કાર્યોના સૌથી મહત્વપૂર્ણ વર્ગોમાંનું એક, જેનાં અભિન્ન ભાગો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે પ્રાથમિક કાર્યો, તર્કસંગત કાર્યોનો વર્ગ છે.

વ્યાખ્યા 1. ફોર્મનું કાર્ય જ્યાં
- ડિગ્રીના બહુપદીnઅનેmતર્કસંગત કહેવાય છે. સમગ્ર તર્કસંગત કાર્ય, એટલે કે બહુપદી, સીધી રીતે સંકલિત થાય છે. અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યનું અભિન્ન પરિભાષામાં વિઘટન કરીને શોધી શકાય છે, જે પ્રમાણભૂત રીતે મુખ્ય ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ્સમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

વ્યાખ્યા 2. અપૂર્ણાંક
જો અંશની ડિગ્રી હોય તો તેને યોગ્ય કહેવામાં આવે છેnઓછું છેદ શક્તિઓ m.

અપૂર્ણાંક કે જેમાં અંશની ડિગ્રી છેદની ડિગ્રી કરતા વધારે અથવા સમાન હોય તેને અયોગ્ય કહેવામાં આવે છે. કોઈપણ અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને બહુપદીના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અનેયોગ્ય અપૂર્ણાંક

. આ બહુપદીને બહુપદી દ્વારા વિભાજિત કરીને કરવામાં આવે છે, જેમ કે વિભાજન સંખ્યાઓ.

ઉદાહરણ.
ચાલો અપૂર્ણાંકની કલ્પના કરીએ

બહુપદી અને યોગ્ય અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે:

x - 1
પ્રથમ મુદત
અવશેષમાં તે અગ્રણી પદને વિભાજીત કરવાના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે , અગ્રણી શબ્દ દ્વારા વિભાજિતએક્સ
વિભાજક પછી આપણે ગુણાકાર કરીએ છીએ વિભાજક દીઠ x-1

અને પરિણામી પરિણામ ડિવિડન્ડમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે; અપૂર્ણ અવશેષની બાકીની શરતો સમાન રીતે જોવા મળે છે.

બહુપદીને વિભાજિત કર્યા પછી, અમને મળે છે:

આ ક્રિયાને સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરવાનું કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 3. સૌથી સરળ અપૂર્ણાંક એ નીચેના પ્રકારના યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક છે:

આઈ.
II.

(K=2, 3, …).
III.

ચોરસ ત્રિનોમી ક્યાં છે
IV.
જ્યાં K=2, 3, …; ચતુર્ભુજ ત્રિપદી

કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી.
a) છેદને વિસ્તૃત કરો
સૌથી સરળ વાસ્તવિક પરિબળોમાં (બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ, આ વિસ્તરણ ફોર્મના રેખીય દ્વિપદી સમાવી શકે છે
અને ચતુર્ભુજ ત્રિપદીઓ

, કોઈ મૂળ નથી);
b) આપેલ અપૂર્ણાંકના વિઘટનનું રેખાકૃતિ સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં લખો. તદુપરાંત, ફોર્મના દરેક પરિબળ અનુલક્ષે છે k

પ્રકાર I અને II ના ઘટકો:
ફોર્મના દરેક પરિબળ માટે

પ્રકાર III અને IV ની e શરતોને અનુરૂપ છે:
અપૂર્ણાંક વિસ્તરણ યોજના લખો

સૌથી સરળ ના સરવાળા સુધી.

c) મેળવેલ સરળ અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો કરો.
પરિણામી અને મૂળ અપૂર્ણાંકોના અંશની સમાનતા લખો;

e) ગુણાંકના મળેલા મૂલ્યોને વિઘટન યોજનામાં બદલો.

વિઘટન પછી કોઈપણ યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને તેના સરળ શબ્દોમાં એકીકૃત કરવાથી એક પ્રકારનું પૂર્ણાંક શોધવામાં ઘટાડો થાય છે:

(અનુલક્ષે છેઅને ઇ =2, 3, …).

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી સૂત્ર III સુધી ઘટાડે છે:

અભિન્ન - સૂત્ર II માટે:

અભિન્ન ચતુર્ભુજ ત્રિપદી ધરાવતા કાર્યોના એકીકરણના સિદ્ધાંતમાં ઉલ્લેખિત નિયમ દ્વારા શોધી શકાય છે; - ઉદાહરણ 4 માં નીચે દર્શાવેલ પરિવર્તનો દ્વારા.

ઉદાહરણ 1.

a) છેદનું પરિબળ:

b) એકીકરણને શરતોમાં વિઘટન કરવા માટે એક આકૃતિ લખો:

c) સરળ અપૂર્ણાંકનો ઉમેરો કરો:

ચાલો આપણે અપૂર્ણાંકના અંશની સમાનતા લખીએ:

d) અજ્ઞાત ગુણાંક A, B, C શોધવા માટેની બે પદ્ધતિઓ છે.

બે બહુપદીઓ સમાન છે જો અને માત્ર જો તેમના ગુણાંક સમાન હોય સમાન ડિગ્રી , અગ્રણી શબ્દ દ્વારા વિભાજિત, જેથી તમે સમીકરણોની અનુરૂપ સિસ્ટમ બનાવી શકો. આ ઉકેલની પદ્ધતિઓમાંની એક છે.

પર ગુણાંક

મફત સભ્યો (પર ગુણાંક ):4A=8.

સિસ્ટમ હલ કર્યા પછી, અમે મેળવીએ છીએ A=2, B=1, C= - 10.

બીજી પદ્ધતિ - ખાનગી મૂલ્યો - નીચેના ઉદાહરણમાં ચર્ચા કરવામાં આવશે;

e) મળેલ મૂલ્યોને વિઘટન યોજનામાં બદલો:

અવિભાજ્ય ચિન્હ હેઠળ પરિણામી રકમની અવેજીમાં અને દરેક પદને અલગથી એકીકૃત કરવાથી, અમને મળે છે:

ઉદાહરણ 2.

ઓળખ એ એક સમાનતા છે જે તેમાં સમાવિષ્ટ અજ્ઞાતના કોઈપણ મૂલ્યો માટે માન્ય છે. આના આધારેખાનગી મૂલ્ય પદ્ધતિ. , અગ્રણી શબ્દ દ્વારા વિભાજિતઆપી શકાય

કોઈપણ મૂલ્યો. સમાનતાની જમણી બાજુની કોઈપણ શરતો અદૃશ્ય થઈ જાય તેવા મૂલ્યો લેવા માટે ગણતરીઓ માટે તે વધુ અનુકૂળ છે. દો x = 0 . પછી 1 = એ 0(0+2)+V (0-1)(0+2).

0 (0-1)+С એ જ રીતે માટે x = - 2 અમારી પાસે છે 1= - 2V*(-3 ), ખાતે x = 1 અમારી પાસે છે.

1 = 3A

આથી,

ઉદાહરણ 3.

કોઈપણ મૂલ્યો. સમાનતાની જમણી બાજુની કોઈપણ શરતો અદૃશ્ય થઈ જાય તેવા મૂલ્યો લેવા માટે ગણતરીઓ માટે તે વધુ અનુકૂળ છે. દોડી) પ્રથમ આપણે આંશિક મૂલ્ય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. . પછી , પછી.

1, A = 1 મુ x = - 2 - x = - 1 1+4+2+1 = - B(1+1+1) અથવા, 6 = - 3 વી.

B = - 2 , અગ્રણી શબ્દ દ્વારા વિભાજિત C અને D ગુણાંક શોધવા માટે, તમારે વધુ બે સમીકરણો બનાવવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, તમે કોઈપણ અન્ય મૂલ્યો લઈ શકો છો , ઉદાહરણ તરીકે x = 1 અને x = 2 , અગ્રણી શબ્દ દ્વારા વિભાજિત. તમે પ્રથમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો, એટલે કે. કોઈપણ સમાન શક્તિઓ પર સમાન ગુણાંક , ઉદાહરણ તરીકે જ્યારે

અને.અમને મળે છે

1 = A+B+C અને 4 = C + ડી, - IN.જાણીને A = 1, . = 0 .

B = -2

, અમે શોધીશું C = 2 આમ, ગુણાંકની ગણતરી કરતી વખતે બંને પદ્ધતિઓને જોડી શકાય છે.છેલ્લું અભિન્ન

અમે નવા ચલનો ઉલ્લેખ કરવાની પદ્ધતિમાં ઉલ્લેખિત નિયમ અનુસાર અલગથી શોધીએ છીએ.
ચાલો પ્રકાશિત કરીએ
સંપૂર્ણ ચોરસ

છેદમાં:

ચાલો કહીએ

પછી

અમને મળે છે:

અગાઉની સમાનતાને બદલીને, આપણે શોધીએ છીએ

ઉદાહરણ 4.

ચાલો પ્રથમ ઇન્ટિગ્રલને ફોર્મ્યુલા III માં રૂપાંતરિત કરીએ:

ચાલો બીજા અવિભાજ્યને સૂત્ર II માં પરિવર્તિત કરીએ:

ત્રીજા અભિન્નમાં આપણે ચલને બદલીએ છીએ:

(પરિવર્તન કરતી વખતે, અમે ત્રિકોણમિતિ સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો

અવિભાજ્ય શોધો:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

સ્વ-પરીક્ષણ પ્રશ્નો.

આમાંથી કયા તર્કસંગત અપૂર્ણાંક સાચા છે:

2. શું અપૂર્ણાંકને સાદા અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિઘટિત કરવા માટેનો આકૃતિ યોગ્ય રીતે લખાયેલ છે?

અહીં અમે રજૂ કરીએ છીએ વિગતવાર ઉકેલોનીચેના તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને એકીકૃત કરવાના ત્રણ ઉદાહરણો:
, , .

ઉદાહરણ 1

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો:
.

ઉકેલ

અહીં, અભિન્ન ચિહ્ન હેઠળ એક તર્કસંગત કાર્ય છે, ત્યારથી એકીકરણબહુપદીનો અપૂર્ણાંક છે. છેદ બહુપદી ડિગ્રી ( 3 ) અંશ બહુપદીની ડિગ્રી કરતાં ઓછી છે ( 4 ). તેથી, પ્રથમ તમારે અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરવાની જરૂર છે.

1. ચાલો અપૂર્ણાંકનો સંપૂર્ણ ભાગ પસંદ કરીએ. ભાગાકાર x 4 x દ્વારા 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

અહીંથી
.

2. ચાલો અપૂર્ણાંકના છેદને અવયવિત કરીએ. આ કરવા માટે, તમારે ઘન સમીકરણ હલ કરવાની જરૂર છે:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
ચાલો x = અવેજી કરીએ 1 :
.

1 . 1 :

અહીંથી
.
x વડે ભાગાકાર - ચાલો નક્કી કરીએ.
.
ચતુર્ભુજ સમીકરણ
સમીકરણના મૂળ છે: , .
.

3. પછી

.

ચાલો અપૂર્ણાંકને તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં તોડીએ.
.
તેથી અમને મળ્યું:

ચાલો એકીકૃત કરીએ.

જવાબ આપો

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો:
.

ઉકેલ

ઉદાહરણ 2 અહીં અપૂર્ણાંકનો અંશ એ ડિગ્રી શૂન્યનો બહુપદી છે ( 1 = x 0 0 < 3 ). છેદ એ ત્રીજી ડિગ્રીનો બહુપદી છે. ત્યારથી

1. , તો અપૂર્ણાંક સાચો છે. ચાલો તેને સરળ અપૂર્ણાંકમાં તોડીએ.
.
ચાલો અપૂર્ણાંકના છેદને અવયવિત કરીએ. આ કરવા માટે, તમારે ત્રીજા ડિગ્રી સમીકરણને હલ કરવાની જરૂર છે: ચાલો ધારીએ કે તેની પાસે ઓછામાં ઓછું એક છેસંપૂર્ણ મૂળ 3 . પછી તે સંખ્યાનો વિભાજક છે
1, 3, -1, -3 .
ચાલો x = અવેજી કરીએ 1 :
.

(x વિના સભ્ય). એટલે કે, સંપૂર્ણ મૂળ સંખ્યાઓમાંથી એક હોઈ શકે છે: 1 તેથી, આપણને એક મૂળ x = મળ્યું છે .ભાગાકાર x 1 :

3 + 2 x - 3
.

x પર -
તેથી, ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું:.
x 2 + x + 3 = 0ભેદભાવ શોધો: D =< 0 1 2 - 4 3 = -11
.

2.
.
.:
(2.1) .
ચાલો x = અવેજી કરીએ 1 ત્યારથી ડી 1 = 0 ,
.

, તો સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. આમ, અમે છેદનું અવયવીકરણ મેળવ્યું: (2.1) (x - 1)(x 2 + x + 3) 0 :
.;
.

પછી x - (2.1) ચાલો અવેજી કરીએ 2 :
;
x =;
.

3. તેથી અમને મળ્યું:
(2.2) .
1 = 3 A - C

;
;
.

ચાલો સમાન કરીએ 2 .

.
x માટે ગુણાંક ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું: 0 = A + B બીજા અવિભાજ્યની ગણતરી કરવા માટે, અમે અંશમાં છેદના વ્યુત્પન્નને અલગ કરીએ છીએ અને છેદને ચોરસના સરવાળા સુધી ઘટાડીએ છીએ. I ગણતરી કરો

સમીકરણ x થી (2.2) :
.

ચાલો એકીકૃત કરીએ.

કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, પછી x

ઇન્ટિગ્રલની ગણતરી કરો:
.

ઉકેલ

2 + x + 3 > 0 3 . 4 તેથી, મોડ્યુલસ ચિહ્ન અવગણી શકાય છે. 3 < 4 અમે પહોંચાડીએ છીએ

1. ચાલો અપૂર્ણાંકના છેદને અવયવિત કરીએ. આ કરવા માટે, તમારે ચોથા ડિગ્રીના સમીકરણને હલ કરવાની જરૂર છે:
.
ચાલો ધારીએ કે તેમાં ઓછામાં ઓછું એક સંપૂર્ણ મૂળ છે. પછી તે સંખ્યાનો વિભાજક છે 2 . પછી તે સંખ્યાનો વિભાજક છે
1, 2, -1, -2 .
ચાલો x = અવેજી કરીએ -1 :
.

(x વિના સભ્ય). એટલે કે, સંપૂર્ણ મૂળ સંખ્યાઓમાંથી એક હોઈ શકે છે: -1 . (-1) = x + 1:

3 + 2 x - 3
.

હવે આપણે ત્રીજા ડિગ્રી સમીકરણને હલ કરવાની જરૂર છે:
.
જો આપણે ધારીએ કે આ સમીકરણમાં પૂર્ણાંક મૂળ છે, તો તે સંખ્યાનો વિભાજક છે 2 . પછી તે સંખ્યાનો વિભાજક છે
1, 2, -1, -2 .
ચાલો x = અવેજી કરીએ -1 :
.

તેથી, અમને બીજું મૂળ x = મળ્યું -1 .
.

અગાઉના કિસ્સામાંની જેમ, બહુપદીને વડે વિભાજીત કરવાનું શક્ય બનશે, પરંતુ અમે શરતોને જૂથબદ્ધ કરીશું: 2 + 2 = 0 સમીકરણ x થી
.

2. કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી, તો પછી આપણને છેદનું અવયવીકરણ મળે છે:
.
ચાલો અપૂર્ણાંકને તેના સૌથી સરળ સ્વરૂપમાં તોડીએ. અમે ફોર્મમાં વિસ્તરણ શોધી રહ્યા છીએ: આપણે અપૂર્ણાંકના છેદથી છૂટકારો મેળવીએ છીએ, વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ:
(3.1) .
ચાલો x = અવેજી કરીએ -1 (x + 1) 2 (x 2 + 2) 1 = 0 ,
.

. (3.1) :

;

.
ચાલો x = અવેજી કરીએ -1 પછી x + 1 = 0 :
;
; .

, તો સમીકરણનું કોઈ વાસ્તવિક મૂળ નથી. આમ, અમે છેદનું અવયવીકરણ મેળવ્યું: (3.1) (x - 1)(x 2 + x + 3) 0 :
ચાલો તફાવત કરીએ;
.

પછી x - (3.1) ચાલો અવેજી કરીએ 3 :
;
અને ધ્યાનમાં લો કે x +;
.

0 = 2 A + 2 B + D
.

3. તેથી અમને મળ્યું:

.

1 = B + C
તેથી, અમને સરળ અપૂર્ણાંકમાં વિઘટન મળ્યું છે: અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યનું એકીકરણ.

પદ્ધતિ અનિશ્ચિત ગુણાંક.

અમે અપૂર્ણાંકને એકીકૃત કરવા પર કામ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ. આપણે પાઠમાં અમુક પ્રકારનાં અપૂર્ણાંકોના અભિન્ન ભાગોને પહેલેથી જ જોયા છે, અને અમુક અર્થમાં આ પાઠને ચાલુ ગણી શકાય. સામગ્રીને સફળતાપૂર્વક સમજવા માટે, મૂળભૂત એકીકરણ કૌશલ્ય જરૂરી છે, તેથી જો તમે હમણાં જ ઇન્ટિગ્રલ્સનો અભ્યાસ કરવાનું શરૂ કર્યું છે, એટલે કે, તમે શિખાઉ છો, તો તમારે લેખ સાથે પ્રારંભ કરવાની જરૂર છે. અનિશ્ચિત અભિન્ન. ઉકેલોના ઉદાહરણોવિચિત્ર રીતે, હવે આપણે અવિભાજ્ય શોધવામાં નહીં, પણ... પ્રણાલી ઉકેલવામાં વ્યસ્ત રહીશું. રેખીય સમીકરણો. આ સંદર્ભે

તાત્કાલિક હું પાઠમાં હાજરી આપવાની ભલામણ કરું છું, એટલે કે, તમારે અવેજી પદ્ધતિઓ ("શાળા" પદ્ધતિ અને સિસ્ટમ સમીકરણોના ટર્મ-બાય-ટર્મ એડિશન (બાદબાકી)ની પદ્ધતિમાં સારી રીતે વાકેફ હોવું જરૂરી છે.અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્ય શું છે? સાદા શબ્દોમાં.

, અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્ય એ એક અપૂર્ણાંક છે જેના અંશ અને છેદમાં બહુપદી અથવા બહુપદીના ઉત્પાદનો હોય છે. તદુપરાંત, અપૂર્ણાંકો લેખમાં ચર્ચા કરાયેલ કરતાં વધુ વ્યવહારદક્ષ છે

કેટલાક અપૂર્ણાંક એકીકૃત યોગ્ય અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને એકીકૃત કરવુંતરત જ એક ઉદાહરણ અને

પ્રમાણભૂત અલ્ગોરિધમનો

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના અભિન્ન ઉકેલો.ઉદાહરણ 1 પગલું 1.: અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના અવિભાજ્યને હલ કરતી વખતે આપણે હંમેશા જે કરીએ છીએ તે પ્રથમ વસ્તુ શોધવાનું છે આગામી પ્રશ્નશું અપૂર્ણાંક યોગ્ય છે?

આ પગલું મૌખિક રીતે કરવામાં આવે છે, અને હવે હું સમજાવીશ કે કેવી રીતે:પહેલા આપણે અંશને જોઈએ અને શોધી કાઢીએ

વરિષ્ઠ ડિગ્રી

બહુપદી મૌખિક રીતે કરવામાં આવે છે, અને હવે હું સમજાવીશ કે કેવી રીતે:અંશની અગ્રણી શક્તિ બે છે. હવે આપણે છેદ જોઈએ અને શોધીએ, પરંતુ તમે તેને સરળ રીતે કરી શકો છો દરેકકૌંસમાં ઉચ્ચતમ ડિગ્રી શોધો

અને માનસિક રીતે ગુણાકાર કરો: - આમ, છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી ત્રણ જેટલી છે. તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે ખરેખર કૌંસ ખોલીએ, તો આપણને ત્રણ કરતા વધારે ડિગ્રી મળશે નહીં.

નિષ્કર્ષ: અંશની મુખ્ય ડિગ્રી કડકાઈથીછેદની સર્વોચ્ચ શક્તિ કરતાં ઓછી છે, જેનો અર્થ છે કે અપૂર્ણાંક યોગ્ય છે.

જો માં આ ઉદાહરણમાંઅંશમાં બહુપદી 3, 4, 5, વગેરે શામેલ છે. ડિગ્રી, પછી અપૂર્ણાંક હશે ખોટું.

હવે આપણે ફક્ત સાચા અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યોને ધ્યાનમાં લઈશું. જ્યારે પાઠના અંતે અંશની ડિગ્રી છેદની ડિગ્રી કરતા વધારે અથવા સમાન હોય ત્યારે અમે કેસની તપાસ કરીશું.

પગલું 2.ચાલો છેદનું અવયવીકરણ કરીએ. ચાલો આપણા છેદને જોઈએ:

સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આ પહેલેથી જ પરિબળોનું ઉત્પાદન છે, પરંતુ, તેમ છતાં, આપણે આપણી જાતને પૂછીએ છીએ: શું બીજું કંઈક વિસ્તૃત કરવું શક્ય છે? ત્રાસનો ઉદ્દેશ નિઃશંકપણે ચોરસ ત્રિપદી હશે. ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલવું:

ભેદભાવ કરનાર શૂન્ય કરતાં વધુ, જેનો અર્થ છે કે ત્રિનોમી ખરેખર પરિબળ બની શકે છે:

સામાન્ય નિયમ: દરેક વસ્તુ જે છેદમાં પરિબળ કરી શકાય છે - અમે તેને પરિબળ કરીએ છીએ

ચાલો ઉકેલો ઘડવાનું શરૂ કરીએ:

પગલું 3.અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે એકીકરણને સરળ (પ્રાથમિક) અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિસ્તૃત કરીએ છીએ. હવે તે વધુ સ્પષ્ટ થશે.

ચાલો આપણા ઇન્ટિગ્રન્ડ ફંક્શનને જોઈએ:

અને, તમે જાણો છો, કોઈક રીતે એક સાહજિક વિચાર પૉપ અપ થાય છે કે આપણું હોવું સરસ રહેશે મોટો અપૂર્ણાંકઘણા નાનામાં ફેરવો. ઉદાહરણ તરીકે, આની જેમ:

પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે શું આવું કરવું પણ શક્ય છે? ચાલો રાહતનો શ્વાસ લઈએ, અનુરૂપ પ્રમેય ગાણિતિક વિશ્લેષણભારપૂર્વક જણાવે છે - તે શક્ય છે. આવા વિઘટન અસ્તિત્વમાં છે અને અનન્ય છે.

ત્યાં માત્ર એક કેચ છે, મતભેદ છે બાયઅમે જાણતા નથી, તેથી નામ - અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ.

જેમ તમે અનુમાન લગાવ્યું છે, અનુગામી શરીરની હિલચાલ તે જેવી છે, કેકલ કરશો નહીં! તેઓ શું સમાન છે તે શોધવા માટે - ફક્ત તેમને ઓળખવાનો હેતુ હશે.

સાવચેત રહો, હું ફક્ત એક જ વાર વિગતવાર સમજાવીશ!

તો, ચાલો નાચવાનું શરૂ કરીએ:

ડાબી બાજુએ આપણે અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડીએ છીએ:

હવે આપણે સંપ્રદાયોથી સુરક્ષિત રીતે છુટકારો મેળવી શકીએ છીએ (કારણ કે તેઓ સમાન છે):

ડાબી બાજુએ આપણે કૌંસ ખોલીએ છીએ, પરંતુ હમણાં માટે અજાણ્યા ગુણાંકને સ્પર્શ કરશો નહીં:

તે જ સમયે, અમે બહુપદીના ગુણાકારના શાળા નિયમનું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ. જ્યારે હું શિક્ષક હતો, ત્યારે મેં આ નિયમને સીધા ચહેરા સાથે ઉચ્ચારવાનું શીખ્યા: બહુપદીને બહુપદી વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે એક બહુપદીના દરેક પદને અન્ય બહુપદીના પ્રત્યેક પદ વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે..

દૃષ્ટિકોણથી સ્પષ્ટ સમજૂતીગુણાંકને કૌંસમાં મૂકવું વધુ સારું છે (જોકે સમય બચાવવા માટે હું વ્યક્તિગત રીતે આવું ક્યારેય કરતો નથી):

અમે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવીએ છીએ.
પહેલા આપણે વરિષ્ઠ ડિગ્રીઓ જોઈએ છીએ:

અને અમે સિસ્ટમના પ્રથમ સમીકરણમાં અનુરૂપ ગુણાંક લખીએ છીએ:

નીચેના મુદ્દાને સારી રીતે યાદ રાખો. જો જમણી બાજુએ s ના હોત તો શું થશે? ચાલો કહીએ કે, શું તે કોઈ ચોરસ વગર જ બતાવશે? આ કિસ્સામાં, સિસ્ટમના સમીકરણમાં જમણી બાજુએ શૂન્ય મૂકવું જરૂરી રહેશે: . શૂન્ય કેમ? પરંતુ કારણ કે જમણી બાજુએ તમે હંમેશા આ જ ચોરસને શૂન્ય સાથે અસાઇન કરી શકો છો: જો જમણી બાજુએ કોઈ ચલો ન હોય અને/અથવા મફત સભ્ય, પછી આપણે સિસ્ટમના અનુરૂપ સમીકરણોની જમણી બાજુએ શૂન્ય મૂકીએ છીએ.

અમે સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં અનુરૂપ ગુણાંક લખીએ છીએ:

અને છેલ્લે, ખનિજ જળ, અમે મફત સભ્યો પસંદ કરીએ છીએ.

અરે... હું મજાક કરતો હતો. જોક્સ બાજુ પર રાખો - ગણિત એ ગંભીર વિજ્ઞાન છે. અમારા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ગ્રૂપમાં, જ્યારે મદદનીશ પ્રોફેસરે કહ્યું કે તે સંખ્યારેખા સાથે શબ્દોને વેરવિખેર કરશે અને સૌથી મોટી પસંદ કરશે ત્યારે કોઈ હસ્યું નહીં. ચાલો ગંભીર થઈએ. જો કે... જે પણ આ પાઠનો અંત જોવા માટે જીવે છે તે હજુ પણ શાંતિથી સ્મિત કરશે.

સિસ્ટમ તૈયાર છે:

અમે સિસ્ટમ હલ કરીએ છીએ:

(1) પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે તેને સિસ્ટમના 2જા અને 3જા સમીકરણમાં વ્યક્ત અને બદલીએ છીએ. હકીકતમાં, અન્ય સમીકરણમાંથી (અથવા અન્ય અક્ષર) વ્યક્ત કરવું શક્ય હતું, પરંતુ માં આ કિસ્સામાં 1લા સમીકરણમાંથી સ્પષ્ટપણે વ્યક્ત કરવું ફાયદાકારક છે, કારણ કે ત્યાંથી સૌથી નાના મતભેદ.

(2) અમે 2જી અને 3જી સમીકરણોમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ.

(3) અમે 2જી અને 3જી સમીકરણ શબ્દને ટર્મ દ્વારા ઉમેરીએ છીએ, સમાનતા મેળવીએ છીએ, જેમાંથી તે અનુસરે છે

(4) આપણે બીજા (અથવા ત્રીજા) સમીકરણમાં બદલીએ છીએ, જ્યાંથી આપણને તે મળે છે

(5) અવેજી કરો અને પ્રથમ સમીકરણમાં મેળવો.

જો તમને સિસ્ટમ ઉકેલવાની પદ્ધતિઓમાં કોઈ મુશ્કેલીઓ હોય, તો વર્ગમાં તેનો અભ્યાસ કરો. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કેવી રીતે હલ કરવી?

સિસ્ટમ ઉકેલ્યા પછી, તે હંમેશા તપાસવા માટે ઉપયોગી છે - મળેલ મૂલ્યોને બદલો દરેકસિસ્ટમનું સમીકરણ, પરિણામે બધું "કન્વર્જ" થવું જોઈએ.

લગભગ ત્યાં છે. ગુણાંક મળી આવ્યા હતા, અને:

સમાપ્ત થયેલ કાર્ય આના જેવું કંઈક દેખાવું જોઈએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, કાર્યની મુખ્ય મુશ્કેલી એ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ કંપોઝ (યોગ્ય રીતે!) અને ઉકેલ (યોગ્ય રીતે!) હતી. અને અંતિમ તબક્કે બધું એટલું મુશ્કેલ નથી: અમે રેખીયતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ અનિશ્ચિત અભિન્નઅને એકીકૃત. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે દરેક ત્રણ અવિભાજ્ય હેઠળ અમારી પાસે "ફ્રી" છે જટિલ કાર્ય, મેં વર્ગમાં તેના એકીકરણની વિશેષતાઓ વિશે વાત કરી અનિશ્ચિત અભિન્નમાં ચલ પરિવર્તન પદ્ધતિ.

તપાસો: જવાબમાં તફાવત કરો:

મૂળ સંકલન કાર્ય પ્રાપ્ત થયું છે, જેનો અર્થ છે કે પૂર્ણાંક યોગ્ય રીતે મળી આવ્યો છે.
ચકાસણી દરમિયાન, અમારે અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવાની હતી, અને આ આકસ્મિક નથી. અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ અને અભિવ્યક્તિને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડવા એ પરસ્પર વિપરીત ક્રિયાઓ છે.

ઉદાહરણ 2

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

ચાલો પ્રથમ ઉદાહરણમાંથી અપૂર્ણાંક પર પાછા આવીએ: . એ નોંધવું સહેલું છે કે છેદમાં તમામ પરિબળો અલગ-અલગ છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે, જો, ઉદાહરણ તરીકે, નીચેનો અપૂર્ણાંક આપવામાં આવે તો શું કરવું: ? અહીં આપણી પાસે છેદમાં ડિગ્રી છે, અથવા, ગાણિતિક રીતે, ગુણાંક. વધુમાં, ત્યાં એક ચતુર્ભુજ ત્રિપદી છે જેને પરિબળ બનાવી શકાતું નથી (તે ચકાસવું સરળ છે કે સમીકરણનો ભેદભાવ ઋણાત્મક છે, તેથી ત્રિનોમીનું પરિબળ બનાવી શકાતું નથી). શું કરવું? પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં વિસ્તરણ કંઈક આના જેવું દેખાશે ટોચ પર અજાણ્યા ગુણાંક સાથે અથવા બીજું કંઈક?

ઉદાહરણ 3

કાર્યનો પરિચય આપો

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના અભિન્ન ઉકેલો.અમારી પાસે યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે કે કેમ તે તપાસી રહ્યાં છીએ
મુખ્ય અંશ: 2
છેદની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી: 8
, જેનો અર્થ છે અપૂર્ણાંક સાચો છે.

પગલું 2.શું છેદમાં કંઈક પરિબળ કરવું શક્ય છે? દેખીતી રીતે નથી, બધું પહેલેથી જ નાખ્યો છે. સ્ક્વેર ત્રિપદીઉપર જણાવેલ કારણોસર કામમાં વિઘટન થતું નથી. હૂડ. ઓછું કામ.

પગલું 3.ચાલો પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યની કલ્પના કરીએ.
આ કિસ્સામાં, વિસ્તરણ નીચેના સ્વરૂપ ધરાવે છે:

ચાલો આપણા છેદને જોઈએ:
અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં વિઘટન કરતી વખતે, ત્રણ મૂળભૂત મુદ્દાઓને ઓળખી શકાય છે:

1) જો છેદમાં પ્રથમ શક્તિ (અમારા કિસ્સામાં) માટે "એકલા" પરિબળ હોય, તો અમે ટોચ પર એક અનિશ્ચિત ગુણાંક મૂકીએ છીએ (અમારા કિસ્સામાં). ઉદાહરણો નંબર 1, 2 માં ફક્ત આવા "એકલા" પરિબળોનો સમાવેશ થાય છે.

2) જો છેદ હોય બહુવિધગુણક, પછી તમારે તેને આ રીતે વિઘટન કરવાની જરૂર છે:
- એટલે કે, અનુક્રમે પ્રથમથી nમી ડિગ્રી સુધી "X" ની બધી ડિગ્રીઓમાંથી પસાર થાઓ. અમારા ઉદાહરણમાં બે બહુવિધ પરિબળો છે: અને, મેં આપેલા વિસ્તરણ પર બીજી નજર નાખો અને ખાતરી કરો કે તેઓ આ નિયમ અનુસાર બરાબર વિસ્તરણ કરે છે.

3) જો છેદમાં બીજી ડિગ્રી (અમારા કિસ્સામાં) ના અવિભાજ્ય બહુપદી હોય, તો જ્યારે અંશમાં વિઘટન થાય ત્યારે તમારે લખવાની જરૂર છે રેખીય કાર્યઅનિશ્ચિત ગુણાંક સાથે (અમારા કિસ્સામાં અનિશ્ચિત ગુણાંક અને ).

હકીકતમાં, બીજો 4થો કેસ છે, પરંતુ હું તેના વિશે મૌન રાખીશ, કારણ કે વ્યવહારમાં તે અત્યંત દુર્લભ છે.

ઉદાહરણ 4

કાર્યનો પરિચય આપો અજાણ્યા ગુણાંક સાથે પ્રાથમિક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે.

માટે આ એક ઉદાહરણ છે સ્વતંત્ર નિર્ણય. સંપૂર્ણ ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ.
સખત રીતે અલ્ગોરિધમનો અનુસરો!

જો તમે સિદ્ધાંતોને સમજો છો કે જેના દ્વારા તમારે અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્યને સરવાળામાં વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે, તો તમે વિચારણા હેઠળના પ્રકારના લગભગ કોઈપણ અભિન્ન ભાગને ચાવી શકો છો.

ઉદાહરણ 5

અનિશ્ચિત અભિન્ન શોધો.

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત કાર્યના અભિન્ન ઉકેલો.દેખીતી રીતે અપૂર્ણાંક સાચો છે:

પગલું 2.શું છેદમાં કંઈક પરિબળ કરવું શક્ય છે? કરી શકે છે. અહીં સમઘનનો સરવાળો છે . સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેદને અવયવિત કરો

પગલું 3.અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે પ્રારંભિક અપૂર્ણાંકના સરવાળામાં એકીકરણને વિસ્તૃત કરીએ છીએ:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બહુપદીને પરિબળ બનાવી શકાતું નથી (તપાસો કે ભેદભાવ નકારાત્મક છે), તેથી ટોચ પર અમે અજ્ઞાત ગુણાંક સાથે રેખીય કાર્ય મૂકીએ છીએ, અને માત્ર એક અક્ષર નહીં.

અમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ:

ચાલો સિસ્ટમ કંપોઝ અને હલ કરીએ:

(1) અમે પ્રથમ સમીકરણમાંથી વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ (આ સૌથી તર્કસંગત રીત છે).

(2) અમે બીજા સમીકરણમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ છીએ.

(3) અમે ટર્મ દ્વારા સિસ્ટમ ટર્મના બીજા અને ત્રીજા સમીકરણો ઉમેરીએ છીએ.

આગળની બધી ગણતરીઓ, સૈદ્ધાંતિક રીતે, મૌખિક છે, કારણ કે સિસ્ટમ સરળ છે.

(1) અમે મળેલા ગુણાંક અનુસાર અપૂર્ણાંકનો સરવાળો લખીએ છીએ.

(2) અમે અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકના રેખીયતા ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. બીજા અભિન્નમાં શું થયું? તમે પાઠના છેલ્લા ફકરામાં આ પદ્ધતિથી પોતાને પરિચિત કરી શકો છો. સાદા શબ્દોમાં.

(3) ફરી એકવાર આપણે રેખીયતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ત્રીજા અભિન્ન ભાગમાં આપણે સંપૂર્ણ ચોરસને અલગ કરવાનું શરૂ કરીએ છીએ (પાઠનો અંતિમ ફકરો સાદા શબ્દોમાં).

(4) આપણે બીજું અભિન્ન લઈએ છીએ, ત્રીજામાં આપણે સંપૂર્ણ ચોરસ પસંદ કરીએ છીએ.

(5) ત્રીજો અભિન્ન લો. તૈયાર છે.

TOPIC: તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ.

ધ્યાન આપો! એકીકરણની મૂળભૂત પદ્ધતિઓમાંથી એકનો અભ્યાસ કરતી વખતે: તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ, સખત પુરાવાઓ હાથ ધરવા જટિલ ડોમેનમાં બહુપદીને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. તેથી તે જરૂરી છે અગાઉથી અભ્યાસ કરો કેટલાક ગુણધર્મો જટિલ સંખ્યાઓઅને તેમના પર કામગીરી.

સરળ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ.

જો પી(z) અને પ્ર(z) જટિલ ડોમેનમાં બહુપદી છે, પછી તે તર્કસંગત અપૂર્ણાંક છે. તે કહેવાય છે યોગ્ય, જો ડિગ્રી પી(z) ઓછી ડિગ્રી પ્ર(z) , અને ખોટું, જો ડિગ્રી આર ડિગ્રી કરતાં ઓછી નથી પ્ર.

હું તેને પ્રેમ કરું છું અયોગ્ય અપૂર્ણાંકતરીકે રજૂ કરી શકાય છે: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a આર(z) – બહુપદી જેની ડિગ્રી ડિગ્રી કરતાં ઓછી છે પ્ર(z).

આમ, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું સંકલન બહુપદી, એટલે કે પાવર ફંક્શન્સ અને યોગ્ય અપૂર્ણાંકના એકીકરણમાં આવે છે, કારણ કે તે યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે.

વ્યાખ્યા 5. સૌથી સરળ (અથવા પ્રાથમિક) અપૂર્ણાંક નીચેના પ્રકારના અપૂર્ણાંક છે:

1) , 2) , 3) , 4) .

ચાલો જોઈએ કે તેઓ કેવી રીતે એકીકૃત થાય છે.

3) (અગાઉ અભ્યાસ કરેલ).

પ્રમેય 5. દરેક યોગ્ય અપૂર્ણાંકને સાદા અપૂર્ણાંકના સરવાળા (સાબિતી વિના) તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

કોરોલરી 1. જો યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક હોય, અને જો બહુપદીના મૂળમાં ફક્ત સાદા વાસ્તવિક મૂળ હોય, તો અપૂર્ણાંકના વિઘટનમાં સાદા અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં 1લા પ્રકારના માત્ર સરળ અપૂર્ણાંકો હશે:

ઉદાહરણ 1.

કોરોલરી 2. જો યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક હોય, અને જો બહુપદીના મૂળમાં માત્ર એકથી વધુ વાસ્તવિક મૂળ હોય, તો અપૂર્ણાંકના વિઘટનમાં સાદા અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં 1લા અને 2જા પ્રકારના માત્ર સાદા અપૂર્ણાંકો જ હશે. :

ઉદાહરણ 2.

કોરોલરી 3. જો યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક હોય, અને જો બહુપદીના મૂળમાં માત્ર સરળ જટિલ સંયોજક મૂળ હોય, તો અપૂર્ણાંકના વિઘટનમાં સાદા અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં 3જી પ્રકારના ફક્ત સરળ અપૂર્ણાંક હશે:

ઉદાહરણ 3.

કોરોલરી 4. જો યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક હોય, અને જો બહુપદીના મૂળમાં માત્ર બહુવિધ જટિલ સંયોજક મૂળ હોય, તો અપૂર્ણાંકના વિઘટનમાં સાદા અપૂર્ણાંકોના સરવાળામાં 3જા અને 4થાના માત્ર સાદા અપૂર્ણાંક હશે. પ્રકારો:

ઉપરોક્ત વિસ્તરણમાં અજ્ઞાત ગુણાંક નક્કી કરવા માટે નીચે પ્રમાણે આગળ વધો. અજ્ઞાત ગુણાંક ધરાવતા વિસ્તરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે બે બહુપદીઓની સમાનતા પ્રાપ્ત થાય છે. તેમાંથી, જરૂરી ગુણાંક માટેના સમીકરણો આનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે:

1. X (આંશિક મૂલ્ય પદ્ધતિ) ના કોઈપણ મૂલ્યો માટે સમાનતા સાચી છે. આ કિસ્સામાં, કોઈપણ સંખ્યાના સમીકરણો મેળવવામાં આવે છે, જેમાંથી કોઈપણ m અજાણ્યા ગુણાંક શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

2. ગુણાંક X ની સમાન ડિગ્રી (અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિ) માટે એકરૂપ થાય છે. આ કિસ્સામાં, m - અજ્ઞાત સાથે m - સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે, જેમાંથી અજ્ઞાત ગુણાંક મળે છે.

3. સંયુક્ત પદ્ધતિ.

ઉદાહરણ 5. અપૂર્ણાંકને વિસ્તૃત કરો સૌથી સરળ સુધી.

ઉકેલ:

ચાલો A અને B ગુણાંક શોધીએ.

પદ્ધતિ 1 - ખાનગી મૂલ્ય પદ્ધતિ:

પદ્ધતિ 2 - અનિર્ધારિત ગુણાંકની પદ્ધતિ:

જવાબ:

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ.

પ્રમેય 6. કોઈપણ અંતરાલ પર કોઈપણ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનો અનિશ્ચિત અભિન્ન ભાગ કે જેના પર તેનો છેદ નથી શૂન્ય બરાબર, અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને પ્રાથમિક કાર્યો દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, એટલે કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંક, લઘુગણક અને આર્કટેન્જન્ટ્સ.

પુરાવો.

ચાલો ફોર્મમાં તર્કસંગત અપૂર્ણાંકની કલ્પના કરીએ: . આ કિસ્સામાં, છેલ્લો શબ્દ યોગ્ય અપૂર્ણાંક છે, અને પ્રમેય 5 અનુસાર તેને સરળ અપૂર્ણાંકોના રેખીય સંયોજન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. આમ, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું એકીકરણ બહુપદીના એકીકરણમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે. એસ(x) અને સાદા અપૂર્ણાંકો, જેનાં એન્ટિડેરિવેટિવ્સ, જેમ બતાવ્યા પ્રમાણે, પ્રમેયમાં દર્શાવેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે.

ટિપ્પણી. આ કિસ્સામાં મુખ્ય મુશ્કેલી એ છેદનું અવયવીકરણ છે, એટલે કે, તેના તમામ મૂળની શોધ.

ઉદાહરણ 1. ઇન્ટિગ્રલ શોધો

તર્કસંગત કાર્યોનું એકીકરણ અપૂર્ણાંક - તર્કસંગત કાર્ય સૌથી સરળ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું વિઘટન સરળ અપૂર્ણાંકમાં તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું વિઘટન

ડિગ્રી n નો બહુપદી અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્ય અપૂર્ણાંક-તર્કસંગત કાર્ય એક કાર્ય છે ગુણોત્તર સમાનબે બહુપદીઓ: જો અંશની ડિગ્રી છેદની ડિગ્રી કરતાં ઓછી હોય, એટલે કે m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

અપૂર્ણાંક - તર્કસંગત કાર્ય અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને ઘટાડે છે યોગ્ય પ્રકાર: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x 2 xx 32 x 32 x 32

સૌથી સરળ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો ફોર્મના યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો: તેમને પ્રકારોના સૌથી સરળ તર્કસંગત અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. કુહાડી એ); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું સરળ અપૂર્ણાંકમાં વિઘટન પ્રમેય: કોઈપણ યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંક, જેનો છેદ અવયવિત છે: તે ઉપરાંત, સરળ અપૂર્ણાંકોના સરવાળાના રૂપમાં અનન્ય રીતે રજૂ કરી શકાય છે: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું સરળ અપૂર્ણાંકમાં વિઘટન ચાલો આપણે પ્રમેયની રચના સમજાવીએ. નીચેના ઉદાહરણો: અનિશ્ચિત ગુણાંક A, B, C, D... શોધવા માટે, બે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે: ગુણાંક સરખામણી પદ્ધતિ અને આંશિક ચલ મૂલ્યોની પદ્ધતિ. ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ પદ્ધતિ જોઈએ. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું સરળ અપૂર્ણાંકમાં વિઘટન અપૂર્ણાંકને સાદા અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે રજૂ કરો: ચાલો સૌથી સરળ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ, પરિણામી અને મૂળ અપૂર્ણાંકોના અંશને સમાન કરીએ x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

સૌથી સરળ અપૂર્ણાંકોનું એકીકરણ ચાલો સરળ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોના પૂર્ણાંકો શોધીએ: ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રકાર 3 અપૂર્ણાંકના એકીકરણને જોઈએ. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

સાદા અપૂર્ણાંકનું એકીકરણ xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 t 9 dt3 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

સરળ અપૂર્ણાંકનું એકીકરણ Integral આ પ્રકારનાઅવેજીનો ઉપયોગ કરીને: બે પૂર્ણાંકોના સરવાળામાં ઘટાડો: પ્રથમ પૂર્ણાંકની ગણતરી વિભેદક ચિન્હ હેઠળ t દાખલ કરીને કરવામાં આવે છે. બીજા અવિભાજ્યની પુનરાવૃત્તિ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk tk k aat dt

સરળ અપૂર્ણાંકનું એકીકરણ a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 tg tg t C t2) (4)1(

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને એકીકૃત કરવા માટેનો સામાન્ય નિયમ જો અપૂર્ણાંક અયોગ્ય હોય, તો તેને બહુપદી અને યોગ્ય અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે દર્શાવો. યોગ્ય તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના છેદને પરિબળ કર્યા પછી, તેને અનિર્ધારિત ગુણાંક સાથેના સરળ અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે દર્શાવો. બહુપદી અને સાદા અપૂર્ણાંકોના પરિણામી સરવાળાને એકીકૃત કરો.

ઉદાહરણ ચાલો અપૂર્ણાંકને સાચા સ્વરૂપમાં મૂકીએ. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xxx 23 25258 2 x x

ઉદાહરણ ચાલો યોગ્ય અપૂર્ણાંકના છેદને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ ચાલો અપૂર્ણાંકને સાદા અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે રજૂ કરીએ ચાલો xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) ચલના આંશિક મૂલ્યોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અનિર્ધારિત ગુણાંક શોધીએ. )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1 (xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx