નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના પાયાની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી. પિરામિડને ભૌમિતિક ચમત્કાર ગણવા માટે આપણને શું પરવાનગી આપે છે? ઇન્ટરનેટ સંસાધનો

અહીં તમે પિરામિડ અને સંબંધિત સૂત્રો અને ખ્યાલો વિશે મૂળભૂત માહિતી મેળવી શકો છો. યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારીમાં તે બધાનો અભ્યાસ ગણિતના શિક્ષક સાથે કરવામાં આવે છે.

પ્લેન, બહુકોણનો વિચાર કરો , તેમાં સૂવું અને એક બિંદુ S, તેમાં બોલવું નહીં. ચાલો S ને બહુકોણના તમામ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડીએ. પરિણામી પોલિહેડ્રોનને પિરામિડ કહેવામાં આવે છે. વિભાગોને બાજુની પાંસળી કહેવામાં આવે છે. બહુકોણને આધાર કહેવામાં આવે છે, અને બિંદુ S એ પિરામિડની ટોચ છે. નંબર n પર આધાર રાખીને, પિરામિડને ત્રિકોણાકાર (n=3), ચતુષ્કોણીય (n=4), પંચકોણીય (n=5) અને તેથી વધુ કહેવામાં આવે છે. વૈકલ્પિક શીર્ષક ત્રિકોણાકાર પિરામિડ – ટેટ્રાહેડ્રોન. પિરામિડની ઊંચાઈ તેના ઉપરથી પાયાના સમતલ સુધી ઉતરતી કાટખૂણે છે.

પિરામિડને નિયમિત જો કહેવામાં આવે છે નિયમિત બહુકોણ, અને પિરામિડની ઊંચાઈનો આધાર (લંબનો આધાર) તેનું કેન્દ્ર છે.

શિક્ષકની ટિપ્પણી:
"નિયમિત પિરામિડ" અને "નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન" ની વિભાવનાઓને ગૂંચવશો નહીં. નિયમિત પિરામિડમાં, બાજુની કિનારીઓ પાયાની કિનારીઓ જેટલી જ જરૂરી નથી, પરંતુ નિયમિત ટેટ્રેહેડ્રોનમાં, બધી 6 કિનારીઓ સમાન હોય છે. આ તેની વ્યાખ્યા છે. તે સાબિત કરવું સરળ છે કે સમાનતા સૂચવે છે કે બહુકોણનું કેન્દ્ર P એકરુપ છે પાયાની ઊંચાઈ સાથે, તેથી નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન એ નિયમિત પિરામિડ છે.

એપોથેમ શું છે?
પિરામિડનું એપોથેમ તેના બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ છે. જો પિરામિડ નિયમિત છે, તો તેના બધા એપોથેમ્સ સમાન છે. વિપરીત સાચું નથી.

તેની પરિભાષા વિશે ગણિતના શિક્ષક: પિરામિડ સાથેનું 80% કામ બે પ્રકારના ત્રિકોણ દ્વારા બનાવવામાં આવે છે:
1) એપોથેમ SK અને ઊંચાઈ SP ધરાવતું
2) બાજુની ધાર SA અને તેના પ્રક્ષેપણ PA સમાવતા

આ ત્રિકોણના સંદર્ભોને સરળ બનાવવા માટે, ગણિતના શિક્ષક માટે તેમાંથી પ્રથમને કૉલ કરવો વધુ અનુકૂળ છે. એપોથેમલ, અને બીજું ખર્ચાળ. કમનસીબે, તમને આ પરિભાષા કોઈપણ પાઠ્યપુસ્તકોમાં જોવા મળશે નહીં, અને શિક્ષકે તેને એકપક્ષીય રીતે રજૂ કરવી પડશે.

પિરામિડના જથ્થા માટેનું સૂત્ર:
1) , પિરામિડના પાયાનો વિસ્તાર ક્યાં છે અને પિરામિડની ઊંચાઈ ક્યાં છે
2) , અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા ક્યાં છે અને વિસ્તાર છે સંપૂર્ણ સપાટીપિરામિડ
3) , જ્યાં MN એ કોઈપણ બે ક્રોસિંગ કિનારીઓ વચ્ચેનું અંતર છે અને બાકીની ચાર કિનારીઓના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા રચાયેલ સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર છે.

પિરામિડની ઊંચાઈના આધારની મિલકત:

બિંદુ P (આકૃતિ જુઓ) પિરામિડના પાયા પર અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ થાય છે જો નીચેની શરતોમાંથી એક પૂરી થાય છે:
1) બધા એપોથેમ્સ સમાન છે
2) બધા બાજુના ચહેરાસમાન રીતે આધાર તરફ વળેલું
3) બધા એપોથેમ્સ પિરામિડની ઊંચાઈ માટે સમાન રીતે વળેલા છે
4) પિરામિડની ઊંચાઈ બધી બાજુના ચહેરાઓ માટે સમાન રીતે વળેલી છે

ગણિતના શિક્ષકની ટિપ્પણી: મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે તમામ બિંદુઓમાં એક વસ્તુ સમાન છે સામાન્ય મિલકત: એક રીતે અથવા બીજી રીતે, બાજુના ચહેરા દરેક જગ્યાએ સામેલ છે (એપોથેમ્સ તેમના તત્વો છે). તેથી, શિક્ષક ઓછા સચોટ, પરંતુ શીખવા માટે વધુ અનુકૂળ, ફોર્મ્યુલેશન ઑફર કરી શકે છે: બિંદુ P અંકિત વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે, પિરામિડના પાયા સાથે એકરુપ છે, જો તેના બાજુના ચહેરા વિશે કોઈ સમાન માહિતી હોય. તેને સાબિત કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે બધા એપોથેમ ત્રિકોણ સમાન છે.

પોઈન્ટ P પિરામિડના પાયાની નજીકના વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય છે જો ત્રણમાંથી એક સ્થિતિ સાચી હોય તો:
1) બધી બાજુની કિનારીઓ સમાન છે
2) બધી બાજુની પાંસળીઓ આધાર તરફ સમાન રીતે વળેલી છે
3) બધી બાજુની પાંસળીઓ સમાન રીતે ઊંચાઈ તરફ વળેલી હોય છે

આ વિડીયો ટ્યુટોરીયલ યુઝર્સને પિરામિડ થીમનો ખ્યાલ મેળવવામાં મદદ કરશે. યોગ્ય પિરામિડ. આ પાઠમાં આપણે પિરામિડની વિભાવનાથી પરિચિત થઈશું અને તેની વ્યાખ્યા આપીશું. ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે નિયમિત પિરામિડ શું છે અને તેમાં કયા ગુણધર્મો છે. પછી આપણે નિયમિત પિરામિડની બાજુની સપાટી વિશે પ્રમેય સાબિત કરીએ છીએ.

આ પાઠમાં આપણે પિરામિડની વિભાવનાથી પરિચિત થઈશું અને તેની વ્યાખ્યા આપીશું.

બહુકોણનો વિચાર કરો A 1 A 2...એ એન, જે α સમતલ અને બિંદુમાં આવેલું છે પી, જે α પ્લેનમાં રહેતું નથી (ફિગ. 1). ચાલો બિંદુઓને જોડીએ પીશિરોબિંદુઓ સાથે A 1, A 2, A 3, … એ એન. અમને મળે છે nત્રિકોણ A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rઅને તેથી વધુ.

વ્યાખ્યા. પોલીહેડ્રોન આરએ 1 એ 2 ...એ એન, બનેલું છે n-ચોરસ A 1 A 2...એ એનઅને nત્રિકોણ આરએ 1 એ 2, આરએ 2 એ 3 …આરએ એન એ એન-1 કહેવાય છે n- કોલસો પિરામિડ. ચોખા. 1.

ચોખા. 1

ચતુષ્કોણીય પિરામિડનો વિચાર કરો PABCD(ફિગ. 2).

આર- પિરામિડની ટોચ.

એબીસીડી- પિરામિડનો આધાર.

આરએ- બાજુની પાંસળી.

એબી- આધાર પાંસળી.

બિંદુ પરથી આરચાલો કાટખૂણે છોડીએ આર.એનબેઝ પ્લેન સુધી એબીસીડી. દોરવામાં આવેલ લંબ એ પિરામિડની ઊંચાઈ છે.

ચોખા. 2

પિરામિડની સંપૂર્ણ સપાટીમાં બાજુની સપાટીનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે, તમામ બાજુના ચહેરાઓનો વિસ્તાર અને પાયાનો વિસ્તાર:

S સંપૂર્ણ = S બાજુ + S મુખ્ય

પિરામિડને યોગ્ય કહેવામાં આવે છે જો:

• તેનો આધાર નિયમિત બહુકોણ છે;
• પિરામિડની ટોચને પાયાના કેન્દ્ર સાથે જોડતો ભાગ તેની ઊંચાઈ છે.

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સમજૂતી

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડનો વિચાર કરો PABCD(ફિગ. 3).

આર- પિરામિડની ટોચ. પિરામિડનો આધાર એબીસીડી - નિયમિત ચતુર્ભુજ, એટલે કે, એક ચોરસ. ડોટ વિશે, કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ, ચોરસનું કેન્દ્ર છે. અર્થ, આર.ઓપિરામિડની ઊંચાઈ છે.

ચોખા. 3

સમજૂતી: સાચામાં nત્રિકોણમાં, અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર અને પરિપત્રનું કેન્દ્ર એકરૂપ થાય છે. આ કેન્દ્રને બહુકોણનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે. કેટલીકવાર તેઓ કહે છે કે શિરોબિંદુ કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત છે.

તેના શિરોબિંદુમાંથી દોરેલા નિયમિત પિરામિડના બાજુના ચહેરાની ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે એપોથેમઅને નિયુક્ત થયેલ છે h એ.

1. નિયમિત પિરામિડની બધી બાજુની કિનારીઓ સમાન હોય છે;

2. બાજુના ચહેરા સમાન સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

અમે નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને આ ગુણધર્મોનો પુરાવો આપીશું.

આપેલ: PABCD- સાચું ચતુષ્કોણીય પિરામિડ,

એબીસીડી- ચોરસ,

આર.ઓ- પિરામિડની ઊંચાઈ.

સાબિત કરો:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP જુઓ ફિગ. 4.

ચોખા. 4

પુરાવો.

આર.ઓ- પિરામિડની ઊંચાઈ. એટલે કે, સીધા આર.ઓપ્લેન પર લંબરૂપ ABC, અને તેથી સીધા JSC, VO, SOઅને ડીઓતેમાં પડેલો. તેથી ત્રિકોણ ROA, ROV, ROS, ROD- લંબચોરસ.

એક ચોરસ ધ્યાનમાં લો એબીસીડી. ચોરસના ગુણધર્મો પરથી તે અનુસરે છે AO = VO = CO = ડીઓ.

પછી જમણા ત્રિકોણ ROA, ROV, ROS, RODપગ આર.ઓ- સામાન્ય અને પગ JSC, VO, SOઅને ડીઓસમાન છે, જેનો અર્થ છે કે આ ત્રિકોણ બે બાજુઓ પર સમાન છે. ત્રિકોણની સમાનતામાંથી વિભાગોની સમાનતાને અનુસરે છે, RA = PB = RS = PD.પોઈન્ટ 1 સાબિત થયો છે.

સેગમેન્ટ્સ એબીઅને સૂર્યસમાન છે કારણ કે તે સમાન ચોરસની બાજુઓ છે, RA = PB = RS. તેથી ત્રિકોણ AVRઅને VSR -સમદ્વિબાજુ અને ત્રણ બાજુઓ પર સમાન.

એવી જ રીતે આપણે તે ત્રિકોણ શોધીએ છીએ ABP, VCP, CDP, DAPસમદ્વિબાજુ અને સમાન છે, ફકરા 2 માં સાબિત કરવા માટે જરૂરી છે.

નિયમિત પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર આધાર અને એપોથેમની પરિમિતિના અડધા ઉત્પાદન જેટલો છે:

આ સાબિત કરવા માટે, ચાલો નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ પસંદ કરીએ.

આપેલ: આરએવીએસ- નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ.

AB = BC = AC.

આર.ઓ- ઊંચાઈ.

સાબિત કરો: . ફિગ જુઓ. 5.

ચોખા. 5

પુરાવો.

આરએવીએસ- નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ. એટલે કે એબી= AC = BC. દો વિશે- ત્રિકોણનું કેન્દ્ર ABC, પછી આર.ઓપિરામિડની ઊંચાઈ છે. પિરામિડના પાયા પર એક સમભુજ ત્રિકોણ આવેલો છે ABC. તેની નોંધ લો .

ત્રિકોણ આરએવી, આરવીએસ, આરએસએ- સમાન સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ(મિલકત દ્વારા). ત્રિકોણાકાર પિરામિડમાં ત્રણ બાજુના ચહેરા હોય છે: આરએવી, આરવીએસ, આરએસએ. આનો અર્થ એ છે કે પિરામિડની બાજુની સપાટીનો વિસ્તાર છે:

S બાજુ = 3S RAW

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના પાયા પર અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા 3 મીટર છે, પિરામિડની ઊંચાઈ 4 મીટર છે પિરામિડની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

આપેલ: નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડ એબીસીડી,

એબીસીડી- ચોરસ,

આર= 3 મીટર,

આર.ઓ- પિરામિડની ઊંચાઈ,

આર.ઓ= 4 મી.

શોધો: એસ બાજુ. ફિગ જુઓ. 6.

ચોખા. 6

ઉકેલ.

સાબિત પ્રમેય અનુસાર, .

ચાલો પહેલા આધારની બાજુ શોધીએ એબી. આપણે જાણીએ છીએ કે નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના પાયા પર અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા 3 મીટર છે.

પછી, એમ.

ચોરસની પરિમિતિ શોધો એબીસીડી 6 મીટરની બાજુ સાથે:

ત્રિકોણનો વિચાર કરો BCD. દો એમ- બાજુની મધ્યમાં ડીસી. કારણ કે વિશે- મધ્યમ બી.ડી, તે (m).

ત્રિકોણ ડીપીસી- સમદ્વિબાજુ. એમ- મધ્યમ ડીસી. એટલે કે, આર.એમ- મધ્ય, અને તેથી ત્રિકોણમાં ઊંચાઈ ડીપીસી. પછી આર.એમ- પિરામિડનું એપોથેમ.

આર.ઓ- પિરામિડની ઊંચાઈ. પછી, સીધા આર.ઓપ્લેન પર લંબરૂપ ABC, અને તેથી સીધા ઓમ, તેમાં પડેલો. ચાલો એપોથેમ શોધીએ આર.એમજમણા ત્રિકોણમાંથી રોમ.

હવે આપણે પિરામિડની બાજુની સપાટી શોધી શકીએ છીએ:

જવાબ આપો: 60 એમ 2.

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના પાયાની ફરતે ઘેરાયેલા વર્તુળની ત્રિજ્યા m બરાબર છે, બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 18 m 2 છે. એપોથેમની લંબાઈ શોધો.

આપેલ: એબીસીપી- નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ,

AB = BC = SA,

આર= m,

S બાજુ = 18 m2.

શોધો: . ફિગ જુઓ. 7.

ચોખા. 7

ઉકેલ.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં ABCઘેરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા આપેલ છે. ચાલો એક બાજુ શોધીએ એબીઆ ત્રિકોણ સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને.

નિયમિત ત્રિકોણ (m) ની બાજુ જાણીને, આપણે તેની પરિમિતિ શોધીએ છીએ.

નિયમિત પિરામિડની બાજુની સપાટીના વિસ્તાર પરના પ્રમેય દ્વારા, જ્યાં h એ- પિરામિડનું એપોથેમ. પછી:

જવાબ આપો: 4 મી.

તેથી, અમે પિરામિડ શું છે, નિયમિત પિરામિડ શું છે તે જોયું અને અમે નિયમિત પિરામિડની બાજુની સપાટી વિશે પ્રમેય સાબિત કર્યો. આગળના પાઠમાં આપણે કાપેલા પિરામિડથી પરિચિત થઈશું.

સંદર્ભો

1. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10-11: વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ(મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ સ્તરો) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5મી આવૃત્તિ, રેવ. અને વધારાના - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 288 પૃષ્ઠ: બીમાર.
2. ભૂમિતિ. 10-11 ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ માટે પાઠ્યપુસ્તક શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ/ શરીગિન આઈ.એફ. - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 1999. - 208 પૃષ્ઠ: બીમાર.
3. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10: ગણિતના ઊંડાણપૂર્વક અને વિશિષ્ટ અભ્યાસ સાથે સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠયપુસ્તક /E. વી. પોટોસ્કુએવ, એલ.આઈ. ઝ્વલિચ. - 6ઠ્ઠી આવૃત્તિ., સ્ટીરિયોટાઇપ. - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 008. - 233 પૃષ્ઠ: બીમાર.

1. ઈન્ટરનેટ પોર્ટલ "યાક્લાસ" ()
2. ઈન્ટરનેટ પોર્ટલ "ફેસ્ટિવલ શિક્ષણશાસ્ત્રના વિચારો"સપ્ટેમ્બરનો પ્રથમ" ()
3. ઈન્ટરનેટ પોર્ટલ “Slideshare.net” ()

હોમવર્ક

1. શું નિયમિત બહુકોણ અનિયમિત પિરામિડનો આધાર હોઈ શકે છે?
2. સાબિત કરો કે નિયમિત પિરામિડની અસંબંધિત કિનારીઓ લંબરૂપ છે.
3. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના પાયાની બાજુએ ડાયહેડ્રલ કોણનું મૂલ્ય શોધો જો પિરામિડનું એપોથેમ તેના આધારની બાજુની બરાબર હોય.
4. આરએવીએસ- નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ. પિરામિડના પાયા પર ડાયહેડ્રલ એંગલનો રેખીય કોણ બનાવો.

ત્રિકોણાકાર પિરામિડ એ પિરામિડ છે જે તેના પાયા પર ત્રિકોણ ધરાવે છે. આ પિરામિડની ઊંચાઈ એ કાટખૂણે છે જે પિરામિડની ટોચથી તેના પાયા સુધી નીચે આવે છે.

પિરામિડની ઊંચાઈ શોધવી

પિરામિડની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી? ખૂબ જ સરળ! કોઈપણ ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ શોધવા માટે, તમે વોલ્યુમ સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો: V = (1/3)Sh, જ્યાં S એ પાયાનો વિસ્તાર છે, V એ પિરામિડનો જથ્થો છે, h તેની ઊંચાઈ છે. આ સૂત્રમાંથી, ઊંચાઈનું સૂત્ર મેળવો: ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ શોધવા માટે, તમારે પિરામિડના જથ્થાને 3 વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, અને પછી પરિણામી મૂલ્યને પાયાના ક્ષેત્રફળ દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, તે હશે: h = (3V)/S. ત્રિકોણાકાર પિરામિડનો આધાર ત્રિકોણ હોવાથી, તમે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. જો આપણે જાણીએ છીએ: ત્રિકોણ S અને તેની બાજુ z નો વિસ્તાર, તો ક્ષેત્ર સૂત્ર S=(1/2)γh: h = (2S)/γ અનુસાર, જ્યાં h એ પિરામિડની ઊંચાઈ છે, γ ત્રિકોણની ધાર છે; ત્રિકોણની બાજુઓ અને બે બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો, પછી નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને: S = (1/2)γφsinQ, જ્યાં γ, φ ત્રિકોણની બાજુઓ છે, આપણે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધીએ છીએ. કોણ Q ની સાઈનનું મૂલ્ય ઈન્ટરનેટ પર ઉપલબ્ધ સાઈનના કોષ્ટકમાં જોવાની જરૂર છે. આગળ, અમે વિસ્તાર મૂલ્યને ઊંચાઈ સૂત્રમાં બદલીએ છીએ: h = (2S)/γ. જો કાર્ય માટે ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય, તો પિરામિડનું કદ પહેલેથી જ જાણીતું છે.

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ શોધો, એટલે કે એક પિરામિડ જેમાં બધા ચહેરા હોય છે. સમભુજ ત્રિકોણ, ધારનું કદ જાણીને γ. આ કિસ્સામાં, પિરામિડની કિનારીઓ સમભુજ ત્રિકોણની બાજુઓ છે. નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડની ઊંચાઈ હશે: h = γ√(2/3), જ્યાં γ એ સમબાજુ ત્રિકોણની ધાર છે, h એ પિરામિડની ઊંચાઈ છે. જો આધાર (S) નું ક્ષેત્રફળ અજ્ઞાત હોય, અને માત્ર ધારની લંબાઈ (γ) અને પોલિહેડ્રોનનું વોલ્યુમ (V) આપવામાં આવે, તો અગાઉના પગલામાંથી સૂત્રમાં જરૂરી ચલ બદલવું આવશ્યક છે. તેના સમકક્ષ દ્વારા, જે ધારની લંબાઈના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (નિયમિત) આ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈના ગુણાંકના 1/4 જેટલું છે જે 3 ના વર્ગમૂળ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. અમે પાછલા ભાગમાં પાયાના ક્ષેત્રફળને બદલે આ સૂત્રને બદલીએ છીએ. સૂત્ર, અને અમે નીચેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). ટેટ્રાહેડ્રોનનું કદ તેની ધારની લંબાઈ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, પછી આકૃતિની ઊંચાઈની ગણતરી માટેના સૂત્રમાંથી તમે બધા ચલોને દૂર કરી શકો છો અને ફક્ત બાજુ છોડી શકો છો. ત્રિકોણાકાર ચહેરોઆંકડા આવા પિરામિડના જથ્થાને ઉત્પાદનમાંથી તેના ચહેરાની ઘન લંબાઈને 2 ના વર્ગમૂળ દ્વારા 12 વડે ભાગીને ગણતરી કરી શકાય છે.

આ અભિવ્યક્તિને અગાઉના સૂત્રમાં બદલીને, અમે ગણતરી માટે નીચેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. પણ યોગ્ય ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમગોળામાં લખી શકાય છે, અને માત્ર ગોળાની ત્રિજ્યા (R) જાણીને તમે ટેટ્રાહેડ્રોનની ઊંચાઈ શોધી શકો છો. ટેટ્રાહેડ્રોન ધારની લંબાઈ છે: γ = 4R/√6. અમે અગાઉના સૂત્રમાં આ અભિવ્યક્તિ સાથે વેરીએબલ γ ને બદલીએ છીએ અને ફોર્મ્યુલા મેળવીએ છીએ: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. ટેટ્રાહેડ્રોનમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા (R) જાણીને સમાન સૂત્ર મેળવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, ત્રિકોણની ધારની લંબાઈ વચ્ચેના 12 ગુણોત્તર જેટલી હશે વર્ગમૂળ 6 અને ત્રિજ્યા. અમે આ અભિવ્યક્તિને અગાઉના સૂત્રમાં બદલીએ છીએ અને અમારી પાસે છે: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી

પિરામિડની ઊંચાઈની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, તમારે નિયમિત પિરામિડ શું છે તે જાણવાની જરૂર છે. ચતુષ્કોણીય પિરામિડ એ પિરામિડ છે જે તેના પાયા પર ચતુષ્કોણ ધરાવે છે. જો સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાં આપણી પાસે છે: વોલ્યુમ (V) અને પિરામિડના આધાર (S) નું ક્ષેત્રફળ, તો પોલિહેડ્રોન (h) ની ઊંચાઈની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ હશે - વોલ્યુમને ગુણાકાર કરીને વિભાજીત કરો વિસ્તાર દ્વારા 3 દ્વારા S: h = (3V)/S. આપેલ વોલ્યુમ (V) અને બાજુની લંબાઈ γ સાથે પિરામિડનો ચોરસ આધાર આપેલ છે, અગાઉના સૂત્રમાં વિસ્તાર (S) ને બાજુની લંબાઈના ચોરસ સાથે બદલો: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . નિયમિત પિરામિડની ઊંચાઈ h = SO એ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી બરાબર પસાર થાય છે જે પાયાની નજીક ઘેરાયેલું હોય છે. આ પિરામિડનો આધાર ચોરસ હોવાથી, બિંદુ O એ કર્ણ AD અને BC નું આંતરછેદ બિંદુ છે. અમારી પાસે છે: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. આગળ, કાટકોણ ત્રિકોણ SOC માં આપણે શોધીએ છીએ (પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને): SO = √(SC 2 -OC 2). હવે તમે જાણો છો કે નિયમિત પિરામિડની ઊંચાઈ કેવી રીતે શોધવી.

વ્યાખ્યા. બાજુની ધાર- આ એક ત્રિકોણ છે જેમાં એક કોણ પિરામિડની ટોચ પર આવેલું છે, અને વિરુદ્ધ બાજુ આધાર (બહુકોણ) ની બાજુ સાથે એકરુપ છે.

વ્યાખ્યા. બાજુની પાંસળી- આ સામાન્ય પાસાઓબાજુની કિનારીઓ. પિરામિડમાં બહુકોણના ખૂણો જેટલી ધાર હોય છે.

વ્યાખ્યા. પિરામિડની ઊંચાઈ- આ એક લંબ છે જે ટોચથી પિરામિડના પાયા સુધી નીચું છે.

વ્યાખ્યા. એપોથેમ- આ પિરામિડની બાજુના ચહેરા પર લંબ છે, પિરામિડની ટોચથી પાયાની બાજુએ નીચે આવેલું છે.

વ્યાખ્યા. કર્ણ વિભાગ - આ પિરામિડની ટોચ અને આધારના કર્ણમાંથી પસાર થતા પ્લેન દ્વારા પિરામિડનો એક વિભાગ છે.

વ્યાખ્યા. યોગ્ય પિરામિડએક પિરામિડ છે જેમાં આધાર નિયમિત બહુકોણ છે, અને ઊંચાઈ પાયાના મધ્યમાં નીચે આવે છે.

પિરામિડનું વોલ્યુમ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ

ફોર્મ્યુલા. પિરામિડનો જથ્થોઆધાર વિસ્તાર અને ઊંચાઈ દ્વારા:

પિરામિડના ગુણધર્મો

જો બધી બાજુની કિનારીઓ સમાન હોય, તો પિરામિડના પાયાની આસપાસ એક વર્તુળ દોરી શકાય છે, અને આધારનું કેન્દ્ર વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે. ઉપરાંત, ઉપરથી પડતું કાટખૂણે આધાર (વર્તુળ) ની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે.

જો બધી બાજુની કિનારીઓ સમાન હોય, તો તે સમાન ખૂણા પર આધારના પ્લેન તરફ વળેલી હોય છે.

બાજુની પાંસળી સમાન હોય છે જ્યારે તેઓ આધારના પ્લેન સાથે રચાય છે સમાન ખૂણાઅથવા જો પિરામિડના પાયાની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય.

જો બાજુના ચહેરાઓ સમાન ખૂણા પર આધારના પ્લેન તરફ વળેલા હોય, તો પછી પિરામિડના પાયામાં એક વર્તુળ લખી શકાય છે, અને પિરામિડની ટોચ તેના કેન્દ્રમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે.

જો બાજુના ચહેરાઓ સમાન ખૂણા પર આધારના પ્લેન તરફ વળેલા હોય, તો બાજુના ચહેરાઓના એપોથેમ્સ સમાન હોય છે.

નિયમિત પિરામિડના ગુણધર્મો

1. પિરામિડની ટોચ બેઝના તમામ ખૂણાઓથી સમાન અંતરે છે.

2. બધી બાજુની કિનારીઓ સમાન છે.

3. બધી બાજુની પાંસળીઓ આધારના સમાન ખૂણા પર વળેલી છે.

4. બધા બાજુના ચહેરાના એપોથેમ્સ સમાન છે.

5. બધી બાજુના ચહેરાના વિસ્તારો સમાન છે.

6. બધા ચહેરાઓ સમાન ડાયહેડ્રલ (સપાટ) ખૂણા ધરાવે છે.

7. પિરામિડની આસપાસ એક ગોળાનું વર્ણન કરી શકાય છે. ઘેરાયેલા ગોળાનું કેન્દ્ર એ ધારની મધ્યમાંથી પસાર થતા લંબનો આંતરછેદ બિંદુ હશે.

8. તમે એક ગોળાને પિરામિડમાં ફિટ કરી શકો છો. અંકિત ગોળાનું કેન્દ્ર એ ધાર અને આધાર વચ્ચેના ખૂણામાંથી નીકળતા દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ હશે.

9. જો અંકિત ગોળાનું કેન્દ્ર પરિક્રમિત ગોળાના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ હોય, તો શિરોબિંદુ પરના સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો π અથવા તેનાથી ઊલટું, એક ખૂણો π/n બરાબર છે, જ્યાં n એ સંખ્યા છે પિરામિડના પાયા પરના ખૂણાઓ.

પિરામિડ અને ગોળા વચ્ચેનું જોડાણ

પિરામિડની આજુબાજુ એક ગોળાનું વર્ણન કરી શકાય છે જ્યારે પિરામિડના પાયા પર એક બહુહેડ્રોન હોય છે જેની આસપાસ એક વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે (જરૂરી અને પૂરતી સ્થિતિ). ગોળાનું કેન્દ્ર પિરામિડની બાજુની કિનારીઓનાં મધ્યબિંદુઓમાંથી કાટખૂણેથી પસાર થતા વિમાનોનું આંતરછેદ બિંદુ હશે.

કોઈપણ ત્રિકોણાકાર અથવા નિયમિત પિરામિડની આસપાસના ગોળાનું વર્ણન કરવું હંમેશા શક્ય છે.

જો પિરામિડના આંતરિક ડાઇહેડ્રલ ખૂણાઓના દ્વિભાજક વિમાનો એક બિંદુ (જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ) પર છેદે તો એક ગોળાને પિરામિડમાં લખી શકાય છે. આ બિંદુ ગોળાનું કેન્દ્ર હશે.

શંકુ સાથે પિરામિડનું જોડાણ

શંકુને પિરામિડમાં કોતરવામાં આવેલ કહેવાય છે જો તેમના શિરોબિંદુઓ એકસરખા હોય અને શંકુનો આધાર પિરામિડના પાયામાં લખાયેલ હોય.

જો પિરામિડના એપોથેમ્સ એકબીજા સાથે સમાન હોય તો પિરામિડમાં શંકુ લખી શકાય છે.

શંકુને પિરામિડની ફરતે ઘેરાયેલો કહેવાય છે જો તેમના શિરોબિંદુઓ એકસરખા હોય અને શંકુનો આધાર પિરામિડના પાયાની આસપાસ ઘેરાયેલો હોય.

પિરામિડની આજુબાજુ શંકુનું વર્ણન કરી શકાય છે જો પિરામિડની બધી બાજુની કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય.

પિરામિડ અને સિલિન્ડર વચ્ચેનો સંબંધ

જો પિરામિડની ટોચ સિલિન્ડરના એક પાયા પર હોય અને પિરામિડનો આધાર સિલિન્ડરના બીજા પાયામાં કોતરાયેલો હોય તો તેને સિલિન્ડરમાં કોતરેલું કહેવામાં આવે છે.

જો પિરામિડના પાયાની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય તો પિરામિડની આસપાસ સિલિન્ડરનું વર્ણન કરી શકાય છે.

ટેટ્રાહેડ્રોનમાં ચાર મુખ અને ચાર શિરોબિંદુઓ અને છ ધાર હોય છે, જ્યાં કોઈપણ બે ધારને કોઈ હોતું નથી. સામાન્ય શિરોબિંદુઓપરંતુ તેઓ સ્પર્શ કરતા નથી.

દરેક શિરોબિંદુમાં ત્રણ ચહેરા અને ધાર હોય છે જે રચાય છે ત્રિકોણાકાર કોણ.

ટેટ્રાહેડ્રોનના શિરોબિંદુને કેન્દ્ર સાથે જોડતો ખંડ વિરુદ્ધ ચહેરોકહેવાય છે ટેટ્રેહેડ્રોનનો મધ્યક(જીએમ).

બાયમીડિયનસ્પર્શ ન કરતી વિરુદ્ધ ધારના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ કહેવાય છે (KL).

ટેટ્રાહેડ્રોનના તમામ બાઈમેડિયન અને મધ્યક એક બિંદુ (S) પર છેદે છે. આ કિસ્સામાં, બાઈમેડિયન અડધા ભાગમાં વિભાજિત થાય છે, અને મધ્યકને ટોચથી શરૂ કરીને 3:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. તીવ્ર કોણીય પિરામિડ- એક પિરામિડ જેમાં એપોથેમ બેઝની બાજુની અડધા કરતાં વધુ લંબાઈ ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા. સ્થૂળ પિરામિડ- એક પિરામિડ જેમાં એપોથેમ બેઝની બાજુની લંબાઈ કરતાં અડધા કરતાં ઓછી હોય છે.

વ્યાખ્યા. નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન- એક ટેટ્રાહેડ્રોન જેમાં ચારેય ચહેરા સમભુજ ત્રિકોણ છે. તે પાંચમાંથી એક છે નિયમિત બહુકોણ. IN નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનબધા ડાયહેડ્રલ એંગલ(ચહેરાઓ વચ્ચે) અને ત્રિમુખી ખૂણા (શિરોબિંદુ પર) સમાન છે.

વ્યાખ્યા. લંબચોરસ ટેટ્રેહેડ્રોનતેને ટેટ્રાહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે જેમાં ટોચ પરની ત્રણ કિનારીઓ વચ્ચે કાટખૂણો હોય છે (કિનારીઓ લંબરૂપ હોય છે). ત્રણ ચહેરા બનાવે છે લંબચોરસ ત્રિકોણાકાર કોણઅને કિનારીઓ છે જમણા ત્રિકોણ, અને આધાર મનસ્વી ત્રિકોણ. કોઈપણ ચહેરાનું એપોથેમ એ આધારની અડધી બાજુ જેટલું હોય છે જેના પર એપોથેમ પડે છે.

વ્યાખ્યા. આઇસોહેડ્રલ ટેટ્રાહેડ્રોનજેને ટેટ્રાહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે જેની બાજુના ચહેરા એકબીજાના સમાન હોય છે, અને આધાર નિયમિત ત્રિકોણ હોય છે. આવા ટેટ્રાહેડ્રોનમાં ચહેરા હોય છે જે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હોય છે.

વ્યાખ્યા. ઓર્થોસેન્ટ્રિક ટેટ્રાહેડ્રોનતેને ટેટ્રાહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે જેમાં ઉપરથી વિરુદ્ધ ચહેરા સુધીની બધી ઊંચાઈઓ (લંબ) એક બિંદુએ છેદે છે.

વ્યાખ્યા. સ્ટાર પિરામિડપોલિહેડ્રોન જેનો આધાર તારો છે તેને કહેવામાં આવે છે.

વિદ્યાર્થીઓને ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરતા ઘણા સમય પહેલા પિરામિડનો ખ્યાલ આવે છે. દોષ વિશ્વના પ્રખ્યાત મહાન ઇજિપ્તીયન અજાયબીઓનો છે. તેથી, જ્યારે આ અદ્ભુત પોલિહેડ્રોનનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કરો છો, ત્યારે મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ પહેલેથી જ સ્પષ્ટપણે તેની કલ્પના કરે છે. ઉપરોક્ત તમામ આકર્ષણો યોગ્ય આકાર ધરાવે છે. શું થયું છે નિયમિત પિરામિડ, અને તે કયા ગુણધર્મો ધરાવે છે તેની આગળ ચર્ચા કરવામાં આવશે.

વ્યાખ્યા

પિરામિડની ઘણી બધી વ્યાખ્યાઓ છે. પ્રાચીન સમયથી, તે ખૂબ જ લોકપ્રિય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, યુક્લિડે તેને શારીરિક આકૃતિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું છે જેમાં વિમાનોનો સમાવેશ થાય છે જે, એકથી શરૂ કરીને, ચોક્કસ બિંદુએ ભેગા થાય છે.

હેરોન વધુ ચોક્કસ ફોર્મ્યુલેશન પ્રદાન કરે છે. તેમણે ભારપૂર્વક જણાવ્યું હતું કે આ આંકડો હતો કે માં એક આધાર અને વિમાનો છે ત્રિકોણના રૂપમાં, એક તબક્કે કન્વર્જિંગ.

આધુનિક અર્થઘટનના આધારે, પિરામિડને એક અવકાશી પોલિહેડ્રોન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે જેમાં ચોક્કસ k-gon અને k હોય છે. સપાટ આંકડા ત્રિકોણાકાર આકાર, એક સામાન્ય મુદ્દો છે.

ચાલો તેને વધુ વિગતમાં જોઈએ, તે કયા ઘટકો ધરાવે છે:

• k-gon ને આકૃતિનો આધાર ગણવામાં આવે છે;
• 3-ગોનલ આકાર બાજુના ભાગની કિનારીઓ તરીકે બહાર નીકળે છે;
• ઉપલા ભાગ કે જેમાંથી બાજુના તત્વો ઉદ્ભવે છે તેને સર્વોચ્ચ કહેવાય છે;
• શિરોબિંદુને જોડતા તમામ ભાગોને ધાર કહેવામાં આવે છે;
• જો કોઈ સીધી રેખા શિરોબિંદુથી આકૃતિના પ્લેન સુધી 90 ડિગ્રીના ખૂણા પર નીચે કરવામાં આવે છે, તો તેનો ભાગ અંદર બંધ છે આંતરિક જગ્યા- પિરામિડની ઊંચાઈ;
• કોઈપણ પાર્શ્વીય તત્વમાં, એક કાટખૂણે, જેને એપોથેમ કહેવાય છે, તે આપણા પોલિહેડ્રોનની બાજુએ દોરવામાં આવી શકે છે.

કિનારીઓની સંખ્યા 2*k સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે, જ્યાં k એ k-gon ની બાજુઓની સંખ્યા છે. પિરામિડ જેવા પોલિહેડ્રોનના કેટલા ચહેરા છે તે k+1 અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે.

મહત્વપૂર્ણ!પિરામિડ યોગ્ય ફોર્મસ્ટીરિયોમેટ્રિક આકૃતિ કહેવાય છે જેનું બેઝ પ્લેન સમાન બાજુઓ સાથે કે-ગોન છે.

મૂળભૂત ગુણધર્મો

યોગ્ય પિરામિડ ધરાવે છે ઘણી મિલકતો, જે તેના માટે અનન્ય છે. ચાલો તેમને સૂચિબદ્ધ કરીએ:

1. આધાર એ યોગ્ય આકારની આકૃતિ છે.
2. પિરામિડની ધાર કે જે બાજુના ઘટકોને મર્યાદિત કરે છે તે સમાન સંખ્યાત્મક મૂલ્યો ધરાવે છે.
3. બાજુના તત્વો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
4. આકૃતિની ઊંચાઈનો આધાર બહુકોણના કેન્દ્રમાં આવે છે, જ્યારે તે એક સાથે અંકિત અને પરિક્રમાનું કેન્દ્રિય બિંદુ છે.
5. બધા બાજુની પાંસળીસમાન ખૂણા પર આધારના પ્લેન તરફ વળેલું.
6. બધી બાજુની સપાટીઓ આધારની તુલનામાં સમાન ઝોકનો કોણ ધરાવે છે.

દરેકનો આભાર સૂચિબદ્ધ ગુણધર્મો, તત્વ ગણતરીઓ કરવાનું ખૂબ સરળ છે. ઉપરોક્ત ગુણધર્મોના આધારે, અમે ધ્યાન આપીએ છીએ બે ચિહ્નો:

1. એવા કિસ્સામાં જ્યારે બહુકોણ વર્તુળમાં બંધબેસે છે, ત્યારે બાજુના ચહેરાના આધાર સાથે સમાન ખૂણા હશે.
2. બહુકોણની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરતી વખતે, શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી પિરામિડની બધી કિનારીઓ હશે સમાન લંબાઈઅને આધાર સાથે સમાન ખૂણા.

આધાર ચોરસ છે

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડ - પોલિહેડ્રોન જેનો આધાર ચોરસ છે.

તેના ચાર બાજુના ચહેરા છે, જે દેખાવમાં સમદ્વિબાજુ છે.

એક ચોરસ પ્લેન પર દર્શાવવામાં આવ્યો છે, પરંતુ તે નિયમિત ચતુષ્કોણના તમામ ગુણધર્મો પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો તમારે ચોરસની બાજુને તેના કર્ણ સાથે જોડવાની જરૂર હોય, તો પછી ઉપયોગ કરો નીચેનું સૂત્ર: કર્ણ એ ચોરસની બાજુના ગુણાંક અને બેના વર્ગમૂળ સમાન છે.

તે નિયમિત ત્રિકોણ પર આધારિત છે

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ એ પોલિહેડ્રોન છે જેનો આધાર નિયમિત 3-ગોન છે.

જો આધાર છે જમણો ત્રિકોણ, અને બાજુની કિનારીઓ આધારની કિનારીઓ જેટલી હોય છે, પછી આવી આકૃતિ ટેટ્રાહેડ્રોન કહેવાય છે.

ટેટ્રેહેડ્રોનના બધા ચહેરા સમભુજ 3-ગોન્સ છે. IN આ કિસ્સામાંતમારે કેટલાક મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે અને ગણતરી કરતી વખતે તેમના પર સમય બગાડવો નહીં:

• કોઈપણ આધાર પર પાંસળીના ઝોકનો કોણ 60 ડિગ્રી છે;
• બધા આંતરિક ચહેરાઓનું કદ પણ 60 ડિગ્રી છે;
• કોઈપણ ચહેરો આધાર તરીકે કાર્ય કરી શકે છે;
• , આકૃતિની અંદર દોરેલા, આ સમાન તત્વો છે.

પોલિહેડ્રોનના વિભાગો

કોઈપણ પોલિહેડ્રોનમાં ત્યાં છે વિવિધ પ્રકારના વિભાગોફ્લેટ ઘણીવાર માં શાળા અભ્યાસક્રમભૂમિતિઓ બે સાથે કામ કરે છે:

• અક્ષીય
• આધારની સમાંતર.

શિરોબિંદુ, બાજુની કિનારીઓ અને અક્ષમાંથી પસાર થતા પ્લેન સાથે પોલિહેડ્રોનને છેદન કરીને અક્ષીય વિભાગ મેળવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ધરી એ શિરોબિંદુથી દોરેલી ઊંચાઈ છે. કટીંગ પ્લેન બધા ચહેરા સાથે આંતરછેદની રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત છે, પરિણામે ત્રિકોણ બને છે.

ધ્યાન આપો!નિયમિત પિરામિડમાં, અક્ષીય વિભાગ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

જો કટીંગ પ્લેન આધારની સમાંતર ચાલે છે, તો પરિણામ એ બીજો વિકલ્પ છે. આ કિસ્સામાં, અમારી પાસે આધારની સમાન ક્રોસ-વિભાગીય આકૃતિ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો પાયા પર ચોરસ હોય, તો આધારની સમાંતર વિભાગ પણ માત્ર નાના પરિમાણોનો ચોરસ હશે.

આ સ્થિતિ હેઠળ સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તેઓ આકૃતિઓની સમાનતાના ચિહ્નો અને ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરે છે, થેલ્સના પ્રમેય પર આધારિત. સૌ પ્રથમ, સમાનતા ગુણાંક નક્કી કરવા માટે જરૂરી છે.

જો પ્લેન આધારની સમાંતર દોરવામાં આવે છે અને તે કાપી નાખે છે ટોચનો ભાગપોલિહેડ્રોન, પછી નીચલા ભાગમાં નિયમિત કાપવામાં આવેલ પિરામિડ મેળવવામાં આવે છે. પછી કાપેલા બહુહેડ્રોનના પાયા કહેવાય છે સમાન બહુકોણ. આ કિસ્સામાં, બાજુના ચહેરા આઇસોસેલ્સ ટ્રેપેઝોઇડ્સ છે. અક્ષીય વિભાગ પણ સમદ્વિબાજુ છે.

કાપેલા પોલિહેડ્રોનની ઊંચાઈ નક્કી કરવા માટે, ઊંચાઈને અંદર દોરવી જરૂરી છે અક્ષીય વિભાગ, એટલે કે, ટ્રેપેઝોઇડમાં.

સપાટી વિસ્તારો

મૂળભૂત ભૌમિતિક સમસ્યાઓજે શાળાના ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં ઉકેલવાના હોય છે પિરામિડનો સપાટી વિસ્તાર અને વોલ્યુમ શોધો.

બે પ્રકારના સપાટી વિસ્તાર મૂલ્યો છે:

• બાજુના તત્વોનો વિસ્તાર;
• સમગ્ર સપાટીનો વિસ્તાર.

નામ પરથી જ તે સ્પષ્ટ છે કે આપણે શું વાત કરી રહ્યા છીએ. બાજુની સપાટીફક્ત બાજુના ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. તે આનાથી અનુસરે છે કે તેને શોધવા માટે, તમારે ફક્ત બાજુના વિમાનોના વિસ્તારોને ઉમેરવાની જરૂર છે, એટલે કે, સમદ્વિબાજુના 3-ગોન્સ વિસ્તારો. ચાલો બાજુના ઘટકોના ક્ષેત્રફળ માટે સૂત્ર મેળવવાનો પ્રયાસ કરીએ:

1. સમદ્વિબાજુ 3-ગોનનું ક્ષેત્રફળ Str=1/2(aL) જેટલું છે, જ્યાં a એ આધારની બાજુ છે, L એ એપોથેમ છે.
2. પાર્શ્વીય વિમાનોની સંખ્યા આધાર પર કે-ગોનના પ્રકાર પર આધારિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડમાં ચાર બાજુના વિમાનો હોય છે. તેથી, ઉમેરવું જરૂરી છે ચારનો વિસ્તારઆંકડા Side=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. અભિવ્યક્તિ આ રીતે સરળ છે કારણ કે મૂલ્ય 4a = Rosn છે, જ્યાં Rosn એ આધારની પરિમિતિ છે. અને અભિવ્યક્તિ 1/2*Rosn એ તેની અર્ધ-પરિમિતિ છે.
3. તેથી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે નિયમિત પિરામિડના બાજુના તત્વોનો વિસ્તાર આધાર અને એપોથેમના અર્ધ-પરિમિતિના ઉત્પાદન જેટલો છે: Sside = Rosn * L.

પિરામિડની કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં બાજુના વિમાનો અને આધારના વિસ્તારોનો સમાવેશ થાય છે: Sp.p = Sside + Sbas.

આધારના વિસ્તાર માટે, અહીં સૂત્રનો ઉપયોગ બહુકોણના પ્રકાર અનુસાર થાય છે.

નિયમિત પિરામિડનો જથ્થોબેઝ પ્લેનના ક્ષેત્રફળના ગુણાંક અને ઊંચાઈને ત્રણ વડે વિભાજિત કરવા સમાન: V=1/3*Sbas*H, જ્યાં H એ પોલિહેડ્રોનની ઊંચાઈ છે.

શું થયું છે યોગ્ય પિરામિડભૂમિતિમાં

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના ગુણધર્મો