Kas yra greičio vektoriaus projekcijos grafikas? Judėjimo kinematinių charakteristikų nustatymas naudojant grafikus

Pamokos tema: "Medžiagos taškas. Atskaitos sistema" Tikslai: suteikti kinematikos idėją

Apibrėžimas uniforma tiesmukai judėjimas. – Kas vadinama greičiu? uniforma judėjimas? - Pavadinkite greičio vienetą judėjimas in... greičio vektoriaus projekcija laiko atžvilgiu judėjimas U (O. 2. Grafika pasirodymas judėjimas. - Taške C...

3.1. Tolygus judėjimas tiesia linija.

3.1.1. Tolygus judėjimas tiesia linija- judėjimas tiesia linija, kurio pagreičio dydis ir kryptis yra pastovūs:

3.1.2. Pagreitis ()- fizinis vektorinis kiekis, rodantis, kiek greitis pasikeis per 1 s.

IN vektorinė forma:

kur yra pradinis kūno greitis, yra kūno greitis laiko momentu t.

Projekcijoje į ašį Jautis:

kur yra pradinio greičio projekcija į ašį Jautis, - kūno greičio projekcija į ašį Jautis tam tikru momentu t.

Projekcijų ženklai priklauso nuo vektorių krypties ir ašies Jautis.

3.1.3. Pagreičio ir laiko projekcinis grafikas.

Esant tolygiai kintamam judėjimui, pagreitis yra pastovus, todėl jis atrodys kaip tiesios linijos, lygiagrečios laiko ašiai (žr. pav.):

3.1.4. Greitis vienodo judėjimo metu.

Vektorine forma:

Projekcijoje į ašį Jautis:

Tolygiai paspartintam judėjimui:

Norint užtikrinti vienodą sulėtintą judesį:

3.1.5. Greičio ir laiko projekcinis grafikas.

Greičio ir laiko projekcijos grafikas yra tiesi linija.

Judėjimo kryptis: jei grafikas (ar jo dalis) yra virš laiko ašies, tai kūnas juda teigiama ašies kryptimi Jautis.

Pagreičio reikšmė: kuo didesnė pasvirimo kampo tangentė (kuo statesnis kyla aukštyn arba žemyn), tuo didesnis pagreičio modulis; kur yra greičio pokytis laikui bėgant

Sankirta su laiko ašimi: jei grafikas kerta laiko ašį, tai prieš susikirtimo tašką kūnas sulėtėjo (tolygiai sulėtėjo), o po susikirtimo taško pradėjo greitėti priešinga pusė(tolygiai pagreitintas judesys).

3.1.6. Geometrinė reikšmė plotas po grafiku ašimis

Plotas po grafiku, kai yra ašyje Oy greitis atidėtas, o ašyje Jautis- laikas yra kūno nueitas kelias.

Fig. 3.5 parodytas tolygiai pagreitinto judėjimo atvejis. Kelias į šiuo atveju bus lygus trapecijos plotui: (3.9)

3.1.7. Kelio skaičiavimo formulės

Visos lentelėje pateiktos formulės veikia tik tada, kai išlaikoma judėjimo kryptis, ty tol, kol tiesė susikerta su laiko ašimi greičio projekcijos ir laiko grafike.

Jei susikirtimas įvyko, judėjimą lengviau suskirstyti į du etapus:

prieš pervažiuojant (stabdant):

Po sankryžos (įsibėgėjimas, judėjimas į atvirkštinė pusė)

Aukščiau pateiktose formulėse - laikas nuo judėjimo pradžios iki susikirtimo su laiko ašimi (laikas iki sustojimo), - kelias, kurį kūnas nuėjo nuo judėjimo pradžios iki sankirtos su laiko ašimi, - laikas, praėjęs. nuo laiko ašies susikirtimo momento iki šiuo momentu t, - kelias, kurį kūnas nuėjo priešinga kryptimi per laiką, praėjusį nuo laiko ašies kirtimo momento iki šio momento t, - poslinkio vektoriaus modulis visam judėjimo laikui, L- kūno nueitas kelias viso judėjimo metu.

3.1.8. Judėjimas sekundėje.

Laikui bėgant kūnas eis keliu:

Per tą laiką kūnas nuvažiuos tokį atstumą:

Tada per tąjį intervalą kūnas nuvažiuos tokį atstumą:

Bet koks laikotarpis gali būti laikomas intervalu. Dažniausiai su.

Tada per 1 sekundę kūnas nukeliauja tokį atstumą:

Per 2 sekundes:

Per 3 sekundes:

Atidžiai pažiūrėję pamatysime, kad ir t.t.

Taigi gauname formulę:

Žodžiais: kūno keliai, kuriuos eina vienas po kito einantys laikotarpiai, yra susiję vienas su kitu kaip nelyginių skaičių serija, ir tai nepriklauso nuo pagreičio, kuriuo kūnas juda. Pabrėžiame, kad šis santykis galioja

3.1.9. Kūno koordinačių lygtis vienodam judėjimui

Koordinačių lygtis

Pradinio greičio ir pagreičio projekcijų ženklai priklauso nuo santykinė padėtis atitinkami vektoriai ir ašis Jautis.

Norint išspręsti problemas, prie lygties būtina pridėti greičio projekcijos į ašį keitimo lygtį:

3.2. Kinematinių dydžių grafikai tiesiniam judėjimui

3.3. Laisvo kritimo kūnas

Laisvas kritimas reiškia tokį fizinį modelį:

1) Kritimas įvyksta veikiant gravitacijai:

2) Nėra oro pasipriešinimo (problemose kartais rašoma „nepaisoma oro pasipriešinimo“);

3) Visi kūnai, nepaisant masės, krenta tuo pačiu pagreičiu (kartais jie prideda „nepriklausomai nuo kūno formos“, bet mes atsižvelgiame tik į judėjimą materialus taškas, todėl į kūno formas nebeatsižvelgiama);

4) gravitacijos pagreitis nukreiptas griežtai žemyn ir yra lygus Žemės paviršiuje (problemose dažnai darome prielaidą, kad būtų patogiau skaičiuoti);

3.3.1. Judėjimo lygtys projekcijoje į ašį Oy

Skirtingai nuo judėjimo horizontalia tiesia linija, kai ne visos užduotys yra susijusios su judėjimo krypties pasikeitimu, kai laisvasis kritimas geriausia iš karto panaudoti projekcijomis į ašį parašytas lygtis Oy.

Kūno koordinačių lygtis:

Greičio projekcijos lygtis:

Paprastai problemose patogu pasirinkti ašį Oy taip:

Ašis Oy nukreipta vertikaliai į viršų;

Kilmė sutampa su Žemės lygiu arba žemiausiu trajektorijos tašku.

Pasirinkus šį pasirinkimą, ir lygtys bus perrašytos tokia forma:

3.4. Judėjimas plokštumoje Oxy.

Mes svarstėme kūno judėjimą su pagreičiu tiesia linija. Tačiau šis vienodas judesys neribota. Pavyzdžiui, kūnas, mestas kampu į horizontalę. Esant tokioms problemoms, būtina atsižvelgti į judėjimą išilgai dviejų ašių vienu metu:

Arba vektorine forma:

Ir keičiant greičio projekciją abiejose ašyse:

3.5. Išvestinės ir integralo sąvokos taikymas

Mes čia neduosime detalus apibrėžimas išvestinė ir integralas. Norėdami išspręsti problemas, mums reikia tik nedidelio formulių rinkinio.

Išvestinė:

Kur A, B o tai yra pastovios vertės.

Integruotas:

Dabar pažiūrėkime, kaip taikoma išvestinės ir integralo sąvoka fiziniai kiekiai. Matematikoje išvestinė žymima „““, fizikoje išvestinė laiko atžvilgiu žymima „∙“ virš funkcijos.

Greitis:

tai yra, greitis yra spindulio vektoriaus išvestinė.

Greičio projekcijai:

Pagreitis:

tai yra, pagreitis yra greičio išvestinė.

Pagreičio projekcijai:

Taigi, jei yra žinomas judėjimo dėsnis, galime nesunkiai rasti ir kūno greitį, ir pagreitį.

Dabar vartokime integralo sąvoką.

Greitis:

tai yra, greitį galima rasti kaip pagreičio laiko integralą.

Spindulio vektorius:

tai yra, spindulio vektorių galima rasti imant greičio funkcijos integralą.

Taigi, jei funkcija yra žinoma, galime nesunkiai rasti kūno greitį ir judėjimo dėsnį.

Konstantos formulėse nustatomos iš pradines sąlygas- vertybės ir laikas

3.6. Greičio trikampis ir poslinkio trikampis

3.6.1. Greičio trikampis

Vektorinėje formoje at nuolatinis pagreitis greičio kitimo dėsnis turi tokią formą (3.5):

Ši formulė reiškia, kad vektorius yra lygus vektorių sumai ir vektorių sumą visada galima pavaizduoti paveiksle (žr. pav.).

Kiekvienoje užduotyje, priklausomai nuo sąlygų, greičio trikampis turės savo formą. Šis vaizdavimas leidžia sprendime naudoti geometrinius svarstymus, o tai dažnai supaprastina problemos sprendimą.

3.6.2. Judesių trikampis

Vektorinėje formoje judėjimo su pastoviu pagreičiu dėsnis turi tokią formą:

Sprendžiant uždavinį atskaitos sistemą galima pasirinkti patogiausiu būdu, todėl neprarasdami bendrumo, atskaitos sistemą galime pasirinkti taip, kad, tai yra, koordinačių sistemos pradžią patalpintume taške. kur kūnas yra pradiniu momentu. Tada

tai vektorius lygus vektorių sumai ir Pavaizduokime jį paveiksle (žr. pav.).

Kaip ir ankstesniu atveju, priklausomai nuo sąlygų, poslinkio trikampis turės savo formą. Šis vaizdavimas leidžia sprendime naudoti geometrinius svarstymus, o tai dažnai supaprastina problemos sprendimą.

Instrukcijos

Apsvarstykite funkciją f(x) = |x|. Pirmiausia tai yra neženklinis modulis, tai yra funkcijos g(x) = x grafikas. Šis grafikas yra tiesi linija, einanti per pradžios tašką, o kampas tarp šios tiesės ir teigiamos x ašies krypties yra 45 laipsniai.

Kadangi modulis yra neneigiamas dydis, dalis, kuri yra žemiau abscisių ašies, turi būti atspindėta jos atžvilgiu. Funkcijos g(x) = x atveju randame, kad grafikas po tokio atvaizdavimo atrodys kaip V. Tai naujas tvarkaraštis ir bus grafinis funkcijos f(x) = |x| interpretavimas.

Video tema

Atkreipkite dėmesį

Funkcijos modulio grafikas niekada nebus 3 ir 4 ketvirčiuose, nes modulis negali priimti neigiamos reikšmės.

Naudingi patarimai

Jei funkciją sudaro keli moduliai, juos reikia išplėsti nuosekliai ir sudėti vieną ant kito. Rezultatas bus norimas grafikas.

Šaltiniai:

• kaip nubraižyti funkciją su moduliais

Kinematikos uždaviniai, kuriuose reikia skaičiuoti greitis, laiko arba tolygiai ir tiesia linija judančių kūnų, kurie susitinka mokyklos kursas algebra ir fizika. Norėdami juos išspręsti, suraskite sąlygoje dydžius, kuriuos galima išlyginti. Jei sąlygą reikia apibrėžti laikožinomu greičiu vadovaukitės toliau pateiktomis instrukcijomis.

Jums reikės

• - rašiklis;
• - popierius užrašams.

Instrukcijos

Paprasčiausias atvejis yra vieno kūno judėjimas su tam tikra uniforma greitis Yu. Atstumas, kurį kūnas nukeliavo, yra žinomas. Raskite kelyje: t = S/v, valanda, kur S yra atstumas, v yra vidurkis greitis kūnai.

Antrasis įjungtas priešpriešinio eismo tel. Automobilis juda iš taško A į tašką B greitis 50 km/val. Mopedas su a greitis 30 km/val. Atstumas tarp taškų A ir B yra 100 km. Reikia surasti laiko per kurį jie susitiks.

Pažymėkite susitikimo tašką K. Tegul automobilio atstumas AK yra x km. Tada motociklininko kelias bus 100 km. Iš probleminių sąlygų matyti, kad laiko Kelyje automobilis ir mopedas turi tą pačią patirtį. Sudarykite lygtį: x/v = (S-x)/v’, kur v, v’ – ir mopedas. Pakeitę duomenis, išspręskite lygtį: x = 62,5 km. Dabar laiko: t = 62,5/50 = 1,25 valandos arba 1 valanda 15 minučių.

Sukurkite lygtį, panašią į ankstesnę. Tačiau šiuo atveju laiko mopedo kelionė bus 20 minučių ilgesnė nei automobilio. Norėdami išlyginti dalis, iš dešinės išraiškos pusės atimkite trečdalį valandos: x/v = (S-x)/v’-1/3. Rasti x – 56,25. Apskaičiuokite laiko: t = 56,25/50 = 1,125 valandos arba 1 valanda 7 minutės 30 sekundžių.

Ketvirtasis pavyzdys yra problema, susijusi su kūnų judėjimu viena kryptimi. Iš taško A vienodais greičiais juda automobilis ir mopedas. Žinoma, kad automobilis išvažiavo po pusvalandžio. Po ko laiko ar jis pasivys mopedą?

Tokiu atveju nuvažiuotas atstumas bus toks pat transporto priemonių. Leiskite laiko tada automobilis važiuos x val laiko mopedo kelionė bus x+0,5 val. Turite lygtį: vx = v'(x+0,5). Išspręskite lygtį pakeisdami , ir raskite x – 0,75 valandos arba 45 minutės.

Penktas pavyzdys – automobilis ir mopedas važiuoja vienodais greičiais ta pačia kryptimi, tačiau mopedas iš taško B, esančio 10 km nuo taško A, išvažiavo pusvalandžiu anksčiau. Paskaičiuok po ko laiko Po starto automobilis pasivys mopedą.

Automobiliu nuvažiuojamas atstumas 10 km didesnis. Pridėkite šį skirtumą prie motociklininko kelio ir išlyginkite išraiškos dalis: vx = v’(x+0.5)-10. Pakeitę greičio reikšmes ir ją išsprendę, gausite: t = 1,25 valandos arba 1 valanda 15 minučių.

Šaltiniai:

• koks yra laiko mašinos greitis

Instrukcijos

Apskaičiuokite kūno, vienodai judančio kelio atkarpoje, vidurkį. Tokie greitis yra lengviausia apskaičiuoti, nes jis nesikeičia visame segmente judėjimas ir lygus vidurkiui. Tai galima išreikšti tokia forma: Vрд = Vср, kur Vрд – greitis uniforma judėjimas, o Vav – vidutinis greitis.

Apskaičiuokite vidurkį greitis vienodai lėtas (vienodai pagreitintas) judėjimasšioje srityje, kuriai būtina pridėti pradinį ir galutinį greitis. Padalinkite rezultatą iš dviejų, tai yra vidurkis greitis Yu. Tai galima aiškiau parašyti kaip formulę: Vср = (Vн + Vк)/2, kur Vн reiškia

Norint sudaryti šį grafiką, ant abscisių ašies brėžiamas judėjimo laikas, o ant ordinačių ašies – kūno greitis (greičio projekcija). Vienodai pagreitintame judėjime kūno greitis laikui bėgant kinta. Jei kūnas juda išilgai O x ašies, jo greičio priklausomybė nuo laiko išreiškiama formulėmis
v x =v 0x +a x t ir v x =at (jei v 0x = 0).

Iš šių formulių aišku, kad v x priklausomybė nuo t yra tiesinė, todėl greičio grafikas yra tiesi. Jei kūnas juda tam tikru pradiniu greičiu, ši tiesė kerta ordinačių ašį taške v 0x. Jei pradinis kūno greitis lygus nuliui, greičio grafikas eina per pradinę vietą.

Tiesinio tolygiai pagreitinto judėjimo greičio grafikai parodyti fig. 9. Šiame paveiksle 1 ir 2 grafikai atitinka judėjimą su teigiama pagreičio projekcija O x ašyje (greitis didėja), o 3 grafikas – judėjimą su neigiama pagreičio projekcija (greitis mažėja). 2 grafikas atitinka judėjimą be pradinio greičio, o 1 ir 3 grafikai – judėjimą pradiniu greičiu v ox. Grafiko pokrypio a kampas į abscisių ašį priklauso nuo kūno pagreičio. Kaip matyti iš fig. 10 ir formulės (1.10),

tg=(v x -v 0x)/t=a x .

Naudodami greičio grafikus galite nustatyti kūno nuvažiuotą atstumą per laikotarpį t. Norėdami tai padaryti, nustatome trapecijos ir trikampio plotą, užtamsintą Fig. 11.

Pasirinktoje skalėje vienas trapecijos pagrindas yra skaitiniu būdu lygus kūno pradinio greičio v 0x projekcijos moduliui, o kitas – jos greičio v x projekcijos moduliui momentu t. Trapecijos aukštis skaitine prasme lygus laiko intervalo t trukmei. Trapecijos plotas

S=(v 0x +v x)/2t.

Naudojant (1.11) formulę, po transformacijų nustatome, kad trapecijos plotas

S=v 0x t+prie 2/2.

kelias, nueitas tiesia linija tolygiai paspartintu judesiu pradiniu greičiu, yra skaitine prasme lygus trapecijos plotui, kurį riboja greičio grafikas, koordinačių ašys ir ordinatės, atitinkančios kūno greičio reikšmę momentu t.

Pasirinktoje skalėje trikampio aukštis (11 pav., b) skaitine prasme yra lygus kūno greičio v x projekcijos moduliui momentu t, o trikampio pagrindas skaitiniu būdu lygus trukmei. laiko intervalas t. Trikampio plotas S=v x t/2.

Naudojant 1.12 formulę, po transformacijų mes nustatome, kad trikampio plotas

Dešinė pusė Paskutinė lygybė yra išraiška, apibrėžianti kūno nueitą kelią. Vadinasi, kelias, einantis tiesiuoju tolygiai pagreitintu judesiu be pradinio greičio, yra skaitiniu būdu lygus trikampio plotui, apribotas pagal tvarkaraštį greitis, x ašis ir ordinatės, atitinkančios kūno greitį momentu t.