Bagian tersebut berisi bahan referensi tentang fungsi dasar dasar dan sifat-sifatnya. Klasifikasi fungsi dasar diberikan. Di bawah ini adalah tautan ke subbagian yang membahas sifat-sifat fungsi tertentu - grafik, rumus, turunan, antiturunan (integral), perluasan deret, ekspresi melalui variabel kompleks.

Halaman referensi untuk fungsi dasar

Klasifikasi fungsi dasar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang memenuhi persamaan:
,
dimana adalah polinomial pada variabel terikat y dan variabel bebas x.
,
Itu dapat ditulis sebagai:

di mana polinomialnya.

Fungsi aljabar dibagi menjadi polinomial (seluruh fungsi rasional), fungsi rasional, dan fungsi irasional. Seluruh fungsi rasional , yang juga disebut polinomial atau polinomial , diperoleh dari variabel x dan nomor terbatas nomor menggunakan operasi aritmatika
.

penjumlahan (pengurangan) dan perkalian. Setelah membuka tanda kurung, polinomial direduksi menjadi bentuk kanonik: Fungsi rasional pecahan , atau adil fungsi rasional
,
, diperoleh dari variabel x dan sejumlah bilangan berhingga dengan menggunakan operasi aritmatika penjumlahan (pengurangan), perkalian, dan pembagian. Fungsi rasional dapat direduksi menjadi bentuk

di mana dan adalah polinomial. Fungsi tidak rasional adalah fungsi aljabar yang tidak rasional. Sebagai aturan, di bawah ir fungsi rasional
.
memahami akar dan susunannya dengan fungsi rasional. Akar derajat n didefinisikan sebagai solusi persamaan
.

Ini ditetapkan sebagai berikut: Fungsi transendental

disebut fungsi non-aljabar. Ini adalah fungsi eksponensial, trigonometri, hiperbolik dan kebalikannya.

Ikhtisar fungsi dasar dasar Semua fungsi dasar
dapat direpresentasikan sebagai sejumlah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang dilakukan pada ekspresi bentuk:
zt.

Fungsi invers juga dapat dinyatakan dalam logaritma. Fungsi dasar dasar tercantum di bawah ini.
Fungsi daya:
kamu(x) = x p ,
di mana p adalah eksponen. Itu tergantung pada dasar derajat x. Kembali ke fungsi daya
.
Untuk nilai bilangan bulat non-negatif dari eksponen p, itu adalah polinomial. Untuk nilai integer p - fungsi rasional. Pada makna rasional - fungsi yang tidak rasional.

Fungsi transendental

Fungsi eksponensial:
kamu(x) = ax ,
dimana a adalah dasar derajat. Itu tergantung pada eksponen x.
Fungsi inversnya adalah logaritma ke basis a:
x = log ay.

Eksponen, e pangkat x:
kamu(x) = e x ,
Ini adalah fungsi eksponensial yang turunannya sama dengan fungsi itu sendiri:
.
Basis eksponennya adalah bilangan e:
≈ 2,718281828459045... .
Fungsi inversnya adalah logaritma natural - logaritma ke basis bilangan e:
x = ln y ≡ log e y.

Fungsi trigonometri:
Sinus: ;
Kosinus: ;
Garis singgung: ;
Kotangen: ;
Ini aku - satuan imajiner, saya 2 = -1 .

Fungsi trigonometri terbalik:
Busur: x = arcsin y, ;
Busur kosinus: x = arccos y, ;
Garis singgung busur: x = arctan y, ;
Garis singgung busur: x = arcctg y, .

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengirimkan permintaan di situs, kami dapat mengumpulkannya berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda e-mail dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Apabila diperlukan - sesuai dengan peraturan perundang-undangan, acara peradilan, proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan masyarakat atau permohonan dari lembaga pemerintah di wilayah Federasi Rusia - ungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Diberikan materi metodologis hanya untuk referensi dan mengacu pada ke lingkaran lebar topik Artikel ini memberikan gambaran umum tentang grafik fungsi dasar dasar dan membahasnya pertanyaan paling penting – cara membuat grafik dengan benar dan CEPAT. Selama penelitian matematika yang lebih tinggi Tanpa mengetahui grafik fungsi dasar dasar akan sulit, sehingga sangat penting untuk mengingat seperti apa grafik parabola, hiperbola, sinus, kosinus, dll, dan mengingat beberapa nilai fungsinya. Kami juga akan membahas beberapa properti dari fungsi utama.

Saya tidak mengklaim kelengkapan dan ketelitian ilmiah dari materi; penekanannya akan diberikan, pertama-tama, pada praktik - hal-hal yang dengannya seseorang bertemu secara harfiah di setiap langkah, dalam topik matematika tingkat tinggi apa pun. Grafik untuk boneka? Bisa dikatakan demikian.

Karena banyaknya permintaan dari pembaca daftar isi yang dapat diklik:

Selain itu, ada sinopsis ultra-pendek tentang topik tersebut
– kuasai 16 jenis grafik dengan mempelajari ENAM halaman!

Serius, enam, bahkan aku terkejut. Ringkasan ini berisi grafik yang ditingkatkan dan tersedia dengan sedikit biaya, Anda dapat melihat versi demo. Lebih mudah untuk mencetak file sehingga grafik selalu tersedia. Terima kasih telah mendukung proyek ini!

Dan mari kita mulai sekarang juga:

Bagaimana cara membuat sumbu koordinat dengan benar?

Dalam praktiknya, tes hampir selalu diselesaikan oleh siswa dalam buku catatan terpisah, berjajar dalam bentuk persegi. Mengapa Anda memerlukan tanda kotak-kotak? Toh, pekerjaan itu pada prinsipnya bisa dilakukan di lembar A4. Dan sangkar diperlukan hanya untuk desain gambar yang berkualitas tinggi dan akurat.

Setiap penggambaran grafik fungsi dimulai dengan sumbu koordinat.

Gambar bisa berbentuk dua dimensi atau tiga dimensi.

Mari kita perhatikan kasus dua dimensi terlebih dahulu Kartesius sistem persegi panjang koordinat:

1) Gambarlah sumbu koordinat. Sumbu disebut sumbu x , dan sumbunya adalah sumbu y . Kami selalu mencoba menggambarnya rapi dan tidak bengkok. Anak panahnya juga tidak boleh menyerupai janggut Papa Carlo.

2) Beri label pada sumbunya dalam huruf kapital"X" dan "Y". Jangan lupa memberi label pada sumbunya.

3) Atur skala di sepanjang sumbu: menggambar nol dan dua satu. Saat membuat gambar, skala yang paling nyaman dan sering digunakan adalah: 1 unit = 2 sel (gambar di sebelah kiri) - jika memungkinkan, patuhi skala tersebut. Namun, kadang-kadang gambarnya tidak muat di lembar buku catatan - lalu kita perkecil skalanya: 1 unit = 1 sel (gambar di sebelah kanan). Jarang terjadi, tetapi skala gambar harus diperkecil (atau diperbesar) lebih jauh lagi

TIDAK PERLU “senapan mesin” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Sebab bidang koordinat bukanlah monumen Descartes, dan muridnya bukanlah seekor merpati. Kami menempatkan nol Dan dua unit di sepanjang sumbu. Kadang-kadang alih-alih unit, akan lebih mudah untuk "menandai" nilai lain, misalnya, "dua" pada sumbu absis dan "tiga" pada sumbu ordinat - dan sistem ini (0, 2 dan 3) juga akan secara unik menentukan kisi koordinat.

Lebih baik memperkirakan perkiraan dimensi gambar SEBELUM membuat gambar. Jadi, misalnya, jika tugasnya mengharuskan menggambar segitiga dengan titik sudut , , , maka jelas sekali bahwa skala populer 1 unit = 2 sel tidak akan berfungsi. Mengapa? Mari kita lihat intinya - di sini Anda harus mengukur lima belas sentimeter ke bawah, dan, jelas, gambarnya tidak akan muat (atau hampir tidak muat) pada lembar buku catatan. Oleh karena itu, kita langsung memilih skala yang lebih kecil: 1 unit = 1 sel.

Ngomong-ngomong, tentang sentimeter dan sel buku catatan. Benarkah 30 sel buku catatan berisi 15 sentimeter? Untuk bersenang-senang, ukur 15 sentimeter di buku catatan Anda dengan penggaris. Di Uni Soviet, hal ini mungkin benar... Menarik untuk dicatat bahwa jika Anda mengukur sentimeter yang sama secara horizontal dan vertikal, hasilnya (dalam sel) akan berbeda! Sebenarnya, buku catatan modern tidak berbentuk kotak-kotak, melainkan persegi panjang. Ini mungkin tampak tidak masuk akal, tetapi menggambar, misalnya, lingkaran dengan kompas dalam situasi seperti itu sangat merepotkan. Sejujurnya, pada saat-saat seperti itu Anda mulai berpikir tentang kebenaran Kamerad Stalin, yang dikirim ke kamp karena melakukan pekerjaan peretasan di bagian produksi, belum lagi industri otomotif dalam negeri, pesawat jatuh, atau pembangkit listrik yang meledak.

Berbicara tentang kualitas, atau rekomendasi singkat untuk alat tulis. Saat ini, sebagian besar buku catatan yang dijual, sedikitnya, adalah barang bekas. Karena basah, dan tidak hanya dari pulpen gel, tapi juga dari pulpen! Mereka menghemat uang di atas kertas. Untuk pendaftaran tes Saya merekomendasikan menggunakan buku catatan dari Pabrik Pulp dan Kertas Arkhangelsk (18 lembar, persegi) atau “Pyaterochka”, meskipun lebih mahal. Dianjurkan untuk memilih pena gel; bahkan isi ulang gel Cina termurah pun jauh lebih baik daripada pulpen, yang akan membuat kertasnya luntur atau robek. Satu-satunya pulpen “kompetitif” yang saya ingat adalah Erich Krause. Dia menulis dengan jelas, indah dan konsisten – baik dengan inti penuh atau hampir kosong.

Selain itu: Melihat sistem koordinat persegi panjang dengan mata geometri analitik tercakup dalam artikel tersebut Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor, informasi rinci tentang koordinat tempat tinggal dapat ditemukan pada paragraf kedua pelajaran Ketimpangan linier.

kasus 3D

Di sini hampir sama.

1) Gambarlah sumbu koordinat. Standar: penerapan sumbu – mengarah ke atas, sumbu – mengarah ke kanan, sumbu – mengarah ke bawah ke kiri secara ketat pada sudut 45 derajat.

2) Beri label pada sumbunya.

3) Atur skala di sepanjang sumbu. Skala sepanjang sumbu dua kali lebih kecil dibandingkan skala sepanjang sumbu lainnya. Perhatikan juga bahwa pada gambar kanan saya menggunakan "takik" non-standar di sepanjang sumbu (kemungkinan ini telah disebutkan di atas). Dari sudut pandang saya, ini lebih akurat, lebih cepat, dan lebih estetis - tidak perlu mencari bagian tengah sel di bawah mikroskop dan “memahat” unit yang dekat dengan titik asal koordinat.

Saat membuat gambar 3D, sekali lagi, berikan prioritas pada skala
1 unit = 2 sel (gambar di sebelah kiri).

Untuk apa semua peraturan ini? Aturan dibuat untuk dilanggar. Itulah yang akan saya lakukan sekarang. Faktanya adalah gambar artikel selanjutnya akan saya buat di Excel, dan sumbu koordinat akan terlihat salah dari sudut pandang desain yang benar. Saya dapat menggambar semua grafik dengan tangan, namun sebenarnya menakutkan untuk menggambarnya karena Excel enggan menggambarnya dengan lebih akurat.

Grafik dan sifat dasar fungsi dasar

Fungsi linier diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi liniernya adalah langsung. Untuk membuat garis lurus, cukup mengetahui dua titik.

Contoh 1

Buatlah grafik fungsi tersebut. Mari kita temukan dua poin. Adalah menguntungkan untuk memilih nol sebagai salah satu poinnya.

Jika , maka

Mari kita ambil poin lain, misalnya 1.

Jika , maka

Saat menyelesaikan tugas, koordinat titik biasanya dirangkum dalam tabel:

Dan nilainya sendiri dihitung secara lisan atau pada rancangan, kalkulator.

Dua poin sudah ditemukan, mari kita buat gambarnya:

Saat menyiapkan gambar, kami selalu menandatangani grafiknya.

Akan berguna untuk mengingat kasus-kasus khusus fungsi linier:

Perhatikan bagaimana saya membubuhkan tanda tangan, tanda tangan tidak boleh membiarkan adanya perbedaan saat mempelajari gambar. DI DALAM dalam hal ini Sangat tidak diinginkan untuk membubuhkan tanda tangan di sebelah titik perpotongan garis, atau di kanan bawah di antara grafik.

1) Fungsi linier berbentuk () disebut proporsionalitas langsung. Misalnya, . Grafik proporsionalitas langsung selalu melalui titik asal. Dengan demikian, pembuatan garis lurus disederhanakan - cukup menemukan satu titik saja.

2) Persamaan bentuk menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsi tersebut langsung diplot, tanpa menemukan titik apa pun. Artinya, entri tersebut harus dipahami sebagai berikut: “y selalu sama dengan –4, untuk nilai x berapa pun.”

3) Persamaan bentuk menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, khususnya sumbu itu sendiri diberikan oleh persamaan. Grafik fungsinya juga langsung diplot. Entri tersebut harus dipahami sebagai berikut: “x selalu, untuk nilai y apa pun, sama dengan 1.”

Ada yang bertanya, kenapa ingat kelas 6 SD?! Begitulah, mungkin memang begitu, tetapi selama bertahun-tahun berlatih, saya telah bertemu dengan banyak siswa yang bingung dengan tugas membuat grafik seperti atau.

Membuat garis lurus adalah tindakan paling umum saat membuat gambar.

Garis lurus dibahas secara rinci pada mata kuliah geometri analitik, dan bagi yang berminat dapat merujuk pada artikel tersebut Persamaan garis lurus pada bidang datar.

Grafik fungsi kuadrat, kubik, grafik polinomial

Parabola. Jadwal fungsi kuadrat () melambangkan parabola. Mari kita pertimbangkan kejadian terkenal:

Mari kita mengingat kembali beberapa properti dari fungsi tersebut.

Jadi, penyelesaian persamaan kita: – pada titik inilah titik puncak parabola berada. Mengapa demikian dapat dipelajari dari artikel teoretis tentang turunan dan pelajaran tentang ekstrem suatu fungsi. Sementara itu, mari kita hitung nilai “Y” yang sesuai:

Jadi, titik puncaknya berada pada titik tersebut

Sekarang kita cari titik lain, sambil dengan berani menggunakan simetri parabola. Perlu diperhatikan fungsinya – tidak genap, namun demikian, tidak ada yang membatalkan simetri parabola.

Bagaimana cara mencari poin yang tersisa, saya pikir akan jelas dari tabel akhir:

Algoritma ini konstruksi secara kiasan dapat disebut prinsip “shuttle” atau “bolak-balik” dengan Anfisa Chekhova.

Mari kita membuat gambarnya:

Dari grafik yang diperiksa, fitur berguna lainnya muncul dalam pikiran saya:

Untuk fungsi kuadrat () yang berikut ini benar:

Jika , maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas.

Jika , maka cabang-cabang parabola mengarah ke bawah.

Pengetahuan mendalam tentang kurva dapat diperoleh pada pelajaran Hiperbola dan parabola.

Parabola kubik diberikan oleh fungsinya. Ini gambar yang familiar dari sekolah:

Mari kita daftar properti utama dari fungsi tersebut

Grafik suatu fungsi

Ini mewakili salah satu cabang parabola. Mari kita membuat gambarnya:

Properti utama dari fungsi:

Dalam hal ini, porosnya adalah asimtot vertikal untuk grafik hiperbola di .

Akan menjadi kesalahan BESAR jika, saat menggambar, Anda secara sembarangan membiarkan grafik berpotongan dengan asimtot.

Batas satu sisi juga memberi tahu kita bahwa hiperbola tidak dibatasi dari atas Dan tidak dibatasi dari bawah.

Mari kita periksa fungsinya di tak terhingga: , yaitu, jika kita mulai bergerak sepanjang sumbu ke kiri (atau kanan) hingga tak terhingga, maka “permainan” tersebut akan menjadi langkah yang teratur sangat dekat mendekati nol, dan, karenanya, cabang-cabang hiperbola sangat dekat mendekati sumbu.

Jadi porosnya adalah asimtot horizontal untuk grafik suatu fungsi, jika “x” cenderung plus atau minus tak terhingga.

Fungsinya adalah aneh, dan oleh karena itu, hiperbolanya simetris terhadap titik asal. Fakta ini terlihat jelas dari gambar, selain itu mudah diverifikasi secara analitis: .

Grafik fungsi berbentuk () mewakili dua cabang hiperbola.

Jika , maka hiperbola tersebut terletak pada kuarter koordinat pertama dan ketiga(lihat gambar di atas).

Jika , maka hiperbola tersebut terletak pada kuarter koordinat kedua dan keempat.

Pola tempat tinggal hiperbola yang ditunjukkan mudah dianalisis dari sudut pandang transformasi geometri grafik.

Contoh 3

Bangunlah cabang kanan hiperbola

Kami menggunakan metode konstruksi titik-bijaksana, dan akan bermanfaat untuk memilih nilai-nilai sehingga dapat dibagi secara keseluruhan:

Mari kita membuat gambarnya:

Tidak akan sulit untuk membangun cabang kiri hiperbola; keanehan fungsinya akan membantu di sini. Secara kasar, di tabel konstruksi titik demi titik secara mental tambahkan minus ke setiap angka, beri titik yang sesuai dan gambar cabang kedua.

Terperinci informasi geometris tentang garis yang dimaksud dapat ditemukan di artikel Hiperbola dan parabola.

Grafik Fungsi Eksponensial

Pada bagian ini, saya akan langsung membahas fungsi eksponensial, karena dalam soal matematika tingkat tinggi dalam 95% kasus yang ditemui adalah eksponensial.

Saya mengingatkan Anda bahwa ini adalah bilangan irasional: , ini akan diperlukan saat membuat grafik, yang sebenarnya akan saya buat tanpa upacara. Tiga poin, mungkin cukup:

Mari kita tinggalkan grafik fungsinya untuk saat ini, lebih lanjut lagi nanti.

Properti utama dari fungsi:

Grafik fungsi, dll., pada dasarnya terlihat sama.

Saya harus mengatakan bahwa kasus kedua lebih jarang terjadi dalam praktiknya, tetapi memang terjadi, jadi saya menganggap perlu untuk memasukkannya ke dalam artikel ini.

Grafik fungsi logaritma

Pertimbangkan suatu fungsi dengan logaritma natural.
Mari kita membuat gambar poin demi poin:

Jika Anda lupa apa itu logaritma, silakan merujuk ke buku pelajaran sekolah Anda.

Properti utama dari fungsi:

Domain definisi:

Rentang nilai: .

Fungsinya tidak dibatasi dari atas: , meski lambat, tapi cabang logaritmanya naik hingga tak terhingga.
Mari kita periksa perilaku fungsi mendekati nol di sebelah kanan: . Jadi porosnya adalah asimtot vertikal karena grafik fungsi “x” cenderung nol dari kanan.

Sangat penting untuk mengetahui dan mengingat nilai khas logaritma: .

Grafik logaritma pada basis pada dasarnya terlihat sama: , , ( logaritma desimal ke basis 10), dll. Pada saat yang sama, daripada basis yang lebih besar, grafiknya akan semakin datar.

Kami tidak akan mempertimbangkan kasus ini, saya tidak ingat kapan terakhir kali Saya membuat grafik berdasarkan ini. Dan logaritma sepertinya jarang ditemui dalam permasalahan matematika tingkat tinggi.

Di akhir paragraf ini saya akan mengatakan satu fakta lagi: Fungsi eksponensial dan fungsi logaritma– ini adalah dua fungsi yang saling berbanding terbalik. Jika Anda perhatikan lebih dekat grafik logaritmanya, Anda dapat melihat bahwa ini adalah eksponen yang sama, hanya saja letaknya sedikit berbeda.

Grafik fungsi trigonometri

Di mana penyiksaan trigonometri dimulai di sekolah? Benar. Dari sinus

Mari kita plot fungsinya

Baris ini ditelepon sinusoidal.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa “pi” adalah bilangan irasional: , dan dalam trigonometri membuat mata Anda terpesona.

Properti utama dari fungsi:

Fungsi ini adalah berkala dengan periode. Apa maksudnya? Mari kita lihat segmennya. Di kiri dan kanannya, bagian grafik yang persis sama diulangi tanpa henti.

Domain definisi: , artinya, untuk setiap nilai “x” pasti ada nilai sinusnya.

Rentang nilai: . Fungsinya adalah terbatas: , yaitu, semua "permainan" berada di segmen tersebut.
Ini tidak terjadi: atau, lebih tepatnya, terjadi, tetapi persamaan ini tidak mempunyai solusi.

Panjang segmen sumbu koordinat ditemukan dengan rumus:

Panjang segmen bidang koordinat dicari dengan rumus:

Untuk mencari panjang suatu segmen dalam sistem koordinat tiga dimensi, gunakan rumus berikut:

Koordinat tengah ruas (untuk sumbu koordinat hanya digunakan rumus pertama, untuk bidang koordinat - dua rumus pertama, untuk sistem tiga dimensi koordinat - ketiga rumus) dihitung menggunakan rumus:

Fungsi– ini adalah formulir korespondensi kamu= F(X) antara besaran-besaran variabel, yang karenanya masing-masing dianggap sebagai nilai beberapa ukuran variabel X(argumen atau variabel independen) sesuai dengan nilai tertentu dari variabel lain, kamu(variabel terikat, terkadang nilai ini disebut saja nilai fungsi). Perhatikan bahwa fungsi tersebut mengasumsikan satu nilai argumen X hanya satu nilai dari variabel terikat yang dapat bersesuaian pada. Namun nilainya sama pada dapat diperoleh dengan berbeda X.

Domain Fungsi– ini semua adalah nilai variabel independen (argumen fungsi, biasanya ini X), yang fungsinya didefinisikan, mis. maknanya ada. Area definisi ditunjukkan D(kamu). Oleh umumnya Anda sudah familiar dengan konsep ini. Domain suatu fungsi disebut juga domain nilai-nilai yang dapat diterima, atau ODZ, yang sudah lama bisa Anda temukan.

Rentang Fungsi- ini saja nilai yang mungkin variabel terikat dari fungsi ini. Ditunjuk E(pada).

Fungsi meningkat pada interval dimana nilai yang lebih tinggi argumennya sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar. Fungsinya semakin berkurang pada interval yang sesuai dengan nilai argumen yang lebih besar nilai yang lebih rendah fungsi.

Interval tanda konstan suatu fungsi- ini adalah interval variabel bebas di mana variabel terikat mempertahankan tanda positif atau negatifnya.

Fungsi nol– ini adalah nilai argumen yang nilai fungsinya sama dengan nol. Pada titik-titik tersebut, grafik fungsi memotong sumbu absis (sumbu OX). Seringkali, kebutuhan untuk menemukan nol suatu fungsi berarti kebutuhan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Selain itu, seringkali kebutuhan untuk menemukan interval keteguhan tanda berarti kebutuhan untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut.

Fungsi kamu = F(X) dipanggil bahkan X

Artinya, untuk siapa pun makna yang berlawanan argumen, nilai fungsi genap adalah sama. Jadwal bahkan berfungsi selalu simetris terhadap sumbu ordinat op-amp.

Fungsi kamu = F(X) dipanggil aneh, jika didefinisikan pada himpunan simetris dan untuk sembarang X dari domain definisi kesetaraan berlaku:

Artinya, untuk setiap nilai argumen yang berlawanan, nilai fungsi ganjil juga berlawanan. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.

Jumlah akar-akar genap dan fungsi aneh(titik potong sumbu absis OX) selalu sama dengan nol, karena untuk masing-masing akar positif X harus akar negatif –X.

Penting untuk diperhatikan: beberapa fungsi tidak harus genap atau ganjil. Ada banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil. Fungsi seperti ini disebut fungsi pandangan umum , dan bagi mereka tidak ada persamaan atau properti yang diberikan di atas yang terpenuhi.

Fungsi linier adalah fungsi yang dapat diberikan dengan rumus:

Grafik fungsi linier berupa garis lurus dan kasus umum terlihat seperti ini (contoh diberikan untuk kasus kapan k> 0, dalam hal ini fungsinya meningkat; untuk kesempatan ini k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Grafik fungsi kuadrat (Parabola)

Grafik parabola diberikan oleh fungsi kuadrat:

Fungsi kuadrat, seperti fungsi lainnya, memotong sumbu OX di titik-titik yang merupakan akar-akarnya: ( X 1 ; 0) dan ( X 2 ; 0). Jika tidak ada akar, maka fungsi kuadrat tidak memotong sumbu OX; jika hanya ada satu akar, maka pada titik ini ( X 0 ; 0) fungsi kuadrat hanya menyentuh sumbu OX, tetapi tidak memotongnya. Fungsi kuadrat selalu memotong sumbu OY di suatu titik dengan koordinat: (0; C). Grafik fungsi kuadrat (parabola) mungkin terlihat seperti ini (gambar menunjukkan contoh yang tidak mencakup semua kemungkinan jenis parabola):

Dalam hal ini:

• jika koefisien A> 0, dalam fungsi kamu = kapak 2 + bx + C, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke atas;
• jika A < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Koordinat titik puncak parabola dapat dihitung dari rumus berikut. X atasan (P- pada gambar di atas) parabola (atau titik di mana trinomial kuadrat mencapai nilai terbesar atau terkecil):

Atasan Igrek (Q- pada gambar diatas) parabola atau maksimal jika cabang parabola mengarah ke bawah ( A < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (A> 0), nilai trinomial kuadrat:

Grafik fungsi lainnya

Fungsi daya

Berikut beberapa contoh grafik fungsi pangkat:

Berbanding terbalik panggil fungsinya diberikan oleh rumus:

Tergantung pada tanda nomornya k jadwal kembali ketergantungan proporsional mungkin memiliki dua pilihan mendasar:

Asimtot adalah garis yang grafik suatu fungsi mendekati tak terhingga tetapi tidak berpotongan. Asimtot untuk grafik proporsionalitas terbalik ditunjukkan pada gambar di atas adalah sumbu koordinat yang grafik fungsinya mendekati tak terhingga, tetapi tidak memotongnya.

Fungsi eksponensial dengan basis A adalah fungsi yang diberikan oleh rumus:

A jadwal fungsi eksponensial mungkin memiliki dua opsi mendasar (kami juga memberikan contoh, lihat di bawah):

Fungsi logaritma adalah fungsi yang diberikan oleh rumus:

Tergantung apakah angkanya lebih besar atau kurang dari satu A jadwal fungsi logaritma mungkin memiliki dua pilihan mendasar:

Grafik suatu fungsi kamu = |X| terlihat seperti ini:

Grafik fungsi periodik (trigonometri).

Fungsi pada = F(X) dipanggil berkala, jika ada bilangan bukan nol T, Apa F(X + T) = F(X), untuk apa pun X dari domain fungsinya F(X). Jika fungsinya F(X) periodik dengan periode T, maka fungsinya:

Di mana: A, k, B – angka konstan, Dan k tidak sama dengan nol, juga periodik dengan periode T 1, yang ditentukan dengan rumus:

Kebanyakan contoh fungsi periodik Ini adalah fungsi trigonometri. Berikut adalah grafik utamanya fungsi trigonometri. Gambar berikut menunjukkan bagian dari grafik fungsi kamu= dosa X(seluruh grafik berlanjut ke kiri dan kanan tanpa batas), grafik fungsi kamu= dosa X ditelepon sinusoidal:

Grafik suatu fungsi kamu= karena X ditelepon kosinus. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Karena grafik sinus berlanjut tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan ke kanan:

Grafik suatu fungsi kamu= tg X ditelepon tangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik lainnya, jadwal ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan kanan.

Dan terakhir, grafik fungsinya kamu=ctg X ditelepon kotangentoid. Grafik ini ditunjukkan pada gambar berikut. Seperti grafik fungsi periodik dan trigonometri lainnya, grafik ini berulang tanpa batas sepanjang sumbu OX ke kiri dan kanan.

Penerapan ketiga poin ini yang berhasil, rajin, dan bertanggung jawab akan memungkinkan Anda tampil di CT hasil yang luar biasa, semaksimal kemampuan Anda.

Menemukan kesalahan?

Jika Anda merasa telah menemukan kesalahan dalam materi pendidikan, lalu silakan tulis tentang hal itu melalui email. Anda juga dapat melaporkan bug ke jaringan sosial(). Dalam surat tersebut sebutkan mata pelajaran (fisika atau matematika), nama atau nomor topik atau ujian, nomor soal, atau tempat dalam teks (halaman) yang menurut Anda terdapat kesalahan. Jelaskan juga apa dugaan kesalahannya. Surat Anda tidak akan luput dari perhatian, kesalahannya akan diperbaiki, atau Anda akan dijelaskan mengapa itu bukan kesalahan.