નું નિરૂપણ કરવું અશક્ય છે, તેથી કલા સામાન્ય રીતે “ટ્રીમિંગ” સુધી મર્યાદિત હોય છે.

પ્રથમ, પ્લેનમાં ત્રિજ્યાનું વર્તુળ બનાવવું અનુકૂળ છે, અને પછી ઉપર અને નીચે થોડા વધુ વર્તુળો. પરિણામી વર્તુળો ( માર્ગદર્શિકાઓસિલિન્ડર) કાળજીપૂર્વક ચાર સમાંતર સીધી રેખાઓ સાથે જોડો ( રચનાસિલિન્ડર):

અમને અદ્રશ્ય હોય તેવી રેખાઓ માટે ડોટેડ રેખાઓનો ઉપયોગ કરવાનું ભૂલશો નહીં.

આપેલ સિલિન્ડર સાથે જોડાયેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ સમીકરણને સંતોષે છે . "પાઈપ" ની અંદર સખત રીતે પડેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ અસમાનતાને સંતોષે છે , અને અસમાનતા બાહ્ય ભાગના બિંદુઓનો સમૂહ વ્યાખ્યાયિત કરે છે. વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, હું કેટલાકને ધ્યાનમાં લેવાની ભલામણ કરું છું ચોક્કસ બિંદુઓજગ્યા અને તમારા માટે જુઓ.

ઉદાહરણ 9

સપાટી બનાવો અને પ્લેન પર તેનું પ્રક્ષેપણ શોધો

ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ જેમાંથી તે અનુસરે છે કે "x" લે છે કોઈપણઅર્થો ચાલો પ્લેનમાં ઠીક કરીએ અને તેનું નિરૂપણ કરીએ વર્તુળ- મૂળના કેન્દ્ર સાથે, એકમ ત્રિજ્યા. ત્યારથી "x" સતત સ્વીકારે છે બધામૂલ્યો, પછી બાંધેલું વર્તુળ સપ્રમાણતાના અક્ષ સાથે ગોળાકાર સિલિન્ડર બનાવે છે. બીજું વર્તુળ દોરો ( માર્ગદર્શિકાસિલિન્ડર) અને કાળજીપૂર્વક તેમને સીધી રેખાઓ સાથે જોડો ( રચનાસિલિન્ડર). કેટલાક સ્થળોએ ઓવરલેપ હતા, પરંતુ શું કરવું, આવી ઢાળ:

આ વખતે મેં મારી જાતને ગેપમાં સિલિન્ડરના ટુકડા સુધી મર્યાદિત કરી છે, અને આ આકસ્મિક નથી. વ્યવહારમાં, સપાટીના માત્ર એક નાના ટુકડાને દર્શાવવા માટે તે ઘણીવાર જરૂરી છે.

અહીં, માર્ગ દ્વારા, ત્યાં 6 જનરેટિસ છે - બે વધારાની સીધી રેખાઓ ઉપરના ડાબા અને નીચલા જમણા ખૂણામાંથી સપાટીને "કવર" કરે છે.

હવે ચાલો પ્લેન પર સિલિન્ડરના પ્રક્ષેપણને જોઈએ. ઘણા વાચકો સમજે છે કે પ્રક્ષેપણ શું છે, પરંતુ, તેમ છતાં, ચાલો બીજી પાંચ મિનિટની શારીરિક કસરત કરીએ. કૃપા કરીને ઊભા રહો અને ડ્રોઇંગ પર તમારું માથું નમાવો જેથી અક્ષનું બિંદુ તમારા કપાળ પર લંબરૂપ થાય. આ કોણથી સિલિન્ડર જે દેખાય છે તે પ્લેન પર તેનું પ્રક્ષેપણ છે. પરંતુ તે એક અનંત પટ્ટી હોય તેવું લાગે છે, જે સીધી રેખાઓ વચ્ચે બંધાયેલ છે, જેમાં સીધી રેખાઓ પણ સામેલ છે. આ પ્રક્ષેપણ- તે બરાબર છે વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્રકાર્યો (સિલિન્ડરનું ઉપરનું "ગટર"), (નીચલું "ગટર").

માર્ગ દ્વારા, ચાલો અન્ય સંકલન વિમાનો પરના અંદાજો સાથે પરિસ્થિતિને સ્પષ્ટ કરીએ. સૂર્યના કિરણોને સિલિન્ડર પર ટોચ પરથી અને ધરી સાથે ચમકવા દો. પ્લેન પર સિલિન્ડરનો પડછાયો (પ્રક્ષેપણ) એ સમાન અનંત પટ્ટી છે - પ્લેનનો એક ભાગ જે સીધી રેખાઓ (- કોઈપણ) દ્વારા બંધાયેલો છે, જેમાં સીધી રેખાઓ શામેલ છે.

પરંતુ પ્લેન પર પ્રક્ષેપણ કંઈક અલગ છે. જો તમે ધરીની ટોચ પરથી સિલિન્ડરને જોશો, તો તે એકમ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં પ્રક્ષેપિત થશે. , જેની સાથે અમે બાંધકામ શરૂ કર્યું.

ઉદાહરણ 10

સપાટી બનાવો અને તેના અનુમાનો સમન્વયિત વિમાનો પર શોધો

માટે આ એક કાર્ય છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. જો સ્થિતિ ખૂબ સ્પષ્ટ ન હોય, તો બંને બાજુ ચોરસ કરો અને પરિણામનું વિશ્લેષણ કરો; ફંક્શન દ્વારા સિલિન્ડરનો કયો ભાગ ઉલ્લેખિત છે તે શોધો. ઉપરોક્ત વારંવાર ઉપયોગમાં લેવાતી બાંધકામ તકનીકનો ઉપયોગ કરો. ઝડપી ઉકેલ, પાઠના અંતે ચિત્રકામ અને ટિપ્પણીઓ.

લંબગોળ અને અન્ય નળાકાર સપાટીઓકોઓર્ડિનેટ અક્ષોને સંબંધિત સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

(વિશેના લેખના પરિચિત હેતુઓ પર આધારિત છે 2જી ક્રમ રેખાઓ) - ધરીની સમાંતર બિંદુમાંથી પસાર થતી સમપ્રમાણતાની રેખા સાથે એકમ ત્રિજ્યાનું સિલિન્ડર. જો કે, વ્યવહારમાં, આવા સિલિન્ડરોનો સામનો ખૂબ જ ભાગ્યે જ થાય છે, અને સંકલન અક્ષોની તુલનામાં "ત્રાંસી" નળાકાર સપાટીનો સામનો કરવો તે એકદમ અવિશ્વસનીય છે.

પેરાબોલિક સિલિન્ડરો

નામ સૂચવે છે તેમ, માર્ગદર્શિકાઆવા સિલિન્ડર છે પેરાબોલા.

ઉદાહરણ 11

સપાટી બનાવો અને તેના અનુમાનો સમન્વયિત વિમાનો પર શોધો.

હું આ ઉદાહરણનો પ્રતિકાર કરી શક્યો નહીં =)

ઉકેલ: ચાલો પીટાયેલા માર્ગે જઈએ. ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણને ફરીથી લખીએ, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે "zet" કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે. ચાલો આપણે પહેલા તુચ્છ સંદર્ભ બિંદુઓને ચિહ્નિત કર્યા પછી, પ્લેન પર એક સામાન્ય પેરાબોલાને ઠીક કરીએ અને બાંધીએ. ત્યારથી "Z" સ્વીકારે છે બધામૂલ્યો, પછી બાંધવામાં આવેલ પેરાબોલા અનંત સુધી ઉપર અને નીચે સતત "પ્રતિકૃતિ" થાય છે. અમે સમાન પેરાબોલા, કહો, ઊંચાઈ પર (વિમાનમાં) મૂકે છે અને કાળજીપૂર્વક તેમને સમાંતર સીધી રેખાઓ સાથે જોડીએ છીએ ( સિલિન્ડરની રચના):

હું તમને યાદ કરાવું છું ઉપયોગી તકનીક: જો તમે શરૂઆતમાં ડ્રોઇંગની ગુણવત્તા વિશે અચોક્કસ હોવ, તો પહેલા પેન્સિલથી ખૂબ જ પાતળી રેખાઓ દોરવાનું વધુ સારું છે. પછી અમે સ્કેચની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ, તે વિસ્તારો શોધી કાઢીએ છીએ જ્યાં સપાટી અમારી આંખોથી છુપાયેલી છે, અને માત્ર ત્યારે જ સ્ટાઈલસ પર દબાણ લાગુ કરો.

અંદાજો.

1) વિમાન પર સિલિન્ડરનું પ્રક્ષેપણ એ પેરાબોલા છે. એ નોંધવું જોઇએ કે આ કિસ્સામાં તે વિશે વાત કરવી અશક્ય છે બે ચલોના કાર્યની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર- કારણ કે સિલિન્ડર સમીકરણ ઘટાડવા યોગ્ય નથી કાર્યાત્મક સ્વરૂપ.

2) પ્લેન પર સિલિન્ડરનું પ્રક્ષેપણ અક્ષ સહિત અર્ધ-વિમાન છે

3) અને અંતે, પ્લેન પર સિલિન્ડરનું પ્રક્ષેપણ સમગ્ર પ્લેન છે.

ઉદાહરણ 12

બિલ્ડ પેરાબોલિક સિલિન્ડરો:

a) તમારી જાતને નજીકની અડધી જગ્યામાં સપાટીના ટુકડા સુધી મર્યાદિત કરો;

b) અંતરાલમાં

મુશ્કેલીઓના કિસ્સામાં, અમે ઉતાવળ કરતા નથી અને અગાઉના ઉદાહરણો સાથે સામ્યતાથી વિચારતા નથી, સદભાગ્યે, ટેક્નોલોજી સંપૂર્ણ રીતે વિકસિત કરવામાં આવી છે. જો સપાટીઓ થોડી અણઘડ હોય તો તે મહત્વપૂર્ણ નથી - મૂળભૂત ચિત્રને યોગ્ય રીતે પ્રદર્શિત કરવું મહત્વપૂર્ણ છે. હું મારી જાતને રેખાઓની સુંદરતાથી પરેશાન કરતો નથી; જો મને સી ગ્રેડ સાથે પાસ કરી શકાય તેવું ડ્રોઇંગ મળે, તો હું સામાન્ય રીતે તેને ફરીથી કરતો નથી. માર્ગ દ્વારા, નમૂના ઉકેલ ડ્રોઇંગની ગુણવત્તા સુધારવા માટે બીજી તકનીકનો ઉપયોગ કરે છે ;-)

હાયપરબોલિક સિલિન્ડરો

માર્ગદર્શિકાઓઆવા સિલિન્ડરો હાયપરબોલાસ છે. આ પ્રકારની સપાટી, મારા અવલોકનો અનુસાર, અગાઉના પ્રકારો કરતા ઘણી ઓછી સામાન્ય છે, તેથી હું મારી જાતને એક યોજનાકીય રેખાંકન સુધી મર્યાદિત કરીશ. હાઇપરબોલિક સિલિન્ડર :

અહીં તર્કનો સિદ્ધાંત બરાબર એ જ છે - સામાન્ય શાળા હાઇપરબોલેપ્લેનમાંથી અનંત સુધી ઉપર અને નીચે સતત “ગુણાકાર” થાય છે.

માનવામાં આવતા સિલિન્ડરો કહેવાતા છે 2જી ઓર્ડર સપાટીઓ, અને હવે અમે આ જૂથના અન્ય પ્રતિનિધિઓ સાથે પરિચિત થવાનું ચાલુ રાખીશું:

લંબગોળ. ગોળા અને બોલ

પ્રામાણિક સમીકરણલંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં એક લંબગોળ સ્વરૂપ હોય છે , ક્યાં - હકારાત્મક સંખ્યાઓ (એક્સલ શાફ્ટ ellipsoid), જેમાં સામાન્ય કેસ અલગ. લંબગોળ કહેવાય છે સપાટી, તેથી શરીર, આપેલ સપાટી દ્વારા મર્યાદિત. શરીર, જેમ કે ઘણાએ અનુમાન લગાવ્યું છે, અસમાનતા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને કોઈપણના કોઓર્ડિનેટ્સ આંતરિક બિંદુ(તેમજ સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુ) આવશ્યકપણે આ અસમાનતાને સંતોષે છે. કોઓર્ડિનેટ એક્સેસ અને કોઓર્ડિનેટ પ્લેન્સના સંદર્ભમાં ડિઝાઇન સપ્રમાણ છે:

શબ્દ "એલિપ્સોઇડ" ની ઉત્પત્તિ પણ સ્પષ્ટ છે: જો સપાટી "કટ" હોય વિમાનોનું સંકલન કરો, પછી વિભાગોમાં ત્રણ અલગ અલગ હશે (સામાન્ય કિસ્સામાં)

વ્યાખ્યા 1. નળાકાર સપાટી એકબીજાની સમાંતર સીધી રેખાઓ દ્વારા રચાયેલી સપાટી છે, જેને તેનું કહેવાય છે રચના .

જો કોઈ પણ પ્લેન બધી રચના કરતી નળાકાર સપાટીઓને છેદે છે, તો તેને રેખા સાથે છેદે છે આર, પછી આ રેખા કહેવામાં આવે છે માર્ગદર્શિકા આ નળાકાર સપાટી.

પ્રમેય . જો કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ અને પ્લેનમાં સમીકરણ અવકાશમાં રજૂ કરવામાં આવે તો xOyઅમુક રેખાનું સમીકરણ છે આર, તો અવકાશમાં આ સમીકરણ એ નળાકાર સપાટીનું સમીકરણ છે એલમાર્ગદર્શિકા સાથે આર, અને જનરેટર ધરીની સમાંતર છે ઓઝ(ફિગ. 3.19, એ).

પુરાવો. ડોટ
નળાકાર સપાટી પર આવેલું છે એલજો અને માત્ર જો પ્રક્ષેપણ
પોઈન્ટ એમપ્લેન માટે xOyધરીની સમાંતર ઓઝલીટી પર આવેલું છે આર, એટલે કે જો અને માત્ર જો સમીકરણ ધરાવે છે
.

સમાન તારણો ફોર્મના સમીકરણો માટે ધરાવે છે
(ફિગ. 3.19, બી) અને
(ફિગ. 3.19, સી).

વ્યાખ્યા 2 . નળાકાર સપાટીઓ કે જેના માર્ગદર્શિકાઓ બીજા ક્રમની રેખાઓ છે તેને કહેવામાં આવે છે બીજા ક્રમની નળાકાર સપાટીઓ .

સેકન્ડ ઓર્ડર સિલિન્ડરના ત્રણ પ્રકાર છે: લંબગોળ (ફિગ. 3.20)

, (5.42)

અતિશય (ફિગ. 3.21)

, (5.43)

પેરાબોલિક (ફિગ. 3.22)

. (5.44)

ચોખા. 3.20 ફિગ. 3.21 ફિગ. 3.22

સિલિન્ડરો માટે, સમીકરણો દ્વારા આપવામાં આવે છે(5.42), (5.43) અને (5.44), માર્ગદર્શિકા રેખાઓ અનુક્રમે લંબગોળ છે

,

અતિશય

,

પેરાબોલા

,

અને જનરેટર ધરીની સમાંતર છે ઓઝ.

ટિપ્પણી. જેમ આપણે જોયું તેમ, બીજા ક્રમની શંક્વાકાર અને નળાકાર સપાટીઓ પર રેક્ટીલીનિયર જનરેટર હોય છે, અને આ દરેક સપાટી અવકાશમાં સીધી રેખાની હિલચાલ દ્વારા રચી શકાય છે.

તે તારણ આપે છે કે તમામ સેકન્ડ-ઓર્ડર સપાટીઓમાં, સિલિન્ડર અને શંકુ ઉપરાંત, સિંગલ-શીટ હાઇપરબોલોઇડ અને હાઇપરબોલિક પેરાબોલોઇડમાં પણ રેક્ટિલિનિયર જનરેટર હોય છે, અને, જેમ કે સિલિન્ડર અને શંકુના કિસ્સામાં, આ બંને અવકાશમાં સીધી રેખાની હિલચાલ દ્વારા સપાટીઓ રચી શકાય છે (જુઓ. વિશેષ સાહિત્ય).

§4. સામાન્ય સેકન્ડ-ઓર્ડર સપાટી સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવું

સામાન્ય બીજા ક્રમની સપાટીના સમીકરણમાં

એ) ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ

જ્યાં
;

b) રેખીય સ્વરૂપ

જ્યાં
;

c) મફત સભ્ય .

સમીકરણ (5.45) ને પ્રામાણિક સ્વરૂપમાં લાવવા માટે, સૌ પ્રથમ, આવા સંકલન પરિવર્તનને હાથ ધરવા જરૂરી છે.
, અને, પરિણામે, સંકળાયેલ ઓર્થોનોર્મલ આધાર
, જે ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (5.46) ને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં પરિવર્તિત કરે છે (પુસ્તક 2, પ્રકરણ 8, §3, ફકરો 3.1 જુઓ).

આ ચતુર્ભુજ સ્વરૂપનું મેટ્રિક્સ છે

,

જ્યાં, એટલે કે મેટ્રિક્સ એ- સપ્રમાણ. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ
eigenvalues, અને મારફતે
મેટ્રિક્સના ઇજેનવેક્ટરનો બનેલો ઓર્થોનોર્મલ આધાર એ.દો

–

આધારથી સંક્રમણ મેટ્રિક્સ
આધાર માટે
, એ
– આ આધાર સાથે સંકળાયેલ નવી કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ.

પછી, કોઓર્ડિનેટ્સનું પરિવર્તન કરતી વખતે

(5.48)

ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (5.46) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ લે છે

જ્યાં
.

હવે, કોઓર્ડિનેટ ટ્રાન્સફોર્મેશન (5.48) ને રેખીય સ્વરૂપ (5.47) પર લાગુ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ.

જ્યાં
,
- નવા ફોર્મ ગુણાંક (5.47).

આમ, સમીકરણ (5.45) સ્વરૂપ લે છે

+.

આ સમીકરણને ઘટાડી શકાય છે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપસૂત્રો અનુસાર કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના સમાંતર ટ્રાન્સફરનો ઉપયોગ કરીને

અથવા (5.49)

દ્વારા કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ટ્રાન્સફોર્મેશન કર્યા પછી સમાંતર ટ્રાન્સફર (5.49), સામાન્ય સમીકરણકાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની તુલનામાં સેકન્ડ ઓર્ડર સપાટીઓ (5.45).
નીચેની સત્તર સપાટીઓમાંથી એકને વ્યક્ત કરશે:

1) લંબગોળ

2) કાલ્પનિક લંબગોળ

3) સિંગલ-શીટ હાઇપરબોલોઇડ

4) બે-શીટ હાઇપરબોલોઇડ

5) શંકુ

6) કાલ્પનિક શંકુ

7) લંબગોળ પેરાબોલોઇડ

8) હાયપરબોલિક પેરાબોલોઇડ

9) લંબગોળ સિલિન્ડર

10) કાલ્પનિક લંબગોળ સિલિન્ડર

11) બે કાલ્પનિક છેદતી વિમાનો

12) હાયપરબોલિક સિલિન્ડર

13) બે છેદતી વિમાનો

14) પેરાબોલિક સિલિન્ડર

15) બે સમાંતર વિમાનો

16) બે કાલ્પનિક સમાંતર વિમાનો

17) બે એકરૂપ વિમાનો

ઉદાહરણ.કાર્ટેશિયન લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીને સંબંધિત વ્યાખ્યાયિત સપાટીનો પ્રકાર અને સ્થાન નક્કી કરો
અને સંકળાયેલ ઓર્થોનોર્મલ આધાર
સમીકરણ

ચાલો ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ આપીએ

(5.51)

પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં. આ ફોર્મના મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે

.

ચાલો લાક્ષણિક સમીકરણ પરથી આ મેટ્રિક્સના ઇજનવેલ્યુ નક્કી કરીએ

અહીંથી  1 = 2,  2 = 0,  3 = 3.

હવે આપણે શોધીએ છીએ eigenvectorsમેટ્રિસિસ એ: 1) દો
, પછી સમીકરણમાંથી
અથવા સંકલન સ્વરૂપમાં

ક્યાં શોધો
- કોઈપણ સંખ્યા, અને તેથી
, એ
. કોલિનિયર વેક્ટરના સમગ્ર સમૂહમાંથી વેક્ટર પસંદ કરો
, જેનું મોડ્યુલસ
, એટલે કે વેક્ટરને સામાન્ય બનાવો .

2) માટે
અમારી પાસે છે

.

અહીંથી
, ક્યાં
- કોઈપણ નંબર. પછી
, એ
. વેક્ટરને સામાન્ય બનાવવું , એકમ વેક્ટર શોધો :

,

જ્યાં
.

3)
, પછી ઘટકો માટે
વેક્ટર અમારી પાસે સિસ્ટમ છે

ક્યાંથી, ક્યાંથી
- કોઈપણ સંખ્યા, અને તેથી
, એ
. વેક્ટરને સામાન્ય બનાવવું , એકમ વેક્ટર શોધો વેક્ટર દ્વારા આપવામાં આવેલ દિશા માટે :

જ્યાં
.

ચાલો હવે ઓર્થોનોર્મલ આધાર પરથી આગળ વધીએ
ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે
, મેટ્રિક્સના eigenvectors થી બનેલું છે એઅને છેલ્લા આધાર સાથે નવી કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ સાથે જોડાય છે
. આવા પરિવર્તન માટે સંક્રમણ મેટ્રિક્સનું સ્વરૂપ છે

,

અને કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો અનુસાર રૂપાંતરિત થાય છે

(5.52)

આ સંકલન પરિવર્તનને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપ (5.51) પર લાગુ કરીને, અમે તેને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડીએ છીએ.

, ક્યાં
.

ચાલો હવે નક્કી કરીએ કે રેખીય સૂત્રનું સ્વરૂપ શું છે

, ક્યાં
,

જો કોઓર્ડિનેટ્સ ફોર્મ્યુલા (5.52) અનુસાર રૂપાંતરિત થાય છે. અમારી પાસે છે

આમ, જો સંકલન તંત્ર
ફોર્મ્યુલા (5.52) નો ઉપયોગ કરીને રૂપાંતર કરો, પછી પ્રમાણમાં નવી સિસ્ટમસંકલન
વિચારણા હેઠળની બીજી ક્રમની સપાટી સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે

સમીકરણ (5.53) ફોર્મ્યુલા અનુસાર સંકલન પ્રણાલીના સમાંતર સ્થાનાંતરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો થાય છે.

જે પછી, કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમને સંબંધિત સપાટીનું સમીકરણ
ફોર્મ લે છે

અથવા

આ સમીકરણ એક લંબગોળ સિલિન્ડરને વ્યક્ત કરે છે જેનું નિર્દેશન લંબગોળ કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં સ્થિત છે
, અને પેદા કરતી રેખાઓ ધરીની સમાંતર હોય છે

ટિપ્પણી. સેકન્ડ-ઓર્ડર સપાટીના સામાન્ય સમીકરણને કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટેની યોજના, આ વિભાગમાં દર્શાવેલ છે, તે બીજા-ક્રમના વળાંકના સામાન્ય સમીકરણને પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડવા માટે પણ લાગુ કરી શકાય છે.