વ્યુત્પન્ન વિના કાર્યનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો. ડેરિવેટિવ્સ વિના B15 સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવી

કાર્યની સીમા શું છે અને એક્સ્ટ્રીમમ માટે જરૂરી સ્થિતિ શું છે?

ફંક્શનની સીમા એ ફંક્શનની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ છે.

પૂર્વશરતફંક્શનની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ (એક્સ્ટ્રીમમ) નીચે મુજબ છે: જો ફંક્શન f(x) ની સીમા x = a બિંદુ પર છે, તો આ બિંદુએ ડેરિવેટિવ કાં તો શૂન્ય છે, અથવા અનંત છે, અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

આ સ્થિતિ જરૂરી છે, પરંતુ પૂરતી નથી. બિંદુ x = a પરનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય, અનંત સુધી જઈ શકે છે અથવા આ બિંદુએ એક્સ્ટ્રીમમ ધરાવતા ફંક્શન વિના અસ્તિત્વમાં નથી.

ફંક્શનની સીમા (મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ) માટે પૂરતી સ્થિતિ શું છે?

પ્રથમ શરત:

જો, બિંદુ x = a ની પર્યાપ્ત નિકટતામાં, વ્યુત્પન્ન f?(x) a ની ડાબી બાજુએ સકારાત્મક અને a ની જમણી બાજુ નકારાત્મક હોય, તો બિંદુ x = a પર f(x) ફંક્શન ધરાવે છે મહત્તમ

જો, બિંદુ x = a ની પૂરતી નિકટતામાં, વ્યુત્પન્ન f?(x) a ની ડાબી બાજુએ ઋણ અને a ની જમણી બાજુ ધન હોય, તો બિંદુ x = a પર f(x) ફંક્શન ધરાવે છે ન્યૂનતમપૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે ફંકશન f(x) અહીં સતત છે.

તેના બદલે, તમે બીજાનો ઉપયોગ કરી શકો છો પૂરતી સ્થિતિકાર્યની સીમા:

બિંદુ x = a પ્રથમ વ્યુત્પન્ન f?(x) અદ્રશ્ય થવા દો; જો બીજું વ્યુત્પન્ન f??(a) ઋણ છે, તો ફંકશન f(x) બિંદુ x = a પર મહત્તમ છે, જો તે હકારાત્મક છે, તો તેની પાસે ન્યૂનતમ છે.

ફંક્શનનું નિર્ણાયક બિંદુ શું છે અને તેને કેવી રીતે શોધવું?

આ ફંક્શન આર્ગ્યુમેન્ટનું મૂલ્ય છે કે જેના પર ફંક્શનની એક્સ્ટ્રીમમ (એટલે ​​​​કે મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ) છે. તેને શોધવા માટે તમારે જરૂર છે વ્યુત્પન્ન શોધોફંક્શન f?(x) અને, તેને શૂન્ય સાથે સરખાવી, સમીકરણ ઉકેલો f?(x) = 0. આ સમીકરણના મૂળ, તેમજ તે બિંદુઓ કે જેના પર આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી, તે નિર્ણાયક બિંદુઓ છે, એટલે કે, દલીલના મૂલ્યો કે જેના પર એક્સ્ટ્રીમમ હોઈ શકે છે. તેમને જોઈને સરળતાથી ઓળખી શકાય છે વ્યુત્પન્ન ગ્રાફ: અમે દલીલના તે મૂલ્યોમાં રસ ધરાવીએ છીએ કે જેના પર ફંક્શનનો ગ્રાફ એબ્સીસા અક્ષ (ઑક્સ અક્ષ) ને છેદે છે અને તે મૂલ્યો કે જેના પર આલેખ વિરામનો ભોગ બને છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો શોધીએ પેરાબોલાના અંતિમ ભાગ.

કાર્ય y(x) = 3x2 + 2x - 50.

ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન: y?(x) = 6x + 2

સમીકરણ ઉકેલો: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN આ કિસ્સામાંનિર્ણાયક બિંદુ x0=-1/3 છે. તે આ દલીલ મૂલ્ય સાથે છે કે ફંક્શન પાસે છે આત્યંતિક. તેને શોધો, "x" ને બદલે ફંક્શન માટે અભિવ્યક્તિમાં મળેલ સંખ્યાને બદલો:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

કાર્યની મહત્તમ અને લઘુત્તમ કેવી રીતે નક્કી કરવી, એટલે કે. તેની સૌથી મોટી અને સૌથી નાનું મૂલ્ય?

જો નિર્ણાયક બિંદુ x0માંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્નની નિશાની "વત્તા" થી "માઈનસ" માં બદલાય છે, તો x0 છે મહત્તમ બિંદુ; જો વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન માઈનસથી વત્તામાં બદલાય છે, તો x0 છે ન્યૂનતમ બિંદુ; જો ચિહ્ન બદલાતું નથી, તો પછી બિંદુ x0 પર મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ નથી.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા ઉદાહરણ માટે:

અમે નિર્ણાયક બિંદુની ડાબી બાજુએ દલીલનું મનસ્વી મૂલ્ય લઈએ છીએ: x = -1

x = -1 પર, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય y હશે?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (એટલે ​​​​કે ચિહ્ન "માઈનસ" છે).

હવે આપણે નિર્ણાયક બિંદુની જમણી તરફ દલીલનું મનસ્વી મૂલ્ય લઈએ છીએ: x = 1

x = 1 પર, વ્યુત્પન્નનું મૂલ્ય y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 હશે (એટલે ​​​​કે ચિહ્ન "વત્તા" છે).

જેમ તમે જોઈ શકો છો, નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન માઈનસથી વત્તામાં બદલાયું છે. આનો અર્થ એ છે કે નિર્ણાયક મૂલ્ય x0 પર આપણી પાસે ન્યૂનતમ બિંદુ છે.

ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય અંતરાલ પર(એક સેગમેન્ટ પર) સમાન પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે, ફક્ત એ હકીકતને ધ્યાનમાં લેતા કે કદાચ બધા જ નહીં નિર્ણાયક મુદ્દાઓઉલ્લેખિત અંતરાલની અંદર રહેશે. તે નિર્ણાયક મુદ્દાઓ કે જે અંતરાલની બહાર છે તે વિચારણામાંથી બાકાત રાખવા જોઈએ. જો અંતરાલની અંદર માત્ર એક જ નિર્ણાયક બિંદુ હોય, તો તેની પાસે મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ હશે. આ કિસ્સામાં, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે, અમે અંતરાલના અંતે ફંક્શનના મૂલ્યોને પણ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધીએ

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

અંતરાલો પર:

તેથી, કાર્યનું વ્યુત્પન્ન છે

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

આપણે સમીકરણ 3cos(x) - 0.5 = 0 હલ કરીએ છીએ

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

અમને અંતરાલ [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (અંતરાલમાં સમાવેલ નથી)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = આર્કોસ(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = આર્કોસ(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (અંતરાલમાં સમાવેલ નથી)

અમને ફંક્શનની કિંમતો અહીં મળે છે નિર્ણાયક મૂલ્યોદલીલ

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

તે જોઈ શકાય છે કે અંતરાલ પર [-9; 9] ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય x = -4.88 છે:

x = -4.88, y = 5.398,

અને સૌથી નાનું - x = 4.88 પર:

x = 4.88, y = -5.398.

અંતરાલ પર [-6; -3] આપણી પાસે માત્ર એક જટિલ બિંદુ છે: x = -4.88. x = -4.88 પર ફંક્શનનું મૂલ્ય y = 5.398 બરાબર છે.

અંતરાલના અંતે ફંક્શનની કિંમત શોધો:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

અંતરાલ પર [-6; -3] આપણી પાસે ફંક્શનની સૌથી મોટી કિંમત છે

y = 5.398 x = -4.88 પર

સૌથી નાનું મૂલ્ય -

y = 1.077 x = -3 પર

ફંક્શન ગ્રાફના ઇન્ફ્લેક્શન બિંદુઓને કેવી રીતે શોધી શકાય અને બહિર્મુખ અને અંતર્મુખ બાજુઓ કેવી રીતે નક્કી કરવી?

રેખા y = f(x) ના તમામ વિક્ષેપ બિંદુઓ શોધવા માટે, તમારે બીજું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે, તેને શૂન્ય સાથે સરખાવવી (સમીકરણ ઉકેલો) અને x ના તે બધા મૂલ્યોને ચકાસવાની જરૂર છે જેના માટે બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે, અનંત અથવા અસ્તિત્વમાં નથી. જો, આ મૂલ્યોમાંથી કોઈ એકમાંથી પસાર થતી વખતે, બીજા વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન હોય, તો ફંક્શનના આલેખમાં આ બિંદુએ એક વળાંક હોય છે. જો તે બદલાતું નથી, તો ત્યાં કોઈ વળાંક નથી.

સમીકરણ એફ ના મૂળ? (x) = 0, તેમજ ફંક્શનની અસંતુલિતતાના સંભવિત બિંદુઓ અને બીજા ડેરિવેટિવ, ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનને સંખ્યાબંધ અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો. તેમના દરેક અંતરાલો પરની બહિર્મુખતા બીજા ડેરિવેટિવની નિશાની દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જો અભ્યાસ હેઠળના અંતરાલ પરના બિંદુ પરનું બીજું વ્યુત્પન્ન ધન છે, તો રેખા y = f(x) અંતર્મુખ ઉપરની તરફ છે, અને જો નકારાત્મક છે, તો નીચેની તરફ.

બે ચલોના ફંક્શનની સીમા કેવી રીતે શોધવી?

ફંક્શન f(x,y) ની સીમા શોધવા માટે, તેના સ્પષ્ટીકરણના ડોમેનમાં અલગ પડે છે, તમારે આની જરૂર છે:

1) નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધો, અને આ માટે - સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરો

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) દરેક નિર્ણાયક બિંદુ P0(a;b) માટે તપાસ કરો કે શું તફાવતની નિશાની યથાવત છે

P0 ની નજીકના તમામ બિંદુઓ (x;y) માટે. જો તફાવત રહે છે સકારાત્મક સંકેત, પછી બિંદુ P0 પર આપણી પાસે ન્યૂનતમ છે, જો નકારાત્મક છે, તો આપણી પાસે મહત્તમ છે. જો તફાવત તેના ચિહ્નને જાળવી રાખતો નથી, તો બિંદુ P0 પર કોઈ અંતિમ નથી.

ફંક્શનની સીમાઓ માટે સમાન રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે વધુદલીલો

સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો કેવી રીતે શોધવી?

આ માટે અમે જાણીતા અલ્ગોરિધમનું પાલન કરીએ છીએ:

1 . અમે શોધીએ છીએ ODZ કાર્યો.

2 . કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવું

3 . વ્યુત્પન્નને શૂન્ય સાથે સરખાવી

4 . અમે અંતરાલો શોધીએ છીએ કે જેના પર વ્યુત્પન્ન તેની નિશાની જાળવી રાખે છે, અને તેમાંથી આપણે કાર્યના વધારા અને ઘટાડાના અંતરાલો નક્કી કરીએ છીએ:

જો અંતરાલ I પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન 0 છે" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} આ અંતરાલ ઉપર વધે છે.

જો અંતરાલ I પર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન હોય, તો ફંક્શન આ અંતરાલમાં ઘટાડો થાય છે.

5 . અમે શોધીએ છીએ કાર્યના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓ.

IN ફંક્શનના મહત્તમ બિંદુ પર, વ્યુત્પન્ન ફેરફારો “+” થી “-” સુધી સાઇન કરે છે.

IN કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુવ્યુત્પન્ન ફેરફારો ચિહ્ન "-" થી "+".

6 . આપણે સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનનું મૂલ્ય શોધીએ છીએ,

• પછી આપણે સેગમેન્ટના છેડે અને મહત્તમ બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યની તુલના કરીએ છીએ, અને જો તમારે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય તો તેમાંથી સૌથી મોટું પસંદ કરો
• અથવા સેગમેન્ટના છેડે અને ન્યૂનતમ બિંદુઓ પર ફંક્શનના મૂલ્યની તુલના કરો, અને જો તમારે ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય તો તેમાંથી સૌથી નાનું પસંદ કરો

જો કે, કાર્ય સેગમેન્ટ પર કેવી રીતે વર્તે છે તેના આધારે, આ અલ્ગોરિધમ નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.

કાર્યને ધ્યાનમાં લો . આ ફંક્શનનો ગ્રાફ આના જેવો દેખાય છે:

ચાલો સમસ્યાઓ હલ કરવાના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ બેંક ખોલોમાટે કાર્યો

1. ટાસ્ક B15 (નંબર 26695)

સેગમેન્ટ પર.

1. કાર્ય બધા માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે વાસ્તવિક મૂલ્યોએક્સ

દેખીતી રીતે, આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી, અને વ્યુત્પન્ન x ના તમામ મૂલ્યો માટે હકારાત્મક છે. પરિણામે, ફંક્શન વધે છે અને અંતરાલના જમણા છેડે સૌથી મોટું મૂલ્ય લે છે, એટલે કે, x=0 પર.

જવાબ: 5.

2 . ટાસ્ક B15 (નં. 26702)

ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો સેગમેન્ટ પર.

1. ODZ કાર્યો title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

વ્યુત્પન્ન એ શૂન્ય ની બરાબર છે, જો કે, આ બિંદુઓ પર તે ચિહ્ન બદલતું નથી:

તેથી, શીર્ષક="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} વધે છે અને અંતરાલના જમણા છેડે, પર સૌથી વધુ મૂલ્ય લે છે.

વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન કેમ બદલાતું નથી તે સ્પષ્ટ કરવા માટે, અમે વ્યુત્પન્ન માટેના અભિવ્યક્તિને નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત કરીએ છીએ:

શીર્ષક="y^(પ્રાઈમ)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

જવાબ: 5.

3. કાર્ય B15 (નંબર 26708)

સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો.

1. ODZ કાર્યો: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

ચાલો આ સમીકરણના મૂળને ત્રિકોણમિતિ વર્તુળ પર મૂકીએ.

અંતરાલમાં બે સંખ્યાઓ છે: અને

ચાલો ચિહ્નો મૂકીએ. આ કરવા માટે, અમે બિંદુ x=0 પર વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ છીએ: . જ્યારે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને, વ્યુત્પન્ન ફેરફારોનું ચિહ્ન.

ચાલો સંકલન રેખા પર ફંક્શનના ડેરિવેટિવના ચિહ્નોના ફેરફારનું નિરૂપણ કરીએ:

દેખીતી રીતે, બિંદુ એ લઘુત્તમ બિંદુ છે (જેના પર વ્યુત્પન્ન ફેરફારો "-" થી "+" પર સાઇન કરે છે), અને સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે ફંક્શનના મૂલ્યોની તુલના કરવાની જરૂર છે લઘુત્તમ બિંદુ અને સેગમેન્ટના ડાબા છેડે, .

કાર્ય કરવા દો y =f(X)અંતરાલ પર સતત છે [ a, b]. જેમ જાણીતું છે, આવા કાર્ય આ સેગમેન્ટમાં તેના મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો સુધી પહોંચે છે. ફંક્શન આ મૂલ્યો લઈ શકે છે આંતરિક બિંદુસેગમેન્ટ [ a, b], અથવા સેગમેન્ટની સીમા પર.

સેગમેન્ટ પર ફંક્શનની સૌથી મોટી અને સૌથી નાની કિંમતો શોધવા માટે [ a, b] જરૂરી:

1) અંતરાલમાં કાર્યના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો ( a, b);

2) મળેલા નિર્ણાયક બિંદુઓ પર કાર્યના મૂલ્યોની ગણતરી કરો;

3) સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરો, એટલે કે જ્યારે x=એઅને x = b;

4) ફંક્શનના તમામ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોમાંથી, સૌથી મોટું અને નાનું પસંદ કરો.

ઉદાહરણ.ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શોધો

સેગમેન્ટ પર.

નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધવી:

આ બિંદુઓ સેગમેન્ટની અંદર આવેલા છે; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

બિંદુ પર x= 3 અને બિંદુ પર x= 0.

બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુ માટે કાર્યનો અભ્યાસ.

કાર્ય y = f (x) કહેવાય છે બહિર્મુખવચ્ચે (a, b) , જો તેનો ગ્રાફ આ અંતરાલમાં કોઈપણ બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકની નીચે રહેલો હોય, અને તેને કહેવામાં આવે છે બહિર્મુખ નીચે (અંતર્મુખ), જો તેનો આલેખ સ્પર્શકની ઉપર આવેલો છે.

બિંદુ કે જેના દ્વારા બહિર્મુખતાને અવતરણ દ્વારા બદલવામાં આવે છે અથવા તેનાથી ઊલટું કહેવામાં આવે છે વળાંક બિંદુ.

બહિર્મુખતા અને વળાંક બિંદુની તપાસ માટે અલ્ગોરિધમ:

1. બીજા પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુઓ શોધો, એટલે કે, એવા બિંદુઓ કે જેના પર બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી.

2. સંખ્યા રેખા પર નિર્ણાયક બિંદુઓનું પ્લોટ કરો, તેને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરો. દરેક અંતરાલ પર બીજા વ્યુત્પન્નનું ચિહ્ન શોધો; જો , તો ફંક્શન બહિર્મુખ ઉપરની તરફ છે, જો, તો ફંક્શન બહિર્મુખ નીચે તરફ છે.

3. જો, જ્યારે બીજા પ્રકારના નિર્ણાયક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે ચિહ્ન બદલાય છે અને આ બિંદુએ બીજું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે, તો આ બિંદુ એ ઇન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટનો એબ્સીસા છે. તેનું ઓર્ડિનેટ શોધો.

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ. એસિમ્પ્ટોટ્સ માટે કાર્યનો અભ્યાસ.

વ્યાખ્યા.ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટને કહેવામાં આવે છે સીધા, જેમાં ગુણધર્મ છે કે આલેખ પરના કોઈપણ બિંદુથી આ રેખા સુધીનું અંતર શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે ગ્રાફ પરનો બિંદુ મૂળથી અનિશ્ચિત સમય સુધી ખસે છે.

ત્રણ પ્રકારના એસિમ્પ્ટોટ્સ છે: વર્ટિકલ, હોરીઝોન્ટલ અને વળેલું.

વ્યાખ્યા.સીધી રેખા કહેવાય છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફિક્સ y = f(x), જો આ બિંદુએ ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક અનંત જેટલી હોય, તો તે છે

ફંક્શનનું વિરામ બિંદુ ક્યાં છે, એટલે કે, તે વ્યાખ્યાના ડોમેન સાથે સંબંધિત નથી.

ઉદાહરણ.

ડી ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - વિરામ બિંદુ.

વ્યાખ્યા.સીધું y =એકહેવાય છે આડી એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફિક્સ y = f(x)ખાતે, જો

ઉદાહરણ.

વ્યાખ્યા.સીધું y =kx +b (k≠ 0) કહેવાય છે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટકાર્ય ગ્રાફિક્સ y = f(x)પર, ક્યાં

કાર્યોનો અભ્યાસ કરવા અને ગ્રાફ બનાવવા માટેની સામાન્ય યોજના.

કાર્ય સંશોધન અલ્ગોરિધમy = f(x) :

1. ફંક્શનનું ડોમેન શોધો ડી (y).

2. સંકલન અક્ષો સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓ (જો શક્ય હોય તો) શોધો (જો x= 0 અને ખાતે y = 0).

3. કાર્યની સમાનતા અને વિચિત્રતાની તપાસ કરો ( y (‒ x) = y (x) ‒ સમાનતા y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ વિચિત્ર).

4. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.

5. ફંક્શનની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો.

6. ફંક્શનની સીમા શોધો.

7. ફંક્શન ગ્રાફના બહિર્મુખતા (અંતર્મુખતા) અને વળાંક બિંદુઓના અંતરાલો શોધો.

8. હાથ ધરાયેલા સંશોધનના આધારે, કાર્યનો ગ્રાફ બનાવો.

ઉદાહરણ.કાર્યનું અન્વેષણ કરો અને તેનો ગ્રાફ બનાવો.

1) ડી (y) =

x= 4 - વિરામ બિંદુ.

2) ક્યારે x = 0,

(0; ‒ 5) – સાથે છેદન બિંદુ ઓહ.

મુ y = 0,

3) y(‒ x)= કાર્ય સામાન્ય દૃશ્ય(એક પણ કે વિચિત્ર પણ નહીં).

4) અમે એસિમ્પ્ટોટ્સ માટે તપાસ કરીએ છીએ.

a) ઊભી

b) આડી

c) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો જ્યાં

- ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ સમીકરણ

5) આ સમીકરણમાં કાર્યની એકવિધતાના અંતરાલો શોધવાનું જરૂરી નથી.

6)

આ નિર્ણાયક બિંદુઓ કાર્યની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેનને અંતરાલ (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) અને (10; +∞) માં વિભાજિત કરે છે. નીચેના કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં પ્રાપ્ત પરિણામો રજૂ કરવા માટે તે અનુકૂળ છે.

વ્યવહારમાં, ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરવો એકદમ સામાન્ય છે. અમે આ ક્રિયા ત્યારે કરીએ છીએ જ્યારે આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કેવી રીતે ખર્ચ ઘટાડવો, નફો વધારવો, ઉત્પાદન પરના શ્રેષ્ઠ ભારની ગણતરી કરવી વગેરે, એટલે કે એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં આપણે નિર્ધારિત કરવાની જરૂર છે. શ્રેષ્ઠ મૂલ્યકોઈપણ પરિમાણ. આવી સમસ્યાઓને યોગ્ય રીતે ઉકેલવા માટે, તમારે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો શું છે તેની સારી સમજ હોવી જરૂરી છે.

Yandex.RTB R-A-339285-1

સામાન્ય રીતે આપણે આ મૂલ્યોને ચોક્કસ અંતરાલ x ની અંદર વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જે બદલામાં ફંક્શનના સમગ્ર ડોમેન અથવા તેના ભાગને અનુરૂપ હોઈ શકે છે. તે સેગમેન્ટ [a; b ] , અને ખુલ્લું અંતરાલ (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), અનંત અંતરાલ (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) અથવા અનંત અંતરાલ - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞), (- ∞; + ∞) .

આ લેખમાં અમે તમને કહીશું કે સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની સ્પષ્ટ રીતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી આપેલ કાર્યએક ચલ સાથે y=f(x) y = f (x) .

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ

ચાલો, હંમેશની જેમ, મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓની રચના સાથે પ્રારંભ કરીએ.

વ્યાખ્યા 1

ચોક્કસ અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y = f (x 0) x ∈ X છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય માટે x x ∈ X, x ≠ x 0 અસમાનતા બનાવે છે f (x) ≤ f (x) માન્ય 0) .

વ્યાખ્યા 2

ચોક્કસ અંતરાલ x પર ફંક્શન y = f (x) નું સૌથી નાનું મૂલ્ય m i n x ∈ X y = f (x 0) છે, જે કોઈપણ મૂલ્ય માટે x ∈ X, x ≠ x 0 અસમાનતા f(X f) બનાવે છે. (x) ≥ f (x 0) .

આ વ્યાખ્યાઓ એકદમ સ્પષ્ટ છે. તેનાથી પણ સરળ, આપણે આ કહી શકીએ: ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય તેની સૌથી વધુ છે મહાન મૂલ્ય abscissa x 0 પર જાણીતા અંતરાલ પર, અને x 0 પર સમાન અંતરાલ પર સૌથી નાનું સ્વીકૃત મૂલ્ય છે.

વ્યાખ્યા 3

સ્થિર બિંદુઓ ફંક્શનની દલીલના તે મૂલ્યો છે કે જેના પર તેનું વ્યુત્પન્ન 0 બને છે.

આપણે શા માટે એ જાણવાની જરૂર છે કે સ્થિર બિંદુઓ શું છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, આપણે ફર્મેટના પ્રમેયને યાદ રાખવાની જરૂર છે. તે તેના પરથી અનુસરે છે કે સ્થિર બિંદુ એ એક બિંદુ છે કે જેના પર વિભેદક કાર્યનો અંતિમ ભાગ સ્થિત છે (એટલે ​​કે તેનું સ્થાનિક લઘુત્તમઅથવા મહત્તમ). પરિણામે, ફંક્શન ચોક્કસ અંતરાલ પર સ્થિર બિંદુઓમાંથી એક પર ચોક્કસપણે સૌથી નાનું અથવા સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે.

ફંક્શન તે બિંદુઓ પર સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય પણ લઈ શકે છે જ્યાં ફંક્શન પોતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તેનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી.

આ વિષયનો અભ્યાસ કરતી વખતે પહેલો પ્રશ્ન ઉદ્ભવે છે: બધા કિસ્સાઓમાં, શું આપણે ફંક્શનનું સૌથી મોટું કે સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકીએ? આ સેગમેન્ટ? ના, અમે આ કરી શકતા નથી જ્યારે આપેલ અંતરાલની સીમાઓ વ્યાખ્યા ડોમેનની સીમાઓ સાથે સુસંગત હોય, અથવા જો આપણે અનંત અંતરાલ સાથે કામ કરી રહ્યા હોઈએ. એવું પણ બને છે કે આપેલ સેગમેન્ટમાં અથવા અનંતમાં ફંક્શન અનંત નાનું અથવા અનંત લેશે મોટા મૂલ્યો. આ કિસ્સાઓમાં, સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરવું શક્ય નથી.

ગ્રાફ પર દર્શાવ્યા પછી આ મુદ્દા વધુ સ્પષ્ટ થશે:

પ્રથમ આકૃતિ આપણને એક કાર્ય બતાવે છે જે સેગમેન્ટ [ - 6 ; 6].

ચાલો બીજા ગ્રાફમાં દર્શાવેલ કેસની વિગતવાર તપાસ કરીએ. ચાલો સેગમેન્ટની કિંમત [ 1 ; 6 ] અને આપણે શોધીએ છીએ કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય અંતરાલની જમણી સીમા પરના એબ્સીસા સાથેના બિંદુ પર પ્રાપ્ત થશે અને સૌથી નાનું સ્થિર બિંદુ.

ત્રીજી આકૃતિમાં, પોઈન્ટના એબ્સીસાસ સેગમેન્ટના સીમા બિંદુઓને રજૂ કરે છે [ - 3 ; 2]. તેઓ આપેલ કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

હવે ચાલો ચોથું ચિત્ર જોઈએ. તેમાં, કાર્ય ખુલ્લા અંતરાલ (- 6 ; 6) પર સ્થિર બિંદુઓ પર m a x y (સૌથી મોટું મૂલ્ય) અને m i n y (સૌથી નાનું મૂલ્ય) લે છે.

જો આપણે અંતરાલ લઈએ [ 1 ; 6), પછી આપણે કહી શકીએ કે તેના પરના કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ પર પ્રાપ્ત થશે. સૌથી મોટી કિંમત આપણા માટે અજાણ હશે. જો x = 6 અંતરાલ સાથે સંબંધિત હોય તો ફંક્શન તેની મહત્તમ કિંમત x બરાબર 6 પર લઈ શકે છે. આ ગ્રાફ 5 માં બતાવેલ કેસ બરાબર છે.

ગ્રાફ 6 પર સૌથી ઓછું મૂલ્ય આ કાર્યઅંતરાલની જમણી સીમા પર પ્રાપ્ત થાય છે (- 3; 2 ], અને અમે સૌથી વધુ મૂલ્ય વિશે ચોક્કસ નિષ્કર્ષ કાઢી શકતા નથી.

આકૃતિ 7 માં આપણે જોઈએ છીએ કે ફંક્શનમાં સ્થિર બિંદુ પર m a x y હશે જેનું abscissa 1 ની બરાબર હશે. ફંક્શન સી અંતરાલની સીમા પર તેના ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચશે જમણી બાજુ. માઇનસ અનંત પર, ફંક્શન વેલ્યુ એસિમ્પટોટિકલી y = 3 સુધી પહોંચશે.

જો આપણે અંતરાલ x ∈ 2 લઈએ; + ∞ , પછી આપણે જોઈશું કે આપેલ ફંક્શન તેના પર ન તો નાનું કે સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે. જો x 2 તરફ વળે છે, તો ફંક્શનના મૂલ્યો માઈનસ અનંત તરફ વળશે, કારણ કે સીધી રેખા x = 2 છે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ. જો એબ્સીસા વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો ફંક્શન મૂલ્યો એસિમ્પટોટિકલી y = 3 સુધી પહોંચશે. આકૃતિ 8 માં બતાવેલ કેસ બરાબર છે.

આ ફકરામાં આપણે ચોક્કસ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે કરવામાં આવતી ક્રિયાઓનો ક્રમ રજૂ કરીશું.

1. પ્રથમ, ચાલો ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ. ચાલો તપાસીએ કે શરતમાં ઉલ્લેખિત સેગમેન્ટ તેમાં શામેલ છે કે કેમ.
2. હવે ચાલો આ સેગમેન્ટમાં સમાવિષ્ટ બિંદુઓની ગણતરી કરીએ કે જેના પર પ્રથમ ડેરિવેટિવ અસ્તિત્વમાં નથી. મોટેભાગે તેઓ એવા કાર્યોમાં મળી શકે છે જેની દલીલ મોડ્યુલસ સાઇન હેઠળ અથવા ઇન લખવામાં આવે છે પાવર કાર્યો, જેનો ઘાત અપૂર્ણાંક તર્કસંગત સંખ્યા છે.
3. આગળ, આપણે શોધીશું કે આપેલ સેગમેન્ટમાં કયા સ્થિર બિંદુઓ આવશે. આ કરવા માટે, તમારે ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, પછી તેને 0 સાથે સમાન કરો અને પરિણામી સમીકરણને હલ કરો, અને પછી યોગ્ય મૂળ પસંદ કરો. જો આપણને એક પણ સ્થિર બિંદુ ન મળે અથવા તે આપેલ સેગમેન્ટમાં ન આવે, તો અમે આગળના પગલા પર આગળ વધીએ છીએ.
4. અમે નક્કી કરીએ છીએ કે આપેલ સ્થિર બિંદુઓ (જો કોઈ હોય તો) પર ફંક્શન કયા મૂલ્યો લેશે, અથવા તે બિંદુઓ પર જ્યાં પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી (જો ત્યાં કોઈ હોય તો), અથવા અમે x = a અને માટે મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ x = b.
5. 5. અમારી પાસે સંખ્યાબંધ ફંક્શન વેલ્યુ છે, જેમાંથી હવે આપણે સૌથી મોટું અને સૌથી નાનું પસંદ કરવાની જરૂર છે. આ ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો હશે જેને આપણે શોધવાની જરૂર છે.

ચાલો જોઈએ કે સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ અલ્ગોરિધમને યોગ્ય રીતે કેવી રીતે લાગુ કરવું.

ઉદાહરણ 1

શરત:ફંક્શન y = x 3 + 4 x 2 આપેલ છે. સેગમેન્ટ્સ પર તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો નક્કી કરો [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - 1]

ઉકેલ:

ચાલો આપેલ ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીને શરૂ કરીએ. આ કિસ્સામાં, તેણી પાસે ઘણા બધા હશે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, 0 સિવાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ શરતમાં ઉલ્લેખિત બંને વિભાગો વ્યાખ્યા વિસ્તારની અંદર હશે.

હવે આપણે અપૂર્ણાંક તફાવતના નિયમ અનુસાર ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરીએ છીએ:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

અમે શીખ્યા કે ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન સેગમેન્ટના તમામ બિંદુઓ પર અસ્તિત્વમાં રહેશે [ 1 ; 4 ] અને [ - 4 ; - 1]

હવે આપણે ફંક્શનના સ્થિર બિંદુઓ નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો આ સમીકરણ x 3 - 8 x 3 = 0 નો ઉપયોગ કરીને કરીએ. તે માત્ર એક વાસ્તવિક મૂળ ધરાવે છે, જે 2 છે. તે ફંક્શનનું સ્થિર બિંદુ હશે અને પ્રથમ સેગમેન્ટમાં આવશે [1; 4].

ચાલો પ્રથમ સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શનના મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ અને આ બિંદુએ, એટલે કે. x = 1, x = 2 અને x = 4 માટે:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

અમને જાણવા મળ્યું કે ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 એ x = 1 પર પ્રાપ્ત થશે, અને સૌથી નાનો m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2 પર.

બીજા સેગમેન્ટમાં એક સ્થિર બિંદુનો સમાવેશ થતો નથી, તેથી આપણે આપેલ સેગમેન્ટના છેડે ફંક્શન મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

આનો અર્થ છે m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

જવાબ:સેગમેન્ટ માટે [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , સેગમેન્ટ માટે [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

ચિત્ર જુઓ:

તમે અભ્યાસ કરો તે પહેલાં આ પદ્ધતિ, અમે તમને એકતરફી મર્યાદા અને અનંતતા પરની મર્યાદાની યોગ્ય રીતે ગણતરી કેવી રીતે કરવી તેની સમીક્ષા કરવા તેમજ તેમને શોધવા માટેની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ શીખવાની સલાહ આપીએ છીએ. ખુલ્લા અથવા અનંત અંતરાલ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને/અથવા સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધવા માટે, નીચેના પગલાંઓ ક્રમિક રીતે કરો.

1. પ્રથમ, તમારે તપાસવાની જરૂર છે કે શું આપેલ અંતરાલ આપેલ ફંક્શનના ડોમેનનો સબસેટ હશે.
2. ચાલો આપણે બધા બિંદુઓ નક્કી કરીએ જે જરૂરી અંતરાલમાં સમાયેલ છે અને જેના પર પ્રથમ વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. તેઓ સામાન્ય રીતે ફંક્શન્સમાં થાય છે જ્યાં દલીલ મોડ્યુલસ ચિહ્નમાં બંધ હોય છે, અને અપૂર્ણાંક સાથે પાવર ફંક્શન્સમાં તર્કસંગત સૂચક. જો આ બિંદુઓ ખૂટે છે, તો પછી તમે આગલા પગલા પર આગળ વધી શકો છો.
3. હવે ચાલો નક્કી કરીએ કે કયા સ્થિર બિંદુઓ આપેલ અંતરાલમાં આવશે. પ્રથમ, આપણે વ્યુત્પન્નને 0 સાથે સરખાવીએ છીએ, સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ અને યોગ્ય મૂળ પસંદ કરીએ છીએ. જો આપણી પાસે એક પણ સ્થિર બિંદુ ન હોય અથવા તે આપેલ અંતરાલમાં ન આવે, તો અમે તરત જ જઈએ છીએ આગળની ક્રિયાઓ. તેઓ અંતરાલના પ્રકાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

• જો અંતરાલ સ્વરૂપનું છે [ a ; b) , તો આપણે બિંદુ x = a અને એકતરફી પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે મર્યાદા x → b - 0 f (x) .
• જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a; b ] હોય, તો આપણે બિંદુ x = b અને એક બાજુની મર્યાદા lim x → a + 0 f (x) પર ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલનું સ્વરૂપ (a ; b) હોય, તો આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલ ફોર્મનું છે [ a ; + ∞), પછી આપણે બિંદુ x = a અને વત્તા અનંત લિમ x → + ∞ f (x) પરની મર્યાદા પરની કિંમતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.
• જો અંતરાલ (- ∞ ; b ] જેવો દેખાય છે, તો આપણે બિંદુ x = b પરની કિંમત અને માઇનસ અનંત લિમ x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાની ગણતરી કરીએ છીએ.
• જો - ∞ ; b , પછી આપણે એકતરફી મર્યાદા lim x → b - 0 f (x) અને માઈનસ અનંત lim x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
• જો - ∞; + ∞ , પછી આપણે માઈનસ અને વત્તા અનંત લિમ x → + ∞ f (x) , લિમ x → - ∞ f (x) પરની મર્યાદાઓને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

1. અંતે, તમારે પ્રાપ્ત કાર્ય મૂલ્યો અને મર્યાદાઓના આધારે નિષ્કર્ષ દોરવાની જરૂર છે. અહીં ઘણા બધા વિકલ્પો ઉપલબ્ધ છે. તેથી, જો એકતરફી મર્યાદા માઇનસ અનંત અથવા વત્તા અનંતની બરાબર હોય, તો તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શનના સૌથી નાના અને મોટા મૂલ્યો વિશે કશું કહી શકાતું નથી. નીચે આપણે એક જોઈશું લાક્ષણિક ઉદાહરણ. વિગતવાર વર્ણનોશું છે તે સમજવામાં તમને મદદ કરશે. જો જરૂરી હોય તો, તમે સામગ્રીના પ્રથમ ભાગમાં આકૃતિ 4 - 8 પર પાછા આવી શકો છો.

શરત: આપેલ ફંક્શન y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . અંતરાલોમાં તેના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યની ગણતરી કરો - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

ઉકેલ

સૌ પ્રથમ, આપણે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ. અપૂર્ણાંકના છેદમાં ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનો સમાવેશ થાય છે, જે 0 તરફ વળવું જોઈએ નહીં:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2 ; + ∞)

અમે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મેળવ્યું છે કે જેમાં શરતમાં ઉલ્લેખિત તમામ અંતરાલો સંબંધિત છે.

હવે ચાલો ફંક્શનને અલગ કરીએ અને મેળવીએ:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

પરિણામે, ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ તેની વ્યાખ્યાના સમગ્ર ક્ષેત્રમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

ચાલો સ્થિર બિંદુઓ શોધવા તરફ આગળ વધીએ. ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન x = - 1 2 પર 0 બને છે. આ એક સ્થિર બિંદુ છે જે અંતરાલો (- 3 ; 1 ] અને (- 3 ; 2) માં આવેલું છે.

ચાલો અંતરાલ (- ∞ ; - 4 ] માટે x = - 4 પર ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી કરીએ, તેમજ માઇનસ અનંત પરની મર્યાદા:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 થી, તેનો અર્થ એમ થાય છે કે m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. આ અમને અનન્ય રીતે સૌથી નાનું મૂલ્ય નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપતું નથી. ફંક્શન.

બીજા અંતરાલની ખાસિયત એ છે કે તેમાં એક પણ સ્થિર બિંદુ નથી અને તેમાં એક પણ કડક સીમા નથી. પરિણામે, અમે ફંક્શનના સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્યની ગણતરી કરી શકીશું નહીં. માઈનસ અનંત પર મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી અને ડાબી બાજુએ - 3 તરફ વલણ ધરાવતી દલીલ સાથે, અમને ફક્ત મૂલ્યોનો અંતરાલ મળે છે:

લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

આનો અર્થ એ છે કે કાર્ય મૂલ્યો અંતરાલમાં સ્થિત થશે - 1; +∞

ત્રીજા અંતરાલમાં ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે તેનું મૂલ્ય સ્થિર બિંદુ x = - 1 2 જો x = 1 પર નક્કી કરીએ છીએ. જ્યારે દલીલ જમણી બાજુએ - 3 તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે અમને કેસ માટે એકતરફી મર્યાદા પણ જાણવાની જરૂર પડશે:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

તે બહાર આવ્યું છે કે ફંક્શન સ્થિર બિંદુ m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 પર સૌથી વધુ મૂલ્ય લેશે. નાનામાં નાના મૂલ્ય માટે, અમે તેને નિર્ધારિત કરી શકતા નથી. આપણે જે જાણીએ છીએ તે બધું , - 4 ની નીચી મર્યાદાની હાજરી છે.

અંતરાલ (- 3 ; 2) માટે, અગાઉની ગણતરીના પરિણામો લો અને ફરી એકવાર ગણતરી કરો કે જ્યારે ડાબી બાજુએ 2 તરફ વળવું ત્યારે એકતરફી મર્યાદા કેટલી બરાબર છે:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 લિમ x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

આનો અર્થ એ છે કે m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, અને સૌથી નાનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકાતું નથી, અને ફંક્શનના મૂલ્યો નંબર - 4 દ્વારા નીચેથી મર્યાદિત છે .

અગાઉની બે ગણતરીઓમાં જે મળ્યું તેના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે અંતરાલ [ 1 ; 2) ફંક્શન x = 1 પર સૌથી મોટું મૂલ્ય લેશે, પરંતુ સૌથી નાનું શોધવાનું અશક્ય છે.

અંતરાલ પર (2 ; + ∞) ફંક્શન સૌથી મોટા અથવા નાના મૂલ્ય સુધી પહોંચશે નહીં, એટલે કે. તે અંતરાલમાંથી મૂલ્યો લેશે - 1 ; + ∞

લિમ x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = લિમ x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ લિમ x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4 પર ફંક્શનની કિંમત કેટલી હશે તેની ગણતરી કર્યા પછી, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , અને વત્તા અનંત પર આપેલ ફંક્શન એસિમ્પ્ટોટિક રીતે સીધી રેખા y = - 1 સુધી પહોંચશે.

આપેલ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે દરેક ગણતરીમાં આપણને શું મળ્યું તેની સરખામણી કરીએ. આકૃતિમાં, એસિમ્પ્ટોટ્સ ડોટેડ રેખાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાનામાં નાના મૂલ્યો શોધવા વિશે અમે તમને આટલું જ કહેવા માગીએ છીએ. અમે આપેલ ક્રિયાઓનો ક્રમ તમને શક્ય તેટલી ઝડપથી અને સરળ રીતે જરૂરી ગણતરીઓ કરવામાં મદદ કરશે. પરંતુ યાદ રાખો કે ફંક્શન કયા અંતરાલમાં ઘટશે અને કયા સમયે તે વધશે તે શોધવા માટે તે ઘણીવાર ઉપયોગી છે, જેના પછી તમે વધુ તારણો દોરી શકો છો. આ રીતે તમે ફંક્શનના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યોને વધુ ચોક્કસ રીતે નિર્ધારિત કરી શકો છો અને પ્રાપ્ત પરિણામોને ન્યાયી ઠેરવી શકો છો.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

કેટલીકવાર સમસ્યાઓ B15 માં "ખરાબ" કાર્યો હોય છે જેના માટે વ્યુત્પન્ન શોધવું મુશ્કેલ છે. પહેલાં, આ ફક્ત નમૂના પરીક્ષણો દરમિયાન જ થતું હતું, પરંતુ હવે આ કાર્યો એટલા સામાન્ય છે કે વાસ્તવિક યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાની તૈયારી કરતી વખતે તેને અવગણી શકાય નહીં.

આ કિસ્સામાં, અન્ય તકનીકો કામ કરે છે, જેમાંથી એક છે એકવિધ.

ફંક્શન f (x) એ સેગમેન્ટ પર એકવિધ રીતે વધી રહ્યું હોવાનું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટના કોઈપણ બિંદુ x 1 અને x 2 માટે નીચેના ધરાવે છે:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).

ફંક્શન f (x) એ સેગમેન્ટ પર એકવિધ રીતે ઘટતું હોવાનું કહેવાય છે જો આ સેગમેન્ટના કોઈપણ પોઈન્ટ x 1 અને x 2 માટે નીચેના ધરાવે છે:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વધતા કાર્ય માટે, મોટા x, મોટા f(x). ઘટતા કાર્ય માટે વિરુદ્ધ સાચું છે: મોટા x, ધ ઓછું f(x).

ઉદાહરણ તરીકે, જો બેઝ a > 1 હોય તો લોગરીધમ એકવિધ રીતે વધે છે અને જો 0 હોય તો એકવિધ રીતે ઘટે છે< a < 1. Не забывайте про область સ્વીકાર્ય મૂલ્યોલઘુગણક: x > 0.

f (x) = લોગ a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

અંકગણિત ચોરસ (અને માત્ર ચોરસ જ નહીં) મૂળ વ્યાખ્યાના સમગ્ર ડોમેન પર એકવિધ રીતે વધે છે:

ઘાતાંકીય કાર્ય લઘુગણકની જેમ જ વર્તે છે: તે > 1 માટે વધે છે અને 0 માટે ઘટે છે< a < 1. Но в отличие от логарифма, ઘાતાંકીય કાર્યબધી સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત, માત્ર x > 0 નહીં:

f (x) = a x (a > 0)

છેલ્લે, સાથે ડિગ્રી નકારાત્મક સૂચક. તમે તેમને અપૂર્ણાંક તરીકે લખી શકો છો. તેમની પાસે એક વિરામ બિંદુ છે જ્યાં એકવિધતા તૂટી ગઈ છે.

આ તમામ કાર્યો તેમના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં ક્યારેય જોવા મળતા નથી. તેઓ બહુપદી, અપૂર્ણાંક અને અન્ય નોનસેન્સ ઉમેરે છે, જે વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરવાનું મુશ્કેલ બનાવે છે. ચાલો જોઈએ કે આ કિસ્સામાં શું થાય છે.

પેરાબોલા શિરોબિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ

મોટેભાગે ફંક્શન દલીલ સાથે બદલાઈ જાય છે ચતુર્ભુજ ત્રિપદીફોર્મ y = ax 2 + bx + c. તેનો આલેખ એક પ્રમાણભૂત પેરાબોલા છે જેમાં અમને રસ છે:

1. પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપર જઈ શકે છે (a > 0 માટે) અથવા નીચે (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. પેરાબોલાના શિરોબિંદુ એ ચતુર્ભુજ ફંક્શનનું સીમાબિંદુ છે જ્યાં આ ફંક્શન તેનું ન્યૂનતમ (a> 0 માટે) અથવા મહત્તમ (a) લે છે.< 0) значение.

સૌથી વધુ રસ છે પેરાબોલાના શિરોબિંદુ, જેનું એબ્સીસા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

તેથી, આપણે ચતુર્ભુજ કાર્યનો અંતિમ બિંદુ શોધી કાઢ્યો છે. પરંતુ જો મૂળ ફંક્શન મોનોટોનિક છે, તો તેના માટે બિંદુ x 0 પણ એક આત્યંતિક બિંદુ હશે. આમ, ચાલો મુખ્ય નિયમ ઘડીએ:

એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ ચતુર્ભુજ ત્રિપદીઅને જટિલ કાર્ય, જેમાં તે સમાવવામાં આવેલ છે, એકરુપ છે. તેથી, તમે ચતુર્ભુજ ત્રિપદી માટે x 0 શોધી શકો છો, અને કાર્ય વિશે ભૂલી શકો છો.

ઉપરોક્ત તર્કથી, તે અસ્પષ્ટ રહે છે કે આપણે કયો બિંદુ મેળવીએ છીએ: મહત્તમ અથવા લઘુત્તમ. જો કે, કાર્યો ખાસ રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યા છે જેથી આમાં કોઈ ફરક ન પડે. તમારા માટે ન્યાયાધીશ:

1. સમસ્યા નિવેદનમાં કોઈ સેગમેન્ટ નથી. તેથી, f(a) અને f(b) ની ગણતરી કરવાની જરૂર નથી. તે ફક્ત આત્યંતિક બિંદુઓને ધ્યાનમાં લેવાનું બાકી છે;
2. પરંતુ ત્યાં ફક્ત એક જ બિંદુ છે - આ પેરાબોલા x 0 નું શિરોબિંદુ છે, જેના કોઓર્ડિનેટ્સ શાબ્દિક રીતે મૌખિક રીતે અને કોઈપણ ડેરિવેટિવ્ઝ વિના ગણવામાં આવે છે.

આમ, સમસ્યાનું નિરાકરણ ખૂબ જ સરળ છે અને તે ફક્ત બે પગલાઓ પર આવે છે:

1. પેરાબોલા y = ax 2 + bx + c નું સમીકરણ લખો અને સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેનું શિરોબિંદુ શોધો: x 0 = −b /2a ;
2. આ બિંદુએ મૂળ કાર્યની કિંમત શોધો: f (x 0). જો ના વધારાની શરતોના, તે જવાબ હશે.

પ્રથમ નજરમાં, આ અલ્ગોરિધમ અને તેનું તર્ક જટિલ લાગે છે. હું ઇરાદાપૂર્વક "બેર" સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ પોસ્ટ કરતો નથી, કારણ કે આવા નિયમોનો વિચારવિહીન ઉપયોગ ભૂલોથી ભરપૂર છે.

માંથી વાસ્તવિક સમસ્યાઓ જોઈએ અજમાયશ યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષાગણિતમાં - આ તે છે જ્યાં આ તકનીક મોટાભાગે જોવા મળે છે. તે જ સમયે, અમે ખાતરી કરીશું કે આ રીતે ઘણી બધી B15 સમસ્યાઓ લગભગ મૌખિક બની જાય છે.

રુટ સ્ટેન્ડ હેઠળ ચતુર્ભુજ કાર્ય y = x 2 + 6x + 13. આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઉપરની તરફની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે, કારણ કે ગુણાંક a = 1 > 0 છે.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ:

x 0 = −b /(2a) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

પેરાબોલાની શાખાઓ ઉપરની તરફ નિર્દેશિત હોવાથી, x 0 = −3 બિંદુ પર કાર્ય y = x 2 + 6x + 13 તેની લઘુત્તમ કિંમત લે છે.

રુટ એકવિધ રીતે વધે છે, જેનો અર્થ છે x 0 એ સમગ્ર કાર્યનો લઘુત્તમ બિંદુ છે. અમારી પાસે છે:

કાર્ય. ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો:

y = લોગ 2 (x 2 + 2x + 9)

લઘુગણક હેઠળ ફરીથી એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે: y = x 2 + 2x + 9. આલેખ ઉપર શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે, કારણ કે a = 1 > 0.

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ:

x 0 = −b /(2a) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

તેથી, બિંદુ x 0 = −1 પર ચતુર્ભુજ કાર્ય તેની લઘુત્તમ કિંમત લે છે. પરંતુ કાર્ય y = log 2 x એકવિધ છે, તેથી:

y મિનિટ = y (−1) = લોગ 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = લોગ 2 8 = 3

ઘાતાંકમાં ચતુર્ભુજ કાર્ય y = 1 − 4x − x 2 હોય છે. ચાલો તેને ફરીથી લખીએ સામાન્ય સ્વરૂપ: y = −x 2 − 4x + 1.

દેખીતી રીતે, આ ફંક્શનનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે, શાખાઓ નીચે છે (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

મૂળ ફંક્શન ઘાતાંકીય છે, તે મોનોટોનિક છે, તેથી સૌથી મોટી કિંમત મળેલ બિંદુ x 0 = −2 પર હશે:

સચેત વાચક કદાચ જોશે કે અમે મૂળ અને લઘુગણકના અનુમતિપાત્ર મૂલ્યોની શ્રેણી લખી નથી. પરંતુ આ જરૂરી ન હતું: અંદર એવા કાર્યો છે જેના મૂલ્યો હંમેશા હકારાત્મક હોય છે.

ફંક્શનના ડોમેનમાંથી કોરોલરીઝ

સમસ્યા B15 ઉકેલવા માટે કેટલીકવાર પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધવાનું પૂરતું નથી. તમે જે મૂલ્ય શોધી રહ્યા છો તે ખોટું હોઈ શકે છે સેગમેન્ટના અંતે, અને આત્યંતિક બિંદુ પર બિલકુલ નહીં. જો સમસ્યા કોઈ સેગમેન્ટને બિલકુલ સૂચવતી નથી, તો જુઓ સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીમૂળ કાર્ય. જેમ કે:

મહેરબાની કરીને ફરીથી નોંધ કરો: શૂન્ય મૂળની નીચે હોઈ શકે છે, પરંતુ અપૂર્ણાંકના લઘુગણક અથવા છેદમાં ક્યારેય નહીં. ચાલો જોઈએ કે આ વિશિષ્ટ ઉદાહરણો સાથે કેવી રીતે કાર્ય કરે છે:

કાર્ય. ફંક્શનનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો:

મૂળની નીચે ફરી એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે: y = 3 − 2x − x 2 . તેનો ગ્રાફ પેરાબોલા છે, પરંતુ શાખાઓ નીચે છે કારણ કે a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический વર્ગમૂળનકારાત્મક સંખ્યા અસ્તિત્વમાં નથી.

અમે અનુમતિપાત્ર મૂલ્યો (APV) ની શ્રેણી લખીએ છીએ:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

હવે ચાલો પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધીએ:

x 0 = −b /(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

બિંદુ x 0 = −1 એ સેગમેન્ટ ODZ નો છે - અને આ સારું છે. હવે આપણે બિંદુ x 0, તેમજ ODZ ના છેડે ફંક્શનની કિંમતની ગણતરી કરીએ છીએ:

y(−3) = y(1) = 0

તેથી, અમને 2 અને 0 નંબરો મળ્યા. અમને સૌથી મોટો શોધવા માટે કહેવામાં આવે છે - આ નંબર 2 છે.

કાર્ય. ફંક્શનનું સૌથી નાનું મૂલ્ય શોધો:

y = લોગ 0.5 (6x − x 2 − 5)

લઘુગણકની અંદર એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે y = 6x − x 2 − 5. આ એક પેરાબોલા છે જેની શાખાઓ નીચે છે, પરંતુ લઘુગણકમાં તે હોઈ શકતું નથી. નકારાત્મક સંખ્યાઓ, તેથી અમે ODZ લખીએ છીએ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અસમાનતા કડક છે, તેથી છેડા ODZ સાથે સંબંધિત નથી. આ લઘુગણકને મૂળથી જુદો પાડે છે, જ્યાં સેગમેન્ટના છેડા અમને ખૂબ જ અનુકૂળ આવે છે.

અમે પેરાબોલાના શિરોબિંદુને શોધી રહ્યા છીએ:

x 0 = −b /(2a) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

પેરાબોલાના શિરોબિંદુ ODZ અનુસાર બંધબેસે છે: x 0 = 3 ∈ (1; 5). પરંતુ અમને સેગમેન્ટના છેડામાં રસ ન હોવાથી, અમે ફંક્શનના મૂલ્યની ગણતરી માત્ર બિંદુ x 0 પર કરીએ છીએ:

y મિનિટ = y (3) = લોગ 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = લોગ 0.5 (18 − 9 − 5) = લોગ 0.5 4 = −2