તમે સેટ કરી શકો છો અલગ અલગ રીતે(એક બિંદુ અને એક વેક્ટર, બે બિંદુઓ અને એક વેક્ટર, ત્રણ બિંદુઓ, વગેરે). આને ધ્યાનમાં રાખીને પ્લેનનું સમીકરણ હોઈ શકે છે વિવિધ પ્રકારો. ઉપરાંત, અમુક શરતોને આધીન, વિમાનો સમાંતર, લંબરૂપ, છેદે છે, વગેરે હોઈ શકે છે. અમે આ લેખમાં આ વિશે વાત કરીશું. પ્લેન અને વધુનું સામાન્ય સમીકરણ કેવી રીતે બનાવવું તે આપણે શીખીશું.

સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ

ચાલો કહીએ કે ત્યાં એક જગ્યા R 3 છે જેમાં લંબચોરસ XYZ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ છે. ચાલો વેક્ટર α ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ, જેમાંથી મુક્ત થશે પ્રારંભિક બિંદુ O. વેક્ટર α ના અંત દ્વારા આપણે એક પ્લેન P દોરીએ છીએ, જે તેના પર લંબરૂપ હશે.

ચાલો P પરના મનસ્વી બિંદુને Q = (x, y, z) તરીકે દર્શાવીએ. ચાલો બિંદુ Q ના ત્રિજ્યા વેક્ટર પર p અક્ષર સાથે સહી કરીએ. આ કિસ્સામાં, વેક્ટર α ની લંબાઈ р=IαI અને Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) ની બરાબર છે.

આ એકમ વેક્ટર, જે વેક્ટર α ની જેમ બાજુ તરફ નિર્દેશિત થાય છે. α, β અને γ એ કોણ છે જે અનુક્રમે વેક્ટર Ʋ અને અવકાશ અક્ષોની સકારાત્મક દિશાઓ x, y, z વચ્ચે રચાય છે. વેક્ટર પર કોઈપણ બિંદુ QϵП નું પ્રક્ષેપણ Ʋ છે સતત મૂલ્ય, જે p: (p,Ʋ) = p(p≥0) ની બરાબર છે.

ઉપરના સમીકરણનો અર્થ થાય છે જ્યારે p=0. એકમાત્ર વસ્તુ એ છે કે આ કિસ્સામાં પ્લેન P બિંદુ O (α = 0) ને છેદશે, જે કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ છે, અને બિંદુ O માંથી મુક્ત થયેલ એકમ વેક્ટર Ʋ તેની દિશા હોવા છતાં, P પર લંબરૂપ હશે, જે મતલબ કે વેક્ટર Ʋ એ ચિહ્ન માટે ચોક્કસ સાથે નક્કી થાય છે. અગાઉનું સમીકરણ એ આપણા પ્લેન પીનું સમીકરણ છે, જેમાં વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું છે વેક્ટર ફોર્મ. પરંતુ કોઓર્ડિનેટ્સમાં તે આના જેવું દેખાશે:

P અહીં 0 થી મોટો અથવા બરાબર છે. અમને અવકાશમાં પ્લેનનું સમીકરણ સામાન્ય સ્વરૂપમાં મળ્યું છે.

સામાન્ય સમીકરણ

જો આપણે કોઓર્ડિનેટ્સમાં સમીકરણને શૂન્યની બરાબર ન હોય તેવી કોઈપણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ, તો આપણે આના સમકક્ષ સમીકરણ મેળવીએ છીએ, તે જ સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ. તે આના જેવો દેખાશે:

અહીં A, B, C એવી સંખ્યાઓ છે જે એક સાથે શૂન્યથી અલગ છે. આ સમીકરણને સામાન્ય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે.

વિમાનોના સમીકરણો. ખાસ કેસો

માં સમીકરણ સામાન્ય દૃશ્યજો ઉપલબ્ધ હોય તો સુધારી શકાય છે વધારાની શરતો. ચાલો તેમાંથી કેટલાકને જોઈએ.

ચાલો ધારીએ કે ગુણાંક A 0 છે. આનો અર્થ છે આપેલ વિમાનઆપેલ અક્ષ Ox ને સમાંતર. આ કિસ્સામાં, સમીકરણનું સ્વરૂપ બદલાશે: Ву+Cz+D=0.

એ જ રીતે, સમીકરણનું સ્વરૂપ નીચેની શરતો હેઠળ બદલાશે:

• પ્રથમ, જો B = 0 હોય, તો સમીકરણ Ax + Cz + D = 0 માં બદલાશે, જે Oy અક્ષની સમાંતરતા સૂચવે છે.
• બીજું, જો C=0 હોય, તો સમીકરણ Ax+By+D=0 માં રૂપાંતરિત થશે, જે આપેલ Oz અક્ષની સમાંતરતા સૂચવે છે.
• ત્રીજે સ્થાને, જો D=0, તો સમીકરણ Ax+By+Cz=0 જેવું દેખાશે, જેનો અર્થ એ થશે કે પ્લેન O (મૂળ)ને છેદે છે.
• ચોથું, જો A=B=0 હોય, તો સમીકરણ Cz+D=0 માં બદલાશે, જે ઓક્સીની સમાંતર સાબિત થશે.
• પાંચમું, જો B=C=0 હોય, તો સમીકરણ Ax+D=0 બને છે, જેનો અર્થ છે કે Oyz નું વિમાન સમાંતર છે.
• છઠ્ઠું, જો A=C=0 હોય, તો સમીકરણ Ву+D=0 સ્વરૂપ લેશે, એટલે કે, તે Oxz ને સમાંતરની જાણ કરશે.

સેગમેન્ટમાં સમીકરણનો પ્રકાર

એવા કિસ્સામાં જ્યારે સંખ્યાઓ A, B, C, D શૂન્યથી અલગ હોય, સમીકરણ (0) નું સ્વરૂપ નીચે મુજબ હોઈ શકે છે:

x/a + y/b + z/c = 1,

જેમાં a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

અમને પરિણામ મળે છે તે નોંધવું યોગ્ય છે કે આ પ્લેન કોઓર્ડિનેટ્સ (a,0,0), Oy - (0,b,0), અને Oz - (0,0,c) સાથે એક બિંદુ પર છેદશે. ).

સમીકરણ x/a + y/b + z/c = 1 ધ્યાનમાં લેતા, આપેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની તુલનામાં પ્લેનના પ્લેસમેન્ટની દૃષ્ટિની કલ્પના કરવી મુશ્કેલ નથી.

સામાન્ય વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ

સામાન્ય વેક્ટર n થી પ્લેન P માં કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે જે ગુણાંક હોય છે સામાન્ય સમીકરણઆપેલ પ્લેનનું, એટલે કે, n (A, B, C).

સામાન્ય n ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે, આપેલ પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણ જાણવું પૂરતું છે.

સેગમેન્ટમાં સમીકરણનો ઉપયોગ કરતી વખતે, જેનું સ્વરૂપ x/a + y/b + z/c = 1 હોય છે, જેમ કે સામાન્ય સમીકરણનો ઉપયોગ કરતી વખતે, તમે આપેલ સમતલના કોઈપણ સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ લખી શકો છો: (1/a + 1/b + 1/ સાથે).

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે સામાન્ય વેક્ટર વિવિધ સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મદદ કરે છે. સૌથી સામાન્ય સમસ્યાઓમાં વિમાનોની લંબરૂપતા અથવા સમાંતરતા સાબિત કરવા, વિમાનો વચ્ચેના ખૂણા અથવા વિમાનો અને સીધી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા શોધવાની સમસ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.

બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુસાર પ્લેન સમીકરણનો પ્રકાર

આપેલ પ્લેન પર લંબરૂપ ન હોય તેવા વેક્ટરને આપેલ પ્લેન માટે સામાન્ય કહેવામાં આવે છે.

ચાલો ધારીએ કે સંકલન અવકાશમાં (લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ) Oxyz આપવામાં આવે છે:

• કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે બિંદુ Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ);
• શૂન્ય વેક્ટર n=A*i+B*j+C*k.

પ્લેન માટે એક સમીકરણ બનાવવું જરૂરી છે જે બિંદુ Mₒ કાટખૂણે સામાન્ય n થી પસાર થશે.

અમે અવકાશમાં કોઈપણ મનસ્વી બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ અને તેને M (x y, z) દર્શાવીએ છીએ. કોઈપણ બિંદુ M (x,y,z) ના ત્રિજ્યા વેક્ટરને r=x*i+y*j+z*k રહેવા દો, અને બિંદુ Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* ની ત્રિજ્યા વેક્ટર i+yₒ *j+zₒ*k. જો વેક્ટર MₒM વેક્ટર n પર લંબ હોય તો પોઈન્ટ M આપેલ પ્લેનનો હશે. ચાલો સ્કેલર પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને ઓર્થોગોનાલિટી સ્થિતિ લખીએ:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ હોવાથી, પ્લેનનું વેક્ટર સમીકરણ આના જેવું દેખાશે:

આ સમીકરણનું બીજું સ્વરૂપ હોઈ શકે છે. આ કરવા માટે, સ્કેલર ઉત્પાદનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અને પરિવર્તન છે ડાબી બાજુસમીકરણો = - જો આપણે તેને c તરીકે દર્શાવીએ, તો આપણને મળે છેનીચેના સમીકરણ

:- c = 0 અથવા = c, જે સમતલ સાથે સંબંધિત આપેલા બિંદુઓના ત્રિજ્યા વેક્ટરના સામાન્ય વેક્ટર પર અનુમાનોની સ્થિરતા વ્યક્ત કરે છે. હવે તમે રેકોર્ડનું સંકલન દૃશ્ય મેળવી શકો છોવેક્ટર સમીકરણ

અમારું વિમાન = 0. કારણ કે r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, અને n = A*i+B*j+C*k, અમે અમારી પાસે છે:

તે તારણ આપે છે કે સામાન્ય n પર લંબરૂપ બિંદુમાંથી પસાર થતા પ્લેન માટે આપણી પાસે એક સમીકરણ છે:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ અને સમતલમાં વેક્ટર સમકક્ષ અનુસાર સમતલ સમીકરણનો પ્રકાર

ચાલો આપણે બે મનસ્વી બિંદુઓ M′ (x′,y′,z′) અને M″ (x″,y″,z″), તેમજ વેક્ટર a (a′,a″,a‴) ને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. હવે આપણે આપેલ પ્લેન માટે એક સમીકરણ બનાવી શકીએ છીએ, જે હાલના બિંદુઓ M′ અને M″માંથી પસાર થશે, તેમજ સમાંતરમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (x, y, z) સાથે કોઈપણ બિંદુ M.આપેલ વેક્ટર

એ.

આ કિસ્સામાં, વેક્ટર M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) અને M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) વેક્ટર સાથે કોપ્લાનર હોવા જોઈએ a=(a′,a″,a‴), જેનો અર્થ થાય છે કે (M′M, M″M, a)=0.

તેથી, અવકાશમાં આપણું પ્લેન સમીકરણ આના જેવું દેખાશે:

ત્રણ બિંદુઓને છેદતા વિમાનના સમીકરણનો પ્રકાર

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે ત્રણ બિંદુઓ છે: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), જે સમાન રેખાથી સંબંધિત નથી. આપેલ ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ લખવું જરૂરી છે. ભૂમિતિનો સિદ્ધાંત દાવો કરે છે કે આ પ્રકારનું વિમાન ખરેખર અસ્તિત્વમાં છે, પરંતુ તે એકમાત્ર અને અનન્ય છે. આ પ્લેન બિંદુ (x′,y′,z′) ને છેદે છે, તેના સમીકરણનું સ્વરૂપ નીચે મુજબ હશે:

અહીં A, B, C એક જ સમયે શૂન્યથી અલગ છે. ઉપરાંત, આપેલ પ્લેન વધુ બે બિંદુઓને છેદે છે: (x″,y″,z″) અને (x‴,y‴,z‴). આ સંદર્ભે, નીચેની શરતો પૂરી કરવી આવશ્યક છે: હવે આપણે કંપોઝ કરી શકીએ છીએસજાતીય સિસ્ટમ

અજાણ્યા u, v, w સાથે: અમારા માંઅથવા z બહાર નીકળે છે મનસ્વી બિંદુ, જે સમીકરણને સંતોષે છે (1). સમીકરણ (1) અને સમીકરણોની સિસ્ટમ (2) અને (3) જોતાં, ઉપરની આકૃતિમાં દર્શાવેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ વેક્ટર N (A,B,C) દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે, જે બિન-તુચ્છ છે. તેથી જ આ સિસ્ટમનો નિર્ધારક શૂન્ય સમાન છે.

સમીકરણ (1) જે આપણે મેળવ્યું છે તે પ્લેનનું સમીકરણ છે. તે બરાબર 3 પોઈન્ટમાંથી પસાર થાય છે, અને આ તપાસવું સરળ છે. આ કરવા માટે, આપણે પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોમાં અમારા નિર્ણાયકને વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે. નિર્ણાયકના હાલના ગુણધર્મો પરથી તે અનુસરે છે કે આપણું પ્લેન એક સાથે ત્રણ પ્રારંભિક આપેલા બિંદુઓ (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ને છેદે છે. . એટલે કે, અમને સોંપેલ કાર્ય અમે ઉકેલી લીધું છે.

વિમાનો વચ્ચે ડિહેડ્રલ કોણ

ડાઇહેડ્રલ કોણ અવકાશીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે ભૌમિતિક આકૃતિ, બે અર્ધ-વિમાન દ્વારા રચાય છે જે એક સીધી રેખામાંથી નીકળે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ અવકાશનો તે ભાગ છે જે આ અર્ધ-વિમાન દ્વારા મર્યાદિત છે.

ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે નીચેના સમીકરણો સાથે બે વિમાનો છે:

આપણે જાણીએ છીએ કે વેક્ટર્સ N=(A,B,C) અને N¹=(A¹,B¹,C¹) કાટખૂણે છે. આપેલ વિમાનો. આ સંદર્ભમાં, વેક્ટર્સ N અને N¹ વચ્ચેનો કોણ φ આ વિમાનો વચ્ચે સ્થિત કોણ (ડાઇહેડ્રલ) જેટલો છે. ડોટ ઉત્પાદનફોર્મ ધરાવે છે:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

ચોક્કસ કારણ કે

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

તે ધ્યાનમાં લેવા માટે પૂરતું છે કે 0≤φ≤π.

વાસ્તવમાં, બે વિમાનો કે જે એકબીજાને છેદે છે બે ખૂણાઓ (ડાઇહેડ્રલ): φ 1 અને φ 2. તેમનો સરવાળો π (φ 1 + φ 2 = π) ની બરાબર છે. તેમના કોસાઇન્સ માટે, તેમના સંપૂર્ણ મૂલ્યો સમાન છે, પરંતુ તેઓ ચિહ્નમાં અલગ છે, એટલે કે, cos φ 1 = -cos φ 2. જો સમીકરણ (0) માં આપણે A, B અને C ને અનુક્રમે -A, -B અને -C નંબરો સાથે બદલીએ, તો આપણને જે સમીકરણ મળે છે તે સમાન સમીકરણ, એકમાત્ર, કોણ φ માં નક્કી કરશે. cos સમીકરણφ=NN 1 /|N||N 1 | π-φ દ્વારા બદલવામાં આવશે.

કાટખૂણે સમીકરણ

પ્લેન કે જેની વચ્ચે કોણ 90 ડિગ્રી હોય તેને લંબ કહેવામાં આવે છે. ઉપર પ્રસ્તુત સામગ્રીનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બીજા સમતલનું લંબરૂપ સમીકરણ શોધી શકીએ છીએ. ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે બે વિમાનો છે: Ax+By+Cz+D=0 અને A¹x+B¹y+C¹z+D=0. આપણે કહી શકીએ કે તેઓ લંબ હશે જો cosφ=0. આનો અર્થ છે કે NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

સમાંતર પ્લેન સમીકરણ

બે વિમાનો જેમાં સામાન્ય બિંદુઓ નથી હોતા તેને સમાંતર કહેવામાં આવે છે.

શરત (તેમના સમીકરણો અગાઉના ફકરામાં સમાન છે) એ છે કે વેક્ટર N અને N¹, જે તેમને લંબરૂપ છે, સમરેખા છે. અને આનો અર્થ એ છે કે તેઓ પરિપૂર્ણ થયા છે નીચેની શરતોપ્રમાણસરતા:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

જો પ્રમાણસરતાની સ્થિતિ વિસ્તૃત કરવામાં આવે તો - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

આ સૂચવે છે કે આ વિમાનો એકરુપ છે. આનો અર્થ એ છે કે Ax+By+Cz+D=0 અને A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 સમીકરણો એક વિમાનનું વર્ણન કરે છે.

બિંદુથી વિમાનનું અંતર

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે પ્લેન P છે, જે સમીકરણ (0) દ્વારા આપવામાં આવે છે. કોઓર્ડિનેટ્સ (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ સાથે બિંદુથી તેનું અંતર શોધવાનું જરૂરી છે. આ કરવા માટે, તમારે પ્લેન P ના સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપમાં લાવવાની જરૂર છે:

(ρ,v)=р (р≥0).

IN આ કિસ્સામાંρ (x,y,z) એ P પર સ્થિત આપણા બિંદુ Q નું ત્રિજ્યા વેક્ટર છે, p એ કાટખૂણે P ની લંબાઈ છે જેમાંથી મુક્ત કરવામાં આવી હતી. શૂન્ય બિંદુ, v એ એકમ વેક્ટર છે, જે a દિશામાં સ્થિત છે.

અમુક બિંદુ Q = (x, y, z) નો તફાવત ρ-ρº ત્રિજ્યા વેક્ટર, P થી સંબંધિત છે, તેમજ આપેલ બિંદુ Q 0 = (xₒ, yₒ, zₒ) ના ત્રિજ્યા વેક્ટર એ આવા વેક્ટર છે, સંપૂર્ણ મૂલ્યજેનું v પરનું પ્રક્ષેપણ d જેટલું અંતર છે, જેને Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) થી P સુધી શોધવાની જરૂર છે:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, પરંતુ

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)

તેથી તે બહાર વળે છે

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

તેથી અમે શોધીશું સંપૂર્ણ મૂલ્યપરિણામી અભિવ્યક્તિ, એટલે કે, ઇચ્છિત ડી.

પરિમાણ ભાષાનો ઉપયોગ કરીને, અમને સ્પષ્ટ મળે છે:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

જો સેટ પોઈન્ટ Q 0 એ સમતલ P ની બીજી બાજુએ છે, જેમ કે કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ, પછી વેક્ટર ρ-ρ 0 અને v વચ્ચે સ્થિત છે તેથી:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે બિંદુ Q 0, કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે, P ની સમાન બાજુ પર સ્થિત હોય, તો બનાવેલ કોણ તીવ્ર છે, એટલે કે:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

પરિણામે, તે તારણ આપે છે કે પ્રથમ કિસ્સામાં (ρ 0 ,v)>р, બીજામાં (ρ 0 ,v)<р.

ટેન્જેન્ટ પ્લેન અને તેનું સમીકરણ

Mº સંપર્કના બિંદુએ સપાટી પરનો સ્પર્શક સમતલ એ સપાટી પરના આ બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવેલા વળાંકો માટેના તમામ સંભવિત સ્પર્શકો ધરાવતું વિમાન છે.

આ પ્રકારના સપાટીના સમીકરણ સાથે F(x,y,z)=0, સ્પર્શક બિંદુ Mº(xº,yº,zº) પરના સ્પર્શક સમીકરણ આના જેવું દેખાશે:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

જો તમે સપાટીને સ્પષ્ટ સ્વરૂપમાં z=f (x,y) નો ઉલ્લેખ કરો છો, તો સમીકરણ દ્વારા સ્પર્શક સમતલનું વર્ણન કરવામાં આવશે:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

બે વિમાનોનું આંતરછેદ

કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં (લંબચોરસ) Oxyz સ્થિત છે, બે પ્લેન П′ અને П″ આપવામાં આવ્યા છે, જે એકબીજાને છેદે છે અને એકરૂપ થતા નથી. લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં સ્થિત કોઈપણ પ્લેન સામાન્ય સમીકરણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, તેથી અમે ધારીશું કે P′ અને P″ સમીકરણો A′x+B′y+C′z+D′=0 અને A″x દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે. +B″y+ С″z+D″=0. આ કિસ્સામાં, અમારી પાસે પ્લેન P′ નો સામાન્ય n′ (A′,B′,C′) અને પ્લેન P″ નો સામાન્ય n″ (A″,B″,C″) છે. આપણા વિમાનો સમાંતર ન હોવાથી અને એકરૂપ થતા નથી, તેથી આ વેક્ટર સમરેખા નથી. ગણિતની ભાષાનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આ સ્થિતિને નીચે પ્રમાણે લખી શકીએ: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′ અને P″ ના આંતરછેદ પર આવેલી સીધી રેખાને a અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરવા દો, આ કિસ્સામાં a = P′ ∩ P″.

a એ એક સીધી રેખા છે જેમાં (સામાન્ય) વિમાનો P′ અને P″ ના તમામ બિંદુઓના સમૂહનો સમાવેશ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે રેખા a સાથે જોડાયેલા કોઈપણ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ એકસાથે A′x+B′y+C′z+D′=0 અને A″x+B″y+C″z+D″=0 સમીકરણોને સંતોષવા જોઈએ. . આનો અર્થ એ છે કે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ એ નીચેની સમીકરણોની સિસ્ટમનો આંશિક ઉકેલ હશે:

પરિણામે, તે તારણ આપે છે કે સમીકરણોની આ સિસ્ટમનો (સામાન્ય) ઉકેલ રેખાના દરેક બિંદુઓના સંકલનને નિર્ધારિત કરશે, જે P′ અને P″ ના આંતરછેદ બિંદુ તરીકે કાર્ય કરશે અને સીધી રેખા નક્કી કરશે. a અવકાશમાં ઓક્સિઝ (લંબચોરસ) સંકલન પ્રણાલીમાં.

અવકાશમાં કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા એક વિમાન દોરવા માટે, તે જરૂરી છે કે આ બિંદુઓ સમાન સીધી રેખા પર ન હોય.

સામાન્ય કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) બિંદુઓને ધ્યાનમાં લો.

એક મનસ્વી બિંદુ M(x, y, z) બિંદુ M 1, M 2, M 3 સાથે સમાન પ્લેનમાં સૂવા માટે, તે જરૂરી છે કે વેક્ટર કોપ્લાનર હોય.

(
) = 0

આમ,

ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ:

પ્લેનને બે પોઈન્ટ અને વેક્ટર કોલિનિયર આપેલ પ્લેનનું સમીકરણ.

બિંદુઓ M 1 (x 1,y 1,z 1), M 2 (x 2,y 2,z 2) અને વેક્ટર આપવા દો
.

ચાલો આપેલ બિંદુઓ M 1 અને M 2માંથી પસાર થતા પ્લેન અને વેક્ટરની સમાંતર એક મનસ્વી બિંદુ M (x, y, z) માટે સમીકરણ બનાવીએ. .

વેક્ટર્સ
અને વેક્ટર
કોપ્લાનર હોવું જોઈએ, એટલે કે

(
) = 0

પ્લેન સમીકરણ:

એક બિંદુ અને બે વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને પ્લેનનું સમીકરણ,

પ્લેન સાથે સમરેખા.

બે વેક્ટર આપવા દો
અને
, સમરેખા વિમાનો. પછી પ્લેન સાથે જોડાયેલા મનસ્વી બિંદુ M(x, y, z) માટે, વેક્ટર
કોપ્લાનર હોવું જોઈએ.

પ્લેન સમીકરણ:

બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટર દ્વારા પ્લેનનું સમીકરણ .

પ્રમેય. જો અવકાશમાં બિંદુ M આપવામાં આવે છે 0 (એક્સ 0 , વાય 0 , z 0 ), પછી બિંદુ M માંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ 0 સામાન્ય વેક્ટરને લંબરૂપ (એ, બી, સી) ફોર્મ ધરાવે છે:

એ(x – x 0 ) + બી(y – y 0 ) + સી(z – z 0 ) = 0.

પુરાવો. પ્લેન સાથે જોડાયેલા મનસ્વી બિંદુ M(x, y, z) માટે, આપણે વેક્ટર કંપોઝ કરીએ છીએ. કારણ કે વેક્ટર સામાન્ય વેક્ટર છે, પછી તે પ્લેન પર લંબ છે, અને તેથી, વેક્ટર પર લંબ છે
. પછી સ્કેલર ઉત્પાદન

= 0

આમ, આપણે પ્લેનનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

સેગમેન્ટમાં પ્લેનનું સમીકરણ.

જો સામાન્ય સમીકરણ Ax + Bi + Cz + D = 0 માં આપણે બંને બાજુઓને (-D) વડે વિભાજીત કરીએ છીએ.

,

બદલી રહ્યા છે
, અમે સેગમેન્ટ્સમાં પ્લેનનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

સંખ્યાઓ a, b, c અનુક્રમે x, y, z અક્ષો સાથે સમતલના આંતરછેદ બિંદુઓ છે.

વેક્ટર સ્વરૂપમાં પ્લેનનું સમીકરણ.

જ્યાં

- વર્તમાન બિંદુ M(x, y, z) ની ત્રિજ્યા વેક્ટર,

કાટખૂણેની દિશા ધરાવતું એકમ વેક્ટર મૂળમાંથી પ્લેન પર પડ્યું.

,  અને  એ આ વેક્ટર દ્વારા x, y, z અક્ષો સાથે બનેલા ખૂણા છે.

p એ આ કાટખૂણેની લંબાઈ છે.

કોઓર્ડિનેટ્સમાં, આ સમીકરણ આના જેવું દેખાય છે:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

એક બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર.

મનસ્વી બિંદુ M 0 (x 0, y 0, z 0) થી પ્લેન Ax+By+Cz+D=0 સુધીનું અંતર છે:

ઉદાહરણ.પ્લેનનું સમીકરણ શોધો, એ જાણીને કે બિંદુ P(4; -3; 12) એ મૂળથી આ સમતલ પર પડેલા લંબનો આધાર છે.

તેથી A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

A(x - x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

ઉદાહરણ. P(2; 0; -1) અને બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનનું સમીકરણ શોધો

Q(1; -1; 3) પ્લેન 3x + 2y – z + 5 = 0 પર લંબ છે.

પ્લેન માટે સામાન્ય વેક્ટર 3x + 2y – z + 5 = 0
ઇચ્છિત વિમાનની સમાંતર.

અમને મળે છે:

ઉદાહરણ. A(2, -1, 4) અને બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ શોધો

B(3, 2, -1) પ્લેન પર લંબ છે એક્સ + ખાતે + 2z – 3 = 0.

પ્લેનના જરૂરી સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: A x+બી y+C z+ D = 0, આ પ્લેન માટે સામાન્ય વેક્ટર (A, B, C). વેક્ટર
(1, 3, -5) પ્લેનની છે. અમને આપવામાં આવેલ પ્લેન, ઇચ્છિત એકને લંબરૂપ, સામાન્ય વેક્ટર ધરાવે છે (1, 1, 2). કારણ કે પોઈન્ટ A અને B બંને પ્લેનથી સંબંધિત છે, અને પછી પ્લેન પરસ્પર લંબ છે

તેથી સામાન્ય વેક્ટર (11, -7, -2). કારણ કે બિંદુ A ઇચ્છિત પ્લેનનો છે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ આ પ્લેનના સમીકરણને સંતોષવા જોઈએ, એટલે કે. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

કુલ મળીને, આપણને પ્લેનનું સમીકરણ મળે છે: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

ઉદાહરણ.પ્લેનનું સમીકરણ શોધો, એ જાણીને કે બિંદુ P(4, -3, 12) એ મૂળથી આ સમતલ પર પડેલા લંબનો આધાર છે.

સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવી
= (4, -3, 12). પ્લેનના જરૂરી સમીકરણમાં ફોર્મ છે: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. ગુણાંક D શોધવા માટે, અમે સમીકરણમાં બિંદુ P ના કોઓર્ડિનેટ્સ બદલીએ છીએ:

16 + 9 + 144 + D = 0

કુલ મળીને, આપણને જરૂરી સમીકરણ મળે છે: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

ઉદાહરણ.પિરામિડના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવ્યા છે: A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

ધાર A 1 A 2 ની લંબાઈ શોધો.

ધાર A 1 A 2 અને A 1 A 4 વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધાર A 1 A 4 અને ચહેરા A 1 A 2 A 3 વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

પહેલા આપણે A 1 A 2 A 3 ચહેરા પર સામાન્ય વેક્ટર શોધીએ છીએ વેક્ટરના ક્રોસ પ્રોડક્ટ તરીકે
અને
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

ચાલો સામાન્ય વેક્ટર અને વેક્ટર વચ્ચેનો કોણ શોધીએ
.

-4 – 4 = -8.

વેક્ટર અને પ્લેન વચ્ચેનો ઇચ્છિત કોણ  = 90 0 -  બરાબર હશે.

A 1 A 2 A 3 ચહેરાનો વિસ્તાર શોધો.

પિરામિડનું પ્રમાણ શોધો.

વિમાન A 1 A 2 A 3 નું સમીકરણ શોધો.

ચાલો ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનના સમીકરણ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

કમ્પ્યુટર સંસ્કરણનો ઉપયોગ કરતી વખતે " ગણિતનો ઉચ્ચ અભ્યાસક્રમતમે એક પ્રોગ્રામ ચલાવી શકો છો જે પિરામિડના શિરોબિંદુઓના કોઈપણ કોઓર્ડિનેટ્સ માટે ઉપરના ઉદાહરણને હલ કરશે.

પ્રોગ્રામ શરૂ કરવા માટે, આયકન પર ડબલ-ક્લિક કરો:

ખુલતી પ્રોગ્રામ વિંડોમાં, પિરામિડના શિરોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ દાખલ કરો અને Enter દબાવો. આ રીતે, તમામ નિર્ણયના મુદ્દાઓ એક પછી એક મેળવી શકાય છે.

નોંધ: પ્રોગ્રામ ચલાવવા માટે, મેપલવી રીલીઝ 4 થી શરૂ થતા કોઈપણ સંસ્કરણનો મેપલ પ્રોગ્રામ ( Waterloo Maple Inc.) તમારા કમ્પ્યુટર પર ઇન્સ્ટોલ હોવો આવશ્યક છે.

આ સામગ્રીમાં, જો આપણે એક જ સીધી રેખા પર ન હોય તેવા ત્રણ જુદા જુદા બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીએ તો પ્લેનનું સમીકરણ કેવી રીતે શોધવું તે જોઈશું. આ કરવા માટે, આપણે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ શું છે. શરૂ કરવા માટે, અમે આ સમીકરણનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત રજૂ કરીશું અને ચોક્કસ સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે બરાબર બતાવીશું.

Yandex.RTB R-A-339285-1

પ્રથમ, આપણે એક સ્વયંસિદ્ધ યાદ રાખવાની જરૂર છે, જે આના જેવું લાગે છે:

વ્યાખ્યા 1

જો ત્રણ બિંદુઓ એકબીજા સાથે મેળ ખાતા નથી અને એક જ રેખા પર આવેલા નથી, તો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ફક્ત એક જ વિમાન તેમની વચ્ચેથી પસાર થાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણી પાસે ત્રણ અલગ-અલગ બિંદુઓ હોય જેના કોઓર્ડિનેટ્સ એકસરખા ન હોય અને જે સીધી રેખા વડે જોડાયેલા ન હોય, તો આપણે તેમાંથી પસાર થતા પ્લેનને નિર્ધારિત કરી શકીએ છીએ.

ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ છે. ચાલો તેને O x y z સૂચિત કરીએ. તેમાં કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) સાથે ત્રણ બિંદુઓ M છે, જે કનેક્ટ કરી શકાતા નથી. સીધી રેખા. આ શરતોના આધારે, આપણે આપણને જોઈતા પ્લેનનું સમીકરણ લખી શકીએ છીએ. આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે બે અભિગમો છે.

1. પ્રથમ અભિગમ સામાન્ય પ્લેન સમીકરણનો ઉપયોગ કરે છે. અક્ષર સ્વરૂપમાં, તે A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 તરીકે લખાયેલું છે. તેની મદદથી, તમે લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ચોક્કસ આલ્ફા પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો જે પ્રથમ આપેલ બિંદુ M 1 (x 1, y 1, z 1)માંથી પસાર થાય છે. તે તારણ આપે છે કે પ્લેન α ના સામાન્ય વેક્ટરમાં A, B, C કોઓર્ડિનેટ્સ હશે.

N ની વ્યાખ્યા

સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ અને પ્લેન જેમાંથી પસાર થાય છે તેના કોઓર્ડિનેટ્સને જાણીને, આપણે આ પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણ લખી શકીએ છીએ.

આ તે છે જે આપણે ભવિષ્યમાં આગળ વધીશું.

આમ, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓ અનુસાર, અમારી પાસે ઇચ્છિત બિંદુ (ત્રણ પણ) ના કોઓર્ડિનેટ્સ છે જેના દ્વારા પ્લેન પસાર થાય છે. સમીકરણ શોધવા માટે, તમારે તેના સામાન્ય વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. ચાલો તેને n → સૂચિત કરીએ.

ચાલો નિયમ યાદ રાખીએ: આપેલ પ્લેનનો કોઈપણ બિન-શૂન્ય વેક્ટર એ જ પ્લેનના સામાન્ય વેક્ટરને લંબરૂપ હોય છે. પછી આપણી પાસે છે કે n → મૂળ બિંદુઓ M 1 M 2 → અને M 1 M 3 → બનેલા વેક્ટરને લંબરૂપ હશે. પછી આપણે n → ને M 1 M 2 → · M 1 M 3 → ફોર્મના વેક્ટર ઉત્પાદન તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.

ત્યારથી M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) અને M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટની ગણતરી કરવા માટે સમર્પિત લેખમાં આ સમાનતાઓના પુરાવા આપવામાં આવ્યા છે), પછી તે તારણ આપે છે કે:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1

જો આપણે નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ, તો આપણે સામાન્ય વેક્ટર n → ના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવીશું. હવે આપણે આપેલા ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેન માટે જરૂરી સમીકરણ લખી શકીએ છીએ.

2. M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) માંથી પસાર થતા સમીકરણને શોધવાનો બીજો અભિગમ, વેક્ટર્સની કોપ્લાનેરિટી જેવી વિભાવના પર આધારિત છે.

જો આપણી પાસે M (x, y, z) બિંદુઓનો સમૂહ હોય, તો પછી લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં તેઓ આપેલ બિંદુઓ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2) માટે પ્લેન વ્યાખ્યાયિત કરે છે. , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) માત્ર ત્યારે જ જ્યારે વેક્ટર M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2 → = ( ​​x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) અને M 1 M 3  → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) કોપ્લાનર હશે .

આકૃતિમાં તે આના જેવો દેખાશે:

આનો અર્થ એ થશે કે M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → વેક્ટર્સનું મિશ્રિત ઉત્પાદન શૂન્યની બરાબર હશે: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , કારણ કે આ કોપ્લાનેરિટીની મુખ્ય સ્થિતિ છે: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) અને M 1 M 3 → = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1).

ચાલો પરિણામી સમીકરણને સંકલન સ્વરૂપમાં લખીએ:

નિર્ણાયકની ગણતરી કર્યા પછી, અમે ત્રણ બિંદુઓ માટે જરૂરી પ્લેન સમીકરણ મેળવી શકીએ છીએ જે સમાન રેખા M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) પર આવેલા નથી. , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

પરિણામી સમીકરણમાંથી, તમે સેગમેન્ટ્સમાં પ્લેનના સમીકરણ પર અથવા પ્લેનના સામાન્ય સમીકરણ પર જઈ શકો છો, જો સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને તેની જરૂર હોય.

આગળના ફકરામાં અમે ઉદાહરણો આપીશું કે અમે સૂચવેલા અભિગમોને વ્યવહારમાં કેવી રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે.

3 બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનના સમીકરણની રચના માટે સમસ્યાઓના ઉદાહરણો

અગાઉ, અમે બે અભિગમો ઓળખ્યા હતા જેનો ઉપયોગ ઇચ્છિત સમીકરણ શોધવા માટે થઈ શકે છે. ચાલો જોઈએ કે સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે અને તમારે દરેકને ક્યારે પસંદ કરવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 1

M 1 (- 3, 2, - 1), M 2 (- 1, 2, 4), M 3 (3, 3, - 1) કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે ત્રણ બિંદુઓ છે જે સમાન રેખા પર આવેલા નથી. તેમાંથી પસાર થતા વિમાન માટે સમીકરણ લખો.

ઉકેલ

અમે વૈકલ્પિક રીતે બંને પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

1. અમને M 1 M 2 →, M 1 M 3 → જોઈએ છે તે બે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધો:

M 1 M 2 → = - 1 - - 3 , 2 - 2 , 4 - - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2 , 0 , 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3 , 3 - 2 , - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

હવે ચાલો તેમના વેક્ટર ઉત્પાદનની ગણતરી કરીએ. અમે નિર્ણાયકની ગણતરીઓનું વર્ણન કરીશું નહીં:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

અમારી પાસે પ્લેનનું સામાન્ય વેક્ટર છે જે ત્રણ જરૂરી બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે: n → = (- 5, 30, 2) . આગળ, આપણે બિંદુઓમાંથી એક લેવાની જરૂર છે, ઉદાહરણ તરીકે, M 1 (- 3, 2, - 1), અને વેક્ટર n → = (- 5, 30, 2) સાથે પ્લેન માટે સમીકરણ લખો. આપણને મળે છે કે: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા પ્લેન માટે આ સમીકરણની જરૂર છે.

2. ચાલો એક અલગ અભિગમ લઈએ. ચાલો સમીકરણ લખીએ જેમાં ત્રણ બિંદુઓ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) નીચેના ફોર્મ:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

અહીં તમે સમસ્યા નિવેદનમાંથી ડેટાને બદલી શકો છો. ત્યારથી x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, પરિણામે આપણને મળે છે:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

અમને જરૂરી સમીકરણ મળ્યું.

જવાબ:- 5 x + 30 y + 2 z - 73 .

પરંતુ જો આપેલ બિંદુઓ હજુ પણ સમાન રેખા પર આવેલા હોય અને આપણે તેમના માટે સમીકરણ બનાવવાની જરૂર હોય તો શું? અહીં તે તરત જ કહેવું જોઈએ કે આ સ્થિતિ સંપૂર્ણપણે યોગ્ય રહેશે નહીં. આવા બિંદુઓમાંથી અસંખ્ય વિમાનો પસાર થઈ શકે છે, તેથી એક જ જવાબની ગણતરી કરવી અશક્ય છે. ચાલો પ્રશ્નની આવી રચનાની અયોગ્યતાને સાબિત કરવા માટે આવી સમસ્યાનો વિચાર કરીએ.

ઉદાહરણ 2

અમારી પાસે ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલી છે, જેમાં ત્રણ બિંદુઓ કોઓર્ડિનેટ્સ M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1) સાથે મૂકવામાં આવે છે. , 1). તેમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ બનાવવું જરૂરી છે.

ઉકેલ

ચાલો પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ અને બે વેક્ટર M 1 M 2 → અને M 1 M 3 → ના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરીને પ્રારંભ કરીએ. ચાલો તેમના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરીએ: M 1 M 2 → = (- 4, 6, 2), M 1 M 3 → = - 6, 9, 3.

ક્રોસ ઉત્પાદન સમાન હશે:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

કારણ કે M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 →, તો પછી અમારા વેક્ટર્સ કોલિનિયર હશે (જો તમે આ ખ્યાલની વ્યાખ્યા ભૂલી ગયા હોવ તો તેમના વિશેનો લેખ ફરીથી વાંચો). આમ, પ્રારંભિક બિંદુઓ M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) એક જ રેખા પર છે, અને અમારી સમસ્યા અનંતપણે ઘણી છે વિકલ્પો જવાબ.

જો આપણે બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણને મળશે:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8 z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

પરિણામી સમાનતા પરથી તે પણ અનુસરે છે કે આપેલ બિંદુઓ M 1 (5, - 8, - 2), M 2 (1, - 2, 0), M 3 (- 1, 1, 1) સમાન રેખા પર છે.

જો તમે તેના વિકલ્પોની અનંત સંખ્યામાંથી આ સમસ્યાનો ઓછામાં ઓછો એક જવાબ શોધવા માંગતા હો, તો તમારે આ પગલાંને અનુસરવાની જરૂર છે:

1. M 1 M 2, M 1 M 3 અથવા M 2 M 3 રેખાનું સમીકરણ લખો (જો જરૂરી હોય તો, આ ક્રિયા વિશેની સામગ્રી જુઓ).

2. એક બિંદુ M 4 (x 4, y 4, z 4) લો, જે સીધી રેખા M 1 M 2 પર ન આવે.

3. ત્રણ જુદા જુદા બિંદુઓ M 1, M 2 અને M 4માંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ લખો જે એક જ લાઇન પર ન હોય.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

પ્લેનનું સમીકરણ. પ્લેનનું સમીકરણ કેવી રીતે લખવું?
વિમાનોની પરસ્પર વ્યવસ્થા. કાર્યો

અવકાશી ભૂમિતિ "સપાટ" ભૂમિતિ કરતાં વધુ જટિલ નથી, અને અવકાશમાં અમારી ફ્લાઇટ્સ આ લેખથી શરૂ થાય છે. વિષયમાં નિપુણતા મેળવવા માટે, તમારે તેની સારી સમજ હોવી જરૂરી છે વેક્ટર , વધુમાં, પ્લેનની ભૂમિતિથી પરિચિત થવાની સલાહ આપવામાં આવે છે - ત્યાં ઘણી સમાનતાઓ, ઘણી સામ્યતાઓ હશે, તેથી માહિતી વધુ સારી રીતે પચવામાં આવશે. મારા પાઠોની શ્રેણીમાં, 2D વિશ્વ એક લેખ સાથે ખુલે છે પ્લેન પર સીધી રેખાનું સમીકરણ . પરંતુ હવે બેટમેને ફ્લેટ ટીવી સ્ક્રીન છોડી દીધી છે અને બાયકોનુર કોસ્મોડ્રોમથી લોન્ચ થઈ રહી છે.

ચાલો રેખાંકનો અને પ્રતીકોથી શરૂઆત કરીએ. યોજનાકીય રીતે, પ્લેનને સમાંતરગ્રામના રૂપમાં દોરી શકાય છે, જે જગ્યાની છાપ બનાવે છે:

પ્લેન અનંત છે, પરંતુ અમારી પાસે તેનો માત્ર એક ભાગ દર્શાવવાની તક છે. વ્યવહારમાં, સમાંતરગ્રામ ઉપરાંત, અંડાકાર અથવા તો વાદળ પણ દોરવામાં આવે છે. તકનીકી કારણોસર, મારા માટે પ્લેનને બરાબર આ રીતે અને બરાબર આ સ્થિતિમાં દર્શાવવું વધુ અનુકૂળ છે. વાસ્તવિક વિમાનો, જેને આપણે વ્યવહારુ ઉદાહરણોમાં ધ્યાનમાં લઈશું, તે કોઈપણ રીતે સ્થિત થઈ શકે છે - માનસિક રીતે તમારા હાથમાં ચિત્ર લો અને તેને અવકાશમાં ફેરવો, પ્લેનને કોઈપણ ઝોક, કોઈપણ ખૂણો આપીને.

હોદ્દો: પ્લેન સામાન્ય રીતે નાના ગ્રીક અક્ષરોમાં સૂચવવામાં આવે છે, દેખીતી રીતે જેથી તેમની સાથે મૂંઝવણ ન થાય પ્લેન પર સીધી રેખા અથવા સાથે અવકાશમાં સીધી રેખા . હું અક્ષરનો ઉપયોગ કરવા ટેવાયેલો છું. ડ્રોઇંગમાં તે "સિગ્મા" અક્ષર છે, અને બિલકુલ છિદ્ર નથી. તેમ છતાં, હોલી પ્લેન ચોક્કસપણે ખૂબ રમુજી છે.

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, પ્લેન નિયુક્ત કરવા માટે નીચલા સબસ્ક્રિપ્ટ સાથે સમાન ગ્રીક અક્ષરોનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે, ઉદાહરણ તરીકે, .

તે સ્પષ્ટ છે કે પ્લેનને ત્રણ અલગ અલગ બિંદુઓ દ્વારા વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે એક જ લાઇન પર આવેલા નથી. તેથી, વિમાનોના ત્રણ-અક્ષર હોદ્દો ખૂબ જ લોકપ્રિય છે - તેમની સાથે જોડાયેલા બિંદુઓ દ્વારા, ઉદાહરણ તરીકે, વગેરે. ઘણીવાર અક્ષરો કૌંસમાં બંધ હોય છે: , જેથી પ્લેનને અન્ય ભૌમિતિક આકૃતિ સાથે મૂંઝવણમાં ન આવે.

અનુભવી વાચકો માટે હું આપીશ ઝડપી ઍક્સેસ મેનૂ:

• બિંદુ અને બે વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને પ્લેનનું સમીકરણ કેવી રીતે બનાવવું?
• બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને પ્લેનનું સમીકરણ કેવી રીતે બનાવવું?

અને અમે લાંબા સમય સુધી રાહ જોઈશું નહીં:

સામાન્ય વિમાન સમીકરણ

પ્લેનનું સામાન્ય સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે, જ્યાં ગુણાંક એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર નથી.

સંખ્યાબંધ સૈદ્ધાંતિક ગણતરીઓ અને વ્યવહારુ સમસ્યાઓ સામાન્ય ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે અને અવકાશના સંલગ્ન આધાર માટે બંને માન્ય છે (જો તેલ તેલ હોય, તો પાઠ પર પાછા આવો. વેક્ટર્સની રેખીય (બિન) અવલંબન. વેક્ટર્સનો આધાર ). સરળતા માટે, અમે ધારીશું કે બધી ઘટનાઓ ઓર્થોનોર્મલ ધોરણે અને કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં થાય છે.

હવે આપણે આપણી અવકાશી કલ્પનાનો થોડો અભ્યાસ કરીએ. જો તમારું ખરાબ હોય તો ઠીક છે, હવે અમે તેનો થોડો વિકાસ કરીશું. ચેતા પર રમવા માટે પણ તાલીમની જરૂર છે.

સૌથી સામાન્ય કિસ્સામાં, જ્યારે સંખ્યાઓ શૂન્યની બરાબર ન હોય, ત્યારે વિમાન ત્રણેય સંકલન અક્ષોને છેદે છે. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

હું ફરી એકવાર પુનરાવર્તન કરું છું કે પ્લેન બધી દિશામાં અનિશ્ચિતપણે ચાલુ રહે છે, અને અમારી પાસે તેનો માત્ર એક ભાગ દર્શાવવાની તક છે.

ચાલો વિમાનોના સરળ સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ:

આ સમીકરણ કેવી રીતે સમજવું? તેના વિશે વિચારો: "X" અને "Y" ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે, "Z" હંમેશા શૂન્યની બરાબર છે. આ "નેટિવ" કોઓર્ડિનેટ પ્લેનનું સમીકરણ છે. ખરેખર, ઔપચારિક રીતે સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે: , જ્યાંથી તમે સ્પષ્ટપણે જોઈ શકો છો કે "x" અને "y" ની કિંમતો શું લે છે તેની અમને પરવા નથી, તે મહત્વનું છે કે "z" શૂન્યની બરાબર છે.

તેવી જ રીતે:
- કોઓર્ડિનેટ પ્લેનનું સમીકરણ;
- કોઓર્ડિનેટ પ્લેનનું સમીકરણ.

ચાલો સમસ્યાને થોડી જટિલ બનાવીએ, એક પ્લેનને ધ્યાનમાં લો (અહીં અને આગળ ફકરામાં આપણે ધારીએ છીએ કે સંખ્યાત્મક ગુણાંક શૂન્ય સમાન નથી). ચાલો ફોર્મમાં સમીકરણ ફરીથી લખીએ: . તેને કેવી રીતે સમજવું? "X" એ હંમેશા છે, "Y" અને "Z" ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે, ચોક્કસ સંખ્યાની બરાબર. આ પ્લેન કોઓર્ડિનેટ પ્લેનની સમાંતર છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્લેન પ્લેનની સમાંતર હોય છે અને એક બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

તેવી જ રીતે:
- પ્લેનનું સમીકરણ કે જે કોઓર્ડિનેટ પ્લેનની સમાંતર હોય;
- પ્લેનનું સમીકરણ કે જે કોઓર્ડિનેટ પ્લેનની સમાંતર હોય.

ચાલો સભ્યો ઉમેરીએ: . સમીકરણને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે: , એટલે કે, "zet" કંઈપણ હોઈ શકે છે. તેનો અર્થ શું છે? "X" અને "Y" સંબંધ દ્વારા જોડાયેલા છે, જે પ્લેનમાં ચોક્કસ સીધી રેખા દોરે છે (તમે શોધી શકશો. પ્લેનમાં રેખાનું સમીકરણ ?). કારણ કે "z" કોઈપણ હોઈ શકે છે, આ સીધી રેખા કોઈપણ ઊંચાઈ પર "પ્રતિકૃતિ" છે. આમ, સમીકરણ કોઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે

તેવી જ રીતે:
- પ્લેનનું સમીકરણ જે સંકલન અક્ષની સમાંતર છે;
- પ્લેનનું સમીકરણ જે સંકલન અક્ષની સમાંતર છે.

જો મફત શરતો શૂન્ય હોય, તો પછી વિમાનો સીધા અનુરૂપ અક્ષોમાંથી પસાર થશે. ઉદાહરણ તરીકે, ક્લાસિક "સીધી પ્રમાણસરતા": . પ્લેનમાં એક સીધી રેખા દોરો અને માનસિક રીતે તેને ઉપર અને નીચે ગુણાકાર કરો (કારણ કે “Z” કોઈપણ છે). નિષ્કર્ષ: સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પ્લેન કોઓર્ડિનેટ અક્ષમાંથી પસાર થાય છે.

અમે સમીક્ષા પૂર્ણ કરીએ છીએ: પ્લેનનું સમીકરણ મૂળમાંથી પસાર થાય છે. ઠીક છે, અહીં તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે બિંદુ આ સમીકરણને સંતોષે છે.

અને અંતે, ડ્રોઇંગમાં દર્શાવેલ કેસ: – પ્લેન તમામ સંકલન અક્ષો સાથે મૈત્રીપૂર્ણ છે, જ્યારે તે હંમેશા ત્રિકોણને "કાપી નાખે છે", જે આઠ ઓક્ટન્ટ્સમાંથી કોઈપણમાં સ્થિત હોઈ શકે છે.

અવકાશમાં રેખીય અસમાનતા

માહિતીને સમજવા માટે તમારે સારી રીતે અભ્યાસ કરવાની જરૂર છે પ્લેનમાં રેખીય અસમાનતા , કારણ કે ઘણી વસ્તુઓ સમાન હશે. ફકરો કેટલાક ઉદાહરણો સાથે સંક્ષિપ્ત ઝાંખી પ્રકૃતિનો હશે, કારણ કે સામગ્રી વ્યવહારમાં ખૂબ જ દુર્લભ છે.

જો સમીકરણ પ્લેનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, તો અસમાનતાઓ
પૂછો અડધી જગ્યાઓ. જો અસમાનતા કડક ન હોય (સૂચિમાં છેલ્લા બે), તો અસમાનતાના ઉકેલમાં, અડધી જગ્યા ઉપરાંત, પ્લેનનો પણ સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણ 5

પ્લેનનું એકમ સામાન્ય વેક્ટર શોધો .

ઉકેલ: એકમ વેક્ટર એ વેક્ટર છે જેની લંબાઈ એક છે. ચાલો આ વેક્ટરને વડે દર્શાવીએ. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે વેક્ટર સમરેખા છે:

પ્રથમ, અમે પ્લેનના સમીકરણમાંથી સામાન્ય વેક્ટરને દૂર કરીએ છીએ: .

એકમ વેક્ટર કેવી રીતે શોધવું? એકમ વેક્ટર શોધવા માટે, તમારે જરૂર છે દરેકવેક્ટર કોઓર્ડિનેટને વેક્ટર લંબાઈથી વિભાજીત કરો.

ચાલો સામાન્ય વેક્ટરને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ અને તેની લંબાઈ શોધીએ:

ઉપર મુજબ:

જવાબ આપો:

ચકાસણી: શું ચકાસવું જરૂરી હતું.

પાઠના છેલ્લા ફકરાનો કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરનારા વાચકોએ કદાચ તે નોંધ્યું હશે એકમ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ એ વેક્ટરની દિશા કોસાઈન બરાબર છે:

ચાલો સમસ્યામાંથી થોડો વિરામ લઈએ: જ્યારે તમને મનસ્વી બિન-શૂન્ય વેક્ટર આપવામાં આવે છે, અને સ્થિતિ અનુસાર તેની દિશા કોસાઇન્સ શોધવાની જરૂર છે (પાઠની છેલ્લી સમસ્યાઓ જુઓ વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન ), તો પછી તમે, હકીકતમાં, આના માટે એકમ વેક્ટર કોલિનિયર શોધો. વાસ્તવમાં એક બોટલમાં બે કાર્યો.

ગાણિતિક વિશ્લેષણની કેટલીક સમસ્યાઓમાં એકમ સામાન્ય વેક્ટર શોધવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે.

અમે સામાન્ય વેક્ટરને કેવી રીતે બહાર કાઢવું ​​તે શોધી કાઢ્યું છે, હવે ચાલો વિપરીત પ્રશ્નનો જવાબ આપીએ:

બિંદુ અને સામાન્ય વેક્ટરનો ઉપયોગ કરીને પ્લેનનું સમીકરણ કેવી રીતે બનાવવું?

સામાન્ય વેક્ટર અને બિંદુનું આ કઠોર બાંધકામ ડાર્ટબોર્ડ માટે જાણીતું છે. કૃપા કરીને તમારા હાથને આગળ લંબાવો અને માનસિક રીતે અવકાશમાં એક મનસ્વી બિંદુ પસંદ કરો, ઉદાહરણ તરીકે, સાઇડબોર્ડમાં એક નાની બિલાડી. દેખીતી રીતે, આ બિંદુ દ્વારા તમે તમારા હાથ પર લંબરૂપ એક પ્લેન દોરી શકો છો.

વેક્ટરને લંબરૂપ બિંદુમાંથી પસાર થતા પ્લેનનું સમીકરણ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: