વિચિત્ર આકર્ષણના ઉદાહરણો. નિયમિત અને વિચિત્ર આકર્ષણો

(ઉદાહરણ તરીકે, હવાના ઘર્ષણ સાથે લોલકની સમસ્યામાં), (ઉદાહરણ તરીકે, ધન સાથે સર્કિટમાં સ્વ-ઉત્તેજિત ઓસિલેશન પ્રતિસાદ), અથવા અંદર અસ્થિર માર્ગ સાથેનો અમુક મર્યાદિત વિસ્તાર (જેમ કે વિચિત્ર આકર્ષણ).

મહત્વાકાંક્ષાની વિભાવનાની વિવિધ ઔપચારિકતાઓ છે, જે આકર્ષનારની જુદી જુદી વ્યાખ્યાઓ તરફ દોરી જાય છે, જે તે મુજબ, સંભવિત રૂપે જુદા જુદા સમૂહોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (ઘણી વખત એક બીજામાં નેસ્ટ્ડ). સૌથી સામાન્ય રીતે વપરાતી વ્યાખ્યાઓ છે મહત્તમ આકર્ષનાર (ઘણીવાર તેના નાના પડોશમાં, નીચે જુઓ), મિલ્નોર આકર્ષનાર અને નોન-વોન્ડરીંગ સેટ.

વર્ગીકરણ [ | ]

આકર્ષણોને આ પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:

ઉપરાંત, આકર્ષણોના જાણીતા "નોમિનલ" ઉદાહરણો છે: લોરેન્ટ્ઝ, પ્લીકિન, સ્મેલ-વિલિયમ્સ સોલેનોઇડ, હેટરોક્લીનિક આકર્ષનાર (બોવેનનું ઉદાહરણ).

ગુણધર્મો અને સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ[ | ]

બધી વ્યાખ્યાઓ માટે, આકર્ષનારને બંધ અને (સંપૂર્ણપણે) અપરિવર્તક સમૂહ માનવામાં આવે છે.

આકર્ષનારની વિભાવના સિનાઈ-રુએલ-બોવેન માપની વિભાવના સાથે પણ ગાઢ રીતે સંકળાયેલી છે: તેના પર એક અવિવર્તી માપ, જેના માટે એક લાક્ષણિક (લેબેસગ્યુ માપના અર્થમાં) પ્રારંભિક બિંદુ અથવા સમયની સરેરાશની સમય સરેરાશ લેબેસ્ગ્યુ માપના પુનરાવર્તનોની વલણ. જો કે, આવા માપ હંમેશા અસ્તિત્વમાં નથી (જેમ કે સચિત્ર, ખાસ કરીને, બોવેનના ઉદાહરણ દ્વારા).

વ્યાખ્યાના ઔપચારિકકરણના પ્રકાર[ | ]

સમગ્ર તબક્કાની અવકાશ કોઈપણ સંજોગોમાં ગતિશીલતા દ્વારા સાચવવામાં આવતી હોવાથી, આકર્ષનારની ઔપચારિક વ્યાખ્યા ફિલસૂફીના આધારે આપી શકાય છે કે "આકર્ષક એ સૌથી નાનો સમૂહ છે કે જેના તરફ દરેક વસ્તુ વલણ ધરાવે છે" - બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક વસ્તુને ફેંકી દે છે જે હોઈ શકે છે. તબક્કાની જગ્યામાંથી બહાર ફેંકવામાં આવે છે.

મહત્તમ આકર્ષનાર[ | ]

ગતિશીલ પ્રણાલીને વિસ્તાર આપવા દો U (\Displaystyle U), જે ડાયનેમિક્સ દ્વારા સખત રીતે અંદરની તરફ અનુવાદિત થાય છે:

પછી મહત્તમ આકર્ષનાર U પરના અવરોધમાં સિસ્ટમની ગતિશીલતાના પ્રભાવ હેઠળ તેની તમામ છબીઓનું આંતરછેદ છે:

(\Displaystyle A_(max)=\bigcap _(n=1)^(\infty )f^(n)(U).)

આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ મોટાભાગે સમૂહને "કુદરતી" આકર્ષનાર તરીકે દર્શાવવા માટે થાય છે ("તેના પડોશનું મહત્તમ આકર્ષણ છે"). તેનો ઉપયોગ આંશિક વિભેદક સમીકરણોમાં પણ થાય છે.

આ વ્યાખ્યામાં બે ખામીઓ છે. પ્રથમ, તેનો ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે શોષક પ્રદેશ શોધવાની જરૂર છે. બીજું, જો આવા વિસ્તારને અસફળ રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યો હોય - કહો, તેમાં તેના પ્રતિકૂળ પૂલ સાથે એક પ્રતિકૂળ નિશ્ચિત બિંદુ છે - તો પછી મહત્તમ આકર્ષનારમાં "વધારાના" બિંદુઓ હશે, જેની નજીક સળંગ ઘણી વખત નજીક હોવું ખરેખર અશક્ય છે. , પરંતુ આ વિસ્તારની વર્તમાન પસંદગી "અનુભૂતિ નથી."

મિલ્નોર આકર્ષનાર[ | ]

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, મિલ્નોર આકર્ષનારગતિશીલ પ્રણાલીનો લેબેસગ્યુ માપના સંદર્ભમાં લગભગ તમામ પ્રારંભિક બિંદુઓના ω-મર્યાદા સમૂહો સમાવિષ્ટ કરવાના સંદર્ભમાં સૌથી નાનો બંધ સમૂહ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ સૌથી નાનો સમૂહ છે કે જેના તરફ પ્રક્ષેપણ વલણ ધરાવે છે લાક્ષણિકપ્રારંભિક બિંદુ.

બિન-ભટકતો સમૂહ[ | ]

ગતિશીલ પ્રણાલીના બિંદુ x કહેવામાં આવે છે ભટકવું, જો તેના કેટલાક પડોશના પુનરાવૃત્તિઓ U ક્યારેય આ પડોશને છેદે નહીં:

(\Displaystyle \forall n>0\quad f^(n)(U)\bigcap U=\emptyset.) બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એક બિંદુ ભટકતો હોય છે જો તેની પાસે એવો પડોશ હોય કે કોઈપણ માર્ગ માત્ર એક જ વાર પાર કરી શકાય. ભટકતા ન હોય તેવા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ કહેવાય છેબિન-ભટકવું

ઘણા[ | ]

ઘણા આંકડાકીય આકર્ષનાર A s t a t (\ ડિસ્પ્લેસ્ટાઇલ A_(સ્ટેટ)) U (\Displaystyle U), જેની પડોશમાં લગભગ તમામ પોઈન્ટ લગભગ તમામ સમય વિતાવે છે: તેના કોઈપણ પડોશ માટે લગભગ કોઈપણ (લેબેસગ્યુ માપના અર્થમાં) બિંદુ માટે x (\displaystyle x)

1 N # ( j ≤ N ∣ f j (x) ∈ U ) → 1 , N → ∞ .[ | ]

1 N # ( j ≤ N ∣ f j (x) ∈ U ) → 1 , N → ∞ .(\Displaystyle (\frac (1)(N))\#\(j\leq N\mid f^(j)(x)\in U\)\to 1,\quad N\to \infty.) ન્યૂનતમ આકર્ષનારસમાવેશના સંદર્ભમાં સૌથી નાના બંધ સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે U (\Displaystyle U) x (\displaystyle x)

, જેની પડોશમાં લગભગ સમગ્ર લેબેસ્ગ્યુ માપ લગભગ તમામ સમય વિતાવે છે: તેના કોઈપણ પડોશ માટે[ | ]

1 N ∑ j = 0 N − 1 (f ∗ j (L e b)) (U) → 1 , N → ∞ .[ | ]

(\Displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(j=0)^(N-1)(f_(*)^(j)(Leb))(U)\to 1,\quad N \to\infty.)[ | ]

અસંગતતાના ઉદાહરણો[ | ]

સ્થાનિકતા, લઘુત્તમવાદ અને વૈશ્વિકતા[ | ]

નિયમિત અને વિચિત્ર આકર્ષણો

નિયમિત આકર્ષે છે[ | ]

આકર્ષક નિશ્ચિત બિંદુ

વિચિત્ર આકર્ષણ એ વિસર્જનશીલ ગતિશીલ પ્રણાલીના તબક્કા અવકાશમાં અસ્થિર માર્ગનો આકર્ષક સમૂહ છે. આકર્ષનારથી વિપરીત, તે મેનીફોલ્ડ નથી, એટલે કે, તે વળાંક અથવા સપાટી નથી. વિચિત્ર આકર્ષણનું માળખું ખંડિત છે. આવા આકર્ષનારનો માર્ગ બિન-સામયિક છે (તે બંધ થતો નથી) અને ઓપરેટિંગ મોડ અસ્થિર છે (મોડમાંથી નાના વિચલનો વધે છે). આકર્ષનારની અસ્તવ્યસ્ત પ્રકૃતિ માટેનો મુખ્ય માપદંડ એ નાના વિક્ષેપોના સમયમાં ઘાતાંકીય વધારો છે. આનું પરિણામ એ છે કે સિસ્ટમમાં "મિશ્રણ", સિસ્ટમના કોઈપણ કોઓર્ડિનેટ્સની સમયાંતરે બિન-સામયિકતા, સતત પાવર સ્પેક્ટ્રમ અને સમયસર ઘટતું સ્વયંસંબંધ કાર્ય.

વિચિત્ર આકર્ષણો પરની ગતિશીલતા ઘણીવાર અસ્તવ્યસ્ત હોય છે: આકર્ષણમાં આવતા માર્ગની આગાહી કરવી મુશ્કેલ છે, કારણ કે પ્રારંભિક ડેટામાં નાની અચોક્કસતા થોડા સમય પછી આગાહી અને વાસ્તવિક માર્ગ વચ્ચે મજબૂત વિસંગતતા તરફ દોરી શકે છે. નિર્ધારિત ગતિશીલ પ્રણાલીઓમાં માર્ગની અણધારીતા કહેવામાં આવે છે ગતિશીલ અરાજકતા, તેનાથી અલગ પાડીને સ્ટોકેસ્ટિક અરાજકતામાં ઉદ્ભવે છે. આ ઘટનાને બટરફ્લાય ઇફેક્ટ પણ કહેવામાં આવે છે, જે ગ્રહ પર એક બિંદુએ પતંગિયાની પાંખો ફફડાવવાને કારણે થતા નબળા તોફાની હવાના પ્રવાહોને બીજી બાજુએ એક શક્તિશાળી ટોર્નેડોમાં પરિવર્તિત કરવાની સંભાવના સૂચવે છે. સમયનો સમયગાળો પરંતુ વાસ્તવમાં, પતંગિયાની પાંખના ફફડાટ સામાન્ય રીતે ટોર્નેડો બનાવતું નથી, કારણ કે વ્યવહારમાં એવી વૃત્તિ છે કે સરેરાશ આવા નાના વધઘટ આવી ગતિશીલતાને બદલતા નથી. જટિલ સિસ્ટમોગ્રહના વાતાવરણની જેમ, અને લોરેન્ઝે પોતે આ બાબતે કહ્યું: "પરંતુ સામાન્ય રીતે, હું માનું છું કે વર્ષો દરમિયાન, નાના આંચકા વાવાઝોડા જેવી વિવિધ હવામાન ઘટનાઓની આવૃત્તિમાં વધારો કે ઘટાડો કરતા નથી. તેઓ જે કરી શકે છે તે ક્રમમાં ફેરફાર કરી શકે છે જેમાં આ ઘટનાઓ થાય છે." અને આ, કદાચ, એક મહત્વપૂર્ણ અને અદ્ભુત વસ્તુ છે, જેના વિના અસ્તવ્યસ્ત ગતિશીલતા (ગતિશીલતા કે જે સિસ્ટમની પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓમાં સહેજ ફેરફારો માટે સંવેદનશીલ હોય છે) નો અભ્યાસ કરવો મુશ્કેલ હશે, જો અશક્ય ન હોય તો.

વિચિત્ર આકર્ષણોમાં એવા લોકો છે જેમનું હૌસડોર્ફ પરિમાણ ટોપોલોજીકલ પરિમાણથી અલગ છે અને અપૂર્ણાંક છે. આવા આકર્ષણોમાં સૌથી પ્રખ્યાત છે લોરેન્ટ્ઝ આકર્ષનાર.

નજીવા ઉદાહરણો [ | ]

લોરેન્ટ્ઝ આકર્ષનાર[ | ]

સિસ્ટમ વિભેદક સમીકરણો, લોરેન્ટ્ઝ આકર્ષનારનું નિર્માણ, ફોર્મ ધરાવે છે:

સ્મેલ-વિલિયમ્સ સોલેનોઇડ[ | ]

સ્મેલ-વિલિયમ્સ સોલેનોઇડ- ઉલટાવી શકાય તેવી ગતિશીલ પ્રણાલીનું ઉદાહરણ, વર્તુળ પરના ડબલિંગ નકશા પરના ટ્રેજેકટ્રીઝના વર્તનમાં સમાન છે. વધુ સ્પષ્ટ રીતે, આ ગતિશીલ પ્રણાલીને નક્કર ટોરસ પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને એક પુનરાવર્તન દરમિયાન કોણીય સંકલન બમણું થાય છે; જેમાંથી માર્ગ અને અસ્તવ્યસ્ત ગતિશીલતાના ઘાતાંકીય વિચલન આપોઆપ ઉદ્ભવે છે. પણ સોલેનોઇડઆ સિસ્ટમના મહત્તમ આકર્ષણને પણ કહેવામાં આવે છે (જ્યાંથી, હકીકતમાં, નામ આવે છે): તે ઘન ટોરસ સાથે "થ્રેડો" ઘાના (અગણિત) જોડાણ તરીકે રચાયેલ છે.

Plykin આકર્ષનાર[ | ]

સંપ્રદાયમાં. આ પ્રકરણનો 5.1 તે બતાવવામાં આવશે કે બિન-રેખીય વિઘટનશીલ ગતિશીલ પ્રણાલીઓ કુદરતી રીતે વિચિત્ર આકર્ષનારની વિભાવના તરફ દોરી જાય છે. પછી (વિભાગ 5.2) કોલમોગોરોવ એન્ટ્રોપીને અસ્તવ્યસ્ત ગતિના કાર્યાત્મક માપ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, જે પછી (વિભાગ 5.3) માપેલા રેન્ડમ સિગ્નલમાંથી મેળવી શકાય તેવી માહિતીની માત્રાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

સંપ્રદાયમાં. 5.4 રુએલ - ટેકન્સ - ન્યુહાઉસ મોડેલમાં વિચિત્ર આકર્ષણના ઉદભવની ચર્ચા કરે છે, જે અશાંતિ (સમયસર) માં સંક્રમણનું વર્ણન કરે છે અને કેટલાક પ્રદાન કરે છે. પ્રાયોગિક પુષ્ટિઆ મોડેલ. આગળના વિભાગમાં અરાજકતામાં સંક્રમણના આ મોડેલનું પુનઃસામાન્યીકરણ જૂથ અર્થઘટન છે. પ્રકરણનો અંત વિવિધ સંક્રમણ દૃશ્યોની નિર્ણાયક ઝાંખી અને વિચિત્ર આકર્ષણોના રેખાંકનોના સમૂહ અને તેમની ખંડિત સીમાઓ સાથે થાય છે.

5.1. વિચિત્ર આકર્ષણોનો પરિચય અને વ્યાખ્યા

આ વિભાગમાં અમે પ્રવાહો અથવા મેપિંગ દ્વારા વર્ણવેલ ડિસિપેટિવ સિસ્ટમ્સને ધ્યાનમાં લઈશું. ચાલો આપણે સૌપ્રથમ પ્રથમ ક્રમના વિભેદક સમીકરણોની સ્વાયત્ત પ્રણાલી દ્વારા વર્ણવેલ વિઘટનશીલ પ્રવાહોને ધ્યાનમાં લઈએ:

અહીં "ડિસિપેટીવ" શબ્દનો અર્થ એ છે કે સપાટી S દ્વારા મર્યાદિત, ફેઝ સ્પેસમાં મનસ્વી રીતે પસંદ કરેલ પ્રાથમિક વોલ્યુમ V સંકુચિત છે. સપાટી S એવી રીતે વિકસિત થાય છે કે તેના દરેક બિંદુઓ (5.1) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત માર્ગ સાથે આગળ વધે છે. તેથી, ભિન્નતા પ્રમેય દ્વારા:

અને પછી, વ્યાખ્યા દ્વારા, સાથે સિસ્ટમો

આ પ્રકારના પ્રવાહનું ઉદાહરણ લોરેન્ટ્ઝ મોડેલ છે:

જેના માટે

એટલે કે પ્રારંભિક વોલ્યુમ સમયસર ઝડપથી સંકોચાય છે

જો આપણે (ફિગ. 58) પર લોરેન્ટ્ઝ મોડલના સમીકરણો દ્વારા જનરેટ કરેલા માર્ગને ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે તારણ આપે છે કે a) તે આકર્ષાય છે મર્યાદિત વિસ્તારતબક્કાની જગ્યામાં; b) તેની હિલચાલ ભટકતી હોય છે, એટલે કે માર્ગ એક જમણી તરફ વળે છે, પછી ડાબી તરફ, પછી જમણી તરફ વળે છે, એટલે કે જો શરતોને બદલે (0); ; 0.01; 0) અમે નજીકની શરતો લઈએ છીએ, પછી નવો ઉકેલ ટૂંક સમયમાં પાછલા એકથી વિચલિત થશે અને વળાંકની સંખ્યા અલગ હશે. ફિગ માં. 59 પર ચલની મહત્તમ અવલંબનનો ગ્રાફ બતાવે છે પરિણામી ડિસ્પ્લે લગભગ ત્રિકોણાકાર છે, જે અનુરૂપ છે, Ch અનુસાર. 2, અસ્તવ્યસ્ત ક્રમ

ચોખા. 58. લોરેન્ટ્ઝ આકર્ષનાર, કમ્પ્યુટર પર ગણતરી કરવામાં આવે છે (લેનફોર્ડ, 1977).

ચોખા. 59. લોરેન્ઝ આકર્ષનાર (લોરેન્ઝ, 1963) ના ચલ Zનો સતત મેક્સિમા.

સારાંશ માટે: માર્ગ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓમાં ફેરફારો માટે સંવેદનશીલ છે; અસ્તવ્યસ્ત તબક્કાની જગ્યામાં મર્યાદિત પ્રદેશ તરફ આકર્ષાય છે; આ પ્રદેશનું પ્રમાણ (5.4 ટકા મુજબ) શૂન્ય તરફ વળે છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિ-પરિમાણીય લોરેન્ટ્ઝ સિસ્ટમનો પ્રવાહ બિંદુઓનો સમૂહ બનાવે છે જેનું પરિમાણ 3 કરતાં ઓછું છે, એટલે કે તેનું વોલ્યુમ ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા 0 ની બરાબર છે. પ્રથમ નજરમાં, કોઈ તેને નીચેના પૂર્ણાંક તરીકે અસાઇન કરી શકે છે, પરંતુ નાનું પરિમાણ - 2. જો કે, આ પોઈનકેરે-બેન્ડિક્સન પ્રમેયનો વિરોધાભાસ કરે છે, જે જણાવે છે કે દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યાના મર્યાદિત પ્રદેશમાં અસ્તવ્યસ્ત પ્રવાહ અસ્તિત્વમાં નથી. . ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, નો સંદર્ભ લો કડક પુરાવોમોનોગ્રાફમાં આ પ્રમેય (હિર્શ, સ્મેલ, 1965). ચોખા. 60 દર્શાવે છે કે સ્ટ્રીમલાઈનનું સાતત્ય અને હકીકત એ છે કે સ્ટ્રીમલાઈન પ્લેનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે તે પ્રક્ષેપણને એટલી મજબૂત રીતે મર્યાદિત કરે છે કે મર્યાદિત પ્રદેશમાં એકમાત્ર સંભવિત આકર્ષણ મર્યાદા ચક્ર અને નિશ્ચિત બિંદુઓ છે. આ સમસ્યાનો ઉકેલ એ છે કે લોરેન્ટ્ઝ પ્રણાલીમાં જે બિંદુઓ તરફ આકર્ષાય છે તેના સમૂહ (કહેવાતા લોરેન્ટ્ઝ આકર્ષનાર) પાસે હોસડોર્ફ પરિમાણ છે જે પૂર્ણાંક નથી, પરંતુ 2 અને 3 વચ્ચે છે ( ચોક્કસ મૂલ્યઆ કુદરતી રીતે એક વિચિત્ર આકર્ષણની વિભાવના તરફ દોરી જાય છે, જે વિવિધ ભૌતિકમાં દેખાય છે બિનરેખીય સિસ્ટમો.

એક વિચિત્ર આકર્ષણ છે નીચેના ગુણધર્મો(ઔપચારિક વ્યાખ્યા સમીક્ષા લેખોમાં મળી શકે છે (એકમેન, 1981; રુએલ, 1980):

એ) તે એક આકર્ષનાર છે, એટલે કે તે તબક્કાની જગ્યાના મર્યાદિત પ્રદેશ પર કબજો કરે છે, જ્યાં પછી,

ચોખા. 60. પ્લેનમાં મર્યાદિત વિસ્તારમાં સ્ટ્રીમલાઈનનું સ્વ-કેપ્ચર. માર્ગનું ઘાતાંકીય વિચલન સાતત્યનો વિરોધાભાસ કરે છે (નોંધ વિરુદ્ધ દિશાઓશૂટર).

સમય અંતરાલ, કહેવાતા આકર્ષણ પ્રદેશમાંથી તમામ પર્યાપ્ત નજીકના માર્ગો આકર્ષાય છે. નોંધ કરો કે આકર્ષણનો વિસ્તાર ખૂબ હોઈ શકે છે જટિલ માળખું(ફિગ જુઓ. વિભાગ 5.7). વધુમાં, આકર્ષનારમાં એક જ માર્ગનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે, સમયાંતરે આકર્ષણના દરેક બિંદુમાંથી માર્ગ પસાર થવો જોઈએ. અલગ નિયત બિંદુઓનો સમૂહ એક આકર્ષનાર નથી;

b) જે ગુણધર્મ આકર્ષનારને વિચિત્ર બનાવે છે તે પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પ્રત્યે સંવેદનશીલતા છે, એટલે કે, વોલ્યુમમાં સંકોચન હોવા છતાં, બધી દિશામાં લંબાઈમાં કોઈ ઘટાડો થતો નથી અને આકર્ષનાર પર શરૂઆતમાં મનસ્વી રીતે બંધ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર પૂરતું છે. મોટો સમયઅંતિમ બની જાય છે. આગળના વિભાગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, આ હકારાત્મક કોલ્મોગોરોવ એન્ટ્રોપી તરફ દોરી જાય છે;

c) ભૌતિક સિસ્ટમનું વર્ણન કરવા માટે, આકર્ષનાર માળખાકીય રીતે સ્થિર અને લાક્ષણિક હોવો જોઈએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, F માં પરિમાણમાં નાના ફેરફારો (જુઓ (5.1)) સતત રીતે આકર્ષનારની રચનામાં ફેરફાર કરે છે (અમે વધુ વિગતવાર રચનાને વધુ લાક્ષણિકતા આપીશું; હવે અમારો અર્થ છે, ઉદાહરણ તરીકે, હોસડોર્ફ પરિમાણ આકર્ષનાર) અને પરિમાણોનો સમૂહ જેના માટે (5.1) જનરેટ કરે છે વિચિત્ર આકર્ષણ, માપ 0 નો સમૂહ હોવો જોઈએ નહીં - અન્યથા આકર્ષનાર લાક્ષણિક અને ભૌતિક રીતે નોંધપાત્ર નથી.

આજની તારીખે શોધાયેલ તમામ વિચિત્ર આકર્ષણોમાં આંશિક હૌસડોર્ફ પરિમાણ છે. વિચિત્ર આકર્ષણની કોઈ સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત ઔપચારિક વ્યાખ્યા ન હોવાને કારણે (Ruelle, 1980; Mandelbrot, 1982), તે હજુ સુધી સ્પષ્ટ નથી કે હૌસડોર્ફ પરિમાણની અપૂર્ણાંકતા હંમેશા "a" - "b" ગુણધર્મોમાંથી અનુસરે છે કે તે વધારામાં જરૂરી છે. એક વિચિત્ર આકર્ષણ માટે.

સામાન્ય રીતે, એક વિચિત્ર આકર્ષણ ત્યારે થાય છે જ્યારે તબક્કો પ્રવાહ અમુક દિશામાં પ્રાથમિક વોલ્યુમને સંકુચિત કરે છે અને અન્ય દિશામાં ખેંચાય છે. મર્યાદિત વિસ્તારમાં રહેવા માટે, પ્રારંભિક વોલ્યુમ એકસાથે ફોલ્ડ કરવામાં આવે છે. સ્ટ્રેચિંગ અને ફોલ્ડિંગની આ પ્રક્રિયા એક વિચિત્ર આકર્ષણ પર માર્ગની અસ્તવ્યસ્ત ગતિને જન્મ આપે છે, જે પીસવાઇઝ રેખીય મેપિંગ (પ્રકરણ 2) ના કિસ્સામાં હતું તે સમાન છે.

ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા પોઈન્ટના સમૂહના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરતી હોવાથી, વિચિત્ર આકર્ષણનો ખ્યાલ પ્રવાહ પૂરતો મર્યાદિત નથી: વિસર્જનકારી મેપિંગ્સ પણ વિચિત્ર આકર્ષણો પેદા કરી શકે છે. ડિસ્પ્લે

જો તે ફેઝ સ્પેસમાં વોલ્યુમ કમ્પ્રેશન તરફ દોરી જાય તો તેને ડિસિપેટિવ કહેવામાં આવે છે, એટલે કે જો જેકોબિયન જેનું મોડ્યુલ, જેના દ્વારા પુનરાવૃત્તિ પછી પ્રાથમિક વોલ્યુમનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, તે 1 કરતા ઓછો છે:

પોઈનકેરે-બેન્ડિક્સન પ્રમેય, જે બે કરતાં વધુ મૂલ્યો તરફના પ્રવાહો દ્વારા પેદા થતા વિચિત્ર આકર્ષણોના પરિમાણને મર્યાદિત કરે છે, તે મેપિંગ માટે માન્ય નથી. આ એ હકીકતને કારણે છે કે મેપિંગ અલગ પોઈન્ટ જનરેટ કરે છે અને સાતત્ય સાથે સંકળાયેલા પ્રતિબંધો દૂર કરવામાં આવે છે. આમ, ડિસિપેટિવ મેપિંગ વિચિત્ર આકર્ષણો તરફ દોરી શકે છે જેનું પરિમાણ 2 કરતાં ઓછું છે.

ઉદાહરણ માટે, ચાલો આપણે બે ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ, જે, તેમના નાના પરિમાણને લીધે, લોરેન્ટ્ઝ આકર્ષનાર કરતાં કલ્પના કરવી સરળ છે.

બેકરનું પરિવર્તન. ફિગ માં. 61 બતાવ્યું સામાન્ય રૂપાંતરબેકર - એક વિસ્તાર-સંરક્ષિત મેપિંગ (એક બેકરની ક્રિયાઓની યાદ અપાવે છે જે લોટ આઉટ કરે છે) અને નોન-એરિયા-જાળવતું ડિસીપેટીવ બેકર ટ્રાન્સફોર્મેશન. ગાણિતિક

ચોખા. 61. a - બેકરનું પરિવર્તન; b - બેકરનું વિસર્જન કરનાર પરિવર્તન.

બાદમાં માટે અભિવ્યક્તિ

જ્યાં a એ એક પરિવર્તન છે જે બર્નૌલી શિફ્ટ તરફ દોરી જાય છે. તેનું લાયપુનોવ ઘાતાંક (x માં) જે પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ પ્રત્યે સંવેદનશીલતા તરફ દોરી જાય છે; આ મેપિંગ માટે એકમ ચોરસના વારંવારના સંપર્કમાં આવતા પદાર્થ એક વિચિત્ર આકર્ષણ છે. આ આકર્ષનાર આડી રેખાઓનો અનંત ક્રમ છે અને તેના આકર્ષણના ક્ષેત્રમાં એકમ ચોરસના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે. લ્યાપુનોવ ઘાતાંક એક દિશામાં અને આ દિશામાં ભીંગડા એવી રીતે ઘટાડવામાં આવે છે કે એકંદર પરિણામ(સાથે સ્ટ્રેચિંગ અને કોમ્પ્રેસિંગ) એ ડિસિપેટિવ મેપિંગ માટે જરૂરી વોલ્યુમમાં ઘટાડો છે.

એક વિચિત્ર આકર્ષનારનું Hausdorff પરિમાણ DB નીચે પ્રમાણે ગણી શકાય. દિશામાં, આકર્ષનાર ચેપમાં ફક્ત એક-પરિમાણીય (મેપિંગની જેમ) છે. 2). y દિશામાં Hausdorff પરિમાણ વ્યાખ્યામાંથી અનુસરે છે

અને આકર્ષનારની ઊભી સ્વ-સમાનતામાંથી (ફિગ. 61, બી). આ આપે છે

ચોખા. 63. a - હેનોન આકર્ષનારની છબી, 104 પોઈન્ટ દ્વારા બાંધવામાં આવી છે. આકર્ષનાર પર ભટકતી ગતિને દર્શાવવા માટે કેટલાક ક્રમિક બિંદુઓને ક્રમાંકિત કરવામાં આવે છે; b, c - અગાઉના આંકડાઓમાંથી ચોરસની વિસ્તૃત છબીઓ; g - દરેક સ્તંભની ઊંચાઈ - સંબંધિત સંભાવનાઅગાઉના ડ્રોઇંગની છ શીટમાંથી એકમાં એક બિંદુ શોધી કાઢવું ​​(ખેડૂત, 1982a, b).

આકર્ષનાર માળખું. હેનોન આકર્ષનારનું હોસડોર્ફ પરિમાણ!) માટે. આ પરિણામ ડિસ્પ્લે પ્લેન પર સેલ સાથે સ્ક્વેર ગ્રીડને સુપરઇમ્પોઝ કરીને અને પોઈન્ટ અને ગણતરી દ્વારા કબજે કરેલા ચોરસની સંખ્યા ગણીને મેળવવામાં આવ્યું હતું!) જો ફિગમાં હોય. 63, રિઝોલ્યુશન તમને છ "શીટ્સ" જોવાની મંજૂરી આપે છે, પછી દરેક શીટ માટે સંબંધિત સંભાવના તેના પરના પોઈન્ટ્સની સંખ્યાને ગણીને અંદાજિત કરી શકાય છે. ફિગમાં દરેક કૉલમની ઊંચાઈ. 63, r એ સંબંધિત સંભાવના છે, અને પહોળાઈ અનુરૂપ શીટની જાડાઈ છે.

ફિગમાં વિવિધ કૉલમ ઊંચાઈ. 63d દર્શાવે છે કે હેનોન આકર્ષનાર અસંગત છે. આ વિષમતાનું વર્ણન એક જ હૌસડોર્ફ પરિમાણ દ્વારા કરી શકાતું નથી, તેથી આગળ આપણે સ્થિર બંધારણ (એટલે ​​​​કે, બિંદુઓનું વિતરણ) ને દર્શાવતા પરિમાણોનો અનંત સમૂહ રજૂ કરીશું.

આકર્ષનાર જો કે, આ કરતા પહેલા, કોલમોગોરોવ એન્ટ્રોપીની ચર્ચા કરવી ઉપયોગી છે, જે વિચિત્ર આકર્ષણ પર ગતિશીલ વર્તનનું વર્ણન કરે છે.

ભૂગોળમાં સિસ્ટમોનો અભિગમ: ઉદભવ અને માળખાકીય સમરૂપતા.

સિસ્ટમના સિદ્ધાંતમાં ઉદભવ (અંગ્રેજી ઉદભવ - ઉદભવ, નવી વસ્તુનો ઉદભવ) - કોઈપણ સિસ્ટમની હાજરી ખાસ ગુણધર્મો, તેના સબસિસ્ટમ્સ અને બ્લોક્સમાં સહજ નથી, તેમજ ખાસ સિસ્ટમ-રચના જોડાણો દ્વારા જોડાયેલા તત્વોનો સરવાળો નથી; સિસ્ટમના ગુણધર્મોને તેના ઘટકોના ગુણધર્મના સરવાળે અપરિવર્તનક્ષમતા; સમાનાર્થી - "સિસ્ટમ અસર".

જીવવિજ્ઞાન અને ઇકોલોજીમાં, ઉદભવની વિભાવના નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે: એક વૃક્ષ જંગલ નથી, વ્યક્તિગત કોષોનું ક્લસ્ટર એ સજીવ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, જૈવિક જાતિના ગુણધર્મો અથવા જૈવિક વસ્તીવ્યક્તિગત વ્યક્તિઓના ગુણધર્મોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા નથી, પ્રજનનક્ષમતા અને મૃત્યુદરની વિભાવનાઓ વ્યક્તિને લાગુ પડતી નથી, પરંતુ સમગ્ર વસ્તી અથવા પ્રજાતિઓને લાગુ પડે છે.

ઉત્ક્રાંતિ વિજ્ઞાનમાં તેને સિસ્ટમના નવા કાર્યાત્મક એકમોના ઉદભવ તરીકે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જે હાલના તત્વોની સરળ પુનઃ ગોઠવણીમાં ઘટાડો થતો નથી.

ભૂમિ વિજ્ઞાનમાં: જમીનની ઉભરતી મિલકત ફળદ્રુપતા છે.

સિસ્ટમોના વર્ગીકરણમાં, ઉદભવ એ સિસ્ટમના માપદંડ લક્ષણ તરીકે તેમના વર્ગીકરણનો આધાર હોઈ શકે છે.

સ્ટ્રક્ચરલ આઇસોમોર્ફિઝમનો વિચાર - સામગ્રી તત્વોની ઓળખ વિના બંધારણની ઓળખ - જે 60 ના દાયકાના અંતમાં - 70 ના દાયકાની શરૂઆતમાં ભૂગોળમાં વ્યાપક બની હતી. XX સદી વિજય સરઘસની પૃષ્ઠભૂમિ સામે વ્યવસ્થિત અભિગમ. સમાન કાલ્પનિક અને ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા, ઉદાહરણ તરીકે, નદીના ઘૂસણખોરીનું વર્ણન કરવા અને યુએસએમાં ફેડરલ હાઇવેના માર્ગમાં ફેરફાર (માં બાદમાં કેસત્યાં વિચિત્ર રિવર-બેડ શાફ્ટની પ્રગતિ પણ છે, જે ઘણી બધી બાબતોને કારણે ઊભી થઈ છે ઊંચી કિંમતહાલના હાઇવેની નજીકની જમીન - V. Bunge દ્વારા પુસ્તક જુઓ) વ્યવહારિક દ્રષ્ટિએ ખૂબ જ ઉપયોગી અને સૈદ્ધાંતિક દ્રષ્ટિએ આકર્ષક છે.

1962 માં પ્રકાશિત થયેલ મુખ્ય વિચારોમાંથી એક. V. Bunge દ્વારા પુસ્તકો " સૈદ્ધાંતિક ભૂગોળ"(રશિયન અનુવાદ 1967 માં પ્રકાશિત), ત્યાં ચોક્કસ રીતે માળખાકીય આઇસોમોર્ફિઝમનો વિચાર હતો, જેને સૌથી વધુ વૈવિધ્યસભર પ્રકૃતિની ભૌગોલિક ઘટનાના અવકાશી સંગઠનની પદ્ધતિઓની ઓળખ તરીકે સમજવામાં આવે છે, જેનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. ભૌતિક ભૂગોળ, અને સામાજિક-આર્થિક. બંગે હિંમતભેર ભૂઆકૃતિ વિજ્ઞાનમાંથી વિચારો ઉધાર લીધા અને તેમને સામાજિક-ભૌગોલિક ઘટનાના વર્ણનમાં લાગુ કર્યા. તે નદીના ભ્રમણ અને ફેડરલ હાઇવેના રૂટમાં ફેરફાર વચ્ચેની પાઠ્યપુસ્તકની સરખામણી બની ગઈ છે, જેને જમીનના ઊંચા ભાવોના "નદી-નદીના પ્રકોપ" ને પણ દૂર કરવાની ફરજ પડી છે.

આ પ્રકારનાં સૌથી સામાન્ય મોડલને ગુરુત્વાકર્ષણ અને એન્ટ્રોપી મોડલ તરીકે ગણવામાં આવે છે. આ તમામ મોડેલો ભૌતિકશાસ્ત્રની વિવિધ શાખાઓમાંથી ઉધાર લીધેલા છે - તે હોઈ શકે શાસ્ત્રીય મિકેનિક્સઅથવા થર્મોડાયનેમિક્સ - ગાણિતિક સાધનોનો ઉપયોગ કરવાના હેતુ માટે, ઉદાહરણ તરીકે, તેમના વસ્તી વિષયક જનસંખ્યાના આધારે શહેરો વચ્ચે મુસાફરોના પ્રવાહનું મોડેલ બનાવવા માટે. તે સ્પષ્ટ છે કે આવા મોડેલોના ઉપયોગ માટે તેમના માપાંકનની જરૂર છે - શક્ય તેટલી વ્યાપક પ્રયોગમૂલક સામગ્રીના આધારે સતત મૂલ્યોની પસંદગી, અને આ સંજોગોને લીધે તેમનું અનુમાનિત મૂલ્ય બિનશરતી નથી.

આકર્ષનારની વિભાવના. વિચિત્ર આકર્ષણો.

આકર્ષનાર (અંગ્રેજી આકર્ષણ - આકર્ષવા, આકર્ષિત કરવા) એ ગતિશીલ પ્રણાલીના રાજ્યોનો સમૂહ (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તબક્કાની જગ્યાના બિંદુઓ) છે, જેમાં તે સમયાંતરે વલણ ધરાવે છે. આમ, આકર્ષનારની સૌથી સરળ આવૃત્તિઓ એ આકર્ષિત નિશ્ચિત બિંદુ છે (ઉદાહરણ તરીકે, હવાના ઘર્ષણ સાથેના લોલકની સમસ્યામાં) અને સામયિક માર્ગ (ઉદાહરણ તરીકે, સકારાત્મક પ્રતિસાદ સાથે સર્કિટમાં સ્વ-ઉત્તેજક ઓસિલેશન), પરંતુ ત્યાં છે. વધુ જટિલ ઉદાહરણો પણ.

મહત્વાકાંક્ષાની વિભાવનાની વિવિધ ઔપચારિકતાઓ છે, જે આકર્ષનારની જુદી જુદી વ્યાખ્યાઓ તરફ દોરી જાય છે, જે તે મુજબ, સંભવિત રૂપે જુદા જુદા સમૂહોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે (ઘણી વખત એક બીજામાં નેસ્ટ્ડ). સૌથી સામાન્ય રીતે વપરાતી વ્યાખ્યાઓ છે મહત્તમ આકર્ષનાર (ઘણીવાર તેના નાના પડોશમાં, નીચે જુઓ), મિલ્નોર આકર્ષનાર અને નોન-વોન્ડરીંગ સેટ.

આકર્ષણોને આ પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે:

મહત્વાકાંક્ષાની વિભાવનાની ઔપચારિકતા: મહત્તમ આકર્ષનાર, બિન-ભટકતા સમૂહ, મિલ્નોર આકર્ષનાર, બિરખોફ કેન્દ્ર, આંકડાકીય અને ન્યૂનતમ આકર્ષણ વચ્ચેનો તફાવત.

આકર્ષનારની જ નિયમિતતાઓ: આકર્ષનારાઓને નિયમિત (નિયત બિંદુને આકર્ષિત કરવા, સામયિક માર્ગને આકર્ષિત કરવા, મેનીફોલ્ડ) અને વિચિત્ર (અનિયમિત - ઘણીવાર ખંડિત અને/અથવા અમુક વિભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. કેન્ટર સેટ; તેમના પરની ગતિશીલતા સામાન્ય રીતે અસ્તવ્યસ્ત હોય છે).

સ્થાનિકતા ("આકર્ષક સમૂહ") અને વૈશ્વિકતા (અહીં "મિનિમલ" શબ્દનો અર્થ "અવિભાજ્ય" થાય છે).

સિનર્જેટિક ક્રાંતિએ વૈજ્ઞાનિક વિશ્વ દૃષ્ટિકોણમાં ગહન ફેરફારો તરફ દોરી, સૌ પ્રથમ, કાર્યકારણ સમાન તરીકે અંતિમવાદી (ટેલિઓલોજિકલ) સમજૂતીની સ્થાપના કરી, જે એકલા વિજ્ઞાનમાં અસ્તિત્વમાં હતું. ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ. જો કે, પછી કાર્યકારણના પતનથી માત્ર માઇક્રોવર્લ્ડની ઘટનાને અસર થઈ, જે આપણા રોજિંદા જીવનથી અનંત દૂર વિસ્તાર છે. સિનર્જેટિક ક્રાંતિએ મેસોવર્લ્ડની કેટલીક ઘટનાઓના અભ્યાસ માટે અંતિમ સમજૂતીના વિસ્તરણ તરફ દોરી, એટલે કે. વિશ્વ કે જેમાં આપણે રહીએ છીએ અને જે આપણા માટે સુલભ છે રોજિંદા અનુભવ. તે જ સમયે, આપણા માટે આ વિચારની આદત પાડવી ખૂબ જ મુશ્કેલ છે કે કેટલીક પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસક્રમ પ્રારંભિક પરિસ્થિતિઓ દ્વારા નિર્ધારિત થતો નથી, એટલે કે. કારણ, પરંતુ અંતિમ સ્થિતિ કે જેના માટે તેઓ પ્રયત્ન કરે છે. આ અંતિમ સ્થિતિને સિનર્જેટિક્સમાં આકર્ષનાર કહેવામાં આવે છે - પ્રક્રિયાના આકર્ષણનો વિસ્તાર.

જીવવિજ્ઞાન અને બ્રહ્માંડ વિજ્ઞાનમાંથી આવતા અંતિમવાદી વિચારોની સક્રિય ચર્ચાએ ભૂગોળમાં બૌદ્ધિક આબોહવાને બદલવાનું શક્ય બનાવ્યું, સામાન્ય રીતે વિજ્ઞાનમાં અને ખાસ કરીને ભૂગોળમાં માત્ર એક જ શક્ય તરીકે કારણભૂત સમજૂતીના દૃષ્ટિકોણને હલાવવાનું શક્ય બન્યું. બૌદ્ધિક આબોહવામાં આવેલા આ પરિવર્તને સિનર્જેટિક્સના વિચારોના ઘૂંસપેંઠ માટેનો માર્ગ તૈયાર કર્યો, જેમાં આકર્ષનારના વિચારનો સમાવેશ થાય છે - પ્રક્રિયાના આકર્ષણનો વિસ્તાર. વીસમી સદીના 60 ના દાયકામાં પાછા. વિશાળ શહેરોના વિકાસમાં કોફાઇનાલિટી (સમાનતા) નો વિચાર વ્યાપક બન્યો છે - આ શહેરો નાના અને મધ્યમ કદના શહેરો કરતાં એકબીજા સાથે અસાધારણ રીતે વધુ સમાનતા દર્શાવે છે જ્યાંથી તેઓ ઉછર્યા હતા. ગ્રાફ થિયરીની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને પરિવહન નેટવર્કના વિકાસનું વિશ્લેષણ અથવા કેન્દ્રીય સ્થાનોના સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને શહેરી વસાહત પ્રણાલીના વિકાસનું વિશ્લેષણ પણ ચોક્કસ વર્ગની સમસ્યાઓના ઉદાહરણો છે જ્યાં સૌથી વધુ ફળદાયી વિચારો નિર્ધારણ વિશે છે. અંતિમ સ્થિતિ દ્વારા પ્રક્રિયા, અને પ્રારંભિક શરતો નહીં, આકર્ષનાર માટેની તેની ઇચ્છા વિશે, જે એક આદર્શ પદાર્થ છે વૈજ્ઞાનિક સિદ્ધાંત. અને જો કોઈ આકર્ષનાર પ્રાપ્ય નથી, તો તેનો અર્થ એ નથી કે તે અસ્તિત્વમાં નથી.

સૈદ્ધાંતિક રચનાઓના ભૂગોળ માટેનું મહત્વ જેમ કે સંભવિત સ્વરૂપો કે જે વ્યક્તિગત સજીવોના વિકાસ અને ઉત્ક્રાંતિની દિશા નક્કી કરે છે જૈવિક પ્રજાતિઓ, અથવા અંતિમ સમપ્રમાણતા ખૂબ મોટી છે અને તે કોઈનું ધ્યાન ગયું નથી. રાજ્યોના સ્થિર પ્રાદેશિક સંગઠનના સ્વરૂપોની સામ્યતા, જે વાસ્તવમાં વી.પી. સેમેનોવ-ટાયન-શાંસ્કી દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી, અને એલ.એસ. બર્ગે નોમોજેનેસિસ પર તેની પ્રખ્યાત કૃતિ પ્રકાશિત કરી હતી, તે એટલું સ્પષ્ટ છે કે તેને વધારાની દલીલની જરૂર નથી. તમારે ઓછા સ્પષ્ટ વિચારો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું જોઈએ. આ, સૌ પ્રથમ, વિશાળ શહેરોના વિકાસમાં કોફિનાલિટી (સમાનતા) વિશેના વિચારો છે, જેને પી. હેગેટ દ્વારા 60ના દાયકામાં આગળ મૂકવામાં આવ્યા હતા. આ વર્ગના શહેરો જ્યાંથી તેઓ ઉછર્યા હતા તે નાના શહેરો કરતાં એકબીજા સાથે અસાધારણ રીતે વધુ સમાનતા દર્શાવે છે. શહેરની પ્રણાલીઓના વિકાસમાં સમાન વલણો શોધી શકાય છે. કેન્દ્રીય સ્થાનોની સિસ્ટમ્સ (એક શહેર તરીકે સમજવામાં આવે છે કેન્દ્રીય સ્થળકારણ કે તે માત્ર તેની વસ્તીને જ નહીં, પરંતુ તેના ઝોનની વસ્તીને પણ સેવા આપે છે, તે જેટલો મોટો વંશવેલો સ્તર જેટલો તે સંબંધિત છે) તેઓ તેમના વિકાસ માટે ચોક્કસ રીતે પ્રયત્ન કરે છે. સંતુલન સ્થિતિ, કહેવાતા આઇસોસ્ટેટિક સંતુલન, જે તેમના સંબંધમાં આકર્ષનાર તરીકે કાર્ય કરે છે - પ્રક્રિયા માટે આકર્ષણનું ક્ષેત્ર

બિનરેખીય ગતિશીલતા અને તેના વૈચારિક સિદ્ધાંતો બંનેના અપવાદરૂપે ફળદાયી ઉપયોગનું ઉદાહરણ વિકાસ હતું. અસાધારણ સિદ્ધાંત S.P. Kapitsa દ્વારા પૃથ્વીની વસ્તીમાં વધારો, જે સંભવિત અને પૂર્વવર્તી બંને આગાહીઓ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને બાદમાંનો ઉપયોગ કરીને પ્રયોગમૂલક વાસ્તવિકતા સાથે સફળતાપૂર્વક સરખામણી કરવામાં આવી હતી. વૈચારિક દ્રષ્ટિએ સૌથી મહત્વપૂર્ણ નિષ્કર્ષ એ છે કે પૃથ્વીની વસ્તીની વૃદ્ધિ ક્યારેય ક્રિયા દ્વારા નિયંત્રિત થઈ નથી. બાહ્ય પરિબળો, અને હંમેશા - અજાણ્યા આંતરિક કાયદાઓ દ્વારા. આ સ્થિતિને સિદ્ધાંતના નિર્માતા દ્વારા ઔપચારિક કરવામાં આવી હતી વસ્તી વિષયક આવશ્યકતાનો સિદ્ધાંત.

મૂળભૂત મુશ્કેલી એ છે કે આપણા શસ્ત્રાગારમાં આપણી પાસે જે પણ સિદ્ધાંતો છે તે "આર્થિક" સમાજમાં પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યા છે, જે અર્થતંત્રમાં બનતી તમામ પ્રક્રિયાઓના આકર્ષણ તરીકે આર્થિક સંતુલનમાં અચળ માન્યતા પર આધારિત છે, અને અમે તેને ધ્યાનમાં લેવાનું વલણ ધરાવીએ છીએ. બાહ્ય વિક્ષેપ તરીકે સામાજિક આપત્તિ જે સિસ્ટમને સંતુલનની સ્થિતિમાંથી લઈ જાય છે, જ્યાં તે હજી પણ પ્રથમ તક પર પાછા ફરવાનો પ્રયત્ન કરે છે. દરમિયાન, પહેલેથી જ ખૂબ જ આર્થિક વિજ્ઞાનઅર્થતંત્રની "કુદરતી" અથવા "સામાન્ય" સ્થિતિ તરીકે આર્થિક સંતુલન અંગેની શંકાઓ વધુને વધુ વ્યાપક બની રહી છે. તેઓ ખાસ કરીને એમ. કેસ્ટેલ્સ જેવા પ્રભાવશાળી અર્થશાસ્ત્રી અને સમાજશાસ્ત્રી દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યા છે. તેમની થીસીસ એ છે કે માહિતીમાં (અન્યથા "પોસ્ટ-ઇકોનોમિક" તરીકે ઓળખાય છે) સમાજ આર્થિક પ્રક્રિયાઓમાત્ર અલગ સ્વભાવ જ નહીં, પણ અલગ અભિગમ પણ છે. તેમના મતે, માહિતી મંડળની પ્રાદેશિક સંસ્થા, જેમાં વસાહતની સંસ્થાનો સમાવેશ થાય છે, તે ઔદ્યોગિક સમાજની તુલનામાં સૌથી નોંધપાત્ર ફેરફારોમાંથી પસાર થશે.

પરિણામે, ભૂગોળશાસ્ત્રીઓને અજોડ રીતે વધુ સામનો કરવો પડશે જટિલ કાર્યોતેઓ જે પહેલાં મળ્યા હતા તેના કરતાં: માત્ર આકર્ષનારાઓ માટે જ નહીં, એટલે કે. અભ્યાસ કરવામાં આવતી પ્રક્રિયાઓના આકર્ષણના ક્ષેત્રો, અને વિચિત્ર આકર્ષણો, જે જટિલ બિન-સામયિક ઉકેલો છે. ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ અને ગણિતશાસ્ત્રીઓના સહકાર વિના, આવા કાર્યને ભાગ્યે જ એકલા ભૂગોળશાસ્ત્રીઓ દ્વારા હલ કરી શકાય છે, ઓછામાં ઓછું જ્યાં સુધી ભૂગોળશાસ્ત્રીઓની એક પેઢી મોટી ન થાય ત્યાં સુધી, જેઓ તેમના વિદ્યાર્થીકાળથી સિનર્જેટિક્સના ગાણિતિક ઉપકરણમાં નિપુણતા મેળવશે. અમારું કાર્ય ઓપરેશનલ સિદ્ધાંતો વિકસાવીને આવા સહકાર માટે એક વૈચારિક આધાર બનાવવાનું છે જે તેમના વિકાસ માટે સૌપ્રથમ વૈચારિક અને પછી સિનર્જેટિક્સના ગાણિતિક ઉપકરણને લાગુ કરવાનું શક્ય બનાવે છે.

વિચિત્ર એટ્રેક્ટર

વિસર્જનની તબક્કાની જગ્યામાં અસ્થિર માર્ગનો આકર્ષક સમૂહ ગતિશીલ સિસ્ટમ. S. a., આકર્ષનારથી વિપરીત, મેનીફોલ્ડ નથી (એટલે ​​કે, તે વળાંક અથવા સપાટી નથી); તેના જીઓમ. ઉપકરણ ખૂબ જટિલ છે, અને તેનું માળખું ખંડિત છે (જુઓ. ફ્રેકટલ્સ).તેથી જ તેને આ નામ મળ્યું. "વિચિત્ર" [ડી. Ruelle (D.Ruelle), F. Takens (F. Takens)]. હકીકત એ છે કે SA ની નજીકમાં સ્થિત તમામ માર્ગો તેના તરફ આકર્ષાય છે, તે તેના ઘટક માર્ગો (દ્વિભાજન, મર્યાદા ચક્ર) ની અસ્થિરતાની પ્રકૃતિ સાથે મૂળભૂત રીતે જોડાયેલ છે. ટ્રેજેકટરીઝ એસ. એ. સ્થિર સ્ટોકેસ્ટિક્સનું વર્ણન કરો. સ્વ-દોલન,આધારભૂત ડિસિપેટિવ સિસ્ટમબાહ્ય ઊર્જાને કારણે. સ્ત્રોત એસ. એ. માત્ર સ્વ-ઓસિલેશનની લાક્ષણિકતા. સિસ્ટમો, તબક્કાની જગ્યાનું પરિમાણ જે બે કરતા વધારે છે (ફિગ. 1). પ્રથમ સિસ્ટમનો અભ્યાસ S. a.- સાથે કરવામાં આવ્યો હતો. લોરેન્ટ્ઝ સિસ્ટમ-ત્રિ-પરિમાણીય.

ચોખા. 1. પ્રકાર (1) ના સમીકરણો દ્વારા વર્ણવેલ સિસ્ટમમાં એક વિચિત્ર આકર્ષનાર.

સામયિક સાથે સિસ્ટમો સ્વ-ઓસિલેશન, ગણિત. જેની છબી મર્યાદા ચક્ર છે તેનો સંપૂર્ણ અભ્યાસ કરી શકાય છે વિભેદકોના ગુણાત્મક સિદ્ધાંતની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને. ur સિદ્ધાંતનું નિર્માણ સ્ટોકેસ્ટિક વધઘટ,જેમાં, ખાસ કરીને, S. a. ના ગુણધર્મોની લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવામાં (અનુમાન) સામેલ છે. સિસ્ટમ પરિમાણોને જોતાં, તે માટે પણ અત્યંત મુશ્કેલ છે ત્રિ-પરિમાણીય સિસ્ટમો. એક સમાન બાંધકામ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે, જો કે, ઉદાહરણ. જેમ વેન ડેર પોલ જનરેટર એ સૌથી સરળ પ્રમાણભૂત છે. સામયિકતા દર્શાવતી સિસ્ટમનું ઉદાહરણ. સ્વ-ઓસિલેશન, સ્કીમ 2a અને કંઈક અંશે જટિલ વેન ડેર પોલ જનરેટરને વ્યાખ્યાયિત કરવા, સ્ટોકેસ્ટિક જનરેટરના સૌથી સરળ ઉદાહરણોમાંના એક તરીકે સેવા આપી શકે છે. b જ્યારે વર્તમાન આઈસર્કિટ અને ગ્રીડ વોલ્ટેજમાં . નાના છે, ટનલ ડાયોડ પર કોઈ અસર નથી. સર્કિટમાં ઓસિલેશન પર પ્રભાવ, અને તેઓ, પરંપરાગત ટ્યુબ જનરેટરની જેમ, વધે છે. આ કિસ્સામાં, વર્તમાન ટનલ ડાયોડ દ્વારા વહે છે આઈ, અને તેની સમગ્ર વોલ્ટેજ લાક્ષણિકતાની શાખા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે I(V).વર્તમાન ક્યારે છે આઈમૂલ્ય સુધી પહોંચે છે હું ટી,ટનલ ડાયોડનું લગભગ તાત્કાલિક સ્વિચિંગ થાય છે (સ્વિચિંગ સ્પીડ નાની ક્ષમતા સાથે સંકળાયેલ છે. સી 1) -વોલ્ટેજ અચાનક સેટ થાય છે વી.એમ.પછી ટનલ ડાયોડ દ્વારા વિદ્યુતપ્રવાહ ઘટે છે અને તે વિભાગમાંથી પાછું સ્વિચ કરે છે. બે સ્વિચિંગના પરિણામે, ટનલ ડાયોડ સર્કિટમાં પ્રવેશતી ઊર્જાને લગભગ સંપૂર્ણપણે શોષી લે છે અને ઓસિલેશન ફરીથી વધવા માંડે છે. (જ્યારે સર્કિટના સંચાલનને ધ્યાનમાં રાખીને, લેમ્પની લાક્ષણિકતાને રેખીય ગણી શકાય; આ હકીકત દ્વારા વાજબી છે કે અમને રુચિના મોડમાં, ઓસિલેશન ટનલ ડાયોડની બિનરેખીય લાક્ષણિકતા દ્વારા મર્યાદિત છે.) આમ, જનરેટ થયેલ સિગ્નલ U(t) એ વધતી જતી ઓસિલેશનની ટ્રેનોનો ક્રમ છે; દરેક ટ્રેનનો અંત વોલ્ટેજ જમ્પ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે V(t).

ચોખા. 2. સરળ અવાજ જનરેટરનું યોજનાકીય આકૃતિ (a) - એક વેન ડેર પોલ ઓસિલેટર, ગ્રીડ સર્કિટમાં જેમાં ટનલ ડાયોડ ઉમેરવામાં આવે છે. બિનરેખીય તત્વની વર્તમાન-વોલ્ટેજ લાક્ષણિકતા (b) - એક ટનલ ડાયોડ.

માટે માત્રાત્મક વર્ણનસર્કિટનું સંચાલન, પ્રારંભિક સ્તર

પરિમાણહીન સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત:

જ્યાં x = I/I m, z= V/V m ,

- ડાયોડની સામાન્ય લાક્ષણિકતા. અહીં એક નાનું પરિમાણ છે તેથી, તબક્કાની જગ્યામાં બધી હિલચાલ (ફિગ. 3)

ચોખા. 3. સિસ્ટમના તબક્કાની જગ્યામાં ટ્રેજેકટ્રીઝનું વર્તન (1) ખાતે

ઝડપી ડાયોડ સ્વિચિંગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે (ડાયરેક્ટ x =કોન્સ્ટ y = const) અને ધીમું, જેમાં ડાયોડ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહને “અનુસરે છે”; અનુરૂપ માર્ગો સપાટી પર આવેલા છે એઅને B[x = f(z), f"(z) >0], ડાયોડના વિસ્તારો અને લાક્ષણિકતાઓને અનુરૂપ.

સિસ્ટમમાં એક અસ્થિર [એટ] સંતુલન સ્થિતિ છે x = y = z= 0 સેડલ પ્રકાર. સપાટી પર પડેલા માર્ગો એ,અસ્થિર ધ્યાનની આસપાસ સ્પિન કરો અને આખરે સપાટીની ધાર સુધી પહોંચો એ.અહીં એક બિંદુનું વિક્ષેપ છે જે સપાટી પરની ઝડપી હલનચલનની રેખા સાથે તબક્કાના માર્ગ (કહેવાતા પ્રતિનિધિત્વ બિંદુ) પર સિસ્ટમની સ્થિતિ દર્શાવે છે. INમારફતે વૉકિંગ માં,રજૂ કરતું બિંદુ સપાટી પર પાછું આવે છે એઅને સંતુલન સ્થિતિની નજીકમાં આવે છે - વધતી જતી ઓસિલેશનની નવી ટ્રેન શરૂ થાય છે. સમીકરણો (1) ને અનુરૂપ પોઈનકેરે નકશો, ટુકડા પ્રમાણે, સતત કાર્ય દ્વારા વર્ણવી શકાય છે, જેનો આલેખ આકૃતિ 5 માં દર્શાવેલ છે. ગુણાંક સાથે રેખીય વિભાગ I. એક કરતા વધારે ઝોકનો ખૂણો ધીમી ગતિની સપાટી પરના માર્ગના અનવાઇન્ડિંગનું વર્ણન કરે છે એ,સર્કિટમાં ઓસિલેશનમાં વધારાને અનુરૂપ. વિભાગ II સપાટી પર ટ્રેજેકટ્રી A ને પરત કરવાના તબક્કાનું વર્ણન કરે છે માં,પર પાછા એ(ફિગ 3 જુઓ). ડોટેડ લાઇન દ્વારા દર્શાવેલ ચોરસના પાયાની બહાર પડેલા તમામ માર્ગો તેને સમયના અસિમ્પ્ટોટિકલી મોટા મૂલ્યો પર દાખલ કરે છે, એટલે કે પ્રદેશ ડી- શોષક અને આકર્ષનાર સમાવે છે. આ પ્રદેશની અંદરના તમામ માર્ગો અસ્થિર છે, એટલે કે આકર્ષનાર વિચિત્ર છે. સ્ટોકેસ્ટિક હિલચાલના ગુણધર્મો (સંખ્યાત્મક અભ્યાસો દ્વારા બતાવ્યા પ્રમાણે) સાચવેલ છે.

ચોખા. 4. ફિગમાં બતાવેલ સર્કિટ દ્વારા જનરેટ થયેલ સિગ્નલનું પાવર સ્પેક્ટ્રમ. 2a, અને આ સિગ્નલનો ઓસિલોગ્રામ.

ચોખા. 5. ફિગમાં સર્કિટની ગતિશીલતાનું વર્ણન કરતા ફંક્શન f(x) નો ગ્રાફ. 2 વાગ્યે.

ખંડિત પરિમાણ. આંકડાકીય તમામ વિવિધતા ગતિશીલ દ્વારા જનરેટ થયેલ રેન્ડમ સિગ્નલના ગુણધર્મો S. a સાથે સિસ્ટમનું વર્ણન કરી શકાય છે જો સિસ્ટમ સ્ટેટ્સની સંભાવનાનું વિતરણ જાણીતું હોય. જો કે, સંભાવના માપ સાથે ચોક્કસ સિસ્ટમો માટે આ વિતરણ મેળવવું (અને વાપરવું) અત્યંત મુશ્કેલ છે (જો માત્ર કારણ કે અવિવર્તી સંભાવના માપની વિતરણ ઘનતા હંમેશા એકવચન હોય છે). S. a નું વર્ણન કરવા માટે કટનું આ એક કારણ છે.

જ્યાં , ચોક્કસ નિશ્ચિત પરિમાણ, એક સંખ્યા છે n- વ્યાસના પરિમાણીય ગોળાઓ આવરી લે છે S. a. ગતિશીલ સાથે સિસ્ટમો n- પરિમાણીય તબક્કાની જગ્યા.

સમીકરણ (2) અનુસાર નિર્ધારિત પરિમાણ સાથેદેખીતી રીતે n નથી, પરંતુ ઓછા હોઈ શકે છે n(n-પરિમાણીય દડા લગભગ ખાલી થઈ શકે છે). "સામાન્ય" સેટ માટે, સમીકરણ (2) સ્પષ્ટ પરિણામો આપે છે. તેથી, ઘણા માટે kપોઈન્ટ,; લંબાઈના સેગમેન્ટ માટે એલસીધી લીલી,;ચોરસના ટુકડા માટે એસદ્વિ-પરિમાણીય સપાટી, વગેરે. પૂર્ણાંકમાં પરિમાણની અસમાનતા જટિલ જીઓમને અનુરૂપ છે. 2.6).

ભૌતિક સાથે દૃષ્ટિકોણ, મુખ્ય S. a. ના ખંડિત પરિમાણનું "ગૌરવ" અને સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા ha ફોર્મ ધરાવે છે:

વિભાજન વિચિત્ર આકર્ષણો.સ્ટોકેસ્ટિક જન્મના માર્ગો. Feigenbaum સ્ક્રિપ્ટ - સાંકળ વિભાજનસ્થિર મર્યાદા ચક્રના સમયગાળાને બમણું કરવું. જો, નિયંત્રણ પરિમાણ બદલતી વખતે, સામયિક n-પરિમાણીય તબક્કા અવકાશમાં, દ્વિભાજનમાંથી પસાર થતા મર્યાદા ચક્રના બમણા સમયગાળાની પડોશમાં પોઈનકેરે નકશાના માર્ગનું વર્તન કાર્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, f(x),આલેખ પેરાબોલા જેવું જ છે. આ કાર્ય તેમની પોતાની દિશામાં કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે. ગુણક (-1) ( j+ 1)-પ્રવાહ દ્વારા પોઈનકેરે સેકન્ટ સિસ્ટમના j-th આંતરછેદોનો ગોઈ: x j+1= f(x j)ડબલ પીરિયડનું પરિણામી સ્થિર મર્યાદા ચક્ર બે સમયગાળાના ચક્રને અનુરૂપ છે. પ્રદર્શન પાથ f.દ્વિભાજન પરિમાણમાં વધુ ફેરફારો સાથે, સમયગાળાનું બમણું અનિશ્ચિત સમય માટે પુનરાવર્તિત થાય છે, અને વિભાજન. મૂલ્યો, ઉદાહરણ તરીકે, ક્રિટિકલમાં એકઠા થાય છે. S. a ના ઉદભવને અનુરૂપ બિંદુ. ફીજેનબૉમના દૃશ્ય અનુસાર, ત્યાં એક સાર્વત્રિક (ચોક્કસ સિસ્ટમથી સ્વતંત્ર) કાયદો છે.

જ્યાં = 4.6692... - સાર્વત્રિક સ્થિરફીગેનબૌમ (જુઓ ફીજેનબૌમ સાર્વત્રિકતા).

જન્મ S. a. જ્યારે નિશ્ચિત, ઘણા જવાબો. ધરી પર અંતરાલો એક્સ;આ અંતરાલો વચ્ચેના વિસ્તારોમાં આકર્ષનાર તરફ આકર્ષિત માર્ગો હોય છે, તેમજ 2 મી- સામયિક (પ્રદર્શન સંબંધિત f), કેટલાકથી શરૂ થતા અસ્થિર મર્યાદા ચક્ર મી 0અને ઓછા. જેમ જેમ પેરામીટર વધે છે તેમ, ઉત્તર પાંખ પર માર્ગો જે ગતિએ અલગ પડે છે તે ઝડપ વધે છે. વધે છે, અને તે “ફુલી જાય છે”, ક્રમશઃ પીરિયડ્સના અસ્થિર મર્યાદા ચક્રને શોષી લે છે 2 t+1.2 t, ... આ કિસ્સામાં, આકર્ષનારને અનુરૂપ વિભાગોની સંખ્યા છે

ચોખા. 6. પીરિયડ ડબલિંગનું "વિપરીત દ્વિભાજન", જે આકર્ષનારના સોજાને દર્શાવે છે જે ફીગેનબૉમના દૃશ્ય અનુસાર ઉદ્ભવ્યું હતું.

અંતરાય. બહુવચનમાં સિસ્ટમો જ્યારે નિયંત્રણ પરિમાણ (કહો) દ્વિભાજનમાંથી પસાર થાય છે. સ્ટોકેસ્ટિકમાં મૂલ્ય સંક્રમણ. સ્વ-ઓસિલેશન્સ બાહ્ય રીતે નિયમિત "સ્ટોચેસ્ટિક" ઓસિલેશનના દુર્લભ ઉલ્લંઘન તરીકે અનુભવાય છે. ફૂટે છે." આ કિસ્સામાં, લેમિનાર (નિયમિત) તબક્કાનો સમયગાળો લાંબો છે, સુપરક્રિટિકલિટીમાં વધારો સાથે, નિયમિત તબક્કાની અવધિ ઓછી થાય છે. આ ચિત્રને મુખ્યના નીચેના ઉત્ક્રાંતિ દ્વારા અર્થઘટન કરવામાં આવે છે. ફેઝ સ્પેસમાં ઓબ્જેક્ટો, તેઓ "નોંધ" કરે છે કે જૂનું આકર્ષણ અદૃશ્ય થઈ ગયું છે, અને, સેડલ મર્યાદા ચક્રના વિભાજન (પણ અદ્રશ્ય) ની નજીક રહીને, તેઓ તબક્કાની જગ્યાના બીજા ભાગમાં જાય છે. જો સબક્રિટિકલમાં હોય પ્રદેશમાં સિસ્ટમ વૈશ્વિક સ્તરે સ્થિર હતી (એટલે ​​​​કે, ત્યાં ફક્ત એક આકર્ષિત પદાર્થ હતો), પછી આ માર્ગો થોડા સમય પછી ફરીથી અદ્રશ્ય મર્યાદા ચક્રની નજીકમાં આવે છે. જો તે જ સમયે સબક્રિટિકલમાં. સેડલ ચક્રના વિભાજનના પરિમાણોના મૂલ્યોની શ્રેણી એક જટિલ જીઓમની તબક્કાની જગ્યામાં એમ્બેડ કરવામાં આવી હતી. માર્ગ (રચના અનંત સંખ્યાફોલ્ડ્સ - "લહેરિયું", જેમાં હેટરોક્લિનિક છે. અન્ય સેડલ સાયકલની ટ્રેજેકટોરીઝ, વગેરે), એટલે કે, સંક્રમણ પ્રક્રિયાએ અનિયમિત વર્તન દર્શાવ્યું, તો પછી અદ્રશ્ય ચક્રની નજીકમાં પ્રવેશવાનો સમય પહેલેથી જ રેન્ડમ ચલ હશે. આગળ, લેમિનર તબક્કાનું પુનરાવર્તન થાય છે. ઘણી વાર અસ્તવ્યસ્તમાં સંક્રમણો પણ હોય છે. ક્વાસિપિરિયોડિક રાશિઓના વિનાશ દ્વારા સ્વ-ઓસિલેશન (તબક્કાની અવકાશમાં, જ્યારે નિયંત્રણ પરિમાણો બદલાય છે, આકર્ષિત દ્વિ-પરિમાણીય ટોરસ સરળતા ગુમાવે છે અને તૂટી જાય છે) અને સંયુક્ત દૃશ્યો.

બહુપરીમાણીય વિચિત્ર આકર્ષણોઘણી વખત સ્વતંત્રતાની મોટી સંખ્યામાં ડિગ્રી સાથે સિસ્ટમોમાં જોવા મળે છે. સંભવિત મિકેનિઝમ્સમાં, અશાંતિ).

લિટ.: 1) રાબિનોવિચ એમ.આઈ., ટ્રુબેત્સ્કોવ ડી.આઈ., ઓસિલેશન અને તરંગોના સિદ્ધાંતનો પરિચય, એમ., 1984; 2) લિક્ટેનબર્ગ એ., લિબરમેન એમ., રેગ્યુલર આઇસોચેસ્ટિક ડાયનેમિક્સ, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1984; 3) Afraimovich V.S., Reiman A. એમ., બહુપરીમાણીય પ્રણાલીઓમાં પરિમાણ અને એન્ટ્રોપી, પુસ્તકમાં: બિનરેખીય તરંગો. ડાયનેમિક્સ એન્ડ ઇવોલ્યુશન, ઇડી. એ. વી. ગેપોનોવા-ગ્રેખોવ, એમ. આઈ. રાબિનોવિચ, વી. એસ. અફ્રેમોવિચ, એમ.

• - ભટકવું, વિદેશમાં ...

  સંક્ષિપ્ત ચર્ચ સ્લેવોનિક શબ્દકોશ

• - સિનર્જેટિક્સ જુઓ...

  મોટા મનોવૈજ્ઞાનિક જ્ઞાનકોશ

• - વિચિત્ર st.-slav. વિચિત્ર ξένος. અગાઉના થી...

  વાસ્મરની વ્યુત્પત્તિશાસ્ત્રીય શબ્દકોશ

• - જૂના ચર્ચ સ્લેવોનિક પાસેથી ઉધાર લેવું, જ્યાં તે દેશમાંથી બનેલું છે, જેમાં હતું જૂની રશિયન ભાષાજેનો અર્થ થાય છે "વિદેશી દેશ, વિદેશી લોકો"...

  ક્રાયલોવ દ્વારા રશિયન ભાષાની વ્યુત્પત્તિશાસ્ત્રીય શબ્દકોશ

• - A/C pr જુઓ _પરિશિષ્ટ II દેશો 259 સે.મી. કરતાં વિચિત્ર વિચિત્ર _પરિશિષ્ટ II - તમે તેના વિશે આટલું પ્રતિકૂળ કેમ બોલો છો? શું તે એટલા માટે છે કે આપણે બેચેનીથી બસ્ટ કરીએ છીએ અને દરેક વસ્તુનો નિર્ણય કરીએ છીએ...>...

  રશિયન ઉચ્ચારોનો શબ્દકોશ

• - cr.f. str/nen, strana/, str/no, str/nny...

  રશિયન ભાષાનો જોડણી શબ્દકોશ

• - વિચિત્ર, ઓહ, ઓહ; -અનેન, -અન્ના, -અન્નો. અસામાન્ય, અગમ્ય, મૂંઝવણનું કારણ બને છે. C. પાત્ર. એસ.એસપીપી. તેનું વર્તન મારા માટે વિચિત્ર છે. તે વિચિત્ર છે કે તે ફોન કરતો નથી ...

  શબ્દકોશઓઝેગોવા

• - વિચિત્ર, વિચિત્ર, વિચિત્ર; વિચિત્ર, વિચિત્ર, વિચિત્ર. 1. અસામાન્ય, સમજાવવું મુશ્કેલ, મૂંઝવણ ઊભી કરે છે. બોલવાની વિચિત્ર રીત. વિચિત્ર દેખાવ. "મૌન મીટિંગો વિચિત્ર હતી ...

  ઉષાકોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

• Efremova દ્વારા સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

• - વિચિત્ર હું adj. અસામાન્ય, મૂંઝવણ પેદા કરે છે. II adj. જૂનું રસ્તામાં; ભટકતા, વિચિત્ર...

  Efremova દ્વારા સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

• - વિચિત્ર એડજ., વપરાયેલ. ઘણી વાર મોર્ફોલોજી: વિચિત્ર, વિચિત્ર, વિચિત્ર, વિચિત્ર; વિચિત્ર; adv વિચિત્ર 1...

  દિમિત્રીવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

• - વિચિત્ર સ્વરૂપ - "એનેન, -એન" એ, -"...

  રશિયન જોડણી શબ્દકોશ

• - ઉધાર. કલામાંથી.-ક્રમાંક. ભાષા સુફ. અન્ય રશિયનમાં "વિદેશી દેશ, લોકો" ના અર્થમાં દેશમાંથી વ્યુત્પન્ન. ભાષા આ અર્થ હજુ પણ જાણીતો છે. શરૂઆતમાં - "એલિયન", "એલિયન", પછી - "અસાધારણ, અગમ્ય, ..."

  રશિયન ભાષાની વ્યુત્પત્તિશાસ્ત્રીય શબ્દકોશ

• - @font-face (font-family: "ChurchArial"; src: url;) span (font-size:17px;font-weight:normal ! મહત્વપૂર્ણ; ફોન્ટ-ફેમિલી: "ChurchArial", Arial,Serif;)   adj. - ભટકવું, ભટકનાર; બહારનો, અજાણી વ્યક્તિ; અદ્ભુત...

  ચર્ચ સ્લેવોનિક ભાષાનો શબ્દકોશ

• - ...

  શબ્દ સ્વરૂપો

• - સમયગાળો...

  સમાનાર્થી શબ્દકોષ

પુસ્તકોમાં "સ્ટ્રેન્જ એટ્રેક્ટર".

વિચિત્ર સ્વાદ

વિચિત્ર સ્વાદ