લીનિયર ઇન્ટરપોલેશન ભૂલ. વ્યક્તિલક્ષી ભૂલ

મી ડિગ્રીના IP ફંક્શનના અંદાજમાં ભૂલ, સહિત. - આ તફાવત છે
. ભૂલની તીવ્રતાનો અંદાજ કાઢવા માટે, નીચેનો પ્રમેય માન્ય છે.

પ્રમેય.

સેગમેન્ટ પર ચાલો
, જેમ કે
કાર્ય

સમય સતત વિભેદક, એટલે કે
, પછી

જ્યાં
.

પુરાવો.

અમે ફોર્મમાં ભૂલ શોધીશું
, ક્યાં
- સુધી મર્યાદિત કાર્ય
. (આ ખાતરી આપે છે કે
પ્રક્ષેપ બિંદુઓ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે). વિશે વિચાર મેળવવા માટે
, સહાયક કાર્યને ધ્યાનમાં લો

જ્યાં
- અમુક નિશ્ચિત મૂલ્ય. તે સ્પષ્ટ છે કે પર
કાર્ય ધરાવે છે
શૂન્ય આ ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સ અને બિંદુ છે
. રોલેના પ્રમેય મુજબ, (*) (n+1) વખતનો તફાવત અને અવેજીકરણ
, અમને મળે છે

અહીંથી
. તે સ્પષ્ટ છે કે રોલના પ્રમેયમાં ફંક્શનના શૂન્યના સ્થાન પર આધાર રાખે છે, એટલે કે.
- કેટલીક ગર્ભિત અવલંબન. નિયુક્ત
દ્વારા
અમને મળે છે (6).

પરિણામ.સૂત્રમાંથી (6) પ્રક્ષેપ અંદાજને અનુસરે છે

જ્યાં
.

એક બિંદુ પર ભૂલની ચોક્કસ તીવ્રતા દેખીતી રીતે બહુપદીના મૂલ્ય પર આધારિત છે
આ બિંદુએ. ગુણાત્મક પાત્ર
ફિગમાં બતાવેલ છે. 2.

ઇન્ટરપોલેશન સેગમેન્ટની બહાર (એટલે ​​કે એક્સ્ટ્રાપોલેશન દરમિયાન)
ઝડપથી વધે છે, આત્યંતિક મૂલ્યો ઇન્ટરપોલેશન સેગમેન્ટની મધ્યમાં નાના હોય છે. સમાન ગાંઠો માટે
માટે
થાય છે

સ્કોર (8) એ ખૂબ જ વધારે પડતો અંદાજ ભૂલનો અંદાજ છે. સચોટ અંદાજ મેળવવા માટે, તમારે એક્સ્ટ્રીમા જોવાની જરૂર છે
.

પ્રક્ષેપણ ભૂલ માટે અંદાજ (7) વધારે પડતો અંદાજ નથી. તે બતાવી શકાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, તે બહુપદી સાથે પ્રક્ષેપિત કરીને પ્રાપ્ત થાય છે -મી ડિગ્રી બહુપદી
ડિગ્રી

ઉદાહરણ.

દો
- સેગમેન્ટ
. સેકન્ડ-ઓર્ડર ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી બનાવો
ગાંઠોમાં
,
,
. પ્રક્ષેપણ ભૂલ સહિત અંદાજ.
અને સમગ્ર સેગમેન્ટમાં
.

ન્યૂટન આઈપી. મતભેદ માટે :

આ કિસ્સામાં:

;

;

;
;

.

બહુપદી પ્રક્ષેપમાં ભૂલ ઘટાડવા પર નોંધો.

, ક્યાં
.

તે સ્પષ્ટ છે કે ભૂલની તીવ્રતા ગાંઠોના સ્થાન પર આધારિત છે
. જો ગાંઠો પસંદ કરી શકાય છે, તો પરિસ્થિતિ નોંધપાત્ર રીતે સુધરે છે. ઇન્ટરપોલેશન ભૂલ ઘટાડી શકાય છે.

ચેબીશેવ બહુપદી. ચેબીશેવ નોડ્સનો ઉપયોગ કરીને ઇન્ટરપોલેશન.

વ્યાખ્યા.સેગમેન્ટ પર
ચાલો ચેબીશેવ બહુપદી વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

ચાલો પ્રથમ થોડા બહુપદીઓ શોધીએ:

,

ચેબીશેવ બહુપદી માટે આવર્તક સૂત્ર પ્રાપ્ત થાય છે. તે તેને અનુસરે છે
- બહુપદી - ઓહ ડિગ્રી. સતત અમને મળે છે:

;

;

;

વગેરે

ચેબીશેવ બહુપદીના ગુણધર્મો.

મિલકત માટે આભાર 6. બહુપદી
બહુપદી કહેવાય છે જે શૂન્યમાંથી ઓછામાં ઓછું વિચલિત થાય છે. ચેબીશેવ બહુપદી, એવી રીતે સામાન્ય કરવામાં આવે છે કે ઉચ્ચતમ ડિગ્રીનો ગુણાંક 1 ની બરાબર હતી:

;
;
;
;
; વગેરે

આપણે ડિગ્રીની બહુપદી લખી શકીએ છીએ , મનસ્વી સેગમેન્ટ પર શૂન્યમાંથી ઓછામાં ઓછું વિચલન.

પ્રક્ષેપણ સમસ્યા માટે ચેબીશેવ બહુપદીનો ઉપયોગ.

કાર્ય.ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સ પસંદ કરીને લેગ્રેન્જ બહુપદી પ્રક્ષેપને ઑપ્ટિમાઇઝ કરો.

ઉકેલ. ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સ પસંદ કરી રહ્યા છીએ.

દો
. ઇન્ટરપોલેશન ભૂલ, અને
, ક્યાં
, અને બહુપદી એ ડિગ્રીની બહુપદી છે
, ગુણાંક સાથે
જૂના સભ્ય સાથે ;
- તેના શૂન્ય.

જો પ્રક્ષેપ ગાંઠો ચેબીશેવ બહુપદીની જેમ પસંદ કરવામાં આવે છે, એટલે કે. બિંદુઓ પર
, પછી શૂન્ય
અને
એકરુપ, અને ત્યારથી બંને બહુપદીઓમાં
જૂના સભ્ય સાથે , તેથી,
અને પ્રાપ્ત થાય છે
:

ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી
, ચેબીશેવ બહુપદીના મૂળ એવા ગાંઠોમાંથી બનેલ છે
, એક ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી છે જે ચોકસાઈમાં શ્રેષ્ઠ છે.

ચેબીશેવ બહુપદીના મૂળનું ભૌમિતિક અર્થઘટન

જો એકમ ત્રિજ્યાના ઉપલા અર્ધવર્તુળને વડે વિભાજિત કરવામાં આવે તો ભાગો, પછી ચાપના મધ્યબિંદુઓ શૂન્યના કોઓર્ડિનેટ્સ છે, એક્સ્ટ્રીમા એ વિભાજન બિંદુઓ છે (ફિગ. 3 જુઓ)

સેગમેન્ટ પરના કાર્યોનો સમાન અંદાજ.

દો
,
. બે કાર્યો વચ્ચેનું અંતર
. દો
- તદ્દન સરળ, એટલે કે.
. પછી કંઈક આવું હશે (પ્રક્ષેપ બહુપદીની ડિગ્રી) કે સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે:

બહુપદી સાથે અંદાજિત - ઓહ ડિગ્રી જેથી સ્થિતિ સંતુષ્ટ થાય:
. શોધો .

. ચાલો આપણે પ્રક્ષેપ માટે લેગ્રેન્જ ઈન્ટરપોલેશન બહુપદી લઈએ, જે ચેબીશેવ બહુપદીના શૂન્યમાંથી બનેલ છે.
. અમારી પાસે છે:

જ્યાં
.

વ્યુત્પન્ન કાર્યો
:

સીધી પસંદગી દ્વારા તે ચકાસી શકાય છે
આ સ્થિતિને સંતોષે છે. મનસ્વી કાર્ય માટે
, પર્યાપ્ત સરળ નથી, કાર્ય વધુ મુશ્કેલ બની જાય છે.

ઇન્ટરપોલેશન- બીજા ફંક્શન દ્વારા એક ફંક્શનનો અંદાજ.

શરૂઆતથી જ હું એ નોંધવા માંગુ છું કે આપણે ઇન્ટરપોલ કરી રહ્યા છીએ કાર્યો, નોડ્સ નહીં. અલબત્ત, પ્રક્ષેપણ હાથ ધરવામાં આવશે મર્યાદિત સંખ્યાપોઈન્ટ, પરંતુ અમે તેમને જાતે પસંદ કરીશું.

આ અભ્યાસમાં, બહુપદી દ્વારા એક ચલના ફંક્શનને પ્રમાણભૂત બહુપદી સાથે પ્રક્ષેપિત કરવાની સમસ્યાનો અભ્યાસ કરવામાં આવશે, અંદાજની ચોકસાઈના મુદ્દાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે, અને કેવી રીતે, ગાંઠો વિવિધ કરીને કે જેના દ્વારા બહુપદી પસાર થશે, મહત્તમ હાંસલ કરવા માટે. પ્રક્ષેપ ચોકસાઈ.

કેનોનિકલ સ્વરૂપમાં બહુપદી

તે જાણીતું છે કે કોઈ પણ ફંક્શન f(x) અંતરાલ પર સતત હોય છે તે અમુક બહુપદી P n (x) દ્વારા સારી રીતે અંદાજિત કરી શકાય છે. નીચેની વાત સાચી છે પ્રમેય (વેઅરસ્ટ્રાસ): કોઈપણ >0 માટે બહુપદી P n (x) ડિગ્રી હોય છે જેમ કે

અંદાજિત કાર્ય તરીકે, અમે ડિગ્રીની બહુપદી પસંદ કરીએ છીએ nવી પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ:

અમે લેગ્રેન્જ શરતોમાંથી બહુપદીના ગુણાંક નક્કી કરીએ છીએ, જે, અગાઉના અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લેતા, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ આપે છે n+1 અજ્ઞાત:

ચાલો આવા સમીકરણોની સિસ્ટમને પ્રતીક (*) દ્વારા સૂચિત કરીએ અને તેને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ:

કાર્ય અંદાજ ભૂલ f(x)ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી nમી ડિગ્રી Pn(x)બિંદુ પર xતફાવત દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: R n (x) = f(x) - P n (x).

ભૂલ Rn(x)નીચેના સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

અહીં વ્યુત્પન્ન છે (n+1)મી ઓર્ડર કાર્ય f(x)અમુક બિંદુએ અને કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

જો મહત્તમ મૂલ્યવ્યુત્પન્ન f n+1 (x)સમાન રીતે, પછી પ્રક્ષેપ ભૂલ માટે નીચેનો અંદાજ નીચે મુજબ છે:

અમલ કરતી વખતે આ પદ્ધતિકમ્પ્યુટર ઇન્ટરપોલેશન ભૂલ પર E n (x)અમે પસંદ કરેલ અંતરાલ પર મૂળ કાર્યમાંથી બહુપદીના મહત્તમ વિચલનને ધ્યાનમાં લઈશું:

ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

તે સ્પષ્ટ છે કે ઇન્ટરપોલેટેડ ફંક્શનના ગાંઠોની પસંદગી સીધી રીતે નિર્ધારિત કરે છે કે બહુપદી તેની અંદાજિતતા કેટલી ચોક્કસ હશે.

ચાલો નીચેનો પરિચય આપીએ વ્યાખ્યા: ચેબીશેવ બહુપદી એ ફોર્મની બહુપદી છે

તે જાણીતું છે (સાહિત્ય સંદર્ભો જુઓ) કે જો ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સ x 0 , x 1 ,..., x nચેબીશેવ ડિગ્રી બહુપદીના મૂળ છે n+1, પછી મૂલ્ય સૌથી નાનું લે છે શક્ય અર્થઈન્ટરપોલેશન નોડ સેટની કોઈપણ અન્ય પસંદગીની સરખામણીમાં.

દેખીતી રીતે, કિસ્સામાં k= 1 કાર્ય T1(x), ખરેખર, પ્રથમ ડિગ્રીનો બહુપદી છે, કારણ કે T 1 (x) = cos(arccos x) = x.

કિસ્સામાં k = 2 T2(x)બીજી ડિગ્રીનો બહુપદી પણ. આ તપાસવું મુશ્કેલ નથી. ચાલો જાણીતી ત્રિકોણમિતિ ઓળખનો ઉપયોગ કરીએ: cos2 θ = 2cos² θ - 1, પુટિંગ θ = આર્કોસ x.

પછી આપણને નીચેનો સંબંધ મળે છે: T2(x)= 2x² - 1.

ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણમિતિ ઓળખ cos( k + 1)θ = 2cos θ cos kθ-cos( k- 1) તે બતાવવાનું સરળ છે કે ચેબીશેવ બહુપદી માટે આવર્તક સંબંધ ધરાવે છે:

T k+1 (x) = 2xT k (x) - T k-1 (x)

આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ ડિગ્રીના ચેબીશેવ બહુપદી માટેના સૂત્રો મેળવી શકો છો.

ચેબીશેવ બહુપદીના મૂળ સમીકરણમાંથી સરળતાથી શોધી શકાય છે: Tk(x)= cos( kઆર્કોસ x) = 0. આપણે શોધીએ છીએ કે સમીકરણ છે kસેગમેન્ટ [-1,1] પર સ્થિત વિવિધ મૂળ: જે ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સ તરીકે પસંદ કરવા જોઈએ.

તે જોવું સહેલું છે કે [-1,1] પરના મૂળ સમપ્રમાણરીતે અને અસમાન રીતે સ્થિત છે - સેગમેન્ટની કિનારીઓ જેટલી નજીક છે, તેટલા જ મૂળિયા વધારે છે. ચેબીશેવ બહુપદીના મોડ્યુલસનું મહત્તમ મૂલ્ય 1 છે અને તે બિંદુઓ પર પ્રાપ્ત થાય છે.

જો આપણે બહુપદીની ઉચ્ચતમ ડિગ્રીના ગુણાંક માટે ક્રમમાં મૂકીએ ωk(x) 1 ની બરાબર હતી,

તે જાણીતું છે કે કોઈપણ બહુપદી માટે pk(x)ડિગ્રી kગુણાંક સાથે એક સમાનઉચ્ચતમ વ્યુત્પન્ન સાથે, અસમાનતા સાચી છે એટલે કે. ચેબીશેવ બહુપદી એ બહુપદી છે જે શૂન્યમાંથી ઓછામાં ઓછું વિચલિત થાય છે.

કોમ્પ્યુટેશનલ પ્રયોગ

કાર્યને અમલમાં મૂકવા માટે, C++ માં એક પ્રોગ્રામ લખવામાં આવ્યો હતો, જે આપેલ કાર્યપ્રમાણભૂત બહુપદી સાથે તેને અંદાજે છે. અલબત્ત, ગાંઠો કે જેના દ્વારા બહુપદી પસાર થશે અને આ ગાંઠો પર કાર્યના મૂલ્યો સૂચવવા જરૂરી છે.

ઉપર બતાવ્યા પ્રમાણે, અને જેમ આપણે પછી જોઈશું, બહુપદી વિધેયને અંદાજિત કરશે તે ચોકસાઈ નોડ્સની પસંદગી પર આધારિત છે.

ઉદાહરણ: સાઈન ઈન્ટરપોલેશન

ચાલો સેગમેન્ટ પર ફંક્શન y = sin(x) ને ઇન્ટરપોલેટ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. ચાલો ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સ પસંદ કરીએ: (1.1, 2, 4.7, 7.5, 8.5)

પ્રક્ષેપણના પરિણામે મેળવેલ બહુપદી આકૃતિમાં પ્રદર્શિત થાય છે (ગ્રાફ વાદળી રંગમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે. y= પાપ( x), લાલ - પ્રક્ષેપ બહુપદી)

આ કિસ્સામાં ઇન્ટરપોલેશન ભૂલ છે: 0.1534

ચાલો જોઈએ કે જો આપણે સમાન સેગમેન્ટ પર સમાન કાર્ય માટે સમાન અંતરવાળા નોડ્સ (2, 3.5 5, 6.5, 8) પસંદ કરીએ તો શું થાય છે.

અભિગમ નિઃશંકપણે સ્ટ્રેચ નીચે વધુ સારો થયો. જો કે, કિનારીઓ પરનું સ્કેટર ખૂબ મોટું છે. ઇન્ટરપોલેશન ભૂલ: 2.3466 .

અંતે, અમે ચેબીશેવ અલ્ગોરિધમ અનુસાર ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સ પસંદ કરીએ છીએ. ચાલો તેમને નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મેળવીએ (ફક્ત ચલમાં ફેરફાર કરો):

અમારા કિસ્સામાં [ a,b] - સેગમેન્ટ, y=cos x, n+1- નોડ્સની સંખ્યા.

ગાંઠોની કઈ સંખ્યા પસંદ કરવી તે પ્રશ્ન રહે છે.

• જ્યારે મૂલ્ય nઓછું 3 અંદાજ ભૂલ વધુ છે 10.6626.
• મુ n = 4 : બહેતર અંદાજ (ભૂલ બરાબર 1.0111 ),
• ખાતે n = 5 : અંદાજની ભૂલ 0.2797

પર કાર્યોનો આલેખ n= 4 આના જેવો દેખાય છે:

ચાલો અમારું સંશોધન ચાલુ રાખીએ.

• n = 6 : અંદાજની ભૂલ 1.0233.

મુ n = 7 અંદાજની ભૂલ અગાઉ પ્રાપ્ત કરેલ મૂલ્યોમાંથી સૌથી નાની લે છે (આપેલ અંતરાલ માટે): 0.0181 . સાઈનનો પ્લોટ (વાદળી રંગમાં દર્શાવેલ) અને અંદાજિત બહુપદી (લાલ રંગમાં દર્શાવેલ) નીચેના ગ્રાફમાં પ્રસ્તુત છે:

રસપ્રદ વાત એ છે કે જો, સમાન સંખ્યામાં ગાંઠો સાથે, અમે તેમને સેગમેન્ટ પર પસંદ કરીએ છીએ, તો અંદાજિત ભૂલ પણ નાની થઈ જાય છે: 0.0124 . આ કિસ્સામાં ગ્રાફ આના જેવો દેખાય છે:

પસંદ કરતી વખતે વધુનોડ્સ, પરિસ્થિતિ બગડે છે: અમે મૂળ કાર્યને ખૂબ નજીકથી અંદાજિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ:

ગાંઠોની સંખ્યામાં વધારો થતાં જ અંદાજિત ભૂલ વધશે.

જેમ આપણે જોઈ શકીએ છીએ, ચેબીશેવ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગાંઠો પસંદ કરતી વખતે શ્રેષ્ઠ અંદાજ મેળવવામાં આવે છે. જો કે, ગાંઠોની સંખ્યા શ્રેષ્ઠ છે તેના પર કોઈ ભલામણો નથી - આ ફક્ત પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરી શકાય છે.

લાઇબ્રેરીનો ઉપયોગ કરીને પ્રોગ્રામ C++ માં લખાયેલ છે રેખીય બીજગણિત UBlas, જે પુસ્તકાલયોના બુસ્ટ સંગ્રહનો ભાગ છે. ડાઉનલોડ કરો સ્ત્રોતકાર્યક્રમો હોઈ શકે છે

પ્રારંભિક ટિંકચર

પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે નીચેની બાબતો કરવાની જરૂર છે: 1. તમે જે ફંક્શનને ઇન્ટરપોલેટ કરવા જઈ રહ્યા છો તે નક્કી કરો 2. ટેક્સ્ટ ફાઇલ બનાવો (ઉદાહરણ તરીકે, vec.txt), જેની પ્રથમ લાઇનમાં પ્રક્ષેપ ગાંઠો જગ્યા દ્વારા અલગ પાડવામાં આવે છે, અને બીજી લાઇનમાં - આ ગાંઠોમાં પસંદ કરેલ કાર્યના મૂલ્યો.

ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન y = sin(x):

0.74 2 -3.5 0.6743 0.9093 0.351

3. પ્રોગ્રામની .cpp ફાઇલમાં, ડબલ f(ડબલ x) ફંક્શનમાં, રીટર્ન લાઇનને બદલે, મૂળ ફંક્શન દ્વારા પરત કરવામાં આવેલ મૂલ્ય લખો. ઉદાહરણ તરીકે, ફંક્શન y = sin(x) માટે:

પાપ પરત કરો(x);

4. કાર્યમાં પૂર્ણાંક મુખ્ય()ચલને સ્ત્રોત કોડ સોંપો char* flnameઇનપુટ ડેટા ફાઇલનો પાથ. અમારા કિસ્સામાં char* flname = "vec.txt";

પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને

પ્રોગ્રામ નીચેના મુખ્ય કાર્યોને અમલમાં મૂકે છે:

• ડબલ એફ (ડબલ x), જેનું વર્ણન ઉપર આપવામાં આવ્યું હતું
• int લોડ(char*ફાઈલનામ, વેક્ટર &x, વેક્ટર &y)- ઈન્ટરપોલેશન નોડ્સને ચલમાં લોડ કરી રહ્યા છીએ xઅને આ નોડ્સ પરના ફંક્શન વેલ્યુને ચલમાં ફેરવે છે yટેક્સ્ટ ફાઇલ ફાઇલનામ. જો ફાઇલમાંથી ડેટા સફળતાપૂર્વક લોડ થાય છે, તો ફંક્શન પરત કરે છે 0 .
• void matrix2diag(મેટ્રિક્સ &A,વેક્ટર &y)- મેટ્રિક્સ આપે છે એત્રિકોણાકાર દૃશ્ય માટે. y- જમણી બાજુની કૉલમ (મેટ્રિક્સ સાથે પણ બદલાય છે એ).
• void SolveSystem(મેટ્રિક્સ &A,વેક્ટર &y, વેક્ટર &coef)- SLAE ઉકેલો ( એ - ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ, y- જમણી બાજુ પર કૉલમ, coef- SLAE નું સોલ્યુશન આ વેક્ટરમાં દાખલ થયેલ છે)
• ડબલ એરરાપ્રોક્સ(વેક્ટર coef, ડબલ a, ડબલ b, ડબલ h)- મૂળ કાર્યના બહુપદી દ્વારા અંદાજની ભૂલ પરત કરે છે.

નીચેના પરિમાણો ફંક્શન ઇનપુટને પૂરા પાડવામાં આવે છે:

• • વેક્ટર કોફ- પ્રક્ષેપ બહુપદીના ગુણાંકનો વેક્ટર, જે SLAE ઉકેલીને મેળવવામાં આવે છે
  • ડબલ એ, ડબલ બી- પ્રક્ષેપ અંતરાલની સીમાઓ
  • ડબલ એચ- તે પગલું કે જેના વડે આપણે અંતરાલ "ચાલીએ" છીએ

• int outpolyn(char** ફાઇલનામ, વેક્ટર coef)- બહુપદી ગુણાંક બચાવે છે coefફાઇલ કરવા માટે ફાઇલનામ. જો સેવ સફળ થાય, તો ફંક્શન "0" પરત કરે છે.

પ્રોગ્રામ શરૂ કર્યા પછી, ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીના ગુણાંક અને અંદાજની ભૂલ સ્ક્રીન પર દેખાય છે.

નિષ્કર્ષ

કેનોનિકલ બહુપદી દ્વારા ફંક્શનને ઇન્ટરપોલેટ કરવાની પદ્ધતિની તપાસ કરવામાં આવી હતી અને સોફ્ટવેરમાં અમલમાં મૂકવામાં આવી હતી. સંશોધન દરમિયાન, એવું જાણવા મળ્યું હતું કે ઇન્ટરપોલેશન ભૂલ કમ્પ્યુટર ગણતરીમાં ભૂલોને કારણે અને પદ્ધતિની ભૂલોને કારણે બંને પ્રાપ્ત થાય છે.

એ પણ નોંધ્યું છે કે પ્રક્ષેપની ગુણવત્તા સીધી રીતે પ્રક્ષેપ ગાંઠોની પસંદગી પર આધારિત છે. "ચેબીશેવ" નોડ્સ પસંદ કરતી વખતે ન્યૂનતમ પ્રક્ષેપ ભૂલ પ્રાપ્ત થાય છે.

જોડાયેલ ફાઇલો

સાહિત્ય

• એન.એસ. બખ્વાલોવ, એન.પી. ઝિડકોવ, જી.એમ. કોબેલકોવ. સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ. પબ્લિશિંગ હાઉસ "લેબોરેટરી" મૂળભૂત જ્ઞાન". મોસ્કો. 2003.
• આઈ.એસ. બેરેઝિન, એન.પી. ઝિડકોવ.ગણતરી પદ્ધતિઓ. એડ. ફિઝમેટલીટ. મોસ્કો. 1962.

સમયપત્રક ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીપસાર થાય છે આપેલ પોઈન્ટ, એટલે કે બહુપદીના મૂલ્યો અને આ કાર્ય ખાતે= f(x) નોડ્સ પર એકરુપ થાય છે. જો કાર્ય f(x) પોતે ડિગ્રીની બહુપદી છે n, પછી ઓળખ બી સામાન્ય કેસઈન્ટરપોલેશન નોડ્સ સિવાયના પોઈન્ટ પર આ તફાવત ઈન્ટરપોલેશન એરર છે અને કહેવાય છે ઇન્ટરપોલેશન ફોર્મ્યુલાનો બાકીનો શબ્દ.ચાલો તેના મહત્વનું મૂલ્યાંકન કરીએ.

ચાલો માની લઈએ કે આપેલ નંબરો યીઅમુક ફંક્શનના મૂલ્યો છે y =f(x) બિંદુઓ પર x =xi.આ ફંક્શનને સતત રહેવા દો અને તેમાં સતત ડેરિવેટિવ્ઝ ( n+ 1) - મી ક્રમ સહિત. તે બતાવી શકાય છે કે આ કિસ્સામાં લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીના બાકીના શબ્દનું સ્વરૂપ છે

અહીં વ્યુત્પન્ન છે ( n+ 1)મી ઓર્ડર કાર્ય f(x) અમુક સમયે. જો આ વ્યુત્પન્નનું મહત્તમ મૂલ્ય છે

પછી બાકીના શબ્દનો અંદાજ કાઢવા માટે આપણે એક સૂત્ર લખી શકીએ છીએ:

જ્યાં કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

કાર્યની વર્તણૂકનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે પ્રક્ષેપ ભૂલ આર l( x ) સરેરાશ વધુ હશે, બિંદુ નજીક એક્સસેગમેન્ટના છેડે આવેલું છે. જો તમે સેગમેન્ટ (એક્સ્ટ્રાપોલેશન) ની બહાર અંદાજિત ફંક્શન માટે ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીનો ઉપયોગ કરો છો, તો ભૂલ નોંધપાત્ર રીતે વધશે.

ન્યૂટનના પ્રક્ષેપ બહુપદીના બાકીના શબ્દનું સ્વરૂપ સમકક્ષ ગાંઠોના કિસ્સામાં સરળતાથી મેળવી શકાય છે (2.41):

જો આપણે ધારીએ કે તફાવત સતત છે, તો આપણે લખી શકીએ છીએ નીચેનું સૂત્રન્યુટનના પ્રથમ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીનો બાકીનો શબ્દ:

તેના પર ફરીથી ભાર મૂકવો જોઈએ કે આપેલ પ્રક્ષેપ ગાંઠોના સમૂહ માટે એક અને માત્ર એક જ પ્રક્ષેપ બહુપદી છે. લેગ્રેન્જ, ન્યુટન અને અન્યના સૂત્રો સમાન બહુપદી બનાવે છે (જો કે ગણતરીઓ ચોક્કસ રીતે હાથ ધરવામાં આવે). માત્ર તફાવત તેમના બાંધકામ માટે અલ્ગોરિધમનો છે. સાચું છે, લેગ્રેન્જ ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીમાં ગુણાંક માટે સ્પષ્ટ અભિવ્યક્તિઓ શામેલ નથી.

પ્રક્ષેપણ પદ્ધતિની પસંદગી વિવિધ વિચારણાઓ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: ચોકસાઈ, ગણતરીનો સમય, રાઉન્ડિંગ ભૂલો, વગેરે. કેટલાક કિસ્સાઓમાં, એક બહુપદીનું નિર્માણ કરતી વખતે, સ્થાનિક પ્રક્ષેપ વધુ પ્રાધાન્યક્ષમ હોઈ શકે છે. ઉચ્ચ ડિગ્રી(ગ્લોબલ ઇન્ટરપોલેશન) સફળતા તરફ દોરી જતું નથી.

આ પ્રકારની પરિસ્થિતિ 1901માં કે. રૂન્જે શોધી કાઢી હતી. તેણે ફંક્શન માટે નોડ્સના સમાન વિતરણ સાથે સેગમેન્ટ પર ઇન્ટરપોલેશન બહુપદીઓનું નિર્માણ કર્યું. તે બહાર આવ્યું છે કે પ્રક્ષેપ બહુપદીની ડિગ્રી વધે છે, તેના મૂલ્યોનો ક્રમ કોઈપણ નિશ્ચિત બિંદુ માટે અલગ પડે છે. એક્સખાતે

કેટલાક કિસ્સાઓમાં પરિસ્થિતિને ઇન્ટરપોલેશન નોડ્સના વિશિષ્ટ વિતરણ દ્વારા સુધારી શકાય છે (જો તે નિશ્ચિત ન હોય તો). તે સાબિત થયું છે કે જો કાર્ય f(x) અંતરાલ [-1,1] પર સતત વ્યુત્પન્ન હોય છે, પછી મૂલ્યો પસંદ કરતી વખતે એક્સi, ચેબીશેવ ડિગ્રીના બહુપદીના મૂળ સાથે સુસંગત n+ 1, ડિગ્રી ઇન્ટરપોલેશન બહુપદી nઆ સેગમેન્ટ પર કોઈપણ બિંદુએ ફંક્શનના મૂલ્યો સાથે કન્વર્જ કરો. આપેલ નિવેદન નીચે મુજબ સ્પષ્ટ રીતે સમજાવી શકાય છે. સંપ્રદાયમાં નોંધ્યું છે તેમ. 2.2, ચેબીશેવ બહુપદીના મૂળ સેગમેન્ટ પર અસમાન રીતે સ્થિત છે અને તેના છેડા તરફ ઘટ્ટ બને છે. આ જાડું થવું જ્યારે સેગમેન્ટના છેડા સુધી પહોંચે છે ત્યારે પ્રક્ષેપણ ભૂલમાં વધારો માટે વળતર આપે છે, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે સમાન વિતરણગાંઠો

આમ, સ્ટેપ અને પોઈન્ટની વિશેષ ગોઠવણી ઘટાડીને પ્રક્ષેપની ચોકસાઈ વધારવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. એક્સi.સ્થાનિક પ્રક્ષેપ દરમિયાન પ્રક્ષેપ બહુપદીની ડિગ્રીમાં વધારો કરવાથી પણ ભૂલમાં ઘટાડો થાય છે, જો કે, અહીં વ્યુત્પન્નનું વર્તન હંમેશા સ્પષ્ટ હોતું નથી. f(n+1) (એક્સ) વધવા સાથે n. તેથી, વ્યવહારમાં, તેઓ નીચા-ડિગ્રી બહુપદી (રેખીય અને ચતુર્ભુજ પ્રક્ષેપ, સ્પ્લાઇન્સ) નો ઉપયોગ કરવાનો પ્રયાસ કરે છે.

માપન (વાંચન) અને અસાધારણ (અણધારી) ના પરિણામને ઠીક કરતી વખતે ગણતરીની વ્યક્તિત્વના સામાન્ય (સામાન્ય, સમજાવી શકાય તેવું, અનુમાનિત) અભિવ્યક્તિ વચ્ચે તફાવત છે. દેખાવ વ્યક્તિલક્ષી ભૂલભૂલના સ્વરૂપમાં એનાલોગ ડાયલ સાધનો સાથે કામ કરતી વખતે કુદરતી અને લાક્ષણિક કાઉન્ટડાઉનસામાન્ય કિસ્સામાં ગણતરીની ભૂલમાં બે ઘટકો હોય છે: પ્રક્ષેપ ભૂલ અને લંબન ભૂલ (ફિગ. 1.19).

પ્રથમ ઘટક - પ્રક્ષેપ ભૂલ -સ્કેલ પર બે સંલગ્ન વિભાગો વચ્ચે વાંચન ઉપકરણના નિર્દેશક (તીર) ની સ્થિતિ નક્કી કરવાના કોઈપણ પ્રયાસ સાથે અનિવાર્યપણે ઉદ્ભવે છે, એટલે કે, વિભાગના ભાગની કિંમતનો અંદાજ કાઢવા માટે . પર્યાપ્ત ઓપરેટર કૌશલ્ય સાથે, આ ઘટકનું મૂલ્ય એક વિભાગના વજનના ± (0.2... 0.1) હોઈ શકે છે. . ડિજિટલ ઉપકરણો પ્રકૃતિમાં સમાન ઘટકો ધરાવે છે – પરિમાણ ભૂલ, પરંતુ ત્યાં તે બિન-વ્યક્તિગત છે.

લંબન ભૂલજ્યારે તીરની સ્થિતિ નક્કી કરવાની ક્ષણે બિન-લંબરૂપ ધોરણે સ્કેલ જોતી વખતે થાય છે. કેવી રીતે લાંબું અંતરઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ સ્કેલ અને પોઇન્ટર વચ્ચે, શક્ય લંબન ભૂલ ±Δ જેટલી મોટી. આ ઘટક, કાળજીપૂર્વક કરવામાં આવેલ પ્રયોગ સાથે, એક વિભાગના વજનના ±(0.2...0.1) ની કિંમત સુધી પણ ઘટાડી શકાય છે. . પ્રમાણમાં સચોટ પોઇન્ટર ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ (ચોકસાઇ વર્ગ 0.5 અથવા વધુ) ની ડિઝાઇનમાં, લંબન ભૂલને દૂર કરવા માટે સ્કેલ પ્લેનમાં મિરર ઇન્સ્ટોલ કરવામાં આવે છે. આ મિરર સ્કેલ સ્કેલના સખત લંબરૂપ દૃશ્ય માટે પરવાનગી આપે છે. આ કિસ્સામાં, ગણતરી એવી રીતે થવી જોઈએ કે તીર તેના પ્રતિબિંબને અરીસામાં આવરી લે.

ડિજિટલ સાધનોમાં મૂળભૂત રીતે ગણતરીની ભૂલો હોતી નથી.

વ્યક્તિલક્ષી ભૂલોમાં એવી ભૂલોનો પણ સમાવેશ થાય છે જે અગાઉથી અણધારી હોય છે, જે ઓપરેટરની ઓછી લાયકાત અને/અથવા તેના નબળા સ્વાસ્થ્યના પરિણામે એકંદર ભૂલો (ચૂકી)ને કારણે થાય છે. એક લાક્ષણિક ઉદાહરણઆવી વ્યક્તિલક્ષી ભૂલ એ બહુ-શ્રેણી સાધનો સાથે કામ કરતી વખતે પરિણામના વાંચન અને/અથવા રેકોર્ડિંગમાં ભૂલ છે, તેમજ – જ્યારે બિનરેખીય ભીંગડાવાળા સાધનો સાથે કામ કરો.

કામનો અંત -

આ વિષય વિભાગનો છે:

મેટ્રોલોજી અને માપન તકનીકની મૂળભૂત બાબતો

માપનની ચોકસાઈ.. માપનની ચોકસાઈ, માપની ગુણવત્તા જે તેમના પરિણામોની નિકટતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.. માત્રાત્મક અભિવ્યક્તિ. ગુણાત્મક ખ્યાલચોકસાઈ એ ભૂલ છે એ ભૂલને પારખવી જોઈએ..

જો તમને જરૂર હોય વધારાની સામગ્રીઆ વિષય પર, અથવા તમે જે શોધી રહ્યા હતા તે તમને મળ્યું નથી, અમે અમારા કાર્યોના ડેટાબેઝમાં શોધનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરીએ છીએ:

પ્રાપ્ત સામગ્રી સાથે અમે શું કરીશું:

જો આ સામગ્રી તમારા માટે ઉપયોગી હતી, તો તમે તેને સામાજિક નેટવર્ક્સ પર તમારા પૃષ્ઠ પર સાચવી શકો છો:

આ વિભાગના તમામ વિષયો:

માપન
મેટ્રોલોજી એ માપન, પદ્ધતિઓ અને તેમની એકતાને સુનિશ્ચિત કરવાના માધ્યમો અને જરૂરી ચોકસાઈ હાંસલ કરવાની રીતોનું વિજ્ઞાન છે. મેટ્રોલોજીમાં ત્રણ ક્ષેત્રો છે; સૈદ્ધાંતિક (મજા

ભૌતિક જથ્થો
ભૌતિક જથ્થો (PV) એ એવી મિલકત છે જે ગુણાત્મક રીતે ઘણા લોકો માટે સામાન્ય છે ભૌતિક વસ્તુઓ, પરંતુ માત્રાત્મક દ્રષ્ટિએ - દરેક ઑબ્જેક્ટ માટે વ્યક્તિગત. બધી વિવિધતા

માપવાના સાધનોના પ્રકાર
માપન સાધન (MI) - તકનીકી માધ્યમો, માપમાં વપરાય છે અને પ્રમાણિત મેટ્રોલોજીકલ લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે. બધા માપવાના સાધનોને પાંચ પ્રકારોમાં વહેંચવામાં આવ્યા છે: માપ, માપન

માપના પ્રકારો અને પદ્ધતિઓ
પીવી મૂલ્યો (માપના પરિણામો) વિવિધ રીતે મેળવી શકાય છે. વ્યવહારમાં વિદ્યુત માપનવિવિધ પ્રકારો અને માપન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. નીચેના પ્રકારના માપન અસ્તિત્વમાં છે:

માપની એકતા
માપની એકતાને માપની સ્થિતિ તરીકે સમજવામાં આવે છે જેમાં તેમના પરિણામો કાનૂની એકમોમાં દર્શાવવામાં આવે છે અને માપનના પરિણામોની ભૂલો જાણીતી અથવા ઉલ્લેખિત સાથે ઓળખાય છે.

ભૌતિક જથ્થાના એકમો
એકમ ભૌતિક જથ્થોએક ભૌતિક જથ્થો છે જે વ્યાખ્યા દ્વારા, સોંપેલ છે સંખ્યાત્મક મૂલ્ય, એક સમાન.

આપણા દેશમાં, અન્ય દેશોની જેમ,
ભૌતિક જથ્થાના મૂળભૂત અને વધારાના એકમો

ભૌતિક જથ્થાના એકમનું નામ હોદ્દો રશિયન
માનકીકરણ માત્ર થોડા દાયકાઓ પહેલા વિશ્વમાં ભૌતિક જથ્થાના એકમોમાં એકરૂપતા ન હતી. વિવિધ દેશોમાં, માંવિવિધ ઉદ્યોગો વિજ્ઞાન, ટેકનોલોજી,ઔદ્યોગિક ઉત્પાદન , વીકૃષિ

, ટોરસ
ધોરણો

સ્ટાન્ડર્ડ એ SI છે જે ભૌતિક જથ્થાના એકમનું સંગ્રહ અને/અથવા પુનઃઉત્પાદન પૂરું પાડે છે અને તેના કદને અન્ય SI (મોડલ અથવા કાર્યકારી)માં સ્થાનાંતરિત કરવાના હેતુથી અને સત્તાવાર રીતે માન્ય છે.
માપન પરિણામ ભૂલ

માપેલ જથ્થાનું સાચું મૂલ્ય સૈદ્ધાંતિક રીતે શોધી શકાતું નથી (એક સક્ષમ પ્રયોગકર્તા, આને સમજતા, આ માટે પ્રયત્ન કરતા નથી). તેથી, પરિણામ ભૂલનું વાસ્તવિક (સાચું) મૂલ્ય
માપવાના સાધનોની ભૂલો

એક નિયમ તરીકે (અને સામાન્ય રીતે સુવ્યવસ્થિત પ્રયોગોમાં), માપન પરિણામની કુલ ભૂલમાં નિર્ધારિત ઘટક એ SI ની જ ભૂલ છે, એટલે કે. ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ
મુખ્ય અને વધારાની ભૂલો SI ચોકસાઈ વર્ગ અનુસાર મુખ્ય ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટલ ભૂલ જોવા મળે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારેસામાન્ય સ્થિતિ

ચોકસાઈ વર્ગ 1.5નું પેનલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક વોલ્ટમીટર (એટલે ​​કે, મૂળભૂત મર્યાદા ધરાવતું
પદ્ધતિસરની ભૂલ

જેમ જાણીતું છે, માપન પરિણામની ભૂલ માત્ર SI ચોકસાઈ વર્ગ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવતી નથી. પરિણામની અવિશ્વસનીયતા માટે અન્ય કારણો પણ હોઈ શકે છે. ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ જે દેખાવને સમજાવે છે
ક્રિયાપ્રતિક્રિયા ભૂલ

પરિણામની કુલ ભૂલનો આ ઘટક સિગ્નલ સ્ત્રોત વગેરેના મર્યાદિત પ્રતિકારને કારણે ઉદ્ભવે છે.
ગતિશીલ ભૂલ

ગતિશીલ ભૂલ એ SI ભૂલ છે જે ભૌતિક જથ્થાને માપતી વખતે થાય છે જે માપન પ્રક્રિયા દરમિયાન બદલાય છે.
સ્થિર ઑબ્જેક્ટ મોડેલની ધારણા (નામ વિના

માપન પરિણામોની પ્રક્રિયા
સિંગલ (સિંગલ) અને મલ્ટિપલ (બહુવિધ) સીધા માપન છે.

સિંગલ માપન કરવા અને પ્રક્રિયા કરવા માટે સૌથી સરળ છે - સૌથી સામાન્ય
બહુવિધ પ્રત્યક્ષ માપન

બહુવિધ (બહુવિધ) સીધા માપમાં, સમાન ભૌતિક જથ્થાના સંખ્યાબંધ અવલોકનો (સામાન્ય રીતે અલગ) મેળવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સમસ્યાના બે ફોર્મ્યુલેશન શક્ય છે.
પ્રથમ

પરોક્ષ માપની પ્રક્રિયા
વિદ્યુત માપનની પ્રેક્ટિસમાં પરોક્ષ માપ એકદમ સામાન્ય છે. માપન પરિણામની ભૂલનું મૂલ્યાંકન કરવાનો મુદ્દો આવા પ્રયોગોમાં સૌથી મહત્વપૂર્ણ છે. વિગતવાર અને પરોક્ષ માપના પરિણામની ભૂલની ગણતરીચાલો લોડ પર એમીટરનો ઉપયોગ કરીને સક્રિય શક્તિના પરોક્ષ માપનના પરિણામની ભૂલની ગણતરીના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ.