ત્રિકોણ - ત્રણ બાજુઓ સાથેનો બહુકોણ અથવા બંધ તૂટેલી લાઇનત્રણ લિંક્સ સાથે, અથવા એક જ સીધી રેખા પર આવેલા ન હોય તેવા ત્રણ બિંદુઓને જોડતા ત્રણ વિભાગો દ્વારા રચાયેલી આકૃતિ (ફિગ. 1 જુઓ).

ત્રિકોણ abc ના મૂળભૂત તત્વો

શિખરો - પોઈન્ટ A, B, અને C;

પક્ષો – શિરોબિંદુઓને જોડતા વિભાગો a = BC, b = AC અને c = AB;

ખૂણો - α, β, γ બાજુઓના ત્રણ જોડી દ્વારા રચાય છે. ખૂણાઓ ઘણીવાર A, B અને C અક્ષરો સાથે શિરોબિંદુની જેમ જ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

ત્રિકોણની બાજુઓ દ્વારા રચાયેલા અને તેના આંતરિક ભાગમાં આવેલા ખૂણાને આંતરિક ખૂણો કહેવામાં આવે છે, અને તેની બાજુમાં આવેલો ત્રિકોણનો સંલગ્ન કોણ છે (2, પૃષ્ઠ 534).

ત્રિકોણની ઊંચાઈ, મધ્યક, દ્વિભાજકો અને મધ્ય રેખાઓ

ત્રિકોણમાં મુખ્ય તત્વો ઉપરાંત, રસપ્રદ ગુણધર્મો ધરાવતા અન્ય વિભાગોને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે: ઊંચાઈ, મધ્ય, દ્વિભાજકો અને મધ્ય રેખાઓ.

ઊંચાઈ

ત્રિકોણની ઊંચાઈ- આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓથી વિરુદ્ધ બાજુઓ તરફ નાખવામાં આવેલ લંબ છે.

ઊંચાઈને કાવતરું કરવા માટે, તમારે નીચેના પગલાં ભરવા આવશ્યક છે:

1) ત્રિકોણની બાજુઓમાંથી એક ધરાવતી સીધી રેખા દોરો (જો ઊંચાઈ સ્થૂળ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણના શિરોબિંદુથી દોરવામાં આવે છે);

2) દોરેલી રેખાની સામે પડેલા શિરોબિંદુમાંથી, બિંદુથી આ રેખા તરફ એક ભાગ દોરો, તેની સાથે 90 ડિગ્રીનો ખૂણો બનાવો.

બિંદુ જ્યાં ઊંચાઈ ત્રિકોણની બાજુને છેદે છે તેને કહેવામાં આવે છે ઊંચાઈનો આધાર (ફિગ 2 જુઓ).

ત્રિકોણ ઊંચાઈના ગુણધર્મો

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, શિરોબિંદુમાંથી દોરેલી ઊંચાઈ જમણો ખૂણો, તેને મૂળ ત્રિકોણની જેમ બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

તીવ્ર ત્રિકોણમાં, તેની બે ઊંચાઈ તેનામાંથી સમાન ત્રિકોણને કાપી નાખે છે.

જો ત્રિકોણ તીવ્ર હોય, તો ઊંચાઈના તમામ પાયા ત્રિકોણની બાજુઓથી સંબંધિત છે, અને સ્થૂળ ત્રિકોણબે ઊંચાઈ બાજુઓના ચાલુ રાખવા પર પડે છે.

માં ત્રણ ઊંચાઈ તીવ્ર ત્રિકોણએક બિંદુ પર છેદે છે અને આ બિંદુ કહેવાય છે ઓર્થોસેન્ટર ત્રિકોણ

મધ્યક

મધ્યક(લેટિન મેડિયાનામાંથી - "મધ્યમ") - આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સાથે જોડતા ભાગો છે (ફિગ. 3 જુઓ).

મધ્યક બનાવવા માટે, તમારે નીચેના પગલાં ભરવા આવશ્યક છે:

1) બાજુની મધ્યમાં શોધો;

2) ત્રિકોણની બાજુની મધ્યમાં આવેલા બિંદુને એક સેગમેન્ટ સાથે વિરુદ્ધ શિરોબિંદુ સાથે જોડો.

ત્રિકોણ મધ્યના ગુણધર્મો

મધ્યક ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળના બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

ત્રિકોણના મધ્યક એક બિંદુ પર છેદે છે, જે શિરોબિંદુથી ગણીને તેમાંથી દરેકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. આ બિંદુ કહેવામાં આવે છે ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર ત્રિકોણ

સમગ્ર ત્રિકોણ તેના મધ્યક દ્વારા છ સમાન ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલું છે.

દ્વિભાજક

દ્વિભાજક(લેટિન bis - બે વાર અને સેકો - કટમાંથી) એ ત્રિકોણની અંદર બંધાયેલ સીધી રેખાના ભાગો છે જે તેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે (ફિગ. 4 જુઓ).

દ્વિભાજક બનાવવા માટે, તમારે નીચેના પગલાં ભરવા આવશ્યક છે:

1) કોણના શિરોબિંદુમાંથી બહાર આવતા કિરણને બનાવો અને તેને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરો (કોણનો દ્વિભાજક);

2) સાથે ત્રિકોણના કોણના દ્વિભાજકના આંતરછેદના બિંદુને શોધો સામે ની બાજું;

3) ત્રિકોણના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના આંતરછેદ બિંદુ સાથે જોડતો ભાગ પસંદ કરો.

ત્રિકોણ દ્વિભાજકોના ગુણધર્મો

ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક ગુણોત્તરમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે ગુણોત્તર સમાનબે અડીને બાજુઓ.

ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે. આ બિંદુને અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.

આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓના દ્વિભાજકો લંબરૂપ છે.

જો દ્વિભાજક બાહ્ય ખૂણોત્રિકોણ વિરુદ્ધ બાજુના સાતત્યને છેદે છે, પછી ADBD=ACBC.

ત્રિકોણના એક આંતરિક અને બે બાહ્ય ખૂણાના દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે. આ બિંદુ આ ત્રિકોણના ત્રણ વર્તુળોમાંથી એકનું કેન્દ્ર છે.

ત્રિકોણના બે આંતરિક અને એક બાહ્ય ખૂણાના દ્વિભાજકોના પાયા સમાન સીધી રેખા પર આવેલા હોય છે જો બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર ન હોય.

જો ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના દ્વિભાજકો વિરુદ્ધ બાજુઓ સાથે સમાંતર ન હોય, તો તેમના પાયા સમાન સીધી રેખા પર સ્થિત છે.

ભૂમિતિ એ સૌથી જટિલ અને ગૂંચવણભર્યું વિજ્ઞાન છે. તેમાં, જે પ્રથમ નજરમાં સ્પષ્ટ લાગે છે તે ભાગ્યે જ સાચું બહાર વળે છે. દ્વિભાજકો, ઊંચાઈઓ, મધ્યક, અંદાજો, સ્પર્શકો - મોટી રકમખરેખર મુશ્કેલ શરતો, જે મૂંઝવણમાં મૂકવી ખૂબ જ સરળ છે.

હકીકતમાં, યોગ્ય ઇચ્છા સાથે, તમે કોઈપણ જટિલતાના સિદ્ધાંતને સમજી શકો છો. જ્યારે દ્વિભાજકો, મધ્યક અને ઊંચાઈની વાત આવે છે, ત્યારે તમારે સમજવાની જરૂર છે કે તે ત્રિકોણ માટે અનન્ય નથી. પ્રથમ નજરમાં, આ સરળ રેખાઓ છે, પરંતુ તેમાંથી દરેકની પોતાની ગુણધર્મો અને કાર્યો છે, જેનું જ્ઞાન મોટા પ્રમાણમાં ઉકેલને સરળ બનાવે છે. ભૌમિતિક સમસ્યાઓ. તો, ત્રિકોણનું દ્વિભાજક શું છે?

વ્યાખ્યા

"દ્વિભાજક" શબ્દ પોતે સંયોજનમાંથી આવ્યો છે લેટિન શબ્દો"બે" અને "કટ", "કટ", જે પહેલેથી જ પરોક્ષ રીતે તેના ગુણધર્મો સૂચવે છે. સામાન્ય રીતે, જ્યારે બાળકોને આ કિરણનો પરિચય આપવામાં આવે છે, ત્યારે તેમને યાદ રાખવા માટે એક નાનો વાક્ય આપવામાં આવે છે: "દ્વિભાજક એ એક ઉંદર છે જે ખૂણાઓની આસપાસ ચાલે છે અને ખૂણાને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે." સ્વાભાવિક રીતે, આવી સમજૂતી જૂની શાળાના બાળકો માટે યોગ્ય નથી, અને ઉપરાંત, તેઓને સામાન્ય રીતે કોણ વિશે નહીં, પરંતુ ભૌમિતિક આકૃતિ વિશે પૂછવામાં આવે છે. તેથી ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એક કિરણ છે જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુથી જોડે છે, જ્યારે ખૂણાને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે. ડોટ સામે ની બાજું, જેના પર દ્વિભાજક આવે છે, માટે મનસ્વી ત્રિકોણઅવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ થયેલ છે.

મૂળભૂત કાર્યો અને ગુણધર્મો

આ બીમમાં થોડા મૂળભૂત ગુણધર્મો છે. પ્રથમ, કારણ કે ત્રિકોણનો દ્વિભાજક કોણને દ્વિભાજિત કરે છે, તેના પર પડેલો કોઈપણ બિંદુ ચાલુ રહેશે સમાન અંતરટોચની રચના કરતી બાજુઓમાંથી. બીજું, દરેક ત્રિકોણમાં તમે ઉપલબ્ધ ખૂણાઓની સંખ્યા અનુસાર ત્રણ દ્વિભાજકો દોરી શકો છો (તેથી, સમાન ચતુર્ભુજમાં પહેલાથી જ તેમાંથી ચાર હશે, અને તેથી વધુ). ત્રણેય કિરણો જે બિંદુ પર છેદે છે તે ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

ગુણધર્મો વધુ જટિલ બની જાય છે

ચાલો સિદ્ધાંતને થોડો જટિલ કરીએ. અન્ય રસપ્રદ મિલકત: ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે, જેનો ગુણોત્તર શિરોબિંદુ બનાવતી બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો છે. પ્રથમ નજરમાં, આ જટિલ છે, પરંતુ હકીકતમાં બધું સરળ છે: સૂચિત આકૃતિમાં, RL: LQ = PR: PK. માર્ગ દ્વારા, આ મિલકતને "દ્વિભાજક પ્રમેય" કહેવામાં આવતું હતું અને તે પ્રથમ પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડના કાર્યોમાં દેખાયું હતું. અમે તેમને એકમાં યાદ કર્યા રશિયન પાઠયપુસ્તકોમાત્ર સત્તરમી સદીના પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં.

તે થોડી વધુ જટિલ છે. ચતુર્ભુજમાં, દ્વિભાજક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણને કાપી નાખે છે. આ આંકડો મધ્યક AF માટે તમામ સમાન ખૂણાઓ દર્શાવે છે.

અને ચતુષ્કોણ અને ટ્રેપેઝોઇડ્સમાં, એક બાજુવાળા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે. બતાવેલ ચિત્રમાં, કોણ APB 90 ડિગ્રી છે.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં

દ્વિભાજક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ- વધુ ઉપયોગી બીમ. તે તે જ સમયે અડધા ભાગમાં ખૂણાના વિભાજક જ નહીં, પણ મધ્ય અને ઊંચાઈ પણ છે.

મધ્યક એક સેગમેન્ટ છે જે કોઈ ખૂણેથી આવે છે અને વિરુદ્ધ બાજુની મધ્યમાં આવે છે, ત્યાં તેને સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે. ઊંચાઈ એ શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુએ ઉતરેલી લંબ છે; તે તેની મદદથી કોઈપણ સમસ્યાને સરળ અને આદિમ પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં ઘટાડી શકાય છે. આ પરિસ્થિતિમાં, ત્રિકોણનો દ્વિભાજક કર્ણોના વર્ગ અને બીજા પગ વચ્ચેના તફાવતના મૂળ જેટલો છે. માર્ગ દ્વારા, આ મિલકત મોટાભાગે ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં આવે છે.

એકીકૃત કરવા માટે: આ ત્રિકોણમાં, દ્વિભાજક FB એ મધ્ય છે (AB = BC) અને ઊંચાઈ (કોણ FBC અને FBA 90 ડિગ્રી છે).

રૂપરેખામાં

તો તમારે શું યાદ રાખવાની જરૂર છે? ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એ કિરણ છે જે તેના શિરોબિંદુને દ્વિભાજિત કરે છે. ત્રણ કિરણોના આંતરછેદ પર અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે આપેલ ત્રિકોણ(આ ગુણધર્મનો એકમાત્ર ગેરલાભ એ છે કે તેનું કોઈ વ્યવહારુ મૂલ્ય નથી અને તે માત્ર ડ્રોઇંગના સક્ષમ અમલ માટે જ સેવા આપે છે). તે વિરુદ્ધ બાજુને ભાગોમાં પણ વિભાજિત કરે છે, જેનો ગુણોત્તર આ કિરણ પસાર થયેલી બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો છે. ચતુર્ભુજમાં, ગુણધર્મો થોડી વધુ જટિલ બની જાય છે, પરંતુ, સ્વીકાર્યપણે, તેઓ વ્યવહારીક રીતે ક્યારેય સમસ્યાઓમાં દેખાતા નથી. શાળા સ્તર, તેથી તેઓ સામાન્ય રીતે પ્રોગ્રામમાં સ્પર્શતા નથી.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું દ્વિભાજક એ કોઈપણ શાળાના બાળકનું અંતિમ સ્વપ્ન છે. તે એક મધ્યક (એટલે ​​​​કે, તે વિરુદ્ધ બાજુને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે) અને ઊંચાઈ (તે બાજુ પર લંબ) બંને છે. આવા દ્વિભાજક સાથે સમસ્યાઓ ઉકેલવાથી પાયથાગોરિયન પ્રમેયમાં ઘટાડો થાય છે.

જ્ઞાન મૂળભૂત કાર્યોદ્વિભાજક, તેમજ તેના મૂળભૂત ગુણધર્મો, સરેરાશ અને બંનેની ભૌમિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે જરૂરી છે ઉચ્ચ સ્તરમુશ્કેલીઓ. હકીકતમાં, આ કિરણ માત્ર પ્લાનિમેટ્રીમાં જોવા મળે છે, તેથી એવું કહી શકાય નહીં કે તેના વિશેની માહિતી યાદ રાખવાથી તમે તમામ પ્રકારના કાર્યોનો સામનો કરી શકશો.

આજે એક ખૂબ જ સરળ પાઠ હશે. અમે માત્ર એક ઑબ્જેક્ટ પર વિચાર કરીશું - કોણ દ્વિભાજક - અને તેની સૌથી મહત્વપૂર્ણ મિલકત સાબિત કરીશું, જે ભવિષ્યમાં આપણા માટે ખૂબ ઉપયોગી થશે.

ફક્ત આરામ કરશો નહીં: કેટલીકવાર જે વિદ્યાર્થીઓ મેળવવા માંગે છે ઉચ્ચ સ્કોરસમાન OGE અથવા યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર, પ્રથમ પાઠમાં તેઓ દ્વિભાજકની વ્યાખ્યા પણ ચોક્કસ રીતે ઘડી શકતા નથી.

અને ખરેખર કરવાને બદલે રસપ્રદ કાર્યો, આપણે આવી સરળ બાબતોમાં સમય બગાડીએ છીએ. તેથી તેને વાંચો, જુઓ અને અપનાવો :)

શરૂ કરવા માટે, થોડો વિચિત્ર પ્રશ્ન: કોણ શું છે? તે સાચું છે: કોણ એ એક જ બિંદુમાંથી નીકળતી બે કિરણો છે. દાખ્લા તરીકે:

જેમ તમે ચિત્રમાંથી જોઈ શકો છો, ખૂણા તીવ્ર, સ્થૂળ, સીધા હોઈ શકે છે - તે હવે વાંધો નથી. ઘણી વખત, સગવડ માટે, દરેક બીમ ચિહ્નિત થયેલ છે વધારાના બિંદુઅને તેઓ કહે છે કે આપણી સામે કોણ $AOB$ છે ($\angle AOB$ તરીકે લખાયેલ છે).

કેપ્ટન ઓબ્વિયનેસ એ સંકેત આપે છે કે $OA$ અને $OB$ કિરણો ઉપરાંત, $O$ બિંદુથી વધુ કિરણોનો સમૂહ દોરવાનું હંમેશા શક્ય છે. પરંતુ તેમની વચ્ચે એક વિશેષ હશે - તેને દ્વિભાજક કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. ખૂણાનો દ્વિભાજક એ કિરણ છે જે તે ખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી બહાર આવે છે અને કોણને દ્વિભાજિત કરે છે.

ઉપરોક્ત ખૂણાઓ માટે, દ્વિભાજકો આના જેવો દેખાશે:

તીવ્ર, સ્થૂળ અને જમણા ખૂણા માટે દ્વિભાજકોના ઉદાહરણો

વાસ્તવિક રેખાંકનોમાં તે હંમેશા સ્પષ્ટ નથી હોતું કે ચોક્કસ કિરણ (અમારા કિસ્સામાં તે $OM$ કિરણ છે) મૂળ કોણને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, ભૂમિતિમાં સમાન ખૂણાઓને સમાન સંખ્યામાં ચાપ સાથે ચિહ્નિત કરવાનો રિવાજ છે ( અમારા ડ્રોઇંગમાં આ એક્યુટ એંગલ માટે 1 ચાપ છે, બે સ્થૂળ માટે, ત્રણ સીધા માટે).

ઠીક છે, અમે વ્યાખ્યા ગોઠવી દીધી છે. હવે તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે દ્વિભાજકમાં શું ગુણધર્મો છે.

કોણ દ્વિભાજકની મુખ્ય મિલકત

હકીકતમાં, દ્વિભાજકમાં ઘણી બધી મિલકતો છે. અને અમે ચોક્કસપણે તેમને આગામી પાઠમાં જોઈશું. પરંતુ એક યુક્તિ છે જે તમારે હમણાં સમજવાની જરૂર છે:

પ્રમેય. કોણનું દ્વિભાજક છે લોકસબાજુઓથી સમાન અંતરના બિંદુઓ આપેલ કોણ.

ગાણિતિકમાંથી રશિયનમાં અનુવાદિત, આનો અર્થ એક સાથે બે હકીકતો છે:

1. ચોક્કસ ખૂણાના દ્વિભાજક પર પડેલો કોઈપણ બિંદુ આ ખૂણાની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે.
2. અને ઊલટું: જો કોઈ બિંદુ આપેલ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલું હોય, તો તે આ ખૂણાના દ્વિભાજક પર આવેલા હોવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે.

આ વિધાનોને સાબિત કરતાં પહેલાં, ચાલો એક મુદ્દો સ્પષ્ટ કરીએ: એક બિંદુથી ખૂણાની બાજુ સુધીના અંતરને બરાબર શું કહેવાય? અહીં એક બિંદુથી એક રેખા સુધીના અંતરનું સારું જૂનું નિર્ધારણ આપણને મદદ કરશે:

વ્યાખ્યા. એક બિંદુથી રેખા સુધીનું અંતર એ આપેલ બિંદુથી આ રેખા સુધી દોરેલા કાટખૂણેની લંબાઈ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, એક રેખા $l$ અને બિંદુ $A$ ને ધ્યાનમાં લો જે આ રેખા પર ન હોય. ચાલો $AH$ પર લંબ દોરીએ, જ્યાં $H\in l$. પછી આ લંબની લંબાઈ બિંદુ $A$ થી સીધી રેખા $l$ સુધીનું અંતર હશે.

કારણ કે ખૂણો ફક્ત બે કિરણો છે, અને દરેક કિરણ એક સીધી રેખાનો ટુકડો છે, તેથી એક બિંદુથી ખૂણાની બાજુઓ સુધીનું અંતર નક્કી કરવું સરળ છે. આ માત્ર બે લંબ છે:

બસ એટલું જ! હવે આપણે જાણીએ છીએ કે અંતર શું છે અને દ્વિભાજક શું છે. તેથી, અમે મુખ્ય મિલકત સાબિત કરી શકીએ છીએ.

વચન મુજબ, અમે પુરાવાને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરીશું:

1. દ્વિભાજક પરના બિંદુથી કોણની બાજુઓ સુધીનું અંતર સમાન છે

ચાલો વિચાર કરીએ મનસ્વી કોણશિરોબિંદુ $O$ અને દ્વિભાજક $OM$ સાથે:

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ જ બિંદુ $M$ કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે.

પુરાવો. ચાલો બિંદુ $M$ થી ખૂણાની બાજુઓ સુધી લંબ દોરીએ. ચાલો તેમને $M((H)_(1))$ અને $M((H)_(2))$ કહીએ:

કોણની બાજુઓ પર લંબ દોરો

બે મળ્યા જમણો ત્રિકોણ: $\vartriangle OM((H)_(1))$ અને $\vartriangle OM((H)_(2))$. તેમની પાસે સામાન્ય કર્ણ છે $OM$ અને સમાન ખૂણા:

1. $\કોણ MO((H)_(1))=\ કોણ MO((H)_(2))$ શરત દ્વારા (કારણ કે $OM$ એ દ્વિભાજક છે);
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ બાંધકામ દ્વારા;
3. $\કોણ OM((H)_(1))=\કોણ OM((H)_(2))=90()^\circ -\કોણ MO((H)_(1))$, ત્યારથી સરવાળો તીક્ષ્ણ ખૂણાકાટકોણ ત્રિકોણ હંમેશા 90 ડિગ્રી હોય છે.

પરિણામે, ત્રિકોણ બાજુમાં સમાન છે અને બે અડીને આવેલા ખૂણા (ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો જુઓ). તેથી, ખાસ કરીને, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, એટલે કે. બિંદુ $O$ થી કોણની બાજુઓ સુધીનું અંતર ખરેખર સમાન છે. Q.E.D. :)

2. જો અંતર સમાન હોય, તો બિંદુ દ્વિભાજક પર આવેલું છે

હવે સ્થિતિ ઉલટી છે. એક ખૂણો $O$ આપવા દો અને આ ખૂણાની બાજુઓમાંથી એક બિંદુ $M$ સમાન છે:

ચાલો સાબિત કરીએ કે કિરણ $OM$ એ દ્વિભાજક છે, એટલે કે. $\કોણ MO((H)_(1))=\કોણ MO((H)_(2))$.

પુરાવો. પ્રથમ, ચાલો આ જ કિરણ $OM$ દોરીએ, અન્યથા સાબિત કરવા માટે કંઈ રહેશે નહીં:

ખૂણાની અંદર $OM$ બીમનું સંચાલન કર્યું

ફરીથી આપણને બે કાટકોણ મળે છે: $\vartriangle OM((H)_(1))$ અને $\vartriangle OM((H)_(2))$. દેખીતી રીતે તેઓ સમાન છે કારણ કે:

1. હાયપોટેન્યુઝ $OM$ - સામાન્ય;
2. પગ $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ શરત દ્વારા (છેવટે, બિંદુ $M$ કોણની બાજુઓથી સમાન છે);
3. બાકીના પગ પણ સમાન છે, કારણ કે પાયથાગોરિયન પ્રમેય $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$ દ્વારા.

તેથી, ત્રિકોણ $\vartriangle OM((H)_(1))$ અને $\vartriangle OM((H)_(2))$ ત્રણ બાજુઓ પર છે. ખાસ કરીને, તેમના ખૂણા સમાન છે: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. અને આનો અર્થ એ થાય કે $OM$ એ દ્વિભાજક છે.

પુરાવાને સમાપ્ત કરવા માટે, અમે પરિણામી સમાન ખૂણાઓને લાલ ચાપ સાથે ચિહ્નિત કરીએ છીએ:

દ્વિભાજક કોણ $\કોણ ((H)_(1))O((H)_(2))$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે

જેમ તમે જોઈ શકો છો, કંઈ જટિલ નથી. અમે સાબિત કર્યું છે કે કોણનું દ્વિભાજક એ આ ખૂણાની બાજુઓથી સમાન બિંદુઓનું સ્થાન છે :)

હવે જ્યારે આપણે પરિભાષા વિશે વધુ કે ઓછું નક્કી કર્યું છે, હવે આગળ વધવાનો સમય છે નવું સ્તર. આગળના પાઠમાં આપણે વધુ જોઈશું જટિલ ગુણધર્મોદ્વિભાજકો અને વાસ્તવિક સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તે શીખો.

ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાઓને ત્રિકોણ દ્વિભાજક કહેવામાં આવે છે.
ત્રિકોણના ખૂણાના દ્વિભાજકને તેના શિરોબિંદુ અને ત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુ સાથેના દ્વિભાજકના આંતરછેદના બિંદુ વચ્ચેના ખંડ તરીકે પણ સમજવામાં આવે છે.
પ્રમેય 8. ત્રિકોણના ત્રણ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.
ખરેખર, ચાલો પહેલા બે દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુ P ને ધ્યાનમાં લઈએ, ઉદાહરણ તરીકે AK 1 અને VK 2. આ બિંદુ એબી અને એસી બાજુઓથી સમાન રીતે દૂર છે, કારણ કે તે કોણ A ના દ્વિભાજક પર આવેલું છે, અને કોણ B ના દ્વિભાજક સાથે સંબંધિત છે તેટલું જ AB અને BC બાજુઓથી પણ એટલું જ દૂર છે. આનો અર્થ એ છે કે તે ખૂણા B ના દ્વિભાજકથી સમાન રીતે દૂર છે. AC અને BC બાજુઓ અને ત્યાંથી ત્રીજા દ્વિભાજક CK 3 થી સંબંધિત છે, એટલે કે બિંદુ P પર ત્રણેય દ્વિભાજકો છેદે છે.
ત્રિકોણના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓના દ્વિભાજકોના ગુણધર્મો
પ્રમેય 9. દ્વિભાજક આંતરિક ખૂણોત્રિકોણની વિરુદ્ધ બાજુને પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે અડીને બાજુઓ.
પુરાવો. ચાલો ત્રિકોણ ABC અને તેના કોણ B ના દ્વિભાજકને ધ્યાનમાં લઈએ. ચાલો આપણે શિરોબિંદુ C દ્વારા સીધી રેખા CM દોરીએ, દ્વિભાજક BC ની સમાંતર, જ્યાં સુધી તે બાજુ AB ની ચાલુતા સાથે બિંદુ M પર છેદે નહીં. VC એ કોણ ABC નો દ્વિભાજક હોવાથી, પછી ∠ ABC = ∠ KBC. આગળ, ∠ AVK=∠ IUD, તરીકે અનુરૂપ ખૂણાસમાંતર રેખાઓ માટે, અને ∠ KVS=∠ VSM, સમાંતર રેખાઓ માટે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા તરીકે. તેથી ∠ ВСМ=∠ ВМС, અને તેથી ત્રિકોણ ВСМ સમદ્વિબાજુ છે, તેથી ВС=ВМ. કોણની બાજુઓને છેદતી સમાંતર રેખાઓ વિશેના પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે AK:K C=AB:VM=AB:BC છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.
પ્રમેય 10 બાહ્ય કોણ B નો દ્વિભાજક ત્રિકોણ ABCસમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે: AL અને CL શિરોબિંદુ A અને C થી દ્વિભાજકના આંતરછેદના બિંદુ L સુધીની બાજુ AC ચાલુ રાખીને ત્રિકોણની બાજુઓના પ્રમાણસર છે: AL: સી.એલ.=AB:BC.
આ ગુણધર્મ પહેલાની જેમ જ સાબિત થાય છે: આકૃતિમાં સહાયક રેખા SM એ દ્વિભાજક BL ની સમાંતર દોરેલી છે. BMC અને BC ખૂણા સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે BMC ત્રિકોણની BM અને BC બાજુઓ સમાન છે. જેમાંથી આપણે AL:CL=AB:BC એ નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ.

પ્રમેય d4. (દ્વિભાજક માટેનું પ્રથમ સૂત્ર): જો ત્રિકોણ ABC માં સેગમેન્ટ AL એ કોણ A નો દ્વિભાજક છે, તો AL? = AB·AC - LB·LC.

પુરાવો:ચાલો M એ રેખા AL ના આંતરછેદનું બિંદુ છે જેની આસપાસ વર્તુળ છે ત્રિકોણ ABC(ફિગ. 41). એન્ગલ BAM એ કન્વેન્શન દ્વારા એન્ગલ MAC ની બરાબર છે. BMA અને BCA એંગલ્સ એક જ તાર દ્વારા સમાવિષ્ટ કોતરેલ ખૂણાઓ તરીકે એકરૂપ છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણ BAM અને LAC બે ખૂણામાં સમાન છે. તેથી, AL: AC = AB: AM. તેથી AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. જે સાબિત કરવાની જરૂર છે. નોંધ: વર્તુળમાં છેદતી તારોના ભાગો અને અંકિત ખૂણાઓ વિશે પ્રમેય માટે, વિષય વર્તુળ અને વર્તુળ જુઓ.

પ્રમેય d5. (દ્વિભાજક માટેનું બીજું સૂત્ર): ABC ત્રિકોણમાં બાજુઓ AB=a, AC=b અને કોણ A 2 બરાબર છે? અને દ્વિભાજક l, સમાનતા ધરાવે છે:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

પુરાવો:ચાલો ABC ને આપેલ ત્રિકોણ, AL તેનો દ્વિભાજક (આકૃતિ 42), a=AB, b=AC, l=AL. પછી S ABC = S ALB + S ALC. તેથી, absin2? = અલસીન? +blsin?<=>2absin?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય. ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણાનો દ્વિભાજક વિરુદ્ધ બાજુને અડીને બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે.

પુરાવો. ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 259) અને તેના કોણ B ના દ્વિભાજકને ધ્યાનમાં લો. શિરોબિંદુ C દ્વારા સીધી રેખા CM દોરો, દ્વિભાજક BC ની સમાંતર, જ્યાં સુધી તે બાજુ AB ની ચાલુતા સાથે બિંદુ M પર છેદે નહીં. BK એ કોણ ABC નો દ્વિભાજક હોવાથી, પછી. આગળ, સમાંતર રેખાઓ માટે અનુરૂપ ખૂણા તરીકે અને સમાંતર રેખાઓ માટે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા તરીકે. તેથી અને તેથી - સમદ્વિબાજુ, ક્યાંથી. કોણની બાજુઓને છેદતી સમાંતર રેખાઓ વિશેના પ્રમેય દ્વારા, આપણી પાસે છે અને દૃષ્ટિએ આપણને મળે છે, જે આપણને સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ત્રિકોણ ABC (ફિગ. 260) ના બાહ્ય ખૂણા B ના દ્વિભાજક સમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે: AL અને CL શિરોબિંદુઓ A અને C થી દ્વિભાજકના આંતરછેદના બિંદુ L સુધીના સાઇડ AC ની ચાલુતા સાથે પ્રમાણસર છે. ત્રિકોણની બાજુઓ:

આ મિલકત અગાઉના એકની જેમ જ સાબિત થાય છે: ફિગમાં. 260 એક સહાયક સીધી રેખા SM એ દ્વિભાજક BL ને સમાંતર દોરવામાં આવે છે. વાચક પોતે VMS અને VSM, અને તેથી ત્રિકોણ VMS ની બાજુઓ VM અને BC ની સમાનતા વિશે સહમત થશે, જેના પછી જરૂરી પ્રમાણ તરત જ પ્રાપ્ત થશે.

આપણે કહી શકીએ કે બાહ્ય ખૂણાનો દ્વિભાજક પણ વિરુદ્ધ બાજુને અડીને બાજુઓના પ્રમાણમાં ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે; તમારે ફક્ત સેગમેન્ટના "બાહ્ય વિભાગ" ને મંજૂરી આપવા માટે સંમત થવાની જરૂર છે.

AC સેગમેન્ટની બહાર પડેલો પોઈન્ટ L (તેના ચાલુ રાખવા પર) તેને વિભાજિત કરે છે બાહ્ય રીતેસંબંધમાં જો આમ હોય તો, ત્રિકોણના કોણના દ્વિભાજકો (આંતરિક અને બાહ્ય) વિરુદ્ધ બાજુ (આંતરિક અને બાહ્ય) ને અડીને બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિભાજીત કરે છે.

સમસ્યા 1. ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓ 12 અને 15 ની બરાબર છે, પાયા 24 અને 16 ની બરાબર છે. બનેલા ત્રિકોણની બાજુઓ શોધો મોટો આધારટ્રેપેઝિયમ અને તેની વિસ્તૃત બાજુઓ.

ઉકેલ. ફિગ ના નોટેશનમાં. 261 અમારી પાસે સેગમેન્ટ માટેનું પ્રમાણ છે જે બાજુની બાજુના ચાલુ તરીકે કામ કરે છે, જેમાંથી આપણે સરળતાથી શોધીએ છીએ તે જ રીતે, અમે ત્રિકોણની બીજી બાજુ નક્કી કરીએ છીએ: .

સમસ્યા 2. ટ્રેપેઝોઇડના પાયા 6 અને 15 છે. નાના પાયાના શિરોબિંદુઓમાંથી ગણતરી કરીને, પાયાની સમાંતર અને બાજુઓને 1:2 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતી સેગમેન્ટની લંબાઈ કેટલી છે?

ઉકેલ. ચાલો ફિગ તરફ વળીએ. 262, ટ્રેપેઝોઇડનું નિરૂપણ કરે છે. નાના પાયાના શિરોબિંદુ C દ્વારા આપણે બાજુ AB ની સમાંતર રેખા દોરીએ છીએ, ટ્રેપેઝોઇડમાંથી સમાંતર ચતુષ્કોણ કાપીને. ત્યારથી, પછી અહીંથી આપણે શોધીએ છીએ. તેથી, સમગ્ર અજ્ઞાત સેગમેન્ટ KL સમાન છે નોંધ કરો કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે આપણે ટ્રેપેઝોઇડની બાજુની બાજુઓ જાણવાની જરૂર નથી.

સમસ્યા 3. ત્રિકોણ ABC ના આંતરિક કોણ B નો દ્વિભાજક બાજુ AC ને શિરોબિંદુ A અને C થી કેટલા અંતરે ભાગોમાં કાપે છે?

ઉકેલ. કોણ B ના દરેક દ્વિભાજકો AC ને સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે છે, પરંતુ એક આંતરિક રીતે અને બીજો બાહ્ય રીતે. ચાલો L દ્વારા ચાલુ AC ના આંતરછેદના બિંદુ અને બાહ્ય ખૂણા B ના દ્વિભાજકને સૂચિત કરીએ. AK ત્યારથી આપણે ત્યાં સુધીમાં અજ્ઞાત અંતર AL સૂચવીએ અને આપણી પાસે એક પ્રમાણ હશે જેનો ઉકેલ આપણને જરૂરી અંતર આપે છે.

ડ્રોઇંગ જાતે પૂર્ણ કરો.

કસરતો

1. પાયા 8 અને 18 સાથેનો ટ્રેપેઝોઇડ સીધી રેખાઓ દ્વારા વિભાજિત થાય છે, પાયાની સમાંતર, સમાન પહોળાઈના છ પટ્ટાઓમાં. ટ્રેપેઝોઇડને સ્ટ્રીપ્સમાં વિભાજીત કરતા સીધા ભાગોની લંબાઈ શોધો.

2. ત્રિકોણની પરિમિતિ 32 છે. કોણ A નું દ્વિભાજક બાજુ BC ને 5 અને 3 ના સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. ત્રિકોણની બાજુઓની લંબાઈ શોધો.

3. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો આધાર a બરાબર છે, બાજુ b પાયાના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુઓને બાજુઓ સાથે જોડતા સેગમેન્ટની લંબાઈ શોધો.