રેખીય સમીકરણોની મનસ્વી અને સજાતીય પ્રણાલીઓનું નિરાકરણ. રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ માટે બિન-તુચ્છ અને મૂળભૂત ઉકેલ કેવી રીતે શોધવો

સિસ્ટમ mરેખીય સમીકરણો c nઅજાણ્યા કહેવાય છે રેખીય સજાતીય સિસ્ટમસમીકરણો જો તમામ મુક્ત પદો શૂન્ય સમાન હોય. આવી સિસ્ટમ આના જેવી લાગે છે:

જ્યાં અને ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - આપેલ નંબરો; x i- અજ્ઞાત.

લીનિયર સિસ્ટમ સજાતીય સમીકરણોહંમેશા સંયુક્ત, કારણ કે આર(A) = આર(). તેમાં હંમેશા ઓછામાં ઓછું શૂન્ય હોય છે ( તુચ્છ) ઉકેલ (0; 0; …; 0).

ચાલો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે કઈ પરિસ્થિતિઓમાં સજાતીય પ્રણાલીઓમાં બિન-શૂન્ય ઉકેલો છે.

પ્રમેય 1.રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં બિનશૂન્ય ઉકેલો હોય છે જો અને માત્ર જો તેના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ હોય આર ઓછી સંખ્યાઅજ્ઞાત n, એટલે કે આર < n.

□ 1). રેખીય સજાતીય સમીકરણોની પ્રણાલીમાં બિનશૂન્ય ઉકેલ હોય છે. કારણ કે રેન્ક મેટ્રિક્સના કદ કરતાં વધી શકતો નથી, તો દેખીતી રીતે, આર ≤ n. દો આર = n. પછી નાના કદમાંથી એક n nશૂન્યથી અલગ. તેથી, રેખીય સમીકરણોની અનુરૂપ સિસ્ટમ છે એકમાત્ર ઉકેલ: . આનો અર્થ એ છે કે તુચ્છ મુદ્દાઓ સિવાય અન્ય કોઈ ઉકેલો નથી. તેથી જો ત્યાં છે બિન-તુચ્છ ઉકેલ, તે આર < n.

2). દો આર < n. પછી સજાતીય સિસ્ટમ, સુસંગત હોવાને કારણે, અનિશ્ચિત છે. તેથી તેણી પાસે છે અનંત સમૂહનિર્ણયો, એટલે કે બિન-શૂન્ય ઉકેલો ધરાવે છે. ■

સજાતીય સિસ્ટમનો વિચાર કરો nરેખીય સમીકરણો c nઅજ્ઞાત:

(2)

પ્રમેય 2.સજાતીય સિસ્ટમ nરેખીય સમીકરણો c nઅજ્ઞાત (2) પાસે બિન-શૂન્ય ઉકેલો છે જો અને માત્ર જો તે નિર્ણાયક હોય શૂન્ય બરાબર: = 0.

□ જો સિસ્ટમ (2) પાસે બિન-શૂન્ય સોલ્યુશન હોય, તો = 0. કારણ કે જ્યારે સિસ્ટમ પાસે માત્ર એક જ શૂન્ય ઉકેલ હોય છે. જો = 0, તો ક્રમ આરસિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછું છે, એટલે કે. આર < n. અને, તેથી, સિસ્ટમમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે, એટલે કે. બિન-શૂન્ય ઉકેલો ધરાવે છે. ■

ચાલો સિસ્ટમના ઉકેલને સૂચવીએ (1) એક્સ 1 = k 1 , એક્સ 2 = k 2 , …, x n = k nશબ્દમાળા તરીકે .

રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો છે નીચેના ગુણધર્મો:

1. જો રેખા સિસ્ટમ (1) નો ઉકેલ છે, તો લાઇન એ સિસ્ટમ (1) નો ઉકેલ છે.

2. જો લીટીઓ અને - સિસ્ટમના ઉકેલો (1), પછી કોઈપણ મૂલ્યો માટે સાથે 1 અને સાથે 2 તેમનું રેખીય સંયોજન પણ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે (1).

આ ગુણધર્મની માન્યતા તેમને સિસ્ટમના સમીકરણોમાં સીધી બદલીને ચકાસી શકાય છે.

ફોર્મ્યુલેટેડ પ્રોપર્ટીઝ પરથી તે અનુસરે છે કે રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઉકેલોનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન પણ આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.

રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોની સિસ્ટમ ઇ 1 , ઇ 2 , …, e આરકહેવાય છે મૂળભૂત, જો સિસ્ટમનું દરેક સોલ્યુશન (1) આ સોલ્યુશનનું રેખીય સંયોજન છે ઇ 1 , ઇ 2 , …, e આર.

પ્રમેય 3.જો રેન્ક આરમાટે ગુણાંક મેટ્રિસિસ સિસ્ટમ ચલોરેખીય સજાતીય સમીકરણો (1) ચલોની સંખ્યા કરતા ઓછા છે n, પછી કોઈપણ મૂળભૂત સિસ્ટમસિસ્ટમના ઉકેલો (1) સમાવે છે n–rનિર્ણયો

તેથી જ સામાન્ય ઉકેલ રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ (1) ફોર્મ ધરાવે છે:

જ્યાં ઇ 1 , ઇ 2 , …, e આર- સિસ્ટમના ઉકેલોની કોઈપણ મૂળભૂત સિસ્ટમ (9), સાથે 1 , સાથે 2 , …, પી સાથે – મનસ્વી સંખ્યાઓ, આર = n–r.

પ્રમેય 4.સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ mરેખીય સમીકરણો c nઅજ્ઞાત એ રેખીય સજાતીય સમીકરણો (1) ની અનુરૂપ પ્રણાલીના સામાન્ય ઉકેલના સરવાળા સમાન છે અને આ સિસ્ટમ (1) ના મનસ્વી વિશિષ્ટ ઉકેલ.

ઉદાહરણ.સિસ્ટમ ઉકેલો

ઉકેલ.આ સિસ્ટમ માટે m = n= 3. નિર્ણાયક

પ્રમેય 2 દ્વારા, સિસ્ટમ પાસે માત્ર એક તુચ્છ ઉકેલ છે: x = y = z = 0.

ઉદાહરણ. 1) સિસ્ટમના સામાન્ય અને ચોક્કસ ઉકેલો શોધો

2) ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ શોધો.

ઉકેલ. 1) આ સિસ્ટમ માટે m = n= 3. નિર્ણાયક

પ્રમેય 2 દ્વારા, સિસ્ટમમાં બિનશૂન્ય ઉકેલો છે.

સિસ્ટમમાં એક જ સ્વતંત્ર સમીકરણ હોવાથી

x + y – 4z = 0,

પછી તેમાંથી આપણે વ્યક્ત કરીશું x =4z- y. આપણને અસંખ્ય ઉકેલો ક્યાંથી મળે છે: (4 z- y, y, z) – આ સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ છે.

મુ z= 1, y= -1, અમને એક ચોક્કસ ઉકેલ મળે છે: (5, -1, 1). પુટિંગ z= 3, y= 2, આપણને બીજો ચોક્કસ ઉકેલ મળે છે: (10, 2, 3), વગેરે.

2) સામાન્ય ઉકેલમાં (4 z- y, y, z) ચલો yઅને zમફત છે, અને ચલ એક્સ- તેમના પર નિર્ભર. ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ શોધવા માટે, અમે મફત સોંપીએ છીએ ચલ મૂલ્યો: પહેલા y = 1, z= 0, પછી y = 0, z= 1. અમે આંશિક ઉકેલો (-1, 1, 0), (4, 0, 1) મેળવીએ છીએ, જે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે.

ચિત્રો:

ચોખા. 1 રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોનું વર્ગીકરણ

ચોખા. 2 રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમોનો અભ્યાસ

પ્રસ્તુતિઓ:

· ઉકેલ SLAE_matrix પદ્ધતિ

· ઉકેલ SLAE_Cramer પદ્ધતિ

· ઉકેલ SLAE_Gauss પદ્ધતિ

· ઉકેલ પેકેજો ગાણિતિક સમસ્યાઓ મેથેમેટિકા, મેથકેડ: વિશ્લેષણાત્મક માટે શોધ અને સંખ્યાત્મક ઉકેલરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

સુરક્ષા પ્રશ્નો :

1. રેખીય સમીકરણ વ્યાખ્યાયિત કરો

2. તે કયા પ્રકારની સિસ્ટમ જેવો દેખાય છે? mસાથે રેખીય સમીકરણો nઅજ્ઞાત?

3. રેખીય સમીકરણોની ઉકેલ પ્રણાલીને શું કહેવામાં આવે છે?

4. કઈ સિસ્ટમોને સમકક્ષ કહેવામાં આવે છે?

5. કઈ સિસ્ટમને અસંગત કહેવામાં આવે છે?

6. કઈ સિસ્ટમને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે?

7. કઈ સિસ્ટમને ચોક્કસ કહેવામાં આવે છે?

8. કઈ સિસ્ટમને અનિશ્ચિત કહેવામાં આવે છે

9. રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓના પ્રાથમિક પરિવર્તનોની યાદી બનાવો

10. મેટ્રિસીસના પ્રાથમિક પરિવર્તનોની યાદી બનાવો

11. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમમાં પ્રાથમિક રૂપાંતરણના ઉપયોગ પર એક પ્રમેય ઘડવો

12. કઈ સિસ્ટમો ઉકેલી શકાય છે મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ?

13. ક્રેમરની પદ્ધતિ દ્વારા કઈ સિસ્ટમો ઉકેલી શકાય છે?

14. ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા કઈ સિસ્ટમો ઉકેલી શકાય છે?

15. યાદી 3 શક્ય કેસો, જ્યારે ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલતી વખતે ઉદ્ભવે છે

16. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનું વર્ણન કરો

17. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ક્રેમરની પદ્ધતિનું વર્ણન કરો

18. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ગૌસની પદ્ધતિનું વર્ણન કરો

19. કઈ સિસ્ટમોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ?

20. ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલતી વખતે ઉદ્ભવતા 3 સંભવિત કેસોની યાદી બનાવો

સાહિત્ય:

1. ઉચ્ચ ગણિતઅર્થશાસ્ત્રીઓ માટે: યુનિવર્સિટીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / N.Sh. ક્રેમર, બી.એ. પુટકો, આઈ.એમ. ત્રિશિન, એમ.એન. ફ્રિડમેન. એડ. એન.શ. ક્રેમર. – એમ.: યુનિટી, 2005. – 471 પૃ.

2. સામાન્ય અભ્યાસક્રમઅર્થશાસ્ત્રીઓ માટે ઉચ્ચ ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક. / એડ. વી.આઈ. એર્માકોવા. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 p.

3. અર્થશાસ્ત્રીઓ માટે ઉચ્ચ ગણિતમાં સમસ્યાઓનો સંગ્રહ: ટ્યુટોરીયલ/ V.I દ્વારા સંપાદિત. એર્માકોવા. M.: INFRA-M, 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. સંભાવના સિદ્ધાંત અને મેગ્મેટિક આંકડાઓમાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની માર્ગદર્શિકા. - એમ.: સ્નાતક શાળા, 2005. - 400 પૃષ્ઠ.

5. Gmurman. V.E સંભાવના સિદ્ધાંત અને ગાણિતિક આંકડા. - એમ.: હાયર સ્કૂલ, 2005.

6. ડેન્કો P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. કસરતો અને સમસ્યાઓમાં ઉચ્ચ ગણિત. ભાગ 1, 2. – એમ.: ઓનીક્સ 21મી સદી: શાંતિ અને શિક્ષણ, 2005. – 304 પૃષ્ઠ. ભાગ 1; - 416 પૃ. ભાગ 2.

7. અર્થશાસ્ત્રમાં ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક: 2 ભાગોમાં / A.S. સોલોડોવનિકોવ, વી.એ. બાબેતસેવ, એ.વી. બ્રેઇલોવ, આઇ.જી. શાન્દરા. – એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 2006.

8. શિપાચેવ વી.એસ. ઉચ્ચ ગણિત: વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક. યુનિવર્સિટીઓ - એમ.: ઉચ્ચ શાળા, 2007. - 479 પૃષ્ઠ.

સંબંધિત માહિતી.

તે શું છે તે સમજવા માટે મૂળભૂત નિર્ણય સિસ્ટમતમે ક્લિક કરીને સમાન ઉદાહરણ માટે વિડિઓ ટ્યુટોરીયલ જોઈ શકો છો. હવે આખાના વર્ણન તરફ આગળ વધીએ જરૂરી કામ. આ તમને આ મુદ્દાના સારને વધુ વિગતવાર સમજવામાં મદદ કરશે.

રેખીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ કેવી રીતે શોધવી?

ચાલો ઉદાહરણ તરીકે રેખીય સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમ લઈએ:

ચાલો આનો ઉકેલ શોધીએ રેખીય સિસ્ટમસમીકરણો સાથે શરૂ કરવા માટે, અમે તમારે સિસ્ટમના ગુણાંક મેટ્રિક્સ લખવાની જરૂર છે.

ચાલો આ મેટ્રિક્સને ત્રિકોણાકારમાં પરિવર્તિત કરીએ.અમે ફેરફારો વિના પ્રથમ લીટી ફરીથી લખીએ છીએ. અને તમામ ઘટકો કે જે $a_(11)$ હેઠળ છે તે શૂન્ય બનાવવું આવશ્યક છે. તત્વ $a_(21)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે બીજી લીટીમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવાની અને બીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(31)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ત્રીજી લીટીમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરવાની અને ત્રીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(41)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ચોથી લીટીમાંથી 2 વડે પ્રથમ ગુણાકાર બાદબાકી કરવાની અને ચોથી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(31)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે પાંચમી લીટીમાંથી 2 વડે પ્રથમ ગુણાકાર બાદબાકી કરવાની અને પાંચમી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે.

અમે ફેરફારો વિના પ્રથમ અને બીજી લાઇન ફરીથી લખીએ છીએ. અને તમામ ઘટકો કે જે $a_(22)$ હેઠળ છે તે શૂન્ય બનાવવું આવશ્યક છે. તત્વ $a_(32)$ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ત્રીજી લીટીમાંથી 2 વડે ગુણાકાર કરેલ બીજાને બાદબાકી કરવાની અને ત્રીજી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. તત્વ $a_(42)$ ની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે ચોથી લીટીમાંથી બીજા ગુણાકારને 2 બાદબાકી કરવાની અને ચોથી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે. $a_(52)$ તત્વની જગ્યાએ શૂન્ય બનાવવા માટે, તમારે પાંચમી લીટીમાંથી 3 વડે ગુણાકાર કરેલ બીજાને બાદબાકી કરવાની અને પાંચમી લીટીમાં તફાવત લખવાની જરૂર છે.

તે આપણે જોઈએ છીએ છેલ્લી ત્રણ લીટીઓ સમાન છે, તેથી જો તમે ચોથા અને પાંચમામાંથી ત્રીજાને બાદ કરશો, તો તેઓ શૂન્ય થઈ જશે.

આ મેટ્રિક્સ અનુસાર લખો નવી સિસ્ટમસમીકરણો.

આપણે જોઈએ છીએ કે આપણી પાસે માત્ર ત્રણ રેખીય સ્વતંત્ર સમીકરણો છે, અને પાંચ અજાણ્યા છે, તેથી ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમમાં બે વેક્ટર હશે. તેથી અમે આપણે છેલ્લા બે અજાણ્યાઓને જમણી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે.

હવે, અમે ડાબી બાજુએ રહેલા અજાણ્યાઓને જમણી બાજુના લોકો દ્વારા વ્યક્ત કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ. અમે છેલ્લા સમીકરણથી શરૂઆત કરીએ છીએ, પહેલા અમે $x_3$ વ્યક્ત કરીએ છીએ, પછી અમે પરિણામી પરિણામને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને $x_2$ વ્યક્ત કરીએ છીએ, અને પછી પ્રથમ સમીકરણમાં અને અહીં અમે $x_1$ વ્યક્ત કરીએ છીએ. આમ, અમે ડાબી બાજુના તમામ અજાણ્યાઓને જમણી બાજુના અજાણ્યાઓ દ્વારા વ્યક્ત કર્યા.

પછી $x_4$ અને $x_5$ ને બદલે, અમે કોઈપણ સંખ્યાઓને બદલી શકીએ છીએ અને $x_1$, $x_2$ અને $x_3$ શોધી શકીએ છીએ. આ દરેક પાંચ સંખ્યાઓ આપણી મૂળ સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ હશે. જેમાં સમાવવામાં આવેલ છે તે વેક્ટર શોધવા માટે FSRઆપણે $x_4$ ને બદલે 1, અને $x_5$ ને બદલે 0 ને બદલવાની જરૂર છે, $x_1$, $x_2$ અને $x_3$ શોધો, અને પછી ઊલટું $x_4=0$ અને $x_5=1$.

રેખીય પ્રણાલીઓનો ઉકેલ બીજગણિતીય સમીકરણો(SLAU) નિઃશંકપણે અભ્યાસક્રમનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિષય છે રેખીય બીજગણિત. વિશાળ સંખ્યાગણિતની તમામ શાખાઓની સમસ્યાઓ રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીને ઉકેલવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે. આ પરિબળો આ લેખનું કારણ સમજાવે છે. લેખની સામગ્રી પસંદ કરવામાં આવી છે અને સંરચિત છે જેથી તેની મદદથી તમે કરી શકો

• ઉપાડો શ્રેષ્ઠ પદ્ધતિરેખીય બીજગણિત સમીકરણોની તમારી સિસ્ટમના ઉકેલો,
• પસંદ કરેલી પદ્ધતિના સિદ્ધાંતનો અભ્યાસ કરો,
• વિગતવાર ઉકેલોની સમીક્ષા કરીને તમારી રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો લાક્ષણિક ઉદાહરણોઅને કાર્યો.

લેખ સામગ્રીનું સંક્ષિપ્ત વર્ણન.

પહેલા બધું આપી દઈએ જરૂરી વ્યાખ્યાઓ, વિભાવનાઓ અને પરિચય સંકેતો.

આગળ, અમે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ પર વિચાર કરીશું જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય છે અને જેનો અનન્ય ઉકેલ હોય છે. સૌપ્રથમ, અમે ક્રેમરની પદ્ધતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરીશું, બીજું, અમે સમીકરણોની આવી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટેની મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ બતાવીશું, અને ત્રીજું, અમે ગૌસ પદ્ધતિ (અજાણ્યા ચલોને ક્રમિક દૂર કરવાની પદ્ધતિ) નું વિશ્લેષણ કરીશું. સિદ્ધાંતને એકીકૃત કરવા માટે, અમે ચોક્કસપણે વિવિધ SLAE ને અલગ અલગ રીતે હલ કરીશું.

આ પછી, આપણે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા તરફ આગળ વધીશું સામાન્ય દૃશ્ય, જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી નથી અથવા સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ એકવચન છે. ચાલો આપણે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય ઘડીએ, જે આપણને SLAE ની સુસંગતતા સ્થાપિત કરવા દે છે. ચાલો આપણે મેટ્રિક્સના બેઝિસ માઇનોરના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોના ઉકેલનું વિશ્લેષણ કરીએ (જો તેઓ સુસંગત હોય તો). અમે ગૌસ પદ્ધતિનો પણ વિચાર કરીશું અને ઉદાહરણોના ઉકેલોનું વિગતવાર વર્ણન કરીશું.

અમે ચોક્કસપણે સજાતીય અને સામાન્ય ઉકેલની રચના પર ધ્યાન આપીશું વિજાતીય સિસ્ટમોરેખીય બીજગણિત સમીકરણો. ચાલો આપણે ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલીનો ખ્યાલ આપીએ અને બતાવીએ કે SLAE નો સામાન્ય ઉકેલ કેવી રીતે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમના વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને લખવામાં આવે છે. વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

નિષ્કર્ષમાં, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમોને ધ્યાનમાં લઈશું જે રેખીય રાશિઓમાં ઘટાડી શકાય છે, તેમજ વિવિધ કાર્યો, ઉકેલતી વખતે કયા SLAE ઉદ્ભવે છે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

વ્યાખ્યાઓ, વિભાવનાઓ, હોદ્દો.

અમે p રેખીય બીજગણિતીય સમીકરણોની n અજ્ઞાત ચલો (p બરાબર n હોઈ શકે છે) સાથેની સિસ્ટમોને ધ્યાનમાં લઈશું.

અજાણ્યા ચલો - ગુણાંક (કેટલાક વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ), - મફત શરતો (વાસ્તવિક અથવા જટિલ સંખ્યાઓ પણ).

રેકોર્ડિંગ SLAE ના આ સ્વરૂપને કહેવામાં આવે છે સંકલન.

IN મેટ્રિક્સ ફોર્મ સમીકરણોની આ સિસ્ટમ લખવાનું સ્વરૂપ છે,
જ્યાં - સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ, - અજાણ્યા ચલોનું કૉલમ મેટ્રિક્સ, - કૉલમ મેટ્રિક્સ મફત સભ્યો.

જો આપણે મેટ્રિક્સ A માં (n+1)મી કૉલમ તરીકે મફત શબ્દોની મેટ્રિક્સ-કૉલમ ઉમેરીએ, તો અમને કહેવાતા વિસ્તૃત મેટ્રિક્સરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો. સામાન્ય રીતે વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ અક્ષર T દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, અને મફત શરતોના કૉલમને અલગ કરવામાં આવે છે ઊભી રેખાબાકીની કૉલમમાંથી, એટલે કે,

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવીઅજ્ઞાત ચલોના મૂલ્યોનો સમૂહ કહેવાય છે જે સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોને ઓળખમાં ફેરવે છે. અજ્ઞાત ચલોના આપેલ મૂલ્યો માટેનું મેટ્રિક્સ સમીકરણ પણ એક ઓળખ બની જાય છે.

જો સમીકરણોની સિસ્ટમમાં ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત.

જો સમીકરણોની સિસ્ટમમાં કોઈ ઉકેલો ન હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે બિન-સંયુક્ત.

જો SLAE પાસે અનન્ય ઉકેલ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે ચોક્કસ; જો ત્યાં એક કરતાં વધુ ઉકેલો છે, તો - અનિશ્ચિત.

જો સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોની મુક્ત શરતો શૂન્ય સમાન હોય , પછી સિસ્ટમ કહેવામાં આવે છે સજાતીય, અન્યથા - વિજાતીય.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પ્રાથમિક પ્રણાલીઓ ઉકેલવી.

જો સિસ્ટમના સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય અને તેના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર ન હોય, તો આવા SLAE કહેવામાં આવશે. પ્રાથમિક. સમીકરણોની આવી પ્રણાલીઓમાં અનન્ય ઉકેલ હોય છે, અને સજાતીય પ્રણાલીના કિસ્સામાં, બધા અજાણ્યા ચલો શૂન્ય સમાન હોય છે.

અમે માં આવા SLAE નો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું ઉચ્ચ શાળા. તેમને હલ કરતી વખતે, અમે એક સમીકરણ લીધું, એક અજ્ઞાત ચલને અન્યના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કર્યું અને તેને બાકીના સમીકરણોમાં બદલ્યું, પછી લીધું નીચેના સમીકરણ, આગલું અજ્ઞાત ચલ વ્યક્ત કર્યું અને તેને અન્ય સમીકરણોમાં બદલ્યું, વગેરે. અથવા તેઓએ ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો, એટલે કે, તેઓએ કેટલાક અજાણ્યા ચલોને દૂર કરવા માટે બે અથવા વધુ સમીકરણો ઉમેર્યા. અમે આ પદ્ધતિઓ પર વિગતવાર ધ્યાન આપીશું નહીં, કારણ કે તે આવશ્યકપણે ગૌસ પદ્ધતિના ફેરફારો છે.

રેખીય સમીકરણોની પ્રાથમિક પ્રણાલીઓને ઉકેલવા માટેની મુખ્ય પદ્ધતિઓ ક્રેમર પદ્ધતિ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અને ગૌસ પદ્ધતિ છે. ચાલો તેમને સૉર્ટ કરીએ.

ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી.

ધારો કે આપણે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલવાની જરૂર છે

જેમાં સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય છે અને સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ હોય છે, એટલે કે, .

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના નિર્ણાયક બનવા દો, અને - મેટ્રિસીસના નિર્ધારકો કે જે બદલી દ્વારા A માંથી મેળવવામાં આવે છે 1લી, 2જી, …, nમીમફત સભ્યોની કૉલમ માટે અનુક્રમે કૉલમ:

આ સંકેત સાથે, ક્રેમરની પદ્ધતિના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અજાણ્યા ચલોની ગણતરી કરવામાં આવે છે. . ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ આ રીતે મળે છે.

ઉદાહરણ.

ક્રેમરની પદ્ધતિ .

ઉકેલ.

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સમાં ફોર્મ છે . ચાલો તેના નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ):

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બિનશૂન્ય હોવાથી, સિસ્ટમ પાસે એક અનન્ય ઉકેલ છે જે ક્રેમરની પદ્ધતિ દ્વારા શોધી શકાય છે.

ચાલો જરૂરી નિર્ધારકો કંપોઝ અને ગણતરી કરીએ (અમે મેટ્રિક્સ Aમાં પ્રથમ કૉલમને મફત શરતોના કૉલમ સાથે બદલીને નિર્ણાયક મેળવીએ છીએ, નિર્ણાયક બીજા કૉલમને મફત શરતોના કૉલમ સાથે બદલીને અને મેટ્રિક્સ Aના ત્રીજા કૉલમને મફત શરતોના કૉલમ સાથે બદલીને) :

સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અજાણ્યા ચલો શોધવી :

જવાબ:

ક્રેમરની પદ્ધતિનો મુખ્ય ગેરલાભ (જો તેને ગેરલાભ કહી શકાય) એ નિર્ધારકોની ગણતરી કરવાની જટિલતા છે જ્યારે સિસ્ટમમાં સમીકરણોની સંખ્યા ત્રણ કરતાં વધુ હોય છે.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી (વિપરીત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને).

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં આપીએ, જ્યાં મેટ્રિક્સ A નું પરિમાણ n બાય n છે અને તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે.

કારણ કે , મેટ્રિક્સ A ઉલટાવી શકાય તેવું છે, એટલે કે, ત્યાં એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે. જો આપણે સમાનતાની બંને બાજુઓને ડાબેથી ગુણાકાર કરીએ, તો આપણને અજાણ્યા ચલોના મેટ્રિક્સ-કૉલમ શોધવા માટેનું સૂત્ર મળે છે. આ રીતે આપણે મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ મેળવ્યો.

ઉદાહરણ.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

ચાલો મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં સમીકરણોની સિસ્ટમ ફરીથી લખીએ:

કારણ કે

પછી મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ઉકેલી શકાય છે. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને, આ સિસ્ટમનો ઉકેલ આ રીતે શોધી શકાય છે .

ચાલો મેટ્રિક્સ ફ્રોમનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ બનાવીએ બીજગણિત ઉમેરાઓમેટ્રિક્સ A ના ઘટકો (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ):

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરીને અજાણ્યા ચલોના મેટ્રિક્સની ગણતરી કરવાનું બાકી છે. મફત સભ્યોની મેટ્રિક્સ-કૉલમમાં (જો જરૂરી હોય તો, લેખ જુઓ):

જવાબ:

અથવા અન્ય સંકેતમાં x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોના ઉકેલો શોધવામાં મુખ્ય સમસ્યા એ છે કે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાની જટિલતા, ખાસ કરીને ચોરસ મેટ્રિસિસત્રીજા કરતાં વધુ ઓર્ડર.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી.

ધારો કે આપણે n અજ્ઞાત ચલો સાથે n રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે
જેમાંથી મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ છે.

ગૌસ પદ્ધતિનો સારક્રમશઃ અજ્ઞાત ચલોને દૂર કરવાનો સમાવેશ થાય છે: પ્રથમ x 1 એ સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, બીજાથી શરૂ કરીને, પછી x 2 ને તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, ત્રીજાથી શરૂ કરીને, અને તેથી વધુ, જ્યાં સુધી માત્ર અજ્ઞાત ચલ x n રહે ત્યાં સુધી છેલ્લું સમીકરણ. અજ્ઞાત ચલોને ક્રમિક રીતે દૂર કરવા માટે સિસ્ટમના સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરવાની આ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. સીધી ગૌસિયન પદ્ધતિ. ગૌસીયન પદ્ધતિના ફોરવર્ડ સ્ટ્રોકને પૂર્ણ કર્યા પછી, x n છેલ્લા સમીકરણમાંથી મળે છે, ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી આ મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને, x n-1 ની ગણતરી કરવામાં આવે છે, અને તેથી, x 1 પ્રથમ સમીકરણમાંથી મળે છે. સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ તરફ જતી વખતે અજાણ્યા ચલોની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. ગૌસીયન પદ્ધતિથી વિપરીત.

ચાલો અજાણ્યા ચલોને દૂર કરવા માટેના અલ્ગોરિધમનું ટૂંકમાં વર્ણન કરીએ.

અમે ધારીશું કે , કારણ કે આપણે હંમેશા સિસ્ટમના સમીકરણોને બદલીને આ પ્રાપ્ત કરી શકીએ છીએ. ચાલો બીજાથી શરૂ કરીને સિસ્ટમના તમામ સમીકરણોમાંથી અજ્ઞાત ચલ x 1 નાબૂદ કરીએ. આ કરવા માટે, સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર, ત્રીજા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર, અને તેથી આગળ, nમા સમીકરણમાં આપણે પ્રથમ ઉમેરીએ, વડે ગુણાકાર. આવા પરિવર્તનો પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

ક્યાં અને .

જો આપણે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં અન્ય અજાણ્યા ચલોના સંદર્ભમાં x 1 વ્યક્ત કર્યો હોત અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને અન્ય તમામ સમીકરણોમાં બદલ્યો હોત તો આપણે સમાન પરિણામ પર પહોંચ્યા હોત. આમ, ચલ x 1 એ બીજાથી શરૂ થતા તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત છે.

આગળ, અમે તે જ રીતે આગળ વધીએ છીએ, પરંતુ માત્ર પરિણામી સિસ્ટમના ભાગ સાથે, જે આકૃતિમાં ચિહ્નિત થયેલ છે.

આ કરવા માટે, સિસ્ટમના ત્રીજા સમીકરણમાં આપણે બીજું ઉમેરીએ છીએ, , થી ગુણાકાર કરીએ છીએ ચોથું સમીકરણચાલો બીજાને વડે ગુણાકાર ઉમેરીએ, અને તેથી આગળ, nમા સમીકરણમાં આપણે બીજાને ગુણાકાર વડે ઉમેરીએ. આવા પરિવર્તનો પછી સમીકરણોની સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

ક્યાં અને . આમ, ચલ x 2 ને ત્રીજાથી શરૂ કરીને તમામ સમીકરણોમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે.

આગળ, અમે અજાણ્યા x 3 ને દૂર કરવા આગળ વધીએ છીએ, અને અમે આકૃતિમાં ચિહ્નિત થયેલ સિસ્ટમના ભાગ સાથે સમાન રીતે કાર્ય કરીએ છીએ.

તેથી જ્યાં સુધી સિસ્ટમ ફોર્મ ન લે ત્યાં સુધી અમે ગૌસીયન પદ્ધતિની સીધી પ્રગતિ ચાલુ રાખીએ છીએ

આ ક્ષણથી આપણે ગૌસિયન પદ્ધતિથી વિપરીત શરૂઆત કરીએ છીએ: આપણે છેલ્લા સમીકરણમાંથી x n ની ગણતરી કરીએ છીએ, x n ની પ્રાપ્ત કિંમતનો ઉપયોગ કરીને આપણે ઉપાંત્ય સમીકરણમાંથી x n-1 શોધીએ છીએ, અને તેથી, આપણે પ્રથમ સમીકરણમાંથી x 1 શોધીએ છીએ. .

ઉદાહરણ.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો ગૌસ પદ્ધતિ.

ઉકેલ.

ચાલો સિસ્ટમના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોમાંથી અજાણ્યા ચલ x 1 ને બાકાત કરીએ. આ કરવા માટે, બીજા અને ત્રીજા સમીકરણોની બંને બાજુએ આપણે પ્રથમ સમીકરણના અનુરૂપ ભાગો ઉમેરીએ છીએ, અનુક્રમે અને વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:

હવે આપણે ત્રીજા સમીકરણમાંથી x 2 ને તેની ડાબી બાજુએ ઉમેરીને કાઢી નાખીએ છીએ જમણી બાજુબીજા સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ, આનાથી ગુણાકાર:

આ ગૌસ પદ્ધતિના ફોરવર્ડ સ્ટ્રોકને પૂર્ણ કરે છે અમે રિવર્સ સ્ટ્રોક શરૂ કરીએ છીએ.

પરિણામી સમીકરણોની સિસ્ટમના છેલ્લા સમીકરણમાંથી આપણે x 3 શોધીએ છીએ:

બીજા સમીકરણમાંથી આપણને મળે છે.

પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે બાકીના અજ્ઞાત ચલ શોધીએ છીએ અને ત્યાંથી ગૌસ પદ્ધતિની વિરુદ્ધ પૂર્ણ કરીએ છીએ.

જવાબ:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

સામાન્ય સ્વરૂપના રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી.

IN સામાન્ય કેસસિસ્ટમ p ના સમીકરણોની સંખ્યા અજાણ્યા ચલો n ની સંખ્યા સાથે મેળ ખાતી નથી:

આવા SLAE પાસે કોઈ ઉકેલો નથી, એક જ ઉકેલ હોઈ શકે છે, અથવા અનંત રીતે ઘણા ઉકેલો હોઈ શકે છે. આ વિધાન સમીકરણોની સિસ્ટમોને પણ લાગુ પડે છે જેનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ ચોરસ અને એકવચન છે.

ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધતા પહેલા, તેની સુસંગતતા સ્થાપિત કરવી જરૂરી છે. SLAE ક્યારે સુસંગત છે અને ક્યારે અસંગત છે તે પ્રશ્નનો જવાબ દ્વારા આપવામાં આવે છે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય:
n અજ્ઞાત સાથે p સમીકરણોની સિસ્ટમ (p n ની બરાબર હોઈ શકે છે) સુસંગત રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન હોય, એટલે કે , રેન્ક(A) = રેન્ક(T).

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમની સુસંગતતા નક્કી કરવા માટે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ છે કે કેમ તે શોધો ઉકેલો

ઉકેલ.

. ચાલો સગીરોની સરહદની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. બીજા ક્રમના નાના શૂન્યથી અલગ. ચાલો તેની સરહદે આવેલા ત્રીજા ક્રમના સગીરોને જોઈએ:

ત્રીજા ક્રમના તમામ કિનારી સગીર શૂન્ય સમાન હોવાથી, મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ બે સમાન છે.

બદલામાં, વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ ત્રણ બરાબર છે, કારણ કે સગીર ત્રીજા ક્રમનો છે

શૂન્યથી અલગ.

આમ, રંગ(A), તેથી, ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે રેખીય સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમ અસંગત છે.

જવાબ:

તંત્ર પાસે કોઈ ઉકેલ નથી.

તેથી, આપણે ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમની અસંગતતા સ્થાપિત કરવાનું શીખ્યા છીએ.

પરંતુ જો તેની સુસંગતતા સ્થાપિત થાય તો SLAE નો ઉકેલ કેવી રીતે શોધવો?

આ કરવા માટે, અમને મેટ્રિક્સના બેઝિસ માઇનોર અને મેટ્રિક્સના રેન્ક વિશે પ્રમેયની જરૂર છે.

શૂન્યથી અલગ, મેટ્રિક્સ A ના સર્વોચ્ચ ક્રમના નાના કહેવાય છે મૂળભૂત.

બેઝિસ માઇનોરની વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે કે તેનો ક્રમ મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન છે. બિન-શૂન્ય મેટ્રિક્સ A માટે ઘણા બેઝિસ સગીર હોઈ શકે છે, ત્યાં હંમેશા એક બેઝિસ માઈનર હોય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સને ધ્યાનમાં લો .

આ મેટ્રિક્સના તમામ ત્રીજા ક્રમના સગીરો શૂન્યના બરાબર છે, કારણ કે આ મેટ્રિક્સની ત્રીજી પંક્તિના ઘટકો એ પ્રથમ અને બીજી પંક્તિઓના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો છે.

નીચેના બીજા ક્રમના સગીર મૂળભૂત છે, કારણ કે તેઓ બિન-શૂન્ય છે

સગીરો મૂળભૂત નથી, કારણ કે તે શૂન્યની બરાબર છે.

મેટ્રિક્સ રેન્ક પ્રમેય.

જો n દ્વારા p ક્રમના મેટ્રિક્સનો ક્રમ r ની બરાબર હોય, તો મેટ્રિક્સના તમામ પંક્તિ (અને કૉલમ) ઘટકો કે જે પસંદ કરેલ આધાર ગૌણ બનાવતા નથી તે અનુરૂપ પંક્તિ (અને કૉલમ) ઘટકોની રચનાના સંદર્ભમાં રેખીય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. આધાર નાના.

મેટ્રિક્સ રેન્ક પ્રમેય આપણને શું કહે છે?

જો, ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેય મુજબ, અમે સિસ્ટમની સુસંગતતા સ્થાપિત કરી છે, તો પછી અમે સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સ (તેનો ક્રમ r બરાબર છે) માંથી કોઈપણ આધાર ગૌણ પસંદ કરીએ છીએ, અને સિસ્ટમમાંથી તમામ સમીકરણોને બાકાત કરીએ છીએ જે કરે છે. પસંદ કરેલ આધાર ગૌણ બનાવતા નથી. આ રીતે મેળવેલ SLAE મૂળ સમકક્ષ હશે, કારણ કે કાઢી નાખવામાં આવેલા સમીકરણો હજુ પણ બિનજરૂરી છે (મેટ્રિક્સ રેન્ક પ્રમેય મુજબ, તે બાકીના સમીકરણોનું રેખીય સંયોજન છે).

પરિણામે, સિસ્ટમના બિનજરૂરી સમીકરણોને નકારી કાઢ્યા પછી, બે કિસ્સાઓ શક્ય છે.

જો પરિણામી સિસ્ટમમાં સમીકરણો r ની સંખ્યા અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા જેટલી હોય, તો તે ચોક્કસ હશે અને ક્રેમર પદ્ધતિ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ગૌસ પદ્ધતિ દ્વારા એકમાત્ર ઉકેલ શોધી શકાય છે.

ઉદાહરણ.

.

ઉકેલ.

સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ બે ની બરાબર છે, કારણ કે સગીર બીજા ક્રમનો છે શૂન્યથી અલગ. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ રેન્ક બે ની બરાબર પણ છે, કારણ કે એકમાત્ર ત્રીજો ક્રમ માઇનોર શૂન્ય છે

અને ઉપરોક્ત ગણવામાં આવતા બીજા ક્રમના નાના શૂન્યથી અલગ છે. ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયના આધારે, અમે રેખીય સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમની સુસંગતતાનો દાવો કરી શકીએ છીએ, કારણ કે રેન્ક(A)=Rank(T)=2.

નાના તરીકે અમે લઈએ છીએ . તે પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોના ગુણાંક દ્વારા રચાય છે:


સિસ્ટમનું ત્રીજું સમીકરણ મૂળભૂત ગૌણની રચનામાં ભાગ લેતું નથી, તેથી અમે તેને મેટ્રિક્સના ક્રમ પરના પ્રમેયના આધારે સિસ્ટમમાંથી બાકાત રાખીએ છીએ:


તેથી અમને મળ્યું પ્રાથમિક સિસ્ટમરેખીય બીજગણિત સમીકરણો. ચાલો ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરીએ:


જવાબ:

x 1 = 1, x 2 = 2.

જો પરિણામી SLAE માં સમીકરણો r ની સંખ્યા અજાણ્યા ચલો n ની સંખ્યા કરતા ઓછી હોય, તો સમીકરણોની ડાબી બાજુએ આપણે એવા શબ્દો છોડી દઈએ છીએ જે આધાર નાના બનાવે છે, અને બાકીના શબ્દોને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ. વિપરીત ચિહ્ન સાથે સિસ્ટમના સમીકરણો.

સમીકરણોની ડાબી બાજુએ બાકી રહેલા અજાણ્યા ચલો (તેમાંથી આર) કહેવામાં આવે છે મુખ્ય.

અજ્ઞાત ચલો (ત્યાં n - r ટુકડાઓ છે) જે જમણી બાજુએ છે તેને કહેવામાં આવે છે મફત.

હવે અમે માનીએ છીએ કે મફત અજ્ઞાત ચલો મનસ્વી મૂલ્યો લઈ શકે છે, જ્યારે r મુખ્ય અજાણ્યા ચલો મુક્ત અજાણ્યા ચલો દ્વારા અનન્ય રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવશે. ક્રેમર પદ્ધતિ, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી SLAE ઉકેલીને તેમની અભિવ્યક્તિ શોધી શકાય છે.

ચાલો તેને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ.

ઉદાહરણ.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો .

ઉકેલ.

ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધીએ સગીરોની સરહદની પદ્ધતિ દ્વારા. ચાલો પ્રથમ ક્રમના બિન-શૂન્ય માઇનોર તરીકે 1 1 = 1 લઈએ. ચાલો બીજા ક્રમના બિન-શૂન્ય સગીર માટે આ સગીરને સરહદે શોધવાનું શરૂ કરીએ:


આ રીતે અમને બીજા ક્રમનો બિન-શૂન્ય માઇનોર મળ્યો. ચાલો ત્રીજા ક્રમના બિન-શૂન્ય સરહદી સગીર શોધવાનું શરૂ કરીએ:


આમ, મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ ત્રણ છે. વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ પણ ત્રણની બરાબર છે, એટલે કે, સિસ્ટમ સુસંગત છે.

અમે ત્રીજા ક્રમના બિન-શૂન્ય ગૌણને આધાર તરીકે લઈએ છીએ.

સ્પષ્ટતા માટે, અમે એવા તત્વો બતાવીએ છીએ જે નાના આધાર બનાવે છે:


અમે સિસ્ટમના સમીકરણોની ડાબી બાજુએ બેઝિસ મિનરમાં સામેલ શરતોને છોડી દઈએ છીએ અને બાકીનાને અહીંથી ટ્રાન્સફર કરીએ છીએ વિરોધી ચિહ્નોજમણી બાજુએ:


ચાલો મફત અજ્ઞાત ચલો x 2 અને x 5 મનસ્વી મૂલ્યો આપીએ, એટલે કે, અમે સ્વીકારીએ છીએ , જ્યાં મનસ્વી સંખ્યાઓ છે. આ કિસ્સામાં, SLAE ફોર્મ લેશે


ચાલો ક્રેમરની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની પરિણામી પ્રાથમિક પદ્ધતિને હલ કરીએ:


આથી, .

તમારા જવાબમાં, મફત અજાણ્યા ચલો સૂચવવાનું ભૂલશો નહીં.

જવાબ:

જ્યાં મનસ્વી સંખ્યાઓ છે.

ચાલો સારાંશ આપીએ.

સામાન્ય રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે, અમે પ્રથમ ક્રોનેકર-કેપેલી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તેની સુસંગતતા નક્કી કરીએ છીએ. જો મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમની બરાબર નથી, તો અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે સિસ્ટમ અસંગત છે.

જો મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમની સમાન હોય, તો અમે બેઝિસ માઇનોર પસંદ કરીએ છીએ અને સિસ્ટમના સમીકરણોને કાઢી નાખીએ છીએ જે પસંદ કરેલા બેઝિસ માઇનોરની રચનામાં ભાગ લેતા નથી.

જો આધાર નાનો ક્રમ સંખ્યા જેટલીઅજાણ્યા ચલો, તો SLAE પાસે એક અનોખો ઉકેલ છે, જે આપણને જાણીતી કોઈપણ પદ્ધતિ દ્વારા મળે છે.

જો આધાર ગૌણનો ક્રમ અજાણ્યા ચલોની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય, તો સિસ્ટમ સમીકરણોની ડાબી બાજુએ આપણે મુખ્ય અજાણ્યા ચલો સાથેની શરતો છોડીએ છીએ, બાકીની શરતોને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ અને મનસ્વી મૂલ્યો આપીએ છીએ મફત અજાણ્યા ચલો. રેખીય સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમમાંથી આપણે મુખ્ય અજાણ્યાઓ શોધીએ છીએ પદ્ધતિ દ્વારા ચલોક્રેમર, મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ અથવા ગૌસીયન પદ્ધતિ.

સામાન્ય સ્વરૂપના રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિ.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કોઈપણ પ્રકારના રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને સુસંગતતા માટે પ્રથમ પરીક્ષણ કર્યા વિના ઉકેલવા માટે કરી શકાય છે. અજ્ઞાત ચલોના ક્રમિક નાબૂદીની પ્રક્રિયા SLAE ની સુસંગતતા અને અસંગતતા બંને વિશે નિષ્કર્ષ કાઢવાનું શક્ય બનાવે છે, અને જો કોઈ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે, તો તે તેને શોધવાનું શક્ય બનાવે છે.

ગણતરીના દૃષ્ટિકોણથી, ગૌસીયન પદ્ધતિ પ્રાધાન્યક્ષમ છે.

તે જુઓ વિગતવાર વર્ણનઅને સામાન્ય સ્વરૂપના રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે ગૌસ પદ્ધતિ લેખમાં ઉદાહરણોનું વિશ્લેષણ કર્યું.

ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલીના વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને સજાતીય અને અસંગત રેખીય બીજગણિત પ્રણાલીઓ માટે સામાન્ય ઉકેલ લખવું.

આ વિભાગમાં આપણે રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની એક સાથે સજાતીય અને અસંગત પ્રણાલીઓ વિશે વાત કરીશું જેમાં અસંખ્ય ઉકેલો છે.

ચાલો સૌ પ્રથમ સજાતીય પ્રણાલીઓ સાથે વ્યવહાર કરીએ.

ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ n અજ્ઞાત ચલો સાથે p રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ એ આ સિસ્ટમના (n – r) રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોનો સંગ્રહ છે, જ્યાં r એ સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સના બેઝિસ માઇનોરનો ક્રમ છે.

જો આપણે રેખીય રીતે સૂચવીએ સ્વતંત્ર ઉકેલો સજાતીય SLAEજેમ કે X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) એ પરિમાણ n બાય 1 ના કૉલમ મેટ્રિસિસ છે ), તો આનો સામાન્ય ઉકેલ સજાતીય સિસ્ટમને મનસ્વી સાથે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમના વેક્ટરના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે સતત ગુણાંક C 1, C 2, ..., C (n-r), એટલે કે, .

રેખીય બીજગણિત સમીકરણો (ઓરોસ્લાઉ) ની સજાતીય સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલ શબ્દનો અર્થ શું થાય છે?

અર્થ સરળ છે: સૂત્ર બધું સેટ કરે છે શક્ય ઉકેલોમૂળ SLAE, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, C 1, C 2, ..., C (n-r) ના મૂલ્યોના કોઈપણ સમૂહને લઈને, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે મૂળ સજાતીય SLAE ના ઉકેલોમાંથી એક મેળવીશું.

આમ, જો આપણે ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલી શોધીએ, તો આપણે આ સજાતીય SLAE ના તમામ ઉકેલોને તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.

ચાલો સજાતીય SLAE માટે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવવાની પ્રક્રિયા બતાવીએ.

અમે રેખીય સમીકરણોની મૂળ સિસ્ટમના પાયાના નાનાને પસંદ કરીએ છીએ, સિસ્ટમમાંથી અન્ય તમામ સમીકરણોને બાકાત રાખીએ છીએ, અને વિપરીત સંકેતો સાથે સિસ્ટમના સમીકરણોની જમણી બાજુએ મફત અજાણ્યા ચલો ધરાવતા તમામ શબ્દોને સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ. ચાલો મફત અજ્ઞાત ચલોને મૂલ્યો 1,0,0,...,0 આપીએ અને રેખીય સમીકરણોની પરિણામી પ્રાથમિક પદ્ધતિને કોઈપણ રીતે હલ કરીને મુખ્ય અજ્ઞાતની ગણતરી કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, ક્રેમર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને. આ X (1) માં પરિણમશે - મૂળભૂત સિસ્ટમનો પ્રથમ ઉકેલ. જો આપણે મફત અજ્ઞાતને 0,1,0,0, …,0 મૂલ્યો આપીએ અને મુખ્ય અજાણ્યાઓની ગણતરી કરીએ, તો આપણને X (2) મળે છે. અને તેથી વધુ. જો આપણે મફત અજ્ઞાત ચલોને 0.0,...,0.1 મૂલ્યો સોંપીએ અને મુખ્ય અજાણ્યાઓની ગણતરી કરીએ, તો આપણને X (n-r) મળે છે. આ રીતે, સજાતીય SLAE ના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવવામાં આવશે અને તેનું સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મમાં લખી શકાય છે.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીઓ માટે, સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મમાં રજૂ થાય છે, જ્યાં અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલીનો સામાન્ય ઉકેલ છે, અને મૂળ અસંગત SLAE નો ચોક્કસ ઉકેલ છે, જે આપણે મફત અજ્ઞાતને મૂલ્યો આપીને મેળવીએ છીએ. 0,0,…,0 અને મુખ્ય અજ્ઞાતના મૂલ્યોની ગણતરી.

ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલી અને રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો .

ઉકેલ.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય પ્રણાલીઓના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ હંમેશા વિસ્તૃત મેટ્રિક્સના ક્રમ સમાન હોય છે. ચાલો સગીરોની કિનારીની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધીએ. પ્રથમ ક્રમના બિન-શૂન્ય માઇનોર તરીકે, અમે સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનું 1 1 = 9 એલિમેન્ટ લઈએ છીએ. ચાલો બીજા ક્રમના કિનારી બિન-શૂન્ય ગૌણ શોધીએ:

બીજા ક્રમનો એક સગીર, શૂન્યથી અલગ, મળી આવ્યો છે. ચાલો બિન-શૂન્યની શોધમાં તેની સરહદે આવેલા ત્રીજા ક્રમના સગીરોમાંથી પસાર થઈએ:

તમામ ત્રીજા ક્રમની સરહદી સગીર શૂન્ય સમાન છે, તેથી, મુખ્ય અને વિસ્તૃત મેટ્રિક્સનો ક્રમ બે સમાન છે. ચાલો લઈએ. સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો સિસ્ટમના ઘટકોની નોંધ કરીએ જે તેને બનાવે છે:

મૂળ SLAE નું ત્રીજું સમીકરણ બેઝિસ માઇનોરની રચનામાં ભાગ લેતું નથી, તેથી, તેને બાકાત કરી શકાય છે:

અમે સમીકરણોની જમણી બાજુએ મુખ્ય અજાણ્યાઓ ધરાવતી શરતો છોડીએ છીએ, અને મુક્ત અજ્ઞાત સાથેની શરતોને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ:

ચાલો રેખીય સમીકરણોની મૂળ સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવીએ. આ SLAE ના ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલીમાં બે ઉકેલોનો સમાવેશ થાય છે, કારણ કે મૂળ SLAE માં ચાર અજાણ્યા ચલો હોય છે, અને તેના આધાર નાનાનો ક્રમ બે જેટલો હોય છે. X (1) ને શોધવા માટે, અમે મફત અજાણ્યા ચલોને x 2 = 1, x 4 = 0 મૂલ્યો આપીએ છીએ, પછી આપણે સમીકરણોની સિસ્ટમમાંથી મુખ્ય અજાણ્યા શોધીએ છીએ.
.

ઉકેલઉપયોગ કરીને શોધો કેલ્ક્યુલેટર. સોલ્યુશન એલ્ગોરિધમ રેખીય અસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમો માટે સમાન છે.
ફક્ત પંક્તિઓ સાથે સંચાલન કરતા, અમને મેટ્રિક્સનો ક્રમ મળે છે, જે આધાર ગૌણ છે; અમે આશ્રિત અને મુક્ત અજ્ઞાત જાહેર કરીએ છીએ અને સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 2. સિસ્ટમના ઉકેલોના સામાન્ય ઉકેલ અને મૂળભૂત સિસ્ટમ શોધો
ઉકેલ.



,
તે અનુસરે છે કે મેટ્રિક્સનો ક્રમ 3 છે અને અજાણ્યાઓની સંખ્યા જેટલો છે. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમમાં મફત અજાણ્યાઓ નથી, અને તેથી એક અનન્ય ઉકેલ છે - એક તુચ્છ.

વ્યાયામ. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમનું અન્વેષણ કરો અને ઉકેલો.
ઉદાહરણ 4

વ્યાયામ. દરેક સિસ્ટમના સામાન્ય અને ચોક્કસ ઉકેલો શોધો.
ઉકેલ.ચાલો સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ લખીએ:

કાર્ય . શોધો મૂળભૂત સમૂહરેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલો.