વિવિધ પાયા સાથે લઘુગણક અસમાનતાઓનું નિરાકરણ. લઘુગણક અસમાનતા

તમારી ગોપનીયતા જાળવવી અમારા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. આ કારણોસર, અમે એક ગોપનીયતા નીતિ વિકસાવી છે જે વર્ણવે છે કે અમે તમારી માહિતીનો ઉપયોગ અને સંગ્રહ કેવી રીતે કરીએ છીએ. કૃપા કરીને અમારી ગોપનીયતા પ્રથાઓની સમીક્ષા કરો અને જો તમને કોઈ પ્રશ્નો હોય તો અમને જણાવો.

વ્યક્તિગત માહિતીનો સંગ્રહ અને ઉપયોગ

વ્યક્તિગત માહિતી એ ડેટાનો સંદર્ભ આપે છે જેનો ઉપયોગ ચોક્કસ વ્યક્તિને ઓળખવા અથવા સંપર્ક કરવા માટે થઈ શકે છે.

જ્યારે તમે અમારો સંપર્ક કરો ત્યારે તમને કોઈપણ સમયે તમારી વ્યક્તિગત માહિતી પ્રદાન કરવા માટે કહેવામાં આવશે.

અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરી શકીએ છીએ અને અમે આવી માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકીએ તેના કેટલાક ઉદાહરણો નીચે આપ્યા છે.

અમે કઈ વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ:

• જ્યારે તમે સાઇટ પર વિનંતી સબમિટ કરો છો, ત્યારે અમે એકત્રિત કરી શકીએ છીએ વિવિધ માહિતી, તમારું નામ, ફોન નંબર, સરનામું સહિત ઇમેઇલવગેરે

અમે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરીએ છીએ:

• અમારા દ્વારા એકત્રિત વ્યક્તિગત માહિતીઅમને તમારો સંપર્ક કરવા અને અનન્ય ઑફર્સ, પ્રમોશન અને અન્ય ઇવેન્ટ્સ અને આગામી ઇવેન્ટ્સ વિશે તમને જાણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
• સમય સમય પર, અમે મહત્વપૂર્ણ સૂચનાઓ અને સંદેશાવ્યવહાર મોકલવા માટે તમારી વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
• અમે વ્યક્તિગત માહિતીનો ઉપયોગ આંતરિક હેતુઓ માટે પણ કરી શકીએ છીએ જેમ કે ઑડિટિંગ, ડેટા વિશ્લેષણ અને વિવિધ અભ્યાસોઅમે જે સેવાઓ પ્રદાન કરીએ છીએ તેમાં સુધારો કરવા અને તમને અમારી સેવાઓ સંબંધિત ભલામણો પ્રદાન કરવા માટે.
• જો તમે ઇનામ ડ્રો, હરીફાઈ અથવા સમાન પ્રમોશનમાં ભાગ લો છો, તો અમે આવા કાર્યક્રમોનું સંચાલન કરવા માટે તમે પ્રદાન કરેલી માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

તૃતીય પક્ષોને માહિતીની જાહેરાત

અમે તમારી પાસેથી મળેલી માહિતીને તૃતીય પક્ષોને જાહેર કરતા નથી.

અપવાદો:

• જો જરૂરી હોય તો - કાયદા અનુસાર, ન્યાયિક પ્રક્રિયા, કાનૂની કાર્યવાહી અને/અથવા જાહેર વિનંતીઓ અથવા વિનંતીઓના આધારે સરકારી એજન્સીઓરશિયન ફેડરેશનના પ્રદેશ પર - તમારી વ્યક્તિગત માહિતી જાહેર કરો. અમે તમારા વિશેની માહિતી પણ જાહેર કરી શકીએ છીએ જો અમે નિર્ધારિત કરીએ કે આવી જાહેરાત સુરક્ષા, કાયદાના અમલીકરણ અથવા અન્ય જાહેર મહત્વના હેતુઓ માટે જરૂરી અથવા યોગ્ય છે.
• પુનર્ગઠન, વિલીનીકરણ અથવા વેચાણની ઘટનામાં, અમે જે વ્યક્તિગત માહિતી એકત્રિત કરીએ છીએ તે લાગુ અનુગામી તૃતીય પક્ષને સ્થાનાંતરિત કરી શકીએ છીએ.

વ્યક્તિગત માહિતીનું રક્ષણ

અમે તમારી અંગત માહિતીને નુકશાન, ચોરી અને દુરુપયોગ તેમજ અનધિકૃત ઍક્સેસ, જાહેરાત, ફેરફાર અને વિનાશથી બચાવવા માટે - વહીવટી, તકનીકી અને ભૌતિક સહિત - સાવચેતી રાખીએ છીએ.

કંપની સ્તરે તમારી ગોપનીયતાનો આદર કરવો

તમારી અંગત માહિતી સુરક્ષિત છે તેની ખાતરી કરવા માટે, અમે અમારા કર્મચારીઓને ગોપનીયતા અને સુરક્ષા ધોરણોની વાત કરીએ છીએ અને ગોપનીયતા પ્રથાઓને સખત રીતે લાગુ કરીએ છીએ.

તમામ વિવિધતા વચ્ચે લઘુગણક અસમાનતાસાથે અલગથી અસમાનતાનો અભ્યાસ કરો ચલ આધાર. તેઓ વિશિષ્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, જે કોઈ કારણોસર ભાગ્યે જ શાળામાં શીખવવામાં આવે છે:

લોગ k (x) f (x) ∨ લોગ k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

“∨” ચેકબોક્સને બદલે, તમે કોઈપણ અસમાનતા ચિહ્ન મૂકી શકો છો: વધુ કે ઓછું. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે બંને અસમાનતાઓમાં ચિહ્નો સમાન છે.

આ રીતે આપણે લઘુગણકથી છુટકારો મેળવીએ છીએ અને સમસ્યાને તર્કસંગત અસમાનતામાં ઘટાડીશું. બાદમાં ઉકેલવા માટે ખૂબ સરળ છે, પરંતુ જ્યારે લોગરીધમ્સ કાઢી નાખવામાં આવે છે, ત્યારે વધારાના મૂળ દેખાઈ શકે છે. તેમને કાપી નાખવા માટે, તે વિસ્તાર શોધવા માટે પૂરતું છે સ્વીકાર્ય મૂલ્યો. જો તમે લોગરીધમનો ODZ ભૂલી ગયા હો, તો હું તેને પુનરાવર્તિત કરવાની ભારપૂર્વક ભલામણ કરું છું - "લોગરિધમ શું છે" જુઓ.

સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીથી સંબંધિત દરેક વસ્તુ અલગથી લખી અને હલ કરવી આવશ્યક છે:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

આ ચાર અસમાનતાઓ એક પ્રણાલીની રચના કરે છે અને તે એકસાથે સંતુષ્ટ થવી જોઈએ. જ્યારે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી મળી આવે છે, ત્યારે જે બાકી રહે છે તે તેને ઉકેલ સાથે છેદે છે તર્કસંગત અસમાનતા- અને જવાબ તૈયાર છે.

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

પ્રથમ, ચાલો લોગરીધમનો ODZ લખીએ:

પ્રથમ બે અસમાનતા આપોઆપ સંતોષાય છે, પરંતુ છેલ્લી એક લખવી પડશે. સંખ્યાનો વર્ગ હોવાથી શૂન્ય બરાબરજો અને માત્ર જો સંખ્યા પોતે શૂન્ય હોય, તો આપણી પાસે છે:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

તે તારણ આપે છે કે લઘુગણકની ODZ એ શૂન્ય સિવાયની બધી સંખ્યાઓ છે: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). હવે અમે મુખ્ય અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ:

અમે લઘુગણક અસમાનતામાંથી તર્કસંગત એકમાં સંક્રમણ કરીએ છીએ. મૂળ અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે પરિણામી અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન પણ હોવું જોઈએ. અમારી પાસે છે:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 −1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

આ અભિવ્યક્તિના શૂન્ય છે: x = 3; x = −3; x = 0. વધુમાં, x = 0 એ બીજા ગુણાકારનું મૂળ છે, જેનો અર્થ છે કે જ્યારે તેમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે કાર્યની નિશાની બદલાતી નથી. અમારી પાસે છે:

આપણને x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) મળે છે. આ સમૂહ લોગરીધમના ODZ માં સંપૂર્ણપણે સમાયેલ છે, જેનો અર્થ છે કે આ જવાબ છે.

લઘુગણક અસમાનતાઓનું રૂપાંતર

ઘણી વાર મૂળ અસમાનતા ઉપરની અસમાનતા કરતાં અલગ હોય છે. લોગરીધમ્સ સાથે કામ કરવા માટેના માનક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આને સરળતાથી સુધારી શકાય છે - "લોગરીધમના મૂળભૂત ગુણધર્મો" જુઓ. જેમ કે:

1. કોઈપણ સંખ્યાને આપેલ આધાર સાથે લઘુગણક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે;
2. સમાન પાયા સાથે લઘુગણકનો સરવાળો અને તફાવત એક લઘુગણક દ્વારા બદલી શકાય છે.

અલગથી, હું તમને સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી વિશે યાદ અપાવવા માંગુ છું. મૂળ અસમાનતામાં ઘણા લઘુગણક હોઈ શકે છે, તેથી તે દરેકના VA શોધવા જરૂરી છે. આમ, સામાન્ય યોજનાલઘુગણક અસમાનતાના ઉકેલો નીચે મુજબ છે:

1. અસમાનતામાં સમાવિષ્ટ દરેક લઘુગણકનો VA શોધો;
2. લોગરીધમ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાને પ્રમાણભૂતમાં ઘટાડો;
3. ઉપર આપેલ યોજનાનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી અસમાનતાને ઉકેલો.

કાર્ય. અસમાનતા ઉકેલો:

ચાલો પ્રથમ લોગરીધમનું ડોમેન ઓફ ડેફિનેશન (DO) શોધીએ:

અમે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરીએ છીએ. અંશના શૂન્ય શોધવા:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

પછી - છેદના શૂન્ય:

x − 1 = 0;
x = 1.

અમે સંકલન તીર પર શૂન્ય અને ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

આપણને x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) મળે છે. બીજા લઘુગણકમાં સમાન VA હશે. જો તમને મારા પર વિશ્વાસ ન હોય, તો તમે તેને ચકાસી શકો છો. હવે આપણે બીજા લઘુગણકને રૂપાંતરિત કરીએ છીએ જેથી આધાર બે હોય:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, બેઝ પર અને લોગરીધમની સામેના થ્રીને ઘટાડવામાં આવ્યા છે. અમને બે લઘુગણક મળ્યા સમાન આધાર. ચાલો તેમને ઉમેરીએ:

લોગ 2 (x − 1) 2< 2;
લોગ 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

અમે પ્રમાણભૂત લઘુગણક અસમાનતા મેળવી છે. આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને લોગરીધમથી છુટકારો મેળવીએ છીએ. મૂળ અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન હોવાથી, પરિણામી તર્કસંગત અભિવ્યક્તિપણ હોવું જોઈએ શૂન્ય કરતાં ઓછું. અમારી પાસે છે:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

અમને બે સેટ મળ્યા:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. ઉમેદવારનો જવાબ: x ∈ (−1; 3).

તે આ સેટ્સને છેદવાનું બાકી છે - અમને વાસ્તવિક જવાબ મળે છે:

અમને સેટના આંતરછેદમાં રસ છે, તેથી અમે અંતરાલો પસંદ કરીએ છીએ જે બંને તીરો પર છાંયો છે. આપણને x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) મળે છે - બધા બિંદુઓ પંચર થયેલ છે.

લઘુગણક અસમાનતાઓની સમગ્ર વિવિધતાઓમાં, ચલ આધાર સાથેની અસમાનતાઓનો અલગથી અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તેઓ એક વિશિષ્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, જે કોઈ કારણોસર ભાગ્યે જ શાળામાં શીખવવામાં આવે છે. પ્રસ્તુતિ ગણિતમાં યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા - 2014 ના કાર્યો C3 ના ઉકેલો રજૂ કરે છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

લઘુગણકના આધારમાં ચલ ધરાવતી લઘુગણક અસમાનતાઓનું નિરાકરણ: ​​પદ્ધતિઓ, તકનીકો, સમકક્ષ સંક્રમણો, ગણિતના શિક્ષક, માધ્યમિક શાળા નંબર 143 ન્યાઝકીના ટી. વી.

લઘુગણક અસમાનતાઓની સમગ્ર વિવિધતાઓમાં, ચલ આધાર સાથેની અસમાનતાઓનો અલગથી અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તેઓ વિશિષ્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવે છે, જે અમુક કારણોસર શાળામાં ભાગ્યે જ શીખવવામાં આવે છે: લોગ k (x) f (x) ∨ લોગ k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 “∨” ચેકબોક્સને બદલે, તમે કોઈપણ અસમાનતા ચિહ્ન મૂકી શકો છો: વધુ કે ઓછું. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે બંને અસમાનતાઓમાં ચિહ્નો સમાન છે. આ રીતે આપણે લઘુગણકથી છુટકારો મેળવીએ છીએ અને સમસ્યાને તર્કસંગત અસમાનતામાં ઘટાડીશું. બાદમાં ઉકેલવા માટે ખૂબ સરળ છે, પરંતુ જ્યારે લોગરીધમ્સ કાઢી નાખવામાં આવે છે, ત્યારે વધારાના મૂળ દેખાઈ શકે છે. તેમને કાપી નાખવા માટે, સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી શોધવા માટે તે પૂરતું છે. લઘુગણકના ODZ ને ભૂલશો નહીં! સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણીને લગતી દરેક વસ્તુ અલગથી લખવી અને હલ કરવી આવશ્યક છે: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1. આ ચાર અસમાનતાઓ એક સિસ્ટમની રચના કરે છે અને તે એકસાથે સંતુષ્ટ થવી જોઈએ. જ્યારે સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી મળી આવે, ત્યારે જે બાકી રહે છે તે તેને તર્કસંગત અસમાનતાના ઉકેલ સાથે છેદવાનું છે - અને જવાબ તૈયાર છે.

અસમાનતા ઉકેલો: સોલ્યુશન પ્રથમ, ચાલો લઘુગણકની OD લખીએ પ્રથમ બે અસમાનતા આપોઆપ સંતોષાય છે, પરંતુ છેલ્લી એક લખવાની રહેશે. સંખ્યાનો વર્ગ શૂન્યની બરાબર હોવાથી અને માત્ર જો સંખ્યા પોતે શૂન્યની બરાબર હોય, તો આપણી પાસે છે: x 2 + 1 ≠ 1; x 2 ≠ 0; x ≠ 0. તે તારણ આપે છે કે લઘુગણકની ODZ એ શૂન્ય સિવાયની બધી સંખ્યાઓ છે: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). હવે આપણે મુખ્ય અસમાનતાને હલ કરીએ છીએ: અમે લઘુગણક અસમાનતામાંથી તર્કસંગત એકમાં સંક્રમણ કરીએ છીએ. મૂળ અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન હોય છે, જેનો અર્થ થાય છે કે પરિણામી અસમાનતામાં "ઓછું" ચિહ્ન પણ હોવું જોઈએ.

અમારી પાસે છે: (10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 −1)

લઘુગણક અસમાનતાઓનું પરિવર્તન ઘણીવાર મૂળ અસમાનતા ઉપરની અસમાનતા કરતાં અલગ હોય છે. લોગરીધમ્સ સાથે કામ કરવા માટેના માનક નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આને સરળતાથી સુધારી શકાય છે. જેમ કે: કોઈપણ સંખ્યાને આપેલ આધાર સાથે લઘુગણક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે; સમાન પાયા સાથે લઘુગણકનો સરવાળો અને તફાવત એક લઘુગણક દ્વારા બદલી શકાય છે. અલગથી, હું તમને સ્વીકાર્ય મૂલ્યોની શ્રેણી વિશે યાદ અપાવવા માંગુ છું. મૂળ અસમાનતામાં ઘણા લઘુગણક હોઈ શકે છે, તેથી તે દરેકના VA શોધવા જરૂરી છે. આમ, લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની સામાન્ય યોજના નીચે મુજબ છે: અસમાનતામાં સમાવિષ્ટ દરેક લઘુગણકનો VA શોધો; લોગરીધમ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અસમાનતાને પ્રમાણભૂતમાં ઘટાડો; ઉપર આપેલ યોજનાનો ઉપયોગ કરીને પરિણામી અસમાનતાને ઉકેલો.

અસમાનતા ઉકેલો: ઉકેલ ચાલો પ્રથમ લઘુગણકનું ડોમેન ઓફ ડેફિનેશન (DO) શોધીએ: અંતરાલોની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલો. અંશના શૂન્ય શોધો: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. પછી - છેદના શૂન્ય: x − 1 = 0; x = 1. સંકલન રેખા પર શૂન્ય અને ચિહ્નોને ચિહ્નિત કરો:

આપણને x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞) મળે છે. બીજા લઘુગણકમાં સમાન VA હશે. જો તમને મારા પર વિશ્વાસ ન હોય, તો તમે તેને ચકાસી શકો છો. હવે ચાલો બીજા લઘુગણકને રૂપાંતરિત કરીએ જેથી કરીને બેઝ પર બે હોય: જેમ તમે જોઈ શકો છો, બેઝ પર અને લોગરીધમની સામેના ત્રણને રદ કરવામાં આવ્યા છે. અમને સમાન આધાર સાથે બે લઘુગણક મળ્યા. તેમને ઉમેરો: લોગ 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

અમને સેટના આંતરછેદમાં રસ છે, તેથી અમે અંતરાલો પસંદ કરીએ છીએ જે બંને તીરો પર છાંયો છે. આપણને મળે છે: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - બધા બિંદુઓ પંચર થયેલ છે. જવાબ: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

USE-2014 કાર્યો પ્રકાર C3 ઉકેલવા

અસમાનતાની સિસ્ટમ ઉકેલો. ODZ:  1) 2)

અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (ચાલુ)

અસમાનતાઓની સિસ્ટમ ઉકેલો 4) સામાન્ય ઉકેલ: અને -7 -3 - 5 x -1 -8 7 લોગ 2 129 (ચાલુ)

અસમાનતા ઉકેલો (ચાલુ) -3 3 -1 + − + − x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

અસમાનતા ઉકેલો. ODZ: 

અસમાનતા ઉકેલો (ચાલુ)

અસમાનતા ઉકેલો. ODZ:  -2 1 -1 + − + − x + 2 -2 1 -1 x 2

ઉપયોગમાં લોગરિધમિક અસમાનતાઓ

સેચિન મિખાઇલ એલેક્ઝાન્ડ્રોવિચ

નાની એકેડેમીકઝાકિસ્તાન પ્રજાસત્તાક "ઇસ્કેટેલ" ના વિદ્યાર્થીઓ માટે વિજ્ઞાન

MBOU "સોવેત્સ્કાયા માધ્યમિક શાળા નંબર 1", 11 મા ધોરણ, શહેર. સોવિયેત સોવેત્સ્કી જિલ્લો

ગુન્કો લ્યુડમિલા દિમિત્રીવના, મ્યુનિસિપલ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા "સોવેત્સ્કાયા માધ્યમિક શાળા નંબર 1" ના શિક્ષક

સોવેત્સ્કી જિલ્લો

કાર્યનો હેતુ:બિન-માનક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણક અસમાનતા C3 ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિનો અભ્યાસ, ઓળખ રસપ્રદ તથ્યોલઘુગણક

સંશોધનનો વિષય:

3) બિન-માનક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વિશિષ્ટ લઘુગણક અસમાનતા C3 ઉકેલવાનું શીખો.

પરિણામો:

સામગ્રી

પરિચય………………………………………………………………………………….4

પ્રકરણ 1. મુદ્દાનો ઈતિહાસ……………………………………………………….5

પ્રકરણ 2. લઘુગણક અસમાનતાઓનો સંગ્રહ ……………………… 7

2.1. સમકક્ષ સંક્રમણો અને સામાન્યકૃત અંતરાલ પદ્ધતિ…………… 7

2.2. તર્કસંગત પદ્ધતિ……………………………………………………………… 15

2.3. બિન-માનક અવેજી……………………………………………… ............ ..... 22

2.4. ફાંસો સાથેના કાર્યો………………………………………………27

નિષ્કર્ષ……………………………………………………………………………… 30

સાહિત્ય ………………………………………………………………. 31

પરિચય

હું 11મા ધોરણમાં છું અને જ્યાં યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશવાની યોજના કરું છું વિશિષ્ટ વિષયગણિત છે. તેથી જ હું ભાગ C ની સમસ્યાઓ સાથે ઘણું કામ કરું છું. કાર્ય C3 માં તમારે હલ કરવાની જરૂર છે બિન-માનક અસમાનતાઅથવા અસમાનતાની સિસ્ટમ, સામાન્ય રીતે લઘુગણક સાથે સંકળાયેલ. પરીક્ષાની તૈયારી કરતી વખતે, C3 માં ઓફર કરાયેલ પરીક્ષા લઘુગણક અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ અને તકનીકોની અછતની સમસ્યાનો મને સામનો કરવો પડ્યો. જે પદ્ધતિઓમાં અભ્યાસ કરવામાં આવે છે શાળા અભ્યાસક્રમઆ વિષય પર, C3 કાર્યોને ઉકેલવા માટેનો આધાર પ્રદાન કરશો નહીં. ગણિત શિક્ષકે સૂચવ્યું કે હું તેમના માર્ગદર્શન હેઠળ C3 સોંપણીઓ પર સ્વતંત્ર રીતે કામ કરું. વધુમાં, મને પ્રશ્નમાં રસ હતો: શું આપણે આપણા જીવનમાં લઘુગણકનો સામનો કરીએ છીએ?

આને ધ્યાનમાં રાખીને, વિષય પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો:

"યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં લઘુગણક અસમાનતા"

કાર્યનો હેતુ:બિન-માનક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને C3 સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિનો અભ્યાસ, લઘુગણક વિશે રસપ્રદ તથ્યો ઓળખવા.

સંશોધનનો વિષય:

1) શોધો જરૂરી માહિતીઓ બિન-માનક પદ્ધતિઓલઘુગણક અસમાનતાના ઉકેલો.

2) શોધો વધારાની માહિતીલઘુગણક વિશે.

3) નક્કી કરવાનું શીખો ચોક્કસ કાર્યોબિન-માનક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને C3.

પરિણામો:

વ્યવહારુ મહત્વ C3 સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેના ઉપકરણના વિસ્તરણમાં રહેલું છે. આ સામગ્રીનો ઉપયોગ કેટલાક પાઠોમાં, ક્લબ માટે, અભ્યાસેતર પ્રવૃત્તિઓગણિતમાં.

પ્રોજેક્ટ ઉત્પાદન "સોલ્યુશન્સ સાથે C3 લોગરીધમિક અસમાનતા" સંગ્રહ હશે.

પ્રકરણ 1. પૃષ્ઠભૂમિ

સમગ્ર 16મી સદી દરમિયાન, અંદાજિત ગણતરીઓની સંખ્યામાં ઝડપથી વધારો થયો, મુખ્યત્વે ખગોળશાસ્ત્રમાં. સાધનોમાં સુધારો કરવો, ગ્રહોની ગતિવિધિઓનો અભ્યાસ કરવો અને અન્ય કાર્ય પ્રચંડ, કેટલીકવાર ઘણા વર્ષો, ગણતરીઓ જરૂરી છે. ખગોળશાસ્ત્ર અધૂરી ગણતરીઓમાં ડૂબી જવાના વાસ્તવિક જોખમમાં હતું. અન્ય ક્ષેત્રોમાં મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ, ઉદાહરણ તરીકે, વીમા વ્યવસાયમાં, કોષ્ટકોની જરૂર હતી ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજમાટે વિવિધ અર્થોટકા મુખ્ય મુશ્કેલી ગુણાકાર, ભાગાકાર હતી બહુ-અંકની સંખ્યાઓ, ખાસ કરીને ત્રિકોણમિતિની માત્રા.

લઘુગણકની શોધ એ પ્રગતિના ગુણધર્મો પર આધારિત હતી જે 16મી સદીના અંત સુધીમાં જાણીતી હતી. સભ્યો વચ્ચેના જોડાણ વિશે ભૌમિતિક પ્રગતિ q, q2, q3, ... અને અંકગણિત પ્રગતિતેમના સૂચકાંકો છે 1, 2, 3,... આર્કિમિડીસે તેના "સાલ્મિટીસ" માં વાત કરી હતી. બીજી પૂર્વશરત એ ડિગ્રીની વિભાવનાને નકારાત્મક અને વિસ્તરણની હતી અપૂર્ણાંક સૂચકાંકો. ઘણા લેખકોએ ધ્યાન દોર્યું છે કે ભૌમિતિક પ્રગતિમાં ગુણાકાર, ભાગાકાર, ઘાત અને મૂળ નિષ્કર્ષણ અંકગણિતમાં અનુરૂપ છે - સમાન ક્રમમાં - સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર.

અહીં ઘાતાંક તરીકે લઘુગણકનો વિચાર હતો.

લઘુગણકના સિદ્ધાંતના વિકાસના ઇતિહાસમાં, ઘણા તબક્કાઓ પસાર થયા છે.

સ્ટેજ 1

સ્કોટિશ બેરોન નેપિયર (1550-1617) અને દસ વર્ષ પછી સ્વિસ મિકેનિક બર્ગી (1552-1632) દ્વારા સ્વતંત્ર રીતે 1594 પછી લઘુગણકની શોધ કરવામાં આવી હતી. બંને એક નવું અનુકૂળ માધ્યમ આપવા માંગતા હતા અંકગણિત ગણતરીઓ, જો કે તેઓ આ કાર્યને અલગ રીતે સંપર્ક કરે છે. નેપિયરે ગતિશીલ રીતે લઘુગણક કાર્યને વ્યક્ત કર્યું અને તેના દ્વારા પ્રવેશ કર્યો નવો વિસ્તારકાર્ય સિદ્ધાંત. બર્ગી સ્વતંત્ર પ્રગતિને ધ્યાનમાં લેવાના આધારે રહ્યા. જો કે, બંને માટે લઘુગણકની વ્યાખ્યા આધુનિક સમાન નથી. શબ્દ "લોગરીધમ" (લોગરીધમસ) નેપિયરનો છે. તે સંયોજનમાંથી ઉદ્ભવ્યું ગ્રીક શબ્દો: લોગો - "સંબંધ" અને અરિકમો - "સંખ્યા", જેનો અર્થ "સંબંધોની સંખ્યા" થાય છે. શરૂઆતમાં નેપિયરે એક અલગ શબ્દનો ઉપયોગ કર્યો: numeri artificiales- " કૃત્રિમ સંખ્યાઓ", સંખ્યાત્મક પ્રાકૃતિકતાના વિરોધમાં - "કુદરતી સંખ્યાઓ".

1615માં, લંડનની ગ્રેશ કૉલેજમાં ગણિતના પ્રોફેસર હેનરી બ્રિગ્સ (1561-1631) સાથેની વાતચીતમાં, નેપિયરે શૂન્યને એકના લઘુગણક તરીકે અને 100ને દસના લઘુગણક તરીકે લેવાની દરખાસ્ત કરી હતી, અથવા, સમાન વસ્તુનું પ્રમાણ શું છે. , ખાલી 1. આ રીતે તેઓ દેખાયા દશાંશ લઘુગણકઅને પ્રથમ લઘુગણક કોષ્ટકો છાપવામાં આવ્યા હતા. પાછળથી, ડચ પુસ્તક વિક્રેતા અને ગણિતના ઉત્સાહી એડ્રિયન ફ્લેકસ (1600-1667) દ્વારા બ્રિગ્સના કોષ્ટકોને પૂરક બનાવવામાં આવ્યા હતા. નેપિયર અને બ્રિગ્સ, જો કે તેઓ બીજા બધા કરતા વહેલા લઘુગણક પર આવ્યા હતા, તેમ છતાં તેઓ તેમના કોષ્ટકો અન્ય કરતા પાછળથી પ્રકાશિત કર્યા - 1620 માં. ચિહ્નો લોગ અને લોગ 1624 માં આઇ. કેપ્લર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યા હતા. "કુદરતી લઘુગણક" શબ્દ 1659માં મેંગોલી દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને ત્યારબાદ 1668માં એન. મર્કેટર દ્વારા અને લંડનના શિક્ષક જોન સ્પીડેલે "ન્યૂ લોગરીધમ્સ" નામ હેઠળ 1 થી 1000 સુધીની સંખ્યાઓના કુદરતી લઘુગણકના કોષ્ટકો પ્રકાશિત કર્યા હતા.

પ્રથમ લઘુગણક કોષ્ટકો 1703 માં રશિયનમાં પ્રકાશિત થયા હતા. પરંતુ બધામાં લઘુગણક કોષ્ટકોગણતરીમાં ભૂલો કરવામાં આવી હતી. જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કે. બ્રેમીકર (1804-1877) દ્વારા પ્રક્રિયા કરાયેલ પ્રથમ ભૂલ-મુક્ત કોષ્ટકો 1857 માં બર્લિનમાં પ્રકાશિત કરવામાં આવી હતી.

સ્ટેજ 2

લોગરીધમના સિદ્ધાંતનો વધુ વિકાસ વ્યાપક એપ્લિકેશન સાથે સંકળાયેલ છે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિઅને અનંત કલન. તે સમય સુધીમાં, સમભુજ હાઇપરબોલાના વર્ગીકરણ અને વચ્ચેનું જોડાણ કુદરતી લઘુગણક. આ સમયગાળાના લઘુગણકનો સિદ્ધાંત સંખ્યાબંધ ગણિતશાસ્ત્રીઓના નામ સાથે સંકળાયેલો છે.

જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી, ખગોળશાસ્ત્રી અને એન્જિનિયર નિકોલોસ મર્કેટર તેમના નિબંધમાં

"લોગરીથમોટેકનિક્સ" (1668) ln(x+1) નું વિસ્તરણ આપતી શ્રેણી આપે છે

x ની શક્તિઓ:

આ અભિવ્યક્તિ તેના વિચારના માર્ગને બરાબર અનુરૂપ છે, જોકે તેણે, અલબત્ત, ચિહ્નો ડી, ..., પરંતુ વધુ બોજારૂપ પ્રતીકવાદનો ઉપયોગ કર્યો નથી. લઘુગણક શ્રેણીની શોધ સાથે, લઘુગણકની ગણતરી કરવાની તકનીક બદલાઈ ગઈ: તેઓ અનંત શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને નિર્ધારિત થવા લાગ્યા. તેમના પ્રવચનોમાં" પ્રાથમિક ગણિતસાથે સર્વોચ્ચ બિંદુદ્રષ્ટિ", 1907-1908માં વાંચવામાં આવ્યું હતું, એફ. ક્લેઇને લઘુગણકના સિદ્ધાંતના નિર્માણ માટે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવાની દરખાસ્ત કરી હતી.

સ્ટેજ 3

વ્યાખ્યા લઘુગણક કાર્યવ્યસ્ત કાર્ય તરીકે

ઘાતાંકીય, આપેલ આધારના ઘાતાંક તરીકે લઘુગણક

તરત જ ઘડવામાં આવ્યું ન હતું. લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા નિબંધ (1707-1783)

"ઇન્ટ્રોડક્શન ટુ ધ એનાલિસિસ ઓફ ઇન્ફિનિટેસિમલ્સ" (1748) એ આગળ કામ કર્યું

લઘુગણક કાર્યોના સિદ્ધાંતનો વિકાસ. આમ,

લોગરીધમ પહેલીવાર રજૂ થયાને 134 વર્ષ વીતી ગયા છે

(1614 થી ગણતરી), ગણિતશાસ્ત્રીઓ વ્યાખ્યામાં આવ્યા તે પહેલાં

લઘુગણકનો ખ્યાલ, જે હવે શાળા અભ્યાસક્રમનો આધાર છે.

પ્રકરણ 2. લઘુગણક અસમાનતાઓનો સંગ્રહ

2.1. સમકક્ષ સંક્રમણો અને અંતરાલોની સામાન્યકૃત પદ્ધતિ.

સમકક્ષ સંક્રમણો

, જો a > 1

, જો 0 < а < 1

સામાન્ય અંતરાલ પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિલગભગ કોઈપણ પ્રકારની અસમાનતાઓને ઉકેલવા માટે સૌથી વધુ સાર્વત્રિક. સોલ્યુશન ડાયાગ્રામ આના જેવો દેખાય છે:

1. અસમાનતાને એવા સ્વરૂપમાં લાવો જ્યાં ડાબી બાજુનું કાર્ય છે
, અને જમણી બાજુએ 0.

2. ફંક્શનનું ડોમેન શોધો
.

3. ફંક્શનના શૂન્ય શોધો
, એટલે કે સમીકરણ ઉકેલો
(અને સમીકરણ ઉકેલવું એ અસમાનતાને ઉકેલવા કરતાં સામાન્ય રીતે સરળ છે).

4. સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાનું ડોમેન અને કાર્યના શૂન્ય દોરો.

5. કાર્યના સંકેતો નક્કી કરો
પ્રાપ્ત અંતરાલો પર.

6. જ્યાં ફંક્શન લે છે તે અંતરાલ પસંદ કરો જરૂરી મૂલ્યો, અને જવાબ લખો.

ઉદાહરણ 1.

ઉકેલ:

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરીએ

જ્યાં

આ મૂલ્યો માટે, લઘુગણક ચિહ્નો હેઠળના તમામ અભિવ્યક્તિઓ હકારાત્મક છે.

જવાબ:

ઉદાહરણ 2.

ઉકેલ:

1લી માર્ગ . ADL અસમાનતા દ્વારા નક્કી થાય છે x> 3. આવા માટે લઘુગણક લેવું xબેઝ 10 પર, આપણને મળે છે

છેલ્લી અસમાનતા વિસ્તરણ નિયમો લાગુ કરીને ઉકેલી શકાય છે, એટલે કે. પરિબળોને શૂન્ય સાથે સરખાવી. જો કે, માં આ કિસ્સામાંફંક્શનના સતત સંકેતના અંતરાલો નક્કી કરવા માટે સરળ

તેથી, અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરી શકાય છે.

કાર્ય f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ પર સતત છે x> 3 અને પોઈન્ટ પર અદૃશ્ય થઈ જાય છે x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. આમ, આપણે ફંક્શનના સતત ચિહ્નના અંતરાલો નક્કી કરીએ છીએ f(x):

જવાબ:

2જી પદ્ધતિ . ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિના વિચારોને મૂળ અસમાનતા પર સીધો લાગુ કરીએ.

આ કરવા માટે, યાદ રાખો કે અભિવ્યક્તિઓ a b- a c અને ( a - 1)(b- 1) એક ચિહ્ન છે. પછી અમારી અસમાનતા પર x> 3 અસમાનતાની સમકક્ષ છે

અથવા

છેલ્લી અસમાનતા અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલવામાં આવે છે

જવાબ:

ઉદાહરણ 3.

ઉકેલ:

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરીએ

જવાબ:

ઉદાહરણ 4.

ઉકેલ:

2 થી x 2 - 3xબધા વાસ્તવિક માટે + 3 > 0 x, તે

બીજી અસમાનતાને ઉકેલવા માટે આપણે અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

પ્રથમ અસમાનતામાં આપણે રિપ્લેસમેન્ટ કરીએ છીએ

પછી આપણે અસમાનતા 2y 2 પર આવીએ છીએ - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, જે અસમાનતાને સંતોષે છે -0.5< y < 1.

ક્યાંથી, કારણ કે

અમને અસમાનતા મળે છે

જે જ્યારે હાથ ધરવામાં આવે છે x, જેના માટે 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

હવે, સિસ્ટમની બીજી અસમાનતાના ઉકેલને ધ્યાનમાં લેતા, અમે આખરે મેળવીએ છીએ

જવાબ:

ઉદાહરણ 5.

ઉકેલ:

અસમાનતા એ સિસ્ટમના સંગ્રહની સમકક્ષ છે

અથવા

ચાલો અંતરાલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ અથવા

જવાબ આપો:

ઉદાહરણ 6.

ઉકેલ:

અસમાનતા સમાન સિસ્ટમ

દો

પછી y > 0,

અને પ્રથમ અસમાનતા

સિસ્ટમ સ્વરૂપ લે છે

અથવા, પ્રગટ થવું

ચતુર્ભુજ ત્રિપદીપરિબળો દ્વારા,

છેલ્લી અસમાનતા પર અંતરાલ પદ્ધતિ લાગુ કરવી,

આપણે જોઈએ છીએ કે તેના ઉકેલો સ્થિતિને સંતોષે છે y> 0 બધા હશે y > 4.

આમ, મૂળ અસમાનતા સિસ્ટમની સમકક્ષ છે:

તેથી, અસમાનતાના ઉકેલો બધા છે

2.2. તર્કસંગત પદ્ધતિ.

અગાઉ, અસમાનતા તર્કસંગત પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને હલ કરવામાં આવી ન હતી તે જાણીતું ન હતું. આ છે "નવું આધુનિક" અસરકારક પદ્ધતિઘાતાંકીય અને લઘુગણક અસમાનતાના ઉકેલો" (S.I. Kolesnikova દ્વારા પુસ્તકમાંથી અવતરણ)
અને જો શિક્ષક તેને ઓળખે તો પણ એક ડર હતો - શું તે તેને ઓળખે છે? યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા નિષ્ણાત, તેઓ તેને શાળામાં શા માટે આપતા નથી? એવી પરિસ્થિતિઓ હતી જ્યારે શિક્ષકે વિદ્યાર્થીને કહ્યું: "તમને તે ક્યાંથી બેસો - 2."
હવે દરેક જગ્યાએ પદ્ધતિનો પ્રચાર કરવામાં આવી રહ્યો છે. અને નિષ્ણાતો માટે છે માર્ગદર્શિકાઆ પદ્ધતિથી સંબંધિત, અને "સૌથી વધુ સંપૂર્ણ આવૃત્તિઓમાં લાક્ષણિક વિકલ્પો..." ઉકેલ C3 આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરે છે.
અદ્ભુત પદ્ધતિ!

"મેજિક ટેબલ"

અન્ય સ્ત્રોતોમાં

જો a >1 અને b >1, પછી લોગ કરો a b >0 અને (a -1)(b -1)>0;

જો a >1 અને 0

જો 0<a<1 и b >1, પછી લોગ a b<0 и (a -1)(b -1)<0;