રેખાના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો. ફંક્શન ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ: તેમના પ્રકારો, ઉકેલોના ઉદાહરણો

કેવી રીતે દાખલ કરવું ગાણિતિક સૂત્રોસાઇટ પર?

જો તમારે ક્યારેય વેબ પેજ પર એક કે બે ગાણિતિક સૂત્રો ઉમેરવાની જરૂર હોય, તો લેખમાં વર્ણવ્યા મુજબ આ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે: વુલ્ફ્રામ આલ્ફા દ્વારા આપમેળે જનરેટ થયેલા ચિત્રોના રૂપમાં ગાણિતિક સૂત્રો સરળતાથી સાઇટ પર દાખલ કરવામાં આવે છે. . સરળતા ઉપરાંત, આ સાર્વત્રિક પદ્ધતિવેબસાઇટ દૃશ્યતા સુધારવામાં મદદ કરશે શોધ એન્જિન. તે લાંબા સમયથી કામ કરી રહ્યું છે (અને, મને લાગે છે, હંમેશ માટે કામ કરશે), પરંતુ તે પહેલાથી જ નૈતિક રીતે જૂનું છે.

જો તમે તમારી સાઇટ પર સતત ગાણિતિક સૂત્રોનો ઉપયોગ કરો છો, તો હું તમને મેથજેક્સનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરું છું - એક વિશિષ્ટ JavaScript લાઇબ્રેરી જે દર્શાવે છે ગાણિતિક સંકેત MathML, LaTeX અથવા ASCIIMathML માર્કઅપનો ઉપયોગ કરીને વેબ બ્રાઉઝર્સમાં.

મેથજેક્સનો ઉપયોગ શરૂ કરવાની બે રીત છે: (1) એક સરળ કોડનો ઉપયોગ કરીને, તમે તમારી સાઇટ સાથે મેથજેક્સ સ્ક્રિપ્ટને ઝડપથી કનેક્ટ કરી શકો છો, જે યોગ્ય ક્ષણરિમોટ સર્વરથી આપમેળે લોડ થાય છે (સર્વરોની સૂચિ); (2) તમારા સર્વર પર રિમોટ સર્વરથી MathJax સ્ક્રિપ્ટ ડાઉનલોડ કરો અને તેને તમારી સાઇટના તમામ પૃષ્ઠો સાથે કનેક્ટ કરો. બીજી પદ્ધતિ - વધુ જટિલ અને સમય માંગી લેતી - તમારી સાઇટના પૃષ્ઠોના લોડિંગને ઝડપી બનાવશે, અને જો પેરેન્ટ મેથજેક્સ સર્વર કોઈ કારણોસર અસ્થાયી રૂપે અનુપલબ્ધ થઈ જાય, તો આ તમારી પોતાની સાઇટને કોઈપણ રીતે અસર કરશે નહીં. આ ફાયદાઓ હોવા છતાં, મેં પ્રથમ પદ્ધતિ પસંદ કરી કારણ કે તે સરળ, ઝડપી છે અને તકનીકી કુશળતાની જરૂર નથી. મારા ઉદાહરણને અનુસરો, અને માત્ર 5 મિનિટમાં તમે તમારી સાઇટ પર MathJaxની તમામ સુવિધાઓનો ઉપયોગ કરી શકશો.

તમે મુખ્ય MathJax વેબસાઈટ પરથી અથવા દસ્તાવેજીકરણ પેજ પર લીધેલા બે કોડ વિકલ્પોનો ઉપયોગ કરીને રિમોટ સર્વરથી MathJax લાઈબ્રેરી સ્ક્રિપ્ટને કનેક્ટ કરી શકો છો:

આ કોડ વિકલ્પોમાંથી એકને તમારા વેબ પેજના કોડમાં કૉપિ કરીને પેસ્ટ કરવાની જરૂર છે, પ્રાધાન્યમાં ટૅગ્સ વચ્ચે અને અથવા ટૅગ પછી તરત જ. પ્રથમ વિકલ્પ મુજબ, MathJax ઝડપથી લોડ થાય છે અને પૃષ્ઠને ઓછું ધીમું કરે છે. પરંતુ બીજો વિકલ્પ MathJax ના નવીનતમ સંસ્કરણોને આપમેળે મોનિટર કરે છે અને લોડ કરે છે. જો તમે પ્રથમ કોડ દાખલ કરો છો, તો તેને સમયાંતરે અપડેટ કરવાની જરૂર પડશે. જો તમે બીજો કોડ દાખલ કરો છો, તો પૃષ્ઠો વધુ ધીમેથી લોડ થશે, પરંતુ તમારે MathJax અપડેટ્સનું સતત નિરીક્ષણ કરવાની જરૂર રહેશે નહીં.

MathJax ને કનેક્ટ કરવાની સૌથી સહેલી રીત બ્લોગર અથવા વર્ડપ્રેસમાં છે: સાઇટ કંટ્રોલ પેનલમાં, તૃતીય-પક્ષ જાવાસ્ક્રિપ્ટ કોડ દાખલ કરવા માટે રચાયેલ વિજેટ ઉમેરો, તેમાં ઉપર પ્રસ્તુત ડાઉનલોડ કોડના પ્રથમ અથવા બીજા સંસ્કરણની નકલ કરો અને વિજેટને નજીક મૂકો. નમૂનાની શરૂઆત સુધી (માર્ગ દ્વારા, આ બિલકુલ જરૂરી નથી, કારણ કે MathJax સ્ક્રિપ્ટ અસુમેળ રીતે લોડ થયેલ છે). બસ. હવે MathML, LaTeX, અને ASCIIMathML ના માર્કઅપ વાક્યરચના શીખો, અને તમે તમારી સાઇટના વેબ પૃષ્ઠોમાં ગાણિતિક સૂત્રો દાખલ કરવા માટે તૈયાર છો.

કોઈપણ ફ્રેક્ટલ અનુસાર બાંધવામાં આવે છે ચોક્કસ નિયમ, જે અનુક્રમે અમર્યાદિત સંખ્યામાં લાગુ થાય છે. આવા દરેક સમયને પુનરાવૃત્તિ કહેવામાં આવે છે.

મેન્જર સ્પોન્જ બનાવવા માટે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ એકદમ સરળ છે: બાજુ 1 સાથેના મૂળ ક્યુબને તેના ચહેરાની સમાંતર પ્લેન દ્વારા 27 માં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. સમાન સમઘન. એક કેન્દ્રિય સમઘન અને ચહેરા સાથે તેની બાજુમાં 6 ક્યુબ્સ તેમાંથી દૂર કરવામાં આવે છે. પરિણામ એ બાકીના 20 નાના સમઘનનો સમૂહ છે. આ દરેક ક્યુબ્સ સાથે આમ કરવાથી, આપણને 400 નાના ક્યુબ્સનો સમૂહ મળે છે. આ પ્રક્રિયા અવિરતપણે ચાલુ રાખીને, અમને મેન્જર સ્પોન્જ મળે છે.

ઘણા કિસ્સાઓમાં, ફંક્શનનો ગ્રાફ બનાવવો સરળ છે જો તમે પહેલા વળાંકના એસિમ્પ્ટોટ્સ બાંધો.

વ્યાખ્યા 1. એસિમ્પ્ટોટ્સ એ તે સીધી રેખાઓ છે કે જેના પર ફંક્શનનો ગ્રાફ મનસ્વી રીતે નજીકથી આવે છે જ્યારે ચલ વત્તા અનંત અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે.

વ્યાખ્યા 2. સીધી રેખાને ફંક્શનના ગ્રાફનું એસિમ્પ્ટોટ કહેવામાં આવે છે જો તેનાથી અંતર હોય ચલ બિંદુ એમઆ રેખા સુધીના ફંક્શનનો ગ્રાફ શૂન્ય તરફ વળે છે કારણ કે બિંદુ અનિશ્ચિત સમય માટે દૂર જાય છે એમફંક્શન ગ્રાફની કોઈપણ શાખા સાથે મૂળમાંથી.

એસિમ્પ્ટોટ્સ ત્રણ પ્રકારના હોય છે: વર્ટિકલ, હોરીઝોન્ટલ અને ઓબ્લિક.

વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ

વ્યાખ્યા . સીધું x = aછે ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ, જો બિંદુ x = aઆ ફંક્શન માટે બીજા પ્રકારનું વિરામ બિંદુ છે.

વ્યાખ્યા પરથી તે સીધી રેખાને અનુસરે છે x = aફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે f(x) જો ઓછામાં ઓછી એક શરતો પૂરી થાય છે:

આ કિસ્સામાં, કાર્ય f(x) અનુક્રમે, ક્યારે, જરાય વ્યાખ્યાયિત ન થઈ શકે x ≥ aઅને x ≤ a .

ટિપ્પણી:

ઉદાહરણ 1. ફંક્શનનો ગ્રાફ y=ln xવર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે x= 0 (એટલે કે ધરી સાથે એકરુપ ઓય) વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમા પર, કારણ કે x તરીકે કાર્યની મર્યાદા જમણી બાજુથી શૂન્ય તરફ વળે છે તે માઈનસ અનંતની બરાબર છે:

(ઉપરનું ચિત્ર).

જાતે અને પછી ઉકેલો જુઓ

ઉદાહરણ 2. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો.

ઉદાહરણ 3. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ

જો (વાદ તરીકે ફંક્શનની મર્યાદા વત્તા અથવા ઓછા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તે ચોક્કસ મૂલ્યની બરાબર છે b), તે y = b – આડી એસિમ્પ્ટોટકુટિલ y = f(x) (જ્યારે X વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે જમણે, જ્યારે X માઇનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે ત્યારે ડાબે, અને જો X તરીકેની મર્યાદા વત્તા અથવા ઓછા અનંતની સમાન હોય તો બે બાજુ).

ઉદાહરણ 5. ફંક્શનનો ગ્રાફ

ખાતે a> 1 એ આડી એસિમ્પોટ છોડી દીધી છે y= 0 (એટલે કે ધરી સાથે એકરુપ બળદ), કારણ કે "x" તરીકે કાર્યની મર્યાદા માઈનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તે શૂન્ય છે:

વળાંકમાં જમણી આડી એસિમ્પ્ટોટ હોતી નથી, કારણ કે "x" તરીકે ફંક્શનની મર્યાદા વત્તા અનંત અનંતની બરાબર છે:

ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ

વર્ટિકલ અને હોરીઝોન્ટલ એસિમ્પ્ટોટ્સ કે જે આપણે ઉપર તપાસ્યા છે તે કોઓર્ડિનેટ અક્ષની સમાંતર છે, તેથી તેમને બાંધવા માટે અમને ફક્ત જરૂરી છે ચોક્કસ સંખ્યા- એબ્સીસા અથવા ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર એક બિંદુ કે જેના દ્વારા એસિમ્પ્ટોટ પસાર થાય છે. ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ માટે, વધુ જરૂરી છે - ઢાળ k, જે સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ દર્શાવે છે, અને મફત સભ્ય b, જે દર્શાવે છે કે રેખા મૂળની ઉપર કે નીચે કેટલી છે. જેઓ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ અને તેમાંથી સીધી રેખાના સમીકરણો ભૂલી ગયા નથી, તેઓ જોશે કે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ માટે તેઓ કોણીય ગુણાંક સાથે સીધી રેખાનું સમીકરણ શોધે છે. ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટનું અસ્તિત્વ નીચેના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જેના આધારે હમણાં જ ઉલ્લેખિત ગુણાંક જોવા મળે છે.

પ્રમેય. વળાંક બનાવવા માટે y = f(x) પાસે એસિમ્પ્ટોટ હતું y = kx + b, તેમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત મર્યાદિત મર્યાદા kઅને bચલ વલણ તરીકે વિચારણા હેઠળ કાર્ય xવત્તા અનંત અને બાદબાકી અનંત:

(1)

(2)

આ રીતે મળેલા નંબરો kઅને bઅને ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ ગુણાંક છે.

પ્રથમ કિસ્સામાં (જેમ કે x વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે), એક જમણી તરફ વળેલું એસિમ્પ્ટોટ પ્રાપ્ત થાય છે, બીજામાં (જેમ x માઇનસ અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે), ડાબી બાજુની ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ પ્રાપ્ત થાય છે. જમણી ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. નીચે

ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ માટે સમીકરણ શોધતી વખતે, X નું વલણ વત્તા અનંત અને બાદબાકી અનંત બંનેને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. કેટલાક કાર્યો માટે, ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક તર્કસંગત, આ મર્યાદાઓ એકરુપ હોય છે, પરંતુ ઘણા કાર્યો માટે આ મર્યાદાઓ અલગ હોય છે અને તેમાંથી માત્ર એક જ અસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે.

જો મર્યાદા એકરૂપ થાય છે અને x વત્તા અનંત અને બાદબાકી અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે, તો સીધી રેખા y = kx + bવળાંકનું બે બાજુનું લક્ષણ છે.

જો એસિમ્પ્ટોટને વ્યાખ્યાયિત કરતી ઓછામાં ઓછી એક મર્યાદા હોય y = kx + b, અસ્તિત્વમાં નથી, તો ફંક્શનના ગ્રાફમાં ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ નથી (પરંતુ વર્ટિકલ હોઈ શકે છે).

તે જોવાનું સરળ છે કે આડી એસિમ્પ્ટોટ y = bત્રાંસી એક ખાસ કેસ છે y = kx + bખાતે k = 0 .

તેથી, જો કોઈપણ દિશામાં વળાંકમાં આડી એસિમ્પ્ટોટ હોય, તો આ દિશામાં કોઈ વળેલું નથી, અને ઊલટું.

ઉદાહરણ 6. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. ફંક્શન સિવાયની સંપૂર્ણ સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે x= 0, એટલે કે.

તેથી, બ્રેકિંગ પોઇન્ટ પર x= 0 વળાંકમાં વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ હોઈ શકે છે. ખરેખર, x તરીકે ફંક્શનની મર્યાદા ડાબેથી શૂન્ય તરફ વળે છે તે વત્તા અનંતની બરાબર છે:

આથી, x= 0 – આ ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ.

આ ફંક્શનના આલેખમાં આડી એસિમ્પ્ટોટ નથી, કારણ કે x એ વત્તા અનંત તરફ વલણ ધરાવે છે તે વત્તા અનંતની બરાબર છે:

ચાલો ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટની હાજરી શોધીએ:

મર્યાદિત મર્યાદાઓ મળી k= 2 અને b= 0. સીધું y = 2xઆ ફંક્શનના ગ્રાફનું દ્વિ-માર્ગી ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ છે (ઉદાહરણની અંદરની આકૃતિ).

ઉદાહરણ 7. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. ફંક્શનમાં એક બ્રેક પોઈન્ટ છે x= −1. ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ અને વિરામનો પ્રકાર નક્કી કરીએ:

નિષ્કર્ષ: x= −1 એ બીજા પ્રકારનું વિરામ બિંદુ છે, તેથી સીધી રેખા x= −1 એ આ ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

અમે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધી રહ્યા છીએ. કારણ કે આ કાર્ય- અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત, પર અને પરની મર્યાદાઓ એકરૂપ થશે. આમ, અમે સમીકરણમાં સીધી રેખા - ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટને બદલવા માટે ગુણાંક શોધીએ છીએ:

સાથે સીધી રેખાના સમીકરણમાં મળેલા ગુણાંકને બદલીને ઢાળ, અમે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટનું સમીકરણ મેળવીએ છીએ:

y = −3x + 5 .

આકૃતિમાં, ફંક્શનનો ગ્રાફ બર્ગન્ડીમાં દર્શાવવામાં આવ્યો છે, અને એસિમ્પ્ટોટ્સ કાળા રંગમાં દર્શાવેલ છે.

ઉદાહરણ 8. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. આ કાર્ય સતત હોવાથી, તેના ગ્રાફમાં કોઈ વર્ટિકલ એસિમ્પટૉટ્સ નથી. અમે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધી રહ્યા છીએ:

આમ, આ ફંક્શનના ગ્રાફમાં એસિમ્પ્ટોટ છે y= 0 પર અને પર કોઈ એસિપ્ટોટ નથી.

ઉદાહરણ 9. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. પહેલા આપણે જોઈએ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. આ કરવા માટે, આપણે ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધીએ છીએ. કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યારે અસમાનતા અને . ચલનું ચિહ્ન xચિહ્ન સાથે મેળ ખાય છે. તેથી, સમાન અસમાનતાને ધ્યાનમાં લો. આમાંથી આપણે કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન મેળવીએ છીએ: . વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ ફંક્શનની વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમા પર જ હોઈ શકે છે. પણ x= 0 એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ હોઈ શકતું નથી, કારણ કે ફંક્શન પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે x = 0 .

પર જમણી બાજુની મર્યાદાને ધ્યાનમાં લો (ત્યાં કોઈ ડાબા હાથની મર્યાદા નથી):

ડોટ x= 2 એ બીજા પ્રકારનું વિરામ બિંદુ છે, તેથી સીધી રેખા x= 2 - આ ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ.

અમે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધી રહ્યા છીએ:

તેથી, y = x+ 1 - પરના આ ફંક્શનના ગ્રાફનું ત્રાંસુ એસિમ્પ્ટોટ. અમે આના પર ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ શોધી રહ્યા છીએ:

તેથી, y = −x− 1 - પર ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ.

ઉદાહરણ 10. ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ. ફંક્શનમાં વ્યાખ્યાનું ડોમેન હોય છે . આ ફંક્શનના આલેખનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ માત્ર વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમા પર જ હોઈ શકે છે, તેથી આપણે ફંક્શનની એકતરફી મર્યાદાઓ પર શોધીએ છીએ.

ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફનું એસિમ્પ્ટોટ એ એક સીધી રેખા છે જેમાં ગુણધર્મ હોય છે કે બિંદુ (x, f(x)) થી આ સીધી રેખા સુધીનું અંતર શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે ગ્રાફ બિંદુ અનિશ્ચિત સમય સુધી ખસે છે. મૂળ.

આકૃતિ 3.10 માં. આપેલ ગ્રાફિક ઉદાહરણોવર્ટિકલ, હોરીઝોન્ટલ અને ઓબ્લીક એસિમ્પ્ટોટ્સ.

ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધવાનું નીચેના ત્રણ પ્રમેય પર આધારિત છે.

વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ પ્રમેય. ફંક્શન y = f(x) ને બિંદુ x 0 ના અમુક પડોશમાં વ્યાખ્યાયિત કરવા દો (કદાચ, આ બિંદુને બાદ કરતાં) અને ફંક્શનની ઓછામાં ઓછી એક એકતરફી મર્યાદા અનંતની બરાબર છે, એટલે કે. પછી સીધી રેખા x = x 0 એ ફંક્શન y = f(x) ના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

દેખીતી રીતે, સીધી રેખા x = x 0 એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ હોઈ શકતી નથી જો કાર્ય બિંદુ x 0 પર સતત હોય, કારણ કે આ કિસ્સામાં . પરિણામે, વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ ફંક્શનના અસંતુલિત બિંદુઓ પર અથવા તેની વ્યાખ્યાના ડોમેનના છેડા પર માંગવા જોઈએ.

આડું એસિમ્પ્ટોટ પ્રમેય. ફંક્શન y = f(x) ને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા x માટે વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને ફંક્શનની મર્યાદિત મર્યાદા છે. પછી રેખા y = b એ ફંક્શનના ગ્રાફની આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.

ટિપ્પણી. જો મર્યાદાઓમાંથી માત્ર એક જ મર્યાદિત હોય, તો ફંક્શનમાં અનુક્રમે ડાબી બાજુનું અથવા જમણી બાજુનું આડું એસિમ્પ્ટોટ હોય છે.

ઘટનામાં કે , ફંક્શનમાં ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ હોઈ શકે છે.

ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ પ્રમેય. કાર્ય y = f(x) ને પૂરતા પ્રમાણમાં મોટા x માટે વ્યાખ્યાયિત કરવા દો અને ત્યાં મર્યાદિત મર્યાદાઓ છે . પછી સીધી રેખા y = kx + b એ ફંક્શનના ગ્રાફનો ત્રાંસી એસિમ્પટોટ છે.

કોઈ સાબિતી નથી.

ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ, આડી એકની જેમ, જમણેરી અથવા ડાબા હાથની હોઈ શકે છે જો અનુરૂપ મર્યાદાનો આધાર ચોક્કસ સંકેતની અનંતતા હોય.

કાર્યોનો અભ્યાસ કરવો અને તેમના ગ્રાફનું નિર્માણ સામાન્ય રીતે નીચેના પગલાંઓનો સમાવેશ કરે છે:

1. કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધો.

2. સમ-વિષમ સમાનતા માટે કાર્યનું પરીક્ષણ કરો.

3. વ્યાખ્યાના ડોમેનની સીમાઓ પર અસંતુલિતતા બિંદુઓ અને કાર્યની વર્તણૂકની તપાસ કરીને વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો, જો તેઓ મર્યાદિત હોય.

4. અનંત પર ફંક્શનની વર્તણૂકનું પરીક્ષણ કરીને આડા અથવા ત્રાંસી એસિમ્પટોટ્સ શોધો.

5. ફંક્શનની એકવિધતાના અંતિમ અને અંતરાલો શોધો.

6. ફંક્શન અને ઈન્ફ્લેક્શન પોઈન્ટની બહિર્મુખતાના અંતરાલો શોધો.

7. સંકલન અક્ષો સાથે આંતરછેદના બિંદુઓ શોધો અને સંભવતઃ, કેટલાક વધારાના પોઈન્ટ, શેડ્યૂલ સ્પષ્ટતા.

કાર્ય વિભેદક

તે સાબિત કરી શકાય છે કે જો ફંક્શનની મર્યાદા બરાબર હોય મર્યાદિત સંખ્યા, તો પછી તેને આ સંખ્યાના સરવાળા તરીકે અને સમાન આધાર સાથે અનંત મૂલ્ય તરીકે રજૂ કરી શકાય છે (અને ઊલટું): .

ચાલો આ પ્રમેયને વિભેદક કાર્ય પર લાગુ કરીએ: .

આમ, Dу ફંક્શનના વધારામાં બે શબ્દોનો સમાવેશ થાય છે: 1) Dх ના સંદર્ભમાં રેખીય, એટલે કે. f `(x)Dх; 2) Dx ના સંદર્ભમાં બિનરેખીય, એટલે કે a(Dx)Dx. તે જ સમયે, ત્યારથી , આ બીજો શબ્દ એક અનંત વધુ રજૂ કરે છે ઉચ્ચ ક્રમ Dx કરતાં (જેમ કે Dx શૂન્ય તરફ વળે છે, તે શૂન્ય પણ વધુ ઝડપથી થાય છે).

ફંક્શનનો તફાવત એ ફંક્શનના વધારાના Dx ભાગની તુલનામાં મુખ્ય, રેખીય છે, ઉત્પાદન સમાનસ્વતંત્ર ચલ dy = f `(x)Dх ના વધારા માટે વ્યુત્પન્ન.

ચાલો ફંક્શન y = x નો વિભેદક શોધીએ.

ત્યારથી dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх, પછી dx = Dх, એટલે કે. સ્વતંત્ર ચલનો વિભેદક આ ચલની વૃદ્ધિ સમાન છે.

તેથી, કાર્યના વિભેદક સૂત્રને dy = f `(x)dх તરીકે લખી શકાય છે. તેથી જ વ્યુત્પન્ન માટેના સંકેતોમાંનું એક અપૂર્ણાંક dy/dх છે.

ભૌમિતિક અર્થવિભેદક ચિત્રિત
આકૃતિ 3.11. ચાલો ગ્રાફ પર ફંક્શન y = f(x) લઈએ મનસ્વી બિંદુ M(x, y). ચાલો દલીલ x ને ઇન્ક્રીમેન્ટ Dx આપીએ. પછી ફંક્શન y = f(x) ઇન્ક્રીમેન્ટ મેળવશે Dy = f(x + Dx) - f(x). ચાલો બિંદુ M પર ફંક્શનના ગ્રાફ પર એક સ્પર્શક દોરીએ, જે એબ્સીસા અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે a કોણ બનાવે છે, એટલે કે. f `(x) = ટેન એ. થી જમણો ત્રિકોણએમકેએન
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

આમ, ફંક્શનનો તફાવત એ આપેલ બિંદુ પર ફંક્શનના ગ્રાફ પર દોરેલા સ્પર્શકના ઓર્ડિનેટમાં વધારો છે જ્યારે x એ ઇન્ક્રીમેન્ટ Dx મેળવે છે.

વિભેદકના ગુણધર્મો મૂળભૂત રીતે વ્યુત્પન્નના ગુણધર્મો જેવા જ છે:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

જો કે, ત્યાં છે મહત્વપૂર્ણ મિલકતફંક્શનનો વિભેદક કે જે તેના વ્યુત્પન્ન પાસે નથી તે વિભેદકના સ્વરૂપની અવ્યવસ્થા છે.

ફંક્શન y = f(x) માટેના વિભેદકની વ્યાખ્યામાંથી, વિભેદક dy = f `(x)dх. જો આ કાર્ય y જટિલ છે, એટલે કે. y = f(u), જ્યાં u = j(x), પછી y = f અને f `(x) = f `(u)*u`. પછી dy = f `(u)*u`dх. પરંતુ કાર્ય માટે
u = j(x) વિભેદક du = u`dх. તેથી dy = f `(u)*du.

સમાનતાઓ dy = f `(x)dх અને dy = f `(u)*du ની સરખામણી કરીને, અમે ખાતરી કરીએ છીએ કે જો સ્વતંત્ર ચલ xના ફંક્શનને બદલે આપણે એક ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ તો વિભેદક સૂત્ર બદલાતું નથી. આશ્રિત ચલ u. વિભેદકના આ ગુણધર્મને વિભેદકના સ્વરૂપ (અથવા સૂત્ર) ની અવ્યવસ્થા (એટલે કે, અપરિવર્તનક્ષમતા) કહેવામાં આવે છે.

જો કે, આ બે સૂત્રોમાં હજુ પણ તફાવત છે: તેમાંના પ્રથમમાં, સ્વતંત્ર ચલનો તફાવત આ ચલના વધારાના સમાન છે, એટલે કે. dx = Dx, અને બીજું, ફંક્શન du નો વિભેદક માત્ર આ ફંક્શન Du ના વધારાનો રેખીય ભાગ છે અને માત્ર નાના Dх du » Du માટે.

આ બરાબર તે કેવી રીતે ઘડવામાં આવે છે લાક્ષણિક કાર્ય, અને તેમાં ગ્રાફના તમામ એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધવાનો સમાવેશ થાય છે (ઊભી, વલણ/આડી). તેમ છતાં, પ્રશ્ન પૂછવામાં વધુ ચોક્કસ બનવા માટે, અમે એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે સંશોધન વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ (છેવટે, ત્યાં બિલકુલ ન હોઈ શકે).

ચાલો કંઈક સરળ સાથે પ્રારંભ કરીએ:

ઉદાહરણ 1

સોલ્યુશનને અનુકૂળ રીતે બે બિંદુઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:

1) પ્રથમ આપણે તપાસ કરીએ છીએ કે ત્યાં વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે કે કેમ. છેદ શૂન્ય પર જાય છે, અને તે તરત જ સ્પષ્ટ છે કે આ બિંદુએ કાર્ય અનંત વિરામનો ભોગ બને છે, અને સીધી રેખા સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે, એ ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે. પરંતુ, આવા નિષ્કર્ષ દોરતા પહેલા, એકતરફી મર્યાદા શોધવી જરૂરી છે:

હું તમને ગણતરીની ટેકનિકની યાદ અપાવું છું કે જેના પર મેં ફંક્શનની સાતત્યતાના લેખમાં સમાન રીતે ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું હતું. બ્રેકિંગ પોઈન્ટ. મર્યાદા ચિહ્ન હેઠળ અભિવ્યક્તિમાં આપણે અવેજી કરીએ છીએ. અંશમાં કંઈ રસપ્રદ નથી:
.

પરંતુ છેદમાં તે બહાર આવ્યું છે અનંત નકારાત્મક સંખ્યા :
, તે મર્યાદાનું ભાવિ નક્કી કરે છે.

ડાબી બાજુની મર્યાદા અનંત છે, અને, સૈદ્ધાંતિક રીતે, વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટની હાજરી વિશે ચુકાદો આપવાનું પહેલેથી જ શક્ય છે. પરંતુ એકતરફી મર્યાદાઓ માત્ર આ માટે જ જરૂરી નથી - તેઓ ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવી રીતે સ્થિત છે તે સમજવામાં અને તેને યોગ્ય રીતે બાંધવામાં મદદ કરે છે. તેથી, આપણે જમણા હાથની મર્યાદાની પણ ગણતરી કરવી જોઈએ:

નિષ્કર્ષ: એકતરફી મર્યાદાઓ અનંત છે, જેનો અર્થ છે કે સીધી રેખા એ પરના કાર્યના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

પ્રથમ મર્યાદા મર્યાદિત, જેનો અર્થ છે કે "વાર્તાલાપ ચાલુ રાખો" અને બીજી મર્યાદા શોધવી જરૂરી છે:

બીજી મર્યાદા પણ મર્યાદિત.

આમ, અમારું લક્ષણ છે:

નિષ્કર્ષ: સમીકરણ દ્વારા નિર્દિષ્ટ સીધી રેખા એ ફંક્શનના ગ્રાફની આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.

આડી એસિમ્પ્ટોટ શોધવા માટે, તમે એક સરળ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

જો ત્યાં મર્યાદિત મર્યાદા હોય, તો સીધી રેખા એ પરના કાર્યના ગ્રાફની આડી એસિમ્પ્ટોટ છે.

એ નોંધવું સરળ છે કે ફંક્શનના અંશ અને છેદ વૃદ્ધિના સમાન ક્રમના છે, જેનો અર્થ છે કે માંગેલી મર્યાદા મર્યાદિત હશે:

જવાબ:

શરત મુજબ, ડ્રોઇંગ બનાવવાની જરૂર નથી, પરંતુ જો આપણે કોઈ ફંક્શન પર સંશોધન કરી રહ્યા છીએ, તો અમે તરત જ ડ્રાફ્ટ પર સ્કેચ બનાવીએ છીએ:

મળેલી ત્રણ મર્યાદાઓના આધારે, ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવી રીતે સ્થિત થઈ શકે છે તે જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો. શું તે બિલકુલ મુશ્કેલ છે? 5-6-7-8 પોઈન્ટ શોધો અને તેમને ડ્રોઈંગ પર ચિહ્નિત કરો. જો કે, આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ગ્રાફ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે પ્રાથમિક કાર્ય, અને વાચકો કે જેમણે ઉપરોક્ત લેખના ઉદાહરણ 21 ની કાળજીપૂર્વક તપાસ કરી છે તેઓ સરળતાથી અનુમાન કરી શકે છે કે આ કેવા પ્રકારનો વળાંક છે.

ઉદાહરણ 2

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે પ્રક્રિયાને અનુકૂળ રીતે બે બિંદુઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવી છે - વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ અને ઓબ્લિક એસિમ્પ્ટોટ્સ. નમૂનાના દ્રાવણમાં, આડી એસિમ્પ્ટોટ સરળ યોજનાનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.

વ્યવહારમાં, અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યોનો મોટાભાગે સામનો કરવો પડે છે, અને હાયપરબોલાસ પર તાલીમ લીધા પછી, અમે કાર્યને જટિલ બનાવીશું:

ઉદાહરણ 3

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ: એક, બે અને થઈ ગયું:

1) વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ અનંત વિરામના બિંદુઓ પર છે, તેથી તમારે તપાસ કરવાની જરૂર છે કે શું છેદ શૂન્ય પર જાય છે. ચાલો ચતુર્ભુજ સમીકરણ હલ કરીએ:

ભેદભાવ હકારાત્મક છે, તેથી સમીકરણમાં બે વાસ્તવિક મૂળ છે, અને કાર્ય નોંધપાત્ર રીતે વધ્યું છે =)

વધુ એકતરફી મર્યાદા શોધવા માટે ચતુર્ભુજ ત્રિપદીતે ફેક્ટરાઇઝ કરવા માટે અનુકૂળ છે:
(કોમ્પેક્ટ નોટેશન માટે, "માઈનસ" પ્રથમ કૌંસમાં સમાવવામાં આવ્યો હતો). સલામત બાજુ પર રહેવા માટે, ચાલો માનસિક રીતે અથવા ડ્રાફ્ટ પર કૌંસ ખોલીને તપાસ કરીએ.

ચાલો ફંક્શનને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ

ચાલો બિંદુ પર એકતરફી મર્યાદા શોધીએ:

અને બિંદુ પર:

આમ, સીધી રેખાઓ પ્રશ્નમાં ફંક્શનના ગ્રાફના વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ છે.

2) જો તમે કાર્ય જુઓ , તો તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે મર્યાદા મર્યાદિત હશે અને આપણી પાસે આડી એસિમ્પ્ટોટ છે. ચાલો ટૂંકમાં તેની હાજરી બતાવીએ:

આમ, સીધી રેખા (એબ્સિસા અક્ષ) એ આ ફંક્શનના ગ્રાફનું આડું એસિમ્પ્ટોટ છે.

જવાબ:

મળેલ મર્યાદાઓ અને એસિમ્પ્ટોટ્સ ફંક્શનના ગ્રાફ વિશે ઘણી બધી માહિતી પ્રદાન કરે છે. નીચે આપેલા તથ્યોને ધ્યાનમાં લેતા ડ્રોઇંગની માનસિક રીતે કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ કરો:

તમારા ડ્રાફ્ટ પર ગ્રાફના તમારા સંસ્કરણને સ્કેચ કરો.

અલબત્ત, મળેલી મર્યાદાઓ સ્પષ્ટપણે ગ્રાફના દેખાવને નિર્ધારિત કરતી નથી, અને તમે ભૂલ કરી શકો છો, પરંતુ કસરત પોતે દરમિયાન અમૂલ્ય મદદ પૂરી પાડશે. સંપૂર્ણ સંશોધનકાર્યો સાચું ચિત્ર પાઠના અંતે છે.

ઉદાહરણ 4

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉદાહરણ 5

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

આ સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો છે. બંને આલેખમાં ફરીથી આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ છે, જે તરત જ દ્વારા શોધી કાઢવામાં આવે છે નીચેના ચિહ્નો: ઉદાહરણ 4 માં છેદની વૃદ્ધિનો ક્રમ અંશની વૃદ્ધિના ક્રમ કરતાં વધારે છે, અને ઉદાહરણ 5 માં અંશ અને છેદ વૃદ્ધિના સમાન ક્રમના છે. સેમ્પલ સોલ્યુશનમાં, પ્રથમ ફંક્શનને સંપૂર્ણ રીતે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે તપાસવામાં આવે છે, અને બીજું - મર્યાદા દ્વારા.

આડા એસિમ્પ્ટોટ્સ, મારી વ્યક્તિલક્ષી છાપમાં, "ખરેખર નમેલા" કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધુ સામાન્ય છે. લાંબા સમયથી રાહ જોવાતો સામાન્ય કેસ:

ઉદાહરણ 6

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ: શૈલીની ક્લાસિક:

1) છેદ ધન હોવાથી, કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા સાથે સતત રહે છે, અને ત્યાં કોઈ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી. ...શું આ સારું છે? યોગ્ય શબ્દ નથી - ઉત્તમ! પોઈન્ટ નંબર 1 બંધ છે.

2) ચાલો ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી તપાસીએ:

પ્રથમ મર્યાદા મર્યાદિત, તો ચાલો આગળ વધીએ. અનિશ્ચિતતાને દૂર કરવા માટે બીજી મર્યાદાની ગણતરી કરતી વખતે “અનંત ઓછા અનંત”, અમે અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડીએ છીએ:

બીજી મર્યાદા પણ મર્યાદિતતેથી, પ્રશ્નમાં ફંક્શનના ગ્રાફમાં ત્રાંસી એસિમ્પટોટ છે:

નિષ્કર્ષ:

આમ, જ્યારે કાર્યનો આલેખ અનંત નજીકસીધી રેખા સુધી પહોંચે છે:

નોંધ કરો કે તે તેના ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટને મૂળમાં છેદે છે, અને આવા આંતરછેદ બિંદુઓ તદ્દન સ્વીકાર્ય છે - તે મહત્વપૂર્ણ છે કે અનંત પર "બધું સામાન્ય છે" (હકીકતમાં, આ તે છે જ્યાં આપણે એસિમ્પ્ટોટ્સ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ).

ઉદાહરણ 7

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

ઉકેલ: ટિપ્પણી કરવા માટે કંઈ ખાસ નથી, તેથી હું તેને ઔપચારિક કરીશ અંદાજિત નમૂનાઅંતિમ ઉકેલ:

1) વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. ચાલો મુદ્દાની શોધ કરીએ.

પરના ગ્રાફ માટે સીધી રેખા એ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

2) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ:

પરના ગ્રાફ માટે સીધી રેખા એ ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ છે.

જવાબ:

જોવા મળેલી એકતરફી મર્યાદાઓ અને એસિમ્પ્ટોટ્સ અમને ઉચ્ચ આત્મવિશ્વાસ સાથે આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે કે આ કાર્યનો ગ્રાફ કેવો દેખાય છે. પાઠના અંતે યોગ્ય રેખાંકન.

ઉદાહરણ 8

ફંક્શનના ગ્રાફના એસિમ્પ્ટોટ્સ શોધો

કેટલીક મર્યાદાઓની ગણતરીની સુવિધા માટે આ સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે, તમે અંશને શબ્દ દ્વારા છેદ દ્વારા વિભાજિત કરી શકો છો. ફરીથી, તમારા પરિણામોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, આ કાર્યનો ગ્રાફ દોરવાનો પ્રયાસ કરો.

દેખીતી રીતે, "વાસ્તવિક" ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સના માલિકો તે આલેખ છે અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યો, જેમાં અંશની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી કરતાં એક મોટી છે. જો તે વધુ હોય, તો ત્યાં કોઈ ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ હશે નહીં (ઉદાહરણ તરીકે, ).

પરંતુ જીવનમાં અન્ય ચમત્કારો થાય છે:

ઉદાહરણ 9

સોલ્યુશન: ફંક્શન સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર સતત છે, જેનો અર્થ છે કે ત્યાં કોઈ વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી. પરંતુ ત્યાં સારી રીતે વલણવાળા હોઈ શકે છે. અમે તપાસીએ છીએ:

મને યાદ છે કે યુનિવર્સિટીમાં મેં કેવી રીતે સમાન કાર્યનો સામનો કરવો પડ્યો હતો અને હું માની શકતો નથી કે તેમાં ત્રાંસી એસિમ્પટોટ છે. જ્યાં સુધી હું બીજી મર્યાદાની ગણતરી ન કરું ત્યાં સુધી:

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, અહીં બે અનિશ્ચિતતાઓ છે: અને , પરંતુ એક અથવા બીજી રીતે, તમારે ઉકેલ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, જેની ચર્ચા મર્યાદા પરના લેખના ઉદાહરણો 5-6 માં કરવામાં આવી છે. વધેલી જટિલતા. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે સંયોજક અભિવ્યક્તિ દ્વારા ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરીએ છીએ:

જવાબ:

કદાચ સૌથી લોકપ્રિય ત્રાંસી એસિમ્પટોટ.

અત્યાર સુધી, અનંતતાને "એક બ્રશ વડે કટ" કરવામાં આવી છે, પરંતુ એવું બને છે કે ફંક્શનના ગ્રાફમાં બે અલગ-અલગ ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ છે:

ઉદાહરણ 10

એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે ફંક્શનના ગ્રાફનું પરીક્ષણ કરો

ઉકેલ: આમૂલ અભિવ્યક્તિ હકારાત્મક છે, જેનો અર્થ છે કે વ્યાખ્યાનું ડોમેન કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, અને ત્યાં ઊભી લાકડીઓ હોઈ શકતી નથી.

ચાલો તપાસ કરીએ કે ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ અસ્તિત્વમાં છે કે કેમ.

જો "x" "માઈનસ અનંત" તરફ વલણ ધરાવે છે, તો પછી:
(જ્યારે નીચે "X" દાખલ કરો વર્ગમૂળમાઈનસ ચિહ્ન ઉમેરવું જરૂરી છે જેથી છેદની નકારાત્મકતા ગુમાવી ન શકાય)

તે અસામાન્ય લાગે છે, પરંતુ અહીં અનિશ્ચિતતા "અનંત ઓછા અનંત" છે. સંયુક્ત અભિવ્યક્તિ દ્વારા અંશ અને છેદનો ગુણાકાર કરો:

આમ, સીધી રેખા એ પરના ગ્રાફનું ત્રાંસી એસિમ્પટોટ છે.

"પ્લસ અનંત" સાથે બધું વધુ તુચ્છ છે:

અને સીધી રેખા પર છે.

જવાબ:

જો;
, જો .

હું પ્રતિકાર કરી શકતો નથી ગ્રાફિક છબી:

આ હાઇપરબોલની શાખાઓમાંની એક છે.

એસિમ્પ્ટોટ્સની સંભવિત હાજરી માટે શરૂઆતમાં ફંક્શનના ડોમેન દ્વારા મર્યાદિત હોવું અસામાન્ય નથી:

ઉદાહરણ 11

એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે ફંક્શનના ગ્રાફનું પરીક્ષણ કરો

ઉકેલ: દેખીતી રીતે , તેથી અમે ફક્ત જમણા અર્ધ-વિમાનને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, જ્યાં કાર્યનો ગ્રાફ છે.

1) ફંક્શન અંતરાલ પર સતત છે, જેનો અર્થ છે કે જો વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ અસ્તિત્વમાં છે, તો તે માત્ર ઓર્ડિનેટ અક્ષ હોઈ શકે છે. ચાલો બિંદુની નજીકના કાર્યની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરીએ અધિકાર:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં કોઈ અનિશ્ચિતતા નથી (આવા કિસ્સાઓ પર લેખની શરૂઆતમાં ભાર મૂકવામાં આવ્યો હતો મર્યાદા ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓ).

આમ, સીધી રેખા (ઓર્ડિનેટ અક્ષ) એ ફંક્શનના ગ્રાફ માટે વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.

2) ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટનો ઉપયોગ કરીને અભ્યાસ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે સંપૂર્ણ યોજના, પરંતુ L'Hopital Rules લેખમાં અમને તે જાણવા મળ્યું છે રેખીય કાર્યલઘુગણક કરતાં વૃદ્ધિનો ઉચ્ચ ક્રમ, તેથી: (તે જ પાઠનું ઉદાહરણ 1 જુઓ).

નિષ્કર્ષ: x-અક્ષ એ ફંક્શનના ગ્રાફનું આડું એસિમ્પ્ટોટ છે.

જવાબ:

જો;
, જો .

સ્પષ્ટતા માટે રેખાંકન:

તે રસપ્રદ છે કે મોટે ભાગે સમાન કાર્યમાં કોઈ એસિમ્પ્ટોટ્સ નથી (જેઓ ઈચ્છે છે તેઓ આ ચકાસી શકે છે).

બે અંતિમ ઉદાહરણોસ્વ-અભ્યાસ માટે:

ઉદાહરણ 12

એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે ફંક્શનના ગ્રાફનું પરીક્ષણ કરો

વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ તપાસવા માટે, તમારે પહેલા ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન શોધવાની જરૂર છે, અને પછી "શંકાસ્પદ" બિંદુઓ પર એકતરફી મર્યાદાઓની જોડીની ગણતરી કરો. ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ પણ બાકાત નથી, કારણ કે કાર્ય "વત્તા" અને "માઈનસ" અનંત પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

ઉદાહરણ 13

એસિમ્પ્ટોટ્સની હાજરી માટે ફંક્શનના ગ્રાફનું પરીક્ષણ કરો

પરંતુ અહીં ફક્ત ત્રાંસી એસિમ્પ્ટોટ્સ હોઈ શકે છે, અને દિશાઓને અલગથી ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ.

હું આશા રાખું છું કે તમને સાચો એસિમ્પ્ટોટ મળ્યો હશે =)

હું તમને સફળતાની ઇચ્છા કરું છું!

ઉકેલો અને જવાબો:

ઉદાહરણ 2:ઉકેલ :
. ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓ શોધીએ:

સીધું પર ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે .
2) ઓબ્લિક એસિમ્પ્ટોટ્સ.

સીધું .
જવાબ:

રેખાંકનઉદાહરણ 3 માટે:

ઉદાહરણ 4:ઉકેલ :
1) વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ્સ. કાર્ય એક બિંદુ પર અનંત વિરામ ભોગવે છે . ચાલો એકતરફી મર્યાદાઓની ગણતરી કરીએ:

નોંધ: એક સમાન ઘાતની અનંત ઋણ સંખ્યા અનંત હકારાત્મક સંખ્યાની બરાબર છે: .

સીધું ફંક્શનના ગ્રાફનું વર્ટિકલ એસિમ્પ્ટોટ છે.
2) ઓબ્લિક એસિમ્પ્ટોટ્સ.

સીધું (abscissa axis) પર ફંક્શનના ગ્રાફનું આડું એસિમ્પ્ટોટ છે .
જવાબ: