અજ્ઞાત પ્રમાણ કેવી રીતે શોધવું. અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે, તમારે જરૂર છે...

ગણિતની મોટાભાગની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉચ્ચ શાળાપ્રમાણો દોરવાનું જ્ઞાન જરૂરી છે. આ સરળ કૌશલ્ય માત્ર પ્રદર્શન જ નહીં કરવામાં મદદ કરશે મુશ્કેલ કસરતોપાઠ્યપુસ્તકમાંથી, પણ સારમાં ઊંડાણપૂર્વક જાઓ ગાણિતિક વિજ્ઞાન. પ્રમાણ કેવી રીતે બનાવવું? ચાલો હવે તેને શોધી કાઢીએ.

સૌથી વધુ સરળ ઉદાહરણએક સમસ્યા છે જ્યાં ત્રણ પરિમાણો જાણીતા છે, અને ચોથાને શોધવાની જરૂર છે. પ્રમાણ, અલબત્ત, અલગ છે, પરંતુ ઘણીવાર તમારે ટકાવારીઓનો ઉપયોગ કરીને કેટલીક સંખ્યા શોધવાની જરૂર હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, છોકરા પાસે કુલ દસ સફરજન હતા. તેણે ચોથો ભાગ તેની માતાને આપ્યો. છોકરા પાસે કેટલા સફરજન બાકી છે? આ સૌથી સરળ ઉદાહરણ છે જે તમને પ્રમાણ બનાવવાની મંજૂરી આપશે. મુખ્ય વસ્તુ આ કરવાનું છે. શરૂઆતમાં દસ સફરજન હતા. તેને 100% રહેવા દો. અમે તેના બધા સફરજનને ચિહ્નિત કર્યા. તેણે ચોથો ભાગ આપ્યો. 1/4=25/100. આનો અર્થ એ છે કે તેણે છોડી દીધું છે: 100% (તે મૂળ હતું) - 25% (તેણે આપ્યું) = 75%. આ આંકડો બતાવે છે ટકાવારીશરૂઆતમાં ઉપલબ્ધ રકમ માટે બાકીના ફળનો જથ્થો. હવે આપણી પાસે ત્રણ સંખ્યાઓ છે જેના દ્વારા આપણે પહેલાથી જ પ્રમાણને હલ કરી શકીએ છીએ. 10 સફરજન - 100%, એક્સસફરજન - 75%, જ્યાં x એ ફળની આવશ્યક માત્રા છે. પ્રમાણ કેવી રીતે બનાવવું? તમારે તે શું છે તે સમજવાની જરૂર છે. ગાણિતિક રીતે તે આના જેવું લાગે છે. તમારી સમજણ માટે સમાન ચિહ્ન મૂકવામાં આવ્યું છે.

10 સફરજન = 100%;

x સફરજન = 75%.

તે તારણ આપે છે કે 10/x = 100%/75. આ પ્રમાણની મુખ્ય મિલકત છે. છેવટે, મોટા x, મૂળમાંથી આ સંખ્યાની ટકાવારી જેટલી વધારે છે. અમે આ પ્રમાણને હલ કરીએ છીએ અને શોધીએ છીએ કે x = 7.5 સફરજન. અમને ખબર નથી કે છોકરાએ શા માટે પૂર્ણાંક રકમ આપવાનું નક્કી કર્યું. હવે તમે જાણો છો કે પ્રમાણ કેવી રીતે બનાવવું. મુખ્ય વસ્તુ બે સંબંધો શોધવાનું છે, જેમાંથી એક અજ્ઞાત અજ્ઞાત સમાવે છે.

પ્રમાણને ઉકેલવું ઘણીવાર નીચે આવે છે સરળ ગુણાકાર, અને પછી વિભાજન માટે. શાળાઓ બાળકોને સમજાવતી નથી કે આવું કેમ છે. જો કે તે સમજવું અગત્યનું છે કે પ્રમાણસર સંબંધો ગાણિતિક ક્લાસિક છે, વિજ્ઞાનનો ખૂબ જ સાર. પ્રમાણને ઉકેલવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકને હેન્ડલ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે. ઉદાહરણ તરીકે, વ્યાજને માં રૂપાંતરિત કરવું ઘણીવાર જરૂરી છે સામાન્ય અપૂર્ણાંક. એટલે કે, 95% રેકોર્ડિંગ કામ કરશે નહીં. અને જો તમે તરત જ 95/100 લખો છો, તો પછી તમે મુખ્ય ગણતરી શરૂ કર્યા વિના નોંધપાત્ર ઘટાડો કરી શકો છો. તે તરત જ કહેવું યોગ્ય છે કે જો તમારું પ્રમાણ બે અજાણ્યાઓ સાથે હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તો તે હલ થઈ શકશે નહીં. અહીં કોઈ પ્રોફેસર તમને મદદ કરશે નહીં. અને તમારા કાર્યમાં સંભવતઃ વધુ છે જટિલ અલ્ગોરિધમનોયોગ્ય ક્રિયાઓ.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ જ્યાં કોઈ ટકાવારી નથી. એક મોટરચાલકે 150 રુબેલ્સ માટે 5 લિટર ગેસોલિન ખરીદ્યું. તેણે વિચાર્યું કે તે 30 લિટર ઇંધણ માટે કેટલું ચૂકવશે. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, ચાલો x દ્વારા જરૂરી રકમ દર્શાવીએ. તમે આ સમસ્યા જાતે ઉકેલી શકો છો અને પછી જવાબ તપાસો. જો તમે હજી સુધી પ્રમાણ કેવી રીતે બનાવવું તે સમજી શક્યા નથી, તો પછી એક નજર નાખો. 5 લિટર ગેસોલિન 150 રુબેલ્સ છે. પ્રથમ ઉદાહરણની જેમ, આપણે 5l - 150r લખીએ છીએ. હવે ત્રીજો નંબર શોધીએ. અલબત્ત, આ 30 લિટર છે. સંમત થાઓ કે આ પરિસ્થિતિમાં 30 l - x રુબેલ્સની જોડી યોગ્ય છે. ચાલો ગાણિતિક ભાષા તરફ આગળ વધીએ.

5 લિટર - 150 રુબેલ્સ;

30 લિટર - x રુબેલ્સ;

ચાલો આ પ્રમાણને હલ કરીએ:

x = 900 રુબેલ્સ.

તેથી અમે નક્કી કર્યું. તમારા કાર્યમાં, જવાબની પર્યાપ્તતા તપાસવાનું ભૂલશો નહીં. એવું બને છે કે જ્યારે ખોટો નિર્ણયકાર 5000 કિલોમીટર પ્રતિ કલાકની અવાસ્તવિક ઝડપે પહોંચે છે. હવે તમે જાણો છો કે પ્રમાણ કેવી રીતે બનાવવું. તમે તેને હલ પણ કરી શકો છો. જેમ તમે જોઈ શકો છો, આમાં કંઈ જટિલ નથી.

સમીકરણોને ઝડપથી અને સફળતાપૂર્વક કેવી રીતે ઉકેલવા તે શીખવા માટે, તમારે સૌથી વધુ સાથે પ્રારંભ કરવાની જરૂર છે સરળ નિયમોઅને ઉદાહરણો. સૌ પ્રથમ, તમારે ડાબી બાજુએ એક અજાણી અને જમણી બાજુએ બીજી સંખ્યા ધરાવતી કેટલીક સંખ્યાઓનો તફાવત, સરવાળો, ભાગ અથવા ગુણાંક ધરાવતા સમીકરણોને કેવી રીતે ઉકેલવા તે શીખવાની જરૂર છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ સમીકરણોમાં એક વસ્તુ છે અજ્ઞાત શબ્દઅને કાં તો સબટ્રેહેન્ડ સાથેનો મીન્યુએન્ડ અથવા વિભાજક સાથેનો ડિવિડન્ડ, વગેરે. આ પ્રકારના સમીકરણો વિશે અમે તમારી સાથે વાત કરીશું.

આ લેખ મૂળભૂત નિયમોને સમર્પિત છે જે તમને પરિબળો, અજાણ્યા શબ્દો વગેરે શોધવાની મંજૂરી આપે છે સૈદ્ધાંતિક સિદ્ધાંતોઅમે ચોક્કસ ઉદાહરણો સાથે તરત જ સમજાવીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

અજ્ઞાત શબ્દ શોધવો

ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે બે વાઝમાં ચોક્કસ સંખ્યામાં બોલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, 9. આપણે જાણીએ છીએ કે બીજા ફૂલદાનીમાં 4 બોલ છે. બીજામાં જથ્થો કેવી રીતે શોધવો? ચાલો આ સમસ્યાને માં લખીએ ગાણિતિક સ્વરૂપ, x તરીકે શોધી શકાય તેવા નંબરને નિયુક્ત કરવું. મૂળ સ્થિતિ અનુસાર, આ સંખ્યા 4 સ્વરૂપ 9 સાથે મળીને, જેનો અર્થ છે કે આપણે સમીકરણ 4 + x = 9 લખી શકીએ છીએ. ડાબી બાજુ આપણી પાસે એક અજાણ્યા શબ્દ સાથેનો સરવાળો છે, જમણી બાજુએ આપણી પાસે આ રકમનું મૂલ્ય છે. x કેવી રીતે શોધવી? આ કરવા માટે તમારે નિયમનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:

વ્યાખ્યા 1

અજ્ઞાત શબ્દ શોધવા માટે, તમારે સરવાળામાંથી જાણીતા શબ્દને બાદ કરવાની જરૂર છે.

IN આ કિસ્સામાંઅમે બાદબાકીનો અર્થ આપીએ છીએ જે સરવાળાની વિરુદ્ધ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સરવાળા અને બાદબાકીની ક્રિયાઓ વચ્ચે ચોક્કસ જોડાણ છે, જેને શાબ્દિક રીતે નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે: જો a + b = c હોય, તો c − a = b અને c − b = a, અને ઊલટું, માંથી સમીકરણો c − a = b અને c − b = a, આપણે અનુમાન કરી શકીએ કે a + b = c.

આ નિયમને જાણીને, આપણે જાણીતા શબ્દ અને રકમનો ઉપયોગ કરીને એક અજ્ઞાત શબ્દ શોધી શકીએ છીએ. આપણે કયો ચોક્કસ શબ્દ જાણીએ છીએ, પ્રથમ કે બીજો, આ કિસ્સામાં કોઈ ફરક પડતો નથી. ચાલો જોઈએ કેવી રીતે અરજી કરવી આ નિયમવ્યવહારમાં.

ઉદાહરણ 1

ચાલો આપણે ઉપર મેળવેલ સમીકરણ લઈએ: 4 + x = 9. નિયમ મુજબ, આપણે માંથી બાદબાકી કરવાની જરૂર છે જાણીતી રકમ, 9 ની બરાબર, 4 ની બરાબર જાણીતો શબ્દ. ચાલો એક કુદરતી સંખ્યાને બીજીમાંથી બાદ કરીએ: 9 - 4 = 5. અમને જરૂરી શબ્દ મળ્યો, 5 ની બરાબર.

સામાન્ય રીતે, આવા સમીકરણોના ઉકેલો નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:

1. પહેલું લખેલું છે મૂળ સમીકરણ.
2. આગળ, અમે અજ્ઞાત શબ્દની ગણતરી કરવા માટેનો નિયમ લાગુ કર્યા પછી પરિણમેલું સમીકરણ લખીએ છીએ.
3. આ પછી, અમે સમીકરણ લખીએ છીએ જે સંખ્યાઓ સાથેના તમામ મેનિપ્યુલેશન્સ પછી પ્રાપ્ત થયું હતું.

મૂળ સમીકરણને સમકક્ષ સમીકરણ સાથે અનુક્રમિક ફેરબદલ સમજાવવા અને મૂળ શોધવાની પ્રક્રિયાને દર્શાવવા માટે સંકેતનું આ સ્વરૂપ જરૂરી છે. ઉપરોક્ત અમારા સરળ સમીકરણનો ઉકેલ આ રીતે યોગ્ય રીતે લખવામાં આવશે:

4 + x = 9, x = 9 − 4, x = 5.

અમે પ્રાપ્ત જવાબની સાચીતા ચકાસી શકીએ છીએ. ચાલો આપણે મૂળ સમીકરણમાં જે મળ્યું તેને બદલીએ અને જોઈએ કે તેમાંથી સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા આવે છે કે નહીં. 5 ને 4 + x = 9 માં બદલો અને મેળવો: 4 + 5 = 9. સમાનતા 9 = 9 સાચો છે, જેનો અર્થ છે કે અજ્ઞાત શબ્દ યોગ્ય રીતે મળ્યો હતો. જો સમાનતા ખોટી હોવાનું બહાર આવ્યું છે, તો આપણે ઉકેલ પર પાછા જવું જોઈએ અને તેને ફરીથી તપાસવું જોઈએ, કારણ કે આ ભૂલની નિશાની છે. એક નિયમ તરીકે, મોટેભાગે આ એક કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂલ અથવા ખોટા નિયમનો ઉપયોગ છે.

અજ્ઞાત સબટ્રાહેન્ડ અથવા મિન્યુએન્ડ શોધવું

જેમ આપણે પહેલા ફકરામાં ઉલ્લેખ કર્યો છે તેમ, સરવાળા અને બાદબાકીની પ્રક્રિયાઓ વચ્ચે ચોક્કસ જોડાણ છે. તેની મદદથી, અમે એક નિયમ ઘડી શકીએ છીએ જે અમને જ્યારે તફાવત અને સબટ્રેહેન્ડ અથવા અજ્ઞાત સબટ્રાહેન્ડને મિનુએન્ડ અથવા તફાવત દ્વારા જાણીએ ત્યારે અમને અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવામાં મદદ કરશે. ચાલો આ બે નિયમો બદલામાં લખીએ અને સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેમને કેવી રીતે લાગુ કરવા તે બતાવીએ.

વ્યાખ્યા 2

અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટે, તમારે તફાવતમાં સબટ્રાહેન્ડ ઉમેરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 2

ઉદાહરણ તરીકે, આપણી પાસે સમીકરણ x - 6 = 10 છે. અજ્ઞાત મિનુએન્ડ. નિયમ મુજબ, આપણે 10 ના તફાવતમાં બાદબાકી કરેલ 6 ઉમેરવાની જરૂર છે, આપણને 16 મળશે. એટલે કે, મૂળ મીન્યુએન્ડ સોળની બરાબર છે. ચાલો આખો ઉકેલ લખીએ:

x − 6 = 10, x = 10 + 6, x = 16.

ચાલો પરિણામી સંખ્યાને મૂળ સમીકરણમાં ઉમેરીને પરિણામ તપાસીએ: 16 - 6 = 10. સમાનતા 16 - 16 સાચી હશે, જેનો અર્થ છે કે આપણે દરેક વસ્તુની યોગ્ય ગણતરી કરી છે.

વ્યાખ્યા 3

અજ્ઞાત સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે, તમારે મીન્યુએન્ડમાંથી તફાવત બાદબાકી કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 3

ચાલો 10 - x = 8 સમીકરણ ઉકેલવા માટે નિયમનો ઉપયોગ કરીએ. આપણે સબટ્રાહેન્ડ જાણતા નથી, તેથી આપણે 10 માંથી તફાવત બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, એટલે કે. 10 - 8 = 2. આનો અર્થ એ છે કે જરૂરી સબટ્રાહેન્ડ બે બરાબર છે. અહીં સંપૂર્ણ ઉકેલ છે:

10 - x = 8, x = 10 - 8, x = 2.

ચાલો મૂળ સમીકરણમાં બેને બદલીને સાચીતા તપાસીએ. ચાલો સાચી સમાનતા 10 - 2 = 8 મેળવીએ અને ખાતરી કરીએ કે આપણને મળેલી કિંમત સાચી હશે.

અન્ય નિયમો તરફ આગળ વધતા પહેલા, અમે નોંધીએ છીએ કે કોઈપણ પદોને સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવા માટેનો એક નિયમ છે, ચિહ્નને વિરુદ્ધ એક સાથે બદલીને. ઉપરોક્ત તમામ નિયમો તેનું સંપૂર્ણ પાલન કરે છે.

અજ્ઞાત પરિબળ શોધવું

ચાલો બે સમીકરણો જોઈએ: x · 2 = 20 અને 3 · x = 12. બંનેમાં, આપણે ઉત્પાદનનું મૂલ્ય જાણીએ છીએ અને આપણે બીજાને શોધવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, આપણે બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે.

વ્યાખ્યા 4

અજાણ્યા પરિબળને શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને જાણીતા પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

આ નિયમ એવા અર્થ પર આધારિત છે જે ગુણાકારના અર્થની વિરુદ્ધ છે. ગુણાકાર અને ભાગાકાર વચ્ચે નીચેનું જોડાણ છે: a · b = c જ્યારે a અને b 0, c: a = b, c: b = c અને ઊલટું.

ઉદાહરણ 4

ચાલો પહેલા સમીકરણમાં અજાણ્યા અવયવની ગણતરી કરીએ જ્ઞાત અવશેષ 20 ને જાણીતા અવયવ 2 વડે ભાગીને. અમે વિભાજન હાથ ધરીએ છીએ કુદરતી સંખ્યાઓઅને આપણને 10 મળે છે. ચાલો સમાનતાઓનો ક્રમ લખીએ:

x · 2 = 20 x = 20: 2 x = 10.

અમે દસને મૂળ સમાનતામાં બદલીએ છીએ અને તે 2 · 10 = 20 મેળવીએ છીએ. અજ્ઞાત ગુણકનું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે કરવામાં આવ્યું હતું.

ચાલો સ્પષ્ટ કરીએ કે જો ગુણકમાંથી એક શૂન્ય હોય, તો આ નિયમ લાગુ કરી શકાતો નથી. આમ, આપણે તેની મદદથી સમીકરણ x · 0 = 11 હલ કરી શકતા નથી. આ સંકેતનો કોઈ અર્થ નથી, કારણ કે તેને ઉકેલવા માટે તમારે 11 ને 0 દ્વારા વિભાજિત કરવાની જરૂર છે, અને શૂન્ય દ્વારા ભાગાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી. વિશે વધુ વાંચો સમાન કેસોઅમે તેને રેખીય સમીકરણો પરના લેખમાં આવરી લીધું છે.

જ્યારે આપણે આ નિયમ લાગુ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે આવશ્યકપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને 0 સિવાયના અવયવ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. અસ્તિત્વ ધરાવે છે અલગ નિયમ, જે મુજબ આવા વિભાજન કરી શકાય છે, અને તે સમીકરણના મૂળને અસર કરશે નહીં, અને અમે આ ફકરામાં જે લખ્યું છે તે તેની સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે.

અજાણ્યા ડિવિડન્ડ અથવા વિભાજક શોધવી

અન્ય એક કેસ કે જેને આપણે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર છે તે અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવાનો છે જો આપણે વિભાજક અને ભાગને જાણીએ છીએ, તેમજ જ્યારે ભાગ અને ડિવિડન્ડ જાણીતા હોય ત્યારે ભાજક શોધવાનું છે. આપણે અહીં પહેલેથી જ ઉલ્લેખિત ગુણાકાર અને ભાગાકાર વચ્ચેના જોડાણનો ઉપયોગ કરીને આ નિયમ ઘડી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા 5

અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, તમારે વિભાજકને ભાગલાકાર દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

ચાલો જોઈએ કે આ નિયમ કેવી રીતે લાગુ થાય છે.

ઉદાહરણ 5

ચાલો તેનો ઉપયોગ સમીકરણ x: 3 = 5 ઉકેલવા માટે કરીએ. આપણે જાણીતા ભાગ અને જાણીતા ભાજકનો એકસાથે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને 15 મેળવીએ છીએ, જે આપણને જોઈતું ડિવિડન્ડ હશે.

અહીં સમગ્ર ઉકેલનો સારાંશ છે:

x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.

ચકાસણી બતાવે છે કે અમે દરેક વસ્તુની યોગ્ય ગણતરી કરી છે, કારણ કે જ્યારે 15 ને 3 વડે ભાગીએ છીએ, ત્યારે તે ખરેખર 5 થાય છે. સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા એ સાચા ઉકેલનો પુરાવો છે.

આ નિયમને સમીકરણની જમણી અને ડાબી બાજુઓને 0 સિવાયની સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ પરિવર્તન સમીકરણના મૂળને કોઈપણ રીતે અસર કરતું નથી.

ચાલો આગળ વધીએ આગામી નિયમ.

વ્યાખ્યા 6

અજાણ્યા વિભાજકને શોધવા માટે, તમારે ભાગલાકાર દ્વારા ડિવિડન્ડને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ 6

ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ લઈએ - સમીકરણ 21: x = 3. તેને ઉકેલવા માટે, જાણીતા ડિવિડન્ડ 21 ને ભાગ્ય 3 વડે ભાગો અને 7 મેળવો. આ જરૂરી વિભાજક હશે. હવે ચાલો ઉકેલને યોગ્ય રીતે ઔપચારિક કરીએ:

21: x = 3, x = 21: 3, x = 7.

ચાલો મૂળ સમીકરણમાં સાતને બદલીને પરિણામ સાચું છે તેની ખાતરી કરીએ. 21:7 = 3, તેથી સમીકરણનું મૂળ યોગ્ય રીતે ગણવામાં આવ્યું હતું.

એ નોંધવું અગત્યનું છે કે આ નિયમ ફક્ત એવા કિસ્સાઓમાં લાગુ પડે છે જ્યાં ભાગ શૂન્યની બરાબર નથી, કારણ કે અન્યથા આપણે ફરીથી 0 વડે ભાગવું પડશે. જો શૂન્ય ખાનગી હોય, તો બે વિકલ્પો શક્ય છે. જો ડિવિડન્ડ પણ શૂન્ય સમાન હોય અને સમીકરણ 0: x = 0 જેવું દેખાય, તો ચલનું મૂલ્ય કોઈપણ હશે, એટલે કે આપેલ સમીકરણધરાવે છે અનંત સંખ્યામૂળ પરંતુ 0 ના સમાન ભાગ સાથેના સમીકરણ અને 0 થી અલગ ડિવિડન્ડમાં ઉકેલો હશે નહીં, કારણ કે વિભાજકના આવા મૂલ્યો અસ્તિત્વમાં નથી. ઉદાહરણ એ સમીકરણ 5 હશે: x = 0, જેનું કોઈ મૂળ નથી.

નિયમોની સુસંગત એપ્લિકેશન

ઘણીવાર વ્યવહારમાં વધુ હોય છે જટિલ કાર્યો, જેમાં ઉમેરણો, માઇન્યુએન્ડ્સ, સબટ્રાહેન્ડ્સ, ફેક્ટર, ડિવિડન્ડ અને ક્વોશન્ટ્સ શોધવા માટેના નિયમો સતત લાગુ થવા જોઈએ. ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ.

ઉદાહરણ 7

આપણી પાસે 3 x + 1 = 7 ફોર્મનું સમીકરણ છે. અમે 7માંથી એક બાદ કરીને અજાણ્યા શબ્દ 3 xની ગણતરી કરીએ છીએ. આપણે 3 x = 7 − 1 સાથે સમાપ્ત કરીએ છીએ, પછી 3 x = 6. આ સમીકરણ ઉકેલવા માટે ખૂબ જ સરળ છે: 6 ને 3 વડે ભાગો અને મૂળ સમીકરણનું મૂળ મેળવો.

અહીં બીજા સમીકરણ (2 x − 7) ના ઉકેલનો ટૂંકો સારાંશ છે : 3 − 5 = 2:

(2 x − 7) : 3 − 5 = 2 , (2 x − 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x − 7) : 3 = 7 , 2 x − 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21, 2 x = 21 + 7, 2 x = 28, x = 28: 2, x = 14.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

ગણિત ઉકેલવા માટે. ઝડપથી શોધો ગાણિતિક સમીકરણ ઉકેલવુંમોડમાં ઓનલાઇન. વેબસાઇટ www.site પરવાનગી આપે છે સમીકરણ ઉકેલોલગભગ કોઈપણ આપેલ બીજગણિત, ત્રિકોણમિતિઅથવા અતીન્દ્રિય સમીકરણ ઓનલાઇન. માં ગણિતની લગભગ કોઈપણ શાખાનો અભ્યાસ કરતી વખતે વિવિધ તબક્કાઓનક્કી કરવું પડશે સમીકરણો ઓનલાઇન. તરત જ જવાબ મેળવવા માટે, અને સૌથી અગત્યનું સચોટ જવાબ મેળવવા માટે, તમારે એક સંસાધનની જરૂર છે જે તમને આ કરવાની મંજૂરી આપે. સાઇટ www.site માટે આભાર સમીકરણો ઓનલાઇન ઉકેલોથોડી મિનિટો લાગશે. ગણિત ઉકેલતી વખતે www.site નો મુખ્ય ફાયદો સમીકરણો ઓનલાઇન- આ આપેલા પ્રતિભાવની ઝડપ અને ચોકસાઈ છે. સાઇટ કોઈપણ ઉકેલવા માટે સક્ષમ છે બીજગણિત સમીકરણો ઓનલાઇન, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો ઓનલાઇન, અતીન્દ્રિય સમીકરણો ઓનલાઇન, અને પણ સમીકરણોસાથે અજાણ્યા પરિમાણોમોડમાં ઓનલાઇન. સમીકરણોશક્તિશાળી ગાણિતિક ઉપકરણ તરીકે સેવા આપે છે ઉકેલો વ્યવહારુ સમસ્યાઓ. મદદ સાથે ગાણિતિક સમીકરણો હકીકતો અને સંબંધોને વ્યક્ત કરવું શક્ય છે જે પ્રથમ નજરમાં મૂંઝવણભર્યા અને જટિલ લાગે છે. અજ્ઞાત માત્રા સમીકરણોમાં સમસ્યાની રચના કરીને શોધી શકાય છે ગાણિતિકસ્વરૂપમાં ભાષા સમીકરણોઅને નક્કી કરોમોડમાં કાર્ય પ્રાપ્ત કર્યું ઓનલાઇનવેબસાઇટ www.site પર. કોઈપણ બીજગણિતીય સમીકરણ, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણઅથવા સમીકરણોસમાવતી ગુણાતીતસુવિધાઓ તમે સરળતાથી કરી શકો છો નક્કી કરોઑનલાઇન અને ચોક્કસ જવાબ મેળવો. અભ્યાસ કરે છે કુદરતી વિજ્ઞાન, તમે અનિવાર્યપણે જરૂરિયાતનો સામનો કરો છો સમીકરણો ઉકેલવા. આ કિસ્સામાં, જવાબ ચોક્કસ હોવો જોઈએ અને મોડમાં તરત જ મેળવવો આવશ્યક છે ઓનલાઇન. તેથી માટે ગાણિતિક સમીકરણો ઓનલાઇન ઉકેલવાઅમે www.site સાઇટની ભલામણ કરીએ છીએ, જે તમારા માટે અનિવાર્ય કેલ્ક્યુલેટર બનશે ઉકેલો બીજગણિતીય સમીકરણોઓનલાઇન, ત્રિકોણમિતિ સમીકરણોઓનલાઇન, અને પણ અતીન્દ્રિય સમીકરણો ઓનલાઇનઅથવા સમીકરણોઅજાણ્યા પરિમાણો સાથે. વિવિધના મૂળ શોધવાની વ્યવહારિક સમસ્યાઓ માટે ગાણિતિક સમીકરણોસ્ત્રોત www.. ઉકેલવું સમીકરણો ઓનલાઇનતમારી જાતને, તેનો ઉપયોગ કરીને પ્રાપ્ત જવાબ તપાસવા માટે ઉપયોગી છે ઓનલાઈન સોલ્યુશનસમીકરણોવેબસાઇટ www.site પર. તમારે સમીકરણ યોગ્ય રીતે લખવાની જરૂર છે અને તરત જ મેળવો ઓનલાઈન સોલ્યુશન, જે પછી જે બાકી રહે છે તે સમીકરણના તમારા ઉકેલ સાથે જવાબની તુલના કરવાનું છે. જવાબ તપાસવામાં એક મિનિટથી વધુ સમય લાગશે નહીં, તે પૂરતું છે સમીકરણ ઓનલાઇન ઉકેલોઅને જવાબોની સરખામણી કરો. આ તમને ભૂલો ટાળવામાં મદદ કરશે નિર્ણયઅને સમયસર જવાબ સુધારો જ્યારે ઓનલાઇન સમીકરણો ઉકેલવાતે બનો બીજગણિત, ત્રિકોણમિતિ, ગુણાતીતઅથવા સમીકરણઅજાણ્યા પરિમાણો સાથે.

કુશળતા વિકસાવવાની લાંબી રીત સમીકરણો ઉકેલવાખૂબ જ પ્રથમ અને પ્રમાણમાં નિર્ણય સાથે શરૂ થાય છે સરળ સમીકરણો. આવા સમીકરણો દ્વારા અમારો અર્થ એવા સમીકરણો છે કે જેમાં ડાબી બાજુ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો, તફાવત, ઉત્પાદન અથવા ભાગ ધરાવે છે, જેમાંથી એક અજ્ઞાત છે અને જમણી બાજુએ સંખ્યા છે. એટલે કે, આ સમીકરણોમાં અજ્ઞાત સમન્ડ, મીન્યુએન્ડ, સબટ્રાહેન્ડ, ગુણક, ડિવિડન્ડ અથવા વિભાજક હોય છે. આવા સમીકરણોના ઉકેલની ચર્ચા આ લેખમાં કરવામાં આવશે.

અહીં અમે એવા નિયમો આપીશું જે તમને અજાણ્યા શબ્દ, પરિબળ વગેરે શોધવાની મંજૂરી આપે છે. તદુપરાંત, અમે લાક્ષણિક સમીકરણોને હલ કરીને, વ્યવહારમાં આ નિયમોના ઉપયોગને તરત જ ધ્યાનમાં લઈશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

તેથી, આપણે મૂળ સમીકરણ 3+x=8 માં x ને બદલે નંબર 5 બદલીએ છીએ, આપણને 3+5=8 મળે છે - આ સમાનતા સાચી છે, તેથી, અમને અજ્ઞાત શબ્દ યોગ્ય રીતે મળ્યો છે. જો, તપાસ કરતી વખતે, અમને ખોટી સંખ્યાત્મક સમાનતા મળી, તો આ અમને સૂચવે છે કે અમે સમીકરણને ખોટી રીતે હલ કર્યું છે. આના મુખ્ય કારણો કાં તો ખોટા નિયમનો ઉપયોગ અથવા ગણતરીની ભૂલો હોઈ શકે છે.

અજાણ્યા મીન્યુએન્ડ અથવા સબટ્રાહેન્ડ કેવી રીતે શોધવું?

સંખ્યાઓના સરવાળા અને બાદબાકી વચ્ચેનું જોડાણ, જેનો આપણે અગાઉના ફકરામાં પહેલેથી જ ઉલ્લેખ કર્યો છે, તે અમને જાણીતા સબટ્રાહેન્ડ અને તફાવત દ્વારા અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટેનો નિયમ તેમજ જાણીતા સબટ્રાહેન્ડ દ્વારા અજાણ્યા સબટ્રેહેન્ડ શોધવાનો નિયમ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. સૂક્ષ્મતા અને તફાવત. અમે તેમને એક પછી એક ઘડીશું અને તરત જ અનુરૂપ સમીકરણોનો ઉકેલ રજૂ કરીશું.

અજ્ઞાત મિનુએન્ડ શોધવા માટે, તમારે તફાવતમાં સબટ્રાહેન્ડ ઉમેરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ x−2=5 ને ધ્યાનમાં લો. તેમાં એક અજ્ઞાત મિનુએન્ડ છે. ઉપરોક્ત નિયમ આપણને જણાવે છે કે તેને શોધવા માટે આપણે જાણીતા તફાવત 5 માં જાણીતો સબટ્રેહેન્ડ 2 ઉમેરવો જોઈએ, આપણી પાસે 5+2=7 છે. આમ, જરૂરી મિનિટ સાત બરાબર છે.

જો આપણે સ્પષ્ટતાઓને છોડી દઈએ, તો ઉકેલ નીચે મુજબ લખાયેલ છે:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7.

સ્વ-નિયંત્રણ માટે, ચાલો તપાસ કરીએ. અમે મૂળ સમીકરણમાં મળેલા મિનુએન્ડને બદલીએ છીએ, અને અમે સંખ્યાત્મક સમાનતા 7−2=5 મેળવીએ છીએ. તે સાચું છે, તેથી, અમે ખાતરી કરી શકીએ છીએ કે અમે અજ્ઞાત મિનિટનું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે નક્કી કર્યું છે.

તમે અજાણ્યા સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે આગળ વધી શકો છો. તે નીચેના નિયમ અનુસાર ઉમેરાનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે: અજ્ઞાત સબટ્રાહેન્ડ શોધવા માટે, તમારે મીન્યુએન્ડમાંથી તફાવત બાદબાકી કરવાની જરૂર છે.

ચાલો લેખિત નિયમનો ઉપયોગ કરીને ફોર્મ 9−x=4 નું સમીકરણ હલ કરીએ. આ સમીકરણમાં, અજ્ઞાત એ સબટ્રાહેન્ડ છે. તેને શોધવા માટે, આપણે જાણીતા મીન્યુએન્ડ 9 માંથી જાણીતા તફાવત 4 બાદબાકી કરવાની જરૂર છે, આપણી પાસે 9−4=5 છે. આમ, જરૂરી સબટ્રાહેન્ડ પાંચ બરાબર છે.

ચાલો આપીએ ટૂંકું સંસ્કરણઆ સમીકરણના ઉકેલો:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5.

જે બાકી છે તે મળેલ સબટ્રાહેન્ડની શુદ્ધતા તપાસવાનું છે. ચાલો x ને બદલે મૂળ સમીકરણમાં મળેલ મૂલ્ય 5 ને બદલીને તપાસ કરીએ, અને આપણને સંખ્યાત્મક સમાનતા 9−5=4 મળે છે. તે સાચું છે, તેથી અમને મળેલી સબટ્રાહેન્ડની કિંમત સાચી છે.

અને આગલા નિયમ પર આગળ વધતા પહેલા, અમે નોંધીએ છીએ કે ગ્રેડ 6 માં સમીકરણો ઉકેલવા માટેનો નિયમ ગણવામાં આવે છે, જે તમને કોઈપણ શબ્દને સમીકરણના એક ભાગમાંથી બીજા ભાગમાં સ્થાનાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. વિરોધી ચિહ્ન. તેથી, અજ્ઞાત સમન્ડ, મિનુએન્ડ અને સબટ્રેહેન્ડ શોધવા માટે ઉપર ચર્ચા કરાયેલા તમામ નિયમો તેની સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે.

અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે, તમારે જરૂર છે...

ચાલો x·3=12 અને 2·y=6 સમીકરણો પર એક નજર કરીએ. તેમનામાં અજાણ્યો નંબરડાબી બાજુનું પરિબળ છે, અને ઉત્પાદન અને બીજું પરિબળ જાણીતું છે. અજ્ઞાત ગુણક શોધવા માટે, તમે નીચેના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો છો: અજ્ઞાત પરિબળ શોધવા માટે, તમારે ઉત્પાદનને જાણીતા પરિબળ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

આ નિયમનો આધાર એ છે કે આપણે સંખ્યાઓના ભાગાકારને ગુણાકારના અર્થની વિરુદ્ધ અર્થ આપ્યો છે. એટલે કે, ગુણાકાર અને ભાગાકાર વચ્ચે જોડાણ છે: સમાનતા a·b=c થી, જેમાં a≠0 અને b≠0 તે c:a=b અને c:b=c, અને ઊલટું અનુસરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો x·3=12 સમીકરણનો અજાણ્યો પરિબળ શોધીએ. નિયમ મુજબ, આપણે વિભાજન કરવાની જરૂર છે પ્રખ્યાત કાર્યજાણીતા પરિબળ 3 દ્વારા 12. ચાલો હાથ ધરીએ: 12:3=4. આમ, અજ્ઞાત પરિબળ 4 છે.

સંક્ષિપ્તમાં, સમીકરણનો ઉકેલ સમાનતાના ક્રમ તરીકે લખાયેલ છે:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4.

પરિણામ તપાસવાની પણ સલાહ આપવામાં આવે છે: અમે મૂળ સમીકરણમાં અક્ષરને બદલે મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ, અમને 4·3=12 મળે છે - એક સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા, તેથી અમે અજ્ઞાત પરિબળનું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે શોધી કાઢ્યું છે.

અને એક વધુ મુદ્દો: શીખેલા નિયમ પ્રમાણે કાર્ય કરીને, આપણે વાસ્તવમાં સમીકરણની બંને બાજુઓને શૂન્ય સિવાયના જાણીતા અવયવ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ. 6ઠ્ઠા ધોરણમાં એવું કહેવામાં આવશે કે સમીકરણની બંને બાજુઓને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરી શકાય છે, આ સમીકરણના મૂળને અસર કરતું નથી.

અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ અથવા વિભાજક કેવી રીતે શોધવું?

અમારા વિષયના માળખામાં, તે જાણવાનું બાકી છે કે જાણીતા વિભાજક અને ભાગ સાથે અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ કેવી રીતે શોધવું, તેમજ જાણીતા ડિવિડન્ડ અને ભાગ સાથે અજ્ઞાત વિભાજક કેવી રીતે શોધવું. અગાઉના ફકરામાં ઉલ્લેખિત ગુણાકાર અને ભાગાકાર વચ્ચેનું જોડાણ અમને આ પ્રશ્નોના જવાબો આપવા દે છે.

અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, તમારે ભાગાકારને વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

ચાલો એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને તેની એપ્લિકેશન જોઈએ. ચાલો સમીકરણ x:5=9 હલ કરીએ. આ સમીકરણનું અજ્ઞાત ડિવિડન્ડ શોધવા માટે, નિયમ મુજબ, તમારે જાણીતા ભાગ 9 ને જાણીતા વિભાજક 5 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરીએ છીએ: 9·5=45. આમ, જરૂરી ડિવિડન્ડ 45 છે.

અમે તમને બતાવીશું ટૂંકી નોંધઉકેલો:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45.

ચેક પુષ્ટિ કરે છે કે અજાણ્યા ડિવિડન્ડનું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે મળ્યું હતું. ખરેખર, જ્યારે ચલ x ને બદલે મૂળ સમીકરણમાં નંબર 45 ને બદલે છે, ત્યારે તે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા 45:5=9 માં ફેરવાય છે.

નોંધ કરો કે વિશ્લેષિત નિયમને સમીકરણની બંને બાજુઓને જાણીતા વિભાજક દ્વારા ગુણાકાર તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે. આ પરિવર્તન સમીકરણના મૂળને અસર કરતું નથી.

ચાલો અજાણ્યા વિભાજક શોધવા માટેના નિયમ તરફ આગળ વધીએ: અજ્ઞાત વિભાજક શોધવા માટે, તમારે ભાગલાકાર દ્વારા ડિવિડન્ડને વિભાજિત કરવાની જરૂર છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ. ચાલો સમીકરણ 18:x=3 માંથી અજાણ્યા વિભાજક શોધીએ. આ કરવા માટે, આપણે જાણીતા ભાગ 3 દ્વારા જાણીતા ડિવિડન્ડ 18 ને વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, આપણી પાસે 18:3=6 છે. આમ, જરૂરી વિભાજક છ છે.

ઉકેલ આ રીતે લખી શકાય છે:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6.

ચાલો વિશ્વસનીયતા માટે આ પરિણામ તપાસીએ: 18:6=3 એ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા છે, તેથી, સમીકરણનું મૂળ યોગ્ય રીતે મળ્યું.

તે સ્પષ્ટ છે કે આ નિયમ માત્ર ત્યારે જ લાગુ થઈ શકે છે જ્યારે ભાગ નોનશૂન્ય હોય, જેથી શૂન્ય વડે વિભાજનનો સામનો ન કરવો પડે. જ્યારે ભાગાંક શૂન્ય બરાબર હોય, તો બે કિસ્સાઓ શક્ય છે. જો ડિવિડન્ડ શૂન્યની બરાબર હોય, એટલે કે, સમીકરણનું સ્વરૂપ 0:x=0 હોય, તો પછી વિભાજકનું કોઈપણ બિન-શૂન્ય મૂલ્ય આ સમીકરણને સંતોષે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આવા સમીકરણના મૂળ એવી કોઈપણ સંખ્યા છે જે શૂન્યની બરાબર નથી. જો ખાતે શૂન્ય બરાબરજો ડિવિડન્ડ શૂન્યથી અલગ હોય, તો પછી વિભાજકના મૂલ્ય વિના મૂળ સમીકરણ સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતામાં ફેરવાય છે, એટલે કે, સમીકરણનું કોઈ મૂળ નથી. ઉદાહરણ માટે, અમે સમીકરણ 5:x=0 રજૂ કરીએ છીએ, તેનો કોઈ ઉકેલ નથી.

શેરિંગ નિયમો

અજ્ઞાત સમન્ડ, મિન્યુએન્ડ, સબટ્રેહેન્ડ, ગુણક, ડિવિડન્ડ અને વિભાજક શોધવા માટેના નિયમોનો સતત ઉપયોગ તમને વધુ એક ચલ સાથે સમીકરણોને ઉકેલવા માટે પરવાનગી આપે છે. જટિલ પ્રકાર. આ વાતને એક ઉદાહરણથી સમજીએ.

સમીકરણ 3 x+1=7 ધ્યાનમાં લો. પ્રથમ, આપણે અજાણ્યા શબ્દ 3 x શોધી શકીએ છીએ, આ કરવા માટે આપણે 7 માંથી જાણીતા શબ્દ 1 ને બાદ કરવાની જરૂર છે, આપણને 3 x = 7−1 અને પછી 3 x = 6 મળે છે. હવે ઉત્પાદન 6 ને જાણીતા પરિબળ 3 વડે ભાગીને અજ્ઞાત પરિબળ શોધવાનું બાકી છે, આપણી પાસે x=6:3 છે, જ્યાંથી x=2. મૂળ સમીકરણનું મૂળ આ રીતે મળે છે.

સામગ્રીને એકીકૃત કરવા માટે, અમે પ્રસ્તુત કરીએ છીએ ટૂંકા ઉકેલઅન્ય સમીકરણ (2 x−7):3−5=2.
(2 x−7):3−5=2 ,
(2 x−7):3=2+5 ,
(2 x−7):3=7 ,
2 x−7=7 3 ,
2 x−7=21 ,
2 x=21+7 ,
2 x=28 ,
x=28:2 ,
x=14.

સંદર્ભો.

• ગણિત.. 4 થી ગ્રેડ. પાઠ્યપુસ્તક સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ બપોરે 2 વાગ્યે ભાગ 1 / [એમ. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, વગેરે.] - 8મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2011. - 112 પૃષ્ઠ: બીમાર. - (રશિયાની શાળા). - ISBN 978-5-09-023769-7.
• ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક 5મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2007. - 280 પૃષ્ઠ.: બીમાર. ISBN 5-346-00699-0.