આલેખના વર્ટિકલ અને હોરીઝોન્ટલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ

આ બરાબર તે કેવી રીતે ઘડવામાં આવે છે લાક્ષણિક કાર્ય, અને તેમાં ગ્રાફના તમામ એસિમ્પ્ટોટ્સ (ઊભી, ઢાળ/આડી) શોધવાનો સમાવેશ થાય છે. તેમ છતાં, પ્રશ્ન પૂછવામાં વધુ ચોક્કસ બનવા માટે, અમે એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે સંશોધન વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ (છેવટે, ત્યાં બિલકુલ ન હોઈ શકે).

ચાલો કંઈક સરળ સાથે પ્રારંભ કરીએ:

ઉદાહરણ 1

સોલ્યુશનને અનુકૂળ રીતે બે મુદ્દાઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1) સૌપ્રથમ આપણે તપાસ કરીએ છીએ કે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે કે કેમ. છેદ શૂન્ય પર જાય છે, અને તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે આ બિંદુએ કાર્ય અનંત વિરામનો ભોગ બને છે, અને સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, એ ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે. પરંતુ, આવા નિષ્કર્ષ દોરતા પહેલા, એકતરફી મર્યાદાઓ શોધવી જરૂરી છે:

હું તમને ગણતરીની ટેકનિકની યાદ અપાવું છું કે જેના પર મેં ફંક્શનની સાતત્ય લેખમાં સમાન રીતે ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું હતું. બ્રેકિંગ પોઈન્ટ. મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિમાં આપણે અવેજી કરીએ છીએ. અંશમાં કંઈ રસપ્રદ નથી:
.

પરંતુ છેદમાં તે બહાર આવ્યું છે અનંત નકારાત્મક સંખ્યા :
, તે મર્યાદાનું ભાવિ નક્કી કરે છે.

ડાબી બાજુની મર્યાદા અનંત છે, અને, સૈદ્ધાંતિક રીતે, વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટની હાજરી વિશે ચુકાદો આપવાનું પહેલેથી જ શક્ય છે. પરંતુ એકતરફી મર્યાદાઓ માત્ર આ માટે જ જરૂરી નથી - તેઓ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવી રીતે સ્થિત છે તે સમજવામાં અને તેને યોગ્ય રીતે બાંધવામાં મદદ કરે છે. તેથી, આપણે જમણા હાથની મર્યાદાની પણ ગણતરી કરવી જોઈએ:

નિષ્કર્ષ: એકતરફી મર્યાદાઓ અનંત છે, જેનો અર્થ છે કે સીધી રેખા એ પરના કાર્યના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

પ્રથમ મર્યાદા મર્યાદિત, જેનો અર્થ છે કે "વાર્તાલાપ ચાલુ રાખો" અને બીજી મર્યાદા શોધવી જરૂરી છે:

બીજી મર્યાદા પણ મર્યાદિત.

આમ, અમારું લક્ષણ છે:

નિષ્કર્ષ: સમીકરણ દ્વારા ઉલ્લેખિત સીધી રેખા એ ફંક્શનના ગ્રાફની આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.

હોરીઝોન્ટલ એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, તમે એક સરળ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

જો ત્યાં મર્યાદિત મર્યાદા હોય, તો સીધી રેખા એ પરના કાર્યના ગ્રાફની આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.

એ નોંધવું સરળ છે કે ફંક્શનના અંશ અને છેદ વૃદ્ધિના સમાન ક્રમના છે, જેનો અર્થ છે કે માંગેલી મર્યાદા મર્યાદિત હશે:

જવાબ:

શરત અનુસાર, ડ્રોઇંગ બનાવવાની જરૂર નથી, પરંતુ જો આપણે કોઈ ફંક્શન પર સંશોધન કરી રહ્યા છીએ, તો અમે તરત જ ડ્રાફ્ટ પર સ્કેચ બનાવીએ છીએ:

મળેલી ત્રણ મર્યાદાઓના આધારે, ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવી રીતે સ્થિત થઈ શકે છે તે જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો. શું તે બિલકુલ મુશ્કેલ છે? 5-6-7-8 પોઈન્ટ શોધો અને તેમને ડ્રોઈંગ પર ચિહ્નિત કરો. જો કે, આ ફંક્શનનો ગ્રાફ પ્રાથમિક ફંક્શનના ગ્રાફના રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવ્યો છે, અને ઉપરોક્ત લેખના ઉદાહરણ 21 ની કાળજીપૂર્વક તપાસ કરનારા વાચકો સરળતાથી અનુમાન કરી શકે છે કે આ કેવા પ્રકારનો વળાંક છે.

ઉદાહરણ 2

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે પ્રક્રિયાને અનુકૂળ રીતે બે બિંદુઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવી છે - વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ અને ઓબ્લિક એસિમ્પ્ટોટ્સ. નમૂનાના દ્રાવણમાં, આડી એસિમ્પ્ટોટ સરળ યોજનાનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.

વ્યવહારમાં, અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યોનો મોટાભાગે સામનો કરવામાં આવે છે, અને હાયપરબોલાસ પર તાલીમ લીધા પછી, અમે કાર્યને જટિલ બનાવીશું:

ઉદાહરણ 3

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ: એક, બે અને થઈ ગયું:

1) વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સઅનંત વિરામના બિંદુઓ પર છે, તેથી તમારે તપાસ કરવાની જરૂર છે કે શું છેદ શૂન્ય પર જાય છે. ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ:

ભેદભાવ હકારાત્મક છે, તેથી સમીકરણમાં બે વાસ્તવિક મૂળ છે, અને કાર્ય નોંધપાત્ર રીતે વધ્યું છે =)

વધુ એકતરફી મર્યાદા શોધવા માટે ચતુર્ભુજ ત્રિપદીતે ફેક્ટરાઇઝ કરવા માટે અનુકૂળ છે:
(કોમ્પેક્ટ નોટેશન માટે, "માઈનસ" પ્રથમ કૌંસમાં સમાવવામાં આવ્યો હતો). સલામત બાજુ પર રહેવા માટે, ચાલો માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર કૌંસ ખોલીને તેને તપાસીએ.

ચાલો ફંક્શનને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ

ચાલો બિંદુ પર એકતરફી મર્યાદા શોધીએ:

અને બિંદુ પર:

આમ, સીધી રેખાઓ પ્રશ્નમાં ફંક્શનના ગ્રાફના વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે.

2) જો તમે કાર્ય જુઓ , તો તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે મર્યાદા મર્યાદિત હશે અને આપણી પાસે આડી એસિમ્પ્ટોટ છે. ચાલો ટૂંકમાં તેની હાજરી બતાવીએ:

આમ, સીધી રેખા (એબ્સીસા અક્ષ) એ આ ફંક્શનના આલેખનું આડું એસિમ્પ્ટોટ છે.

જવાબ:

મળેલી મર્યાદાઓ અને એસિમ્પ્ટોટ્સ ફંક્શનના ગ્રાફ વિશે ઘણી બધી માહિતી પ્રદાન કરે છે. નીચે આપેલા તથ્યોને ધ્યાનમાં લેતા ડ્રોઇંગની માનસિક રીતે કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ કરો:

તમારા ડ્રાફ્ટ પર ગ્રાફના તમારા સંસ્કરણને સ્કેચ કરો.

અલબત્ત, મળેલી મર્યાદાઓ સ્પષ્ટપણે ગ્રાફના દેખાવને નિર્ધારિત કરતી નથી, અને તમે ભૂલ કરી શકો છો, પરંતુ કસરત પોતે દરમિયાન અમૂલ્ય મદદ પૂરી પાડશે. સંપૂર્ણ સંશોધનકાર્યો સાચું ચિત્ર પાઠના અંતે છે.

ઉદાહરણ 4

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉદાહરણ 5

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

આ સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો છે. બંને આલેખમાં ફરીથી આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ છે, જે તરત જ દ્વારા શોધી કાઢવામાં આવે છે નીચેના ચિહ્નો: ઉદાહરણ 4 માં છેદની વૃદ્ધિનો ક્રમ અંશની વૃદ્ધિના ક્રમ કરતાં વધારે છે, અને ઉદાહરણ 5 માં અંશ અને છેદ વૃદ્ધિના સમાન ક્રમના છે. સેમ્પલ સોલ્યુશનમાં, પ્રથમ ફંક્શનને સંપૂર્ણ રીતે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે તપાસવામાં આવે છે, અને બીજું - મર્યાદા દ્વારા.

આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ, મારી વ્યક્તિલક્ષી છાપમાં, "ખરેખર નમેલા" કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ સામાન્ય છે. લાંબા સમયથી રાહ જોવાતો સામાન્ય કેસ:

ઉદાહરણ 6

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ: શૈલીની ક્લાસિક:

1) છેદ ધન હોવાથી, કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા સાથે સતત રહે છે, અને ત્યાં કોઈ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી. ...શું આ સારું છે? યોગ્ય શબ્દ નથી - ઉત્તમ! પોઈન્ટ નંબર 1 બંધ છે.

2) ચાલો ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી તપાસીએ:

પ્રથમ મર્યાદા મર્યાદિત, તો ચાલો આગળ વધીએ. અનિશ્ચિતતાને દૂર કરવા માટે બીજી મર્યાદાની ગણતરી કરતી વખતે “અનંત ઓછા અનંત”, અમે અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીએ છીએ:

બીજી મર્યાદા પણ મર્યાદિત, તેથી, પ્રશ્નમાં ફંક્શનના ગ્રાફમાં ત્રાંસી એસિમ્પટોટ છે:

નિષ્કર્ષ:

આમ, જ્યારે કાર્યનો આલેખ અનંત નજીકસીધી રેખા સુધી પહોંચે છે:

નોંધ કરો કે તે તેના ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટને મૂળમાં છેદે છે, અને આવા આંતરછેદ બિંદુઓ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે - તે મહત્વપૂર્ણ છે કે અનંત પર "બધું સામાન્ય છે" (હકીકતમાં, આ તે છે જ્યાં આપણે એસિમ્પ્ટોટ્સ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ).

ઉદાહરણ 7

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ: ટિપ્પણી કરવા માટે કંઈ ખાસ નથી, તેથી હું તેને ઔપચારિક કરીશ અંદાજિત નમૂનાઅંતિમ ઉકેલ:

1) વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. ચાલો બિંદુ અન્વેષણ કરીએ.

પરના ગ્રાફ માટે સીધી રેખા એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

2) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ:

પરના ગ્રાફ માટે સીધી રેખા એ ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ છે.

જવાબ:

જોવા મળેલી એકતરફી મર્યાદાઓ અને એસિમ્પ્ટોટ્સ અમને ઉચ્ચ આત્મવિશ્વાસ સાથે આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે કે આ કાર્યનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે. પાઠના અંતે યોગ્ય રેખાંકન.

ઉદાહરણ 8

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

કેટલીક મર્યાદાઓની ગણતરીની સુવિધા માટે આ સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે, તમે અંશને શબ્દ દ્વારા છેદ દ્વારા વિભાજિત કરી શકો છો. ફરીથી, તમારા પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, આ કાર્યનો ગ્રાફ દોરવાનો પ્રયાસ કરો.

દેખીતી રીતે, "વાસ્તવિક" ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સના માલિકો તે આલેખ છે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યો, જેમાં અંશની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી કરતાં એક મોટી છે. જો તે વધુ હોય, તો ત્યાં હવે ત્રાંસી એસિમ્પટોટ રહેશે નહીં (ઉદાહરણ તરીકે, ).

પરંતુ જીવનમાં અન્ય ચમત્કારો થાય છે:

ઉદાહરણ 9

સોલ્યુશન: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં કોઈ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી. પરંતુ ત્યાં સારી રીતે ઝોક રાશિઓ હોઈ શકે છે. અમે તપાસીએ છીએ:

મને યાદ છે કે યુનિવર્સિટીમાં મેં કેવી રીતે સમાન કાર્યનો સામનો કરવો પડ્યો હતો અને હું માની શકતો નથી કે તેમાં ત્રાંસી એસિમ્પટોટ છે. જ્યાં સુધી હું બીજી મર્યાદાની ગણતરી ન કરું ત્યાં સુધી:

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, અહીં બે અનિશ્ચિતતાઓ છે: અને , પરંતુ એક અથવા બીજી રીતે, તમારે ઉકેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, જેની ચર્ચા મર્યાદા પરના લેખના ઉદાહરણો 5-6 માં કરવામાં આવી છે. વધેલી જટિલતા. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે સંયોજક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરીએ છીએ:

જવાબ:

કદાચ સૌથી લોકપ્રિય ત્રાંસી એસિમ્પટોટ.

અત્યાર સુધી, અનંતને "એક બ્રશ વડે કટ" કરવામાં આવ્યું છે, પરંતુ એવું બને છે કે ફંક્શનના ગ્રાફમાં બે અલગ-અલગ સ્લેંટિંગ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે અને તે છે:

ઉદાહરણ 10

એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે ફંક્શનના ગ્રાફનું પરીક્ષણ કરો

ઉકેલ: આમૂલ અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે વ્યાખ્યાનું ડોમેન કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, અને ત્યાં ઊભી લાકડીઓ હોઈ શકતી નથી.

ચાલો તપાસ કરીએ કે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ.

જો "x" "માઈનસ અનંત" તરફ વલણ ધરાવે છે, તો પછી:
(જ્યારે નીચે "X" દાખલ કરો વર્ગમૂળમાઈનસ ચિહ્ન ઉમેરવું જરૂરી છે જેથી છેદની નકારાત્મકતા ન ગુમાવે)

તે અસામાન્ય લાગે છે, પરંતુ અહીં અનિશ્ચિતતા "અનંત ઓછા અનંત" છે. સંયુક્ત અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો:

આમ, સીધી રેખા એ પરના ગ્રાફનું ત્રાંસી એસિમ્પટોટ છે.

"પ્લસ અનંત" સાથે બધું વધુ તુચ્છ છે:

અને સીધી રેખા પર છે.

જવાબ:

જો;
, જો .

હું પ્રતિકાર કરી શકતો નથી ગ્રાફિક છબી:


આ હાઇપરબોલની શાખાઓમાંની એક છે.

એસિમ્પ્ટોટ્સની સંભવિત હાજરી માટે શરૂઆતમાં ફંક્શનના ડોમેન દ્વારા મર્યાદિત હોવું અસામાન્ય નથી:

ઉદાહરણ 11

એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે ફંક્શનના ગ્રાફનું પરીક્ષણ કરો

ઉકેલ: દેખીતી રીતે , તેથી અમે ફક્ત જમણા અર્ધ-વિમાનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, જ્યાં કાર્યનો ગ્રાફ છે.

1) ફંક્શન અંતરાલ પર સતત છે, જેનો અર્થ છે કે જો વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ અસ્તિત્વમાં છે, તો તે માત્ર ઓર્ડિનેટ અક્ષ હોઈ શકે છે. ચાલો બિંદુની નજીકના કાર્યની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરીએ અધિકાર:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં કોઈ અનિશ્ચિતતા નથી (આવા કિસ્સાઓ પર લેખની શરૂઆતમાં ભાર મૂકવામાં આવ્યો હતો મર્યાદા ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ).

આમ, સીધી રેખા (ઓર્ડિનેટ અક્ષ) એ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

2) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે સંપૂર્ણ યોજના, પરંતુ L'Hopital Rules લેખમાં અમને તે જાણવા મળ્યું છે રેખીય કાર્યવધુ ઉચ્ચ ક્રમલઘુગણક કરતાં વૃદ્ધિ, તેથી: (તે જ પાઠનું ઉદાહરણ 1 જુઓ).

નિષ્કર્ષ: x-અક્ષ એ ફંક્શનના ગ્રાફનું આડું એસિમ્પ્ટોટ છે.

જવાબ:

જો;
, જો .

સ્પષ્ટતા માટે રેખાંકન:

તે રસપ્રદ છે કે મોટે ભાગે સમાન કાર્યમાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી (જેઓ ઈચ્છે છે તેઓ આ ચકાસી શકે છે).

બે અંતિમ ઉદાહરણોસ્વ-અભ્યાસ માટે:

ઉદાહરણ 12

એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે ફંક્શનના ગ્રાફનું પરીક્ષણ કરો

વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ તપાસવા માટે, તમારે પહેલા ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધવાની જરૂર છે, અને પછી "શંકાસ્પદ" બિંદુઓ પર એકતરફી મર્યાદાઓની જોડીની ગણતરી કરો. ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ પણ બાકાત નથી, કારણ કે કાર્ય "વત્તા" અને "માઈનસ" અનંત પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

ઉદાહરણ 13

એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે ફંક્શનના ગ્રાફનું પરીક્ષણ કરો

પરંતુ અહીં ફક્ત ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ હોઈ શકે છે, અને દિશાઓને અલગથી ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ.

હું આશા રાખું છું કે તમને સાચો એસિમ્પ્ટોટ મળ્યો હશે =)

હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું!

ઉકેલો અને જવાબો:

ઉદાહરણ 2:ઉકેલ :
. ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓ શોધીએ:

સીધું પર ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે .
2) ઓબ્લીક એસિમ્પ્ટોટ્સ.

સીધું .
જવાબ:

રેખાંકનઉદાહરણ 3 માટે:

ઉદાહરણ 4:ઉકેલ :
1) વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. કાર્ય એક બિંદુ પર અનંત વિરામ ભોગવે છે . ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

નોંધ: એક સમાન ઘાતની અનંત ઋણ સંખ્યા અનંત હકારાત્મક સંખ્યાની બરાબર છે: .

સીધું ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.
2) ઓબ્લીક એસિમ્પ્ટોટ્સ.


સીધું (abscissa axis) પર ફંક્શનના ગ્રાફનું આડું એસિમ્પ્ટોટ છે .
જવાબ:

હાઇપરબોલ કહેવાય છે લોકસબિંદુઓ, બે આપેલ બિંદુઓના અંતરમાં તફાવત, જેને foci કહેવામાં આવે છે, તે સ્થિર મૂલ્ય છે (આ સ્થિરાંક હકારાત્મક અને foci વચ્ચેના અંતર કરતાં ઓછો હોવો જોઈએ).

ચાલો આ સ્થિરાંકને 2a દ્વારા દર્શાવીએ, ફોસી વચ્ચેનું અંતર બાય અને § 3 ની જેમ કોઓર્ડિનેટ અક્ષો પસંદ કરીએ. ચાલો - મનસ્વી બિંદુઅતિશય

હાયપરબોલાની વ્યાખ્યા દ્વારા

સમાનતાની જમણી બાજુએ તમારે વત્તા ચિહ્ન જો અને બાદબાકી ચિહ્ન જો પસંદ કરવાની જરૂર છે

કારણ કે છેલ્લી સમાનતા ફોર્મમાં લખી શકાય છે:

આ પસંદ કરેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં હાઇપરબોલાનું સમીકરણ છે.

આ સમીકરણમાં પોતાને રેડિકલથી મુક્ત કરીને (જેમ કે § 3), અમે સમીકરણને તેના સરળ સ્વરૂપમાં ઘટાડી શકીએ છીએ.

માં પ્રથમ આમૂલ સ્થાનાંતરિત જમણી બાજુસમાનતા અને બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ, સ્પષ્ટ પરિવર્તન પછી આપણને મળે છે:

ફરી એકવાર સમાનતાની બંને બાજુઓનું વર્ગીકરણ કરીને, ઘટાડો કરો સમાન સભ્યોઅને દ્વારા વિભાજન મફત સભ્ય, અમને મળે છે:

ત્યારથી, મૂલ્ય હકારાત્મક છે. દ્વારા તેને સૂચિત કરવું, એટલે કે, ધારવું

અમે મેળવીએ છીએ પ્રામાણિક સમીકરણઅતિશય

ચાલો હાઇપરબોલાના સ્વરૂપનું અન્વેષણ કરીએ.

1) હાઇપરબોલાની સમપ્રમાણતા. સમીકરણ (3) વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સના માત્ર ચોરસ ધરાવે છે, તેથી સંકલન અક્ષો અતિપરવલાની સમપ્રમાણતાની અક્ષો છે (અંગ્રવર્તી માટે સમાન વિધાન જુઓ). હાઇપરબોલાની સપ્રમાણતાની અક્ષ કે જેના પર ફોસી સ્થિત છે તેને ફોકલ અક્ષ કહેવામાં આવે છે. સમપ્રમાણતાની અક્ષોના આંતરછેદના બિંદુ - સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર - અતિપરવલયનું કેન્દ્ર કહેવાય છે. સમીકરણ (3) દ્વારા આપવામાં આવેલ અતિપરવલય માટે, કેન્દ્રીય અક્ષ ઓક્સ અક્ષ સાથે એકરુપ છે, અને કેન્દ્ર મૂળ છે.

2) સમપ્રમાણતાની અક્ષો સાથે આંતરછેદના બિંદુઓ. ચાલો સપ્રમાણતાની અક્ષો સાથે હાયપરબોલાના આંતરછેદના બિંદુઓ શોધીએ - હાયપરબોલાના શિરોબિંદુઓ. સમીકરણમાં ધારીએ છીએ, આપણે અક્ષ સાથે અતિપરબોલાના આંતરછેદના બિંદુઓના એબ્સિસાસ શોધીએ છીએ

પરિણામે, બિંદુઓ હાયપરબોલાના શિરોબિંદુઓ છે (ફિગ. 51); તેમની વચ્ચેનું અંતર 2a છે. ઓય અક્ષ સાથે આંતરછેદના બિંદુઓ શોધવા માટે, અમે સમીકરણ મૂકીએ છીએ, આ બિંદુઓના ઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરવા માટે, અમે સમીકરણ મેળવીએ છીએ

એટલે કે, y માટે આપણે કાલ્પનિક મૂલ્યો મેળવ્યા છે; આનો અર્થ એ છે કે ઓય અક્ષ હાઇપરબોલાસને છેદતી નથી.

આને અનુરૂપ, હાયપરબોલાને છેદતી સમપ્રમાણતાની ધરી કહેવામાં આવે છે. વાસ્તવિક ધરીસપ્રમાણતા (ફોકલ અક્ષ), સમપ્રમાણતાની અક્ષ જે અતિપરવલાને છેદતી નથી તેને સમપ્રમાણતાની કાલ્પનિક ધરી કહેવાય છે. સમીકરણ (3) દ્વારા આપવામાં આવેલ અતિપરવલય માટે, સમપ્રમાણતાનો વાસ્તવિક અક્ષ એ અક્ષ છે, સમપ્રમાણતાનો કાલ્પનિક અક્ષ એ અક્ષ છે, જે હાયપરબોલાના શિરોબિંદુઓને જોડતો ભાગ તેમજ તેની લંબાઈ 2a છે, જેને વાસ્તવિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે. હાઇપરબોલા. જો હાયપરબોલાની સપ્રમાણતાના કાલ્પનિક અક્ષ પર આપણે તેના કેન્દ્ર O ની બંને બાજુએ સેગમેન્ટ્સ OB અને લંબાઈ bને પ્લોટ કરીએ છીએ, તો સેગમેન્ટ અને તેની લંબાઈને હાઈપરબોલાના કાલ્પનિક અક્ષ કહેવામાં આવે છે. a અને b ને અનુક્રમે હાયપરબોલાના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક અર્ધ-અક્ષો કહેવામાં આવે છે.

3) હાયપરબોલનું સ્વરૂપ. હાયપરબોલાના સ્વરૂપનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તે ધ્યાનમાં લેવા માટે પૂરતું છે હકારાત્મક મૂલ્યો x અને y, કારણ કે વક્ર સંકલન અક્ષોની તુલનામાં સમપ્રમાણરીતે સ્થિત છે.

કારણ કે તે સમીકરણ (3) કે 1 થી અનુસરે છે, પછી તે a થી બદલાઈ શકે છે જ્યારે a થી વધે છે પછી Y પણ 0 થી વધે છે અને વળાંક ફિગમાં દર્શાવેલ આકાર ધરાવે છે. 51. તે સીધી રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત સ્ટ્રીપની બહાર સ્થિત છે અને તેમાં બે અલગ શાખાઓ છે. આમાંની એક શાખા (જમણી શાખા) ના કોઈપણ બિંદુ M માટે, બીજી શાખા (ડાબી શાખા) ના કોઈપણ બિંદુ M માટે.

4) હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ. હાયપરબોલાના પ્રકારને વધુ સ્પષ્ટ રીતે કલ્પના કરવા માટે, તેની સાથે નજીકથી સંબંધિત બે સીધી રેખાઓ ધ્યાનમાં લો - કહેવાતા એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ધારી રહ્યા છીએ કે x અને y ધન છે, અમે ઑર્ડિનેટ y ના સંદર્ભમાં હાઇપરબોલાના સમીકરણ (3)ને હલ કરીએ છીએ:

ચાલો આપણે સમીકરણને સીધી રેખાના સમીકરણ સાથે સરખાવી, અનુક્રમે આ સીધી રેખા પર અને હાયપરબોલા પર સ્થિત અનુરૂપ બે બિંદુઓને બોલાવીએ અને સમાન એબ્સીસા (ફિગ. 51) ધરાવતા હોય. દેખીતી રીતે, અનુરૂપ બિંદુઓના ઓર્ડિનેટ્સનો તફાવત Y - y તેમની વચ્ચેનું અંતર વ્યક્ત કરે છે, એટલે કે.

ચાલો બતાવીએ કે અમર્યાદિત વધારા સાથે, અંતર MN, કિલિંગ, શૂન્ય તરફ વળે છે. હકીકતમાં,

સરળીકરણ પછી આપણને મળે છે:

છેલ્લા સૂત્રમાંથી આપણે જોઈએ છીએ કે એબ્સીસામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, અંતર MN ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વળે છે. તે અનુસરે છે કે જ્યારે બિંદુ M, પ્રથમ ચતુર્થાંશમાં હાઇપરબોલા સાથે આગળ વધે છે, અનંત તરફ જાય છે, ત્યારે તેનું સીધી રેખાનું અંતર ઘટે છે અને શૂન્ય તરફ વળે છે. સમાન સંજોગો ત્યારે થશે જ્યારે બિંદુ M ત્રીજા ચતુર્થાંશમાં હાઇપરબોલા સાથે આગળ વધે છે (મૂળ O ના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાને કારણે).

અંતે, ઓય અક્ષની સાપેક્ષ હાયપરબોલાની સપ્રમાણતાને લીધે, આપણે સીધી રેખા સાથે સમપ્રમાણરીતે સ્થિત બીજી સીધી રેખા મેળવીશું કે જ્યાં સુધી M પણ અનિશ્ચિત રૂપે પહોંચશે કારણ કે તે હાયપરબોલા સાથે આગળ વધે છે અને અનંતતા તરફ જાય છે. બીજા અને ચોથા ચતુર્થાંશ).

આ બે સીધી રેખાઓને હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ કહેવામાં આવે છે, અને આપણે જોયું તેમ, તેમની પાસે સમીકરણો છે:

દેખીતી રીતે, હાયપરબોલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ એક લંબચોરસના કર્ણ સાથે સ્થિત છે, જેની એક બાજુ ઓક્સ અક્ષની સમાંતર છે અને 2a ની બરાબર છે, બીજી બાજુ ઓય અક્ષની સમાંતર છે અને તેની બરાબર છે અને કેન્દ્ર તેની પર સ્થિત છે. કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ (ફિગ. 51 જુઓ).

જ્યારે તેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને હાયપરબોલા દોરવામાં આવે છે, ત્યારે સૌ પ્રથમ તેના એસિમ્પ્ટોટ્સ બનાવવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે.

ઇક્વિલેટરલ હાઇપરબોલા. હાયપરબોલાના કિસ્સામાં તેને સમભુજ કહેવાય છે; તેનું સમીકરણ (3) માંથી મેળવવામાં આવ્યું છે અને તેનું સ્વરૂપ છે:

દેખીતી રીતે, સમભુજ અતિપરવલય માટે એસિમ્પ્ટોટ્સના કોણીય ગુણાંક હશે પરિણામે, સમભુજ અતિપરવલાના એસિમ્પ્ટોટ્સ એકબીજાને લંબરૂપ હોય છે અને તેની સમપ્રમાણતાની અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાઓને દ્વિભાજિત કરે છે.

એક નહીં, એક, બે, ત્રણ,... કે અનંત અનેક. અમે ઉદાહરણો માટે દૂર જઈશું નહીં, ચાલો યાદ કરીએ પ્રાથમિક કાર્યો. પેરાબોલા, ક્યુબિક પેરાબોલા અને સાઈન વેવમાં એસિમ્પ્ટોટ્સ બિલકુલ હોતા નથી. ઘાતાંકીય ગ્રાફ, લઘુગણક કાર્યએક અનન્ય એસિમ્પ્ટોટ છે. આર્કટેન્જેન્ટ અને આર્કોટેન્જેન્ટમાં તેમાંથી બે છે, અને સ્પર્શક અને કોટિંજેન્ટમાં અનંતપણે ઘણા છે. ગ્રાફ માટે આડા અને વર્ટિકલ બંને એસિમ્પ્ટોટ્સ હોવા અસામાન્ય નથી. અતિશય, હંમેશા તમને પ્રેમ કરશે.

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધવાનો અર્થ શું છે?

આનો અર્થ છે તેમના સમીકરણો શોધવા, અને જો સમસ્યાની જરૂર હોય તો સીધી રેખાઓ દોરો. પ્રક્રિયામાં કાર્યની મર્યાદા શોધવાનો સમાવેશ થાય છે.

ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ, એક નિયમ તરીકે, કાર્યના અનંત વિરામના બિંદુ પર સ્થિત છે. તે સરળ છે: જો કોઈ બિંદુએ કાર્ય અનંત વિરામનો ભોગ બને છે, તો સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ સીધી રેખા એ ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પટોટ છે.

નોંધ: મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે એન્ટ્રીનો ઉપયોગ સંપૂર્ણપણે બેનો સંદર્ભ આપવા માટે થાય છે વિવિધ ખ્યાલો. શું બિંદુ ગર્ભિત છે અથવા રેખાનું સમીકરણ સંદર્ભ પર આધાર રાખે છે.

આમ, એક બિંદુ પર વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટની હાજરી સ્થાપિત કરવા માટે, તે બતાવવા માટે પૂરતું છે કે ઓછામાં ઓછી એક બાજુની મર્યાદા અનંત છે. મોટેભાગે આ તે બિંદુ છે જ્યાં ફંક્શનનો છેદ શૂન્ય બરાબર. અનિવાર્યપણે, અમને પહેલેથી જ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ મળી આવ્યા છે તાજેતરના ઉદાહરણોકાર્યની સાતત્યતા પર પાઠ. પરંતુ કેટલાક કિસ્સાઓમાં માત્ર એક-તરફી મર્યાદા હોય છે, અને જો તે અનંત છે, તો પછી ફરીથી - વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટને પ્રેમ અને તરફેણ કરો. સૌથી સરળ ચિત્ર: અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ.

ઉપરથી તે પણ અનુસરે છે સ્પષ્ટ હકીકત: જો ફંક્શન સતત ચાલુ હોય, તો ત્યાં કોઈ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી. કોઈ કારણસર એક પેરાબોલા મનમાં આવ્યું. ખરેખર, તમે અહીં સીધી રેખા ક્યાં "લાગી" શકો છો? ...હા... હું સમજું છું... અંકલ ફ્રોઈડના અનુયાયીઓ ઉન્માદ બની ગયા =)

માં વાતચીત નિવેદન સામાન્ય કેસઅયોગ્ય: આમ, ફંક્શન આખી નંબર લાઇન પર વ્યાખ્યાયિત નથી, પરંતુ એસિમ્પ્ટોટ્સથી સંપૂર્ણપણે વંચિત છે.

ફંક્શનના ગ્રાફના ઢોળાવના એસિમ્પ્ટોટ્સ

ત્રાંસુ (જેમ ખાસ કેસ- આડી) એસિમ્પ્ટોટ્સ દોરવામાં આવી શકે છે જો ફંક્શનની દલીલ "વત્તા અનંત" અથવા "માઇનસ અનંત" તરફ વલણ ધરાવે છે. તેથી, ફંક્શનના ગ્રાફમાં 2 થી વધુ વલણવાળા એસિમ્પ્ટોટ્સ હોઈ શકતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, ઘાતાંકીય ફંક્શનના આલેખમાં એક જ આડી એસિમ્પ્ટોટ છે, અને પરના આર્કટેન્જેન્ટના ગ્રાફમાં આવા બે એસિમ્પ્ટોટ્સ છે, અને તેના પર અલગ અલગ છે.

કેવી રીતે દાખલ કરવું ગાણિતિક સૂત્રોસાઇટ પર?

જો તમારે ક્યારેય વેબ પેજ પર એક કે બે ગાણિતિક સૂત્રો ઉમેરવાની જરૂર હોય, તો લેખમાં વર્ણવ્યા મુજબ આ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે: વુલ્ફ્રામ આલ્ફા દ્વારા આપમેળે જનરેટ થયેલા ચિત્રોના રૂપમાં ગાણિતિક સૂત્રો સરળતાથી સાઇટ પર દાખલ કરવામાં આવે છે. . સરળતા ઉપરાંત, આ સાર્વત્રિક પદ્ધતિવેબસાઇટ દૃશ્યતા સુધારવામાં મદદ કરશે શોધ એન્જિન. તે લાંબા સમયથી કામ કરી રહ્યું છે (અને, મને લાગે છે, હંમેશ માટે કામ કરશે), પરંતુ તે પહેલાથી જ નૈતિક રીતે જૂનું છે.

જો તમે તમારી સાઇટ પર ગાણિતિક સૂત્રોનો સતત ઉપયોગ કરો છો, તો હું તમને મેથજેક્સનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરું છું - એક વિશિષ્ટ JavaScript લાઇબ્રેરી જે દર્શાવે છે ગાણિતિક સંકેત MathML, LaTeX અથવા ASCIIMathML માર્કઅપનો ઉપયોગ કરીને વેબ બ્રાઉઝર્સમાં.

મેથજેક્સનો ઉપયોગ શરૂ કરવાની બે રીતો છે: (1) એક સરળ કોડનો ઉપયોગ કરીને, તમે તમારી સાઇટ સાથે મેથજેક્સ સ્ક્રિપ્ટને ઝડપથી કનેક્ટ કરી શકો છો, જે યોગ્ય ક્ષણરિમોટ સર્વરથી આપમેળે લોડ થાય છે (સર્વરોની સૂચિ); (2) તમારા સર્વર પર રિમોટ સર્વરથી MathJax સ્ક્રિપ્ટ ડાઉનલોડ કરો અને તેને તમારી સાઇટના તમામ પૃષ્ઠો સાથે કનેક્ટ કરો. બીજી પદ્ધતિ - વધુ જટિલ અને સમય માંગી લેતી - તમારી સાઇટના પૃષ્ઠોના લોડિંગને ઝડપી બનાવશે, અને જો પેરેન્ટ મેથજેક્સ સર્વર કોઈ કારણોસર અસ્થાયી રૂપે અનુપલબ્ધ થઈ જાય, તો આ તમારી પોતાની સાઇટને કોઈપણ રીતે અસર કરશે નહીં. આ ફાયદાઓ હોવા છતાં, મેં પ્રથમ પદ્ધતિ પસંદ કરી કારણ કે તે સરળ, ઝડપી છે અને તકનીકી કુશળતાની જરૂર નથી. મારા ઉદાહરણને અનુસરો, અને માત્ર 5 મિનિટમાં તમે તમારી સાઇટ પર MathJaxની તમામ સુવિધાઓનો ઉપયોગ કરી શકશો.

તમે મુખ્ય MathJax વેબસાઈટ પરથી અથવા દસ્તાવેજીકરણ પેજ પર લીધેલા બે કોડ વિકલ્પોનો ઉપયોગ કરીને રિમોટ સર્વરથી MathJax લાઈબ્રેરી સ્ક્રિપ્ટને કનેક્ટ કરી શકો છો:

આ કોડ વિકલ્પોમાંથી એકને તમારા વેબ પેજના કોડમાં કૉપિ કરીને પેસ્ટ કરવાની જરૂર છે, પ્રાધાન્યમાં ટૅગ્સ વચ્ચે અને અથવા ટૅગ પછી તરત જ. પ્રથમ વિકલ્પ મુજબ, MathJax ઝડપથી લોડ થાય છે અને પૃષ્ઠને ઓછું ધીમું કરે છે. પરંતુ બીજો વિકલ્પ MathJax ના નવીનતમ સંસ્કરણોને આપમેળે મોનિટર કરે છે અને લોડ કરે છે. જો તમે પ્રથમ કોડ દાખલ કરો છો, તો તેને સમયાંતરે અપડેટ કરવાની જરૂર પડશે. જો તમે બીજો કોડ દાખલ કરો છો, તો પૃષ્ઠો વધુ ધીમેથી લોડ થશે, પરંતુ તમારે MathJax અપડેટ્સનું સતત નિરીક્ષણ કરવાની જરૂર રહેશે નહીં.

MathJax ને કનેક્ટ કરવાની સૌથી સહેલી રીત બ્લોગર અથવા વર્ડપ્રેસમાં છે: સાઇટ કંટ્રોલ પેનલમાં, તૃતીય-પક્ષ જાવાસ્ક્રિપ્ટ કોડ દાખલ કરવા માટે રચાયેલ વિજેટ ઉમેરો, તેમાં ઉપર પ્રસ્તુત ડાઉનલોડ કોડના પ્રથમ અથવા બીજા સંસ્કરણની નકલ કરો અને વિજેટને નજીક મૂકો. નમૂનાની શરૂઆત સુધી (માર્ગ દ્વારા, આ બિલકુલ જરૂરી નથી, કારણ કે MathJax સ્ક્રિપ્ટ અસુમેળ રીતે લોડ થયેલ છે). બસ. હવે MathML, LaTeX, અને ASCIIMathML ના માર્કઅપ વાક્યરચના શીખો, અને તમે તમારી સાઇટના વેબ પૃષ્ઠોમાં ગાણિતિક સૂત્રો દાખલ કરવા માટે તૈયાર છો.

કોઈપણ ફ્રેક્ટલ અનુસાર બાંધવામાં આવે છે ચોક્કસ નિયમ, જે અનુક્રમે અમર્યાદિત સંખ્યામાં લાગુ થાય છે. આવા દરેક સમયને પુનરાવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે.

મેન્જર સ્પોન્જ બનાવવા માટે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ એકદમ સરળ છે: બાજુ 1 સાથેના મૂળ ક્યુબને તેના ચહેરાની સમાંતર પ્લેન દ્વારા 27 માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. સમાન સમઘન. એક કેન્દ્રિય સમઘન અને ચહેરાઓ સાથે તેની બાજુમાં 6 સમઘન તેમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. પરિણામ એ બાકીના 20 નાના સમઘનનો સમૂહ છે. આ દરેક ક્યુબ્સ સાથે આમ કરવાથી, આપણને 400 નાના ક્યુબ્સનો સમૂહ મળે છે. આ પ્રક્રિયા અવિરતપણે ચાલુ રાખીને, અમને મેન્જર સ્પોન્જ મળે છે.

ઘણા કિસ્સાઓમાં, ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવો સરળ છે જો તમે પહેલા વળાંકના એસિમ્પ્ટોટ્સ બાંધો.

વ્યાખ્યા 1. એસિમ્પ્ટોટ્સ એ તે સીધી રેખાઓ છે કે જેના પર ફંક્શનનો ગ્રાફ મનસ્વી રીતે નજીકથી આવે છે જ્યારે ચલ વત્તા અનંત અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા 2. સીધી રેખાને ફંક્શનના ગ્રાફનું એસિમ્પ્ટોટ કહેવામાં આવે છે જો તેનાથી અંતર હોય ચલ બિંદુ એમઆ રેખા સુધીના ફંક્શનનો ગ્રાફ શૂન્ય તરફ વળે છે કારણ કે બિંદુ અનિશ્ચિત સમય માટે દૂર જાય છે એમફંક્શન ગ્રાફની કોઈપણ શાખા સાથે મૂળમાંથી.

એસિમ્પ્ટોટ્સ ત્રણ પ્રકારના હોય છે: વર્ટિકલ, હોરીઝોન્ટલ અને ઓબ્લિક.

વ્યાખ્યા . સીધું x = aછે ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ, જો બિંદુ x = aઆ ફંક્શન માટે બીજા પ્રકારનું વિરામ બિંદુ છે.

વ્યાખ્યા પરથી તે સીધી રેખાને અનુસરે છે x = aફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે f(x) જો ઓછામાં ઓછી એક શરતો પૂરી થાય છે:

આ કિસ્સામાં, કાર્ય f(x) અનુક્રમે, ક્યારે, જરાય વ્યાખ્યાયિત ન થઈ શકે x ≥ aઅને x ≤ a .

ટિપ્પણી:

ઉદાહરણ 1. ફંક્શનનો ગ્રાફ y=ln xવર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે x= 0 (એટલે ​​​​કે ધરી સાથે એકરુપ ઓય) વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમા પર, કારણ કે x તરીકે કાર્યની મર્યાદા જમણી બાજુથી શૂન્ય તરફ વળે છે તે માઈનસ અનંતની બરાબર છે:

(ઉપરનું ચિત્ર).

ઉદાહરણ 2. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.

ઉદાહરણ 3. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

જો (વાદ તરીકે ફંક્શનની મર્યાદા વત્તા અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તે ચોક્કસ મૂલ્યની બરાબર છે b), તે y = b – આડી એસિમ્પ્ટોટકુટિલ y = f(x) (જ્યારે X વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે જમણે, જ્યારે X માઇનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે ડાબે, અને જો X તરીકેની મર્યાદા વત્તા અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તો બે બાજુ).

ઉદાહરણ 5. ફંક્શનનો ગ્રાફ

ખાતે a> 1 એ આડી એસિમ્પોટ છોડી દીધી છે y= 0 (એટલે ​​​​કે ધરી સાથે એકરુપ બળદ), કારણ કે "x" તરીકે કાર્યની મર્યાદા માઈનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તે શૂન્ય છે:

વળાંકમાં જમણી આડી એસિમ્પ્ટોટ હોતી નથી, કારણ કે "x" તરીકે કાર્યની મર્યાદા વત્તા અનંત અનંતની સમાન હોય છે:

વર્ટિકલ અને આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ, જેની આપણે ઉપર તપાસ કરી છે, તે સંકલન અક્ષો સાથે સમાંતર છે, તેથી તેને બાંધવા માટે અમને ફક્ત જરૂરી છે ચોક્કસ સંખ્યા- એબ્સીસા અથવા ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર એક બિંદુ કે જેના દ્વારા એસિમ્પ્ટોટ પસાર થાય છે. ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ માટે, મોટા ઢોળાવની જરૂર છે k, જે રેખાના ઝોકનો કોણ અને મુક્ત શબ્દ દર્શાવે છે b, જે દર્શાવે છે કે રેખા મૂળની ઉપર કે નીચે કેટલી છે. જેઓ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ અને તેમાંથી સીધી રેખાના સમીકરણો ભૂલી ગયા નથી, તેઓ જોશે કે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ માટે તેઓ કોણીય ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધે છે. ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટનું અસ્તિત્વ નીચેના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જેના આધારે હમણાં જ ઉલ્લેખિત ગુણાંક જોવા મળે છે.

પ્રમેય. વળાંક બનાવવા માટે y = f(x) પાસે એસિમ્પ્ટોટ હતું y = kx + b, તેમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત મર્યાદિત મર્યાદા kઅને bચલ વલણ તરીકે વિચારણા હેઠળ કાર્ય xવત્તા અનંત અને બાદબાકી અનંત:

(1)

(2)

આ રીતે મળેલા નંબરો kઅને bઅને ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ ગુણાંક છે.

પ્રથમ કિસ્સામાં (જેમ કે x વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે), એક જમણી તરફ વળેલું એસિમ્પ્ટોટ પ્રાપ્ત થાય છે, બીજામાં (જેમ x માઇનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે), ડાબી બાજુની ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ પ્રાપ્ત થાય છે. જમણી ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. નીચે

ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ માટે સમીકરણ શોધતી વખતે, X નું વલણ વત્તા અનંત અને બાદબાકી અનંત બંનેને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. કેટલાક કાર્યો માટે, ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત, આ મર્યાદાઓ એકરૂપ છે, પરંતુ ઘણા કાર્યો માટે આ મર્યાદાઓ અલગ છે અને તેમાંથી માત્ર એક જ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે.

જો મર્યાદાઓ એકરૂપ થાય છે અને x વત્તા અનંત અને બાદબાકી અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો સીધી રેખા y = kx + bવળાંકનું બે બાજુનું લક્ષણ છે.

જો એસિમ્પ્ટોટને વ્યાખ્યાયિત કરતી ઓછામાં ઓછી એક મર્યાદા હોય y = kx + b, અસ્તિત્વમાં નથી, તો ફંક્શનના ગ્રાફમાં ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ નથી (પરંતુ વર્ટિકલ હોઈ શકે છે).

તે જોવાનું સરળ છે કે આડી એસિમ્પ્ટોટ y = bત્રાંસી એક ખાસ કેસ છે y = kx + bખાતે k = 0 .

તેથી, જો કોઈપણ દિશામાં વળાંકમાં આડી એસિમ્પ્ટોટ હોય, તો આ દિશામાં કોઈ વળેલું નથી, અને ઊલટું.

ઉદાહરણ 6. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. ફંક્શન સિવાયની સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે x= 0, એટલે કે.

તેથી, બ્રેકિંગ પોઇન્ટ પર x= 0 વળાંકમાં વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ હોઈ શકે છે. ખરેખર, x તરીકે ફંક્શનની મર્યાદા ડાબેથી શૂન્ય તરફ વળે છે તે વત્તા અનંતની બરાબર છે:

આથી, x= 0 – આ ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ.

આ ફંક્શનના આલેખમાં આડી એસિમ્પ્ટોટ નથી, કારણ કે x એ વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તે વત્તા અનંતની બરાબર છે:

ચાલો ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટની હાજરી શોધીએ:

મર્યાદિત મર્યાદાઓ મળી k= 2 અને b= 0. સીધું y = 2xઆ ફંક્શનના આલેખનું દ્વિ-માર્ગી ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ છે (ઉદાહરણની અંદરની આકૃતિ).

ઉદાહરણ 7. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. ફંક્શનમાં એક બ્રેક પોઈન્ટ છે x= −1. ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ અને વિરામનો પ્રકાર નક્કી કરીએ:

નિષ્કર્ષ: x= −1 એ બીજા પ્રકારનું વિરામ બિંદુ છે, તેથી સીધી રેખા x= −1 એ આ ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

અમે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધી રહ્યા છીએ. કારણ કે આ કાર્ય- અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત, પર અને પરની મર્યાદાઓ એકરૂપ થશે. આમ, અમે સમીકરણમાં સીધી રેખા - ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટને બદલવા માટે ગુણાંક શોધીએ છીએ:

સાથે સીધી રેખાના સમીકરણમાં મળેલા ગુણાંકને બદલીને ઢાળ, અમે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

y = −3x + 5 .

આકૃતિમાં, ફંક્શનનો ગ્રાફ બર્ગન્ડીમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે, અને એસિમ્પ્ટોટ્સ કાળા રંગમાં દર્શાવેલ છે.

ઉદાહરણ 8. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. આ કાર્ય સતત હોવાથી, તેના ગ્રાફમાં કોઈ વર્ટિકલ એસિમ્પટૉટ્સ નથી. અમે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધી રહ્યા છીએ:

.

આમ, આ ફંક્શનના ગ્રાફમાં એસિમ્પ્ટોટ છે y= 0 પર અને પર કોઈ એસિપ્ટોટ નથી.

ઉદાહરણ 9. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. પ્રથમ આપણે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધીએ છીએ. આ કરવા માટે, આપણે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ. કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે અસમાનતા અને . ચલનું ચિહ્ન xચિહ્ન સાથે મેળ ખાય છે. તેથી, સમાન અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો. આમાંથી આપણે કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મેળવીએ છીએ: . વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમા પર જ હોઈ શકે છે. પણ x= 0 એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ હોઈ શકતું નથી, કારણ કે ફંક્શન પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે x = 0 .

પર જમણી બાજુની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લો (ત્યાં કોઈ ડાબા હાથની મર્યાદા નથી):

.

ડોટ x= 2 એ બીજા પ્રકારનું વિરામ બિંદુ છે, તેથી સીધી રેખા x= 2 - આ ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ.

અમે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધી રહ્યા છીએ:

તેથી, y = x+ 1 - પરના આ ફંક્શનના ગ્રાફનું ત્રાંસુ એસિમ્પ્ટોટ. અમે આના પર ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ શોધી રહ્યા છીએ:

તેથી, y = −x− 1 - પર ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ.

ઉદાહરણ 10. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. ફંક્શનમાં વ્યાખ્યાનું ડોમેન હોય છે . આ ફંક્શનના આલેખનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ માત્ર વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમા પર જ હોઈ શકે છે, તેથી આપણે ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાઓ પર શોધીએ છીએ.